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hoops & trees
Miguel Andrés Marcos
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, UNL, CONICET, FIQ
Seminario Carlos Segovia Fernández
Santa Fe - 2016
Miguel Marcos
hoops & trees
1 / 19
Categorías
Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos
(morsmos).
Miguel Marcos
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2 / 19
Categorías
Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos
(morsmos).
(existencia de la composición)
A
g
f
B
g
◦f!
C
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Categorías
Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos
(morsmos).
(existencia de la composición)
A
f
B
≡
g
g
◦f!
C
Miguel Marcos
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Categorías
Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos
(morsmos).
(asociatividad de la composición)
A
f
B
g
C
Miguel Marcos
h
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D
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Categorías
Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos
(morsmos).
(asociatividad de la composición)
A
g
B
≡
◦f
C
Miguel Marcos
f
h
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h
◦g
D
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Categorías
Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos
(morsmos).
(identidad)
A
idA
g
f
Miguel Marcos
A
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Categorías
Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos
(morsmos).
(identidad)
A
idA
A
≡
f
f
g
B
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Categorías
Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos
(morsmos).
(identidad)
A
idA
A
≡
f
g
g
B
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Productos y coproductos
{Ai }i ∈I
colección de objetos.
Miguel Marcos
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Productos y coproductos
{Ai }i ∈I
Q
i ∈I
colección de objetos.
Ai es
producto si para todo j ∈ I
Q
i ∈I
Ai
πj
Aj
fj
Miguel Marcos
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∀j ∈ I
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Productos y coproductos
{Ai }i ∈I
Q
i ∈I
colección de objetos.
Ai es
producto si para todo j ∈ I
Q
i ∈I
Ai
πj
Aj
fj
∀j ∈ I
B
Miguel Marcos
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3 / 19
Productos y coproductos
{Ai }i ∈I
Q
i ∈I
colección de objetos.
Ai es
producto si
Q
i ∈I
Ai
πj
Aj
≡
fj
f!
∀j ∈ I
B
Miguel Marcos
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Productos y coproductos
{Ai }i ∈I
`
i ∈I
colección de objetos.
Ai es
coproducto si
`
i ∈I
Ai
ιj
Aj
fj
Miguel Marcos
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∀j ∈ I
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Productos y coproductos
{Ai }i ∈I
`
i ∈I
colección de objetos.
Ai es
coproducto si
`
i ∈I
Ai
ιj
Aj
fj
∀j ∈ I
B
Miguel Marcos
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Productos y coproductos
{Ai }i ∈I
`
i ∈I
colección de objetos.
Ai es
coproducto si
`
i ∈I
ιj
Ai
Aj
≡
fj
f!
∀j ∈ I
B
Miguel Marcos
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Funtores
Sean
C, D
dos categorías.
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Funtores
Sean
Un
C, D
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
Miguel Marcos
tal que
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Funtores
Sean
Un
C, D
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
A en
C 7−→
Miguel Marcos
F (A) en
tal que
D
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
Miguel Marcos
F (A) en
en
C 7−→
tal que
D
F (f )
: F (A) → F (B )
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en
D
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
F (idA )
F (A) en
en
C 7−→
tal que
D
F (f )
: F (A) → F (B )
en
D
= idF (A)
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
F (idA )
F (f
F (A) en
en
C 7−→
tal que
D
F (f )
: F (A) → F (B )
en
D
= idF (A)
◦ g ) = F (f ) ◦ F (g )
Miguel Marcos
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
F (idA )
F (f
F (A) en
en
C 7−→
tal que
D
F (f )
: F (A) → F (B )
en
D
= idF (A)
◦ g ) = F (f ) ◦ F (g )
F dene una
equivalencia de categorías si
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
F (idA )
F (f
en
C 7−→
D
F (f )
: F (A) → F (B )
en
D
= idF (A)
◦ g ) = F (f ) ◦ F (g )
F dene una
es
F (A) en
tal que
equivalencia de categorías si
denso: para cada X
Miguel Marcos
en
D
existe A en
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C
con X
∼
= F (A)
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
F (idA )
F (f
F (A) en
en
C 7−→
tal que
D
F (f )
: F (A) → F (B )
en
D
= idF (A)
◦ g ) = F (f ) ◦ F (g )
F dene una
equivalencia de categorías si
denso: para cada X
es el: si f , g : A → B
es
Miguel Marcos
en
D
en
C
∼
= F (A)
F (f ) = F (g ), f = g
existe A en
tienen
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C
con X
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor (covariante) es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
F (idA )
F (f
F (A) en
en
C 7−→
tal que
D
F (f )
: F (A) → F (B )
en
D
= idF (A)
◦ g ) = F (f ) ◦ F (g )
F dene una
equivalencia de categorías si
denso: para cada X en D existe A en C con X ∼
= F (A)
es el: si f , g : A → B en C tienen F (f ) = F (g ), f = g
es pleno: si g : F (A) → F (B ) en D , existe f : A → B con g = F (f )
es
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor contravariante es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
F (idA )
F (f
F (A) en
en
C 7−→
tal que
D
F (f )
: F (B ) → F (A)
en
D
= idF (A)
◦ g ) = F (g ) ◦ F (f )
Miguel Marcos
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Funtores
C, D
Sean
Un
dos categorías.
funtor contravariante es un mapeo F
A en
f
C 7−→
:A→B
F (idA )
F (f
F (A) en
en
C 7−→
tal que
D
F (f )
: F (B ) → F (A)
en
D
= idF (A)
◦ g ) = F (g ) ◦ F (f )
F dene una
dualidad de categorías si
denso: para cada X en D existe A en C con X ∼
= F (A)
es el: si f , g : A → B en C tienen F (f ) = F (g ), f = g
es pleno: si g : F (B ) → F (A) en D , existe f : A → B con g = F (f )
es
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Forests y trees
Miguel Marcos
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5 / 19
Forests y trees
Un
forest es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus
downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas.
Miguel Marcos
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5 / 19
Forests y trees
Un
forest es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus
downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas.
Miguel Marcos
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5 / 19
Forests y trees
Un
forest es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus
downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas.
: F → F 0 que preserva el
≤ x en F con f (y ) = x 0 .
Morsmos: f
F 0 , existe y
Miguel Marcos
orden y es
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abierta: si x 0 ≤ f (x ) en
5 / 19
Forests y trees
Un
tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas
Miguel Marcos
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5 / 19
Forests y trees
Un
tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos
Miguel Marcos
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⊥.
5 / 19
Forests y trees
Un
tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos
Miguel Marcos
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⊥.
5 / 19
Forests y trees
Un
tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos
Miguel Marcos
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⊥.
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Forests y trees
Un
tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos
: F → F 0 que preserva el
≤ x en F con f (y ) = x 0 .
Morsmos: f
F 0 , existe y
Miguel Marcos
orden y es
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⊥.
abierta: si x 0 ≤ f (x ) en
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Forests y trees
Un
tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets
↓ x = {y ∈ F : y ≤ x }
son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos
⊥.
: F → F 0 que preserva el orden y es abierta: si x 0 ≤ f (x ) en
≤ x en F con f (y ) = x 0 . De esto se obtiene que f (⊥) = ⊥.
Morsmos: f
F 0 , existe y
Miguel Marcos
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Coproductos y productos
Coproducto en la categoría de Forests.
Miguel Marcos
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Coproductos y productos
Coproducto en la categoría de Forests. (unión disjunta)
ιj
S
˙ Ai
i
Aj
≡
fj
f!
∀j ∈ I
B
Miguel Marcos
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Coproductos y productos
Coproducto en la categoría de Forests. (unión disjunta)
ιj
S
˙ Ai
i
Aj
≡
fj
f!
∀j ∈ I
B
+
Miguel Marcos
+
=
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Coproductos y productos
Coproducto en la categoría de Trees.
Miguel Marcos
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6 / 19
Coproductos y productos
Coproducto en la categoría de Trees. T ↑ = T \ {⊥}, F⊥ = F ∪ {⊥}
Miguel Marcos
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6 / 19
Coproductos y productos
Coproducto en la categoría de Trees. T ↑ = T \ {⊥}, F⊥ = F ∪ {⊥}
S
˙
↑
i Ai
ιj
⊥
Aj
≡
fj
f!
∀j ∈ I
B
Miguel Marcos
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6 / 19
Coproductos y productos
Coproducto en la categoría de Trees. T ↑ = T \ {⊥}, F⊥ = F ∪ {⊥}
S
˙
↑
i Ai
ιj
⊥
Aj
≡
fj
f!
∀j ∈ I
B
⊕
Miguel Marcos
⊕
=
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Coproductos y productos
Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T
trees nitos, F , G , H forests nitos.
Miguel Marcos
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Coproductos y productos
Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T
trees nitos, F , G , H forests nitos.
∅⊥ × T ∼
=T
Miguel Marcos
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Coproductos y productos
Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T
trees nitos, F , G , H forests nitos.
∅⊥ × T ∼
=T
S ×T ∼
= (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥
Miguel Marcos
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Coproductos y productos
Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T
trees nitos, F , G , H forests nitos.
∅⊥ × T ∼
=T
S ×T ∼
= (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥
(F + G ) × H ∼
= (F × H ) + ( G × H )
Miguel Marcos
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Coproductos y productos
Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T
trees nitos, F , G , H forests nitos.
∅⊥ × T ∼
=T
S ×T ∼
= (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥
(F + G ) × H ∼
= (F × H ) + ( G × H )
×
Miguel Marcos
=
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Coproductos y productos
Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T
trees nitos, F , G , H forests nitos.
∅⊥ × T ∼
=T
S ×T ∼
= (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥
(F + G ) × H ∼
= (F × H ) + ( G × H )
×
Miguel Marcos
=
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Coproductos y productos
Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T
trees nitos, F , G , H forests nitos.
∅⊥ × T ∼
=T
S ×T ∼
= (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥
(F + G ) × H ∼
= (F × H ) + ( G × H )
×
Miguel Marcos
=
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Tagged trees
T árbol nito. Un subárbol t se dice
Miguel Marcos
atómico cerrado hacia arriba si
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Tagged trees
T árbol nito. Un subárbol t se dice
⊥∈t
atómico cerrado hacia arriba si
(siempre ocurre por ser subárbol)
Miguel Marcos
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7 / 19
Tagged trees
T árbol nito. Un subárbol t se dice
⊥∈t
si a
atómico cerrado hacia arriba si
(siempre ocurre por ser subárbol)
∈t
es átomo de T , b
Miguel Marcos
∈t
para todo b
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≥a
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Tagged trees
T árbol nito. Un subárbol t se dice
⊥∈t
si a
(siempre ocurre por ser subárbol)
∈t
Categoría
atómico cerrado hacia arriba si
es átomo de T , b
∈t
para todo b
≥a
Tt ,n :
Miguel Marcos
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Tagged trees
T árbol nito. Un subárbol t se dice
⊥∈t
si a
(siempre ocurre por ser subárbol)
∈t
Categoría
atómico cerrado hacia arriba si
es átomo de T , b
∈t
para todo b
≥a
Tt ,n :
objetos:
(T , t ),
T árbol nito y t subárbol atómico cerrado hacia
arriba
Miguel Marcos
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Tagged trees
T árbol nito. Un subárbol t se dice
⊥∈t
si a
(siempre ocurre por ser subárbol)
∈t
Categoría
atómico cerrado hacia arriba si
es átomo de T , b
∈t
para todo b
≥a
Tt ,n :
objetos:
(T , t ),
T árbol nito y t subárbol atómico cerrado hacia
arriba
morsmos:
Miguel Marcos
φ : (T , t ) → (T 0 , t 0 )
con
φ : T → T0
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abierto y
φ(t ) ⊂ t 0
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Tagged trees
T árbol nito. Un subárbol t se dice
⊥∈t
si a
(siempre ocurre por ser subárbol)
∈t
Categoría
atómico cerrado hacia arriba si
es átomo de T , b
∈t
para todo b
≥a
Tt ,n :
objetos:
(T , t ),
T árbol nito y t subárbol atómico cerrado hacia
arriba
morsmos:
Miguel Marcos
φ : (T , t ) → (T 0 , t 0 )
con
φ : T → T0
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abierto y
φ(t ) ⊂ t 0
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Coproductos y productos
Coproducto de Tagged Trees
(S , s ) ⊕ (T , t ) ∼
= (S ⊕ T , s ⊕ t )
Miguel Marcos
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Coproductos y productos
Coproducto de Tagged Trees
(S , s ) ⊕ (T , t ) ∼
= (S ⊕ T , s ⊕ t )
Producto de Tagged Trees
(S , s ) × (T , t ) ∼
= (S × T , r )
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Coproductos y productos
Coproducto de Tagged Trees
(S , s ) ⊕ (T , t ) ∼
= (S ⊕ T , s ⊕ t )
Producto de Tagged Trees
(S , s ) × (T , t ) ∼
= (S × T , r )
donde
r
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= (s ↑ × T ) + ( s ↑ × t ↑ ) + ( S × t ↑ )
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⊥
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Álgebras y Hoops de Gödel
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Álgebras y Hoops de Gödel
Un
álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0)
que satisface
Miguel Marcos
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9 / 19
Álgebras y Hoops de Gödel
Un
álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0)
que satisface
(L, ∧, ∨)
retículo acotado superiormente por
Miguel Marcos
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>
e inferiormente por
⊥
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Álgebras y Hoops de Gödel
Un
álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0)
que satisface
(L, ∧, ∨)
retículo acotado superiormente por
(residuación) x → y ≥ z
Miguel Marcos
si y sólo si x
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>
e inferiormente por
⊥
∧z ≤y
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Álgebras y Hoops de Gödel
Un
álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0)
que satisface
(L, ∧, ∨)
retículo acotado superiormente por
>
e inferiormente por
⊥
(residuación) x → y ≥ z si y sólo si x ∧ z ≤ y
(prelinealidad) (x → y ) ∨ (y → x ) = >
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Álgebras y Hoops de Gödel
Un
álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0)
que satisface
(L, ∧, ∨)
retículo acotado superiormente por
>
e inferiormente por
(residuación) x → y ≥ z si y sólo si x ∧ z ≤ y
(prelinealidad) (x → y ) ∨ (y → x ) = >
0
Un morsmo de álgebras de Gödel es una función f : L → L
f (x
∧ y ) = f (x ) ∧ f (y )
f (x
∨ y ) = f (x ) ∨ f (y )
f (x
→ y ) = f (x ) → f (y )
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⊥
con
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Álgebras y Hoops de Gödel
Un
álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0)
que satisface
(L, ∧, ∨)
retículo acotado superiormente por
>
e inferiormente por
(residuación) x → y ≥ z si y sólo si x ∧ z ≤ y
(prelinealidad) (x → y ) ∨ (y → x ) = >
0
Un morsmo de álgebras de Gödel es una función f : L → L
f (x
∧ y ) = f (x ) ∧ f (y )
f (x
∨ y ) = f (x ) ∨ f (y )
f (x
→ y ) = f (x ) → f (y )
f (>)
=>
f (⊥)
=⊥
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⊥
con
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Álgebras y Hoops de Gödel
Un
hoop de Gödel (L, ∧, ∨, →, >) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0) que
satisface
(L, ∧, ∨)
retículo acotado superiormente por
>
(residuación) x → y ≥ z si y sólo si x ∧ z ≤ y
(prelinealidad) (x → y ) ∨ (y → x ) = >
0
Un morsmo de hoops de Gödel es una función f : L → L
f (x
∧ y ) = f (x ) ∧ f (y )
f (x
∨ y ) = f (x ) ∨ f (y )
f (x
→ y ) = f (x ) → f (y )
f (>)
con
=>
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Filtros
F
⊂L
es
ltro (implicativo) si
>∈F
si x , x
→y ∈F
Miguel Marcos
entonces y
∈F
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Filtros
F
⊂L
es
ltro (implicativo) si
>∈F
si x , x
F es
→y ∈F
entonces y
∈F
primo si
⊥ 6∈ F
si x
∨y ∈F
Miguel Marcos
entonces x
∈F
ó y
∈F
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Filtros
F
⊂L
es
ltro (implicativo) si
>∈F
si x , x
F es
→y ∈F
entonces y
∈F
primo si
⊥ 6∈ F
si x
F es
∨y ∈F
entonces x
∈F
ó y
∈F
maximal si
F
6= L
si F
( F0
entonces F
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0
=L
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Filtros
F
⊂L
es
ltro (implicativo) si
>∈F
si x , x
F es
→y ∈F
entonces y
∈F
primo si
⊥ 6∈ F
si x
F es
∨y ∈F
entonces x
∈F
ó y
∈F
maximal si
F
6= L
si F
( F0
entonces F
0
=L
regular si contiene a todos los elementos de la forma x ∨ (x → y )
(elementos densos)
F es
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Filtros
F
⊂L
es
ltro (implicativo) si
>∈F
si x , x
F es
→y ∈F
entonces y
∈F
primo si
⊥ 6∈ F
si x
F es
∨y ∈F
entonces x
∈F
ó y
∈F
maximal si
F
6= L
si F
( F0
entonces F
0
=L
regular si contiene a todos los elementos de la forma x ∨ (x → y )
(elementos densos)
F es
Los ltros regulares son todo L ó intersección de maximales
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Dualidades
Gn
categoría de álgebras de Gödel nitas,
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Fn
categoría de forests nitos
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Dualidades
Gn
categoría de álgebras de Gödel nitas,
Spec
Fn
categoría de forests nitos
: Gn → Fn
Sobre objetos L
Spec(L)
Sobre echas f
= {ltros
: L → L0
Spec(f
Miguel Marcos
primos de L}
)(F 0 ) = f −1 (F 0 )
hoops & trees
11 / 19
Dualidades
Gn
categoría de álgebras de Gödel nitas,
Sub
Fn
categoría de forests nitos
: Fn → Gn
Sobre objetos G
Sub(G )
Sobre echas
= {conjuntos
decrecientes de G }
φ : G → G0
Sub(φ)(G
Miguel Marcos
0
) = φ−1 (G 0 )
hoops & trees
11 / 19
Dualidades
GHn
categoría de hoops de Gödel nitos,
Miguel Marcos
hoops & trees
Tn
categoría de trees nitos
11 / 19
Dualidades
GHn
categoría de hoops de Gödel nitos,
∗
Spec
Tn
categoría de trees nitos
: GHn → Tn
Sobre objetos L
∗
Spec
(L) = {ltros
primos de L}⊥
: L → L0
Sobre echas f
∗
Spec
Miguel Marcos
(f )(F 0 ) = f −1 (F 0 ),
hoops & trees
∗
Spec
(f )(⊥) = ⊥
11 / 19
Dualidades
GHn
categoría de hoops de Gödel nitos,
∗
Sub
Tn
categoría de trees nitos
: Tn → GHn
Sobre objetos T
∗
Sub
Sobre echas
(T ) = {conjuntos
decrecientes de T }
\ {∅}
φ : T → T0
Sub
Miguel Marcos
∗
(φ)(D 0 ) = φ−1 (D 0 )
hoops & trees
11 / 19
NPc y GNPc
Un
retículo residuado de Nelson paraconsistente
(A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con
Miguel Marcos
hoops & trees
ó NPc-lattice es un álgebra
12 / 19
NPc y GNPc
Un
retículo residuado de Nelson paraconsistente
(A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con
ó NPc-lattice es un álgebra
(A, ∧, ∨) retículo distributivo
(A, ∗, e ) monoide conmutativo
a → b ≥ c si y sólo si a ∗ c ≤ b
e -involución (a → e ) → e = a (se dene ∼ a = a → e )
(a ∗ b ) ∧ e = ( a ∧ e ) ∗ (b ∧ e )
(a ∧ e → b ) ∧ (∼ b ∧ e →∼ a) = a → b
(a ∧ e )2 = a ∧ e
(residuación)
Miguel Marcos
hoops & trees
12 / 19
NPc y GNPc
Un
retículo residuado de Nelson paraconsistente
(A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con
ó NPc-lattice es un álgebra
(A, ∧, ∨) retículo distributivo
(A, ∗, e ) monoide conmutativo
a → b ≥ c si y sólo si a ∗ c ≤ b
e -involución (a → e ) → e = a (se dene ∼ a = a → e )
(a ∗ b ) ∧ e = ( a ∧ e ) ∗ (b ∧ e )
(a ∧ e → b ) ∧ (∼ b ∧ e →∼ a) = a → b
(a ∧ e )2 = a ∧ e
Se dene A− = {a ≤ e }
(residuación)
Miguel Marcos
hoops & trees
12 / 19
NPc y GNPc
Un
retículo residuado de Nelson paraconsistente
(A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con
ó NPc-lattice es un álgebra
(A, ∧, ∨) retículo distributivo
(A, ∗, e ) monoide conmutativo
a → b ≥ c si y sólo si a ∗ c ≤ b
e -involución (a → e ) → e = a (se dene ∼ a = a → e )
(a ∗ b ) ∧ e = ( a ∧ e ) ∗ (b ∧ e )
(a ∧ e → b ) ∧ (∼ b ∧ e →∼ a) = a → b
(a ∧ e )2 = a ∧ e
Se dene A− = {a ≤ e }
A es una GNPc-lattice si además
(residuación)
((a ∧ e → b ) ∨ (b ∧ e → a)) ∧ e = e
Miguel Marcos
hoops & trees
12 / 19
NPc y GNPc
Un
retículo residuado de Nelson paraconsistente
(A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con
ó NPc-lattice es un álgebra
(A, ∧, ∨) retículo distributivo
(A, ∗, e ) monoide conmutativo
a → b ≥ c si y sólo si a ∗ c ≤ b
e -involución (a → e ) → e = a (se dene ∼ a = a → e )
(a ∗ b ) ∧ e = ( a ∧ e ) ∗ (b ∧ e )
(a ∧ e → b ) ∧ (∼ b ∧ e →∼ a) = a → b
(a ∧ e )2 = a ∧ e
Se dene A− = {a ≤ e }
A es una GNPc-lattice si además
(residuación)
((a ∧ e → b ) ∨ (b ∧ e → a)) ∧ e = e
Si
A es una GNPc-lattice, A− es un hoop de Gödel
Miguel Marcos
hoops & trees
12 / 19
Twist products
L hoop de Gödel, su
Miguel Marcos
full twist product K(L) es L × L con
hoops & trees
13 / 19
Twist products
L hoop de Gödel, su
(x , y ) u
(x 0 , y 0 )
full twist product K(L) es L × L con
= (x ∧ x 0 , y ∨ y 0 )
(x , y ) t (x 0 , y 0 ) = (x ∨ x 0 , y ∧ y 0 )
(x , y ) ∗ (x 0 , y 0 ) = (x ∧ x 0 , (x → y 0 ) ∧ (x 0 → y ))
(x , y ) ⇒ (x 0 , y 0 ) = ((x → x 0 ) ∧ (y 0 → y ), x ∧ y 0 )
∼ (x , y ) = (y , x )
Miguel Marcos
hoops & trees
13 / 19
Twist products
L hoop de Gödel, su
(x , y ) u
(x 0 , y 0 )
full twist product K(L) es L × L con
= (x ∧ x 0 , y ∨ y 0 )
(x , y ) t (x 0 , y 0 ) = (x ∨ x 0 , y ∧ y 0 )
(x , y ) ∗ (x 0 , y 0 ) = (x ∧ x 0 , (x → y 0 ) ∧ (x 0 → y ))
(x , y ) ⇒ (x 0 , y 0 ) = ((x → x 0 ) ∧ (y 0 → y ), x ∧ y 0 )
∼ (x , y ) = (y , x )
K (L) es una GNPc-lattice con e
Miguel Marcos
= (>, >)
hoops & trees
y K (L)
−
∼
= L.
13 / 19
Twist products
L hoop de Gödel, su
(x , y ) u
(x 0 , y 0 )
full twist product K(L) es L × L con
= (x ∧ x 0 , y ∨ y 0 )
(x , y ) t (x 0 , y 0 ) = (x ∨ x 0 , y ∧ y 0 )
(x , y ) ∗ (x 0 , y 0 ) = (x ∧ x 0 , (x → y 0 ) ∧ (x 0 → y ))
(x , y ) ⇒ (x 0 , y 0 ) = ((x → x 0 ) ∧ (y 0 → y ), x ∧ y 0 )
∼ (x , y ) = (y , x )
= (>, >) y K (L)− ∼
= L.
K (L)− ∼
= L se llaman twist product
K (L) es una GNPc-lattice con e
Las subálgebras de K (L) con
Miguel Marcos
hoops & trees
de L
13 / 19
Twist products
L hoop de Gödel, su
(x , y ) u
(x 0 , y 0 )
full twist product K(L) es L × L con
= (x ∧ x 0 , y ∨ y 0 )
(x , y ) t (x 0 , y 0 ) = (x ∨ x 0 , y ∧ y 0 )
(x , y ) ∗ (x 0 , y 0 ) = (x ∧ x 0 , (x → y 0 ) ∧ (x 0 → y ))
(x , y ) ⇒ (x 0 , y 0 ) = ((x → x 0 ) ∧ (y 0 → y ), x ∧ y 0 )
∼ (x , y ) = (y , x )
= (>, >) y K (L)− ∼
= L.
K (L)− ∼
= L se llaman twist product
K (L) es una GNPc-lattice con e
Las subálgebras de K (L) con
de L
L hoop de Gödel y F ltro regular,
Tw (L, F )
= {(a, b) : a ∨ b ∈ F }
es un twist product de L.
Miguel Marcos
hoops & trees
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Equivalencia y Dualidad
Miguel Marcos
hoops & trees
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Equivalencia y Dualidad
Categoría GHF
objetos: (L, F ),
L hoop de Gödel, F ltro regular
morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0
Miguel Marcos
hoops & trees
14 / 19
Equivalencia y Dualidad
Categoría GHF
objetos: (L, F ),
L hoop de Gödel, F ltro regular
morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0
Categoría GNPC
objetos: GNPc-lattices
morsmos: morsmos de GNPc-lattices
Miguel Marcos
hoops & trees
14 / 19
Equivalencia y Dualidad
Categoría GHF
objetos: (L, F ),
L hoop de Gödel, F ltro regular
morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0
Categoría GNPC
objetos: GNPc-lattices
morsmos: morsmos de GNPc-lattices
Tw : GHF → GNPC
es un funtor que dene una equivalencia de categorías.
Miguel Marcos
hoops & trees
14 / 19
Equivalencia y Dualidad
Categoría GHF
objetos: (L, F ),
L hoop de Gödel, F ltro regular
morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0
Categoría GNPC
objetos: GNPc-lattices
morsmos: morsmos de GNPc-lattices
Tw : GHF → GNPC
es un funtor que dene una equivalencia de categorías.
Spec ∗ : GHFn → Tt ,n
con Spec ∗ (L, F ) = (Spec ∗ (L), t ), donde t es el subárbol atómico cerrado hacia arriba
generado por F , es un funtor que dene una dualidad de categorías.
Miguel Marcos
hoops & trees
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Equivalencia y Dualidad
Categoría GHF
objetos: (L, F ),
L hoop de Gödel, F ltro regular
morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0
Categoría GNPC
objetos: GNPc-lattices
morsmos: morsmos de GNPc-lattices
Tw : GHF → GNPC
es un funtor que dene una equivalencia de categorías.
Spec ∗ : GHFn → Tt ,n
con Spec ∗ (L, F ) = (Spec ∗ (L), t ), donde t es el subárbol atómico cerrado hacia arriba
generado por F , es un funtor que dene una dualidad de categorías.
Luego Tt ,n es el dual de GNPCn .
Miguel Marcos
hoops & trees
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Álgebras Libres
X conjunto, A álgebra es un
álgebra libre de #X
f
X
generadores si
A
≡
g!
g
B
Miguel Marcos
hoops & trees
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Álgebras Libres
X conjunto, A álgebra es un
álgebra libre de #X
f
X
generadores si
A
≡
g!
g
B
Si Free(i ) denota al álgebra libre de 1 generador, entonces
Free(n )
=
n
a
Free(1)
i =1
Miguel Marcos
hoops & trees
15 / 19
Álgebras Libres
FreeG (1)
Miguel Marcos
hoops & trees
FreeGH (1)
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Álgebras Libres
FreeGH (2)
Miguel Marcos
hoops & trees
15 / 19
Álgebras Libres
FFree
FreeGNPC (1)
Miguel Marcos
= Tw (FreeGH (2), FFree )
hoops & trees
15 / 19
en el dual...
Si llamamos Tn al tagged tree dual a FreeGNPC (n ) tenemos que
Miguel Marcos
hoops & trees
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en el dual...
Si llamamos Tn al tagged tree dual a FreeGNPC (n ) tenemos que
T1
Miguel Marcos
hoops & trees
16 / 19
en el dual...
Si llamamos Tn al tagged tree dual a FreeGNPC (n ) tenemos que
T1
= 0, . . . , n − 1, ci ,n = 0
Para i
n−1 M
2n
2
Tn
con Hi
∼
=
i =0
i
y para i
= n, . . . , 2n, ci ,n = 22n−i 2nn−i
2n−1
M
− ci ,n ((Hi )⊥ , ∅⊥ ) ⊕
ci ,n ((Hi )⊥ , (Hi )⊥ )
i =n
= Spec∗ (FreeGH (i )).
Miguel Marcos
hoops & trees
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Álgebra libre de
n
generadores para GNPc-lattices
Teorema
FreeGNPC (n) ∼
=
∼
=
2nY
−1
i =0
K(( FreeGH (i ))⊥ )
2n−c
i ,n
i
×
2nY
−1
i =n
Tw ( FreeGH (2n), F ) ,
Tw (( FreeGH (i ))⊥ ,
FreeGH (i ))ci ,n
donde
F
Miguel Marcos
=
2nY
−1
i =0
((
FreeGH (i ))⊥ )
2n−c
i
i ,n
hoops & trees
×
2nY
−1
i =n
(
FreeGH (i ))ci ,n .
17 / 19
Álgebra libre de
n
generadores para GNPc-lattices
Teorema
FreeGNPC (n) ∼
=
∼
=
2nY
−1
i =0
K(( FreeGH (i ))⊥ )
2n−c
i ,n
i
×
2nY
−1
i =n
Tw ( FreeGH (2n), F ) ,
Tw (( FreeGH (i ))⊥ ,
FreeGH (i ))ci ,n
donde
F
=
2nY
−1
((
i =0
FreeGH (i ))⊥ )
2n−c
i
i ,n
×
2nY
−1
i =n
(
FreeGH (i ))ci ,n .
Corolario
#FreeGNPC (n) =
con h0
=
1 hk = Qki =−01 (hi + 1)
Miguel Marcos
k
i
2nY
−1
i =0
12
(hi + )
2n−c
i
i ,n
2
· (hi +
2hi )ci ,n
.
hoops & trees
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Álgebra libre de
n
generadores para GNPc-lattices
Teorema
FreeGNPC (n) ∼
=
∼
=
2nY
−1
i =0
K(( FreeGH (i ))⊥ )
2n−c
i ,n
i
×
2nY
−1
i =n
Tw ( FreeGH (2n), F ) ,
Tw (( FreeGH (i ))⊥ ,
FreeGH (i ))ci ,n
donde
F
=
2nY
−1
i =0
((
FreeGH (i ))⊥ )
2n−c
i
i ,n
×
2nY
−1
(
i =n
FreeGH (i ))ci ,n .
Corolario
#FreeGNPC (n) =
con h0
=
1 hk = Qki =−01 (hi + 1)
Miguel Marcos
k
i
2nY
−1
i =0
12
(hi + )
. (Observar que
2n−c
i
1
i ,n
#FreeGNPC ( ) =
hoops & trees
2
· (hi +
2hi )ci ,n
256)
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Referencias
S. Aguzzoli, S. Bova and B. Gerla, Chapter IX: Free Algebras and
Functional Representation for Fuzzy Logics from Handbook of
Mathematical Fuzzy Logic. Volume II. Studies in Logic. College
Publications. 2011.
Busaniche, M., Cignoli, R.: Residuated lattices as an algebraic
semantics for paraconsistent Nelson logic. J. Log. Comput.
19,
1019-1029 (2009).
Busaniche, M., Cignoli, R.: Commutative residuated lattices
represented by twist-products, Algebra Universalis
71, 5-22 (2014).
nd
Mac Lane, S.: Categories for the Working Mathematician. 2
edition,
Graduate Texts in Mathematics, Volume 5, Springer, Berlin, (1998).
Odintsov, S. P.: Constructive Negations and Paraconsistency. Trends in
Logic-Studia Logica Library 26. Springer. Dordrecht (2008).
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