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Técnicas De Conteo
Si en el experimento de lanzar la moneda no cargada, se lanzan 5 monedas y
definimos el evento A: se obtienen 3 caras, ¿cómo calcular la probabilidad del
evento A?, si todos los resultados son igualmente probables, entonces:
Observe que esta formulación requiere conocer solamente el número de
resultados tanto en el numerador como en el denominador; es decir, no es
necesario enumerar todos y cada uno de los elementos del evento A y del espacio
muestral S, solamente se requiere conocer cuántos elementos tiene cada uno de
estos conjuntos ¿Cuántos resultados posibles tiene el espacio muestral en este
caso? ¿Cuántos son favorables al evento A?, y si se lanzan k monedas, ¿Cuál es la
probabilidad de A? [1]
En este caso si k es grande, no es tan sencillo hacer un conteo exhaustivo de los
puntos o resultados de S.
Si el experimento consiste en seleccionar al azar un carro para anotar su placa,
¿Cuantas posibles placas se pueden tener? ¿Cuál sería la probabilidad de que la
placa tenga las iniciales de su nombre? Se requiere entonces de técnicas que
permitan contar rápidamente los elementos o resultados de un experimento
Módulo: Fu da e tos de I fere cia Estadística
Doce te: Gustavo Vale cia Z
Por ejemplo, suponga que se quiere comprar un coche nuevo. Para ello le ofrecen
cuatro modelos distintos (Ford, Honda, Chevrolet y Mazda), cada uno con 5
opciones de potencia (120, 150, 180, 200 y 220 HP), 3 cilindrajes distintos (1.3, 1.8
Y 2.0 litros) y seis colores exteriores distintos (Blanco, Crema, Azul, Gris, Negro y
Verde). ¿Cuántas selecciones distintas se pueden hacer?
En este caso se tienen
Si los elementos de un espacio muestral S se pueden considerar equipobrables,
basta con conocer el número de elementos de S para hallar probabilidades.
Algunas veces representar por extensión a S puede ser un trabajo sumamente
laborioso. Las técnicas de conteo permiten determinar rápidamente el número de
elementos del espacio muestral. A continuación se presentan algunas de las
técnicas de conteo más comunes y de mayor uso en estadística
La regla del producto
Con m elementos
y n elementos
pares que contiene un elemento en cada grupo.
es posible formar m.n
Esta regla se puede extender a cualquier número de conjuntos, es decir, si una
operación puede realizarse de
formas y para cada una de estas puede
efectuarse una segunda en
formas y así sucesivamente entonces una secuencia
de k operaciones puede hacerse de
formas.
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Ejemplo (Problemática de tránsito)
Usando la regla del producto evalué cuantas placas automóvil es posible
determinar en Colombia teniendo en cuenta las siguientes condiciones:
a. Qué tanto las primeras tres letras como los tres últimos números se pueden
repetir
b. Que las tres primeras letras no se puedan repetir
c. Considere únicamente una ciudad y evalué cuantas placas se pueden definir
asumiendo que la primera letra es fija.
Solución:
a. Se asumirá que hay 26 letras que se pueden usar, que hay 32 ciudades
autorizadas para emitir placas y que se pueden usar cualquiera de los nueve
dígitos. Una placa típica en Colombia tendrá la apariencia que se ilustra a
continuación.
Letra 1
Letra 2
Letra 3
Dig 1
Dig 2
Dig 3
Ciudad
La primera letra (letra 1) se puede seleccionar de 26 formas, la segunda de 26
formas y la tercera de 26 formas; el primer dígito se puede seleccionar de 10
formas, el segundo de 10 formas y el tercero de 10 formas; el campo
correspondiente a la ciudad se puede seleccionar de 32 formas; así el número
total de placas estará dado por
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b. La primera letra se puede seleccionar de 26 formas, la segunda se puede
seleccionar de 25 formas (pues no se pueden repetir)la tercera puede
seleccionar de 24 formas; el primer dígito se puede seleccionar de 10 formas,
el segundo de 10 formas y el tercero de 10 formas; el campo
correspondiente a la ciudad se puede seleccionar de 32 formas; así el
número total de placas estará dado por
.
c. La primera letra se puede seleccionar únicamente de 1 forma, la segunda y
tercera de 26 formas cada una; el primer dígito se puede seleccionar de 10
formas, el segundo de 10 formas y el tercero de 10 formas; el campo
correspondiente a la ciudad se puede seleccionar de 1 forma; así el número
total de placas estará dado por
Permutaciones
Una permutación es el arreglo ordenado de n objetos distintos. El número de
permutaciones distintas que se pueden formar con n objetos distintos está dado
por n!
Ejemplo
¿Cuántas y cuales permutaciones pueden formarse con los números 1, 2 y 3?
Solución:
Como n = 3 el número de permutaciones está dado por 3! = 6; las permutaciones
son
.
Nota: Cono en las permutaciones importa el orden, la permutación
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De especial interés en estadística es determinar el número de permutaciones que
pueden formarse con n objetos tomando grupos de a r elementos a la vez
teniendo en cuenta el orden.
Definición: El número de permutaciones que pueden formarse con n elementos
tomando grupos de a r está dado por:
Ejemplo
Encuentre el número de formas en las que puede asignarse 6 profesores a 4
grupos si ninguno puede ocupar más de un grupo.
Solución:
El problema es equivalente a encontrar el número de permutaciones distintas que
pueden formarse con 6 elementos tomados de a 4, entonces
Observe que este problema también se puede resolver razonando como se ilustra
a continuación:
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
5
4
3
6
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Así, el número de formas distintas estará dado por
Otro problema de interés en estadística es determinar el número de subconjuntos
que pueden formarse con n objetos tomando grupos de a r elementos a la vez
sin tener en cuenta el orden.
Definición (Número combinatorio): El número de subconjuntos que puede
formarse con n elementos tomando a r está dado por
Se lee n tomados de a r
Ejemplo
Se quiere seleccionar 3 candidatos de un total de 8 ¿De cuantas formas se puede
hacer tal selección?
Solución:
Este es un problema donde no importa el orden en que se haga la selección: porlo
tanto, el número deformas estará dado por:
Ejemplo
Probabilidad de ganarse el baloto. El baloto consiste en acertar a 6 números entre
1 al 45, no importando el orden, es decir, si la combinación ganadora es (1, 2, 3, 4,
5, 6), un apostador que selecciono por ejemplo (6, 5, 4, 3, 2, 1) se ganaría el
premio mayor.
Solución:
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La probabilidad de que una persona que juega el baloto (una vez, seleccionando 6
números).
Es decir,
ó
Digamos que el acumulado (premio mayor) del baloto es de $75.000.000.000 de
pesos.
Si una persona quiere tener el 50% de la probabilidad de ganárselo tendría que
jugar 4.072.530 diferentes combinaciones (4.072.530 tiquetes de baloto)
Si cada tiquete vale $ 5.500 pesos y decide comprar 4.072.530 tiquetes, su
inversión sería de $ 22.398.915.000 de pesos, ahora bien, si se quiere tener el
100% de la probabilidad, entonces la inversión económica (2 x 22.398.915.000 = $
44.797.830.000 de pesos).
El que tenga ese dinero puede realizar este ejercicio y ganarse $ 30.202.170.000
pesos, aunque hay que compartir con el estado el 35% y no cuestionarse si hay el
suficiente tiempo de comprar los 8.145.060 tiquetes, es decir:
Inversión: $ 44.797.830.000 pesos
Ganancia aproximada: $ 19.631.410.500 pesos
¿Quién tiene 44.797.830.000 de pesos para empezar a jugar ya?
También hay que rezar que otra u otras personas no se lo ganen.
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Diferencia entre n permutaciones de a r y n tomados de a r
La diferencia entre
y
se puede ilustrar así: Suponga que en el ejemplo
anterior, los candidatos se numeran del 1 al 8; si por ejemplo se toman los
candidatos (1, 3, 5) es lo mismo que si se toman en este otro orden: (3, 1, 5) pues
son los mismos candidatos; pero las permutaciones (1, 3, 5) (3, 1, 5) pues aquí si
importa el orden (Geométricamente ambas permutaciones representan dos
vectores distintos en el espacio mientras que desde el punto de vista de los
números combinatorios ambas ternas representan el mismo subconjunto).
Ejemplo
Una lotería consiste en acertar 6 de 36 números. Calcule la probabilidad que tiene
una persona de acertar el resultado ganador bajo las siguientes condiciones de
juego:
a. Teniendo en cuenta el orden en que aparezca el número ganador.
b. Sin tener en cuenta el orden en que aparezca el número ganador.
Solución:
a. En este caso, si por ejemplo el número ganador fue (3, 31, 33, 27, 5, 12) y el
apostador tenía el (31, 3, 33, 27, 5, 12) no se gana la lotería ya que importa el
orden. Sea A: El evento de acertar el número ganador.
La
posible es
caso favorable, entonces,
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ya que todos los números se pueden considerar
solamente hay un
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b. En este caso, si por ejemplo el número ganador fue (3, 31, 33, 27, 5, 12) y el
apostador tenía el (31, 3, 33, 27, 5, 12) si se gana la lotería ya que no importa
el orden. Sea A: El evento de acertar el número ganador.
La
ya que todos los números se pueden considerar
igualmente factibles; ahora, el número de resultados posibles está dado por:
Solamente hay un caso favorable, entonces,
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