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Distribuciones de Probabilidad Discretas
Algunos experimentos a pesar de ser realizados con objetos totalmente diferentes,
tienen en esencia las mismas características; por ejemplo, de la misma forma que
un ingeniero de producción está interesado en el número de elementos
defectuosos de una línea de producción, un epidemiólogo está interesado en el
número de personas que reaccionan favorablemente con un cierto tratamiento;
otros casos comparables son los tiempos de espera en una ventanilla de un
hospital se pueden representar con un modelo que también se puede usar para
estudiar los tiempos de duración de unos componentes eléctricos.
Afortunadamente, una amplia gama de experimentos se puede explicar de manera
adecuada por medio de modelos estadísticos. La idea es clarificar que tipo de
experimento se está realizando y luego modelar apropiadamente la variable
aleatoria, es decir encontrar la forma en que se distribuye la probabilidad de la
variable.
En el caso de variables aleatorias discretas, las funciones de distribución de
probabilidad más comunes son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Función de distribución uniforme
Función de distribución binomial.
Función de distribución geométrica
Función de distribución binomial negativa
Función de distribución hipergeométrica.
Función de distribución Poisson.
Módulo: Fu da e tos de I fere cia Estadística
Doce te: Gustavo Vale cia Z
1. Función de distribución uniforme
Este es el modelo de distribución de probabilidad más simple.
En estadística, la distribución uniforme discreta, es una distribución de
probabilidad que se puede caracterizar como aquella que asigna la misma
probabilidad a todos los puntos de un espacio muestral. Si una variable aleatoria
toma cualquiera de n posibles valores que son equiprobables, entonces esa
variable aleatoria se dice que se distribuye de acuerdo a una uniforme discreta. La
probabilidad asignada a cada uno de los n valores es . Un ejemplo sencillo de una
distribución uniforme discreta es el lanzamiento de un dado no cargado. Los
valores posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. A cada uno de estos resultados se le asigna
una probabilidad de .
{
}
Una distribución uniforme discreta también se le denomina distribución
rectangular ya que la probabilidad siempre es constante.
pr ob
S UM
0. 17
0. 16
0. 15
0. 14
0. 13
0. 12
0. 11
0. 10
0. 09
0. 08
0. 07
0. 06
0. 05
0. 04
0. 03
0. 02
0. 01
0. 00
1
2
3
4
5
6
r esul t
Figura. Distribución uniforme discreta
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Algunas de las distribuciones de probabilidad discretas más usadas, se basan en un
tipo especial de experimento aleatorio. Este experimento es conocido como
Ensayo Bernoulli. Un experimento Bernoulli se caracteriza por tener solo dos
posibles resultados (usualmente llamados ÉXITO o FRACASO ).
El éxito representa un evento en el cual estamos interesados. Por ejemplo al lanzar
una moneda se tienen dos posibles resultados Cara o Sello ; en una encuesta de
opinión, el encuestado puede responder SI o NO a la pregunta formulada por el
encuestador; el resultado de un tratamiento aplicado a un paciente puede ser
favorable o no, etc. La probabilidad de que ocurra el evento de interés es
usualmente denotada p y la de fracaso 1- p. La variable aleatoria de interés en este
{ }
caso es X: Número de éxitos obtenidos. Claramente el rango de X será
Para calcular la distribución de probabilidad de X, se debe calcular la probabilidad
asociada a cada valor de X.
Asi,
Esta distribución se conoce como Bernoulli y es usualmente denotada
fácil demostrar que:
[ ]
[ ]
. Es
(Demuéstrelo)
Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda no cargada, sea X: número de caras
obtenido. Esta variable aleatoria tiene una distribución Bernoulli, con
.
Así,
.
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Considere ahora un experimento aleatorio que consiste en repetir un ensayo
Bernoulli n veces, donde cada repetición es independiente de las demás
repeticiones o ensayos. Defina la variable X: número de éxitos en los n ensayos.
Dependiendo del supuesto que se tenga para la probabilidad de éxito, se
obtendrán diferentes tipos de experimentos, cada uno de los cuales derivará una
Distribución de probabilidades diferente.
2. Función de distribución de probabilidad Binomial.
Un ensayo o experimento de Bernoulli es aquel que posee las siguientes
características:
 Cada ensayo produce un éxito o un fracaso
 Para cada ensayo la probabilidad de éxito permanece constante y se denota
como p. La probabilidad de fracaso se denota como q y es igual a 1-p (pues
p+q=1)
 Los ensayos son independientes.
Un experimento binomial es aquel que resulta de repetir n veces ensayos de
Bernoulli. Tiene las siguientes características:
 El experimento consta de n pruebas idénticas.
 Cada prueba tiene dos resultados posibles que se llamarán éxito y fracaso
 La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p, y permanece
constante de prueba en prueba. La probabilidad de fracaso es igual a q=(1-p).
 Las pruebas son independientes.
 La variable aleatoria de interés es X= # de éxitos registrados en los n intentos.
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Un ejemplo muy sencillo de este tipo de experimento es el lanzamiento de una
moneda una vez.
y se lee: X de
Si X es una variable aleatoria binomial, se dice que
distribuye como una binomial con parámetros n y p .
Para esta distribución, el rango de X está dado por
demostrar que la f.d.p de X está dada por:
{
}. Se puede
Se puede demostrar que:
[ ]
[ ]
Tarea 016
Demuestre que la f.d.p de la distribución binomial es:
Hay algo importante que hay que tener en cuenta con respecto al punto cuando se
habl´0 que las pruebas son independientes. Si la población sobre la cual se realizan
los n intentos es muy grande, el hecho de sacar un individuo no cambiará
sustancialmente la proporción de éxito y más aún, el hecho de sacar una segunda
persona tampoco alterará sustancialmente dicha proporción.
En general, cuando el tamaño de la muestra es muy pequeño comparado con el
tamaño de la población, la probabilidad de éxito permanecerá aproximadamente
igual de prueba en prueba y por lo tanto los intentos serán
aproximadamente
independientes.
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Ejemplo: Según cálculos, la probabilidad de que una persona se recupere de una
cierta enfermedad es de 0.8. Se toman 20 personas con dicha enfermedad. ¿Cuál
es la probabilidad de que al menos 10 de ellos sobrevivan?
Solución: Sea X= # de personas que sobreviven entre las 20.
Para una persona hay dos opciones: Sobrevive o muere. Se toman n= 20. El hecho
de que una persona sobreviva no afecta para nada lo que pueda suceder a otra
persona (suponemos independencia). De esta manera se puede asumir que el
experimento es binomial y así
La probabilidad pedida es
∑
Así, la probabilidad de que sobrevivan al menos 10 personas de las 20 bajo estudio
es igual a 0.99944. Por lo tanto, es casi seguro que van a sobrevivir más de 10
personas de las 20.
¿Cómo se calculó ∑
? se debe sumar cada una de las probabilidades
calculadas en cada punto hasta 9.
∑
Ahora bien, como ejemplo se calcula
( )
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( )
= 0.0004609
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Distribución Binomial n= 10, p= 0.2
Desde paquetes estadísticos es posible realizar el cálculo de este tipo de
probabilidades. Utilizando R se calculará el ejercicio anterior.
Camino 1:
> dbinom(c(9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0), 20, 0.8)
[1] 4.616849e-04 8.656592e-05 1.331783e-05 1.664729e-06 1.664729e-07
1.300570e-08 7.650410e-10 3.187671e-11 8.388608e-13 1.048576e-14
> x<-sum(dbinom(c(9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0), 20, 0.8))
> Enfermedad<-1-x
> Enfermedad
[1] 0.9994366
Camino 2:
> w<-pbinom(9,20,0.8)
> Enfermedad2<-1-w
> Enfermedad2
[1] 0.9994366
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Ejemplo: Suponga que la probabilidad de tener una antena defectuosa en una
importación es de 0.1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades
seleccionadas al azar, 3 sean defectuosas?
> dbinom(3, 20, 0.1)
[1] 0.1901199
Para dibujar la función de probabilidad de una distribución se debe utilizar la
función dbinom.
par(mfrow=c(2,1))
z<-0:20
plot(z,dbinom(z,20,0.1),type="h")
x<-rbinom(1000,20,0.1)
hist(x)
par(mfrow=c(1,1))
f.d.p – histograma del ejercicio.
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Debajo de esta función puede verse el histograma de 100 valores elegidos al azar
de esta misma variable aleatoria.
Mediante la función pbinom se puede dibujar la función de distribución acumulada
f.d.a de la va ia le aleato ia del eje i io. L op ió t pe= s es para dibujar la
función de forma escalonada.
plot(z,pbinom(z,20,0.1),type="s")
f.d.a del ejercicio.
Trate de realizar el cálculo de probabilidades por medio de R de los ejercicios
vistos. Distribuciones: Binomial, binomial negativa e Hipergeométrica. Sobre un
ejercicio, cambie los parámetros de la distribución y analice las gráficas.
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Ejemplo: Un examen de opción múltiple contiene 10 preguntas. Cada pregunta
tiene 4 opciones equiprobables de las cuales solo una es la correcta. El examen se
aprueba si se responden correctamente al menos 6 preguntas. Si un estudiante
responde al azar las preguntas:
a. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que responda menos de 5 preguntas
correctamente?
c. Si el estudiante adivina al menos tres de las preguntas ¿Cuál es la probabilidad
de reprobar el examen?
d. Halle [ ]
[ ]
Solución: Sea X= # de respuestas correctas entre las 10 que conforman el examen.
Éxito: Cuando se responde correctamente.
(
)
Asumiendo que la respuesta a las preguntas se hace de manera independiente, se
puede suponer que
(
a.
∑ (
)
b.
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)( ) ( )
∑(
)( ) ( )
Trate de realizarlo paso a paso
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c.
d.
[ ]
[ ]
Tarea 017
Consulte un ejemplo sencillo (como el que se dio en clase) donde se utilice
la distribución de probabilidad binomial y concluya sobre sus resultados.
Ejercicio: Suponga que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en
una línea de ensamblaje es de 0.05.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades seleccionadas al
azar, dos sean defectuosas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más de las veinte unidades estén
defectuosas?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 unidades estén
defectuosas?
Respuestas: a. 0.1887, b. 0.9245 y c. 0.2642
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3. Función de distribución Geométrica
Es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas
hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes
aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera. También implica la
existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las
pruebas entre sí.
Una persona lanza un dado varias veces hasta obtener un uno. ¿Cuál es el espacio
muestral asociado a este experimento?
Una manera de especificar el espacio muestral para este experimento es como
sigue. Definamos dos eventos:
E: Se obtiene un uno
F: No se obtiene un uno.
E puede considerarse como un É ito y F como un F a aso . El espacio muestral
puede verse como:
{
}
Si se quiere contar cuantas veces debe lanzarse el dado hasta obtener uno, la
asignación a cada resultado del experimento es:
Si el uno se obtiene en el lanzamiento k, entonces el resultado correspondiente es:
Recuerde el ejemplo de la máquina llenadora de latas del capítulo anterior.
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La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que se refiere al número
de intentos de Bernoulli necesarios para obtener un éxito, se conoce con el
nombre de distribución geométrica.
Si la probabilidad de éxito en cada intento es p, entonces la probabilidad de que en
el intento número k ocurra el primer éxito es:
Por ejemplo, suponga que se lanza un dado repetidamente hasta que se observa el
1 por primera vez. La distribución de probabilidad del número de lanzamientos
necesarios hasta obtener el primer 1 es una distribución geométrica con p = 1/6.
Histograma de una distribución geométrica
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Ejemplo: Suponga que se lanza una moneda repetidamente. ¿Cuál es la
probabilidad de que se requieran al menos 5 lanzamientos hasta observar la
primera cara?
Solución: Sea X= # de intentos hasta observar la primera cara. X se distribuye como
una geométrica con p= 0.5. La probabilidad pedida es:
∑
∑
Ejemplo: Suponga que el 60% de una población de votantes está a favor de un
cierto candidato A. ¿Cuál es la probabilidad, de que al entrevistar a un grupo de
votantes, se tenga que entrevistas exactamente 5 personas hasta encontrar el
primero a favor del candidato A.
Éxito: Cuando un entrevistado está a favor de A.
(
Si
)
, entonces se puede probar que:
[ ]
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[ ]
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Tarea 018
1. Consulte detalladamente la distribución binomial negativa y realice
un ejemplo.
2. Investigue los comandos o funciones en R utilizados para calcular las
probabilidades de las distribuciones discretas que se verán en este
módulo.
3. Calcule por medio de R la probabilidad de alguno de los ejercicios de
clase y compare los resultados.
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4. Función de distribución Binomial negativa
Un ensayo de Bernoulli se caracteriza por tener únicamente dos posibles
esultados ue se de o i a ÉXITO (E) o FRACASO (F). Suponga que se realiza
un experimento de Bernoulli y que la v.a de interés es X: número necesario de
intentos hasta obtener exactamente r éxitos. Puede ser que para observar r éxitos
se requieran exactamente r intentos, o r + 1 intentos y así sucesivamente; el
espacio muestral asociado con este experimento tendré los siguientes puntos,
{
}
Suponga que
Defina X: número de intentos hasta
obtener exactamente r éxitos; los valores dela v.a serán
Defina además el siguiente evento
Evento de que se requieran exactamente x intentos para obtener r éxitos.
El evento
ocurrirá si ocurre exactamente
éxitos en los primeros
intentos y el r-ésimo éxito ocurre en el x-ésimo intento será una variable binomial
con
y probabilidad de éxito p cuya f.d.p será:
Por lo tanto,
Donde
(
)
(
)
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(
)
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Esta función de probabilidad se conoce como Binomial Negativa. Aquí lo aleatorio
es el número de intentos. Se denota de la siguiente forma:
, entonces se puede probar que:
[ ]
[ ]
Ejemplo: Un científico inocula varios ratones, uno a la vez, con un germen de una
enfermedad hasta que obtiene dos que la contraen. Si la probabilidad de contraer
la enfermedad es ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que inocular
exactamente 8 ratones?
Solución:
X: número de ratones inoculados hasta observar dos que contraen la enfermedad.
Éxito: cuando un ratón contrae la enfermedad.
Puede asumirse que
: Entonces,
( )
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5. Función de distribución Hipergeométrica
En general: Suponga que una población finita tiene N elementos, cada uno de los
cuales tiene una de dos características diferentes (por ejemplo, K elementos
tienen la característica de interés y N - K no la tienen). Se toman al azar y sin
reemplazo n de estos elementos. Sea X: variable aleatoria que representa el
número de elementos que tienen la característica de interés en los n
seleccionados. Los valores que toma esta variable aleatoria son
. . En este experimento se puede observar:
( ) Formas distintas de seleccionar n objetos de N
( ) Formas distintas de seleccionar x objetos de los K
(
) Formas distintas de seleccionar n-x objetos de los N-K
Entonces,
( )(
( )
)
Definición: Suponga que una población finita tiene N elementos, cada uno de los
cuales tiene una de dos características diferentes que se denominan ÉXITO
F‘ACA“O ; suponga que K se consideran ÉXITOS y N – K F‘ACA“O“ . “e toman al
azar y sin remplazo n de estos elementos; considere la v.a X: Número de éxitos en
la muestra de tamaño n. Entonces, la función de distribución de probabilidad para
X está dada por:
( )(
( )
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)
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Esta función de probabilidad se conoce como Distribución Hipergeométrica. Se
denota como:
, entonces se puede probar que:
[ ]
El término
[ ]
(
)
se conoce con el nombre de factor de corrección por población
finita. Observe que si el tamaño de la muestra n es muy pequeño comparado con
el tamaño de la población, entonces el factor de corrección por población finita
tiende a uno y por lo tanto la varianza de la Hipergeométrica se asemeja a la
varianza de la binomial; además garantiza que la condición de independencia se
cumpla aproximadamente.
Distribución Hipergeométrica, N= 20, K=6, n= 5
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Ejemplo: Un lote con 25 antenas contiene tres en las que la variabilidad en la
protección contra radiación electromagnética artificial es inaceptable. Se toma una
muestra al azar de tres antenas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las antenas defectuosa se envié a
instalación?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las antenas inaceptables se
encuentren en la muestra?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las antenas inaceptables
se encuentre en la muestra?
Solución:
Sea X: # de antenas inaceptables en la muestra.
( )(
a.
( )
( )
)
( )
b.
c.
( )( )
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Ejemplo: Considere un grupo de ocho personas de las cuales tres son Ingenieros
de sistemas y cinco son administradores. Se toman cinco de estas personas al azar
y sin reemplazo.
a. Encuentre la distribución de probabilidades para el número de Ingenieros de
sistemas en las cinco tomadas.
b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos dos en la muestra de cinco?
Solución:
Sea X: # de Ingenieros de sistemas en las cinco tomadas.
Observe que se satisfacen las características de un experimento Hipergeométrico.
. Los posibles valores de
.
a.
( )( )
( )
En R: > dhyper(0,5,8-5,3)
[1] 0.01785714
( )( )
( )
> dhyper(1,5,8-5,3)
[1] 0.2678571
( )( )
( )
> dhyper(2,5,8-5,3)
[1] 0.5357143
( )( )
( )
> dhyper(3,5,8-5,3)
[1] 0.1785714
Así, la distribución de probabilidad de X es:
0
X
1
2
3
Observe que hay una alta posibilidad de encontrar exactamente 2 Ingenieros de
sistemas en la selección.
b.
(
> acum1<-phyper(1,5,8-5,3)
> Prob<-1-acum1
> Prob
[1] 0.7142857
)
# Distribución acumulada hasta P(X=1)
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6. Función de distribución Poisson
Aquellos experimentos donde la variable aleatoria de interés X representa el
número de resultados durante un intervalo de tiempo o en una región específica,
se denominan Experimentos de Poisson.
La variable aleatoria de interés X puede representar el número de personas que
llegan a una fila de un banco durante una hora determinada, número de errores
por página en un manuscrito, número de accidentes en una cierta región, número
de bacterias por unidad de área.
Definición: Si una variable aleatoria X representa el número de resultados que
ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región específica, se dice que X
tiene una distribución de probabilidad Poisson, entonces,
Donde es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Se
dice que
entonces se puede probar que:
[ ]
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[ ]
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Ejemplo: En una cierta intersección de una gran ciudad se reporta en promedio 5
accidentes de tránsito semanales. Encuentre la probabilidad de que en una
semana determinada ocurran menos de 4 accidentes.
Solución: sea X=# de accidentes que se reportan en la intersección en una semana.
.
∑
En R se puede calcular de la siguiente forma:
> ppois(3,5)
[1] 0.2650259
Ejemplo: El número de llamadas que llegan a una oficina es una v.a Poisson con
parámetro
a. ¿Cuál es la probabilidad de que durante tres horas se reciba al menos dos
llamadas?
b. Encuentre el intervalo de tiempo dado por L (en horas) para que la probabilidad
de que se reciba al menos una llamada sea de 0.9.
Solución:
a. Defina la siguiente v.a,
X = Número de llamadas que llegan a la oficina en tres horas,
Ahora, se desarrolla la siguiente regla de tres. Si
1 hora >
3 horas >
Así,
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La probabilidad pedida es,
b. Defina la siguiente v.a,
Y = Número de llamadas que llegan a la oficina en L horas,
Ahora, se desarrolla la siguiente regla de tres. Si
1 hora >
L horas >
Así,
Se pide el valor de L tal que,
, entonces
De esta última igualdad, se tiene que
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Tarea 019
1. Consulte y entienda en que consiste la aproximación de una v.a
Hipergeométrica a una binomial. Ilustre con un ejercicio tipo
problema.
2. Consulte y entienda en que consiste la aproximación de una v.a
binomial a una Poisson. Ilustre con un ejercicio tipo problema.
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Asociación Entre Distribuciones Discretas
Debido a la forma en que están definidas las funciones de probabilidad
Hipergeométrica, Binomial y Poisson es posible establecer relaciones entre ellas.
Estas relaciones se cumplen en el límite y bajo ciertas restricciones.
Aproximación de una variable aleatoria Hipergeométrica a una binomial.
Bajo ciertas condiciones es posible aproximar una variable Hipergeométrica a una
variable aleatoria Binomial. Una condición para poder hacer dicha aproximación es
que el tamaño de la población N sea grande comparado con n. Para lograr que la p
. Esta aproximación es
(la probabilidad de éxito) sea constante haga
particularmente buena cuando el cociente
Ejemplo: Una firma realiza una encuesta en una localidad donde hay 5000
personas en edad de votar, se sabe que aproximadamente 1000 pertenecen a un
nuevo partido político. Se toma una muestra aleatoria de tamaño n=10, ¿Cuál es la
probabilidad de que al menos tres pertenezcan al nuevo partido?
Solución: La variable aleatoria de interés es, X= # de personas que pertenecen al
nuevo partido entre los 10 seleccionados.
Observe que N=5000 se puede considerar grande con respecto a n=10; además,
. Por lo tanto, X se puede aproximar a una Binomial con
parámetros n=10 y
. Así,
∑
Si la probabilidad se calcula directamente usando la Hipergeométrica se obtiene
que,
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Aproximación de una variable aleatoria Binomial a una Poisson
Bajo ciertas condiciones es posible aproximar una variable Binomial a una variable
aleatoria Poisson. Las condiciones para que se pueda realizar dicha aproximación
son:
 Que el tamaño muestral
(o sea que n sea grande)
 Que la probabilidad de éxito
(o sea que p sea pequeña)
 Además es preciso hacer que el parámetro de la Poisson sea
Ejemplo: En un proceso de manufactura se sabe que en promedio una de cada mil
piezas resulta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de en una muestra aleatoria de
2000 piezas menos de siete sean defectuosas?
Solución: La variable aleatoria de interés es X= # de artículos defectuosos en los
n=2000 tomados. Cada artículo tomado tiene dos posibilidades: defectuoso o no
y
defectuoso. La probabilidad de encontrar un defectuoso es
permanece constante de prueba en prueba. Por lo tanto
. Como
n es grande y p es pequeño X se puede aproximar a una Poisson. La probabilidad
pedida es,
∑
> ppois(6,2)
[1] 0.9954662
∑
4
Hay una alta posibilidad de encontrar menos de 7 defectuosos en la muestra.
Usando R para calcular esta probabilidad directamente usando la binomial se
obtiene:
> Manufactura<-pbinom(6,2000,0.001)
> Manufactura
[1] 0.9954902
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Ejemplo final distribuciones Discretas
Una secretaria comete en promedio 2 errores por página en la transcripción de un
manuscrito.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una página determinada cometa menos de
tres errores?
X = Número de errores por página.
∑
b. Si se examinan 15 páginas del manuscrito ¿Cuál es la probabilidad de que se
encuentren al menos cinco con menos de tres errores? Asuma independencia.
Y = Número de páginas con menos de tres errores entre las 15 examinadas.
Éxito: cuando se encuentre una página con menos de tres errores.
Asumiendo independencia,
Ahora bien, la
que se halló en el ejemplo anterior. Así
∑
Es muy posible que se de este evento.
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c. ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que examinar exactamente 10 páginas
hasta encontrar la primera con menos de tres errores?
Z = Número de páginas por revisar hasta encontrar la primera con menos de
tres errores.
Éxito: cuando se encuentre una página con menos de tres errores.
Asumiendo independencia,
Es decir, este evento es muy improbable.
d. ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que examinar como máximo cinco
páginas hasta encontrar exactamente tres con menos de tres errores?
W = Número de páginas por revisar hasta encontrar exactamente tres con
menos de tres errores.
Éxito: cuando se encuentre una página con menos de tres errores.
Asumiendo independencia,
∑
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