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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
GENERACION DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
3.1
Funciones senoidales
Los sistemas actuales de generación de energía eléctrica, presentan una característica
senoidal, cuya forma genérica para una fuente de tensión es la se muestra en la figura 3.1.
Función senoidal
Tensión
Um
t
T
Figura 3.1 Forma de onda senoidal
u(t) = Um sen t
Siendo:
Um: Amplitud de la onda senoidal
t : Argumento
: Frecuencia angular (Radianes / segundo)
T : Período de oscilación
Se define como frecuencia (f) a la cantidad de períodos por segundo ó sea:
f
1
[Hz]
Ciclos por segundo ó Hertz
T
Luego la frecuencia angular será:
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2
2
f
T
En el caso en que la función tenga un ángulo de fase
la expresión es la siguiente:
u(t) =Um sen ( t + )
En esta función el fenómeno ocurre / radianes antes, lo cual indica que la misma
adelanta a u(t) = Um sen t, según se muestra en la figura 3.2.
Función senoidal
Tensión
Um
t
T
Figura 3.2 Función senoidal con ángulo de fase inicial
3.2
Inducción electromagnética
En todo conductor que se mueve a través de un campo magnético, se induce una fuerza
electromotriz de acuerdo a la Ley de Faraday. En la figura 3.3 está dibujado un conductor en
movimiento a través de un campo magnético, el cual se ha representado por sus dos “polos
magnéticos” norte (N) y sur (S).
N
Líneas de campo
magnético
Dirección del
movimiento del
conductor
S
Figura 3.3 Movimiento de un conductor dentro de un campo magnético
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El sentido de dicha fuerza electromotriz, es tal que la corriente que genera, provoca un
campo magnético alrededor de dicho conductor, cuyo efecto es oponerse a la causa que lo creó.
En el esquema podemos observar que la fuerza electromotriz inducida, tiene sentido
entrante al plano del dibujo, lo que provoca una fuerza en el conductor que se opone al sentido del
movimiento.
Dicho sentido se puede obtener de la siguiente forma práctica:
Se coloca la palma de la mano derecha en posición tal que reciba el flujo originado
por el campo magnético, el pulgar deberá tener el sentido del movimiento y el resto
de los dedos nos indica el sentido de la fuerza electromotriz inducida.
El valor de la fuerza electromotriz inducida generada es el siguiente:
E B l v B l
Donde:
B
l
v
d
d
Φ
t
t
(
Flujo magnético
)
tiempo
: Inducción magnética en [Tesla]
: Longitud del conductor bajo la acción del campo magnético [metros]
: Velocidad de desplazamiento del conductor [metros / segundo]
: Distancia recorrida por el conductor en un tiempo “t” [metros]
: Valor del flujo magnético [Weber]
=B.d.l
3.3 Generador elemental de tensión alterna
En la figura 3.4, se ha dibujado un generador elemental de corriente alterna.
Eje de
giro
N
S
Bobina de “N” espiras
Anillos rozantes
Escobillas
+
-
Figura 3.4 Generador elemental de corriente alterna
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El mismo consta de un imán permanente ó electroimán, el cual produce un campo
magnético constante, representado por su flujo ( ).
Entre ambos polos (Norte - Sur), se coloca una bobina de “N” espiras, montada sobre un
eje, al cual se le impone un movimiento giratorio constante por medio de una máquina impulsora
(Motor diesel, turbina de vapor, gas, etc.).
Los terminales de dicha bobina se conectan a un par de anillos rozantes fijos al eje
(Aislados eléctricamente entre si y del eje), lo cual permite a través de unas escobillas ó carbones,
la continuidad eléctrica entre la parte móvil y la fija a la cual se debe llevar la corriente.
Si analizamos los fenómenos que ocurren en la bobina en cuestión a lo largo de un giro
completo observamos:
En la posición del dibujo la bobina tiene su eje magnético coincidente con el eje
magnético del imán, por lo cual el flujo concatenado por la misma es máximo.
Al comenzar a girar la bobina, el flujo concatenado va disminuyendo hasta hacerse
cero, después de rotar un ángulo de 90 °.
Continuando en su giro las bobina vuelve a concatenar nuevamente flujo pero en
sentido contrario.
Cuando completa un giro de 180° vuelven a estar los ejes magnéticos en la misma
dirección con lo cual el flujo concatenado vuelve a ser máximo pero en sentido
contrario al inicial.
A partir de este instante vuelve a disminuir el flujo hasta hacerse cero cuando
completa un giro de 270°
Desde esta posición la bobina vuelve a concatenar flujo en el sentido inicial, hasta
hacerse máximo con el giro completo de la misma.
Si analizamos el flujo concatenado para una posición cualquiera de la bobina en estudio, al
girar un ángulo , tal como se observa en el gráfico de la figura 3.5.
S
N
Figura 3.5 Flujo concatenado por una bobina
=
sen
= t
=
(Flujo concatenado)
(Velocidad angular por tiempo)
sen t
La bobina efectúa “f” revoluciones por segundo, siendo “f” la frecuencia, y como cada
revolución comprende 360°, su velocidad angular en radianes será:
=2 f
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De acuerdo a la ley de Faraday - Lenz es:
e
N
d
N
cos
t
dt
Em = N
e = Em cos t
Lo cual nos lleva a obtener una fuerza electromotriz en los terminales de la bobina cuya
variación en el tiempo es de características senoidales (debido al instante en el cual se efectuó el
análisis en nuestro caso es cosenoidal).
Si se representan los valores instantáneos del flujo concatenado por la bobina y la f.e.m.
inducida en la misma, vemos que cuando el flujo concatenado es máximo la f.e.m. inducida pasa
por su valor mínimo y cuando es mínimo, la f.e.m. inducida es máxima. Esto nos indica que entre
ambos hay un desfasaje de 90°, tal cual se observa en la figura 3.6.
Flujo
magnético
Fuerza electromotriz
inducida
t
Figura 3.6 Valores instantáneos del flujo concatenado
y la fuerza electromotriz inducida
1.4
Corriente alterna
Representación de funciones senoidales por vectores
y números complejos
Sea una magnitud cualquiera, por ejemplo una tensión de las siguientes características:
u(t) = Um sen ( t + )
Tomemos ahora un par de ejes ortogonales a – b, de acuerdo con la figura 3.7.
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a
Um
Um sen ( t + )
Um
t
Um sen
b
Figura 3.7 Diagrama de vectores armónicos
Tracemos al origen y con un ángulo respecto de la horizontal, un vector que en la escala
adecuada represente la amplitud Um de la función.
Hagamos girar dicho vector, alrededor del origen de coordenadas y con una velocidad
angular , en sentido antihorario. Al cabo de un tiempo “t” dicho vector habrá llegado a la posición
t+ .
Si tomamos la proyección de dicho vector sobre el eje vertical, la misma estará
representando a través del tiempo el valor instantáneo de la función considerada.
Cualquier magnitud cuya variación en el tiempo sea senoidal, puede ser representada
mediante este diagrama de “Vectores armónicos”.Si se considera el par de ejes sobre un plano
complejo, en el cual el eje de abscisas es el real y el eje de ordenadas el imaginario, el vector
corresponderá a un número complejo, cuyo módulo es Um y su argumento es el ángulo , el cual se
puede escribir:
j
Um =Um e = Um
En forma exponencial y polar respectivamente, siendo:
j
-1
Al estar girando con velocidad angular , el vector estará representado por la función:
j( t + )
U m = Um e
= Um cos ( t + ) + j Um sen ( t + )
De aquí observamos, que si trabajamos con una función senoidal debemos tomar la parte
imaginaria ó sea:
j( t + )
Um = Imag.[ Um e
] = Um sen ( t + )
Si en cambio trabajamos con la función coseno, debemos tomar la parte real:
j( t + )
Um = Real [Um e
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] =Um cos ( t + )
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Diagramas fasoriales
Si en lugar de utilizar los valores máximos ó amplitud de las funciones, utilizamos los
valores “eficaces” a dicho diagrama le daremos el nombre de Fasorial.
El valor eficaz de una función periódica se define como la raíz cuadrada del valor medio del
cuadrado de la función. Si la función es de la siguiente característica:
u(t) = Um sen ( t + )
Uef
1
T
2
T
0 Um
2
su valor eficaz será:
sen ( t
)dt
Para una función de características senoidales el valor eficaz de la función es:
Uef
Um
2
Un diagrama fasorial muestra la magnitud y el ángulo de fase de cada cantidad fasorial en
el plano de los números complejos. Los ángulos se miden en el sentido antihorario y a partir del eje
real positivo, y las magnitudes a partir del origen de coordenadas.
Para indicar que el vector que se está analizando es un fasor, se lo identifica: con la letra
en negrita, colocándole una raya ó un punto sobre la letra.
U, U, U
Tomemos por ejemplo dos funciones como las siguientes:
u(t) = Um sen t y
i(t) = Im sen ( t - )
Vemos que la segunda atrasa un ángulo “ ” a la primera, por lo tanto su representación
fasorial con sus valores eficaces “U” e “I”, para t = 0, es el dibujado en la figura 3.8.
U
I
Figura 3.8 Diagrama de fasores
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Resistores
Al aplicar una tensión alterna senoidal sobre un resistor puro, la corriente que circula por el
mismo será de acuerdo a la ley de Ohm:
+
iR
u
R
u(t) = Um sen t
iR (t)
u(t)
Um
R
R
sen
t
Ambos valores están en fase y su representación instantánea y fasorial (Para t= 0), es
dibujada en la siguiente figura 3.9.
Tensión
Corriente
U
t
IR
Figura 3.9 Diagrama de valores instantáneos y fasorial
Correspondiente a carga óhmica pura
A los efectos de no trabajar con los valores instantáneos de la corriente y la tensión, se
define el valor eficaz de los mismos.
El valor eficaz de la corriente alterna es igual numéricamente a la intensidad de una
corriente continua tal que, en un intervalo de tiempo igual a un período, libera en una resistencia
una cantidad de calor igual a la que libera la corriente alterna.
El calor producido en una resistencia por efecto Joule está dado por:
2
cc
Pcc = I
R
En corriente alterna el valor instantáneo de la potencia es:
2
2
m
pca = (Im sen t) R = I
2
Como: sen
2
sen
tR
t = ½ (1 - cos 2 t)
nos quedará:
2
pca = (R I m/2) (1 - cos 2 t)
El gráfico correspondiente se observa en la figura 3.10.
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Corriente
Potencia
t
Figura 3.10 Valores instantáneos de la potencia sobre un resistor
Se hace notar que la función potencia en corriente alterna es de frecuencia doble de la
corriente que circula. La potencia media se obtiene hallando el valor medio de la expresión de pca ó
sea el área bajo la curva de pca y dividiéndola por el período, siendo su valor:
pca
R Im
2
Luego
2
2
Icc R
R Im
2
De aquí :
Icc
2
2
Im
2
2
Siendo su valor eficaz : Ief
Im
2
2
Im
2
Inductores
En un inductor ideal, por el cual circula una corriente de valor:
iL(t) = ILm sen t
+
iL
u
L
u(t) L
diL
Aparecerá en sus bornes una tensión
cuyo valor estará dado por:
(L : Autoinducción en Henry)
dt
u(t) L ILm
Llamaremos a
L = XL
cos
t ILm L
sen ( t
)
2
Reactancia inductiva [ ]
Um = ILm XL
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Observamos que la tensión tiene un adelanto de 90°, con respecto a la corriente, con lo
que sus diagramas de valores instantáneos y fasorial (Para t = 0) son los dibujados en la figura
3.11.
Tensión
U
Corriente
t
IL
Figura 3.11 Diagrama de valores instantáneos y fasorial
correspondiente a carga inductiva pura
Las relaciones entre los valores eficaces está dado por:
U = XL IL
Si tenemos en cuenta estos valores como fasores:
U=
j /2
L IL e
=j
L IL
j /2
e
=j
O sea que la multiplicación por “j” hace girar el vector un ángulo de 90° en el sentido
antihorario, con lo que nos queda expresado matemáticamente el desfasaje de 90° entre un fasor y
el otro.
Por lo tanto para dejar expresado este desfasaje que se produce en un inductor,
asociaremos “j” a su reactancia y al conjunto lo llamaremos impedancia inductiva:
ZL = j X L [ ]
Capacitores
En un capacitor ideal al cual le aplicamos una tensión
u(t) = Um sen t
La corriente que circulará por el mismo será:
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+
iC
u
C
i C (t) C
du
C (Capacidad en Faradios)
dt
i C (t) C Um
cos
t Um
C sen ( t
)
2
Lamaremos a :
1
Xc
Reactancia capacitiva [ ]
C
Um
ICm
Xc
En este caso la corriente tiene un adelanto de 90° con respecto a la tensión, lo que se
observa en los diagramas de la figura 3.12
Lo cual se toma en cuenta en el cálculo fasorial
IC
U
-j
e
Xc
Llamaremos a ZC = - j XC
2
U
- j Xc
Impedancia capacitiva [ ]
Tensión
IC
Corriente
t
U
Figura 3.12 Diagrama de valores instantáneos y fasorial correspondiente a
carga capacitiva pura
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
3.5
Agrupamiento de impedancias
Conexión en serie de resistor, inductor y capacitor
UR
UL
j XL
R
+
I
U
- j XC
UC
Figura 3.13 Agrupamiento de impedancias en serie
Conectando una impedancia a continuación de la otra, efectuamos una conexión que se
denomina “serie”, según se observa en la figura 3.13. Si a este agrupamiento le aplicamos una
tensión U, circulará una corriente I, que es la misma en cada elemento.
Las caídas de tensión en cada elemento están dadas por:
UR = R I
UL = j X L I
UC = - j X C I
De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la tensión aplicada será igual a la suma fasorial
de las tensiones parciales. Luego:
U = UR + UL + UC
y reemplazando nos queda:
U = R I + j XL I - j XC I = I (R + j XL - j XC) = I [R + j (XL - XC)]
El término “R + j (XL - XC)” es la impedancia equivalente entre los terminales A - B
I
Z = R + j (XL - XC)
U
Z
Esta impedancia equivalente tiene un módulo dado por:
Z
R
2
Arc tg (
(X L - X C )
XL
XC
2
y un ángulo determinad o por :
)
R
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
La representación vectorial de la impedancia se puede observar en el gráfico de la figura
3.14.
j
De acuerdo a los valores de
XL ó XC, la impedancia
resultante
tendrá
características “óhmico inductivas” u “óhmico –
capacitivas”. En el gráfico se
ha
representado
una
impedancia
en
la
que
prepondera la reactancia
inductiva
j XL
- j XC
Z
R
Figura 3.14 Diagrama vectorial de impedancias
Conexión en paralelo de resistor, inductor y capacitor
En este tipo de conexión todos los elementos reciben la misma tensión según se observa
en la figura 3.19.
I
+
R
U
j XL
- j XC
IL
IR
IC
Figura 3.19 Impedancias conectadas en paralelo
Las corrientes que circularán por cada elemento tendrán los siguientes valores:
IR
U
IL
R
U
IC
j XL
U
- j XC
La corriente total está dada por la suma fasorial de las corrientes en cada elemento:
I = IR + IL + IC
I
Que reemplazando sus valores nos queda:
U
U
U
R
j XL
- j XC
U(
1
1
R
j XL
1
)
j XC
I = U (G - j BL + j BC)
Siendo la admitancia del circuito:
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Y = G - j BL + j BC (Inversa de la impedancia equivalente)
1
Si llamamos :
G
Conductancia [Siemens]
R
1
- j BL
j XL
1
Susceptancia inductiva [Siemens]
j BC
- j XC
Susceptancia capacitiva [Siemens]
I = U. Y
Su representación gráfica es la de la figura 3.20.
j
G
j BC
Y
- j BL
Figura 3.20 Diagrama vectorial de admitancias
Donde :
Y
G
2
Arc tg
(B C
BL )
(B C
BL )
2
G
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
3.6
Métodos de resolución de circuitos
Los métodos estudiados en corriente continua son validos para alimentación con fuentes
senoidales, planteando las ecuaciones correspondientes, teniendo en cuenta que se trabaja con
impedancias, tensiones y corrientes fasoriales. A tales efectos presentaremos las ecuaciones en
forma matricial.
Ecuaciones de mallas
Z11
– Z 12
- …… – Z 1n.
- Z 21
Z 22
- ....... – Z 2n
I1
.
………………………………..
- Z n1.
– Z n2.
- ……
Z nn
E1
I2
=
E2
..
..
In
En
Las impedancias que tienen los dos subíndices iguales, se llaman impedancias propias de la
malla, y es la suma de las impedancias que se encuentran al recorrer la malla mencionada.
Las impedancias que tienen los dos subíndices distintos, se llaman impedancias comunes a
ambas mallas.
La columna de las fuerzas electromotrices, son las de malla y su valor se obtiene como la
suma fasorial de las fuerzas electromotrices que se encuentran al recorrer la malla, con signo
positivo si se pasa de menor a mayor potencial y negativo en caso contrario.
Ecuaciones de nodos
YAA
– YAB
- …… – YAN.
- YBA
YBB
- ....... – YBN
………………………………..
- YNA.
– YNB.
- ……
YNN
.
UA
Σ YA. EA + Σ IA
UB =
Σ YB. EB + Σ IB
..
………………….
UN
Σ YN. EN + Σ IN
Las admitancias que tienen los dos subíndices iguales, representa la suma de las admitancias
de las ramas que concurren a ese nodo.
Las admitancias que tienen los dos subíndices distintos, es la suma de las admitancias de las
ramas que unen dichos nodos.
El segundo miembro de cada una de las ecuaciones contiene la suma fasorial de los productos
de la fuerzas electromotrices por las admitancias correspondientes a todas las ramas que
concurren a ese nodo, con signo positivo si originan corriente entrante a ese nodo y a esto se
le deben sumar fasorialmente las corrientes que puedan originar fuentes de corriente.
Teoremas
Los teoremas que se estudiaron en corriente continua, son aplicables a este estado de
régimen senoidal, teniendo en cuenta que se está trabajando en forma fasorial.
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
3.7
Potencia en sistemas monofásicos
Convención de signos
En todo circuito eléctrico es de suma importancia determinar la potencia que se genera y
que se absorbe.
Todo aparato eléctrico tiene una capacidad para transformar energía eléctrica en otro tipo
de energía (Eléctrica, calorífica, mecánica, etc.), lo cual hace que el cálculo de la potencia
asociada sea de suma importancia.
La potencia instantánea está dada por el producto del voltaje instantáneo por la corriente
instantánea.
A los efectos de definir si la potencia es entregada ó absorbida por el elemento en estudio,
adoptaremos la siguiente convención de acuerdo a los diagramas de la figura 3.21 y 3.22.
a) Fuentes de tensión
u
u
i
i
-
Entrega potencia
Absorbe potencia
Figura 3.21 Esquemas para determinar el sentido
de flujo de potencia en fuentes de tensión
b) Fuentes de corriente
+
i
u
Entrega potencia
i
u
+
Absorbe potencia
Figura 3.22 Esquemas para determinar el sentido de flujo
de potencia en fuentes de corriente
Elementos pasivos
El resistor es un elemento que absorbe energía y la transforma en forma irreversible. El
inductor y el capacitor por ser elementos que tienen capacidad de acumular energía en forma de
campo magnético y eléctrico, lo que permite que absorban ó entreguen energía durante pequeños
lapsos de tiempo. En la figura 3.23 se muestra los sentidos del flujo de potencia en los elementos
considerados pasivos.
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
u
u
-
+
+
-
R
R
Absorbe potencia
Absorbe potencia
i
u
i
u
-
+
+
-
L
L
i
i
Absorbe potencia
Entrega potencia
u
u
-
+
i
+
-
C
i
Absorbe potencia
C
Entrega potencia
Figura 3.23 Esquemas para determinar el sentido de flujo
de potencia en elementos pasivos
3.7.1
Potencia instantánea
i(t)
+
R
u(t)
-
L
Figura 3.24 Circuito compuesto por una resistencia y un inductor en serie
Si analizamos la potencia instantánea entregada por una fuente de tensión senoidal a un
elemento de un circuito, conformado por un resistor y un inductor como se muestra en la figura
3.24, el valor de la misma esta dado por:
p(t) = u(t) . i(t)
Siendo :
u(t) = Um sen t
i(t) = Im sen ( t - )
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Um
Im
R
2
2
2
L
L
Arc tg
R
p(t) = Um sen t . Im sen ( t - )
De acuerdo a la siguiente identidad trigonométrica:
sen ( t - ) = sen t cos
- cos t sen
p(t) = Um Im sen t (sen t cos
2
p(t) = Um Im (sen
t cos
con lo que nos queda:
- cos t sen )
- sen t cos t sen )
(1 - cos 2 t)
2
sen 2 t
sen t cos t
2
Um Im
p(t)
[(1 - cos 2 t) cos
2
sen 2 t
- sen 2
t sen ]
De acuerdo a la definición de valores eficaces esta ecuación quedará:
p(t) = U.I cos
- U.I cos 2 t cos
- U.I sen 2 t sen
De la cual podemos analizar lo siguiente:
El primer término de la ecuación es constante y representa el valor
medio de la función, ya que los dos términos siguientes al
integrarlos en un período, su valor es cero, ó sea que
P = U.I cos (Potencia media, ó Potencia activa)
La frecuencia de la potencia instantánea es dos veces la frecuencia
de la corriente ó de la tensión.
En el gráfico de la figura 3.25 vemos superpuestos los valores de tensión, corriente y
potencia instantáneos, para un circuito que presenta características “óhmico-inductivas”.
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Potencia
Tensión
P
+
+
4
3
0
1
-
2
t
Corriente
Figura 3.25 Valores instantáneos de tensión, corriente y potencia en un circuito R-L
Vemos que la potencia instantánea, puede ser negativa y ello se debe a que siendo la red
pasiva, se está extrayendo energía almacenada en el campo magnético de los inductores ó en
el campo eléctrico de los capacitores. De la figura podemos efectuar el siguiente análisis,
utilizando la siguiente convención de signos:
La onda de corriente es
positiva con este sentido
sobre la impedancia.
La onda de corriente es
negativa con este sentido
sobre la impedancia.
i
+
u
i
-
La onda de tensión es
positiva con esta polaridad
sobre la impedancia.
i
+
u
-
-
u
+
La onda de tensión es
negativa con esta polaridad
sobre la impedancia.
Entre los instantes 0 y 1, la tensión tiene signo positivo y la corriente negativo,
lo cual nos indica que la corriente está saliendo por el borne positivo de la
impedancia, por lo tanto en este lapso de tiempo la impedancia entrega
energía al sistema la cual estaba almacenada en el campo magnético de la
bobina (Es el caso que estamos analizando)
i
+
u
-
Ing. Julio Álvarez 02/10
Entre los instante 1 y 2 tanto la tensión como la corriente tienen signo positivo,
o sea que la corriente entra por el borne positivo de la impedancia, por lo tanto
en este lapso de tiempo la misma absorbe energía del sistema.
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
i
-
u
+
Entre los instantes 2 y 3, la tensión tiene signo negativo y la corriente positivo,
lo cual nos indica que la corriente está saliendo por el borne positivo de la
impedancia, por lo tanto en este lapso de tiempo la impedancia entrega
energía al sistema.
i
-
u
+
Entre los instante 3 y 4 tanto la tensión como la corriente tienen signo negativo,
o sea que la corriente entra por el borne positivo de la impedancia, por lo tanto
en este lapso de tiempo la misma absorbe energía del sistema.
Del análisis de las curvas, se llega a la conclusión, que parte de la potencia que entrega la
fuente que alimenta el sistema, se absorbe y consume en forma irreversible y parte de ella se
acumula en los campos magnéticos ó eléctricos durante ciertos intervalos de tiempo, y a
continuación esta es devuelta al sistema. Esta energía acumulada en los campos mencionados,
oscila en el sistema entre la fuente y los elementos acumuladores, sin que la misma se
consuma, pero tanto la fuente como los conductores que la transportan deben tener la
capacidad suficiente para generar y transportar ambas.
Resistor puro
+
iR(t)
u(t)
R
Figura 3.26 Carga resistiva pura
En el caso de tener un resistor puro, según se muestra en la figura 4.6, la tensión y la
corriente sobre el mismo están en fase por lo que “ = 0”, luego, la potencia instantánea toma el
siguiente valor:
p(t) = U.IR cos
- U.IR cos 2 t cos
p(t) = P - P cos 2 t
A este valor de potencia se le da el nombre de “Potencia activa instantánea”, denominando
“P” a la potencia activa, valor que se utiliza para describir la potencia que se transforma de forma
eléctrica a no eléctrica, que en el caso de un resistor, la transformación es a energía térmica.
En el gráfico de la figura 3.27 se observan los valores de tensión, corriente y potencia
instantáneos. Cada medio período las dos funciones se hacen cero, simultáneamente.
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TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Potencia
2 .U.IR
+
+
0
P = U.IR
2
1
t
Corriente
Tensión
Figura 3.27 Valores instantáneos de tensión, corriente y potencia
con carga resistiva pura
Analicemos que ocurre en la resistencia con la tensión y la corriente:
iR
+
u
-
Entre los instante 0 y 1 tanto la tensión como la corriente tienen signo positivo,
o sea que la corriente entra por el borne positivo de la impedancia, por lo tanto
en este lapso de tiempo la misma absorbe energía del sistema.
iR
-
u
+
Entre los instante 1 y 2 tanto la tensión como la corriente tienen signo negativo,
o sea que la corriente entra por el borne positivo de la impedancia, por lo tanto
en este lapso de tiempo la misma absorbe energía del sistema.
Se observa que la potencia instantánea siempre tiene signo positivo, ya que no se
puede extraer potencia de una red puramente resistiva.
El valor medio de la potencia está dado por:
P U IR
U2
R
IR2 R
La unidad que se utiliza es el watt [W]
Ing. Julio Álvarez 02/10
60
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Inductor puro
En la figura 3.28 vemos un circuito con una carga inductiva pura.
+
iL(t)
u(t)
L
Figura 3.28 Carga inductiva pura
Con este tipo de circuito, la corriente atrasa 90° a la tensión sobre la inductancia.
Por lo tanto la potencia instantánea queda como:
p(t) = - U.IL sen 2 t
Vemos que la potencia media tiene valor cero, ó sea que no hay transformación de
energía, si no que la misma oscila entre el circuito y la fuente que lo alimenta.
El gráfico de tensión, corriente y potencia instantánea es el de la figura 3.29, en la cual
vemos que cada cuarto de período, una de las funciones se hace cero (Tensión ó corriente).
+
Tensión
Potencia
+
4
0
Corriente
-
1
3
2
t
-
Figura 3.29 Valores instantáneos de tensión, corriente y potencia
en un inductor puro
iL
+
u
-
Entre los instantes 0 y 1, la tensión tiene signo positivo y la corriente es
negativa, lo cual nos indica que la corriente está saliendo por el borne positivo
de la bobina, por lo tanto en este cuarto de período la bobina entrega energía
al sistema la cual estaba almacenada en su campo magnético.
iL
+
u
-
Ing. Julio Álvarez 02/10
Entre los instante 1 y 2 tanto la tensión como la corriente tienen signo positivo,
o sea que la corriente entra por el borne positivo de la bobina, por lo tanto en
61
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
este lapso de tiempo la misma absorbe energía del sistema, y la acumula en
forma de campo magnético.
iL
-
u
+
Entre los instantes 2 y 3, la tensión tiene signo negativo y la corriente es
positiva, lo cual nos indica que la corriente está saliendo por el borne positivo
de la bobina, por lo tanto en este lapso de tiempo la bobina entrega energía al
sistema.
iL
-
u
+
Entre los instante 3 y 4 tanto la tensión como la corriente tienen signo negativo,
o sea que la corriente entra por el borne positivo de la bobina, por lo tanto en
este lapso de tiempo la misma absorbe energía del sistema.
Se observa que durante un cuarto de período, la potencia es positiva, o sea que se
almacena en forma de campo magnético en la inductancia y durante el cuarto de período
siguiente la potencia es negativa lo cual nos indica que se extrae potencia del campo
magnético.
Capacitor puro
Sea el circuito con una carga capacitiva pura según la figura 3.30.
+
iC(t)
u(t)
C
Figura 3.30 Carga capacitiva pura
En este caso la corriente está adelantada 90° a la tensión sobre el capacitor, con lo que
la expresión de la potencia queda:
p(t) = U.IC sen 2 t
Vemos que aquí también la potencia media en un período vale cero, o sea que la potencia
oscila entre la fuente que alimenta el circuito y el campo eléctrico asociado con el capacitor. En la
figura 3.31 vemos los valores instantáneos de tensión, corriente y potencia, observando que cada
medio período una de las funciones (Tensión ó corriente) se hace cero.
Ing. Julio Álvarez 02/10
62
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Potencia
+
+
Tensión
Corriente
2
1
4
3
0
t
-
-
Figura 3.31 Valores instantáneos de tensión, corriente y potencia
en un capacitor puro
iC
+
u
-
iC
+
u
-
Entre los instantes 0 y 1, la tensión tiene signo positivo y la corriente es
positiva, lo cual nos indica que la corriente está entrando por el borne positivo
de la bobina, por lo tanto en este cuarto de período el capacitor absorbe
energía almacenándola en su campo eléctrico.
Entre los instante 1 y 2 tanto la tensión es positiva y la corriente es negativa, o
sea que la corriente sale por el borne positivo del capacitor, por lo tanto en este
lapso de tiempo el mismo entrega la energía acumulada en su campo eléctrico
al sistema.
i
-
u
+
i
-
u
Entre los instantes 2 y 3, la tensión tiene signo negativo y la corriente es
negativa, lo cual nos indica que la corriente está entrando por el borne positivo
del capacitor, por lo tanto en este lapso de tiempo el mismo absorbe energía
del sistema.
+
Ing. Julio Álvarez 02/10
Entre los instante 3 y 4 tanto la tensión tiene signo negativo y la corriente es
positiva, o sea que la corriente sale por el borne positivo del capacitor, por lo
tanto en este lapso de tiempo el mismo entrega energía al sistema.
63
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
3.8
Potencia reactiva
La potencia asociada a circuitos puramente inductivos ó capacitivos, se denomina
“Potencia reactiva”, cuya expresión para valores instantáneos está dada por:
Pr(t) = - U.I sen
sen 2 t
Siendo el valor medio en un período de la misma, igual a cero, pero para poder dimensionar la
misma se adopta:
Q = U.I sen
Potencia reactiva
Tanto la potencia activa “P” como la potencia reactiva “Q”, tienen las mismas dimensiones,
pero a los efectos de distinguirlas, se utiliza para la potencia reactiva el término VAr (Volt Amper
reactivo).
3.9
Potencia aparente
Todo aparato eléctrico está diseñado para soportar determinados valores de tensión y de
corriente. Por tal motivo su dimensionamiento no está dado por la potencia activa (Que depende de
la diferencia de fase entre la tensión y la corriente), sino por la “potencia aparente”, que está
representada por el producto de los valores eficaces de la tensión y de la corriente:
S = U.I
De aquí surge que la misma corresponde al valor máximo de la potencia activa.
Aunque la potencia aparente tiene las mismas dimensiones que las potencias activa y
reactiva, para diferenciarla se utiliza para su dimensionamiento el VA (Volt Amper).
3.10 Factor de potencia
El ángulo “ ” me define el desfasaje entre la tensión y la corriente, siendo en atraso para
un circuito óhmico inductivo o en adelanto de ser óhmico capacitivo.
El coseno de dicho ángulo se denomina “Factor de potencia”. El mismo define la relación
que existe entre la potencia activa y reactiva.
De acuerdo a lo visto hasta ahora podemos resumir los valores de las potencias:
P = U.I cos
tg
[W]
Q
P
Q = U.I sen
cos
[VAr]
S = U.I [VA]
P
S
Dado que la potencia activa es la que se transforma en otro tipo de potencia que se
aprovecha o utiliza, surge la conveniencia de que en cualquier instalación eléctrica, el factor de
potencia sea lo más cercano a la unidad, ya que en ese caso, se logra un mejor aprovechamiento
de las instalaciones.
Para un consumo de potencia activa determinada, la corriente es menor a mayor factor de
potencia, lo cual permite reducir el tamaño de los conductores alimentadores, así como las
instalaciones previstas para alimentar dicho consumo, ya que el valor de la potencia activa se
acerca a la potencia aparente, siendo esta última la que determina el dimensionamiento de todo
aparato eléctrico.
Siendo que las instalaciones eléctricas trabajan con un valor de tensión constante,
podemos ver que si la potencia activa se mantiene constante, la corriente varía de acuerdo a:
P = U.I cos
Ing. Julio Álvarez 02/10
I = P/U. cos
I = K/cos
64
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
O sea que el valor de la corriente es inversamente proporcional al factor de potencia,
llegando a valores muy elevados a medida que el ángulo “ ” tiende a 90°, pudiendo ver dicha
tendencia en el gráfico de la figura 3.32.
I
Imínima
= - 90°
= 0°
= 90°
Figura 3.32 Variación de la corriente con el ángulo de la carga
Cabe mencionar que también se verán reducidas las pérdidas por transmisión debido a la
2
resistencia óhmica propia de los conductores (R. I ) debido a la disminución de la corriente.
3.11 Potencia compleja
La potencia aparente la podemos calcular como la suma compleja de la potencia activa (P)
y la reactiva (Q).
S=P+jQ
Adoptando la convención de que la potencia reactiva inductiva tiene signo “positivo”,
podemos definir la potencia aparente compleja como:
S = U. I*
Producto del fasor tensión por el fasor corriente conjugado.
De esta forma los gráficos de potencia para los dos tipos de carga mixta son los de la
figura 3.33.
P
S
S
j QL
- j QC
Carga óhmico capacitiva
P
Carga óhmico inductiva
Figura 3.33 Gráficos de potencia
Ing. Julio Álvarez 02/10
65
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
3.12 Máxima transferencia de potencia
En ciertas ocasiones es importante poder suministrar desde una red a una carga la
máxima potencia posible, sin que el rendimiento del sistema sea lo más importante.
Para analizar en que condiciones se verifica esta situación, pasaremos a representar la
red, vista desde los terminales de la carga, como una fuente real equivalente de Thevenin, de
acuerdo a la figura 3.34.
A
I
+
ETH
ZC
ZTH
B
Figura 3.34 Reemplazo de una red de alimentación
por una fuente equivalente de Thevenin
ETH
Tensión equivalente de Thevenin
ZTH = RTH + j XTH
Impedancia equivalente de Thevenin
ZC = RC + j X C
Impedancia de carga
El valor de la corriente que circula por la carga está dado por:
E TH
I
(R TH
RC )
2
(X TH
XC )
2
La potencia suministrada a la carga tiene el siguiente valor:
2
P = I RC
Reemplazando:
2
E TH R C
P
(R TH
RC )
2
(X TH
XC )
2
En esta expresión las variables independientes son RC y XC, cuyos valores deberán ser
tales que hagan máxima la potencia suministrada. A tales efectos se deberá cumplir que:
P/ RC = 0
P
RC
Ing. Julio Álvarez 02/10
2
y
E T H (R T H
P/ XC = 0
RC )
(R T H
2
(X T H
RC )
2
Luego nos queda:
XC )
(X T H
2
2 R C (R T H
XC )
2
RC )
2
66
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
2
P
E TH 2 R C (X TH
XC
2
(R TH
RC )
XC )
(X TH
XC )
2 2
Para que esta última ecuación sea cero se debe cumplir: XC = - XTH
2
(1)
2
Y para la primera: [(RTH + RC) + (XTH + XC) - 2 RC (RTH + RC)] = 0
Al cumplirse (1)
2
(RTH + RC) = 2 RC (RTH + RC) De aquí: RC = RTH
Con lo obtenemos que la impedancia de carga debe ser conjugada de la impedancia
equivalente de Thevenin:
ZC = Z
TH
Valor de la potencia máxima transferida
Dado que el circuito presenta una impedancia total óhmica: Z = RTH + RC = 2 RC
I
E TH
2 RC
2
P
2
E TH R C
E TH
2
4 RC
4 RC
Rendimiento para potencia máxima transferida
Potencia útil
Potencia absorbida
RC I
2
RC I
R C E TH
E TH
2 R C E TH
E TH I
0,50
3.13 Compensación del factor de potencia
La mayoría de las cargas industriales presentan un factor de potencia en atraso.
Para poder mejorar el factor de potencia de estas cargas se adicionan capacitores a la
línea que alimenta a las mismas, lo que se observa en la figura 3.35.
I
IRL
IC
+
~-
C
Línea de alimentación
Carga
Figura 3.35 Agregado de capacitores a un sistema de cargas
Ing. Julio Álvarez 02/10
67
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
En función de las cargas instaladas, y teniendo en cuenta que no todo funciona en forma
simultánea, tendremos un factor de potencia medio de acuerdo al siguiente cálculo:
Pm =
Potencias activas parciales x Coeficiente de simultaneidad
Qm =
Potencias reactivas parciales x Coeficiente de simultaneidad
Sm
Pm2
tg
m
2
Qm
Qm
Pm
Al adicionar un elemento reactivo, modificamos la potencia reactiva, de forma tal de llegar
al valor deseado, y cuyo ángulo llamaremos R.
En el gráfico de la figura 3.36, vemos el diagrama de potencias y como se modifica con el
agregado de capacitores en paralelo.
Qm
Sm
QC
SR
QR
m
R
Pm
Figura 3.36 Variación de las potencias con el agregado de capacitores
Del gráfico obtenemos:
QR = Qm - QC
QC = QT - QR
Qm = Pm tg
m
QR = Pm tg
R
QC = Pm (tg
- tg
m
R)
Como los capacitores se colocan en paralelo con las cargas:
QC
C
Ing. Julio Álvarez 02/10
U
2
U
2
C
1
ω C
XC
Pm (tg
tg
m
ω. U
2
R)
QC
ω U
2
[F]
68
TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Desde el punto de vista de las corrientes, la corriente que alimenta el sistema se reduce
con el agregado de los capacitores mencionados, siendo el esquema fasorial correspondiente el de
la figura 3.37.
R
U
I
m
IC
IRL
Figura 3.37 Diagrama fasorial resultante del agregado de capacitores en paralelo
Ing. Julio Álvarez 02/10
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