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CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.
Tema 9.- La corriente alterna en los elementos
lineales
Desarrollo del tema.1. Concepto de elementos lineales. Excitación sinusoidal.
2. Circuito resistivo. Los valores eficaces y la potencia.
3. Circuito inductivo. Los valores eficaces y la potencia.
4. Circuito capacitivo. Los valores eficaces y la potencia.
5. Concepto de Impedancia.
6. El cuerpo de los números complejos C. La representación de
los números complejos.
7. La representación de las magnitudes eléctricas en función de
los números complejos.
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Tema 9.- La corriente alterna en los elementos
lineales
1. Concepto de elementos lineales. Excitación sinusoidal.
Cuando a un sistema se le somete a una excitación externa mediante una función, éste
reacciona mediante una función respuesta. Se dice que el proceso está guiado por elementos lineales
si se cumple:
a. Existe una combinación lineal entre las funciones excitatrices:
k1 . E1 (t) + k2 . E2 (t) + ...
b. Existe una combinación lineal entre las funciones respuestas:
k´1. S1(t) + k´2 . S2(t) + ...
c. Existe una igualdad entre las excitaciones y las respuestas:
k1 . E1 (t) + k2 . E2 (t) + ... = k´1. S1(t) + k´2 . S2(t) + ...
En el caso de que la función excitación sea sinusoidal, se dirá que los elementos son lineales
cuando la función respuesta es también sinusoidal(seno o coseno) con la misma frecuencia.
Existen tres elementos lineales:
a. Elementos resistivos.
b. Elementos inductivos.
c. Elementos capacitivos.
2. Circuito resistivo. Los valores eficaces y la potencia.
Cuando al siguiente circuito le aplicamos la entrada a un osciloscopio se puede observar las
imágenes siguientes:
V=56,6V
F=50 Hz
2
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lineales
2
t = 80 sen 2 . π . 50 . t
T
La pantalla del osciloscopio mostrará:
U = U0 sen ω t = 80 sen
80 V
T = 0,02 s
Si la intensidad es el cociente entre el potencial y la resistencia:
I =
U
R
=
Uo sen  . t
R
= 0,08 sen 2 . π . 50 . t (A)
I = I0 sen ω t . ;; U0 = I0 . R
Si en lugar de trabajar con los valores máximos, se utilizan los valores eficaces:
Uef. = R . Ief
 2 . Uef.=R .  2 I ef.
En un circuito de corriente alterna con un resistor, la ley de Ohm se cumple tanto para los
valores máximos como para los valores eficaces y las ondas de tensión y de intensidad se
encontrarán en fase.
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La potencia se calculará mediante la siguiente expresión:
P = U . I = U0 sen ω t . I0 sen ω t = U0 . I0 sen 2ω t
De acuerdo a las relaciones trigonométricas se cumplirá:
1 = sen2 ω t + cos2 ω t
cos 2ωt = sen2 ω t - cos2 ω t
Resolviendo el sistema :
1−cos 2 t
;;; P = Uef . Ief ( 1 - cos 2ωt )
2
sen2 ω t
=
La potencia generada tiene forma pulsante cuya frecuencia es el doble de la intensidad y
tensión y su valor máximo será 2 Uef . Ief y su valor mínimo será el 0 W.
El valor máximo de la potencia será , P = I0 . U0
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Para calcular la potencia media, se deberá determinar el valor medio de la integral:
T
Pmedia =
1
1−cos 2 ω t
.∫ U . I .(
)dt
T 0 0 0
2
Los límites de la integración serán de 0 a T.
Al calcular la integral se obtiene el valor :
P=
I 0. U0
=I ef .U ef =R . I 2ef
2
Se define como intensidad eficaz de una corriente alterna como la intensidad de corriente
continua que en una misma resistencia disipa la misma energía por unidad de tiempo que en el caso
de la corriente alterna.
Problema 1.- Se conecta a una resistencia de 1 kΩ una fuente de alimentación de AC 56,6
V y 50 Hz de frecuencia ( ver la figura del osciloscopio) . Calcular la potencia que se disipa en
dicha resistencia y el valor de la potencia instantánea 4 ms después de haberse hecho nula la
tensión decreciendo en el ciclo.
Datos .- R = 1 kΩ ;; Uef = 56,6 V ;; f = 50 Hz ;; t = 0,004 +T/2 = 0,014 s
Resolución.-
2
P=R . I ef =
U 2ef 3200
=
=3,2 W
R 1000
2
U 20
80
2
Pinst =U 0 . I 0 . sen ω t=
sen 100 π . t=
sen 2 100 π . 0,014=5,79W
R
1000
2
El cálculo del seno se realizará teniendo en cuenta que el argumento está medido en
radianes.
3. Circuito inductivo. Los valores eficaces y la potencia.
En este caso se coloca una bobina de coeficiente de autoinducción 1 mH, a la que se aplica
una corriente alterna :
U = U0 . sen ω t .
Por la ley de Fareday de la autoinducción :
Uin = - L .
dI
dt
Aplicando las leyes de Kirchhoff para la malla constituida :
Σ U = Σ I . R ;; Como en nuestro circuito no existen resistencias:
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Σ U = 0 = U + Uin
dI
dt
U0 . sen ω t - L .
dI=
= 0 ; al separar variable diferenciales se obtiene :
U0
U
−U 0
U
. sen ω t . dt →I = 0 ∫ sen ω t .dt=
cos ω t= 0 sen ( ω t− π )=I 0 . sen ( ω t− π )
L
L
L. ω
L .ω
2
2
La onda de la intensidad se encuentra desfasada con relación a la tensión. En este caso se
encuentra retrasada en π/2 radianes.
U0
según esto, existirá una impedancia inductiva o inductancia, que es la
L.ω
I0 =
resistencia debida a la bobina : XL = L . ω
En el caso de que la referencia de la onda sea la intensidad:
I = I 0 sen ω t
U = U0 sen ( ω t +

) = U0 cos ω t
2
Problema 2.- Una bobina de 100 mH de autoinducción, se conecta a una fuente de
alimentación de 220 V y 50 Hz de frecuencia . Calcular la Intensidad eficaz que circula por el
circuito y su valor instantáneo sabiendo que el origen de tiempos es el momento que la
intensidad comienza a aumentar partiendo del valor nulo.
Datos .- L = 0,1 H ;; Vef = 220 V ;; f = 50 Hz ;;
Resolución .- I
ef
=
U ef
=
L.ω
I = I 0 sen ω t =
220
= 6,3 A
0,1 2 50
 2 Ief sen ω t = 9,00 sen 314 t ( A)
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Al conectar la fuente de alimentación a un osciloscopio, la función observada es:
En el siguiente dibujo se aprecia cómo la tensión se encuentra desfasada respecto a la
intensidad y adelantada π/2
Para calcular la potencia de un circuito inductivo, se debe de tener en cuenta lo siguiente:
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1
P=U 0 cos ω . t I 0 sen ω . t= U 0 . I 0 sen 2 ω . t =I ef . U ef . sen 2 ω .t
2
P=U . I =U 0 sen( ω .t + π ) .I 0 sen ω .t=U 0 (sen ω .t .cos π +cos ω .t sen π ). I 0 sen ω .t =I ef . U ef .sen 2 ω t
2
2
2
T
P=
1
∫ I .U sen 2 ω .t dt =0
2 0 ef ef
La potencia varía senoidalmente con una frecuencia el doble que la tensión o la intensidad.
El valor medio de la potencia ( potencia activa) es nulo.
La amplitud de las oscilaciones será :
U 2ef
2
P
=U
.
I
=L
.
ω
.
I
=
M
ef
ef
ef
Representando la potencia
Lω
Cuando la tensión y la intensidad son positivas o negativas, la potencia instantánea es
positiva, almacenando energía la bobina. Cuando la tensión y la intensidad son de sentido opuesto,
la potencia es negativa y significa que la bobina cede energía; este proceso alternativamente sucede
alternativamente. Durante el primer cuarto de periodo la bobina se carga y en el cuarto siguiente se
descarga.
La energía almacenada por la bobina en un instante determinado será :
d W = P dt = L I
W=
1
2
dI
dt
I
1
2
2
2
dt = L I dI ;; W =∫ L . I . dI= L. I =L. I ef sen ω t
2
0
L I2ef ( 1 - cos 2 ω t )
La energía varía senoidalmente con frecuencia el doble que la de la intensidad
entre 0 y L I2 , apreciándose la variación en la siguiente representación:
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ef
ef
4. Circuito capacitivo. Los valores eficaces y la potencia.
Está formado por un condensador excitado por una corriente alterna sinusoidal de valor :
U = U0 sen ω t
En este caso, la fuente de alimentación genera una AC de U ef = 220 V y frecuencia f = 50
Hz. Alimenta un condensador de 100 μF de capacidad. La señal observada se envía a un
osciloscopio, cuya pantalla muestra lo siguiente :
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Con un retraso de la onda de tensión respecto a la intensidad.
Para calcular los valores instantáneos, se recurre a la derivación de la tensión respecto al
tiempo:
I=C
dU
dU
; ;U =U 0 sen ω .t ; ;
=U 0 . ω cos ω t ;; I =C U 0 ω cos ω .t
dt
dt
I =C . ω .U 0 sen( ω . t + π ) ; ; I 0 =C . ω .U 0
2
Por lo tanto, se puede definir una reactancia XC o capacitancia que es igual a :
X C=
1
→U 0=X C . I 0
Cω
Por otra parte se produce un desfase entre la tensión y la intensidad, en este caso, la
intensidad se adelanta π/2 respecto a la tensión:
U = U0 sen ω t
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I = I m sen (ω t +

)
2
La capacitancia de un circuito disminuye al aumentar la frecuencia.
Problema 3.- Un condensador de 100 μ F de capacidad se conecta a una tensión de 220 V
y 50 Hz de frecuencia (AC), según el circuito dibujado en esta sección. Hallar los valores eficaz e
instantáneo de la intensidad, suponiendo que empieza a contar el tiempo en el instante que la
intensidad comienza a aumentar, partiendo del valor nulo.
Datos.- C = 100 10-6 F ;; Vef = 220 V ;; f = 50 Hz ;;; desfase inicial = 0
Resolución : ω = 2 . π . f = 314,15 rad/s
XC =
1
= 31,83 Ω ;; Ief = Uef // Xc = 6,91 A ;; I m =
C
  2
. Ief = 9,77 A
I = I m sen ω t = 9,77 sen 314,15 t
Para calcular la potencia de un circuito capacitivo, es necesario tener en cuenta:


) = U0 I 0 sen ω t ( sen ω t . cos
2
2
1
2 sen ω t cos ω t =
U0 I 0 sen 2 ω t = Ief Uef . sen 2 ω t
2
P = U . I = U0 sen ω t . I 0 sen (ω t +
+ cos ω t sen

)=
2
1
U0 I 0
2
Según esto, la potencia varia senoidalmente con una frecuencia el doble de la tensión o
intensidad. El valor medio o promedio (la potencia activa) , vale cero P=0 .
La amplitud de la potencia será :
PM = Uef . Ief = XC . I2ef
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La magnitud así definida recibe el nombre de potencia reactiva de capacidad y se
representa por la letra Q. Se mide en voltamperio reactivo (Var) . Físicamente no es una potencia,
como en el caso de la autoinducción, esta magnitud se puede medir y resulta muy importante en los
cálculos electrotécnicos.
En la representación de la potencia en función del tiempo, se observa que cuando la tensión
y la intensidad son positivas o negativas las dos, la potencia es positiva y el condensador almacena
energía; cuando la tensión es negativa y la intensidad es positiva o viceversa, la potencia es negativa
y el condensador se descarga y pierde energía.
Si inicialmente el condensador se encuentra descargado, con tensión nula, la energía varía de
la siguiente forma:
T
T
U
dU
1
W =∫ P dt =∫ C .U
dt=∫ C .U . dU = C .U 2=C U 2ef . sen2 ω .t =C . U 2ef (1−cos 2 . ω . t )
dt
2
0
0
0
dQ
dU
=U.C .
dt
dt
La energía variará solenoidemente con una frecuencia doble de la tensión y de la intensidad,
variando sus valores entre 0 y C U2m
P=U . I =U .
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5. Concepto de Impedancia.
Como ya se ha explicado en los diferentes elementos de un circuito de AC se cumple la ley
de OHM :
Uef = R . Ief
Uef = XL Ief
Uef = XC Ief
En general R, XL y XC , reciben el nombre de impedancia Z , por lo que :
Uef = Z . Ief.
También se cumplirá que : U0 = Z I 0
6. El cuerpo de los números complejos C. La representación de
los números complejos.
Matemáticamente existe una operación no cerrada dentro de los números reales. Esta
operación es la raíz de índice par de un número R- .
Para salvar esta inconveniencia, se definen un nuevo conjunto de números imaginarios, cuya
unidad es i =  −1 . Los números imaginarios se representan en una recta perpendicular a la
recta real. La unión de los números imaginarios y los números reales, constituyen los números
complejos C, formando un cuerpo de números, pues todas las operaciones son cerradas.
Un número complejo se representa :
Recta
imaginaria
Recta Real
a = 3 , es la parte real ;; b = 4, es la parte imaginaria. M, es el módulo
a = M cos Φ ;; b = M sen Φ ;; C = M ( cos Φ + i senΦ )
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Dos números complejos son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias
también lo son:
a + b i = a´ + b´ i , si y si solo : a = a´ y b = b´
Dos números complejos son conjugados cuando :
a = a´
y b = - b´ ejemplo -2 + 3i y -2 - 3i
Dos números complejos son opuestos cuando:
a = - a´
y b = - b´
ejemplo 2 – 4 i y -2 + 4 i
Operaciones con números complejos:
a. Suma o diferencia.
(a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
(2,-2) + (-3,1) = ( 2-3 , -3+1) = (-1 , - 2) = - 1 – 2 i
b . Productos y cocientes .Aφ
.
Bξ = ( A . B)φ+ξ
523 . 4-128 = (5 . 4)23-128 = 20 -105
7. La representación de las magnitudes eléctricas de corriente
alterna en función de los números complejos.
Las magnitudes eléctricas de los circuitos eléctricos de corriente alterna, se puede usar el
sistema vectorial complejo, de tal forma que la intensidad, siempre se colocará en la recta real en el
sentido positivo.
Circuito con resistencia ( R)
El valor complejo de U , será : Uef = (R Ief, 0 )
Uef = (R Ief)0
Circuito con inductancia ( XL )
El valor complejo será Uef = ( 0 , XL Ief )
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Uef = (XL Ief)π/2
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Circuito con capacitancia ( XC )
El valor complejo será Uef = ( 0 , - XC Ief)
Uef = (XC Ief) -π/2
En la tabla de la siguiente se muestra el resumen :
Problema 4.- Una corriente alterna de frecuencia 50 Hz, posee una intensidad nula
cuando t = 0 . Calcular el valor de la intensidad a 1/16 , 1/8 y ¼ del periodo. Calcular también la
intensidad eficaz si la máxima es de 15 A.
Datos.- f = 50 Hz. ;; I 0 = 15 A.
I ef =
Resolución.
ω=
2
T
I0
√2
=10,61 A ; ; I =I 0 sen ω t =15 . sen 100 π t
ωt =
2
T
T
= 0,3926
16
= 0,7853
= 1,5707
t = T/16 ;; I = 15 sen 0,3926 = 5,74 A
t = T/8
I = 15 sen 0,7853 = 10,60 A
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t = T/4
I = 15 sen 1,5707 = 15 A
Problema 5.- A una inductancia de 5 mH, se le aplica una tensión de alterna de U = 220
sen ωt . Si la frecuencia es de 50 Hz, calcular:
a. La expresión algebraica del valor instantáneo de la intensidad.
b. La fuerza electromotriz inducida en la bobina.
Datos.- f = 50 Hz. ;; Uef = 220 V
Resolución.-
U
U
220
I =I 0 sen(100 π t− π ); ; I 0= 0 = 0 =
=140 A
−3
2
X L L. ω 5 10 . 100 π
dI
I =140 sen (100 π t− π ) ; ; U ¿ =−L =−L I 0 ω cos ( ω t− π )=L I 0 ω sen ω t=220 sen ω t
2
dt
2
Problema 6.- La potencia reactiva de una bobina, a la que se aplica una tensión de 220
V , 50 Hz es de 500 Var . Hallar el coeficiente de autoinducción de la bobina.
Resolución.-
Q 500
=
=2,27 A ; ; U ef =X L . I ef
U ef 220
U
X
220
96,92
X L= ef =
=96,92 Ω ; ; X L =ω . L; ; L= ωL =
=308 mH
I ef 2,27
100 π
I ef =
Problema 7.- Un condensador de 50 μ F se conecta a un generador de tensión U = 220
 2 sen 100 π t (V) , calcular:
a. La reactancia capacitiva del condensador.
b. La intensidad eficaz.
c. La expresión algebraica de la intensidad referida a la tensión aplicada.
Resolución.-
X C=
U
1
1
220
=
=63,66 Ω ;; I ef = ef =
=3,46 A ;; I 0= √2 . I ef =√ 2 .3,46=4,89 A
−6
ω . C 50 10 . 100 π
X C 63,66
I=I 0 sen( ω t + π )=4,89 sen(100 π t + π )
2
2
Problema 8.- Un condensador absorbe una intensidad de 10 mA a una tensión de 16 V y
frecuencia de 50 Hz. Determinar:
a . La reactancia.
b. La capacidad.
c. La potencia.
16
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lineales
Resolución.U
1
16
1
1
X C=
; ; X C = ef =
=1600 Ω ; ; C=
=
=1,98 μ F ; ; Q=I ef . U ef =16 10−2 VAr
ω.C
I ef 0.01
ω . X C 1600 .100 . π
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