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Análisis de un circuito RC con resistencia no lineal
Joaquín Castro Zini1, Lucas Provenzano1 & Emilio F. Restelli1
(1) Facultad de Ingeniería, Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Favaloro.
[email protected], [email protected], [email protected]
RESUMEN: Se estudia la carga de un condensador en serie con una resistencia que no responde a la ley
de Ohm (filamento de una lámpara incandescente).
PALABRAS CLAVES: Circuito RC, resistencia no óhmica.
1
INTRODUCCIÓN
Un circuito conformado por un condensador y un
resistor conectados en serie se conoce como
circuito RC serie. Cuando el circuito se cierra con
una fuente de voltaje, el condensador se carga
hasta que alcanza un valor máximo, al que llega
asintóticamente. Durante el proceso de carga, la
corriente en el circuito tiende a cero de la misma
manera
Es usual analizar al circuito RC cuando el resistor
tiene comportamiento óhmico. En este caso,
durante la carga, la diferencia de potencial v(t) en
el condensador está dada por:[1]
v(t ) = V0 (1 − e −t / RC ) ,
(1)
donde V0 es el voltaje de la fuente. La corriente
varía en el tiempo desde el valor inicial máximo
I0 = V0/R hasta cero según:
i (t ) =
dq
= I 0 e −t / RC .
dt
(2)
Después de un tiempo igual a RC, la corriente
disminuye a 1/e de su valor inicial, y el voltaje
alcanza el 63% de su valor final V0. El producto
RC caracteriza la rapidez de carga del
condensador y se conoce como constante de
tiempo τ:
τ = RC .
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La resistencia de un alambre como el filamento
de la lamparita, de sección uniforme A y longitud
L, está dada por: [1]
R=
(5)
ρ L
A
(6)
donde ρ es la resistividad del material. A medida
que se incrementa la corriente por la lamparita, la
temperatura del filamento aumenta, por lo que
aumenta la resistividad dependiente de la
temperatura. Además, se da el proceso de
expansión térmica, lo que modifica la longitud y
área del filamento. Como una consecuencia
global del aumento de la temperatura, la
resistencia del circuito también aumenta.[3, 4, 5]
Por la primera ley de Kirchoff, el voltaje en un
circuito RC como el estudiado en todo instante es
igual a las caídas de potencial en la resistencia y
en el condensador: [1]
ε = iR +
(3)
Luego de un tiempo, el sistema alcanza un estado
estacionario y el voltaje en el condensador
alcanza asintóticamente su valor máximo. Este
tiempo suele llamarse tiempo de establecimiento
del sistema te , que en la práctica se estima como
t e = 5τ .
El objetivo de este trabajo es estudiar en forma
detallada el proceso de carga de un condensador
en un circuito RC serie, en el caso en que el
resistor no presenta comportamiento óhmico. Para
ello usamos como resistencia del circuito el
filamento de una lamparita incandescente, cuya
resistencia aumenta a medida que aumenta la
intensidad de la corriente. [2]
q
C
(8)
donde q es la carga del condensador e i la
corriente del circuito. La expresión diferencial
respecto del tiempo de la ecuación (8) es:
0=
di
dR
1 dq
R+
i+
,
dt
dt
C dt
(9)
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que tiene en cuenta la variación de R. Teniendo
en cuenta que
i=
dq
,
dt
la corriente permitida por la lamparita (imáx = 0,3
A).
(10)
y que en el caso no-óhmico R depende de la
corriente:
dR dR di
=
,
dt
di dt
(11)
la ecuación (9) se puede reescribir como
di
1
=−
dt
C
i
.
dR
R+i
di
(12)
La ecuación (12) puede ser resuelta
numéricamente usando el método de Euler. Si se
discretiza la ecuación se obtiene:
in +1 − in
i
=− n
t n +1 − t n
C
1
dR
Rn + i n
di
.
(13)
n
Aquí, n hace referencia al enésimo paso en el
tiempo. Si la corriente in en el paso n es conocida,
se puede escribir la corriente en el siguiente paso
de la siguiente forma:
in +1
⎡
in ⎢⎢ t n +1 − t n
= in −
dR
C⎢
⎢ Rn + in di
⎣
⎤
⎥
⎥.
⎥
⎥
n ⎦
(14)
La ecuación (14) da lugar al modelo numérico
que se utiliza en el presente trabajo para el
análisis de los datos. A partir del modelo se
analiza el comportamiento de la corriente del
circuito en estudio.
2
METODO EXPERIMENTAL
Para llevar a cabo el experimento se diseñó un
circuito eléctrico RC serie que consta de una
fuente de tensión continua variable, una lamparita
de linterna y dos condensadores de 1 F
conectados en paralelo (C = 2 F). Se utilizó
además una resistencia patrón de valor (Rp = 1,8
Ω) para medir la corriente del circuito a partir de
la medición de la caída de tensión en sus bornes.
Figura 1. Circuito RC serie que utiliza una lámpara
como resistor.
El procedimiento experimental consiste, primero,
en encender la lámpara sin que la corriente pase
por el circuito RC. Para eso el circuito dispone de
un interruptor que sirve como llave selectora. De
esta manera la lamparita está encendida en el
momento de comenzar a cargar el condensador.
Seguidamente, se cambia la posición de la llave
interruptora, y se estudia el comportamiento del
circuito durante la carga. Esta opción permite
iniciar la carga del condensador con la resistencia
“caliente”, cuando está en un régimen de
comportamiento no lineal.
Para registrar los datos se usó un sistema de
adquisición de datos por computadora (MPLI de
Vermier) y se midieron en función del tiempo las
caídas de potencial en la lámpara y en la
resistencia patrón vp.
El mismo circuito sirve para realizar un barrido
de la corriente por la lamparita para caracterizar
el comportamiento no ómhico del filamento
mediante una curva voltaje-corriente.
Posteriormente, se analizó la respuesta del
circuito durante la carga del capacitor según el
modelo propuesto por (14). Es necesario aclarar
que el valor de la resistencia patrón utilizada para
conocer el valor de corriente influye también en
el comportamiento del circuito en estudio. En el
modelo a utilizar, esto implica que la resistencia
Rn es la suma de las resistencias de la resistencia
patrón y de la lamparita para cada valor de
corriente. Para la solución numérica del modelo
se requieren: la corriente inicial, el valor de la
resistencia de la lamparita en todo instante y la
forma en que varía con la intensidad de la
corriente. La solución numérica se obtuvo usando
una planilla Excel.
El dispositivo experimental se muestra en la
Figura 1. Se tiene especial cuidado de no superar
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2009
3 RESULTADOS
0,25
0,20
0,15
I (A)
A partir de los datos recopilados se realizó el
gráfico de la Figura 2, donde se observa el voltaje
en la lamparita en función de la corriente,
obtenida como i = vp/Rp.. Cabe mencionar que se
trata de un proceso en el que la corriente
disminuye. Esto significa que en el instante inicial
la corriente es máxima, y el barrido se realiza
para corrientes decrecientes.
0,10
0,05
0,00
0
2,50
10
20
30
40
50
t (s)
Figura 4. Carga del capacitor. Corriente en función del
tiempo.
VR (V)
2,00
1,50
1,00
La Figura 5 muestra la comparación de la
solución numérica de (14) con los datos
experimentales.
0,50
0,00
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
I (A)
0,25
Figura 2. Voltaje en la lámpara función de la corriente
0,20
Modelo
Dato experimental
0,15
I (A)
En el gráfico de la Figura 3 se presenta la
variación de la resistencia a medida que la
corriente disminuye, lo que muestra su
comportamiento no-óhmico. De este gráfico
correspondiente a R(i) se obtiene el valor de
dR/di. Para ello ajustamos R(i) con un polinomio
de grado 6 (R2 ≈ 1) y tomamos su derivada.
0,10
0,05
0,00
0
10
20
30
40
50
t (s)
Figura 5. Representación en conjunto del modelo y los
datos experimentales para el proceso de carga del
condensador.
9
R (Ω )
6
3
0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
I (A)
Figura 3. Variación de la resistencia en función de la
disminución de corriente.
A fin de hacer un análisis más detallado del
comportamiento de la lamparita, se realizó el
gráfico de la Figura 6, donde se observa un
comportamiento anómalo de la curva resultante.
Se nota la presencia de distintas respuestas de
acuerdo al aumento o disminución de la
intensidad de corriente. La curva inferior
corresponde al aumento de la corriente y la
superior al proceso inverso, para un experimento
de ciclado que duró unos 30 segundos.
La Figura 4 muestra la variación de la corriente
en el circuito RC durante la carga del
condensador. Nótese el comportamiento de la
corriente, que claramente no tiene una variación
exponencial.
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aumenta, se produce un cambio abrupto y se
abandona el régimen lineal. Este proceso es
atribuible al aumento de temperatura del
filamento de la lámpara que causa variaciones no
lineales de la resistividad.
2,5
2,0
V [V]
1,5
1,0
0,5
0,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
I [A]
Figura 6. Comportamiento de la lamparita. Histéresis.
4 DISCUSIÓN
A partir del análisis de la Figura 2, se puede ver
claramente que el comportamiento de la
resistencia de la lamparita no obedece a la Ley de
Ohm. El comportamiento lineal se verifica sólo
para corrientes muy bajas (Figura 6). Al aumentar
la corriente y por ende la temperatura, la
resistencia abandona este comportamiento. De la
Figura 3 se deduce la presencia de un aumento
pronunciado en el valor de la resistencia de la
lamparita a partir de un cierto rango de corriente.
En el gráfico de la Figura 4 se observa que la
respuesta del circuito RC en estudio no se
corresponde con la de un circuito del mismo tipo
con una resistencia lineal. Esto se debe a la
influencia de la resistencia que depende de la
corriente.
La correlación existente entre el modelo
propuesto en la ecuación (14) y los datos
experimentales es buena para todo el intervalo
medido, aunque debe realizarse una corrección de
un 25% en el valor de capacidad del condensador.
De todas maneras, se trata de una aproximación
aceptable.
En la Figura 6 se puede distinguir una diferencia
en el comportamiento de la curva voltajecorriente generada para variaciones crecientes y
decrecientes de la corriente. Este comportamiento
puede ser tratado como un ciclo de histéresis.[6]
5
CONCLUSIONES
Luego del análisis de datos, se concluye que una
lamparita como la estudiada en la realización
experimental no obedece a la ley de Ohm para
todos los valores de corriente. La respuesta de la
resistencia
presenta
un
comportamiento
aproximadamente óhmico sólo para bajas
intensidades de la corriente. Cuando ésta
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A partir del estudio de la respuesta del circuito
RC con una resistencia de estas características se
concluye que la variación de la resistencia
explicada anteriormente incide de manera directa
en el comportamiento del circuito. Si bien la
corriente
disminuye monótonamente en el
tiempo, la variación deja de ser exponencial.
La solución del modelo obtenido a partir de la
ecuación del circuito tiene buena correlación con
los datos experimentales.
Por último, cabe resaltar la presencia de un
comportamiento anómalo de la resistencia. Se da
un proceso típico de un ciclo de histéresis, que
indica que la variación de la resistencia es
diferente si se aumenta o disminuye de manera
continua la corriente. Se puede atribuir este
comportamiento a un efecto de inercia térmica.[6]
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al Dr. Eduardo Rodríguez
por su permanente colaboración y dedicación para
la realización del presente proyecto y a Rubén
Farías por su ayuda en el desarrollo experimental.
6
REFERENCIAS
[1] Sears F. &. Zemansky M. Física
Universitaria: Volumen II. Addison Wesley
Longman, México D.F., 1999.
[2] Ross R. & P. Venugopal, On the problem of
(dis)charging a capacitor through a lamp, Am. J.
of Phys., 74, 523-525, 2006.
[3] Wagner W., Temperature and Color of
Incandescent Lamps, Phys. Teach., 176-177,
1991.
[4] Denardo B., Temperature of a Lightbulb
Filament, Phys. Teach., 40, 101-105, 2002.
[5] MacIsaac D., G. Kanner & G. Anderson,
Basic Physics on the Incandescent Lamp
(Lightbulb), Phys. Teach., 37, 520-525, 1999.
2009
[6] Miranda E., S. Nikolskaia, R Riba & E.
Antonio, Integrando calor y electricidad en la
enseñanza de la Física, Revista Ingeniería
Académica, 11, 15-20, 2007.
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