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C APÍT U LO 26 Circuitos de corriente directa
Cap. 7: CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA
26.1 Cuatro diferentes formas de conectar navideña; cada b
tres resistores.
Corriente directa (cd): el sentido de la corriente no cambia con el tiempo a) R1, R2 y R3 en serie
• Ejemplos: linternas y los sistemas eléctricos de automóviles R1
R2
R3
x
a
y
b
Corriente alterna (ca): la corriente oscila hacia delante y atrás • La energía eléctrica doméstica se suministra en forma de ca I
I
en paralelo en un chip, R1, R2 yoR i3ntegrados CICUITOS cd o cs: son conectados mediante ab)
lambres incluyan varias fuentes, resistores y otros elementos, como cRapacitores, 1
transformadores y motores, interconectados en una red circuitos una guir
Suponga que
muestra cuatro fo
Cuando se conec
rías y motores —
los puntos, se dic
capacitores en se
todos tenían la m
al estudiar circuit
por unidad de tiem
Se dice que lo
R2
882
C A P Í T U LO 2 6 Circuitos de corriente directa a
b
los puntos a y b. C
Resistores en serie y en paralelo elementos de circ
I
I
R3
de cada
ele
navideña;
cada
como través
resistor,
y desd
26.1
Cuatro
diferentes
formas de conectar
Circuitos contienen combinaciones de resistores en serie, en bombilla
paralelo, actúa
o ambos En laes
figura
tres
circuitos una guirnalda de bombillas tan sólo
una 26
co
resistores.
en serie con R1. E
que se tienen tres resistores con resistenc
c) RSuponga
1 en serie con una combinación en
a) R1, R2 y R3 en serie
paralelo con R1.
paralelo
de
R
R3
muestra cuatro2 yformas
diferentes en que éstos se pueden
Para cualquier
R1
R2
R3
R2 en secuencia varios elementos de
x
Cuando se conectan
a
y
b
único que podría
rías y motores —como en la figura 26.1a—
con una
y diferencia
deso
p
los puntos,
se dice que están conectados
en
serie.
En
I
I
R1
podría remplazarl
a
b
capacitores en serie; vimos que, en virtud
princip
mara del
la misma
co
b) R1, R2 y R3 en paralelo
todos tenían la misma carga si al principio
selahallaban
les
que
guirnal
I
I
R
R1
al estudiar circuitos3 estemos más interesados
en ladecola
equivalente
por unidad de tiempo.
26.1 por su resist
a
I
R2
Se
dice que los resistores de la figura 26.1b están
d) R
1 en paralelo con una combinación
y RCada
serie de
los en
puntos
a Ry2b.
resistor ofrece una trayectoria alte
3
R2 de circuitoR3conectados en paralelo, la difere
elementos
b
I
R3
dondeseVestudiaro
través de cada elemento. En la sección 24.2
ab es la d
en en
el pa
pu
En la figura 26.1c, los resistores R2corriente
y R3 están
a
b
en serie con R1. En la figura 26.1d, R2diferencia
y R3 estándeenpot
se
c) R1 en serie con una combinación en
pondiente
y
se
ob
paralelo con R1.
paralelo de R2 y R3
I
I
R1
Para
cualquier
combinación
de resistores siempre
R2
único que podría remplazar la combinación
y dar com
Resistores
e
y diferencia de potencial totales. Por ejemplo,
una
gu
Es posible determ
Resistor eRquivalente: cualquier combinación de resistores puede ser una
remplazado podría
remplazarse
por
sola bombilla
elegida de
1
a
b
por un solo un resistor equivalente ⇒ produce la misma corriente, y diferencia combinación de r
mara la misma corriente y tuviera la misma
diferencia
en la figura
26.1a
de potencial total les
que
la
guirnalda
original.
La
resistencia
de
este
resc
sección 25.4, la
I
I
R3
equivalente de la combinación. Si se car
remplazara
V 5 IR a cual
cada
26.1 por su resistencia equivalente Req, se podría escri
d) R1 en paralelo con una combinación
en serie de R2 y R3
R3
R2
diferencias
d
Vab 5 IReq Las
o bien,
Req 5
1 a
b
cepto para el cas
potencial
Vabterm
a tr
es la diferencia de potencial
entre las
tencial individual
donde Vab
corriente en el punto a o b. Para calcular una resisten
diferencia de potencial Vab a través de la red real, s
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C APÍT U LO 26 Circuitos de corriente directa
navideña
circuitos
Resistores en serie Supo
a) R1, R2 y R3 en serie
muestra
La corriente I es la misma en todos R1
R2
R3
x
Cuando
a
y
b
ellos (la corriente no “se gasta” cuando pasa a través de un circuito) rías y mo
los punto
I
I
Los potenciales son diferentes: capacito
b) R1, R2 y R3 en paralelo
Vax = IR1 , Vxy = IR2 , Vyb = IR3 todos ten
R1
al estudi
• La suma de estas diferencias de potencial debe ser igual a Vab por unid
Vab = Vax + Vxy + Vyb = I ( R1 + R2 + R3 ) Se di
R2 Circuitos de corriente directa
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C APÍT U LO 26
a
b
los punto
La razón Vab I = Req es la resistencia equivalente en serie: elemento
Req = R126.1
+ R2 +Cuatro
R diferentes formas de conectar navideña;
(7.1) cada
I 3
I
R3
través
tres resistores.
circuitos unade
g
N
En
la
Suponga qu
• En general, Req ( serie) = ∑ Ri a) R1, R2 y R3 en serie
en cuatro
serie
muestra
i
R1 serie con
R2una combinación
R3
en Cuando se con
c) R1 en
x
a ue cualquiera de las y resistencias b
• La resistencia equivalente es mayor q
paralelo
paralelo de R2 y R3
rías
y
motores
individuales Req ( serie) > Ri , i = 1…N Para —
R
2
los puntos, se d
I
I
único qu
capacitores en
Resistores en paralelo diferen
b) R1, R2 y R3 en paralelo
todosytenían
la
R
R
podría
1
La diferencia de potencial entre las 1
al estudiar circr
a
b
terminales de cada resistor debe ser mara de
la t
por unidad
la misma e igual a Vab Seles
dice
quel
que
R2 R
I
I
3 b
a
los puntos
ayb
equivale
Las corrientes son diferentes: elementos de c
V
V
V
26.1 por
I
I
R3
I = ab , I = ab , I = ab 26.1 Cuatro diferentes formas de conectar
tres resistores.
través de cada e
d) R1 en paralelo con una combinación
En la figura
y
R
en
serie
de
R
2
3
La corriente total I = suma de las tres corrientes en los resistores (principio de en serie con R1
c) R1 en serie con una combinación en
R3
R2
la conservación de la cargas): paralelo con R1
paralelo de
R2 y R3
Para
cualqu
donde
V
R2
⎛ 1
⎞
1
1
único
que
podr
I = I1 + I 2 + I 3 = Vab ⎜ +
+
corriente
⎝ R1 R2 R3 ⎟⎠
y diferencia de
a R
b
diferenc
podría remplaz
1
−1
1
a
b
Por definición de la resistencia equivalente en paralelo (Vab I ) =
mara pondien
la misma
Req
I
I
R1
les que la guirn
1
1
1 I 1
I
R3
(7.2) = +
+
equivalente de
Req R1 R2 R3
Resist
26.1 por
su res
−1
1
•
•
R1
2
R2
3
R3
⎛ N 1⎞
En general, Req ( paralelo ) = ⎜ ∑ ⎟ d)
R1 en paralelo con una combinación
⎝ i=1 Ri ⎠
en serie de R2 y R3
La resistencia equivalente siempre es menor Rq2 ue cualquier R3 resistencia individual Req ( paralelo ) < Ri , i = 1…N a
2 I
b
R1
I
Es posib
combina
en la fig
donde Vab es la
sección
corriente en el
car Vde5p
diferencia
pondiente y se
Las dife
Resistores
[El mismo resultado se obtiene mediante la ecuación (26.3).] De la
ecuación (26.1), la combinación en serie de este resistor de 2 V con
el resistor de 4 V es equivalente al resistor único de 6 V de la figura
26.3c.
entre los puntos a y c.
Ejemplo 26.2
Para dos resistores en paralelo la resistencia equivalente paralelo: contra combinaciones en
Combinaciones
en serie
R1 R2
(7.3) Req =Dos bombillas idénticas se conectan a una fuente con E 5 8 V y resis- ha calculado la corrient
tencia
R1 +interna
R2 despreciable. Cada bombilla tiene una resistencia R 5 tencia entregada a cada
2 V. Calcule la corriente a través de cada bombilla, la diferencia de po- I R 5 V >R.
Como Vab = I1 R1 = I 2 R2 tencial a través de ésta y la potencia que se le entrega, y haga lo mismo
para toda la red si las bombillas están conectadas a) en serie y b) en pa- EJECUTAR: a) De acuer
I1ralelo.
R
que una de las bombillas se funde, es decir, su fila- valente de las dos bomb
(7.4) = c)2 Suponga
es la suma de sus resiste
I 2mentoRse1 rompe y la corriente ya no puede fluir a través de él. ¿Qué
pasa con la otra bombilla, para el caso de conexión en serie? ¿Y en el
Req
de conexión
en paralelo?
• Las corrientes conducidas por dos resistores en paralelo son inversamente La corriente es la misma
proporcionales a sus resistencias⎯
por la trayectoria de menor SOLUCIÓN
resistencia circula más corriente IDENTIFICAR: Las bombillas son resistores conectados en serie y en
2
2
paralelo.
PLANTEAR: Las figuras 26.4a y 26.4b muestran los diagramas de
Ejemplo los circuitos en serie y en paralelo, respectivamente. Una vez que se
Comparamos un circuito completo dos bombillas en serie y paralelo 26.4 Diagramas para este problema.
a) Bombillas en serie
En serie: Req = R + R = 2 ⋅ ( 2Ω ) = 4Ω y el corriente: V
8V
I = ac =
= 2A Req 4Ω
Vab 5 Vb
Ésta es la mitad del vol
con la ecuación (25.18),
P 5 I 2R 5
P5
b) Bombillas en paralelo
Como las bombillas tiene mismo resistencia Vab = Vbc = IR = 2A ⋅ 2Ω = 4V La potencia entregada a cada bombilla: 2
P = I 2 R = ( 2A ) ( 2Ω ) = 8W Y la energía total entregada a las dos bombillas Ptotal = 2P = 16W En paralelo: las diferencia de potencial Vde = 8V V
8V
Y el corriente (la misma en las dos bombillas): I = de =
= 4A R 2Ω
2
La potencia entregada a cada bombilla: P = I 2 R = ( 4A ) ( 2Ω ) = 32W para una potencia total Ptotal = 2P = 64W R2 1
= R = 1Ω La más alta potencia viene de la menor resistencia: Req =
2R 2
La potencia extra comparando con el circuito en serie no es gratis⎯ la energía se extrae cuatro veces más rápido ⇒ conectado a una batería se agotará más rápido la energía Como las bombillas tien
tencial es la misma a tra
3 Vab2
R
La energía total entre
De manera alternativa,
la resistencia equivalent
I 5 2 A y la diferencia d
Ptotal 5 I 2Req 5 1
Ptotal 5
1
Vac2
5
Req
b) Si las bombillas es
ferencia de potencial Vde
r, hay dos términos que usaremos con frecuencia. Una unión en un 26.6 Dos redes que no pueden reducirse
o en que se unen tres o más conductores. Las uniones también reci- a combinaciones simples de resistores
nodos o puntos de derivación. Una espira es cualquier trayecto- en serie o en paralelo.
ducción. En la figura 26.6a los puntos a y b son uniones, pero los a)
Unión
o son; en la figura 26.6b, los puntos a, b, c y d son uniones, pero
Espira 1
o lo son. Las líneas en color azul de las figuras 26.6a y 26.6b ilusa
Reglas de Kirchhoff Gustav Robert Kirchhoff (1824-­‐1887) as posibles en estos circuitos.
Kirchhoff consisten en
los dos siguientes enunciados:
26.2 Reglas de Kirchhoff
887
r2
r1
off de las uniones: la suma algebraica de las corrientes en cualEspira 3 R
Espira 2
al a cero. Es decir, Las leyes de Kirchhoff permiten determinar las + propiedades +de circuitos E1
E2
os con frecuencia.complejos Una unión
enReglas
26.2
de 26.6
Kirchhoff
887 quea no
Dos
redes
pueden reducirse
que nun
o pueden ser reducidos combinaciones simples en serie o ductores. Las uniones
también
reciparalelo a combinaciones simples de resistores
50
(regla de las uniones, válida en cualquier unión)
(26.5)
c
b
d
en serie
o sen
Unaunión
espira
es cualquier
Una
en un
• Dos
Ej. trayectoCircuito (a): e uparalelo.
tiliza en muchos tipos diferentes de medición y 26.6
redes
que nopuente pueden
reducirse
No es
Unión
No es
a combinaciones
de resistores
nes
también
sistemas de control puntos
a y recib son uniones,
pero simples
los
a)
unión
unión
off
de
las
espiras:
la
suma
algebraica
de
las
diferencias
de
potenen
serie
o
en
paralelo.
ualquiera,trayectoUnión
son uniones, pero
untos
b, c las
y dasociadas
espira,
incluso
con
las
fem
y
las
de
elementos
con
reEspira
pero los a)
b) 1
uluniones,
de las
figuras
26.6a y 26.6b ilusa
igual
a
cero.
Es
decir,
Unión
on uniones, pero
(1)
Espira 1
a
6.6a y 26.6b ilusa
f
guientes enunciados:
(regla de las espiras, válida para cualquier espira cerrada)
r1
gebraica
de las corrientes en cualos:
(26.6)
(2)
r2
R1
(3)
R2
Espira 3 R Rm
Espira 2
r
r2
r1
orrientes en cual+
+
b
R
c
Espira 3
Espirade
2 la carga
uniones se basa en la conservación
+
+
+ E1eléctrica. En una E2
E
E1 por lo que la E
2
acumular carga eléctrica,
carga
total que entra a ella
R3
R4
(4)
mpo debe ser igual a la carga total que sale por unidad de tiempo
lida
en
cualquier
unión)
(26.5)
c
b
d
e
unión)
(26.5)
c tiempo es corriente,
b
.7a). La carga
por unidad de
por lo quedsi cond
positivas las corrientesNoque
entran
a
una
unión
y
negativas
las
que
No
es
Unión
No
es
es
Unión
No es
ebraica
de
las
corrientes
en
la
unión
debe
ser
igual
a
cero.
Es
como
unión
unión
unión
unión
rencias
braica de
depotenlas diferencias
de poten tubería decon
agua
(figura
26.7b); si entra 1 litro por minuto en un tu- 26.7 a) La regla de Kirchhoff de las
elementos
re nr las
fem y las de elementos
con re- b) de confesar que uniones dice que la cantidad de corriente
b)
3 litros por minuto de
otros dos tubos. Hemos
Se nlos
ecesita determinar dos componentes del quecircuito: llega a una unión es igual a la que sale.
(1)con la finalidad de obtelas uniones (sin decirlo) en la sección 26.1
a
(1)
b)
Analogía
de agua.
• Unión (nodos o puntos de derivación) = punto en una
un tubería
circuito en que se a con
6.2) para los resistores en fparalelo.(2)
R2
R
f
unen t
res o
m
onductores 1 ás c(3)
cerrada)
(26.6)
Regla deRKirchhoff de las uniones
espiras es el
enunciado de que la fuerza electrostática es conserva(2)
R1 a)(3)
2
•
Espira =
c
ualquier t
rayectoria c
errada d
e conducción a recorre
cualquier
espira
cerrada)
(26.6)
una espira y mide las diferencias de potencial entre los exUnión
r
Rm
tos sucesivos del circuito.
Al regresarb al punto
de partida, debería
c
I2
I1
eléctrica. En una Regla + diferencias
de Kirchhoff para las de
uniones: la sRuma algebraica de clas corrientes en m
a suma algebraica de
esas
es igual
arcero;
lo contraE
b
al que entra
acarga
ella eléctrica. En una
ación
de
la
cualquier u
nión e
s i
gual a
c
ero: firmar que el potencial en ese punto tiene Run
definido.
R4
(4)+
3 valor
I1 ! I2
unidad de tiempo
E
o que la carga total
que
entra
a
ella
e
I
=
0
(7.5) por lo que si conR3
R4
d
(4)
otal
quesigno
sale
por
unidad de tiempo
es
de
para
negativas
las que
la regla de la espiras
e
mpo
es
por lo que
si conl a de
cero.
Es
como sePrincipio gla
lascorriente,
espiras,
necesitan
algunas
de signos. La
físico: lconvenciones
a ley de conservación de las cargas deléctrica: b) Analogía de la tubería de agua para
26.7
a)
La
regla
de
Kirchhoff
de
las
an
a
una
unión
y
negativas
las
que
minutoproblemas
en un tu- 26.2 describe
solver
enna detalle
cómo
utilizarlas,
pero
a
•
En u
u
nión n
o s
e p
uede a
cumular c
arga léctrica a cuniones
arga total que la reglaede
Kirchhoff⇒
de llas
uniones dice que la cantidad de corriente
de confesar
asuna
descripción
rápida.
Primero
suponga
un
sentido
de
la
corriennión
debe
serque
igual
a
cero.
Es
como
entra or unidad tiempo = la carga total que sale por unidad de tiempo que llega
a unapunión
es igualdae la
que sale.
finalidad
deelitro
obte26.7
a)
La
regla
de Kirchhoff de las
el entra
circuito1
indíquelo
en
el
diagrama
correspondiente.
En
seguida,
si
por b)
minuto
en
un
tuAnalogía
conpuna
agua.
• Carga or utubería
nidad de
de tiempo = corriente punto
del circuito,
un recorrido
de la que
espira
uniones dice
la cantidad de corriente
sierdos
tubos.
Hemos
de confesar
que imaginario
realice
Kirchhoff
las llega
uniones
a) Regla de
ática
y losesIRconservaconforme los encuentre.
Cuando
sede
pasa
a través
de unión
una es igual a la que sale.El flujo de agua
que
a una
como positivas las corrientes que entran a una uque
nión ntubo
egativas las cción
26.11,con
laConsideramos finalidad de obtesale y
del
ncial
entre
exUnión cuando
ión de
2 alos
la fem se considera positiva;
se va de con
1 a una
2, tubería de agua.
b) Analogía
es
igual
al
que
que s
alen, l
a s
uma a
lgebraica d
e l
as c
orrientes e
n l
a u
nión d
ebe s
er i
gual a cero ealo.
partida,
negativadebería
(figura 26.8a). Cuando
un resistor en el
I1 se va a través Ide
entra.
2
Regla de porKirchhoff de las uniones
a) negativo
es conservade lo
contraeaero;
elfuerza
que
seelectrostática
supuso para la corriente,
el término IR es
rferencias
definido.
vanza
en el sentido
del
potencial
decreciente.
Cuando
se
pasa
a
trade potencial entre los ex- I1 ! I2
Unión
en
el
sentido
opuesto
a
la
corriente
que
se
supuso,
el
término
IR
es
gresar al punto de partida, debería
I2
I1
presenta
iras un aumento de potencial (figura 26.8b).
encias es igual a cero; de lo contranes detiene
signos.
unto
un La
valor definido.
∑
26.8
b)
de la tubería
agua
b)Analogía
Convenciones
de signodepara
lospara
resistores
I1 !Uso
I2 de las convenciones de signos
igno para las fem
utilizarlas,
pero a
cuando se aplica la regla de Kirchhoff de
la regla de Kirchhoff de las uniones
ido de 2E:
la corrien1IR: sentido del recorrido 2IR: recorrido en el
sentido del
las espiras. En cada parte de la figura “Re en que imaginamos
gla
la deespiras
recorrido
+ a –: opuesto al de la corriente: sentido de la corriente: corrido” es el sentido
ente. de
En
seguida,
ir alrededor de la espira, que no necesarianario
de convenciones
la
espira
lgunas
de signos.
La
Recorrido
Recorrido
Recorrido
mentede
es agua
el sentido
El
flujo
de
agua
b)
Analogía
de
la
tubería
para de la corriente.
a a través de
una
+
I
I
en detalle– cómo
utilizarlas,
– tubo
– pero +a que sale del
+
la regla de Kirchhoff de las uniones
o se va de 1 a 2,
es igual al que R
suponga
sentido de la corrienR
E el
eo un
resistor un
en
grama
correspondiente.
En seguida, entra.
es negativo
pornndo
recorrido
de la espira
se pasa a imaginario
tra- 4 ,e.elCuando
término IR
es
El flujo de agua
se pasa a través de una
que sale del tubo
ra positiva; cuando se va de 1 a 2,
es igual al que
aV 5 0
f
(regla de las espiras, válida para cualquier espira cerrada)
(2)
(26.6)
r
La regla de las uniones se basa en la conservación de la carga eléctrica. En una
unión no se puede acumular carga eléctrica, por lo que la carga total que entra a ella
por unidad de tiempo debe ser igual a la carga total que sale por unidad de tiempo
(véasedla
26.7a).
La lcarga
por unidad
de tiempo
es corriente,
lo que si
Regla e figura
Kirchhoff para as espiras: la suma algebraica de las dpor
iferencias de conpotencial en como
cualquier espira, las aque
sociadas las unión
fem y lyas negativas
de elementos con sideramos
positivas
lasincluso corrientes
entrancon a una
las que
resistencia, debe ser igual a
salen, la suma
algebraica
de cero las corrientes en la unión debe ser igual a cero. Es como
un ramal T en una tubería de agua (figura
= 0 si entra 1 litro por minuto en un tu(7.6) ∑V26.7b);
bo,
no
pueden
salir
3
litros
por
minuto
de
los
otros dos tubos. Hemos de confesar que
se usó la fregla
uniones
(sin decirlo)
la sección 26.1
con la finalidad de obtePrincipio ísico: de
la las
fuerza electrostática es en
conservativa ner• la Una ecuación
(26.2)
los resistores
paralelo. cerrada espira es epara
quivalente a una en
trayectoria La
regla
de
las
espiras
es
el
enunciado
de
que la fuerza
• Sobre una trayectoria cerrada, el trabajo hecho electrostática
por fuerzas es conservativa. Suponga
que recorre
una espira y mide las diferencias de potencial entre los exconservativas es cero tremos de elementos sucesivos del circuito. Al regresar al punto de partida, debería
de encontrar que
sumapalgebraica
de desas
Convenciones de lasigno ara la regla e la diferencias
espiras es igual a cero; de lo contra rio, no se podría afirmar que el potencial en ese punto tiene un valor definido.
Metodo: • 1) Suponga un de
sentido de la para
corriente en cada de
ramal el circuito e Convenciones
signo
la regla
ladespiras
indíquelo en el diagrama correspondiente Para aplicar la regla de las espiras, se necesitan algunas convenciones de signos. La
• 2) A partir de cualquier punto del circuito, realice un recorrido de la espira Estrategia para resolver problemas 26.2 describe en detalle cómo utilizarlas, pero a
sumando las fem y los IR conforme los encuentre siguiendo las continuación
se da una descripción rápida. Primero suponga un sentido de la corrienconvenciones: te en cadaoramal
e dindíquelo
en elediagrama
correspondiente.
Si pdel
asa circuito
a través e una fuente n la dirección de – a +, la fEn
em seguida,
> 0 a partir deocualquier
punto
del
circuito,
realice
un
recorrido
imaginario
de
la
espira
Cuando se va de + a –, la fem < 0 sumando o
las fem
y
los
IR
conforme
los
encuentre.
Cuando
se
pasa
a
través
de
Cuando se va a través de un resistor en el mismo sentido que se una
fuente en la dirección
2laa 1,
la fem se
positiva;avanza cuandoese
de 1 a d2,
supuso pde
ara corriente, IR considera
< 0, la corriente n eva
l sentido el la fem se considera
negativa
(figura 26.8a). Cuando se va a través de un resistor en el
potencial decreciente mismo sentido
que el que
se supuso
para
corriente,
IR oespuesto negativo
o Cuando se pasa a través de la
un resistor eeln término
el sentido a la porque la corriente
avanza en
elssentido
delIR potencial
decreciente.
Cuando
se pasa ade tracorriente que e supuso, > 0 porque representa un aumento vés de un resistor
en el sentido opuesto a la corriente que se supuso, el término IR es
potencial positivo porque
representa un aumento de potencial (figura 26.8b).
1IR: sentido del recorrido 2IR: recorrido en el
opuesto al de la corriente: sentido de la corriente:
1E: sentido del
recorrido de – a +:
2E: sentido del
recorrido de + a –:
Recorrido
– +
Recorrido
– +
Recorrido
I
–
+
Recorrido
I
–
+
E
E
R
R
5 +
e
26.7 a) La regla
uniones dice que
que llega a una u
b) Analogía con
a) Regla de K
I1
b) Analogía d
la regla de Ki
26.8 Uso de las
cuando se aplica
las espiras. En ca
corrido” es el sen
ir alrededor de la
mente es el senti
b) Convenciones de signo para los resistores
a) Convenciones de signo para las fem
E
terior se utiliza lamismo
trayectoria
superior,
resultante
es:la corriente, elEl
sentido
que la
el ecuación
que se supuso
para
término
por- es muy parecid
circuitoIRdeeslanegativo
figura 26.10a
corriente
en A
el2 sentido
potencial
decreciente.
Cuandounseacumulador
pasa a tra-de automóvil de
cuando se emplea
1 0.5
2 2 1 0.5
1 3 V 2 5del
Vab 5 12 Vque
2 la
A 2 1 2 Vavanza
9.5
V
vésIRde
unnegativos
resistor porque
en el sentido
a lavacorriente
se supuso,
el término
IR es (figura 26.10b
batería
sin carga
de otro vehículo
Aquí, los términos
son
nuestraopuesto
trayectoria
en el laque
3 V y 726.8b).
V de la figura 26.10a representan las resist
positivo
porque
representa
aumento
de potencial
sentido de la corriente,
con
disminuciones
de un
potencial
a través
de los (figura
para
pasar
corriente y de la trayectoria de conducció
resistores. El resultado es el mismo que con la trayectoria inferior, comóvil de
consigno
la batería
(Los26.8
valores
Usode
de
Convenciones
para losdescargada.
resistores
mo debe ser paraa)que
el cambio total
de potencial
alrededor de lab)espiConvenciones
de signo
para las fem
los
automóviles
y
cables
reales
para
pasar
corriente
cuando
se
ap
ra completa sea igual a cero. En cada caso, los aumentos de potencial
2IR:
en el
1IR: sentidoque
del se
recorrido
sentido del
1E: sentido del
utilizan en
esterecorrido
ejemplo.)
las espiras. E
se toman como positivos,
y las caídas como 2E:
negativas.
recorrido de + a –: opuesto al de la corriente: sentido de la corriente: corrido” es e
recorrido de – a +:
ir alrededor
26.10 a) En este ejemplo
la espira se recorre
en el mismo sentidoRecorrido
que el que se supuso para
la corriente, por
lo que to
Recorrido
Recorrido
Recorrido
mente
es el s
– + que se pasa de I1 a 2 a través de la fem
– + disminuye a medida
I inferior, pero se increment
IR son negativos. El potencial
–
+
a través de la fem superior. b) Ejemplo de la vida real de un circuito de esta clase.
E
E
a)
Ejemplo: una sola espira ⇒ sin uniones b) 2 V 12 V
+
3V
I
I
Recorrido
b
I
R
Batería
muerta
–
+
R
Batería
con carga
7V
I
a
+
4V 4V
+
Supongamos el corriente en sentido contra-­‐horario Regla de las espiras: empieza a a y se va en el sentido del corriente sumando los incrementos disminuciones de potenciales: Ejemplo 26.4
Cargay de
una batería
−I ( 4Ω ) − 4V − I ( 7Ω ) + 12V − I ( 2Ω ) − I ( 3Ω ) = 0
En el circuito que
fuente
energía
26.11 En este
se ilustra en la figura 26.11, una
circuito, una fuente de energía el
⇒ 8V
= I (de
16Ω
)
eléctrica de 12 V con resistencia interna desconocida r está conectada batería que se quedó sin carga y enciende una bo
⇒ I = 0.5A
a una batería recargable
descargada
con
fem
E
desconocida
y resisten- cho una suposición acerca de la polaridad de la f
¿Es correcta
esa suposición?
cia interna de 1Para V, y daeterminar una bombilla
3 V a agotada.
el pindicadora
otencial econ
ntre resistencia
a y b, se ede
mpieza b y se suman los cambios de que transporta una
corriente
de
2
A.
La
corriente
a
través
de
la
batería
(1)
potencial a medida que se avanza a a a
descargada es igual
a 1 A en el sentido que se indica. Calcule la co rriente desconocida
resistencia
interna
fem) (E.7Ω ) + 4V + ( 0.5A ) ( 4Ω ) = 9.5V (3)
(2)
Por eI,l la
camino inferior V r=y (la
0.5A
ab
E
Por el camino superior Vab = 12V − ( 0.5A ) ( 2Ω ) − ( 0.5A ) ( 3Ω ) = 9.5V 2A
3V
1A
SOLUCIÓN 1V
potencial 0 ⇒más
el pde
unto tiene ppor
otencial IDENTIFICAR:El Este
circuito>tiene
unaaespira,
lo que m
seás de-alto que b be aplicar tanto la regla de las uniones como la regla de las espiras.
b
La salida de potencia de la fem de la batería de 12V es P=
12V (de
0.5A
) = 6WEJECUTAR:
PLANTEAR: El sentido de la corriente a través
deElaI =fuente
poder
Primero se aplica la regla de las union
de 12 V se supone como se ilustra. Hay tres variables que se buscan, al punto a. Se obtiene
La salida de ecuaciones.
potencia de la fem de la batería de 4V es por lo que se necesitan
tres
2I 1 1 A 1 2 A 5 0
por lo que
P = E I = −4V ( 0.5A ) = −2W El signo negativo de E para la batería de 4 V se debe a que la corriente en realidad va del lado de mayor potencial de la batería al de menor potencial • P < 0 porque que se está recargando la batería de 4 V 6 26.11 En este circuito, una fuente de energía eléctrica carga una
batería que se quedó sin carga y enciende una bombilla. Se ha hecho
una suposición
la polaridad
de la fem E de la batería
Ejemplo: más dacerca
e una deespira agotada.
¿Es
correcta
esa
suposición?
2A
3V
1A
E
1V
(3)
+
(2)
por lo que se dede las espiras.
a fuente de poder
es que se buscan,
(1)
a
+
fuente de energía
a r está conectada
nocida y resistenesistencia de 3 V
avés de la batería
ca. Calcule la coE.
I
b
12 V
r
EJECUTAR:
Primero se aplica la regla de las uniones, ecuación (26.5),
alSe punto
a. a
Seplicar obtieneaquí ambas reglas – unión y espiras debe 2I 1 1 A 1 2 A 5 0
por lo que
I53A
A través de la fuente de poder de 12 V se supone la fem positiva; hay tres continúa
variables, I, r y E por lo que se necesita 3 ecuaciones 1) Se aplica la regla de las uniones al punto a −I + 1A + 2A = 0 por lo que I = 3A 2) Se aplica la regla de las espiras a la espira (1) para determinar r 12V − ( 3A ) r − ( 2A ) ( 3Ω ) = 0 por lo que r = 2Ω 3) Para determinar E se aplica la regla de las espiras a la espira (2) −E + (1A ) (1Ω ) − ( 2A ) ( 3Ω ) = 0 por lo que E = −5V El valor negativo demuestra que la polaridad real de esta fem es opuesta a la que se supuso La salida de potencia de la fem de 12V es P12V = E12V I = 12V ⋅ 3A = 36W 2
Se disipa una cuantidad de energía Pr = I 2 r = ( 3A ) ⋅ 2Ω = 18W Por lo tanto la potencia total es Ptotal = P12V − Pr = 18W La potencia de salida de la fem de la batería que se carga es Pbateria = Ebateria I bateria = −5V ⋅1A = −5W 2
Se disipa una cuantidad de energía Pr,bateria = I 2 r = (1A ) ⋅1Ω = 1W Por lo tanto la potencia de alimentación total a la batería es 1W + −5W = 6W donde solamente 5W son almacenada en la batería 7 bombilla.
I
ba fuente
5 (6 V)(3 A) 5 18 W
na red compleja
Ejemplo: red compleja n circuito “puente” del tipo descrito al princie la figura 26.6b). Calcule la corriente en cada
quivalente de la red de cinco resistores.
alcular cinco diferentes corrientes, pero apliones a los nodos a y b, es posible representarorrientes desconocidas, como se aprecia en la
batería es I1 1 I2.
(2)
c
(3)
I1
(1)
1V
+
no se puede representar en términos de comparalelo. De ahí que se deben utilizar las recontrar los valores de las variables buscadas.
26.12 Circuito con varios resistores.
13 V
a
1V
I1 + I2
1V
I3
I2
1V
b
2V
I2 + I3
I1 – I3
d
Hay que calcular cinco diferentes corrientes, pero aplicando la regla de las uniones a los nodos a y b, es posible representarlas en términos de tres corrientes desconocidas La corriente en la batería es I1 + I2 Se aplica la regla de las espiras a las tres espiras que se indican, con lo que se obtienen las siguientes tres ecuaciones: 1)
13V − I1 (1Ω ) − ( I1 − I 3 ) (1Ω ) = 0
2) −I 2 (1Ω ) − ( I 2 + I 3 ) ( 2Ω ) + 13V = 0 3)
−I1 (1Ω ) − I 3 (1Ω ) + I 2 (1Ω ) = 0
De la tercera ecuación deducimos que I 2 = I1 + I 3 , substituyendo 1′ ) 13V = I1 ( 2Ω ) − I 3 (1Ω )
2′ ) 13V = I1 ( 3Ω ) + I 3 ( 5Ω ) Eliminando I3, encontramos que I1 (13Ω ) = 78V ⇒ I1 = 6A substituyendo se encuentra I 3 = −1A y I 2 = 5A y la corriente total I1 + I 2 = 11A 13V
La resistencia equivalente de la red es Req =
= 1.2Ω 11A
Para determinar el cambio de potencial de a a b, se comienza en el punto b y se sigue cualquier de las trayectorias posible entre b y a La trayectoria más sencilla es a través de la resistencia de 1Ω: porque I 3 = −1A el sentido de la corriente es de de b a a; la caída de potencial IR = 1A ⋅1Ω = 1V que sugiere que Vab = −1V (el punto a tiene menor potencial que le punto b) 8 892
C APÍT U LO 26 Circuitos de corriente directa
de full scale o escala com
(lo común es del orden d
bobina) de la bobina (lo n
La desviación del med
Que se mide son la diferencia de potencial, magnitud
la corriente y ryesistencia usando ce la ley de Ohm, la corrie
uniforme,
el resorte proporciona
un par de torsión restaurador que se opone
instrumentos de medición eléctrica nales de la bobina, y la
al par de torsión del campo magnético.
potencial. Por ejemplo, c
El par del campo
Galvanómetro de d’Arsonval El par de torsión 20.0 V y que se desvía la
magnético
del resorte empuja mA. La diferencia de pote
26.14 Galvanómetro de d’Arsonval con
una bobina de pivote o articulada a la que
Instrumentos de medición eléctrica está adherida una aguja; un imán permanen te suministra un campo magnético de
•
empuja la
aguja lejos
del cero.
la aguja
hacia el cero.
5
V 5 Ifs R
Amperímetros
10
En el campo magnético de un imán permanente se coloca una bobina de pivote de alambre delgado Un instrumento medidor
miliamperímetro, microa
• Unido a la bobina está un siempre mide la corriente
Resorte
resorte, similar a la espiral del se estudió en la sección 2
cluyera en un ramal de u
volante de un reloj mal. Los amperímetros r
Campo
que sea tan pequeña com
• En la posición de equilibrio, sin magnético
Un medidor puede ad
corriente en la bobina, la aguja Imán
Núcleo de
Bobina
cala completa si se conec
permanente hierro suave articulada
está en el cero te de la corriente de la bo
derivación o simplemen
O
N
L
I
N
E
• Cuando hay una corriente en la bobina, el campo magnético ejerce un par shunt, que en inglés sign
Suponga que se desea
de torsión sobre la bobina que es proporcional a la corriente 12.4 Uso de amperímetros y voltímetros
resistencia
de bobina Rc
determinar la resistencia
• A medida que la bobina gira, el resorte ejerce un par de torsión restaurador viación de escala comple
que es proporcional al desplazamiento angular Ia, la corriente a través de
de la derivación es la dif
La desviación angular de la bobina y la aguja es directamente proporcional para
a ambas trayectorias;
0
||
|||
|||||||||||||
||
||
|
la corriente en la bobina Ifs Rc 5
Se necesita calibrarlo para que mida la corriente: a) Amperímetro de bobin
26.15 Uso del mismo medidor para
• Desviación máxima 90¡ = desviación medir
de escala completa a) corriente
y b) voltaje.
• Características eléctricas esenciales del medidor: o La corriente Ifs (“full scale”) que se requiere para la desviación de escala completa (~ 10 µA a 10 mA) o La resistencia Rc (“coil”) resistencia de la bobina (~ 10 a 1000 Ω) Rc
Si la bobina obedece la ley de Ohm, la corriente es proporcional a la diferencia +
Rsh
de potencial entre las terminales de la bobina, y la desviación también es a
I
proporcional a esta diferencia de potencial • Ejemplo, un medidor cuya bobina tenga Rc = 20.0 Ω y Ifs = 1.00 mA, la diferencia de potencial V = I fs Rc ≈ 0.0200V Ejemplo 26.8 Diseño de un amperímetro
¿Qué resistencia de derivación se requiere para hacer que el medidor
de 1.00 mA y 20.0 V descrito antes sea un amperímetro con una escala de 0 a 50.0 mA?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Como el medidor se emplea como amperímetro, sus
conexiones internas se ilustran en la figura 26.15a. La variable buscada
es la resistencia de derivación Rsh.
9 PLANTEAR: Se desea que el amperímetro sea capaz de manejar una corriente máxima Is 5 50.0 mA 5 50.0 3 1023 A. La resistencia de la bobi-
na
ple
resi
EJE
cala completa si se conecta a él un resistor en paralelo (figura
te de la corriente de la bobina del medidor. El resistor en paral
derivación o simplemente derivación, y se denota como R
ONLINE
shunt, que en inglés significa derivación).
Suponga que se desea convertir un medidor con corriente
12.4 Uso de amperímetros y voltímetros
resistencia de bobina Rc en un amperímetro con lectura de e
Amperímetros determinar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, o
de escala
completa, la corriente total a través de la com
Amperímetro = instrumento medidor dviación
e corriente (o miliamperímetro, I
,
la
corriente
a
través
de la bobina del medidor es Ifs, y la cor
a
microamperímetro, etc. según la escala) deque la derivación
es dlae diferencia
Ia 2 Ifs. La diferencia de po
• El amperímetro mide la corriente pasa a través él parauambas
trayectorias;
lo tanto,
o Amperímetro ideal ⇒ tiene na resistencia igual por
a cero; cuando se incluye en un ramal de un circuito no se afecta l
a c
orriente Ifs Rc 5 1 Ia 2 Ifs 2 Rsh
(para un amperím
o Amperímetros reales tienen resistencia finita, pero tan pequeña como sea posible b) Voltímetro d
a) Amperímetro de bobina móvil
26.15
Uso
del
mismo
medidor para
medir
a) corriente y b) voltaje.
Un medidor puede adaptarse para medir corrientes mayores que su lectura de |||||||||||||
||
|||
|
|
||
escala completa si se conecta a él un resistor en paralelo, resistor de derivación o derivación (“shunt”, Rsh) Rc
que desvíe parte de la corriente de la bobina del medidor articulada
a
I
Rsh
||
||
+
||
|
|
permanente hierro suave
–
b
+
EJ. Se desea convertir un medidor con corriente de escala completa Ifs y resistencia de bobina Rc en un amperímetro con lectura de escala completa Ia • Ia = la corriente total a través de la combinación en paralelo
Ejemplo
Diseño de un amperímetro
• I26.8
fs = la corriente a través de la bobina del medidor
I a − I fs la corriente que pasa a través de la derivación
•
(
a
I
Va
E
d
I
)
¿Qué resistencia de derivación se requiere para hacer que el medidor na es Rc 5 20.0 V, y el medidor presenta una
• yLa20.0
diferencia
de potencial
Vabamperímetro
es la mismacon
para
ambas
de 1.00 mA
V descrito
antes sea un
una
esca- trayectorias
pleta cuando la corriente a través de la bobina
la de 0 a 50.0 mA?
resistencia de derivación se calcula con la ecu
(
)
I fs Rc = I a − I fs Rsh (7.7) SOLUCIÓN
EJECUTAR: Se despeja Rsh en la ecuación (2
IDENTIFICAR: Como el medidor se emplea como amperímetro, sus
1 1.00 3 10 2
Ej. Para el medidor de antes (Rc = 20.0 Ω y Ifs = 1.00 mA), queremos transformar Ifs Rlco conexiones internas se ilustran en la figura 26.15a. La variable buscada
5
5
R
en un amperímetro con una escala de 0 a 50.0 mA ; la corriente máxima shes I 2 I
50.0 3 10 23 A 2
a
fs
es la resistencia de derivación Rsh.
I a = 50.0mA por lo que la resistencia de derivación debe ser 5 0.408 V
PLANTEAR: Se desea que el amperímetro sea capaz
I fs Rc de manejar una co23
máxima Is 5 50.0 mA 5 50.0 3 10
Rsh =A. La resistencia
= 0.408Ω
de la bobirriente
I a − I fs
La resistencia equivalente del amperímetro es RR
Req = c sh = 0.400Ω Rc + Rsh
La resistencia de derivación es tan pequeña en comparación con la del medidor que la resistencia equivalente está muy cerca de ella 10 para
Ia, la corriente a través de la bobina del medidor es Ifs, y la corriente que pasa a través
de la derivación es la diferencia Ia 2 Ifs. La diferencia de potencial Vab es la misma
para ambas trayectorias; por lo tanto,
Voltímetros Ifs Rc 5 1 Ia 2 Ifs 2 Rsh
(para un amperímetro)
(26.7)
b) Voltímetro de bobina móvil
a)
Amperímetro de bobina móvil
|
||
|
||
||
||
Voltímetro = dispositivo que mide el voltaje (también milivoltímetro, etc. |||||||||||||
|||||||||||||
||
|||
||
|||
|
||
|
según sea la | e| scala de medición) • Un voltímetro mide la diferencia Rc
Rc entre dos puntos a de potencial Rs
los que deben conectarse sus terminales +
–
+
–
• Voltímetro i
deal: t
iene R
a
b
sh
a
b
I
I no resistencia infinita, para alterar ninguna de las corrientes Vb
Va Elemento
• Voltímetros reales: tienen resistencia finita, pero de circuito
suficientemente grande para no I
I
e un amperímetroalterar las corrientes de manera apreciable equiere para hacer que el medidor na es Rc 5 20.0 V, y el medidor presenta una desviación de escala comRcla=bobina
0.0200V
Para l medidor ejemplo, on I fsde
uede 3extender la sea un amperímetro
contransformar una esca- epleta
cuandodlael corriente
a ctravés
es I fsse 5p1.00
1023 A. La
deRderivación
calcula
con la ecuación (26.7).
escala conectando resistencia
un resistor con la bobina s en serie se
• Sólo una fracción de la diferencia de potencial total parece cruzar la bobina, EJECUTAR:
Se despeja
Rsh en la ecuación (26.7) para obtener
y el resto parece atravesar Rs se emplea como amperímetro,
• Para sus
un voltímetro con lectura completa 3 10V23V sAe 2 n1 ecesita 20.0 V 2un resistor Ifs Rcde escala 1 1.00
figura 26.15a. La variableen buscada
serie: 5
Rsh 5
Ia 2 Ifs 50.0 3 10 23 A 2 1.00 3 10 23 A
VV = I fs ( Rc + Rs ) (7.8) 5
0.408
V
metro sea capaz de manejar una co3 1023 A. La resistencia
de u
lana bobiEj. Para escala máxima de 10.0V V
Rs = V − Rc = 9980Ω I fs
La resistencia equivalente es Req = Rs + Rc = 10000Ω muy cerca de Rs •
•
Un medidor de este tipo se describe como “un medidor de 1000ohms por volt”, en referencia a la razón entre la resistencia y la desviación de escala completa En operación normal, la corriente que cruza el elemento de circuito que se mide es mucho mayor que 0.00100 A, y la resistencia entre los puntos a y b en el circuito es mucho menor que 10,000 V ⇒ el voltímetro sólo retira una pequeña fracción de la corriente y casi no interfiere con el circuito sujeto a medición 11 tos de corriente directa
Amperímetros y voltímetros en combinación
Con amperímetros y voltímetros prácticos esto no es tan sencillo como parece. En
laPodemos figura 26.16a,
eluamperímetro
la corriente
I en el resistor R. El voltímetro V,
utilizar n voltímetro yA alee
mperímetro juntos sin embargo,
lee
la
suma
de
la
diferencia
de
potencial
Vab a través
del resistor
y la di• La resistencia R de un resistor es igual a la diferencia de potencial Vab entre ferencia sus de potencial
Vbcdaividida travésedel
amperímetro.
terminales, ntre la corriente I Si
⇒ se
R =transfiere
Vab I la terminal del voltímetro
b, como
la figura 26.16b,
entonces
el voltímetro
lee correctamente
la
• de
La cpaotencia de en
alimentación P a cualquier elemento de circuito es el diferencia
de potencial
el amperímetro
lee la
de la corriente
producto de la dViferencia de potencial que lo cruza y lsuma
a corriente que pasa I en
ab, pero ahora
el resistor
y la
corriente
por él ⇒
P = Vab IIV en el voltímetro. De cualquier forma, se tiene que corregir
la lectura
deprincipio, uno u otro
a menos
que
las
tan pequeñas
• En la finstrumento
orma más directa de m
edir R ocorrecciones
P es con la msean
edición que se puedan
ignorar.
simultánea de Vab e I o-voltímetro
b)
a)
a
R
b
RA
A
a
c
R
b
A
c
I
I
IV
V
V
RV
RV
Con amperímetros y voltímetros prácticos esto no es tan sencillo como parece a) IEl amperímetro A lee la corriente I en el resistor R; El voltímetro V lee la ón de la resistencia
suma de la diferencia de potencial Vab a través del resistor y la diferencia de potencial Vbc a través del obtener
amperímetro. V a través del amperímetro a
a resistencia desconocida R utilizando
PLANTEAR:
Para
el voltaje
bc
b)son
Si R
se t5
ransfiere a terminal del yvoltímetro e c a b, el vseoltímetro lee de Ohm.
Las resistencias del medidor
partirlde
su corriente
resistencia dconocidas,
utiliza la ley
V
correctamente l
a d
iferencia d
e p
otencial V
, p
ero a
hora e
l a
mperímetro ab
RA 5 2.00 V (para el amperímetro). Si Después se despejan Vab y la resistencia R. Así, se estará en posibilidad
lee la A,
suma de la corriente I en el resistor y la corriente I en el 2.0 V y el amperímetro otra de 0.100
de calcular la potencia P que alimenta al resistor. V
voltímetro potencia disipada en el resistor?
EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Ohm, Vbc 5 IRA 5 (0.100 A)
De cualquier forma, s(2.00
e tiene ue 0.200
corregir ectura e uno de
u oéstas
tro ies
nstrumento V)q5
V y Vla IR. Ladsuma
V 5 12.0 V,apor
ab l5
menos que las correcciones sean tan pequeñas que se puedan ignorar o da una lectura de la corriente I 5 lo que la diferencia de potencial a través del resistor es Vab 5 V 2 Vbc
voltímetro da la lectura de la diferen- 5 (12.0 V) 2 (0.200 V) 5 11.8 V. Por lo tanto, la resistencia es
s a y c. Si el amperímetro fuera ideal
diferencia de potencial igual a cero entro V 5 12.0 V sería igual a la diferenresistor, y la resistencia simplemente
)>(0.100 A) 5 120 V. Sin embargo, el
stencia es RA 5 2.00 V), por lo que la
ad es la suma de las diferencias de poetro) más Vab (a través del resistor).
R5
Vab
11.8 V
5
5 118 V
I
0.100 A
La potencia disipada en este resistor es
P 5 Vab I 5 1 11.8 V 2 1 0.100 A 2 5 1.18 W
EVALUAR: Se puede confirmar este resultado de la potencia si se utiliza la fórmula alternativa P 5 I 2R. ¿Obtiene usted la misma respuesta?
ón de la resistencia II
ejemplo 26.10 están conectados a un
ue se ilustra en la figura 26.16b, y que
son las mismas que las del ejemplo
e esta nueva resistencia R y de la po-
26.10 el amperímetro leía la corriente
EJECUTAR: Se tiene IV 5 V >RV 5 (12.0 V)>(10,000 V) 5 1.20 mA.
La corriente real I en el resistor es I 5 IA 2 IV 5 0.100 A 2 0.0012 A 5
0.0988 A, y la resistencia es
Vab
12.0 V
5
5 121 V
R5
0.0988 A
12 I
La potencia disipada en el resistor es
tímetro
ferencia de potencial Vbc a través del amperímetro. Si se transfiere la terminal del voltímetro de c a b, como en la figura 26.16b, entonces el voltímetro lee correctamente la
diferencia de potencial Vab, pero ahora el amperímetro lee la suma de la corriente I en
el resistor y la corriente IV en el voltímetro. De cualquier forma, se tiene que corregir
la lectura de uno u otro instrumento a menos que las correcciones sean tan pequeñas
que se puedan ignorar.
Ejemplo b)
a)
a
R
b
RA
A
a
c
R
b
A
c
I
I
IV
V
V
RV
RV
¿Cuál es la resistencia desconocida en (a)? de la resistencia
I
Si RV = 10000Ω, RA = 2.00Ω, e si el voltímetro da una lectura de 12.0V y el 0.100A stencia desconocidaamperímetro R utilizando I =PLANTEAR:
Para obtener el voltaje Vbc a través del amperímetro a
son RV 5 partir de su corriente y resistencia conocidas, se utiliza la ley de Ohm.
istencias del medidor
V = 12.0V
Usando la lSi
ey de Ohm: Vse
Vab = IR la uma sees = IRA = 0.200V
bc despejan
2.00 V (para el amperímetro).
Después
Vab y la yresistencia
R.sAsí,
estará
en posibilidad
por que A,
y la resistencia Vab =de
V −calcular
Vbc = 11.8V
y el amperímetro otra
delo 0.100
la potencia
P que alimenta
al resistor.
cia disipada en el resistor?
Vab
R = con
= la
118Ω
EJECUTAR: De acuerdo
ley de Ohm, Vbc 5 IRA 5 (0.100 A)
I
(2.00 V) 5 0.200 V y Vab 5 IR. La suma de éstas es V 5 12.0 V, por
lo que la diferencia de potencial a través del resistor es Vab 5 V 2 Vbc
una lectura de la corriente
I
5
Ahora, en la configuración (b) la respuesta será diferente; metro da la lectura de la diferen- 5 (12.0 V) 2 (0.200 V) 5 11.8 V. Por lo tanto, la resistencia es
c. Si el amperímetro
fuera ideal
Usando la regla de la uniones I A = I + IVV ab donde V
11.8
R5
5
5 118 V
ncia de potencial igual a cero enIV = V RV = 12.0V
I 10000Ω
0.100 =A1.2mA 5 12.0 V sería igual a la diferenLa potencia disipada en este resistor es
or, y la resistenciaLa simplemente
corriente real I en el resistor es I = I A − IV = 0.0988A y la resistencia 00 A) 5 120 V. Sin embargo, el
P 5 Vab I 5 V1ab11.8 V 2 1 0.100 A 2 5 1.18 W
a es RA 5 2.00 V), por lo que la
R=
= 121Ω I
la suma de las diferencias de po- EVALUAR: Se puede confirmar
este resultado de la potencia si se utili2
resistor).
más Vab (a través del
za la fórmula alternativa P 5 I R. ¿Obtiene usted la misma respuesta?
El hecho que los valores son casi igual es porque los instrumento de medición son casi ideal – pero en practica debe tomar en cuenta el modo de utilización de la resistencia
II
plo 26.10 están conectados a un
ilustra en la figura 26.16b, y que
as mismas que las del ejemplo
nueva resistencia R y de la po-
el amperímetro leía la corriente
a del voltímetro no era la misma
del resistor. Ahora la situación es
5 12.0 V indica la diferencia de
pero la lectura del amperímetro
I a través del resistor?
de las uniones en b en la figura
del volV es la corriente a través
lores dados de V y la resistencia
para determinar la corriente I en
EJECUTAR: Se tiene IV 5 V >RV 5 (12.0 V)>(10,000 V) 5 1.20 mA.
La corriente real I en el resistor es I 5 IA 2 IV 5 0.100 A 2 0.0012 A 5
0.0988 A, y la resistencia es
R5
Vab
12.0 V
5
5 121 V
I
0.0988 A
La potencia disipada en el resistor es
P 5 Vab I 5 1 12.0 V 2 1 0.0988 A 2 5 1.19 W
EVALUAR: Nuestros resultados para R y P no son demasiado distintos
de los resultados del ejemplo 26.10, en que los medidores estaban conectados en forma diferente. Eso es porque el amperímetro y el voltímetro son casi ideales: en comparación con la resistencia R en estudio, la
resistencia del amperímetro13 RA es muy pequeña, y la del voltímetro RV
es muy grande. No obstante, los resultados de los dos ejemplos son diferentes, lo que demuestra que al interpretar las lecturas de amperímetros y
|
|||
ncia es utilizar un medidor de d’Arsonval 26.17 Circuito del óhmetro. El resistor Rs
o, que consiste en un medidor, un resistor tiene una resistencia variable, como indica
de linterna) conectados en serie (figura la flecha a través del símbolo del resistor.
Para emplear el óhmetro, primero se
e conecta entreÓhmetros las terminales x y y.
conecta
x directamente
y y se ajusta
Rs
2 6 . 3 Instrumentos
de medicióncon
eléctrica
895
ajusta de manera
que cuando
las
terminaÓhmetro = método alternativo para m
edir l
a r
esistencia hasta que la lectura del instrumento sea
ando R 5 0), el medidor
muestre
des• Consiste en un muna
edidor, un resistor y una fuente (batería de linterna) de cero. Después se conectan x y y a
conectados en serie nada conectado a las
terminales
x y y, de través del resistor R y se lee la escala.
o para
medir la (es
resistencia
utilizar unR
medidor
de d’Arsonval
26.17 Circuito del óhmetro. El resistor Rs
stá
abierto
decir, escuando
S `),
no
onocida como óhmetro,
en unRmedidor,
un resistor
• que
La consiste
resistencia se conecta entre tiene una resistencia variable, como indica
hay
desviación.
cualquier
valor
interecuencia,
una bateríaPara
de linterna)
conectados
serie (figura la flecha a través del símbolo del resistor.
las terminales x y y en
Para emplear el óhmetro,
se
| | | | | | primero
|
R que del
se vavalor
a medirde
se conecta
entre
las terminales
x y y.
||
ende
R, y su
escala
se puede
|
||
|
conecta
x
directamente
con
y
y
se
ajusta
Rs
manera queen cuando
erie Rs es variable; se ajusta
• mayores
La deresistencia serie las
Rs eterminas ncia
R.
Corrientes
corresponden
hasta que la lectura
del
instrumento
sea
0
`
ocircuito (es decir, cuando variable; R 5 0), elsmedidor
una dese ajusta muestre
de m
anera de cero. Después se conectan x y y a
escala
lee
hacia
atrás
en
comparación
con
mpleta. Cuando no hay nada conectado a las terminales x y y, de través del resistor R y se lee la escala.
que cuando las terminales x y y +
+
|||
|
o entre tales puntos está abierto (es decir, cuando R S `), no
están en cortocircuito ( R = 0 ), onsiguiente, tampoco hay desviación. Para cualquier valor intere
mucha
precisión,
los
instrumentos
conse puede
mvalor
edidor una | | | | | |E
|
ación del medidor dependeel del
dem
R,uestre y su escala
|||
|
||
desviación d
e e
scala c
ompleta R
instrumentos
electrónicos
que
dan
lectuorma directa la resistencia R. Corrientes mayores corresponden
0
` s
lee hacia atrás en comparación con
queñas,
por
lo
que
esta
escala
os, estables y confiables mecánicamente
x
y
• Cuando no hay nada conectado la corriente.
metros
digitales
se
fabrican
con
resistenR → ∞ ), no (circuito abierto, en las que se requiere mucha
precisión,
los oinstrumentos
con
E
Rs
MV.
figura por
26.18
muestra
uny multímehay corriente tampoco nval seLa
sustituyen
instrumentos
electrónicos
que dan lectuson máscorriente
precisos, estables
y confiables en
mecánicamente
desviación x
irÉstos
voltaje,
o resistencia
un
y
d’Arsonval. Los voltímetros
digitales se fabrican con resisten R
ada, del orden de 100 MV. La figura 26.18 muestra un multíme•
Para c
ualquier v
alor i
ntermedio d
e R
, l
a d
esviación d
el m
edidor d
epende mento capaz de medir voltaje, corriente o resistencia en un
del valor de R, y su escala se puede calibrar para leer eRn forma directa la o.
resistencia tro para medir la fem de una fuente sin 26.18 Este multímetro digital puede
utiliza
• útiles.
Corrientes ayores orresponden resistencias más pequeñas, por que un instrumento
que se utiliza
para medir
fem de cuna
fuente usarse
sin a 26.18
Estevoltímetro
multímetro
digital
puede
como
(escala
enlo color
otras
aplicaciones
En mlaesencia,
un
escala lee hacia atrás en comparación con lvoltímetro
a escala q(escala
ue muestra la como
en color
ésta; también tiene otras esta aplicaciones
útiles.
En
esencia,
un usarse
rojo),
amperímetro
(escala
amarilla)
y
potencial
desconocida
contra
una
diferenrojo),
amperímetro
(escala
amarilla)
y
corriente ensa una diferencia de potencial desconocida contra una diferenóhmetro
(escala
óhmetro
(escalaverde).
verde).
able y mensurable. otenciómetro
se ilustra
laUn
figura
26.19a.
resisEn sen
ituaciones que se Un
requiere mde
ucha en la figura
26.19a.
alambre
dealambre
resisa las terminales
ncia total Rab está conectado
precisión, permanentemente
se usan instrumentos a lasdeslizante
terminales
un contacto
c adigitales través del
mectado
conocidapermanentemente
E1. Se conecta
electrónicos que dan lecturas ecta
un fuente
contacto
deslizante
c
a
través
del
habrá
de
medirse.
A
medida
que el
a segunda
cuya
fem
E
directas 2 afem
lo largo
alambre
la resistencia
habrá
de de
medirse.
medida
elRcby entre
E2 del
•resistencia,
Son mA
ás varía
p
recisos, eque
stables es
proporcional
aq
laue lonalambre de resistencia es uniforme,
R
cb
mecánicamente de
resistencia,
laconfiables resistencia
,
se
desliza
el
re los
puntos c y b.varía
Para determinar
el valor R
decbEentre
2
los medidores de d’Arsonval seesencuentra
una
posición
en
la
que
el
galvanómetro
no
muestra
uniforme, R cb es proporcional a la lon. Con I2 5
esponde
a una corriente
nula ade
través
de
seE2desliza
el0, la rera determinar
el valor
E2d,igitales Los voltímetros se fabrican as espiras da
con resistencia interna uy elevada ~ ión en la que el
galvanómetro
no mmuestra
5 IRcb
E2 100MΩ te nula a través de E2. Con I2 5 0, la re riente I producida por la fem E1 tiene el mismo valor sin impor de la fem E2. El dispositivo se calibra sustituyendo E2 por una
da; después, es posible
encontrar cualquier fem E2 desconocida 26.19 a) Circuito del potenciómetro.
IR
delcbalambre cb con la cual I
5 0 (véase el ejercicio 26.35). b) Símbolo que en un circuito representa
un potenciómetro (resistor variable).
o funcione, Vab debe ser mayor que E2.
la
fem
E
tiene
el
mismo
valor
sin
impor1
iómetro también
se utiliza para cualquier resistor variable, por lo
a)
E1
sitivo
se calibra
sustituyendo
por
una
ento
de resistencia
circular
y un contactoEdeslizable
controlado
+
2
26.19 a) Circuito del potenciómetro.
y una perilla.
En la figurafem
26.19b
ilustra el símbolo para
eorio
encontrar
cualquier
E2 sedesconocida
2
representa
a cual I2 5 0 (véase el ejercicio 26.35). b) SímboloI que enI Iun circuito
I
un potenciómetro (resistor variable).
er mayor
que E26.3
2.
sión
de la sección
Se desea medir la corriente y
b
aliza
a través
resistor de 2 Vresistor
que se ilustra
en la figurapor
26.12lo
14 a) a
paradelcualquier
variable,
EI1 ! 0
c
ción 26.2). a) Para hacer eso, ¿cómo se deben conectar un amperímetro
2
cular
y un
contacto
deslizable
+
mperímetro
y el voltímetro
se conectan
en seriecontrolado
con el resistor de 2 V;
necta
en serie26.19b
con el resistor
de 2 V y elel
voltímetro
se conecta
la
figura
se ilustra
símbolo
paraentre
go del alambre de resistencia, varía la resistencia Rcb entre
e de resistencia es uniforme, Rcb es proporcional a la lonpuntos c y b. Para determinar el valor de E2, se desliza el
entra una posición en la que el galvanómetro no muestra
e a una corriente nula a través de E2. Con I2 5 0, la reas da
El potenciómetro
E2 5 IRcb
producida por la Potenciómetro fem E1 tiene el mismo
valor sin impor= instrumento para medir la fem de una fuente sin extraer se calibra
sustituyendo
por
em E2. El dispositivo
corriente de ésta (también Etiene ouna
tras aplicaciones útiles) 2
26.19 a) Circuito del potenciómetro.
pués, es posible encontrar
cualquier
• En esencia, fem
un pEotenciómetro 2 desconocida compara una diferencia de potencial b) Símbolo que en un circuito representa
0 (véase el cejercicio
26.35).
ambre cb con la cual I2 5
desconocida ontra una diferencia de potencial ajustable y mensurable un potenciómetro (resistor variable).
que E2.
ione, Vab debe ser mayor
o también se utilizaUn para
cualquier
variable,
por lo
a)
E1
alambre de rresistor
esistencia ab con resistencia circular
y un contacto
deslizable
controlado
+
resistencia total R
ab está conectado una perilla. En la figura
26.19b se ilustra
el tsímbolo
para
permanentemente a las erminales de una fuente de fem conocida E1 I
I
I
I
e la sección 26.3 Se Se
desea medir
la corriente
y
conecta un contacto deslizante c a a
b
és del resistor de 2 Vtravés que sedilustra
en
la
figura
26.12
el galvanómetro G a una c
I2 ! 0
2). a) Para hacer eso,segunda ¿cómo sefdeben
un amperímetro
uente conectar
cuya fem E2 habrá de etro y el voltímetro se conectan en serie con el resistor de 2 V;
medirse serie con el resistor de 2 V y el voltímetro se conecta entre
G
+
etro se conecta entre los puntos b y d y el voltímetro en serie
r
A medida que contacto G
perímetro y el voltímetro•se conectan
entre
losel puntos
b y d.c se E 2, r
desliza a
l
o l
argo d
el a
lambre d
e sistencia que deben tener estos instrumentos? i) Las resistencias
resistencia, varía la rdel
esistencia deben ser mucho mayores que
2 V; ii) la resistencia
ampeb)
R
cb menor que 2 V; iii) la resisque 2 V y la del voltímetro mucho
Si evoltímetro
l alambre de resistencia es mucho menor que 2 V y•la del
mucho
mayor
Rcb es que
proporcional a ambos instrumentos deben seruniforme, mucho menores
2 V.
❚
la longitud del alambre entre los puntos c y b • Para determinar el valor de E2 , se desliza el contacto c hasta que se encuentra una posición en la que el galvanómetro no muestra desviación; esto corresponde a una corriente nula a través de E2 • Con I 2 = 0 , la regla de Kirchhoff de las espiras da E2 = IRcb o Con I 2 = 0 , la corriente I producida por la fem E1 tiene el mismo valor sin importar cuál sea el valor de la fem E2 o El dispositivo se calibra sustituyendo E2 por una fuente de fem conocida o Después, es posible encontrar cualquier fem midiendo la longitud del alambre cb con la cual I 2 = 0 Note: para que esto funcione, Vab debe ser mayor que E2 El término potenciómetro también se utiliza para cualquier resistor variable (b), por lo general con un elemento de resistencia circular y un contacto deslizable controlado mediante un eje giratorio y una perilla 15 26.21 Carga de un capacitor. a) Antes de
C U I DA D O
La
La
26.21
muestralauncarga
circuito
un hem
ca
quefigura
se cierre
el circuito,
q es simple
igual para
estecargar
momento
Pulmón
Pulmón
éste,
que
un elresistor
y unsecapacitor
en seriu
a cero.
b) tiene
Cuando
interruptor
cierra conectados
tantes, y hemos
(enha
t 5idealizado
0), la corriente
pasa de
a E>R.
Se
la batería
(ocero
fuente
de energía
eléctrica)
p
dades. Para difere
A medida que
transcurre
el tiempo,
constante
y una
resistencia
eléctrica igual a cero
(r 5 letras
0), y m
s
usaremos
q
se
acerca
a
Q
,
y
la
corriente
i
se
f
varían
con
el
tiem
de todos los conductores de conexión.
acerca a cero.
Se comienza con el capacitor descargado (figura 26.21a
Circuitos R-­‐C Corazón
Como el cap
mento
inicial,
t 5 0, sealcierra
a) Capacitor
descargado
inicio el interruptor, lo que completa e
potencial
vbc a t
corriente
alrededor
desituación la espira ecomience
Interruptor
En el acto de cargar o descargar un capacitor se encuentra una n la que a cargar el capacito
deen
Kirchhoff
E
abierto
los efectos
prácticos, la corriente comienza
el mismodei
las corrientes, los voltajes y las potencias sí dos
cambian + con el tiempo batería
E. La
conductoras del circuito, y en todo momento la corriente
es co
la
dada por la ley d
Muchos dispositivos importantes incorporan circuitos en los que un capacitor se C U I DA D O Las letras minúsculas significan que
26.21 Carga de un capacitor. a) Antes de
hay varia
A medida
qu
carga y descarga alternativamente: Ej. marcapasos cardiacos, semáforos que se cierre el circuito, la carga q es igual
este momento hemos trabajado con diferencias decial
potencial
(voltaje
v
a
través
ab
intermitentes, luces e emergencia de los automóviles y unidades de flash a cero. b) Cuando
el dinterruptor
se cierra
tantes, y hemos utilizado
letras
mayúsculas
V,
I
y
Q,
respectivame
La
suma
de esto
q50
i50
electrónico (en t 5 0), la corriente pasa de cero a E>R.
dades. Para diferenciar entre cantidades que varían
con
el
tiempo
el capacitor esty
A medida que transcurre el tiempo,
usaremos letras minúsculas, v, i y q para voltajes,
corrientes
potencial
vabyaca
t
a
b
c
R el tiempo.
Carga de un acapacitor q se acerca
Qf, y la corriente i se
varían con
Se
sugiere
al
lector
que
en
su
trabajo
siga
esta
C
de la fem E de l
acerca a cero.
Sea qestá
la carg
Comodelelcapacitor
capacitor de la figura 26.21 al principio
des
b) Carga
a) Capacitor descargado al inicio
después
de
habe
potencial vbc aInterruptor
través suyo es igual a cero en t 5 0. En ese
Interruptor
E
te en del
correspond
de Kirchhoff
de
las espiras, el voltaje vab a través
resisto
cerrado
E
+
abierto
como
apreci
+
batería E. La corriente inicial
Cuando(tel5 0) a través delseresistor,
y vbc son
se
dada por la ley de Ohm: Iinterruptor
0 5 vab>R 5 E>R.
i
cierra,sea carga,
medida su voltaje v aumenta
A medida que el capacitor
bc
que transcurre el
cial vab a través del resistor
disminuye,
lo
que
corresponde
a
tiempo, la carga
1q 2q
i
La suma de estos dos voltajes
es constante e igual a E. Desp
en el capacitor
q50
i50
Con la regla de
incrementa
y
el capacitor está cargadosepor
completo,
la corriente baja a
a
b
c
la corriente
potencialR vab a través
a
b
c
C del resistor se vuelve cero. En ese mom
R
C
de la fem E de la batería adisminuye.
través del capacitor y vbc 5 E.
Sea
q
la
carga
en
el
capacitor
e i la corriente
el circuito
b) Carga del capacitor
El en
potencial
cae
después
de haberse
cerrado el interruptor. Asignamos
el isen
Circuito R-­‐C: tiene u
n r
esistor y
u
n c
apacitor c
onectados e
n s
erie Al
despejar
en
Interruptor
E
te
en
correspondencia
al
flujo
de
carga
positiva
hacia
la
plac
cerrado
+
Se comienza con el capacitor descargado como se aprecia en la figura 26.21b. Las diferencias de p
Cuando
el
seinicial, ty =v 0
bc, son
• Después, ei n cierto interruptor
momento se cierra el interruptor, lo que cierra,
a
medida
completa el circuito y permite que la corriente alrededor de la espira q
vbc 5
vab 5 iR
comience a cargar que
el ctranscurre
apacitor el C
tiempo, la carga
1q los 2qefectos i todos • Para rácticos, la corriente comienza en el mismo instante en el pcapacitor
la regla
Kirchhoff
de las
se obtiene
en todas las partes conductoras del cCon
ircuito, y en de
todo momento la cespiras,
orriente a
•
•
•
se incrementa y
b
es Rla misma en ctodas ellas q
la corriente
C
E
2
iR
2
50
disminuye.
Al principio el capacitor está descargado, y la diferencia de potencial vbc a C
través suyo es igual a cero en t = 0 El potencial cae en una cantidad iR conforme se va de a a b, y
En ese momento, la regla de Kirchhoff de las espiras implica que el voltaje Al despejar i en la ecuación (26.9), se encuentra que:
vab a través del resistor R es igual a la fem de la batería E q
La corriente inicial (t = 0) a través del resistor, I0, está dada por la ley de E
2
i
5
Ohm: I 0 = vab R = E R R
RC
16 que se cierre el circuito, la carga q es igual
a cero. b) Cuando el interruptor se cierra
(en t 5 0), la corriente pasa de cero a E>R.
A medida que transcurre el tiempo,
q se acerca a Qf, y la corriente i se
acerca a cero.
este momento hemos trabajado con diferencias decial
potencial
vab a (voltaje
través
tantes, y hemos utilizado
letras
mayúsculas
V,
I
y
Q,
respectivame
La suma de esto
q50
i50
dades. Para diferenciar entre cantidades que varían
el tiempo
elcon
capacitor
esty
usaremos letras minúsculas, v, i y q para voltajes,
corrientes
potencial
vabyaca
t
a
b
c
R el tiempo.
varían con
Se
sugiere
al
lector
que
en
su
trabajo
siga
esta
C
de la fem E de l
Sea qestá
la carg
Comodelelcapacitor
capacitor de la figura 26.21 al principio
des
b) Carga
después
de
habe
potencial vbc aInterruptor
través suyo es igual a cero en t 5 0. En ese
E
te en del
correspond
de Kirchhoff
de
las espiras, el voltaje vab a través
resisto
cerrado
+
como
se
apreci
batería E. La corriente inicial
Cuando(tel5 0) a través del resistor,
dada por la ley de Ohm: Iinterruptor
5 v >Rse5 E>R. y vbc son
a) Capacitor descargado al inicio
+
E
Interruptor
abierto
i
0
ab
cierra,sea carga,
medida su voltaje v aumenta
A medida que el capacitor
bc
que transcurre el
cial vab a través del resistor
disminuye,
lo
que
corresponde
a
tiempo, la carga
1q 2q
i
La suma de estos dos voltajes
es constante e igual a E. Desp
en el capacitor
q50
i50
Con la regla de
incrementa
y
el capacitor está cargadosepor
completo,
la corriente baja a
a
b
c
la corriente
potencialR vab a través
a
b
c
C del resistor se vuelve cero. En ese mom
R
C
de la fem E de la batería adisminuye.
través del capacitor y vbc 5 E.
Sea
q
la
carga
en
el
capacitor
e
i
la
corriente
el circuito
•
A m
edida q
ue e
l c
apacitor s
e c
arga, s
u v
oltaje v
a
umenta y
l
a d
iferencia d
e El en
potencial
cae
bc
b) Carga del capacitor
después
de
haberse
cerrado
el
interruptor.
Asignamos
el
sen
potencial vab a través del resistor disminuye, lo que corresponde a una baja Al despejar i en
Interruptor
E
te en correspondencia al flujo de carga positiva hacia la plac
de l
a c
orriente cerrado
+
como se
aprecia
• La suma de estos dCuando
os voltajes es constante e igual a Een
la figura 26.21b. Las diferencias de p
el
y vbc son
interruptor
se el capacitor • Después de un periodo largo, está cargado por completo, la i
cierra,
ad
medida
corriente baja a cero y la iferencia de potencial vab a través del resistor se q
que transcurre el
5
iR
v
5
v
ab
bc
vuelve cero C
tiempo, la carga
2q
• En i ese m1q
omento aparece la totalidad de la fem E de la batería a través del en el capacitor
Con la regla de Kirchhoff de las espiras, se obtiene
capacitor y vbc = E se
incrementa y
a
b
c
q
la corriente
R
C
E 2 iR 2 5 0
disminuye.
C
• Sea q la carga en el capacitor e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo t después de haberse cerrado Elel potencial
interruptor cae en una cantidad iR conforme se va de a a b, y
• Asignamos el sentido positivo a la corriente e
n c
orrespondencia al flujo e Al despejar i en la ecuación (26.9),
sedencuentra
que:
carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor q
E
• Las diferencias de potencial instantáneas vab y vbc son i5 2
R
RC
q
vab = iR vbc = C
• Con la regla de Kirchhoff de la espiras se obtiene q
(7.9) E − iR − = 0 C
• El potencial cae en una cantidad iR conforme se va de a a b, y en q C al pasar de b a c • Al despejar i en la ecuación se encuentra que: E
q
(7.10) i= −
R RC
• Conforme la carga se incrementa, el término q RC se hace más grande y la carga del capacitor tiende a su valor final, Qf • La corriente disminuye y finalmente se vuelve cero i = 0 E Qf
(7.11) =
⇒ Q f = CE R RC
Este resultado no depende de R 17 ne
corriente pasa de
como funciones del tiempo para el circuito
de la figura 26.21. Al principio, la corriente
e a cero. La carga
dq inicial esdtI y la carga del capacitor vale
52 0
final dado por la
corriente tiende a cero en forma
q 2 CEcero. LaRC
asintótica, y la carga del capacitor se
riente lados.
i comoPodemos
fun- aproxima
mbos
cambiarenlas
variables
de aintegración
a qr y
forma
asintótica
su
corriente
(figura
valor
final
Q
.
f
utilizar q y t para los límites superiores.
Los límites inferiores
izquierda (positin en la ecuación
RC
O
t
a) Gráfica de la corriente contra el tiempo para
un capacitort en proceso de carga
dtr
5 2i 3
dqr
3
0 qr 2 CE
q
carga, la corriente disminuye
en forma exponencial con
respecto al tiempo.
/
/
I0 2
I0 e
ión y se obtiene:
1
0
I0
2
b) Gráfica de la carga de un capacitor contra el
tiempo para un capacitor en proceso de carga
q
RC
Qf
q 2 CE
t
I05
ln
/2 2
2CE I0 /e RC
/
Qf e
Conforme el capacitor se
carga, la corriente disminuye
en forma exponencial con
respecto al tiempo.
/
Qf 2
xponencial (es decir, se toma el logaritmo inverso) y se despeja
integración a q r y
límites inferiores
RC
O
t
O
La carga
en el capacitor se
incrementa en forma
exponencial con
respecto al tiempo
hacia el valor final Qf.
t
RC
q 2 CE
2t/RC
Las geráficas se mdeuestran como b) 5
Gráfica
de la carga
un capacitor
contralaelcorriente y la carga del capacitor cambian con el
2CEtiempo
tiempo para un capacitor en proceso de carga
q
• En el instante en que el interruptor se cierra (t = 0), la corriente pasa de /RC 2 5 Qf 1 1 2 e2t/RC 2 Qf (circuito R-C, con
E(26.12)
capacitor
carga)
Qaf / esu ven
cero alor inicial La
I 0carga
= ; Después de eso, tiende gradualmente a cero R
en el capacitor se
incrementa
en
forma
nea i tan sólo es la derivada
con
respecto
al
tiempo
de
la
ecua-en cero y poco a poco se acerca al valor La carga del capacitor comienza Q•
f /2
exponencial con
final Q f = CE
respecto al tiempo
hacia el valor final Qf.
generales
para
q e i: t (26.13)
(circuito
R-C,
RC
erso) y se despeja
dq
E
Expresión
O
5 e2t/RC 5 I0e2t/RC
capacitor en carga)
dt
R
Con el sentido positivo para la corriente, i es igual a la tasa a la que la carga positiva llega a la placa zquierda del capacitor, por lo que nte son ambas funciones
exponenciales
del itiempo.
La(positiva) figura
dq
E
q
1
e la ecuación (26.13),
y la figura 26.22b es la gráfica
de=la ecua i
=
−
=
−
( q − CE ) (26.12)
dt
R
RC
RC
)
Esto es una ecuación diferencial a variables separables
5
empo de la ecua-
rga)
dq
dt
=−
q − CE
RC
(26.13)
iempo. La figura
gráfica de la ecua-
Podemos integrar ∫
q
0
t dt ′
dq′
= −∫
0 RC
q′ − CE
Como resultado: Para la carga: (7.12) t
−
t
q − CE
⎛ q − CE ⎞
RC
ln ⎜
=−
⇒
= e ⎝ −CE ⎟⎠
RC
−CE
q = CE (1− e−t RC ) = Q f (1− e−t RC ) La corriente instantánea es la derivada
(7.13) i=
dq E −t RC
= e
= I 0 e−t RC dt R
18 Constante de tiempo Si R está en ohms y C en farads, t está en segundos Cuando t = RC la corriente en el circuito R-­‐C ha disminuido (~ 0.368) de su directa
898
C A P Í T U LOa 216e Circuitos
de corriente
valor inicial 26.23 Descarga de un capacitor. a) Antes
En ese momento la carga del capacitor ha alcanzado el 1− 1 e  0.632 de su valor Constante d
de que el interruptor esté cerrado en el
Una vez que el tie
final momento t 5 0, la carga del capacitor es
(alrededor
de 0.3
Q0 y la corriente es igual a cero. b) En el
alcanzado el (1 2
momento
t, una
queeel
El producto RC es una medida de la rapidez con que se cvez
arga l cinterruptor
apacitor se
ha
cerrado,
la
carga
del
capacitor
es
q
y
es
una medida de
la
corriente
es
i.
El
sentido
real
de
la
cobre de constante
La constante de tiempo o tiempo de relajación rriente
es
opuesto
al
sentido
que
se
ilustra;
(7.14) τ = RC t
i es negativa.
C APÍT U LO 26 Circuitos de corriente
directa Después de un tiempo
898
prolongado, tanto q como i tienden a cero.
Cuando t es pequ
• Cuando τ es pequeña, el capacitor se carga con rapidez cargado y el de carga toma má
o Si la resistencia es pequeña, ea)
s fCapacitor
ácil que inicialmente
fluya la corriente 26.23 Descarga de un capacitor. a) Antes
Constante
de
tiempo
Interruptor
y el capacitor se
capacitor se carga rápido de que el interruptor esté cerrado en el
abierto
la figuraen
2
• Cuando τ es grande, el proceso de carga toma ás que
tiempo Una m
vez
el tiempo es igual a RC, laEn
corriente
momento t 5 0, la carga del capacitor es
to, i nunca
llegam
o Más grande la capacitancia y más t(alrededor
iempo se toma para cargar de 0.368)
de suel valor inicial.
En ese
Q0 y la corriente es igual a cero. b) En el
acercará
a
ese
va
capacitor alcanzado el (1 2 1>e) 5 0.632 de su valor final Qf
momento t, una vez que el interruptor se
jado a 0.000045 d
ha cerrado, la carga del capacitor es q y
es
una
medida
de
la
rapidez
con
que
se carga el cap
Descarga de un capacitor acerca a la asínto
la corriente es i. El sentido real de la co+ Q0 – Q0 de tiempo, o tiempo de relajació
brei !
de0 constante
exacto, pero desp
rriente es opuesto al sentido que se ilustra;
Una cargado el capacitor retira la batería del circuito R-­‐C yt s5
e cRC
onectan los de 0.000045
(constante
de tiempovec
pa
i esvez negativa.
Después
de unse tiempo
a
b
c
R
puntos a y c a un interruptor abierto RC
está
expresad
C
prolongado, tanto q como i tienden a cero.
Cuando t es pequeña, el capacitor se carga con rap
a) Capacitor inicialmente cargado
Interruptor
abierto
+Q0 –Q0
i!0
a
b
R
b) Descarga
del capacitor
de carga
toma más tiempo. Si la resistencia
es peq
Descarga
de
Interruptor
y el capacitor se carga rápido. Si R está en ohms y
Ahora suponga q
cerrado
En la figura 26.22a, el eje horizontal
es una así
Cuando se cierra el carga Q0, se retir
to, i nunca llegaráinterruptor,
exactamente
a cero. Pero cuan
tanto la rruptor abierto (fi
i
acercará a ese valor.
Después
de que
un el
tiemp
carga
en el capacitor
se pasa
reajusta
cro
como
corriente
jado a 0.000045 de
su la
valor
inicial.descarga
De manera
sim
a través
–q
i
disminuyen con el
vez, i y Q
q
acerca
a +laq asíntota,
la recta horizontalOtra
punteada
tiempo.
to
instante
despu
exacto, bpero después
de un tiempo igual a 10 RC
c
R
delalsent
C veces el valor de Q. elección
de 0.000045
Se invita
le
regla de Kirchho
RC está expresado en unidades de tiempo.
a
c
C
La corriente
i y la carga
q del a Después s
e c
ierra e
l i
nterruptor; a
t = 0, q =26.24
Q0; luego, el capacitor se descarga b) Descarga del capacitor
capacitor como funciones del tiempo para
Descarga
de un capacitor
través del resistor y su carga disminuye finalmente a cero el circuito de la figura 26.23. La corriente
Interruptor
La corriente i aho
inicialAhora
es I0 y suponga
la carga inicial
capacitor
que del
después
de que el capacitor d
cerrado
la placa izquierda
es Q0.carga
Tanto Q
i como
q tienden a cero de
R-C yal se
0, se retira la batería del circuito
Cuando se cierra manera
el
do opuesto
quec
asintótica.
cierraese
interruptor, tanto la rruptor abierto (figura 26.23a). Después
rrienteseinicial
i
a) Gráfica
de la corriente
contra el tiempo
carga en el capacitor
se reajusta
el cronómetro
a t 5 0; enPara
ese encontra
momen
para
un
capacitor
en
descarga
como la corriente
descarga a través del resistor y su carga
disminuye
vo se cambian
lo
i
+q –q
i
disminuyen con el
los límites
Otra vez, i y q representan la corriente
y lapara
cargq
tiempo.
a
R
b
c
C
19 I0 /e
/
I0 2
26.24 La corriente i y la carga q del
RC
t se hizo la conexión. En
instante después de que
elección del sentidoLapositivo
corriente para la corriente qu
regla de Kirchhoff
de las
espiras da la ecuación (2
disminuye
en forma
O to
exponencial a medida que
se descarga el capacitor. (La
dq
q
carga en el capacitor se reajusta el cr
to, i nunca llegará exactamente
Pero cuanto más tiempo
comoa lacero.
corriente
descarga a travé
acercará a iese valor.
de que pasa
igual a 10RC,
+ q Después
–q
disminuyen
conuneltiempo Otra
vez, i y
jado a 0.000045 de su valor inicial.
De
manera
similar,
la curva de
tiempo.
to instante desp
acerca
a a laRasíntota,
b la recta
c horizontal punteada Qf. La carga q nu
+Q0 –Q0
elección
del sen
exacto, pero despuésC de un tiempo igual a 10 RC,
la diferencia
e
i!0
regla
de
Kirchho
Usando la misma dirección que antes para a corriente, la rel
egla de K
de las al lector a comprob
de l0.000045
veces
valor
deirchhoff Q. Se invita
a
b
c
R
= 0está
espiras da la ecuación (6.10) pero con ERC
expresado en unidades de tiempo.
C
dq 26.24
q La corriente i y la carga q del
(7.15) como funciones del tiempo para
i
=
=
−
capacitor
b) Descarga del capacitor
dtDescarga
RC
un capacitor
el circuito dede
la figura
26.23. La corriente
Interruptor
La corriente i ah
inicial
es
I
y
la
carga
inicial
0
Ahora suponga que después de del
quecapacitor
el capacitor de la figura 26.21
cerrado
• La corriente i ahora es negativa; esto se 0.dTanto
ebe ai qcomo
ue la qcarga positiva está la placa izquierd
es Q
tienden
a ceroqde
carga
Q0, se retira
la batería
del circuito
R-C y se conectan los pun
Cuando
se
cierra
el
do opuesto al qu
saliendo de la placa izquierda del cmanera
apacitor, por lo que la corriente va en asintótica.
interruptor, tanto la rruptor abierto (figura 26.23a). Después se cierra el interruptor y en
i
sentido opuesto rriente inicial es
carga en el capacitor se reajusta
el de
cronómetro
t 5 0;el en
ese momento, q 5 Q0. Lue
a) Gráfica
la corrienteacontra
tiempo
• En el momento como
t = 0, laccorriente
uando q = Qdescarga
Para encontr
0, la corriente inicial es I 0 = −Q0 RC través delenresistor
para una capacitor
descargay su carga disminuye finalmente a ce
–q
disminuyen
con el
vo como
se cambian
• iPara e+q
ncontrar q en función del tiempo e reordena la ecuación (6.15) cyon Otraisvez,
i y q representan
la corriente
la carga
funciónl
tiempo.
loslalímites
para
límites de integración de Q0 a q to instante después de que se hizo la conexión. En
figura 26.23b
a
b
c
q dq′
R
1 telección del
q sentido
t RC
positivo
para la tcorriente que en la figura 26
C
dt ′ ⇒Oln
=−
∫Q0 q′ = − RC ∫0regla
Q0
RCde las espiras da la ecuación (26.10) pero con E
de Kirchhoff
La corriente
I
e
0/
dq
q
disminuye
en forma
I 2
26.24 La corriente i y la carga q del
i 5 que5 2
(7.16) q = Q0 e0−t/ RC exponencial
a
medida
dt
RC
capacitor como funciones del tiempo para
se descarga el capacitor. (La
el circuito de la figura 26.23. La corriente
iaahora
negativa;
esto su
se sendebe a que la carga positiva
corriente
esesnegativa
porque
La corriente es lcapacitor
a derivada cLa
on corriente
rIespeto l tiempo inicial
es I0 y lainstantánea carga inicial del
0
tido es opuesto
al que sede
ilustra
en la 26.23b, por lo que la co
del capacitor
la figura
es Q0. Tanto i como q tienden a cero de dq la placa
Q0 −tizquierda
RC
figura
26.22.)
(7.17) i
=
=
−
e
do
opuesto
al
que
se
ilustra
en
la
figura.
En el momento t 5 0, cuaq
manera asintótica.
dt
RC
rriente inicial es I0 5 2Q0>RC.
b) Gráfica de la carga del capacitor contra
a) Gráfica de la corriente contra el tiempo
La corriente
ins
Para
encontrar q como función del tiempo se reordena
la ecuaci
el tiempo para un capacitor en descarga
para un capacitor en descarga
vo se cambian los nombres de las variables a qr y tr, y se procede
q
i
los límites para qr son de Q0 a q. Se obtiene
RC
O
/
/
I0 e
I0 2
I0
t
La corriente
disminuye en forma
exponencial a medida que
se descarga el capacitor. (La
corriente es negativa porque su sentido es opuesto al que se ilustra en la
figura 26.22.)
Q0
/
/
Q0 2
Q0 e
O
i5
La carga en el capacitordqr
disminuye1
dtr
52
3
en forma exponencial
a medida
RC 30
Q0 qr
que el capacitor se
t En la figura 26.2
descarga.q
q
t
ln
RC
q 5 Q0e2t/RC
Q0
t
52
RC
cero en forma ex
ecuaciones (26.
idénticas, aparte
(circuito R-C, capacitor en descar
Las e
cuaciones c
omo l
as g
raficas s
on el opuesto que se obtuvo para la carga del b) Gráfica de la carga del capacitor contra
La corriente instantánea i es la derivada de ésta con respecto al tiem
capacitor el tiempo para un capacitor en descarga
•q La carga del capacitor tiende a cero de manera asintótica; en tanto que en la (circuito R-C,
ecuación (6.12) es la diferencia entre q y Q la que dq
tiende aQ
c0ero en forma i5
e2t/RC 5 I0e2t/RC
52
Q0
capacitor en de
asintótica La carga en el capacitor disminuye
dt
RC
en
forma
exponencial
a
medida
Q 0 /2
que el capacitor se
En la figura 26.24 están graficadas la corriente y la carga; ambas ca
Q0 /e
descarga.
cero en forma exponencial con respecto al tiempo. Al comparar los
ecuaciones (26.12) y (26.13), se observa que las expresiones pa
t
O
RC
idénticas, aparte del signo de I0. En la ecuación (26.16), la carga de
20 Hay consideraciones sobre la energía que amplían nuestra comprensión del comportamiento de un circuito R-­‐C • Mientras el capacitor se carga, la tasa instantánea a la que la batería entrega energía al circuito es P = Ei • La tasa instantánea de disipación de energía es i 2 R q
• La tasa a que la energía se almacena en el capacitor es ivbc = i C
Al multiplicar la ecuación (6.9) por i se obtiene: iq
(7.18) Ei = i 2 R + C
Esto significa que de la potencia P = Ei suministrada por la batería, una parte i 2 R
se disipa en el resistor y otra parte i q C se almacena en el capacitor • La energía total suministrada por la batería durante la carga del capacitor es igual a la fem de la batería E multiplicada por el total de la carga Qf, o
EQ f •
La energía total almacenada en el capacitor, es EQ f 2 (ver capitulo 4 sobre •
energía potencial eléctrica), exactamente la mitad de la energía suministrada por la batería Esta división por la mitad de la energía no depende de C, R o E 21