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CIRCUITOS
DE CORRIENTE
CONTINUA
Hay circuitos complejos en el corazón de
todos los dispositivos electrónicos modernos. Las sendas conductoras de este circuito impreso son películas finas (en color
azul verdoso) depositadas sobre una tarjeta
aislante. El funcionamiento de cualquiera
de estos circuitos, no impona cuán complejo sea. se comprende por medio de las
reglas de Kírchhoff, un tema medular de
este capítulo.
¿Es posible conectar varios
resislores con diferentes resistencias de
modo que todos tengan la misma
diferencia de potencial? De ser as!, ¿será
la corriente la misma en todos los
resistores?
S
i examinamos el interior de nuestro televisor, de la computadora o del receptor
estereofónico, o miramos bajo la cubierta de un automóvil, hallaremos circuitos
muchísimo más complejos que los circuitos sencillos que estudiamos en el capítulo
25. Ya sea que estén conectados mediante alambres o integrados en un chip semiconductor, estos circuitos suelen incluir varias fuentes, resistores y otros elementos de
circuito, como capacitores, transformadores y motores, interconecmdos en una red.
En este capitulo estudiaremos los métodos generales para analizar estas redes;
esto incluye cómo encontrar voltajes, corrientes y propiedades de elementos de circuito desconocidos. Aprenderemos a determinar la resistencia equivalente de varios
resistares conectados en serie o en paralelo. En el caso de redes más generales necesitaremos dos reglas que se conocen como reglas de Kirchhoff. Una de ellas se
fundamenta en el principio de conservación de carga aplicado a una confluencia de
dos o más vías; el otro se deduce de la conservación de energía de una carga que se
traslada alrededor de una espira cerrada. Analizaremos instrumentos para mcdir diferentes cantidades eléctricas; además examinaremos un circuito con resistencia y
capacitancia en el que la corriente varia con el tiempo.
Nuestro interés principal en este capímlo se centra en los circuitos de corriente continua (cc), en los que el sentido de la corriente no cambia con el tiempo.
Las linternas de mano y los sistemas de cableado de automóvil son ejemplos de
circuitos de corriente continua. La energia eléctrica doméstica se suministra cn
forma de corriente alterna (ca), donde la corriente oscila en un sentido y otro. Se
aplican los mismos principios para el análisis de redes a ambas clases de circuitos, y este capítulo concluye con un vistazo a los sistemas de cableado doméstico.
Estudiaremos detenidamente los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31.
980
981
26.1 1 Resistores en serie y en paralelo
26.1
«
I Resistores en serie y en paralelo
Los resistores aparecen en todo tipo de circuitos, desde secadoras de cabello y calentadores de espacios hasta circuitos que limitan o dividen la corriente o reducen
o dividen un voltaje. Estos circuitos suelen contener varios resislores, por 10 que
resulta apropiado considerarlos como combinaciones de resistores. Un ejemplo
simple es una serie de focos de [as que se usan como adornos navideños; cada fo-co actúa como un resistor, y desde la perspectiva del análisis de circuitos la serie
de fo~s es sencillamente una combinación de resistores.
Supóngase que se tienen treS resistores con resistencias R]> R2 Y R). La figura
26.1 muestra cuatro maneras diferentes en que podrían estar conectados entre los
puntos a y b. Cuando varios elementos de circuito, como resistores, baterías y mo-tares, están conectados en sucesión como en la figura 26.1a, con un solo camino
de corriente entre los puntos, se dice que están conectados en serie. Estudiamos
los capacitares en serie en la sección 24.2; hallamos que, en virtud de la conservación de la carga, los capacitares en serie tienen todos la misma carga si inicial·
mente están descargados. En los circuitos nos suele interesar más la corriente, que
es el flujo de carga por unidad de tiempo.
De los resistores de la figura 26.\ b se dice que están conectados en paralelo
entre los puntos a y b. Cada resistor ofrece un camino diferente entre los puntos.
En el caso de elementos de circuito conectados en paralelo, la diferencia de pOlellcia/ es la misma entre los bornes de cada elemento. Estudiamos los capacitores en
paralelo en la sección 24.2.
En la figura 26.lc, los resistores R2 y Rl están en paralelo, y esta combinación está en serie con R 1• En la figura 26.1d, R2 Y RJ están en serie, y esta combinación está
en paralelo con RI .
Con respecto a cualquier combinación de resistores, siempre se puede hallar lUl
solo resistor que podria tomar el lugar de la combinación y dar por resultado la misma corriente y diferencia de potencial totales. Por ejemplo, se podria sustituir una
hilera de focos navideños por lUl solo foco e!ecmoo, correctamente elegido, que tomaría la misma corriente y tendria la misma diferencia de potencial entre sus bornes
que la hilera original de focos. La resistencia de este único resistor se conoce como
la resistencia equivalente de la combinación. Si cualquiera de las redes de la figura 26.1 sc sustituyese por su resistencia equivaleme R~, podríamos escribir
Vd/> = IR....
"
o
V"
1
R =~
donde V"" es la diferencia de potencial entre los bornes a y b de la red e I es la corriente en el punto a o b. Para calcular lUla resistencia equivalente, supondremos
lUla diferencia de potencial V.. entre los bornes de la red real y calcularemos la corriente ¡ correspondiente y la proporción V,,¡jT.
Resistores en serie
Podemos deducir las ecuaciones generales de la resistencia equivalente de una
combinaci6n de resistores en serie o en paralelo. Si los resisto res estan en serie,
como en la figura 26.1a, la corriente I debe ser la misma en todos ellos. (Como comentamos en la sección 25.4, la corriente /lO se "gasta" al pasar a través de un circuito). Aplicando V = iR a cada resiSlor se tiene
Va.< = IR 1
Vol)' = IR 1
V).¿,·= IR j
Las diferencias de potencial entre los extremos de cada resistor no son necesariamente las mismas (excepto en el caso especial en el que las tres resistencías son
R,
•
x
,
R,
R,
b
.I
.I
<a) R 1• R 1 Y R) en serie
R,
•
'7
R,
b
.I
R,
(bIRI.R~)
RjeDp:uaJodo
R,
•
'7
R,
b
.I
R,
(c)R 1 en serie con
combinación en
paralelo de R 2 Y R)
R,
R,
•
'7
b
R,
'7
(d) R 1 en paralelo con
combinación en
serie de R 1 y RJ
26.1 Cuatro fonnas diferentes de concelar
tres resistorcs.
982
CA PfTU LO 26 I Circuitos de corriente continua
iguales). La diferencia de potencial V<lb entre los extremos de la combinación en
su totalidad es la suma de estas diferencias de potencial individuales:
Vab = VIU
Act¡v
Physcs
12.1 Circuitos de e,en serie (cualitativo)
+ V.oy + Vyb
+ R2 + RJ )
= ¡(R I
Y. por tanto,
Por defmición, la proporción V."jl es la resislencia equivalente~. En consecuencia,
Rcq = R I + R~ + R)
Es fácil generalizar eslo a cualquier número de resistores:
Rcq = RI
+ R2 + RJ +...
(resislores en serie)
(26.1)
La resistencia equinlente de cualqllier número de resistores en serie es igual
a la suma de sus resistencias individuales. La resistencia equivaleme es mayor
que cualquiera de las resistencias individuales.
Comparemos este resultado con la ecuaci6n (24.5), referente a los capacitores en
serie. Los resistores en serie se suman directamente porque el voltaje entre los extremos de cada uno es directamente proporcional a su resistencia y a la comente común. Los capacitares en serie se swnan recíprocamente porque el voltaje entre los
bornes de cada uno es directamente proporcional a la carga común pero inversamente proporcional a la capacitancia individual.
Resistores en paralelo
Si los resistores están en paralelo, como en la figura 26.1 b. la corrieme l! través de
cada resistor no es necesariamente la misma. Pero la diferencia de potencial entre
los bornes de cada resistor debe ser la mísma e igual a V<lb (Fig. 26.2). (Recuerde
que la diferencia de; potencial entre dos puntos cualesquiera no depende del camino seguido entre los puñtos.) Sean las corrientes en los tres resistores 11, 12 el).
Entonces, dado que I = VIR,
Val>
R2
V ab
1,=-
Val>
12 = -
R,
1)=-
R)
En general, la corriente es di rerente a través de cada resistor. Puesto que no se
acumula ni se pierde carga por el punto a, la corriente total 1 debe ser igual a las
tres corrientes de los resistores:
1 = 1,
+ 12 + 1) = Vab (-.!.- + -.!.- + -.!.-)
o bien,
R,
R2
I
1
I
l
Vab
R]
R2
R)
R)
-=-+-+Pero por definición de la resistencia equivalente Req, l/Val> = J/Req, de modo que
1
I
I
I
Req
R]
R2,.
R)
-=-+-+2i.Z Los faros de un auto están coneclados ce panJe:1o. Por lanlo. cada faro está
c'iJ"es;a· alOdlla diferencia de pCllencial
que
d sistema eleclrico del velricu10 y x dJI:icDe .. máxima brillanlez.
0mI ,;aItaja es que.. sise funde uno de los
faros., el 0Ir0 COIIIIiDiia iluminando (véase
el ejemplo 26.2).
i".
También en este caso es fácil generalizar a cualquier número de resistores en paralelo:
I
1
1
I
-=-+-+-+
...
Req
Rf
R2
R)
(resistores en paralelo)
(26.2)
En el caso de cualquier nlÍmero de resistores en paralelo, el recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de sus resistencias in-
983
26.1 l Resistorcs en serie y en paralelo
\
dividuales. La resistencia equivalente siempre es menor que cualquiera de las re·
sistencias individuales.
Comparemos este resultado con la ecuación (24.7), referente a los capacitares
en paralelo. Los rcsistores en paralelo se suman recíprocamente porque la corriente en cada uno es proporcional al voltaje común entre sus extremos e inversamente
proporcional a la resistencia de cada uno. Los capacitares en paralelo se suman directamente porque la carga de cada uno es proporcional al voltaje común entre sus
bornes y directamente proporcional a la capacitancia de cada uno.
En el caso especial de dos resiSlores en paralelo,
I
R«¡
1
1
Rl
R1
-=-+-=
RI + R,
.
R]R 2
ActjV
Physcs
12.2 Circuitos de ce en paralelo
y
(dos resistores en paralelo)
Puesto que Vah
= /IR I
=
~=
/2
(263)
¡2R2, se sigue que
R2
R1
(26.4)
(dos resistores en paralelo)
Esto demuestra que las corrientes transportadas por dos resistores en paralelo son
inversamente proporcionales a sus resistencias respectivas. Pasa más corriente
por el camino que ofrece menos resistencia.
Estrategia para
resolver problemas
Resistores en serie y en paralelo
IDENTIFICAR los conceplos pertinentes: Muchas redes de rcsistores se componen de resistores en serie, en paralelo, o una
combinación de los dos. El concepto clave es que una red de este tipo se puede sustituir por un solo resistor equivalente.
PLANTEAR el problema utilizando las etapas siguientes:
1. Haga un dibujo de la red dc resistores.
2. Establezca si los resistores están conectados en scrie o en
paralelo. Adviena que suele ser posible considerar las redes como las de las figuras 26.1c y 26.ld como combinaciones de arreglos en serie y en paralelo.
3. Determine cuáles son las variables que se buscan. Podrian
incluir la resistencia equivalente de la red, la diferencia de
potencial entre los extttmos de cada m;istor o la corriente a traves de cada resistor.
EJECUTAR la solución como sigue:
1. Con basc en la ecuación (26.1) o la (26.2), halle la resistencia equivalente para una combinación en serie o en paralelo, respectivamente.
2. Si la red es más compleja, intente reducirla a combinaciones en serie y en paralelo. Por ejemplo, en la figura 26.lc
. se sustituye primero la combinación en paralelo de Ni y R3
por su resistencia equivalente; ésta forma entonces una
combinación en serie con RI • En la figura 26.1d, la com-
binación de NI y R3 en scrie forma una combinación en
paráÍelo con RI .
3. Al calcular diferencias de potencial recuerde que, cuando
los resistores están conectados en serie, la diferencia de
porencialtotal entre los extremos de la combinación es
igual a la suma de las diferencias de potencial individuales. Cuando están conectados en paralelo, la diferencia dc
potencial es la misma en todos los resistores y es igual a la
diferencia de potencial entre los extremos de la combina·
ción en paralelo.
4. Tenga en mente las expresiones análogas de la corriente.
Cuando los resistores están conectados en serie, la corriente es la misma a traves de cada resistor y es igual a la
corriente a través de la combinación en serie. Cuando los
resislores están conectados en paralelo, la corriente lotal a
través de la combinación es igual a la suma de las corrientes a través de los rcsistores individuales.
EVALUAR la respuesta: Compruebe si sus resultados son congrucntes. Si los resistores están conectados en serie, la resistencia equivalente debe ser mayor que la de cualesquiera de los
resis!ores individuales; si están conectados en paralelo, la resistencia equivalente debe ser menor que la de cualesquiera de los
resistores individuales.
•
984
e A pí TUL o 26 I Circuitos de corriente continua
Ejemplo
Resistencia equivalente
26.1
Calcule la resistencia equivalente de la red de la figura 26.3a, y encuentre la corriente en cada resistor. La resistencia interna de la
fuente de [cm es insignificante.
lE!!l3l!llI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La red de tres resistores es una combinación de conexiones en serie y en paralelo, como en la figura
26.lc. Primero se determina la resistencia equivalente R'Q de esta
red en conjunto. Una vez definido este valor, se halla la corriente en
la rem, que es igual a la corriente en el resistor de 4 !l Esta misma
cortiente se divide entre los resistorcs de 6 fl Y 3 fl; se determina
cuánta pasa por cada resistor aplicando el principio de que la diferencia de potencial debe ser la misma entre los extremos de estos
dos resistores (porque están conectados en paralelo).
EJECUTAR: Las figuras 26Jb y 26.3c muestran etapas sucesivas de la
reducción de la red a una sola resistencia equivalente. De acuerdo con
la ecuación (26.2), los resistores de 6 O y 3 n en parnlc10 de la figura
26Ja son equivalentes al único resistor de 2 O de la figura 26.3b:
1
1
1
I
R<q
60
30
20
-~-+-~-
•
(Se halla el mismo resultado aplicando la ecuación (26.3).) De
acuerdo con la ecuación (26.1), la combinación en serie de este resistor de 2 O con el resislOr de 4 O es equivalente ,,-1 único resistor
de 6 n dc la figura 26.3c.
Para hallar la corriente en cada resistor de la red original, se invicrtc el ordcn de las etapas seguidas para reducir la red. En el circ\lilO de la figura 26.3d (idéntico al de la figura 26Jc), la corriente
es 1 = VaJR = (18 V)/(6 O) = 3 A. Por tanto, la corriente en los resistores de 4 O y 2 O de la figura 26.3e (idéntica a la figura 26.3b)
también es de 3 A. La diferencia de potencial Vcb entre los extremos
del resistor de 2 O es, por consiguiente, Vcb = IR = (3 A)(2 O) =
6 V. Esta diferencia de potencial también debe ser de 6 V en la figura 26.3f(idcntica a la figura 26.3a). Como 1 = V<¡jR, ias corricntes
en los resistores de 6 fl: Y3 O de la figura 26.3f son de (6 V)/(6 O)
1A Y(6 V)/(3 O) 2 A, respectivamente.
=
=
EVALUAR: Dése cuenta que, en el caso dc los dos rcsistores en paralelo entre los puntos e y b de la figura 26.3f, hay dos veces más
corriente a través del resistor de 3 fl: que a través del resistor de
6 fl; pasa más corricnte por el camino de menor resistencia,
de acuerdo con la ecuación (26.4). Dése cuenta además que la corriente total a través de estos dos resistores es de 3 A, la misma que
a través del resistor de 4 fl entre los puntos a y c.
E= 18V,r= O
¡1~
60
" 4O
]0
(.) VvW'-'
+
E=18V,r=O
12V
(o)
•
1
Jt
c~b
~O
4
(6)
r---"j+1, 18 V
60
a
~
h
12v 1
6V
~
a 40
e
20 h
]0
18V
~
60
b
(1
Jt
([)
(,)
(d)
/
26.3 Etapas para reducir una combinación de resistores a un 5010 resistor equivalente y
encontrar la corriente en cada resistor.
Combinaciones en serie versus combinaciones en paralelo
Se \"311 a coacc:rar dos foros idénticos a una fuente con E = 8 V Y
resislencia Imcma insigniflC3D.te. Cada foco tiene una resistencia de
R = 1 n. ~ b CIDIlimIe a lnlves de cada foco, la diferencia
de potencial entre los bornes de cada uno y la potencia entregada a cada foco y a la red en conjunto si los focos están coneclados a) en serie, como en la figura 26.4a; b) en paralelo, como en la figura 26.4b.
,.
985
26.1 I ResislOres en serie y en paralelo
c) Supanga que uno de los focos se funde; es decir, su filamento se
rompe y deja de pasar comente a través de el. ¿Qué le ocurre al otro
foco en el caso en serie? ¿Yen el caso cn paralelo?
li
l'
mmm
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Las redes de resistores son cone.xiones simples cn serie y en paralelo. Se halla la potencia entregada a
cada resistor con base en la ecuación (25.18): P = I!R = JftIR.
(.)
-11
t'=8V.r-O
R=2n
EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.1), la resistencia
equivalente de los dos focos entre los puntos a y c de la figura 26.4a
R-2n
es la suma dc sus resistencias individuales:
1-+
Roq = 2R = 2(20) = 40
(')
La corriente es la misma a través de uno u otro foco en serie:
v....
8V
Roq
40
,
1-+
d
26.4 Diagramas de circuilo de dos focos eléctricos (a) en serie y
(b) en paralelo.
1~-~-=2A
l1esto que los focos tienen la misma resislencia, la diferencia de
palencial es identica entre los bornes de cada foco:
v... =
Vio<" = IR =
(2 A)(2 O)
=
4V
Esto es la mitad de la lensión de bornes de la fuente (8 V). De acuerdo con la ecuación (25.18), la patencia entregada a cada foco es
P=I!R={2'A)~(20)=8W o
V.i
V,,,?
(4 vF
P=R=R=~=8\V
La palcncia tolal entregada a los dos focos es P_ = 2P = 16 W.
Tambien se puede encontrar la potencia total con base en la resiSlencia equivalente ~ 4 O, a través de la cual la coniente es /
2 A,
Y entre cuyos extremos la diferencia de patencial es V<OC = 8 V:
=
P,wJ
=
p. oW =
t
=
PR<q = (2A)l(40) = 16W
V,,}
-~
Roq
o
(8V)l
- - = 16W
40
b) Si los focos están en paralelo, como en la figura 26.4b, la diferencia de potencial V.." entre los bornes de cada foco es la misma e
igual a 8 V, la tensión de bornes de la fuente. Por tanto, la coniente
a lraves de cada foco es
V",
8V
R
2n
1~-~-=4A
y la potencia entregada a cada uno es
P=PR=(4A)l(20)=32Wo
V",l
(8 vF
P=R= 20 =32W
Tanto la diferencia de potencial entre los bornes de cada foco y la
corriente a través de cada uno son dos veces más grandes que en el
caso en serie. Por tanto, la potencia que se entrega a cada foco es
cllalro veces mayor, y la incandescencia de ellos es más brillanle
que en el caso en serie. Si la meta es obtener la máxima cantidad de
luz de cada foco, una configuración en paralelo es mejor que una
configuración en serie.
La potencia lotal entregada a la red en paralelo es P_ = 2P = 64
\'1. cualro veces mayor que en el caso en serie. Esta mayor polencia
en comparación con el caso en serie no se obtiene ~gratuitameDte~: se
extrae energía de la fuente con rapidez cuatro veces mayor en el caso
en paralelo quc en el caso en serie. Si la fuente es una bateria, esta se
agotará en la cuarta parte del tiempo.
Tambien se puede hallar la polencia tOlal con base en la resistencia equivalente ~ dada por la ecuación (26.2):
~ = 2(2 10) =
I 0-
1
•o
R<q
=
IO
La corricnte total a través del resislor equivalente cs I''''al = 21 =
2(4A)= SA, y la diferencia de potencial entre los bornes del resistar equivalente es 8 V. Por lo tanlo el potencial total es
P"",oJ
= I<Req =
V",1
Pon! = - R
~
(8 A)"(I O) = 64 w o
(8 V)l
- - - = 64W
10
La diferencia de potencial entre los bornes de la resislencia equivalentes la misma en ambos casos. tanlo en serie como en paralelo, pero en este uhiffiO el valor de Rcq es menor Y. por tanto.
P_ = V21Roq es más grande.
c) En el caso en serie fluye la misma corriente a traxes de los dos
focos. Si uno de ellos se funde. no habrá corriente en todo el circuito y ninguno emitici luz.
En el caso en paralelo la difereocia de palencial enlre los bomesde
cualquiera de los focos sigue siendo de 8 V aunque se funda uno
de ellos. Por tanto, la corriente a través del foco que funciona se
mantiene en 4 A, Y la potencia que se enfrega a ese foco sigue siendo de 32 W, la misma que antes de fundirse el otro foco. Esta es una
de las ventajas de la configuración de focos en paralelo: si uno se
funde, este hecho no influye en los otros. Este principio se aplica en
986
CAPíTULO 26 I Circuitos de comente conlinua
los sistemas de cableado doméstico, que analizaremos en la seco
ción 26.5.
EVALUAR: Nuestro cálculo no es dc1 todo exacto, porque la resistencia R = VII de los focos reales no es una constante independiente de
la diferencia de potencial Ventre los bornes del foco. (La resistencia
del filamento aumenta con la temperatura de funcionamiento creciente y, por tanto, con V I'n aumento). Pero si es efectivamente cierlO que la incandescencia de los focos conectados en serie entre los
bornes de una fuente es menos brillante Que cuando están conectados en paralelo entre los bornes de la misma fuente (Fig. 26.5).
26.5 Cuando están conectados a la misma fuente, dos focos en
serie (izquierda) consumen menos polencia y brillan meDOS intensamente que cuando están en paralelo (lkrecha).
Suponga que los tres resistores de la figura 26.1 tienen la misma resistencia, de
modo que R, = R2 = R) = R. Clasifique las cuatro configuraciones que se muestran en las partes de la (a) a la (d) de la figura 26.1 en orden de su resistencia equivalente, de menor a mayor.
26.2
I Reglas de Kirchhoff
En la practica, muchas redes de resistores no se pueden reducir a combinaciones
simples en serie o en paralelo. La figura 26.6a muestra una fuente de energía eléc·
trica de cc con fem f: 1que carga una batería con una fcm más pequeña f:2 yalimenta corriente a un foco con resistencia R, La figura 26.6b es un circuito de
"pucnte", que se utiliza en muchos tipos distintos de sistemas de medición y control. (En el problema 26.77 se describe una aplicación importante de un circuito
de ''puente''). No es necesario recurrir a ningún principio nuevo para calcular las
corrientes en estas redes, pero hay ciertas técnicas que facilitan el manejo sistemático de esle tipo de problemas. Describiremos las técnicas ideadas por el fisico
aleman Guslav Roben Kirchhoff (1"824-1887).
En primer lugar, he aquí dos términos que utilizaremos oon frecuencia. Una un.iÓn
de un circuito es un punto donde se encuentran tres o más conductores. Las uni~
nes también se conocen como n.odos o plintos de derimción.. Una espira es cualquier
camino conductor cerrado. El circuito de la figura 26.00 tiene dos uniones: a y b. En
la figura 26.6b, los puntos a, b, c y d son uniones, pero los puntOS e y f no lo son. Algunas de las espiras posibles de la figura 26.6b son los caminos cerrados acdba, acde-
,
fa, abdefa yabcdefa.
+
''------''''dd
(b)
26.6 Dos redes que no se pueden reducir a
combinaciones simples de resistores en serielparnlelo.
Las reglas de Kirchhoff consisten de los dos enunciados siguientes:
Regla de Kirchhoff de las uniones: La suma algebraica de las corrientes en
cualquier unión es cero. Es decir,
(regla de las uniones, valida en cualquier unión) (26.5)
987
26.2 1 Reglas de Kirchhoff
Regla de Kirchhoff de las espiras: La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier espira, incluso las asociadas con las fem y las de elementos
con resistencia, debe ser igual a cero. Es decir,
Unión
(regla de las espiras, válida en cualquier espira) (26.6)
,
La regla de las espiras se basa en la conservación de la carga elecfrica. No se
puede acumular carga en una uni6n; de este modo, la carga lotal que entra en la
unión por unidad de tiempo debe ser igual a la C3Jg3 total que sale del empalme por
unidad de tiempo (Fig. 26.7). La carga por unidad de tiempo es corriente; así que,
si se consideran las corrientes que entran en una unión como positivas., y las que salen, como negativas, la suma algebraica de las corrientes en una unión debe ser
cero. Es como un ramal T de un tubo de agua; si entra un litro por minuto en un tubo, no pueden salir tres litros por minuto de los otros dos tubos. Más vale confesar
ahora que en la secci6n 26.1 utilizamos la regla de las uniones (sin mencionar el hecho) en la deducci6n de la ecuación (26.2) de las resistencias en paralelo.
La regla de las espiras es una aseveración de que la fuerza electrostática es con·
servativa. Suponga que se recorre una espina, midiendo de paso las diferencias de
potencial entre los extremos de elementos sucesivos del circuito. Al regresar al
punto de partida, es preciso que la sl/ma algebraica de estas diferencias sea cero;
de lo contrario, no se podria afirmar que la diferencia de potencial en este punto
tiene un valor definido.
Para aplicar la regla de las espiras son necesarias ciertas convenciones en cuanto
a signos. La estrategia para resolver problemas que viene a continuación describe en
detalle cómo utilizarlas, pero un panorama general es el siguiente. Primero se supone un sentido de la corriente en cada ramal del circuito y se marca sobre un diagra·
ma de éste. En seguida, a partir de cualquier punto del circuito, se realiza un
recorrido imaginario de la espira sumando las fem y los términos IR conforme se
llega a ellos. Cl:!.ando se pasa a través de una fuente en el sentido de - a +, se consi·
dera la fem como positiva; cuando se pasa de + a -, se considera la fem como
negativa. Al pasar a través de un resistor en el mismo sentido de la corriente supuesta,
eITérmino IR es negativo porque la corriente avanza en el sentido de potencial decreciente. Cuando se pasa a través de lU1 resistor en el sentido opuesto al de la corriente
supuesta, ellérmino IR es positivo porque representa una elevación del potencial.
Las dos reglas de Kirchhoff son todo lo que se necesita para resolver una extensa variedad de problemas de redes. Por 10 regular se conocen algunas de las
fem, corrientes y resistencias, y otras son inc6gnitas. Siempre debemos obtener a
partir de las reglas de Kirchhoffun número de ecuaciones independientes igual al
número de inc6gnitas, a fin de poder resolver las ecuaciones de forma simultánea.
La parte más dificil de la resolución suele ser, no la comprensión de los principios
básicos, ¡sino seguir la pista de los signos algebraicos!
Estrategia para
resolver problemas
26.7 La regla de Kirchhoffde las uniones
establece que fluye tanta corrienle hacia
una unión como la que sale de ella.
Reglas de Kirchhoff
IDENTIFICAR los COnceptos pertinentes: Las reglas de Kirch-
hoff son herramientas importantes para analizar cualquier cirCUilO más complicado que uoa espinl individual.
PLANTEAR el problema utilizando las elapas siguientes:
l. Dibuje un diagrama de circuito gronde para que tenga espacio sobrado parn rótulos. Ideotifique todas las canrida-
des, conocidas y desconocidas, incluso un senlido supuesto de cada corriente y fem desconocidas. En muchos casos
no se conoce por adelantado el sentido real de una corriente o fem, pero eso no importa. Si el sentido real de
una canlidad en particular es opuesto al que se supuso, se
obtendrá el resultado con signo negativo. Si se aplican correctamente las reglas de Kirchhoff, le proporcionarán los
988
e A l' fT UL o 26 I Circuitos de corriente continua
E,
"
1,
.
+!.
'1.
<1,
"
E,
"
'1.
l'
I,t
R,
~ 1,
1,
<1,
1,
<-
-">
".
"
t
R,
11+/2
.
.¡.
~
1,
"
1,
<-
-">
R,
R,
(bl
('l
26.8 La aplicación de la regla de las uniones al punto (l reduce de tres a dos el número
de corrientes desconocidas.
2.
3.
sentidos y también las magnirudes de las corrientes y fem
desconocidas.
Al rotular corrientes, por lo regular es mejor aplicar la regia de las uniones de inmediato para I;:xpresar las corrientt;:s en témlinos del menor numero posible de cantidades.
Por ejemplo, la figura 26.8a muestra un circuito rol~'lado
correctamente. La figura 26.8b muestra el mismo circuito
reetiquetado aplicando la regla de las uniones al punto a
para eliminar ¡Jo
Establezca cuáles cantidades son las variables que se bus-
can.
EJECUTAR la solución como sigue:
1.
2.
3.
~.
Elija una espira cerrada cualquiera de la red y designe un
sentido (el de las manecillas del reloj o el contrario) para
recorrer la espira al aplicar la regla de las espiras. El sentido no debe ser necesariamente el mismo que el sentido
supuesto de la comente.
Recorra la espira en el sentido designado, sumando las diferencias de potencial conforme las cruce. Recuerde que
una diferencia de potencial positiva correspondc a un aumento de potencial, y una diferencia de potencial negativa, a una disminución de potenciaL Una fem se cuenta
como positiva cuando se cruza de (-) a (+), y negativa
cuando se eruza de (+) a (-). Un término IR es negativo si
se pasa por el resistor en el mismo sentido de la corriente
supuesta, y positivo si se pasa en el sentido opuesto. La figura 26.9 resume estas convenciones de signos. En cada
parte de la figura el '"recorrido" es el sentido en el que supongamos circular por la espira al aplicar la regla de
Kirchhoff de las espiras, no necesariamente el sentido
de la corriente.
Iguale a cero la suma de la etapa 2.
Si es necesario, elija otra espira para obtener otra relación
entre las incógnitas, y continúe hasta tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas, o hasta que el ele-
5.
6.
mento de circuito haya sido incluido en al menos una de
las espiras elegidas.
Resuelva simultáneamente las ecuaciones para hallar las
incógnitas. Este paso requiere álgebnl. no fisica, pero puede llegar a ser bastante complejo_ Tenga cuidado con las
manipulaciones algebraicas; un error de signo resultaria
nefasto para la solución en su totalidad.
Puede aplicar este mismo sistema de contabilidad para hallar el potencial Vab de cualquier punto a con respecto a
cualquier otro punto b. Inicie en b y sume los cambios de
potencial quc encuentre al ir de b a a, aplicando las mismas reglas de signos que en la etapa 2. La suma algebraica dc estos cambios es Val> = Va - Vb•
EVALUAR la respuesta: Compruebe todas las ctapas algebraicas. Una estrategia útil consiste en considerar una espira distinta de las utilizadas para resolver el problema; si la suma de las
caídas de potencial alrededor de esta espira no es cero, se cometió un error en algilli punto de los cálculos. Como siempre, pregúntese si las respuestas son razonables.
,
Recorrido
Recorrido
)
E
---=ji-=- -E
.
,
Recorrido
Recorrido
R
R
)
-
~-!R
---->
1
~+!R
<-1
26.9 Al aplicar las reglas de KirchhofT, siga estas convenciones de signos al recorrer la espira de un circuito.
,
989
26.2 I Reglas de KirchhoIT
f JPmplo
16 J
Circuito de una sola espira
El circuito que se muestra en la figurn 26. lOa contiene dos baterias.
cada una con una fem y una ~sistencia inlema. y dos resislores.
Halle a) la corriente en el circuito. b) la diferencia de pOlencial Y.Yc) la potencia de salida de la fem de cada balería.
E!l!!l!r:1I
IDENTIFICAR YPLANTEAR: Este circuito de una sola espirn no tiene uniones: así que, no se necesita la regla de Kirchhotr de las uniones. Para aplicar la regla de las espims a la única espira, primero se
supone un sentido de la corriente; supongamos un sentido contrario
a las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 26.IOa.
da uno representa un aumento de potencial al ir de b hacia a. Si en
cambio se sigue el camino superior. la ecuación resultante es
V. ~ 12 V - (0.5 A)(2 fi) - (0.5 A)(3 fi) ~ 9.5 V
En estc caso los lerminos IR son negativos porque nuestro camino
sigue el sentido de la corriente, con reducciones de potencial al pasar por los resistores. El resultado es el mismo que con el camino
inferior, como dcbe scr para que el cambio total de potencial aire·
dedor de la espira completa sea cero. En cada caso, las subidas de
potcncial se tornan como positivas. y las caidas, como negativas,
e) La poleneia de salida de In fem de la bateria de 12 V es
p = t:I
EJECUTAR: a) Iniciando de (J y avanzando en sentido contrario a las
manecillas del reloj, se SUlllan los aumentos y disminuciones de potencial y se iguala la suma a cero, como en la ecuación (26.6). La
ecuación resultante es
+ 12 V - 1(2 fi) - 1(3 fi)
-1(4 fi) - 4 V - 1(7 fi)
~ O
Juntando los términ¡no.que conlicoen I y se resuelve para I se obtiene.
8V=/(160)
+ 4 V + (0.5 A)(4 0.)
= 9.5 V
El punto a está a un potencial 9.5 más alto que b. Todos los términos de csta suma, incluso los términos IR, son positivos porque ca·
20
-,-
30
•
p= &/= (-4V)(O.5A) = -2W
El signo negalivo de [ de la batería de 4 V aparece porque la corriente fluye en realidad del lado de mayor potencial de la batería al
lado de menor potencial~'81ornegativo de P significa que estamos al",aCf'nalldo energia en esa baleria, la cual eS{¡l siendo recar·
gaJii por la baleria de 12 V.
EVALUAR: Aplicando la expresión P = 11 R a cada lUlO de los cuatro
resiSIDre5 de la figura 26.103.. usted debe poder demostrar que la potencla 10Ia1 que se disipa en los cuatro resiSlores es de 4 W. De los 6 W
que suministra la fcm de la OOler1a de 12 V. 2 W se emplean en almacenar energía en la batería de 4 W Y4 W se disipan en las resislencias.
El circuilo de la figura 26. lOa es muy parecido al que se utiliza
cuando se emplea un acumulador de automóvil para recargar una
bateria descargada de otro aUlotnÓvil (Fig. 26.1 Ob). Los l1\Iiistores
o. y n
de 3
7 de la figura 26. lOa representan las resistencias de los
cables de puentes y del camino conductor a lraves del automóvil
con la batería descargada. (Los valores de las resistencias de los automóviles y cables de puentes reales son diferentes de los que se
utilizan en este ejemplo).
12v
.1,
l'
!I E3<lj
b
70
-4
.1,
l'
o
•
y la potencia de salida de la fem dc la batería de 4 V es
..---
e 1=0.5A
El resultado de 1 es positivo. lo que demuestra que el senlido supu~to ~ el correcto. Como ejercicio. pruebe a supo~r que lliene
el sentido opuesto; deberá obtener I = -0.5 A. lo que indica que la
corrieDle real es opuesta a ~ta suposición.
b) Para cncontrar V"", el potencial de a con respecto a b, se inicia en
b y se suman los cambios de polencial conforme se avanza hacia a.
Hay dos caminos posibles de b a a: tomando primero el inferior ha·
llamos que
V"" = (0.5 A)(7 0.)
40
('1
= (12V)(Ü.5A) = 6W
4V
(b)
26. tO (a) En este ejemplo se recorre la espira en el mismo sentido que se ha supuesto
respecto a la corricnte: por tanto, todos los términos IR son negalivos. El polencial disminuye al recorrer el circuito de + a - a traves de la fem inferior, pero aumenta al ir de - a
+ a través de la fem superior. (b) Un ejemplo de la vida real de un circuito de este lipo.
990
e APfT UL o 26 I Circuitos de corriente continua
Ejemplo
Carga de una batería
26.4
En el circuito que se muestra en la figura 26.11, una fuente de energía eléctrica de 12 V con resistencia interna r desconocida está conectada a una batería recargable descargada con fem desconocida
y resistencia interna de 1 n, y a un foco indicador con resistencia de
3 n que transporta una corriente de 2 A. La corriente a traves de la
ras. Son tres las variables quc se buscan; por tanto, se necesitan tres
ecuaciones.
e
EJECUTAR: Primero se aplica la regla de las uniones [ccuación
(26.5)] al punlo a. Se encuentra que
batería desca~ada es de I A en el sentido que se muestra. Encuenla corriente desconocida 1, la resistencia interna,. y la fem S.
-[+ lA+2A=0
tre
por tanto
1=3A
Para hallar r se aplica la regla de las espiras (ecuación (26.6)] la espira exteríor marcada como (1); se encuentra que
l'lll!!millI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se supone que el sentido de la corriente a través de la fuente de energía eléctrica de 12 V es como se
muestra. Este circuito tiene más de una espira, por lo que es necesario aplicar tanto la regla de las uniones como la regla de las espí-
,
I2V
- E.+(IA)(10)-(2A)(3fl)=ü
~
I
(3D
E
"
10
•
b
<-¡-¡-
'O
30
E
de modo que
2A
26.11 En esle circuito una fuente de energía eléctrica carga una
balería agotada y enciende un foco. Se ha hecho una suposición
acerca de la polaridad de la fem de la batería agotada; ¿es correcta
esta suposición'!
r=20
Los téoninos que contienen las resistencias r y de 3 O son ncgalÍvos porque nuestra espira pasa por cstos elementos en el mismo
sentido de la corriente y, por tanto, se encuentran caídas dc potencial. Si hubiésemos optado por recorrer la espira (1) en el sentido
opueslO, todos los téoninos habrían tenido el signo opuesto, y el resultarlo de r habria sido el mismo.
Para determinar [se aplica la regla de las espiras a la espira (2):
-
•
(11
12V- (3A)r- (2A)(3n) =0
portanto
E.·=-SV
El término que (;orresponde al resistor de lOes positivo porque al
recorrerlo en el sentido opuesto al de la corriente encontramos una
subida de potencial. El valor negativo de E. demuestra que la polaridad real de esta fem es opuesta a la que se supuso en la figura
26.1 1; el borne positivo de esta fuente está en rcalidad del ladOde- recho. Como en el ejemplo 26.3. se está recargando la batería.
EVALUAR: Podemos comprobar nuestro resultado de [empleando
la espira (3) para obtener la ecuación
12V
~
(3A)(2n)
~
(1 A)(I O) +
&~
O
de laque se obtiene nuevameille que [= -S A.
Como comprobación adicional de congruencia, advertimos que
V.... = Vh - t/4 es igual al voltaje entre los extremos de la resistencia
de 3 fl, que es (2 A)(3 fl) = 6 V. Al irtle a hacia b por el ramal superior, encontramos diferencia." de potencial de + 12 V ~ (3 A)(2 O)
= +6 V, y por el ramal intermedio hallamos que -{-S V) + (1 A)
(1 n) = +6 V. Las tres maneras de obtener V/la dan los mismos resultados. Asegúrese de entender todos los signos de estos cálculos.
•
Ejemplo
26.5
Potencia en un circuito de carga de batería
En el circuito del ejemplo 26.4 (Fig. 26. I 1), encuentre la potcncia ennegada por la fuente de energía eléctrica de 12 Vy por la bateria que
se está recargando, 'j encuentre la potencia disipada en cada resistor.
a un circuito es [1, 'j la potencia entregada a un reslstor desde un
circuito es V,,¡) = [2R.
l'lll!!millI
EJECUTAR: La potencia de salida de la fem de la fuente de energía
eléctrica es
mornRCAR Y PLANTEAR: Utilizaremos los rcsultados de la secó3a3..5. doode hallamos que la potencia entregada desde una fem
991
26.2 I Reglas de Kirchhoff
,
La potencia disipada por la resistencia interna r de la fuente de
energia eléctrica es
macenando energía en la bateria al cargarla. Se disipa mas p<)[encia
en la resistencia interna de la batería; esta potencia es
P'"'-=Il_r,..= (3A)l(20) = 18W
de modo que la salida de potencia neta de la fuente de energía electriea es P_ "" 36 W - 18 W "" 18 W Como otra solución. según el
ejemplo 26.4 la tensión de bornes de la batería es Y"" = 6 Y; asi
que, la potencia de salida neta es
En estos u~rminos. la potencia de alimentación total a la batcría es,
I W + 1--5 WI = 6 w. De esto, 5 W represenlaIt cnergía Íltil almacenada en la batería; el resto.se desperdicia en su resistencia interna.
La potencia que se disipa en el foco es
p_ = V... / _ = (6V)(3A) = 18W
La potencia de salida de la fem E de la bateria que se está cargando es
Pr... = E/bourl> = (-5 V)( 1A) = -5 W
Esta es negativa porque la corriente de
I A fluye a tnl.ves de la bao
teria de lado de mayor potencial aliado de menor potencial. (Como
mencionamos en el ejemplo 26.4, la polaridad supuesta con respec-
EVALUAR: Como comprobación, advierta que se ha descrito toda
la potencia de la fuentc. De los 18 W de potencia ncta de la fuente
de energia eléctrica, 5 W se emplean en recargar la balería, I W se
disipa en la resistencia interna de la batería, y 12 W se disipan en el
foco.
to a esta batería en la figura 26.11 estaba equivocada). Estamos al-
•
Ejemplo
266
Red compleja
/"-------->(2)---------..
La figura 26.12 muestra un circuito de "puente" del tipo descrito al
principio de esta sección (v6!se la Fig. 26.6b). Halle la corriente en
cada resistO!" y la resistencia equivalente de la red de cinco resistores.
,
ln!IllmilI
,
,,
•
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Esta red no se puede representar en
términos de combinaciones en serie y en paralelo. Soo cinco las comcntes por determinar, pero aplicando la regla de las uniones a los
nodos a y b, es posible representarlas en términos de tres corrientes
desconocidas, como se muestra en la figura. La corriente en la batcría es /. + /2'
EJECUTAR: Se aplica la regla de las espiras a tres espiras que se
muestran, y se obtienen las tres ecuaciones siguientes:
13V-/,(IO)-(II-h)(ln)=O
(1)
-/1(ln)-(i2+/J)(2n)+13V=O
(2)
-/¡(I n) - IJ{I O)
+ /2(1 n)
= O
(3)
Se trata de un conjunto de tres ecuaciones simultáneas con tres corrientes incógnitas. Se pueden resolver por diverws metodos; un
procedimiento directo consíste en resolver la tereera ecuación para
/2 para obtener /2 = /1 + IJ y en seguida sustituir esta expresión en
las primeras dos ecuaciones para eliminar 12, Al terminar, nos quedan las dos ecuaciones siguientes:
1
):¡
(1)
13V=/.(20)-/J(10)
13V=/1(3n) -/J(50)
(1')
(2')
Ahora se puede eliminar /J multiplicando la ecuación (1') por 5 y
sumando las dos ecuaciones. Se obtiene
13V
+
O
(3) ·
1n
In
Pi.
1!1
"~--JYvy'---~b
26.12 Circuito dc red con varios resistores.
Se sustituye cste resultado de nuC\'o en la ecuacion (1) para obtcner
-1 A, Yfinalmente, de acuerdo con la ecuación (3), se encuentra que /2 = 5 A. El valor negativo de /J nos indica quc su sentido es
opuesto al que supusimos inicialmente.
La corriente total a través de la red es /¡ + /2 = 11 A, Yla caida
de potencial entre sus eJltremos es igual a la fem de la bateria, esto
cs. 13 V. La resistencia equivalente de la red es
h=
13V
R~--=1.20
eq
11 A
EVALUAR: Los resultados l. = 6A,1z = 5 A e /J = -1 A se pueden
comprobar sustituyendo estos valores en las tres ecuaciones (1), (2)
y (3). ¿Qué encuentra usted?
992
e
Ejemplo
267
A P í T U LO 26 I
Circuitos de corriente continua
Diferencia de potencial dentro de una red compleja
Halle la diferencia de potencial Vab en el circuito del ejemplo 26.6
(Fig.26.12).
lE.l!m!llI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Par" encontrar Va/> = Va - Vb se parte del punto b y se sigue un camino hacia el punto n, sumando las
subidas y caidas al avanzar. Se pueden seguir varios caminos de b a
G; el valor de Voh dcbe ser independiente del camino que se elija, lo
cual proporciona un medio natural para comprobar el resultado.
EJECUTAR: El camino más simple es el quc pasa por el resistor
ccntral de I n. Hemos hallado que!) = -1 A, lo cual indica que el
sentido real de la corriente en este ramal es de derecha a izquierda.
Por tanto, al ir de b hacia a hay una caida de potencial de magnitud
IR = (1 A)(\ 11) = 1 V, Y Val> = -1 V. Es decir, el potencial en el
punto a es 1 V menor que en el punto b.
EVALUAR: Para poner a prueba nuestro resullado, ensayemos un
camino de b a a que pase por los dos resistores inferiores. Las corrientes a través de éstos son
/2
+ IJ
11
-
=
5 A + (-1 A) = 4 A e
13 = 6 A - (-) A) = 7 A
y, dc este modo,
V•• ~ -(4A)(20)
+ (7 A)(J O)
~
-J V
Le sugerimos ensayar algunos otros caminos de b a a para verificar
que mmbién dan este resultado.
va ue s co
Reste la ecuación (1) de la ecuación (2) del ejemplo 26.6. ¿A cuál espira de la figura 26.12 corresponde esta ecuación? ¿Habria simplificado esta ecuación la resolución del ejemplo 26.6?
26.3
I
Instrumentos de medición eléctrica
Hemos venido hablando acerca de diferencia de potencial, corriente y resistencia a
lo largo de dos capítulos, así que ya es tiempo de mencionar algo respecto a cómo
medir estas magnitudes. Muchos dispositivos comunes, como tableros de instrumentas de automóvil, cargadores.de baterias e instrumentos eléctricos económicos,
miden diferencias de potencial (voltajes), corrientes o resistencia mediante un galvanómetro de d'Arsonval (Fig. 26.13). En la exposición que sigue lo llamaremos a
menudo simplemente un medidor. Una bobina de pivote de alambre fino está colocada en el campo magnético de un imán permanente (Fig. 26.14). Acoplado a la bobina hay un resorte, semejante a la espiral del volan.te de un reloj. En la posición de
equilibrio, sin comente en la bobina, el indicador está en el cero. Cuando hay una
corriente en la bobina, el campo magnético ejerce sobre la bobina un momento de
torsión proporcional a la corriente. (Examinaremos detenidamente esta interacción
magnética en el capítulo 27). Cuando la bobina gira, el resorte ejerce un momento
de torsión de recuperación que es proporcional al desplazamiento angular.
Así que la desviación angular de la bobina y el indicador es directamente proporcional a la corriente de la bobina, y se puede calibrar el dispositivo para medir
corriente. La desviación máxima, que típicamente es de 90° más o menos, se conoce como desviación de escala completa. Las características eléctricas fundamentales del medidor son la corriente le<; necesaría para una desviación de escala
completa (típicamente del orden de 10 ¡.tA alOmA) y la resistencia Re de la bobina (típicamente del orden de 10 a 1000 O).
La desviación del medidor es proporcional a la corriente en la bobina. Si la bobina obedece la ley de Ohm, la corriente es proporcional a la difá"encia de potencial entre los bornes de la bobina, y la desviación también es proporcional a esta
diferencia de potencial. Por ejemplo, considérese un medidor cuya bobina tiene
una resistencia Re = 20.0 O y que se desvía la escala completa cuando la corrieo-
•
26.13 Esle amperímetro (arriba) y el voltimelro (abajo) son ambos galvanómetros
de d'Arsom"3.l.. la diferencia tiene que ver
con sus conexiones internas (veasc la Fig.
26.15).
26.3 I Instrumentos de medición el&uica
993
~)
l')
26.14 (a) Galvanómetro de d'Arsonval. Se muestra la bobina articulada con indicador
acoplado, el imán permanente que suministra un campo magnético de magnitud uniforme
y el resorte que proporciona el momento de torsión de recupc1'lIción, opuesto al momento
de torsión del campo magnético. (h) Bobina articulada alrededor de un núcleo de hierro
dulce. Se han quitado los soportes.
te en la bobina es Ir. = 1.00 mA. La diferencia de potencial que corresponde a la
desviación de escala completa es
V ~ I"R, ~ (l.OO X 10-' A)(20.0 n) ~ 0.0200 V
Amperimetro
l
El nombre que se da habitualmente a un instrumento que mide corriente es el de
amperímetro (o miliamperimetro, microamperímetro, y así sucesivamente, según su esc~la). Un amperímetro siempre mide la cor:-ieme que pas~ a ')Ovés ~e él.
Un ampenmetro ideal, como se coment6 en la seccl6n 25.4, tendria una reststen·
cia de cero, por lo que su inclusión en un ramal de un circuito no influye en la corriente de ese ramal. Los amperimetros reales siempre lienen cierta resistencia
finita, pero en todos los casos es deseable que el amperímetro tenga tan poca resistencia como sea posible.
Cualquier medidor se puede adaptar para medir corrientes mayores que su lectura de escala complelh conectando un resistor en paralelo con él (Fig. 26.15a), a
fin de que parte de la corriente se desvíe de la bobina del medidor. El resistor en
paralelo recibe el nombre de resistor de derivación o simplemente derivación. y
se denota como R"".
--+
I
v.
--+
emenlo
do
circuito
I
l')
v"
--+
I
(b)
26.15 (a) Conexiones internas de un amperímetro de bobina móvil. (h) Conexiones
internas de un voltímetro de bobina móvil.
:.
994
e A P f T U LO 26 I Circuitos de corriente continua
Suponga que se desea convertir un medidor con corriente de escala completa Ir.
y resistencia de bobina Re en un amperímetro con lecrura de escala completa lo' Para determinar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, dése cuenta que, con
desviación de escala completa, la corriente total a través de la combinación en paralelo es la. la corriente a traves de la bobina del medidor es lfu y la corriente a través de la derivación es la diferencia l. -lec' La diferencia de potencial V<lb es la
misma en ambos caminos; por tanto,
(26.7)
(en un amperimetro)
Ejemplo
26.8
Diseño de un amperímetro
¿Qué resistencia de derivación se necesita para convertir el medidor
de 1.00 mA Y20.0 n antes descrito en un amperímetro con una escala de OA a 50.0 mA?
l
1
1
~
R~
R..
I
20.0 n
I
0.408
-=-+-:--+---
l'lll!!ImllI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se busca que el ampcrimetro sea capaz de manejar W\3 corriente máxima l. = 50.0 mA = 50.0 X urJ
A. La resistencia de la bobina es Re = 20.0 n y el medidor mucstn!
la desviación de escala completa cuando la corriente a troVes de la
bobina es 1,.= 1.00 X l¡r! A. La variable que se busca es la resistencia de derivación ~ la cual se halla mediante la ecuación (26.7).
EJECUTAR: Despejando R"" de la ecuación (26.7) se obtiene
R~
EVALUAR: Resulta útil considerar la resistencia equivalente ~ del
amperimetro en conjunto. De acuerdo con la ecuación (26.2),
(l.OO X 10- 3 A)( 20.0 n)
= l. _ 1,. = 50.0 X 10- 3 A-l.OO X 10 lA
I,.R.
n
... : 0.4000
La resistencia de derivación es tan pequeña en comparación oon la
resistencia del medidor, que la resistencia equivalente es casi igual
a la resistencia de derivación. El resultado es un instrumento de baja resistencia oon la escala deseada de Oa 50.0 mA. Con desviación
de escala completa, 1 = l. = 50.0 mA, la corriente a través del galvanómetro es de 1.00 mA, la corriente a tJ'8vés del resistor de derivación es de 49.0 mA Y V06 = 0.0200 V. Si la corriente es menor que
50.0 mA, la corriente de bobina y la desviación son proporcionalmente más pequeñas, pero la resistencia Req sigue siendo de 0.400 n.
= 0.4080
Voltímetros
Act¡"v
Physcs
12.4 Cómo utilizar amperfmetros
y voltlmetros
Este mismo medidor básico sirve también para medir diferencia de potencial o vollaje. Un dispositivo que mide voltaje recibe el nombre de voltímetro (o mílivoltímetro, y así sucesivamente, según la escala). Un voltímetro s:empre mide la diferencia
dc potencial entre dos puntos, y sus bornes deben estar conectados a esos puntos. (El
ejemplo 25.7 de la sección 25.4 describe lo que puede ocurrir si se conecta un voltímetro incorrectamente). Como comenlamos en la sección 25.4, un voltímetro ideal
tendría una resistencia infinita, por lo que al conectarlo entre dos puntos de un circuito no alteraria ninguna de las corrientes. Los voltímetros reaJes siempre tienen
una resistencia fmita, pero ésta debe ser 10 suficientemente grande para que al conectar el voltimetro a un circuito no altere las otras corrientes en grado apreciable.
Con respecto al medidor descrito en el ejemplo 26.8, el voltaje entre los bornes
de la bobina del medidor con desviación de escala completa es de sólo lr/?= (1.00
X 10-3 A)(20.0 fi) = 0.0200 V Esta escala se puede ampliar conectando un resistor ~ en serie con la bobina (Fig. 26.15b). En estas condiciones sólo una fracción
de la diferencia de potencial total aparece entre los bornes de la bobina misma, y
el resto aparece entre los exttemos de R,. En el caso de un voltimetro con lectura
de escala completa Vv, se necesita un resistor en serie ~ e-n la figura 26.15b tal
qu<
(en un voltímetro)
(26.8)
995
26.3 1 Instrumentos de medición el&:trica
Ejemplo
Diseño de un voltímetro
26.9
¿Cómo se puede convenir un galvanómetro con Rc = 20.0 O e 1ft=1.00 mA en un voltímetro con una escala máxima de 10.0 V?
llE!!Iil!JlI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El voltaje máximo permisible entre
los bornes del voltimetro es Vv =- 10.0 V. Se desea que esto ocurra
cuando la corriente a través de la bobina (de resistencia Ro=- 20.0
O) sea 1,.= 1.00 X IO-J A. La variable que se busca es la resistencia en serie Ro> la cual se bal1a a partir de la ecuación (26.8).
EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (26.8),
V,
R =---R
•
Ir.
o
10.0 V
- 20.0 n = 99800
0.00100 A
EVALUAR: Con desviación de escala completa, V... = 10.0 V; el voltaje entre los borncs del medidor es de 0.0200 V; el voltaje entre los
cxtremos de R. es de 9.98 V, Y la corriente a través del voltímetro es
de 0.00100 A. En este caso, la mayor parte del voltaje aparece entre
los extremos del rcsistor en serie. La rcsistencia equivalente del me·
didor es R<q = 20.0 n + 9980 n =- 10 000 f.l:. Un medidor como
éste se describe como un "medidor de 1000 ohm por voh", en refe·
rencia a la proporción de la resislertcia respecto a la desviación de
escala completa. Durante el funcionamiento nonnalla corriente a
través del elemento de circuito que se mide (1 en la Fig. 26.l5b) es
mucho mayor que 0.00100A, y la resistencia entre los puntos a y b
del circuilo es mucho menor que 10000 f.l:. Por consiguiente, el
voltímetro torna sólo una pequeña fracción de la corriente y altera
muy poco el circuito que se mide.
R,
,
Amperímetros y voltímetros en combinación
b
~
Se pueden utilizar un amperímetro y un voltímetro juntos para medir resistencia y
potencia. La resistencia R de un resistor es igual a la diferencia de potencial V<lb
entre sus bornes dividida entre la corriente 1; es decir, R = V«JI. La potencia de
alimentación P a cada elemento de circuito es el producto de la diferencia de patencial entre sus bornes por la corriente que pasa a través de él: P = V..,J. En principio, la manera más directa de medir R o P es medir V.. e I simultáneamente.
Con los amperimetros y voltímetros practicas esto no resulta tan simple como
parece. En la figura 26.16a, el amperimetro A lee la corriente I en el resistor R.
No obstante, el voltímetro V lee la suma de la diferencia de potencial V<Jo entre los
extremos del resistor y la diferencia de potencial Vbe entre los bornes del amperimetro. Si se transfiere el borne del voltímetro de e a b, como en la figura 26.l6b,
entonces el voltímetro lee correctamente la diferencia de potencial Vah , pero ahora el amperímetro lee la suma de la corriente I en el resistor y la corríente Iv en el
voltímetro. De una u otra manera, es necesario corregir la lectura de un instru·
mento o del otro a menos que las correcciones sean lo suficientemente pequeñas
para ser insignificantes.
R
A
,
I
v
R,
(.)
"
R
b
A
,
7
(b)
26.16 Mélodo de amperimerro-voltimetro
para medir la resistem;ia.
Ejemplo
2610
Medición de resistencia I
Supóngase que se desea medír una resistencia desconocida R mediante el circuito de la figura 26.100. Las resistencias de los medi·
dores son Rv = 10000 f.l: (en el voltímetro) y RA = 2.00 n (cn el
amperímetro). Si el voltímetro indica 12.0 V, Yel amperímetro,
0.100 A, ¿cuáles son la resistencia R y la potencia que se disipa en
el resiSlor?
llE!!Iil!JlI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El amperímetro lee la corriente I =
0.100 A a través del resistor y el voltímetro lee la diferencia de potencia! entre a y c. Si el amperimetro fuera ideal (esto es, si RA = O),
habría una diferencia de potencial de cero entre b y c, la lectura del
voltimetro V = 12.0 V seria igual a la diferencia de potencial V..
entre los extremos del resisto!. Y la resistencia seria simplemente
igual a R = V:¡ = (12.0V)l(O.IOOA) = l20n. Sin embargo, el amperímetro no es ideal (su resístencia es RA = 2.00 n); por tanto, la
lectura V del voltimetro es en realidad la suma de las diferencias de
potencial V... (entre los bornes del amperímetro) y Voh (entre los extremos del resistor). Relacionaremos estos valores con la corriente
conocida mediante la lcy de Ohm, y resolveremos para VoJb Yla resistencia R. Una vez conocidos eSlOS valores, podremos calcular la
pOtencia P que se alimenta al resistor.
996
e A P í T U LO 26 I Circuitos de corriente continua
EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Ohm, VI><; = IR" = (0.100
A)(2.00 O) = 0.200 Vy Vab = IR. La suma de éstos es V= 12.0 Y;
por tanto, la diferencia de potencial entre los extremos del resistor
es V..., = V - Vbe = (J 2.0 V) - (0.200 V) = J 1.8 V. Así pues, la resistencia es
Vab
[I,SV
R~-~--=
1
O.IOO A
Ejemplo
26.11
La potencia que se disipa en este resistor es
P = Vobi
=
(11.8 V) (0.100 Al
L18W
EVALUAR: Se puede confirmar este resultado de la potencia aplicando la fórmula P = ¡lR. ¿Obtiene usted la misma respuesta?
1180
Medición de resistencia 11
Suponga que los medidores del ejemplo 26.\ O se conectan a un resistor diferente, en el circuito de la figura 26.16b, y que las lecturas
que se obtienen en los medidores son las mismas que en el ejemplo
26.10. ¿Cuál es el valor dc csta nucva resistcncia R, y cuál cs la potencia que se disipa en el resistor?
lIli'l!.!DlI
EJECUTAR: Se tiene Iv = VIR v = (12.0 \1)/(10 000 O) = 1.20 mA.
La corriente real I en el resistor es I = lA -Iv = 0.100 A - 0.00 12
A = 0.0988 A, Yla resistencia es
R ~ _Vo_o ~ ;C;;;J2;;:,O",V.,[
0.0988 A
1210
La potencia que se disipa en el resistor es
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En el ejemplo anterior, el amperime-
Ira leía la corriente real a través del resistor, pero la lectura del voltímctro no era igual a la difcrencia de potcncial cntre los clltrcmos
del rcsistor. Ahora se ha invertido la situación: la lectura del voltímetro V = 12.0 V mucstra la difcrencia de potencial real Val> entre
los extremos del resistor, pero la lectura del amperímetro
=
0.100 A no es igual a la corriente I a través del resistor.
La aplicación de la regla de las uniones a b de la figura 26.16b
muestra que lA = I + Iv, donde Iv es la corriente a través del voltímetro. Se obliene Iv a partir de los valores conocidos de Vy la resistencia Rv del voltímetro, y se utiliza este valor para hallar la corriente del
resistor l. Después se detennina la resistencia R a panir de I y la lectura del voltímetro, y se calcula la potencia como en el ejemplo 26.10.
'A
p= V,,¡,I= (12.0 V)(O.0988 A)
1.l9W
EVALUAR: Nuestros resultados de R y P no dificren exccsivamen~
te de los resultados del ejemplo 26.10, donde los medidores están
conectados de otra manera. Esto es porque el amperímetro y el voltímetro son casi ideales: en comparación con la resistencia R en cxperimentación, la resistencia RA del amperimetro es muy pequeña y
la rcsistencia Rv del voltimetro es muy grande. No obstante, los resultados de los dos ejemplos son diferentes, 10 cual demuestra que
es necesario tener en cuenta cómo se utilizan los amperimetros y
vol!ímetros al interpretar sus lecturas.
Ohmiómetros
R
26.17 Círeuito de ohmiómetro. El resistor
Ro tiene resistencia variab-le, como lo indica la flel;ha qne atraviesa el símbolo de resistor. Para utilizar el ohmiórnelrO, primero
se conecta.le directamente a y y se ajusta R,
asa que la recruca del medidor es de cero.
J:JapJes se conectan x y y a los extremos
.Id;c:sistor R Yse lee la escala.
Otro método para medir resistencia consiste en emplear un medidor de d'Arsonval
en una configuración conocida como ohmiÓmetro. Consta de un medidor, un resistor y una fuente (suele ser una bateria de linterna) conectados en serie (Fig.
26.17). La resistencia R que se va a medir se conecta entre los bornes x y y.
La resistencia en serieR, es variable; se ajusta de modo que, cuando los bornes x
y y estén en cortocircuito (es decir, cuando R = O), el medidor muestre una desviación de escala completa. Cuando nada está conectado a los bornes x y y, de modo que
el circuito entre x y y está abierto (es decir, cuando R ---+ 00), no hay corriente ni desviación. Con cualquier valor illlermedio de R la desviación del medidor depende del
valor de R, y se puede calibrar la escala para leer directamente la resistencia R. Una
corriente mayor corresponde a una resistencia más pequeña; por tanto, esta escala se
lee hacia atrás en comparación con la escala que muestra la corriente.
Todos hemos visto probablemente medidores de varias escalas, o "multímetros",
que emplean galvanómetros de d'Arsonva1. Un dispositivo de este tipo utiliza un
medidor de bobina móvil de escala única; se obtienen diversas escalas conmutando
diferentes resistencias en paralelo y en serie con la bobina del medidor. Mediante el
uso de resistencias apropiadas, un multímetro sirve como voltímetro o como amperimetro. Los multímetros también incluyen una batería, la cual, colocada en serie
con la bobina, consigue que el medidor funcione como ohmiómetro.
997
26.4 I Circuilos R-e
En situaciones que exigen gran pra:isión, los instrumentos que contienen medidores de d'Arsonval han sido sustituidos por instrumentos electrúnicos de lectura digital directa. Estos son más precisos, estables y mecánicamente resistentes
que los medidorcs de d'Arsonval. Se pueden construir voltímetros digitales con
una resistencia interna extremadamente grandc, del orden de 100 MO.
E,
•
!I
"
El potenciómetro
El potenciómetro es un instrumento con el que se puede medir la fem de una fuente sin que tome corriente alguna de ella; además, tiene otras aplicaciones útiles.
En esencia, el potcnciómetro compensa una diferencia de potencial desconocida
contra una diferencia de potencial mensurable y ajustable.
En la figura 26.18 se muestra esquematicameme el principio del potenciómetro. Un alambre de resistencia ab con resistencia total R. está conectado permanentemente a los bornes de una fuente dc fem conocida El' Un contaclO corredizo
e esta conectado a través del galvanómetro G a una segunda fuente cuya fem t; se
va a medir. Conforme el contacto e se desliza a lo largo del alambre de resistencia, la resistencia Rcb entre los puntos e y b varia; si el alambre de resistencia es
uniforme, Rcb es proporcional a la longitud del alambre emre e y b. Para medir el
valor de &2' se desliza el contacto e hasta que se halla un punto en el que el galvanómetro no muestra desviación; esto corresponde a una corriente nula a través de
E2• Con /2 = 0, la regla de Kirchhoff de las espiras da
li
<--¡-
-4
,
12 =
b
o
(.)
(b)
26.18 (a) Circuito de potenciómetro.
Simbolo de circuito de un potenciómetro (resistor variable).
(b)
&2 = /Rrb
Con /2 = 0, la corriente 1 que produce la fem [. tiene el mismo valor cualquiera
que sea el valor de la fem &2' Se calibra el dispositivo sustituyendo &2 por una
fueme de Cem conocida; en estas condiciones se puede hallar cualquier fem &2
desconocida midiendo la longitud del alambre eb con la cual/2 = (véase el ejercicio 26.31). Dése cuenta que, para que esto funcione, V. debe ser mayor que t;.
El término potenciómetro se aplica además a cualquier resistor variable, que
por lo regular tiene un elememo de resistencia circular y un contacto corredizo
comrolado mediante un eje giratorio y una perilla. El simbolo de circuito de un
potenciómetro se muestra en la figura 26.18b.
°
Se desea medir la corriente a través del resistor de 2 n de la figura 26.12 (cjcmplo 26.6 de la sección 26.2), asi como la diferencia de potencial entre sus extre·
mos. ¿Cómo conectaría un amperímetro y un voltimetro para hacer esto? ¿Qué
resistencias deben tener estos medidores?
26.4
I Circuitos R-e
En los circuitos que hemos analizado hasta aqui, hemos supuesto que todas las fem
y resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que todos los potenciales, corrientes y potencias también son independientes del tiempo. Pero en el
simple acto de cargar o descargar un capacitor nos topamos con una situación en la
que las corrientes, voltajes y potencias cambian con el tiempo.
Muchos dispositivos importantes incluyen circuitos en los que se carga y descarta alternativamente un capacitar. Entre ellos se cuentan los marcapasos cardiacos
(Fig. 26.19), los semáforos intennitentes, las señales direccionales de los automóviles y las unidades de destello eleclTÓnico (Fig. 24.9). Por consiguiente, es de gran
imponancia práctica comprender 10 que ocurre en los circuitos de este tipo.
26.19 Esta imagen coloreada de rayos X
muestra un marcapaso implantado quirur.
gieamente en un paciente con mal funcionamiento de un nódulo auriculoventricular,
la parte del corazón que genera la señal
cléctrica que ponc en marcha los latidos.
Para compensar, un marcapaso (situado
cerca de la clavícula) envía una señal eléctrica pulsante a lo largo dcl conductor hasta el corazón para mantener un latido
regular.
998
CAPiT
InternlplOr
i
abieno
+~
q=O
i=Q
I
b
R
e
,
(a) Capacitor inicialmente sin carga
Interruptor
cerrado
+
+q -q
r
R
b
1
e
(b) Carga del capacitor
26.20 Carga de un capacitor. (a) Inmediatamente antes de cerrar el interruptor, la
carga q es cero. (b) Cuando se cierra el interruptor (en t = O), la corriente salta de
cero a E/R. Conforme pasa el tiempo, q
tiende a Qr, y la corriente i tiende a cero.
ULO 26 I Circuitos de corriente continua
Carga de un capacitor
La figura 26.20 muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito
como éste, con un resistor y un capacitor en serie, se denomina circuito R-C. Se
idealiza la batería (o fuente de energía eléctrica) de modo que tenga fem [; constante y resistencia interna nula (r = O), Yno se tiene en cuenUl la resistencia de todos los conductores de conexión.
Inicialmente, el capacitor está descargado (Fig. 26.20a); después, en cierto
tiempo inicial t = Ose cierra el interruptor para completar el circuito y permitir
que la corriente alrededor de la espira comience a cargar el capacitor (Fig.
26.20b). Para toda consideración práctica, la corriente comienza en el mismo instante en todas las partes conductoras del circuito, y en cada instante la corriente es
la misma en todas las partes.
IlIDl!lll!l!l Hasta este punto hemos trabajado con diferencias de potencial
(voltajes), corrientes y cargas constantes, y hemos utilizado las letras mayúsculas V.!y Q, respectivamente, para denotar estas magnitudes. A fin de distinguir
entre las magnitudes que varían con el tiempo y las que son constantes, utilizaremos las letras minúsculas v, i y q, respectivamente, para representar los voltajes, corrientes y cargas que varían con el tiempo. Le sugerimos atenerse a esta
misma convención en su propio trabajo.
Ya que inicialmente el capacitor de la figura 26.20 está descargado, la diferencia
de potencial ubcentre los extremos es cero en t = O. En ese momento, de acuerdo con
la regla de las espiras de Kirchhoff, el volUlje V.b entre los extremos del resistor Res
igual a la fem & de la batería. La corríente inicial (t = O) a través del resistor, a la que
llamaremos lo, está dada por la ley de Ohm: lo = va¡jR = E/R.
A medida que el capacitor se carga, su voltaje Vbc aumenta y la diferencia de
potencial Vah entre los extremos del resistor disminuye, lo que corresponde a una
reducción de la corríente. La suma de estos dos voltajes es constante e igual a E.
Al cabo de un largo tiempo el capacitar se carga totalmente, la corriente disminuye a cero y la diferencia de potencial val> entre los extremos del resistor se hace cero. En ese momento aparece la totalidad de la fem & de la batería entre los bornes
del capacitar, y Vbc = E.
Sea q la carga del capacitar e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo I después de cerrar el interruptor. Asignamos el sentido positivo a la corriente en
correspondencia al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor,
como en la figura 26.20b. Las diferencias de potencial instantáneas Vah Y ViJe son
q
Val> = iR
Ubc = -
e
Utilizando éstas en la regla de Kirchhoff de las espiras, se obtiene
E-iR-!i=O
e
(26.9)
El potencial cae una cantidad iR al pasar de a a b y q/C al pasar de b a c. Resolviendo para i de la ecuación (26.9) se tiene
Act'¡V
Physcs
12.6 Capacitancia
.
E
q
R
Re
,~---
(26.10)
En el tiempo t = O, cuando se cierra inicialmente el interruptor, el capacitar está
descargado y, por tanto, q = o. Sustituyendo q = Oen la ecuación (26.10) resulta
que la corriente inicia! 10 está dada por 10 = EIR, como ya lo habiamos señalado.
999
26.4 I Circuitos R-e
Si el capacitar no estuviera en el circuito, el último término de la ecuación (26.10)
estaría ausente; entonces la corriente sería constante e igual a E/R.
Confonne la carga q aumenta, elténnino q/RC crece y la carga del capacitor
Carga de un capacitor:
corriente en Función del tiempo
tiende a su valor final, al que llamaremos Qf. La corriente disminuye y termina
por desaparecer. Cuando i = O, la ecuación (26. IO) da
E
R
~
Q,
Qf= CE
RC
(26.11)
Dése cuenta que la carga final Qfno depende de R.
En la figura 26.21 se muestran la corriente y la carga del capacitar en función
del tiempo. En el instante en el que se cierra el interruptor (t = O), la corriente salta de cero a su valor inicial lo = E/R; a partir de ese punto, se aproxima gradualmente a cero. La carga del capacitar comienza en cero y poco a poco se aproxima
al valor final dado por la ecuación (26.11): Qf = CE.
Se pueden deducir expresiones generales de la carga q y la corriente i en función del tiempo. Por haber asignado el sentido positivo a la corriente (Fig.
26.20b), i equivale a la rapidez con la que llega carga positiva a la placa izquierda
(positiva) del capacitor; por tanto, i = dq/dt. Haciendo esta sustitución en la ecuación (26.10) se obtiene
E
dq
q
1
R
dI
RC
q
Qf
Carga de un capacitor:
carga en función del tiempo
--~t---~~--------
Qfle
___ 'L_
o
--(q - CE)
RC
-~-
(ol
Re
(b)
Esto se puede reordenar a
dq
q
dI
RC
CE
para luego integrar ambos lados. Se cambian las variables de integración a q' y l' para poder fijar q y tcomo limites superiores. Los limites inferiores son q' = OYt' = O:
i
q
,dq'
oq-CE
=
-it~
oRC
Después de integrar se obtiene
ln(q
-C~E) =
RC
Exponenciando ambos lados (es decir, tomando el logaritmo inverso) y resolviendo para q se encuentra que
q - CE = e-,IRe
ce
q
= CE(1 ~ e-tlRC) = Qf(1 ~ e-tIRC)
(26.12)
(circuito R-C, capacitar en carga)
La corriente instantánea i es simplemente la derivada de la ecuación (26.12) con
respecto al tiempo:
i = dq = !:..e ~,'RC = loe -tiRe
dI
R
(circuito R-C, capacitor en carga)
(26.13)
Tanto la carga como la corriente son funciones exponenciales del tiempo. La figura 26.21a es una gráfica de la ecuación (26.13), y la figura 26.2Ib, de la ecuación
(26.12).
26.21 La corriente i y la carga q del capacitar en función del tiempo en el circuito
de la figura 26.20. La corriente inicial es lo
y la carga inicial del capacitor es cero. La
corriente tiende asinlóticamente a cero y la
carga del capacitor tiende asintóticamente
a un valor final Qf.
,
1000
e A P í TUL o 26 I Circuitos de corriente continua
Constante de tiempo
Aet¡"v
Physcs
i
t
12,7 Capacitares en serie y en paralelo
I
12.8 Constantes de tiempo de circuitos
•
Al cabo de un tiempo igual a Re, la corriente en el circuito R-C ha disminuido a
l/e (alrededor aproximadamente de 0.368) de su valor iniciaL En este momento,
la carga del capacitor ha alcanzado una fracción (l - l/e) = 0.632 de su valor final Qf = CE. El producto RC es, en consecuencia, una medida de la rapidez de
carga del capacitor. Llamaremos a Re la constante de tiempo, o tiempo de relajación, del circuito, y la representaremos como r:
T
=
RC
(constante de tiempo del circuito R-C)
(26.14)
Cuando Tes pequeña, el capacitor se carga rápidamente; cuando es más grande, el
proceso de carga toma más tiempo. Si la resistencia es pequeña, la corriente fluye
con más facilidad y el capacitor se carga más pronto. Si R está en ohm y C en farad, T está en segundos.
En la figura 26.2la el eje horizontal es una asíntota de la curva. En términos estrictos, i nunca llega a ser exactamente cero. Sin embargo, cuanto más tiempo
transcurre, más se acerca a ese valor. Al cabo de un tiempo igual a 10 Re. la corriente ha disminuido a 0.000045 de su valor inicial. De manera análoga, la curva
de la figura 26.21b se aproxinia a la línea discontinua horizontal marcada como Qf
como una asíntota. La carga q nunca alcanza exactamente cste valor, pero al cabo
de un tiempo igual a 10RCla diferencia entre q y Qrcs de sólo 0.000045 de Qr. Le
invitamos a comprobar que las unidades del producto RC son de tiempo.
lmurupror
abierto
+(10 -Qo
i=O
II
b
R
(a) Capacitor inicialmente cargado
Interrupror
cerrado
Descarga de un capacitor
Supóngase ahora que, cuando el capacitor de la figura 26.20b ya ha adquirido una
carga Qo, quitamos la bateria del circuito R-C y conectamos los pWltos a y e a un interruptor abierto (Fig. 26.22a). En seguida cerramos el interruptor y en el mismo instante reajustamos nuestro cronómetro a t = O; en ese momento, q = Qo. Por 10 que el
capacitor se descarga a través del resistor, y su carga disminuye finalmente a cero.
Sean una vez más i y q la corriente y la carga que varian con el tiempo, en cierto
instante después de efectuar la conexión. En la figura 26.22b se asigna el mismo
sentido positivo a la corriente, como en la figura 26.20b. En estas condiciones la regla de Kirchhoff de las espiras da la ecuación (26.10), aunque con E = O; es decir,
.
dq
q
dt
RC
(26.15)
1=-=--
+q -q
----4
,
R
I
b
e
,
(b) Descarga del capacitor
26.22 Descarga de un capacitar. (a) Antes
de cerrar el interruptor en el tiempo t = 0,
la carga del capacitor es Qo y la corriente
es cero. (b) En el tiempo I después de cerrar el interruptor, la carga del capacitor es
q y la corriente es i. El sentido de la corriente real es opueslO al que se muestra;
i es negativa. Al cabo de un lÍempo largo,
tamo q como i tienden a cero.
Ahora la corriente i es negativa; esto se debe a que sale carga positiva q de la placa izquierda del capacitor de la figura 26.22b, de modo que la corriente tiene el
sentido opuesto al que se muestra en la figura. En el tiempo t = O, cuando q = Qo,
la corriente inicial es Jo = -QrlRC.
Para hallar q en función del tiempo, debemos reordenar la ecuación (26.15),
cambiar de nuevo los nombres de las variables a q' y t', e integrar. Esta vez los limites de q' son de Qo a q. Se obtiene
s,
dq'- -1
-
00 q'
Re
i' ,
dr
o
q
r
ln-= - Qo
RC
q = Qoe -IIRe
(circuito R-C, capacitor en descarga)
(26.16)
1001
26.4 I Circuitos R-C
La corriente instantánea i es la derivada de esto con respecto al tiempo:
i = dq = _ Qo e-dRC = loe-úRC
dt
Re
(circuito R·C. capacitar en descarga)
,
RC
o
(26.17)
JoI~
-------
/,12
Descarga de
En la figura 26.23 se han graficado la corriente y la carga; ambas magnitudes
tienden exponencialmente a cero con el tiempo. Si comparamos estos resultados
con las ecuaciones (26.12) y (26.13), advertiremos que, aparte del signo de lfh las
expresiones de la corriente son idénticas. La carga del capacitor tiende de manera
asintótica a cero en la ecuación (26.16), en tanto que, en la ecuación (26.12), la diferencia entre q y Q tiende asintóticamente a cero.
Las consideraciones energéticas nos ofrecen una visión más clara del comportamiento de un circuito R-C. Cuando se está cargando el capacitar, la rapidez instantánea a la que la batería entrega energía al circuito es P = &i. La rapidez instantánea
a la que se disipa energía en el resistor es IR, y la rapidez a la que se almacena energia en el capacitar es iU/J<: = iq/C. Multiplicando la ecuación (26.9) por i se obtiene
2
Ei = i R
I
+ iq/C
26.12
lo
(o)
q
Desca!ga de un c:apacilOl':
carp en función del tiempo
o
RC
(b)
(26.18)
Esto significa que, de la potencia suministrada ti por la batería, una parte (i2 R) se
disipa en el rcsistor, y otra (iq/C) se almacena en el capacitor.
La energía total suministrada por la batería durante la carga del capacitor es
igual al producto de la fem E de la batería por la carga total Qr, o EQf. La energía
total almacenada en el capacitar, según la ecuación (24.9), es Q,E!2. De este modo, de la energía swninistrada por la batería, exactamente la mitad se almacena en
el capacitor, y la otra mitad se disipa en la resistencia. Resulta un poco sorprendente que esta división de la energía por mitades no dependa de C. R ní E. Este resultado también se puede verificar ponnenorizadamente tomando la integral con
respecto alliempo de cada una de las cantidades de polencía de la ecuación (26.18).
Le dejamos esle calculo como diversión (véase el problema 26.87).
Elemplo
un capacitor:
corriente Cll
función del tiem
26.23 La corriente i y la carga q dcl capacitor en función dcl tiempo en el circuito
de la figura 26.22. La corriente inicial es lo
y la carga inicial del capacitor es Qll; tanto
¡como q tienden asintóticamenle a cero.
Carga de un capacitor
Un resistor cuya resistencia es de 10 Mn se conecta en serie con un
capacitor cuya capacitancia es de 1.0 ¡.loF Y una batería con una (em
de 12.0 V, como en la figura 26.20. Antes que se cierre el inlerruplor en elliempo I = O, el capacitar eslá descargado. a) ¿Cuál es la
constante de tiempo? b) ¿Qué fracción de la carga final está en las
placas en el tiempo t = 46 s1 c) ¿Qué fracción de la corriente inicial queda en t = 46 s?
lE!.!I3mlI
b) La fracción dc la carga final del capacitor es q/Qf. Según lu ecuación (26. l2),
:L. =
I _ e-rJRe = l _ e-(46,)I{10,) =
0.99
Q,
El capacitar está cargado al 99% después de un tiempo igual a 4.6
RC, o 4.6 constantes de tiempo.
c) De acuerdo con la ecuación (26.13),
i
- = e-~.6 = 0.010
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Con respecto a un capacitor que se
está cargando, la carga está dada por la ecuación (26.12), y la corriente, por la ecuación (26.13). La ecuación (26.14) proporciona la
constante de tiempo.
Al cabo de 4.6 constantes de tiempo la corriente ha disminuido al
1.0"/0 de su valor inicial.
EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.14), la constante de
tiempo es
1 = Re = (10 x Icfin)(I.O x 1O-6 F) = lOs
EVALUAR: La constante de tiempo es relativamente grande porque
la resistencia es muy grande. El circuito cargar.i con más rapidez si
se utiliza una resistencia más pequeña.
1,
1002
CA pfTULO 26 I Circuitos de comente continua
Ejemplo
Descarga de un capacitar
2613
El resistor y el capacitor que se describen en el ejemplo 26.12 se
conectan ahora como se muestra en la figura 26.22. Al capacitor
se le proporciona originalmente una carga de S.O ¡Le, en seguida se
descarga cerrando el interruplor en t = Q. a) ¿Al cabo de cuanto
tiempo será la carga igual a 0.50 ¡.¡.C! b) ¿Cuál será la corriente en
ese momento?
l'Iil!!mmI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En este caso el capacitar se está descargando; por tanto, la carga está dada por la ecuación (26.16), y la
corriente, por la ecuación (26.17).
EJECUTAR: a} Resolviendo para 1 de la ecuación (26.16) se obtiene
Esto equivale a 2.3 veces la constante de tiempo 7' = Re = lOs.
b) De acuerdo con la ecuación (26.17), con Qo = 5.0 p'e = 5.0 X
JO-6 e,
Qo
i = _ _ e-rlM: = -
Re
5.0
x
10-' e
e-u =
-5.0 x lO-a A
lOs
Cuando se descarga el capacitar, la corriente tiene el signo opuesto
que cuando se carga.
EVALUAR: Nos podríamos haber ahorrado el esfuerzo de calcular
e-;l.'« advirtiendo que, en el tiempo en cuestión, q = 0.10 Qo; de
acuerdo oon la ecuación (26.16) esto significa que e-l.'K: = 0.10.
t = -RCln.!L
Q,
= -(IOX ¡<J'in)(1.0x 1O-'F)In
0.50 ¡Le
5.0j.lC
=235
tille.
La energía almacenada en un capacitor es igual a
Cuando se_descarga un
capacitor, ¿qué fracción de la energía inicial pennanece cuando ha transcurrido
un lapso equivalente a una constante de tíempo? ¿Depende la respuesta de cuánta
energía había almacenada inicialmente?
26.S
I Sistemas de distribución de energía
Concluiremos este capitulo con un breve análisis de los sistemas prácticos de distribución de energía eléctrica en hogares y automóviles. Los automóviles utilizan sistemas de corriente continua (cc), en tanto que casi todos los sistemas domésticos,
comerciales e industriales emplean corriente alterna (ca) debido a la facilidad con la
que se eleva y reduce el voltaje por medio de transformadores. En su mayor parte,
se aplican los mismos conceptos básicos de cableado a ambos tipos. Hablaremos
con más detenimiento acerca de los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31.
Las diversas lámparas, motores y otros aparatos que se van a utilizar siempre se
conectan en paralelo a la fuente de energía eléctrica (los cables de la compañía de
electricidad cuando se trata de casas, o de la batetia y el alternador en el caso de un
automóvil). Si los aparatos se conectasen en serie, al apagar uno de ellos se apagatian todos los demás (véase el ejemplo 26.2 de la sección 26.1). En la figura 26.24
se muestra el concepto básico del cableado doméstico. Un lado de la "línea", como se le llama al par de conductores, se designa como el lado neutro; siempre
está conectado a "tierra" en el tablero de servicio. En el caso de los hogares, la tierra es un electrodo real insertado en el suelo (que nonnalmente es un buen conductor) o, a veces, conectado a la tuberia de agua de la vivienda. Los electricistas
hablan del lado con corriente y del lado "neutro" de la línea. Casi todos los sistemas modemos de cableado tienen dos líneas con corriente de polaridad opuesta
respecto a la neutra. Regresaremos a este detalle más adelante.
El voltaje doméstico es nominalmente de 120 V en América del Norte, y suele
ser de 240 V en Europa. (En el caso de la corriente alterna, que varia sinusoidalmente con el tiempo, estas cifTas representan el voltaje medio cuadrático, o volta-
1003
26.5 I Sistemas de distribución de energía
Fusible
LiDCOl con
r -<f'\..t---r--r--,.---r-------- corriente
De la a)I1Ipai'iía
de: electricidad
Lfu<.
Fl1.'lible
principal
r-"--"-"'--+-....-+-------O-----~~
Fusible
í~~Ji--1@~JLi~~t_--I-I-,--,--__==__;:=_-
Linea con
cnnicn!c
Tomas de
___r-__---<>---_--="omo'o'c"=-'-_'-
------....- - Unea
neutra
Medidor
26.24 Diagrama esquemático de parte del sistema de cablcado dc una casa. Sólo se
muestran dos circuitos de ramal; un sistema real podría tcncr de cuatro a treinta circuitos
del ramal. Se pueden conectar lámparas y aparatos en las tomas dc corriente. No se muestTan los alambres de conexión a tierra, quc normalmente no transportan corriente.
je eficaz, que es 1IV2 del voltajc máximo. Analizaremos eslO más a fondo en la
sección 31.1.) La cantidad de corriente {que toma un dispositivo en particular está detenninada por su potencia de alimentación P, dada por la ecuación (25.17):
P = VI por tanto, {=P/V. Por ejemplo, la corriente en un foco de 100 W es
P
IOOW
1=- = - - = 0.83A
V
120V
La potencia de alimentación a este foco eslá determinada de hecho por su resistencia
R. Con base en la ecuación (25.18), la cual establece que P = VI = 1 2R = V 2R en el
caso de un resistor, la resistencia de este foco a la tempernlUnl de funcionamiento es
V
120V
V'
(120V)'
R=-=--=I44fi o R=-=
=1440
I
0.83 A
P
IOOW
De modo análogo, una waflera de 1500 W toma una corriente de (1500 W)/
(120V) = 12.5 A Y tiene una resistencia, a la temperatura de funcionamiento, de
9.6 n. Debido a que la resistividad depende de la temperarura, las resistcncias
de estos aparatos son considerablemente menores cuando están frios. Si se mide
la resistencia de un foco de 100 W con un ohmiómetro (cuya pequcña corriente
eleva muy poco la temperatura), es probable que se obtenga un valor dc alrededor
de 10 n. Cuando se enciende un foco, esta baja resistencia da lugar a una oleada
inicial de corriente hasta que el filamento se calienta. Es por cStO que un foco que
ya está cerca de fundirse casi siempre 10 hace en el momento de encenderlo.
La corriente máxima disponible dc un circuito individual cstá limitada por la
resistencia de los alambres. Como señalamos en la sección 25.5, la pérdida de potencia ¡lR en los alambres eleva la temperatura de éstos, y en casos extremos puede provocar un incendio o fundir los alambres. Para el cableado ordinario de
iluminación y tomas de corriente de las casas se utiliza normalmente alambre
de calibre 12, el cual tiene un diámetro dc 2.05 mm y puede transponar como máximo una corriente de 20 A sin peligro (sin sobrecalentarse). Se utiliza alambre
más grueso, por ejemplo de calibre 8 (3.26 mm) o 6 (4.11), para aparatos que toman mucha corriente, como esrufas eléctricas y secadoras de ropa, y de calibre 2
(6.54 mm) o más grueso en las líneas eléctricas principales de entrada en una casa.
los circuitos se protegen contra sobrecarga y sobrecalentamiento mediante fusibles o conacircuitos. Unfllsible contiene un enlace de aleación de plomo y estaño que funde a una temperatura muy baja; el enlace se funde y rompe el circuito
26.25 Juego de fusibles electricos. Un
alambre fino de aleación de plomo y estaño se extiende a 10 largo de cada rusible,
adentro del estuche transparente.
•
1004
i
1
t
CAPÍTULO 26 I Circuitos de corriente cOnlinua
cuando se excede su comente nominal (Fig. 26.25). Un cortacircuitos es un disposilivo electromecánico que realiza la misma función mediante un electroiman o
una lira bimclálica que "dispara" el ruptor e interrumpe el circuito cuando la corriente excede un valor especifico. Los cortacircuitos tienen la ventaja de que se
pueden reconectar después de que se han disparado, mientras que un fusible fundido debe ser sustituido. De cualquier modo, algunas veces los fusibles son más
fiables en operación que los cortacircuitos
Si el sistema tiene fusibles y se conectan a una misma toma demasiados aparatos que toman mucha corriente, el fusible se quema. No se debe sustituir el fusible
por uno de mayor capacidad, pues se corre el riesgo de sobrecalentar los alambres
e iniciar un incendio. La única solución que no ofrece peligro es distribuir los aparatos entre varios circuitos. Las cocinas modernas suelen tener tres o cuatro circuitos individuales de 20 A.
El contacto entre los lados con corriente y neutro de la línea provoca un conocircuito. Esta situación, que puede ser debida a un aislamiento defectuoso o a diversas
fallas mecanicas, ofrece un camino de muy poca resistencia a la corriente y permite
que fluya una corriente muy grande que rápidamente fundiria los alambres y haria arder su aislamiento si un fusible o conacircuitos no interrumpiese la corriente (véase
el ejemplo 25.11 de la sección 25.5). Una situación igualmente peligrosa es un alambre roto que interrumpe el trayecto de la corriente y crea un circuito abierto. Esto es
peligroso porque se producen chispas en el punto de contacto intermitente.
En la práctica de cableado autorizada, se coloca un fusible o cortacircuitos só·
lo en el lado con corriente de la línea, nunca en el lado neutro. De otro modo, si
llegase a haber un conocircuito debido a un aislamiento defectuoso u otra falla, el
fusible del lado de tierra podría quemarse. El lado con corriente todavía estaría
vivo y representaría un peligro de choque electrico si se toca el conductor vivo y
un objeto conectado a tierra, como un tubo de agua. Por razones analogas, el inte·
rruptor de pared de un elemento de iluminación siempre esta en el lado cargado de
la linea, nunca en el neutro.
Un tercer conductor, llamado alambre de conexión a tierra, que se incluye en
todo el cableado moderno, ofrece protección adicional contra el peligro de descargas electricas. Este conductor corresponde a la punta larga y redonda o con forma
de U de la clavija de tres puntas de un aparato o de una herramienta eléctrica. Se
conecta aliado neutro de la linea en el tablero de servicio. Normalmenle, el alam·
bre de conexión a tierra no conduce corriente, sino que conecta a tierra la carcasa
o el bastidor metalico del dispositivo. Si un conductor del lado con corriente de la
línea entra en contacto accidentalmente con el bastidor o la carcasa, el conductor
de conexión a lierra proporciona un camino para la corriente y entonces el fusible
se quema. Sin el alambre de conexión a tierra, el bastidor quedaría "cargado", es
decir, a un potencial de 120 V más alto respecto a la tierra. En estas condiciones,
si una persona toca el bastidor y un tubo de agua (o incluso el piso húmedo de un
sótano) al mismo tiempo, podría recibir una descarga peligrosa (Fig. 26.26). En
ciertas situaciones, especialmente en tomas situadas al aire libre o cerca de un su·
midero u otros tubos de agua, se utiliza un tipo especial de cortacircuitos conocido como internlptordeJalla de tierra (GFI o GfCl, por sus siglas en inglés). Este
dispositivo percibe la diferencia de corriente entre los conductores con corriente
y neutro (que normalmente es cero) y se dispara cuando esta diferencia excede
cierto valor muy pequeño, típicamente de 5 mA.
De hecho, casi todos los sistemas de cableado doméstico se basan en un pequeño refinamiento del sistema que hemos descrito. La compañía de electricidad su·
ministra tres conductores (Fig. 26.27). Uno de ellos es neutro; los otros dos están
a 120 V con respecto al neutro pero son de polaridad opuesta, 10 que da un volta·
1005
26.5 I Sistemas de distribuci6n de energía
26.26 (a) Si se conecta un taladro eléctrico que funciona mal a un enchufe de pared
por medio de una clavija de dos puntas, la
persona puede recibir una descarga eléctrica. (b) Cuando el taladro funciona mal hallándose conectado por medio de una
c1avij3 de tres puntas, la persona que lo fOca no recibe una descarga, porque la carga
eléctrica fluye por el alambre de conexión
a tierra (verde) a la tercera punta y hacia
lierra, en vez de entrar en el cuerpo de la
persona. Si la corriente hacia tierra es
apreciable, el fusible se quema.
¡
(a) Clavija de dos puntas
(b) Clavija de tres puntas
je de 240 V entre ellos. La compañia de electricidad llama a esto una línea de tres
hilos, en contraste con la linea de 120 V de dos hilos (más uno de conexión a tierra) antes descrita. Con una linea de tres hilos, las lámparas y aparatos de 120 V
se pueden coneclar entre el conductor neutro y cualesquiera de los cargados, y los
dispositivos de aila potencia que requieren 240 V, como las estufas eléctricas y las
secadoras de ropa, se conectan entre los dos alambres cargados.
A fin de evitar erroreS de cableado, los sistemas domésticos emplean un código
estandarizado de colores en el que el lado con corriente de una linea tiene aislamiento negro (negro y rojo para los dos lados de una linea de 240 V), el lado neutro tiene
aislamiento blanco y el conductor de conexión a tierra esta desnudo o tiene aislamiento verde. Sin embargo, en los dispositivos y equipos electrónicos los lados de las lineas
a tierra y neutro por lo general son negros, ¡cuidado! (Las ilustraciones no siguen este código estándar, sino que muestran en rojo la línea cargada y en azul la neutra).
Todo lo que acabamos de exponer se aplica directamente al cableado de un automóvil. El voltaje es de aproximadamente 13 V (corriente continua); la potencia
es suministrada por la bateria y el alternador, que carga la batería cuando el motor
está funcionando. El lado neutro de cada circuito está conectado a la carroceria y
al bastidor del vchiculo. Con este bajo voltaje no se requiere un conductor adicional de conexión a tierra como medida de seguridad. La disposición de los fusibles
o cortacircuitos es la misma, en principio, que en el cableado doméstico. A causa
del bajo voltaje (menos energía por carga), se requiere más corriente (mayor miLám¡MIa{t211
,
-
"
"
."
"
V)
11
-:;:-
Tom1prif11:ipaI
Eorufo e
BlII"""'O
(2.lOV)
(l:!(lV)
Lo......jiIIas
(l20V)
(l1OV)
26.27 Diagrama de un sistem3 de cableado tipico de 120-240 V de una cocina. No se muestran los
alambres de conexión a tierra. En cada línea, dIado con corriente se muestra en rojo, y la linea neutra
se muestra en azul. (En d cableado doméstico real se utilizan otros colores).
1006
CAPíTULO 26 I Circuítosdeconienteconlinua
mero de cargas por segundo) para obtener la misma potencia; un foco de faro de
100 W requiere una corriente de alrededor de (100 W)/(l3 V) = 8 A,
Aunque hemos hablado de potencia en los párrafos precedentes, 10 que adquirimos de la compañía de electricidad es energía. Potencia es energía transferida
por unidad de tiempo; en estos términos, energía es potencia promedio multiplicada por tiempo. La unidad habirual de la energía que vende la compañía de electricidad es el kilowatt-hora (1 kWh):
1 kWh = (10 3 W)(3600s) = 3.6 X 106 W's = 3.6 X lOóJ
El costo tipico de un kilowatt-hora es de 2 a 10 centavos de dólar, según la localidad
y la cantidad de energía consumida. El funcionamiento continuo de una waflera de
1500 W (1.5 kW) durante una hora requiere 1.5 kWh de energía; a 10 centavos porldlowatt-hora, el costo de la energía es de 15 centavos de dólar. El costo de tener encendida una lámpara o aparato durante un tiempo determinado se calcula de la misma
manera si se conoce su potencia nominal. No obstante, muchos utensilios eléctricos
de cocina (incluso las wafleras) se encienden y apagan cíclicamente para mantener
una temperatura constante, de modo que la potencia promedio puede ser menor que
la potencia nominal indicada en el dispositivo.
_
Circuito de cocina
Una tostadora de ISOO W, una sartén eléctrica de 1.3 kW y una lámpara de 100 W están conectadas a un mismo circuito dc 20 A Y 120
V. a) ¿Cuánta corriente toma cada dispositivo, y cuál es la resistencia
de cada uno? b) ¿Hará esta combinación que se queme el fusible?
+ 'sartén + f lámpan = 15 A + 11 A + 0.S3 A = 27 A
Esto excede la capacidad nominal de 20 A de la línea, y el fusible
se quemará sin lugar a dudas.
lE!!lil!llI
EVALUAR: Tambié.n se podría hallar la corriente encontrando primero la resistencia equivalente de los tres dispositivos en paralelo:
f = 1,,,,wJon
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Cuando están conectados al mismo
circuito, los tres dispositivos están en paralelo. El voltaje entre los
bornes de cada uno es V = 120 V La corriente I que cada dispositivo toma se halla mediante la relación P = VI, donde P es la potencia de alimentación del dispositivo. Para hallar la resistencia R de
cada dispositivo se emplea la relación P = VI/R.
EJECUTAR: a) Para simplificar el cáleulo de la corriente y la resistencia conviene advertir que I = P/Vy R = V 2/p. Por tanto,
(120 V)2
ISOOW
Ito>tll<loco
=
120 V
= 15 A
R~=
= IIA
R~n =
1300W
f'onI:n =
120 V
100W
11,,,,,,,,,,, = - - = 0.S3 A
120V
ISOOW
=SO
(120V)2
-'-c-,-,---'- = 11
1300W
n
RI,,"p>rO. = ,(_12_0_V_l,--2 = 144 O
lOOW
Con voltaje constante el dispositivo con menos resistencia (en este
caso la losladora) toma la mayor cantidad de corriente y recibe la
potclKia más grande.
) la corriente total a través de la linea es la suma de las corrientes
~ bIJaD. los tres dispositivos:
1
1
1
I
R<:<¡
R,,,,,,,,,,,,,,
R''''én
Rlómpan
-~---+--+--
=
1
1
I
1SO + 11 0+ 1440 = 0.220-
R<:<¡=4.5n
De tal modo que la corriente total es I = V/R<:<¡ = (120 V)/(4.5 O)
= 27 A, como antcs. Una tercera manera de hallar I es emplear J =
P/V y simplemente dividir la potencia total entregada a los tres dispositivos entre el voltaje:
I ~
P,,,,,.w.o +
+P
-=-=-=--==
V
p~"
1ómpua
ISOOW
+ 1300W + lOOW
120V
= 27 A
Demandas de corricnte como ésta se presentan cotidianamente en las
cocinas, y es por esto quc las cocinas modernas tienen más de un circuito de 20 A. En la práctica, la tostadora y la sartén eléctrica se deben conectar a circuitos diferentes; en estas condiciones la corriente
en cada circuito estaría por debajo de la capacidad nominal de 20 A.
Para evitar que se queme el fusible del ejemplo 26.14, un electricista sustituye el
fusible por uno de 40 A. ¿Es razonable hacer esto?
1007
Resumen
RESUMEN
Cuando se coneclaD en serie varias resistencias R¡, R~, R], . .. ,la resistencia equivalente R"{ es la suma de las resistencias
individualcs. La misma corrienle fluye a
trnvés de todos los resistores en una conexión en serie. Cuando se coneclan varios
resistores en paralelo, el reciproco de la resistencia equivalente R"{ es la suma de los
reciprocas de las resistencias individuales.
Todos los resistores de una conexión en paralelo tienen la misma diferencia de potencial entre sus bornes. (Véanse los ejemplos
26. I Y26.2).
R"{
= R,
+ R2 + R] + ...
(26.1)
(resistores en serie)
x
,
R,
-
R,
b
I
1
I
I
I
1
-=-+-+-+
...
R"{
R2 R]
(resislores en paralelo)
R1
(26.2)
Rl,R2 yR,eoscrie
R,
-
R,
o
b
R,
I
LI ~ O
(26.5)
1,-- -1,
(regla de las uniones)
LV~O
~11·1,
20 12V
(26.6)
'+~f
(regla de las espiras)
-'.
•
~O
En un galv3.nómerro de d'Arsonval, la desviación es proporcional a la corriente en la bobina.
Para lener una escala de corriente mas amplia, sc agrega un resistor de derivación a fin de que
pane de la corriente se desvie de la bobina del medidor. Un instrumemo de este tipo recibe el....
nombre de amperimerro. Si la bobina y loda resistencia adicional en serie obedecen la ley de
Ohm, lambién se puede cnlibrar el medidor para leer diferencia de potencial o vahaje. Por lo
tanto el instrumcnto se llama voltímetro. Un buen amperímetro tiene muy baja resistencia; un
buen voltímetro tiene una resistencia muy grande. (Véanse los ejcmplos del 26.8 al 26.11).
Qr( I - t-tlRe)
4V
-7
q = CE( I - e-'IRe)
=
I
R1• Rl YR, en paralelo
La regla de Kirchholf de las uniones se basa en la conservación de la carga. Eslablcce que la swna algebraica de las corrientes en cualquier unión empalme debe ser cero. La regla
de Kirchholf de las espiras se fundamenta en la conservación de la enCJgia y en la nanualeza conservativa de los
campos cIectrOS!áticos. Establece que la suma algebraica de
las diferencias de potencial en tomo a una espira cualquiera debe ser cero. La aplicación minuciosa de reglas de sigIlOS congruentes es indispensable para aplicar las reglas de
Kirchhoff. (V6anse los ejemplos del 26.3 al 26.7).
Cuando se carga un capacitar por medio de
una batería en scrie con un resistor, la corriente y la carga del capacitar no son constantes.
La carga ticnde asintóticamente a su valor final, y la corriente tiende asintóticamente a cero. La carga y la corricnte del circuito están
dadas por las ecuaciones (26.12) y (26.13). Al
cabo de un tiempo 'T = RC, la carga se ha
aproximado a menos de lIe de su valor fmal.
Este tiempo se llama constante de tiempo o
tíempo de relajación del circuito. Cuando el
capacitar se descarga, la carga y la corriente
estin dadas en función del tiempo por las
ecuaciones (26.16 y 26.17). La constante de
tiempo es la misma en la carga y en la descarga.. (Véanse los ejemplos 26.12 y 26.13).
-
R,
o
7
Carga de un capacitor:
(26.12)
1,
corriente en función
del tiempo
(capacitar en carga)
dq
E
¡=_=_t-I/Re
d,
1of2
101'
R
= loe-l/Re
(26.13)
O
(capacitar tn carga)
q = Q(ll!' -IIIIC
(26.16)
(capacitar en descarga)
i = dq = _.fke-otRe
di
Re
= loe-tiRe
(capacitar en descarga)
(26.17)
Re
1008
e A pí T u
LO
26 I Circuitos de comente cofuinua
En los sistemas de cableado doméstico, los diversos dispositivos eléctricos se co·
nectan en paralelo entre los extremos de la línea de energía eléctrica, que consiste
en un par de conductores, uno con corriente y el otro "neutro". Se incluye un
alambre de conexión a "tierra" como medida de seguridad. La corriente máxima
permisible en un circuito está determinada por el tamaño de los alambres y la temperarura máxima que toleran. Se proporciona protección contra una corriente excesiva y el consiguiente peligro de incendio mediante fusibles o cortacircuitos.
(Véase el ejemplo 26.14).
Términos clave
amperímetro,993
circuito R-e, 998
constante de tiempo (tiempo de
relajación),lOOO
corriente alterna, 980
corriente continua, 980
Notas
espira, 986
galvanómetro de d'Arsonval, 992
ohmiómetro, 996
paralelo, 981
regla de Kirchhoff de las espiras, 987
regla de Kirchhoff de las uniones, 986
resistencia equivalente, 981
resistor de derivación, 993
serie, 981
unión,986
voltímetro, 994
Preguntas para análisis
Respuesta a la pregunta inicial
del capítulo
j
•
La difcrencia dc potcncial Ves la misma entre los extremos de los
resislores concclados en parnlclo. Oc cualquier modo, pasa una corriente diferente la lravés de cada resistor si las resistencias R son
diferentes: I "" VIR.
Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión
Sección 26.1 En orden de resistencia equivalente ~ creciente, las
configuraciones son (b), (d). (e) y (a). Las rawnes son: (a) los tres resistores de la figura 26.1 a están en serie; por- tanto, ~ = R + R + R
= 3R. (b) En la figura 26.1b los tres resistores están en paralelo; por
tanlO, IIR... = I/R + IIR + IIR = 31R. (e) En la figura 26.lc los re·
sislom; segundo y tercero están en para1elo, por lo que su resistencia
equivalente RlJ está dada por IIRlJ = IIR + IIR = 2JR; por tanto. R]J
= RIl. Esla combinación está en serie con el primer resistor; por tafl.
10. los tres resistoresjuntos tienen una resistencia equivalente R"'I = R
+ RI2 = 3R12. (d) En la figura 26.ld los resistores segundo y lmero
están en serie, por lo que su resistCttcia cquivalenle es Rl l = R + R ::
2R. Esla combinación está cn pantlclo con el primer resislor. por lo
que la resistcncia equivalcnlc dc la combinaciÓlt de tres resislOrcs cs·
tá dada por 1I~ = IIR + IflR = 3n.R. Portaoto, R".¡ = 2R/3.
Sección 26.2 La ccuación (2) menos la ecuación (1) da -/z( I fi)(/l + hX2 fi) + (/ 1 -/JXI fi) + /l(l fi) = O. Se puede oblener es-ta ecuación aplicando la regla de las espiras alrededor del trayecto
de c a b a d a a a e de la figura 26.12. Esta ecuación no es nueva,
por lo que no habría ayudado a resolver el ejemplo 26.6.
Sección 26.3 El amperímetro se debe conectar en serie con el resistal' de 2 fi entre los puntos b y d , Ylos bornes del voltímetro se debcn concctar a los puntos b y d. Idealmente, la resistencia del
amperímetro sería cero y la del voltímetro infinita, por 10 que su presencia no innuiría ni en la corriente ni en el<Voltaje del resistor. Ninguna de estas idealizaciones es posible, pero la resistencia del
amperimctro dcbc ser mucho menor que 2 n, y la resistencia dcl voltímelro dcbe ser mucho mayor que 2 fi.
Sección 26,4 Al cabo de una constante de tiempo, 1= RCy la carga inicial Qo ha disminuido a Qoe~rlRC = Qrf!-RC/RC = Qrf!-l = QJe.
Por tanto, la energía almacenada ha disminuido de Qoznc a
(Qrle)lI2C ,. Qol12C¿', una fracción 1I¿' = 0.135 de su valor ini·
cial. Este resultado no depende del valor inicial de la energía.
Sección 26.S EsIO es algo muy peligroso. El fusible permitirá ca·
rrientes de hasla 40 A, el doble del valor nominal del cableado. La
cantidad de potencia P = /zR que se disipa en una sección del
alambre puede ser, por tanto, de hasta cuatro veces el valor nominal. y los alambres podrían calentarse mucho e iniciar un incendio.
Preguntas para análisis
P26.1 ¿En cuál foco de 120 V tiene mas resistencia el filamento;
en uno de 60 W o en uno de 120 W? Si se conectan en serie los dos
focos a una linea de 120 V, ¿a tt:avés de cuál foco habrá la mayor
caída de vollaje? ¿Y si se conectan en paralelo? Explique su cazo.
namiento.
1009
P26.2 Se conectaron en serie dos focos dc 120 V, uno de 25 W y
aIra de 200 W entre los bornes de una línea de 240 V. En principio
eslO parecía una buena idea, pero uno de ellos se fundió casi instantáneamenle. ¿Cuál se fundió y por qué?
P26.3 Se conectan varios focos idénticos a una bateria de linterna
de mallO. ¿Qué le ocurre a la brillantez de cada foco a medida que
se agregan mas al cireuito si se conectan: i) en serie, ii) en parnle.
lo? ¿Durará más la batcría si los focos eslán en serie o en paralelo?
Explique su razonamiento.
P26.4 En el cireuitoque se muestra en la figura 26.28 hay tres focos idénticos conectados a una
batería de linterna de mano. ¿Cómo es la brillantez relativa de los
focos? ¿Por cuál pasa la mayor
cantidad de corriente? ¿Cuál de
ellas tiene la diferencia de polen- Figura 26.28 Pregunla
P26.4.
cíal más grande entre sus bornes?
¿Qué ocurre si se dcsenrosca el
foco A? ¿Y el foco B? ¿Y el foco C! Explique su razonamienlo.
P26.5 ¿Por qué se atenúan las luces de un auto al accionar el motor de arranque?
P26.6 Los resistores Rl y Rz eslán conectados en paralelo a una
fuente de fem con resistencia interna insignificante. ¿Qué le ocurre
a la corriente que pasa por Rl cuando se quita Rz del circuilo? Explique su razonamiento.
P26.7 Los resistores Rl y Rz están conectados en scrie a una fuente de fem con resistencia interna insignificante. ¿Qué le ocurre a la
corriente que pasa por Rl cuando se conecla un tercer resistor Rl en
paralelo con Rz? Expliquc su razonamiento.
P26.8 Compare las fórmulas referentes a resistores en serie y en
paralelo con las correspondientes a capacitares en serie y en paralelo. ¿Qué semejanzas y diferencias observa? A veces se cmplea en
el análisis de cireuitos la magnítud conductancia, que se denota como G y se define como el reciproco dc la rcsistencia: G = l/R. Haga la comparación correspondiente entre conductancia y capaci.
tancia.
P26,9 ¿Es posible conectar resistores unos con arras de modo que
no sc pucdan rcducir a alguna combinación de conexiones en serie
y en paralelo? En caso afirmativo. cite ejemplos. En caso negativo.
cxplique por qué.
P26.10 Se pucdc ínvenir el sentido de la corriente en una balería
conectando esta a una segunda batería de fem más grande, uniendo
los bornes positivos de las dos baterías. Cuando se inviene el sentido
de la corriente en una batería. ¿se imic:ne también la fcm? ¿Por qué?
P26.11 En una linterna de dos baterias. éstas se conectan normal·
mente en serie. ¿Por qué 00 conectarlas en paralelo? ¿Qué Posible
ventaja se podria ganar conectando \'lIrias balerias idénticas en paralelo?
P26.12 Las mantaml)'llS elécuicas (género Torpedo) emiten descargas e1Cctricas para aturdir a sus presas y ahuyentar a los depredadores.
(En la antigua Roma, los médicos prncticaban una fonna primitiva de
taapia de electrochoque colocando maDtarrnyas e1Cctricas sobre sus
pacientes oon el propósito de curar las jaquecas y la gota). La figurn
26293 muestra una Torpedo vista desde abajo. El voltaje es produci.
do por unas células delgadas parecidas a obleas, llamadas electroeitos.
1010
CAPíTULO 26
t Circuitosciecorrientecontinua
('l
guientes deben ser verdaderas? Justifique su respuesla en todos los
casos. a) /¡ ::: /] ::: /). b) La corriente es mayor en R1 que en R1 .
c) El consumo de enorgía e1&trica es el mismo en ambos resistores. d) El consumo de energia eléctrica es mayor en R2 que en R,.
e) La calda de potencial es la misma entre los extremos de ambos
resistores. f) El polencial en el punto a es igual que en el puntó .:.
g) El potencial en el punto b es menor que en el punto e, h) El potencial en el punto c es menor quc en el punto b.
26.4 Si se conectan en paralelo
JI R¡
dos mistores R 1 y R1 (R~ > R¡)
como se mueslra en la figura
!J..~~
26.31, ¿cuáles de las afirmacio,
f
nes siguientes deben ser verdaFigura
26.31
Ejercicio
26.4.
deras? Justifique su respuesta en
todos los casos. a) /1 == /~. b) /l :::
I~. c) La corriente es mayor en R¡ que en R2. d) La rapidcz de consumo de energía eléctrica es la misma en ambos resislOres. e) La rapidez de conswno de energía eléctrica es mayor en R~ que en R,.
f) V... = V",::: V,o/). g) El punto e esta a un potencial más alto que el
punto d. h) El puntofestá a un potencial más alto que el punto e.
i) El punto e está a un potencial más alto que el punto e.
26.5 Tres resistores con resistencias de 1.60 n. 2.40 n y 4.80 n se
con«tan en paralelo a una bateria de 28.0 V cuya resistencia interna es insignificante. Halle a) la resistencia equivalcnte dc la combinación; b) la corriente cn cada resistor; c) la corriente total a través
de la bateriaj d) el voltaje entre los ex~mos de cada·resistor; e) la
potencia que se disipa en cada resistor. f) ¿Cuál resistor disipa más
energía: el que tiene mayor resistencia o el dc resistencia más pequeña? Explique por qué debe ser así.
26.6 Ahora los tres resistores del ejercicio 26.5 están conectados
en serie a la misma batcría. Responda las mismas preguntas con
respecto a esta situación.
E=60.QV. ,-0
26.7 a) La potencia nominal de
un resistor es la energía máxima
que el resisl.Or puede disipar sin
excesiva elevación de su temperatura. La potencia nominal de
6.000 4.000
un resistor de 15 kn es de 5.0 W.
Figura
26.32
Ejercicio 26.8.
¿Cuál es la máxima diferencia
de potencial permisible entre los
E=48.0V, ,-0
bornes del resistor? b) Se va a
coneclar un resiSlOr de 9.0 kn
a través de una diferencia de potencial de 120 V. ¿Qué potencia
7.000 5.000
nominal se requiere?
26.8 Calcule la resistencia equi- Figura 26.33 Ejercicio 26.9.
valente de la red de la figuro 26.32
Y encuentre la corriente en cada
resistor. La resislencia interna de
la batería es ins.ignificante.
26.9 Calcule la resistencia equi- Figura 26.34 Ejercicios 26.10
valente de la red de la figura 26.33 y26.11.
y encuentre la corriente en cada
resister. La resistencia inlema de la batería es insígnifieal1te.
26.10 Se ensamblan cuatro resistores y una balería con resistencia
interna insignificante para formar el circuito de la figura 26,34.
~
(ol
figura 26.29 Pregunta P26.12.
cada llila de las cuales actúa como una batcria con una fcm aplU.Jtimada de 10'" V. Hay pilas de clectroeitos dispueslaS unas al lado de OIJ1lS
en la cara inferior de la Torpedo (Fig. 2629b); en estas pilas, la cara
positiva de cada elcctrocito loca la cara negativa del electrocito si·
guiente (Fig. 26.29c). ¿Cuál es la ventaja de apilar los e!ectrocitos? ¿Y
de tener las pilas unas aliado de otras?
P26.13 La fero de una balerla de linterna es casi constante al paso
del tiempo, pero su resistencia interna aumenta con el tiempo y con
el uso. ¿Qué clase de medidor se debe utilizar para probar la antigüedad de una bateria?
P26.14 ¿Es posible tener un circuito en el que la diferencia de pcl(en·
cial entre los bornes de una balerla incluida en el circuito sea cero? En
caso afirmativo, cite un ejemplo. En caso negativo, explique por qué.
P26.15 Con resistencias muy grandes es fácil construir circuitos RC con constantes de tiempo de varios segundos o minutos. ¿Cómo se
podria aprovechar este hecho para medir resistencias que son demasiado grandes para ser medidas por medios más convencionales?
P26.16 Cuando se conecta en serie un capacitar con una bateria y un
resistor, ¿influye el resistoren la carga m.ixima que se almacena en el
capacitol1 ¿Por qué? ¿Qué propósito tiene la inclusión del resistol1
P26.17 Cuanto más grande es el diámetro de alambre que se utiliza
en el cableado doméstico, tanto mayor es la corrienle maxima que el
alambre puede IIaJlsportar sin peligro. ¿A qué se debe esto? ¿Depende la corriente permisible de la longitud del alambre? ¿Depende del
material del que está hecho el alambre? Explique su razonamiento.
Ejercicios
Sección 26.1 Resistores en serie y en paralelo
26.1 Se conectan en paralelo un resistor de 32 n yuno de 20 n. y
se conecta la combinación entre los bornes de una línea de ce de
240 \~ a) ¿Cuál es la resistencia de la combinación en paralelo?
b) ¿Cuál es la corriente tOlal a través de la combinación en paralekJ? e) ¿Cuál es la corriente a través de cada resistol1
26.2 Pruebe que cuando dos resistores están conectados en paralckJ. la Te:SISletICia equivalente de la combinación siemprc es menor
que la de cvalquiera de los resistoros.
263 Si se CODCCtan en serie dos
1, R, J~ R~ 1)
resistores R¡ ~. R: fR~ > R¡) coaVfrbvr,c
mo se mucstt1l en b figura 2630.
¿cuáles de las afirmaciones si- Figura 26.30 Ejercicio 26.3.
..............
5§
~;\§
1011
Ejercicios
Sean [ = 6.00 V, R¡ = 3.50 n, R2 = 8.20 n, R] = 1.50 n y R4 =
4.50 n. Halle a) la resistencia equivalente de la red; b) la corriente
en cada resistor.
26.11 En el circuito de la figura 26.34 cada resistor representa un
foco. Sean R] = R"! = R] = R4 = 4.50 n y E = 9.00 V. a) Encuentre
la corriente en cada foco. b) Proporcione la potencia que se disipa
en cada foco. ¡,Cuál o cuáles bombillas iluminan con más brillantez?
e) Ahom se quita del circuito la bombilla R4 y el alambre queda interrumpido en la posición que ocupaba. ¿Cuál es ahora la corriente
en cada uno de los focos restantes R 1, R, Y RJ ? d) Sin el foco R 4,
¿cuánta potencia se disipa en cada uno de los focos restantes?
e) ¿En cuál o cuáles de los focos es más brillante la incandescencia
,"
1
•
•
como consecuencia de la eliminación de R4 ? ¿En cuál o cuáles
es menos brillante? Comente por
qué son diferentes los efectos en
los distintos focos.
20.0 n
26.12 Considere el circuito que
se muestra en la figura 2635, La
corriente a través del resistor de
Figura 26.35 Ejercicio 26.12.
6.00 fl es de 4.00 A, en el sentido que se indica. ¿Cuáles son las
E
corrientes a través dc los resistores de 25.0 fl Y20.0 O?
26.13 Ene1circuitoqucscmucstra cn la figura 26.36, el voltaje
cntre los extrcmos del resistor de
Figura 26.36 Ejercicio 26.13.
2.00 fl es de 12.0 v: ¿Cuáles son
la fem de la bateria y la corriente a través del resistor de 6.00 D.?
26.14 Foco de tres vías. Un foco de tres vias tiene tres ajustes de
brillantez (baja, media y alta), pero sólo dos filamentos. a) Cierta
bombilla eléctrica de tres vias conectada entre los extremos de una
linea de 120 V puede disipar 60 W, 120 W o 180 W. Describa cómo
están dispuestos los filamentos en el foco y calculc la resistcncia de
cada filamento. b) Suponga que el filamento de mayor resistencia
se funde. ¿Cuánta potencia disipará el foco en cada uno de los ajustes de brillantez? ¿Cuál será la brillantez (baja, media o alta) en cada ajuste? e) Repita el inciso (b) con respecto a la situación donde
el filamento que sc fundc es el de menor resistencia.
26.15 Focos en serie y en paralelo. Las resistencias respectivas de
dos focos son de 400 fl y 800 fl. Si los dos focos están conectados en
scric entre los extremos de una línea de 120 V, encuentre a) la corriente a través de cada foco; b) la energia que se disipa en cada foco y la
energia total que se disipa en ambos. Ahora se conectan las dos bombillas en paralelo entre los extremos de la línea de 120 V. Halle e) la
corriente a través de cada bombilla; d) la potencia que se disipa en cada foco y la energia total que se disipa en ambos. e) En cada situación,
¿cuál de los dos focos ilumina con más brillantez? ¿En cuál situación
produce más luz la combinación de ambos focos?
26.16 Focos en serie. Un foco de 60 W y 120 V Yuno de 200 W y
120 V se conectan en serie entre los extremos de una línea de 240 v:
Suponga que la resistencia de los focos no varia con la corriente.
(SOla: Esta descripción de un foco proporciona la potencia que disipa wando esta conectado a la diferencia de potencial señalada; es
decir. unabombi11a de25 W y 120V disipa 25 W cuando está conectada a UlUliDea de 120 V). a) Encucntre la corriente a través de los
,
focos. b) Proporcione la energía.
100n 100n
que se disipa en cada foco. e) Uno
20.00 10.0 n 10.0 n
de los focos se funde muy pronto.
Agua
5.0H 5.00
¿Cuál es? ¿Porqué?
26.17 En el circuito de la figura
30.0 V 5.00
26.37, un resistor de 20 n está
sumergido cn 100 g de agua pum
Figura 26.37 Ejercicio 26.17.
rodeada de espuma de poliestireno aislantc. Si cl agua cstá inicialmente a 1O.00 C, ¿cuánto tiempo
tomará para que su temperatura
se eleve a 58.0°C?
26.18 Encleireuitoquesemuestra en la figum 26.38, la proporFigura 26.38 Ejercicio 26.18.
ción a la que R] disipa energia
eléctrica cs dc 20.0 W. a) HalleR 1 y R!, b) ¿Cuál es la fem de la batena? c) Encuentre la corriente a través de R! y del resistor dc 10.0 n.
d) Calcule el consumo total de potencia eléctrica en todos los resistores y la potencia eléctrica entregada por la batena. Demuestre que sus
resultados son congruentes con la conservación de la energia.
•
Sección 26.2 Reglas de Kirc.hhoff
26.19 En cl circuito de la figura
28.0V
R
26.39, encuentre a) la corriente
en el resistor R; b) la resistencia
R; c) la fem desconocida E. d) Si
se interrumpe el circuito en el
punto x, ¿cuál es la corriente en
el resistor R?
3.00 n
26.20 Proporcione las fem Cl y
Figura 26.39 Ejercicio 26.19.
E2 en el circuito de la figura
26.40, y también la diferencia de
1.000 20.0 Y
6000
potencial del punto b con respecto al punto a.
1.00 A
LOO O E,
400 O
26.21 En el circuito de la figura
b
26.41, halle a) la corriente en el
" t.oo n E,
1.00 A
2.000
resistor de 3.00 O; b) las fem
desconocidas El y E2 ; e) la resistcncia R. Advierta que se dan tres
Figura 26.40 Ejercicio 26.20.
corrientes.
•
!
!
200A
<-
•"
4.00f1
3.00A ¡
•
•
•
R
'\
3.00 n
6.00 n
¡ S.OOA
Figura 26.41 Ejercicio 26.2l.
26.22 En el circuito de la figura 26.42, halle a) la corriente en cada ramal; b) la diferencia dc potencial Val> del punto a respecto al
punto b.
26.23 La batería de 10.00 V de la figura 26.42 se quita del circuito
y se inserta de nucvo con la polaridad opuesta, de modo que ahora
su borne positivo cstájunto al punto a. El resto del circuito es como
se muestra en la figura. Proporcione a) la corriente en cada ramal;
b) la diferencia de potencial Vah del punto a respecto al punto b.
1012
26.24 La batería de 5.00 V de la
figura 26.42 se quita del circuito
y se sustituye por una balería de
20.00 V con su borne negativo
junto al punto b. El resto del circuito es como se muestra en la
figura. Encuentre a) la corrienle
en cada ramal: b) la diferencia de
potencial V<IIl del punto a respecto al punto b.
CAPfTULO
2.00 fl 10,00 V3
•
,
00
261 Cirt:uitosdecorrienlecontinua
n
1.00 o ~.OO V•.oo fl
•
•
10.00 n
Figura 26.42 Ejercicios
26.22, 26.23 Y 26.24,
26.25 Con base en la expresión P = 1 1 R, calcule la potencia total
que se disipa en los cuatro resistores de la figura 26.1 Da.
26.26 En el cin:uito de la figura 26.103 (ejemplo 26.3. sección 26.2),
se quita la baleria de 12 V Yse inserta de nuevo con la polaridad opucsla. de modo que ahora su borne posith'O está jWlIo al punto b. El ~
del circuito es como se muestra en la figura. Halle a) la corriellle en el
circuito (magnitud y dirección); b) la diferencia de potencial Vo/y
26.27 En el circuito que se muestra en la figura 26.12 (ejemplo 26.6,
sección 26.2), se sustituye el resislor de 2 n por uno de 1 O, Y cl resistor ccntral de I O (por el quc pasa la corriente /l) sc cambia por un
resistor de resistencia desconocida R. El resto del circuito es como se
muestra en la figura. a) Caleule la corriente cn cada resistor. Dibuje
un diagrama del circuito y marque cada resistor con la corriente que
pasa por él. b) Calcule la resistencia equivalente de la red. c) Calcule
la diferencia de pOleneial V.. d) Sus respuestas de los incisos (a). (b)
y (c) no dependen del valor de R. Explique por que.
•
•
Sección 26.3 Instrumentos de medición eléctrica
26.28 La resistencia de una bobina de galvanómetro es de 25.0 O,
y la corriente que se requiere para una desviación de escala completa es de 500 ¡JA. a) Muestre en un diagrama cómo convertir el galvanómetro en un amperímetro con una lectura de escala completa
de 20.0 mA, Ycalcule la resistencia de derivación. b) Muestre cómo transformar el galvanómetro en un voltímetro con una lectura
de escala completa de 500 mV, y calcule la resistencia en serie.
26.29 La resistencia de In bobina de un galvanómetro de bobina de
pivote es de 9.36 O, Y una corriente dc 0.0224 A provoca una
desviación de escala completa.
Se desea convertir este galvanómetro en un amperimetro con
una lectura de escala completa de Figura 26.43 Ejercicio 26.29.
20.0 A. La única derivación disponible tiene una resistencia de 0.0250 O. ¿Que resistencia R se debe conectar en serie con la bobina (vease la Fig. 26.43)?
26.30 La resistencia interna de cicrta bateria de 90.0 V es r = 8.23
O. a) ¿Cuill es la lecrura de un voltímetro con una resistencia Rv =
425 n cuando se conecta entre: los bornes de la batería? b) ¿Cuál es
el valor máximo que la proporción r1R v puede tener pa13 que el errar
de la lectura de la fem de una batería no sea de más de un 4.0%?
2631 Considere el circuito del potenciómetro de la figura 26.18.
El resistor entre a y b es un alambre uniforme de longitud 1, con un
contacto corredizo c a uoa dislanciax de b. Se mide una fem deseoDOCÍ.da ~ deslizando el contacto hasta que la lectura del galvanóIIICU'O G es cero. a) Demuestre que en estas condiciones la fem
ks 'lbXida ~ dada por [1 = (xll)[l' b) ¿Por que no es importan-
te la resistencia interna del galvanómetro? c) Suponga que [1 =
9.15 V YI = 1.000 m. La lectura del galvanómetro G es cero cuandox = 0.365 m. ¿Cuál es la fem [2?
26.32 Dos voltímetros de 150 V, uno con una resistencia dc 10.0 O
y el otro con una resistencia de 90.0 kO, están conectados en serie
entre los extremos de una Imea de ce de 120 V. Encuentre la lectura de cada voltimetro. (Un voltimetro dc 150 V sufre una desviación de escala complela cuando la diferencia de potencial entre sus
dos bornes es de 150 V).
26.33 En el ohmiómetro de la figum 26.16, la bobina del medidor
tiene una resistencia Ro = 15.0 O y la corriente necesaria para una
desviación de escala completa es
3.60 mA. La fuente es una batería de lintcrna con [= 1.50 Vy rcsiSlencia interna insigJIificaDle. El
ohmiómetro debe: mostrar una desviación del medidor de media escala completa cuando estD. conectado a un resistorcon R = 600 O. ¿Qué
resistencia en serie R. se requiere?
26.34 En el ohmiómetro de la
figura 26.44, Mes un medidordc
2.50 mA con una resistencia
de 65.0 O. (Un medidor de 2.50
roA sufre una desviación de es- Figura 26.44 Ejercicio 26.34.
cala completa cuando la corriente a tra\'es de d es de 2.50 mAl. La batería B tiene una fem de 1.52
V Y su resistencia interna es insignificante. R se elige dc modo que,
cuando se ponen en cortocircuito los bornes a y b (R, = O), la lectunI del medidor es la escala completa. Cuando a y b están abienos
(R, = oc), la lectura del medidor es cero. a) ¿Cuál es la rc:sistencia
del resistor R? b) ¿Qué corriente indica una resistencia R, de 200
O? c) ¿Qué valores de Rx corresponden a dcsviaciones del medidor
de}, t y ~ de la escala completa si la desviación es proporcional a la
corrienlc que pasa por el galvanómetro?
',.=
Sección 26.4 Circuitos R-e
26.3S Compruebe que el producto Re tiene dimensiones de tiempo.
26.36 Un capacitor de 4.60 p.F que inicialmente esta sin carga se ronccla en serie con un resistor de 7.50 kO y una fuentc de fem con
S = 125 V Y resistencia interna insignificante. Inmcdiatamente
despues de completar el circuito, ¿cuál es: a) la caida de voltaje entre los extremos del capacitar, b) la caida de voltaje entre los extremos del resistor, c) la carga del capacitar, d) la corriente a través del
resistor? e) Mucho tiempo después de completado el circuito (al ca·
bo de muchas constantes de tiempo), ¿cuáles son los valores de las
cuatro cantidades antcriores?
26.37 Se carga un capacilor de capacitancia e = 455 pF con una
carga cuya magnitud es dc 65.5 nC en cada placa. Después se conecta el capacitar a un voltimetro con una resistencia interna de
1.28 MO. a) ¿Cuál es la corriente a traves del voltimetro inmedia·
tamente después de establecer la conexión? b) ¿Cuál es la constan·
te de tiempo de este circuito R~C!
26.38 Se carga un capacitar a un potencial de 12.0 V Yluego se conecta a un voltimetro con una resistencia interna de 3.40 MO. Al
cabo de un tiempo de 4.00 s la lectura del voltímetro es de 3.0 V.
¿Cuill es la capacitancia?
26.39 Se conecta un capacitor de 12.4p,F, a través de un resislor
de 0.895 MO, a una diferencia de potencial constante de 60.0 V.
a) Calcule la carga del capacitor a los tiempos siguientes despues de
Problemas
establecer las conexiones: O, 5.0 s, 10.0 S. 20.0 s y 100.0 s. b) Calcule las corrientes de carga en los mismos instantes. e) Grafiquc los
resultados de los incisos (a) y (h) con respecto a I entre O y 20 s.
26.40 Un resistor y un capacitar se conectan en serie a una fuente
de fem. La constante de tiempo del circuito es de 0.870 s. a) Se agre-
T
r
ga en serie un capacitar idéntico al primero. ¿Cuál es la constante de
tiempo de este nuevo circuito? b) Se conecta en el circuito original
un segundo capacitar, idéntico al primero, en paralelo con el primer
capacitar. ¿Cuál es la constante de tiempo de este nuevo circuito?
26.41 Una fuente de fcm con E. = 120 Y, un TeSistor con R = 80.0 fI
Yun capacitar oon e = 4.00 J.l.F están conectados en serie. Mientras
se carga el capacitOf. cuando la corriente en el resistor es de 0.900 A,
¿cuál es la magnitud de la carga en cada placa del capacitor?
26.42 En el circuito que se muestra en la figura 26.45, e = 5.90 p.F,
& = 28.0 Vy la resistencia intema
de la fem es insignificante. Inicialmente, el capacilor eslá descargado"y el interruptor S esro. en la posición l. Después se lleva el interruptor a la posición 2
para que el capacitor se comience
a cargar. a) ¿Cuál será la carga del Figura 26.45 Ejercicios
capacitor mucho tiempo después 26.42 y 26.43.
de que se ha llevado el interruptor a la posición 2? b) Cuando el interruptor ha estado en la posición 2 durante 3.00 ms, se mide la carga
del capacitor y resulta ser de 110 p.C. ¿Cuál es el valor de la resistencia K? c) ¿Cuánto tiempo después de que se ha llevado el interruptor
a la posición 2 será la carga del capacitor igual al 99J)'%~ del valor final bailado en el inciso (a)?
26.43 Un capacitO!" con e = 1.50 x lo-' F esta conectado oomo se
muestm en la figura 26.45 a un resistor con R = 980 n y a una fuente
de fem con & = 18.0 Vy resistencia intema insignificante. inicialmente, el capacitO!" está descargado y el interruptO!" S está en la posición l.
Después se lleva el ínterruplor a la posición 2 para que el capacitO!" se
comience a cargar. Cuando el interruptor ha estado cn la posición 2
durante 10.0 ms, se lleva de regreso el interruptor a la posición 1 para
que el capacitor se comience a descargar. a) Calcule la carga del capacitor inmediatamente ames de que se lleve de regreso el interruptor dc
la posición 2 a la posición 1. b) Calcule las caidas de voltaje entre los
extremos del resislor y entre los ex.lremos del capacitor en el instante
descrito en el inciso (a). e) Calcule las caidas de voltaje entre los extremos del resistor y entre los extremos del capacilor inmediatamente
después de llevar de regreso el interruplor de la posición 2 a la posición l. d) Caleule la carga del capacitar 10.0 ms después de llevar de
~ el intenuptor de la posición 2 a la posición l.
,
Sección 26.5 Sistemas de distribución de energía
26.44 El elemento calentador de una seeadora elécuica tiene una
potencia nominal de 4.1 kW cuando está conectado a una línea de
14{1 V. a) ¿Cuál es la corriente en el elemento calentador? ¿Es el
alambre de calibre 12 suficientemente grande para suministrar esta
corriente? b) ¿Cuál es la resistencia del elemento calentador dc la
soc:adora a su temperatura dc funcionamiento? c) A 11 centavos de
dDb:r por kWh, ¿cuál es cl costo por hora de usar la sccadora?
26.A5 Se enchufa un calentador eléctrico de I 500 W a la toma de un
ara..de 120 V que tiene un cortacircuitos de 20 A. Luego se enchufa _ ~ déctrica de pelo en la misma toma. La secadora de pe-
1013
lo tiene ajustes de potencia de 600 W, 900 W, 1200 W y 1500 W. Se romienza a utilizar la secadora de cabello en el ajuste de 600 W y se au~
menta el ajuslC de potencia hasta que se dispara el cortacircuitos. ¿Cual
fue el ajuste de potencia que provocó el disparo del cortacircuilos?
26.46 ¿Cuántos focos de 90 W y 120 V se pueden cone<;tar a un
circuito dc lOA y 120 V sin que se dispare el cortacircuitos? (Véase la nota dcl ejercicio 26.16).
26.47 El elemento calentador dc una estufa eléctrica consiste en
un alambre calentador incrustado en un material eléctricamente aislante, que a su vez se encucntra denlro de una cubicrta metálica. El
alambre calenlador tiene una resistencia de 20 n a lemperatura ambiente (23.()"q y un coeficiente de lemperatura de la resistividad a
= 2.8 x IO-)("q-l. El elemento calentador funciona coneelado a
una linea de 120 V. a) Cuando se enciende inicialmente el elemento calentador, ¿cuánta comente toma y qué energia eléctrica disipa?
b) Cuando el elemento calcntador ha alcanzado una temperatura de
funcionamiento de 280"C (536"F), ¿cuánta corriente loma y cuánta energia eléctrica disipa?
Problemas
26.48 a) Se tienc una resistencia R2 conectada cn paralelo con una
resistencia R¡. Deduzca una expresión de la resistcncia RJ que se
debe conectar en serie con la combinación de R¡ y R1 para que la resislencia equivalente sea igual a la resistencia R j • Mucslre el arreglo de resistores en un diagrnma. b) Se tiene una resistencia R1
conectada en serie con una resislencia R l • Deduzca una expresión
de la resistencia RJ que se debe conectar en paralelo con la combina¡;ión de R. YR1 para que la resistencia equivalente sea igual a Rl .
Muestre el arreglo de resistores en un diagrama.
26.49 Se necesita un resistor de 400 n y2.4 W, pero sólo se dispone
de varios resistores de 400 n y 1.2 W (vease el ejercicio 26.7). a) ¿CuiJ.les serian dos combinaciones diferentes de las unidades disponibles
que dan la resistencia ypoteneia nominal que se requieren? b) Con respecto a cada una de las redes de resistores del inciso (a), ¿cuánta potencia se disipa en cada resistor cuando la combinación disipa 2.4 W?
26.50 Un cable de 20.0 m de largo consiste de un centro cilíndrico
sólido de níquel de 10.0 cm de diámetro rodeado por una cubierta ci¡indrica exterior sólida de cobre de 10.0 cm dc diámetro interior y 20.0
cm de diámetro exterior. La resistividad del níquel es dc 7.8 x I~
n· m. a) ¿Cuál es la resistencia de este cable? b) Si se piensa en este
cable como en un solo material, ¿cuál es la resistividad equivalente?
26.51 Dos alambres idénlicos de 1.00 n están colocados uno aliado del otro y soldados.de modo que están en contacto a lo largo de
la mitad de su longitud. ¿Cuál es la resistencia equivalente de esta
combinación?
26.52 Los dos focos idénticos del ejemplo 26.2 (sección 26.1) están
conectados en paralelo a otra fuente, con & = 8.0 Vy resistencia ínterna de 0.8 O. Cada foco tiene una resistencia de R = 2.0 n (se supone independiente de la corriente que pasa por el foco). a) Halle la
corriente a través de cada foco, la difcrencia de potencial entre los bornes de cada foco y la potencia cntregada a cada foco. b) Suponga que
uno de los focos se funde, de modo que su filamento se rompc y ya no
fluye corriente a través de él. Hallc la potencia que se entrega al foco
restante. ¿Aumenta o disminuye la brillanlez de la incandescencia del
foco restante después que la otra bombilla se ba fundido?
1014
CAPfTULO 26 I Circuilosdecorrieotecontinua
26.53 Cada uno de los tn:s resislares de la figura 26.% liene
una resistencia de 2.4 n y puede
disipar un maximo de 36 \V sin
Figura 2Ei.4Ei Problema 26.53.
calentarse excesivamente. ¿Cuál
8.0n
es la energia máxima que el ciT20.0 n
cuilO puede disipar?
26.54 a) Calcule la resistencia
equivaleme del cin:uito de la figura 26.47 entre x y y. b) ¿Cuál es
el potencial del punto a respecto
al punto.~ si la corriente en el re- Figura 26.47 Problema 26.54.
sistor de 8,0 n es de 2.4 A en el
sentido de izquierda a derecha de la figura?
26.55 Si se conecta un ohmiómetro entre los puntos a y b de cada
uno de los circuitos de la figum 26.48, ¿cuál será la lectura?
~
1.00n"IO.OOb
¡;;;;;-¡
~
40.0 n SIlO n
(b)
26.56 En la red de resistores de la figura 26.49, la lectura del ohmiometro es de 20.2 íl. ¿Cuál es la resistencia del resistor X?
~
26.57 Calcule las tres corrientes /10 I~ e 1) indicadas en el diagrama
de circuilo de la figura 26.50.
"'O n 800n
/. ,
, \ I~
IIS.1H1
-
I'~~
V
SSO O
1.00 IJ LOO
n~n
9:~
V
Figura 26.50 Problema 26.57.
rn
24.0 V
3.00 fI
n sea
",'
Q
e·~~l.oon
1.00 n !.~2.oon
2.000
Figura 26.54 Problema 26.61.
26.62 En el circuito de la figura 26.55: a) ¿Cuál dcbe ser la fem [de
la bmeria para que Iluya una coniente de 2.00 A a tr.tvés de la bmeria
de 5.00 V, como se muestra? ¿Es correcta la polmidad de la batena que
se indica? b) ¿Cuánto tiempo toma producir 60.0 J dc energía ténnica
en el resistor de 10.0 O?
I
60.00
; s.ov
JO.OO
60.0 n
s.on
10.0 V
Is.on E+
s.on
,
,I
20.0 n
26.63 En el circuito que se muestnl en la figura 26.56, la coniente
medida a través de la batería de 12.0 V resulta ser de 70.6 mA, en
el sentido que se indica. ¿Cual es el voltaje de bornes V... de la batena de 24.0 V?
E
.'
30,0 n
10.on
200 n
24.0 V
10.on
7.0011
2.00
¡o.ov HIOll
67F~}m
14.0 V
Figura 26.52 Problema 26.59.
V
12.0 V
,,
b
Figura 26.51 Problema 26.58.
14.0
--
706mA
10.000
8S.00
26.58 ¿Cuál debe ser la fem [
de la figura 26.51 para que la co·
rriente a traves del resistor de
7.00
de 1.80 A? Todas las
fuentes de fem tienen una resistencia inlerna insignificante.
26.59 Halle [a corriente a tra\"es
de cada uno de los tres resiSlores
del circuito que se muestra en la
figura 26.52. Las fuentes de (ero
tienen una resiSlencia interna insignificante.
26.60 a) Halle la corriente a
lra\'c:s de la batería y de cada
~istor del circuito de la figura
~6.53. b) ¿Cuál es la resistencia
eqtID"3lenle de la red de resisto-
2.000
Figura 26.55 Problema 26.62.
Ohmiómclm
Figura 26.49 Problema 26.56.
,
2.~
Figura 26.48 Problema 26.55.
n,o fI
LOO n 12.0V
1000 2000
~
45.00
(.)
26.61 a) Halle el polencial en el punto Q con respecto al punlo b de
la figura 26.54. b) Si los punlos a y b están conectados mediante un
alambre de resistencia insignificante. halle la eorrienle en la baterla
de 12.0 V.
Figura 26,56 Problema 26.63.
26.64 En el circuito de la figura 26.57, lodos los resistores tienen
una potencia máxima nominal de 1.00 W. ¿Cuál es la (cm máxima
[que la bateria puede tener sin quemar ninguno de los resislOres?
2S.O 11 30.0 11
,
L-jJ----1SO.01l
R1-I.OOfl
Rj=I.ooO
IS.o 11
1 11 lODO
...n
...n
f---'
Figura 26.57 Problema 26.64.
R. - 2.00 fI
R, = t.ooo
Figura 26.53 Problema 26.60.
26.65 En el circuito de la figura 26.58, la corriente en la batería de
20.0 V es de 5.00 en el sentido que se indica, y el voltaje entre los
1015
Problemas
extremos del resistor de 8.00 n es de 16.0 V, con el extremo inferior
del mistor al potencial mas alto. Halle a) la fero (con su polaridad)
de la batería X; b) la corriente ¡ a través de la batería de 200.0 V
(COD su sentido); c) la resistencia R.
2000
R
JO.on
R
18.00
-
2O.0V
8.00 n
Lb
lOO.OV
,
lo-
S.OOA
Figura 26.58 Problema 26.65.
26.66 Se conectan en serie tres resistores idénticos. Cuando sc
aplica cierta diferencia de potencial entre los cxtremos de la combinación, la potencia total que se disipa es de 27 W ¿Cuánta potencia
se disiparía si los Ires resistores estuvieran conectados en paralelo a
través de la misma diferencia de potencial?
26.67 Cierto resiSlor R, consume una potencia eléctrica PI cuando
está conectado a una fem E. Cuando se conecta el mistor R, a la
misma fem, consume una potencia eléctrica P2. En términos de PI
'/ P1 , ¿cual es la potencia eléctrica total que se consume cuando ambos resistores estan conectados a esta fuente de fem: a) en paralelo,
b) en serie?
26.68 loici~nte, el capacitor
de la figura 26.59 está descafgado.
T .:.42.0V
Se cierra el interruptor en I = O.
RJ -3.000
R,a) Inmediatamente después de
6.000
e - ~.OOI'F
eerrar el interruptor, ¿cuál es la
corriente a través de cada resisFigura 26.59 Problema 26.68.
tor? b) ¿Cuál es la carga final del
capacitor?
Va 36.0 V
26.69 En la figura 26.60 sc sigue una convención que se suele
empicar en los diagramas de cir'00"
300"
"
S b
cuito. La bateria (u otra fuente
3.00 n
6.00 O
de potencia) no se muestra explícitamente. Se sobreentiende que
el punto de la parte superior, Figura 26.60 Problema 26.69.
marcado como "36.0 V" está conectado al borne positivo de una batería de 36.0 V con resistencia
inlema insignificante, '/ que el símbolo de "Iierra" de la parte inferior está conectado al borne ncgalivo de la batería. El circuito se
completa a tnl.vés de la hateria, no obstante que esta no se muestTa
en el diagrama. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial V... (el potencial del punto a respectO al punto b) cuando el interruptor S está
abierto? b) ¿Cual es la corriente
V-I8.0V
a través del interruplor S cuando
éste se halla cerrado? c) ¿Cuál es
la resistencia equivalente cuando
el interruptor S está cemdo?
3.00 I'f
3.00 O
26.70 (Véase el problema 26.69).
a) ¿Cuál es el potencial en el punto a respecto al punto b de la figura 26.61 cuando el interruptor S Figura 26.61 Problema 26.70.
lS!I'
-,
'.00 "on'
OO"F
~.bfb
está abierto? b) ¿Cuál de los puntos, a o b, está al potencial más allO? e) ¿Cuál es el potencial final del punto b con respecto a tiema
cuando el inlerruptor S está cerrado? d) ¿Cuánto cambia la carga de
cada capacitar cuando se eiem 5?
26.71 (Véase el problema 26.69).
V_18.0V
a) ¿Cuál es el pOlencial en el
punto a respecto al punto b de
la figura 26.62 cuando el inteO
rruptor S está abierto? b) ¿Cuál
" s '
3.000
de los puntos, a o b, está al potencial más alto? e) ¿Cuál es el
potencial final del punto b con
Figura 26.62 Problema 26.71.
respecto a tierra cuando el interruptor S está cerrado? d) ¿Cuánta carga fluye a través del interruptor S cuando éste se halla cerrado?
26.72 Amperímetro de escalas
múltiples. La resistencia de la
bobina móvil del galvanómetro
G de la figura 26.63 es de 48.0
n, y el galvanómetro sufre una
+ 1O.0A ].OOA O.IOOA
desviación de escala completa
Figura 26.63 Problema 26.72.
con una corriente de 0.0200 A.
Cuando se conecta el medidor al circuito que se \'a a medir, se establece una cone;<ión con el posle marcado como + '/ la Otnl. con el
poste marcado con la escala de corriente deseada. Halle las magnitudes respectivas de las resistencias R]o Rl YRJ que se requieren para com'crrir el gal 'lanÓmetro en un amperímetro de escalas múlliples
que se desvíe la escala completa con corrienles de 10.0 A, 1.00 A Y
O.IOOA.
26.73 Voltímetro de escalas
múltiples. La figura 26.64 muestnI. las conexiones imemas de un
voltímetro de "tres escalas" cu+
3.00V IS.OV ISOV
yos postes de conexión están
Figura 26.64 Problema 26.73.
marcados como +, 3.00 V, 15.0
V Y 150 V. Cuando se conecta el
medidor al circuito que se va a medir, se establece una conexión
con el poste marcado como + y la otra con el poste marcado con la
escala dc voltaje deseada. La resistencia de la bobina móvil, Ro, es
de 40.0 0, Y una corriente de 1.00 roA en la bobina provoca una
desviación de escala completa. Halle las resistencias Rl • R2 YRJ Y
la resistencia global del medidor en cada una de 'rus escalas.
26.74 El punto a de la figura
IOOkfl
200tn
26.65 se mantiene a un potencial
"
,vI b
ff'
constante de 400 V mas alto respecto a la tierra. (Véase el pro- Figura 26.65 Problema 26.74.
blema 26.69). a) ¿Cuál es la
lectura de un voltimetto con la escala apropiada y con una resistencia de 5.00 x la' n cuando está conectado entre el punto b y la tiem? b) ¿Cuál es la leclUJ'a de un voltimetto cuya resistencia es de
5.00 x uf O? c) ¿Cual es la lectura de un '.'oltímetro con resistencia infinita?
26.75 Cíerto voltímetro de 150 V tiene una resistencia de 30 000 n.
Cuando eslá coneclado en serie con una resistencia grande R entre
los extremos de una línea de 110 V, la lectura del medidor es de
68 v. Halle la resistencia R.
'.00 8'·00,.F
13'00~f
~
~
•
u.'
•
'H'
'1
1016
,,
1
CAPiTULO 26 I
26.76 Sean Ve /, respectivamente, las lecturas del voltímetro y del
amperimeuo que se llluestran en la figura 26.16, y sean Rv YRAsus
resistencias equivalentes. Debido a las resistencias de los medidores, la resistencia R DO es simplemente igual a VI/. a) Con el circuilO conectado como en la figura 26.100. demuestre que
V
R "" - - RA
I
\
\
CircuilOsdecorricntecontinua
Explique por qué la resistencia verdadera R siempre es menor que
VII. b) Cuando las conexiones son como en la figura 26.16b. de-
muestre que
R
V
1
Explique por qué la resistencia verdadera R siempre es mayor que
VII. e) Demuestre que la potencia entregada al rcsistor en el inciso
(a) es IV - fR A , Yen el inci!>O (b) es IV - (V 1/R..,).
26.77 Puente de Whealslonc.
El circuito que se muestra en la
figura 26.66, conocido como
pl/enle de WhealslOne, se utiliza
•
para detenninar el valor de un re·
E
sislor desconocido X por comparación con tres rcsistores M, N Y
K,
P cuyas resistencias se pueden
modificar. Se conoce con precio Figura 26.66 Problema 26.77.
sión la resistencia de cada resislOr que corresponde a cada posición
de ajuste. Con los interruptores K 1 y K 2 cemdos, se modifican estos resistores hasta que la corriente en el galvanómetro G es cero;
se dice enlonces que el puente está equilibrado. a) Demuestre que
en estas condiciones la resistenci3 desconocida está dada por X =
MPIN. (Este método permite alcanzar un3 precisión muy grande al
comp3rar resistores). b) Si el galvanómetro G muestra una desviación nula cuando M = 850.0 n, N = 15.00 n y P = 33.48 n, ¿cuál
es la resistencia desconocida X?
26.78 Cicrto galvanómetro tiene una resistcncia de 65.0 n y sufre
una desviación dc escala completa con una corricntc dc 1.50 roA en
su bobina. Esto sc va a sustituir por un segundo galvanómctro cuya
resistencia es de 38.0 n y surre una desviación de escala completa
con una corriente de 3.60 pA en su bobina. Idee un cirCUito que incluya el segundo galvanómetro y cuya resistencia equivalente sea
igual a la resistencia del primer galvanómetro, y en el que el segundo galvanómetro sufra una desviación de escala completa cuando la
corriente a través del circuito sea igual a la corricnte de escala completa del primer galvanómetro.
26.79 Un resistor de 224
uno de 589 se conectan en serie
entre los bornes de una línea de 90.0 V. a) ¿Cuál es el voltaje entre
los c::<tremos de cada resistor? b) Un voltimetro conectado entre los
extremos del resislor de 224 n muestra una lectura de 23.8 V. Halle
la resistencia del voltimetro. c) Halle la lectura del mismo voltime• tro cuando está cODCctado entre los extremos del resislor de 589 n.
d) En este \""Oltímetro las lecturas son menores que los voltajes ~ver·
daderos- (es decir, en ausencia del vollimetro). ¿Seria posible proyectar un \""Oltimetto que diese lecturas mayores que los voltajes
"verdaderos'! Explique su respuesta.
26.80 Un capacitor de 2.36 ¡J.F que inicialmente no ticne carga se
conecta en serie con un resistor de 4.26 n y una fuente de fem con
ny
n
[. = 120 V Yresistcncia interna insignificanle. a) Inmediatamenle
después de efectuar la conexión, ¿cuál es: i) la rapidez a la que se
disipa energía eléctrica en el resistor. ií) la rapidez con la que aumenta la energia eléctrica almacenada en el capacitar, iii) la potencia de salida eléctrica de la fuente? ¿Cómo son comparativamente
las respuestas a los incisos (j), (ji) y (iii)? b) Responda las mismas
preguntas del inciso (a) luego de que ha transcurrido mucho liempo
después de efectuar la conexión. c) Responda las mismas preguntas
del inciso (a) respecto al inSlanle en que la carga del capacitor es de
la milad de su valor final.
26.81 Un capacitor de 3.40 ¡J.F que eSlá inicialmente cargado se
conecta en serie con un resistor de 7.25 kO y una fuente de fcm con
E = 180 Vy resistencia interna insignificante. a) Poco tiempo después la carga del capacitor es de 815 ¡J.e. En cste instante, ¿cuál es
la corricnte y cuál es su sentido: hacia la placa positiva del capacitor o hacia la placa negativa? b) Cuando haya transcurrido mucho
tiempo, ¿cuál será la carga del capacitor?
26.82 Se conecta un resistor de 5.88 kO a las placas de un capacitor cargado cuya capacitancia es e :: 8.55 x 10 10 F. La corriente
inicial a través del resistor, inmediatamente despues de efecluar la
conexión, es dc 0.620 A. ¿Cuál era la magnitud de la carga inicial
en cada placa del capacitor?
26.83 Un capacitor que inicialmente está descargado se conecta en
serie con un rcsistor y una fuente de fem con E:: 110 V Y resisten·
cia interna insignificante. l.nmcdiatamente después de completar el
circuito la corriente a través del resistor es de 6.5 x 10-s A. La constante de tiempo del circuito es de 6.2 s. ¿Cuáles son la resistencia del
resistor y la capacitancia del capacitar?
26.84 Un resistor con R = 850 n se conecta a las placas de un capacitar cargado con capacitancia e = 4.62 ¡.ú'. Inmediatamente antes de
efectuar la conexión, la carga del capacitor es de 8.10 me. a) ¿Cuánta
energía estaba almacenada inicialmente cn el capacitar? b) ¿Cuánta energia c1ectrica se disipa en el resistor inmediatamente después de
efectuar la conexión? c) ¿Cuánta encrgía cléctrica se disipa en el resistor en cl instante en que la energia almacenada en el capacitor ha disminuido a la mitad del valor calculado en el inciso (a)?
26.85 En términos estrictos, la ecuación (26.16) implica que se requiere una cantidad de tiempo infil/ita para descargar totalmente un
capacitar. Sin embargo, para fines prácticos, se puede considerar
que un capacitor cstá totalmente descargado al cabo de un lapso fi·
nito. Específicamente, considere que un capacitor de capacitancia
coneclado a un resistor R está totalmente descargado si su carga
q difiere de cero en no más que la carga de un electrón. a) Calcule
el tiempo necesario para alcanzar este estado si e = 0.920 JtF, R =
670 kn y Qo = 7.00 ¡J.C. ¿A cuántas conStanles de tiempo equi"ale?
b) Dada cierta Q" ¿es el tiempo nc:cesario para alcanzar este estado
siempre el mísmo número de constantes de tiempo, cualesquiera que
sean los valores de e y Ir! ¿Por qué?
26.86 Una batería de 12.0 V con una resistencia interna de 1.00 n
carga dos capacitares en serie.
Hay un resistor de 5.00 n en se3 OO
. l'F
E'
rie entre los capacitores (Fig.
2.0V
s.oon
26.67). a) ¿Cuál es la constante
~.~n -- b6.00¡J.F
de tiempo del circuito de carga?
b) Después que el interruptor ha
permanecido cerrado durante el Figura 26.61 Problcma 26.86.
e
I
d--;;t"
~
Problemas de desafío
tiempo determinado en el inciso (a), ¿cuál es el voltaje eDlre los
bornes del capacitar de 3.00 J,tF1
26.87 En un capacitar en proceso de carga la corrientc está dada
por la ecuación (26.13). a) La potcncia instantánea que la bateria
suministra es &i. Integre: esto para hallar la energía total suminiSlra·
da por la bateria. b) La potencia instantánea que se disipa en el re·
sistor es ¡'-R. Integre csto para hallar la energía total disipada cn el
resistor. e) Halle la encrgía final almacenada en el capacitar, y demuestre que es igual a la energía total suministrada por la batería
menos la energía disipada en el resistor, según se obtuvo en los incisos (a) y (b). d) ¿Qué fracción de la energía suministrada por la
batería queda almacenada en el capacitar? ¿De qué forma depende
de R esta fracción?
26.88 A partir de la ecuación (26.17), que descnbe la corriente en
un capacitar que se descarga, deduzca una expres.ión de la potencia
instantánea p:: ¡2R que se disipa en el resislor. b) Integre la expresión con respecto a P para hallar la energía total disipada en el re·
sislor, y demueslre quc es igual a la energía total almacenada
inicialmente en el eapacilor.
Problemas de desafio
26.89 De acuerdo con el teore140.0 O 35.0 O
ma de sobreposición, en un circuita la respuesta (corriente) es
propon::ional al estimulo (voltaje)
que la provoca. Esto se cumple
incluso cuando hay varias fuentes
en un circuíto. Estc lcorema permite analizar un circuito sin recu·
rrir a las reglas de Kirchhoff,
considerando las corrienles del circuito como la sobreposición de
corrientes generadas independientemente por cada fuente. De este
modo se puede analizar cl circuito calculando resistencias equivalentes en vez de utilizar el (a veces) más cngorroso método de las rcglas de Kirchhoff. Adcmás, mediante el teorema de sobreposición es
posible examinar la influencia que la modificación de una fucntc en
una parte del circuito tendrá en las corrientes de todas 135 panes del
circuito, sin tener que utilizar las reglas de Kircbhoff para calcular
de nuevo todas las corrientes. Considere el circuito de la figura
26.68. Si se dibujara de nuevo el circuito sustituyendo las fuentes de
55.0 Vy 57.0V porconocircuitos. se podria analizar por el método
de resislcncias equivalentes sin recurrir a las reglas de Kirchhoff, y
se podría hallar la comente en cada rama1 de una manera sencilla.
Aruilogamente, si se dibujase de: nuevo el circuito sustituyendo las
fuentes de: 92.0 V Y57.0 V por conocircuilos, también se podria analizar el circuito de un modo sencillo. Finalmente, reemplazando las
fuentes 92.0 V Y57.0 V con un cortocircuito, el circuito podria ser
de nuevo analizado simplemente. Sobreponiéndose las corrientes
respectivas halladas en cada uno de los ramales mediantc el uso de
tres circuitos simplificados, se puede hallar la corriente real en cada
ramal. a) Con basc cn las reglas de Kircbhoff, halle las corrientes dc
~ en los resiSlores de 140.0 n, 210.0 n y 35.0 n. b) Con base
ea UD cirro.ito semejanle al de la figura 26.68, pero con un conocirCllllmen lugardc las fuentes de 55.0 V Y57.0 V; determinc la corrien2 madi resistencia e) Repita el inciso (b) sUSlituyendo las fuenles
1017
de 92.0 V Y55.0 V por cortocircuitos y dejando intacta la fuente de
57.0 V. d) Repita el inciso (b) sustituyendo las fuentes de 92.0 V Y
57.0 V por cortocircuitos y dcjando intacta la fuente de 55.0V. e) Ve·
rifique el teorema de sobreposición comparando las corrientes
calculadas en los incisos (b), (e) y (d) con las comcntes calculadas
en el inciso (a). f) Si se suslituye la fuente dc 57.0 V JXlr una fuente dc
80.0 V, ¿cuáles scnln las nuevas corrientes cn lodos los ramales del circuito? [Sugerencia: Con base en elleorema de sobreposición, calcule
de nuevo las corrientes parciales calculadas en el inciso (e) con base
en el hecho de que esas corrientes son proporcionales a la fuente que
se sustituye. A continuación, sobreponga las nuevas corrientes parciales a las halladas en los incisos (b) y (d).]
26.90 Alarma de capacitores contna robo. En la capacitancia de
un capacitor puedc influir un material dieléctrico que, aunque no
esté presente dentro del capaciR
tor, se halle suficientemente cerca de éste para ser polarizado por
el campo eléclrico pcslañeante
que existe cerca dc un capacitor
cargado. Este efccto es por 10 re· Figura 26.69 Problema de
guIar del ordcn de picofarad desafio 26.90.
(pF), pero, con ayuda de circuitos electrónicos apropiados, permitc dctectar un cambio en el matcrial dieléctrico que rodea al capacitor. Este material dieléctrico
puede ser el cuerpo humano, y el efcclo aOles descrito podria utilizarse en el diseño de una alarma conlra robo. Considere el circuilo
simplificado que se muestra en la figura 26.69. La fuente de voltaje tiene una fcm t::: 1000 V, y la capacitancia del capacitar es e::
10.0 pF. Los cire:uitos electrónicos que detectan la corriente, repre·
sentados como un amperimetro en el diagrama, tienen una resistencia insignificante y son capaces de detectar una corriente que
persisle a un nivd dc al menos 1.00 jJ.A durante al menos 200 1JS
después que la capacitancia ha cambiado abruptamente de a C.
La alarma contra robo se proyecta de modo que se active si la capacitancia cambia en un 10";". a) Determine la carga del capacitor de
10.0 pF cuando cstá totalmeOle cargado. b) Si el capacitor está too
talmente cargado allles que se detecte el intruso, y suponiendo que
el tiempo quc la capacitancia tarda en cambiar lOO;" es suficientementc pequei'io para no tenerlo en cuenta, deduzca una ecuación
que exprese la corriente a través del resistor R en función del tiem·
po r a partir de que la capacitancia cambia. c) Delermine d intervalo dc valores de la resistencia R que reunen las especificaciones de
diseiio de la alarma contra robo. ¿Qué OCUrTe si R es demasiado pequeña? ¿Y demasiado grande? (Sugerencia: No podrá resolver
este problema analíticamente: debe emplear métodos numéricos.
Exprese R como una función logarítmica de R más cantidades conocidas. Utilice un valor tentativo de R y calcule un nue\"O valor a partir de la expresión. Continúe haciendo esto hasta que los valores de
alimentación y salída de R concuerden con tres cifras significativas).
26.91 Red infinita. Como se muestra en la figura 26.70, una red de
resistorcs de resistencias R¡ y Rz se extiende al infinito hacia la derecha. Pruebe quc la resistencia total Rr de la red infinila cs igual a
e
(Sugerencia: Dado que la red es infinila, la resistencia de la red a la
derecha de los puntos e y d también es igual a RT).
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CA PfT ULO 26 I Circuitos de corrienle continua
26.92 Suponga que se tiene un resistor R a lo largo de cada arista
de un cubo (12 resislOres en total) eOIl cone¡¡;iones en los vértices.
:E~;-"·
Rl d R1
-'"
Rl
Figura 26.70 Problemas de desafio 26.91 y 26.93.
Halle la resistencia equivalente
entre dos vertices diagonalmente opuestos del cubo (punlos a y
b de la figura 26.71).
26.93 Cadenas atenuadoras)'
Figura 26.71 Problema de
axones. La red infinita de resisdesafio 26.92.
lOres de la figura 26.70 se conoce como una cadena olenuadora, porque esta cadena de resistores
~,o atenúa. la diferencia de potencial entre los alambres superior e inferior a todo lo largo de la cadena. a) DemueslR que si la diferencia de pol:encial entre los puntos Q y b de la figura 26.70 es V.""
enlonces la diferencia de potencial entre los puntos e y d es Vcd =
Y-'(1 + (3), donde fJ:: 2R 1(RT + RlIRTR1 y RT , la resistencia lotal
de la red, está dada en el problema de desafio 26.91. (Véase la sugerencia proporcionada en ese problema). b) Si la diferencia de potendal entre los bornes a y b del extremo izquierdo de la red infinita
es Vo- demueslre que la diferencia de potencial enlre alambres superior e inferior a n segmentos del extremo izquierdo es V. = Vo"( I +
{J't. Si R[ = R2 , ¿cuánros segmentos se necesitan para reducir la difcrenciade potcncial V.amenosdeIIJ)%dc VQ? c) Una cadena ate-
nuadora infinita constituye un modelo de la propagación de una pulsación de vohaje a lo largo de una fibra nerviosa, o lI}(Ón. Cada segmemo de la red de la figura 26.70 representa un segmento corto del
axón. de longitud 6:r. Los resistores R[ represcman la resistencia
del líquido por dentro y por fuera de la pared de membrana del
lI}(ón. La resistencia de la membrana al flujo de corrieDle a ttavés de
la pared está representada por R2• En un segmento de axón de longirud AT
1.0 JUn, Rl
6.4 X UY n y R2 "" 8.0 X lOS O (la pared
de la membrana es un buen aislador). Calcule la resistencia total RT
Y fJ de un axón infinitamente largo. (Ésta es una buena aproximación. porque la longirud del axón es mucho mayor que su anchura;
los axones
largos del sistema nervioso humano tienen
de 1
m de longirud pero sólo lIprmtimadamente 10-1 m de radio). d) ¿En
que fracción se reduce la diferencia de potenciaJ cn~ el inteO(H" y el
exterior del axón a lo largo de una distancia de 2.0 uun? e) La atenuación de la diferencia de potencial calculada en el inciso
(d) muestta que el axón no puede ser simplemente un cable electrico pasivo que transporta corriente; es necesario reforzar periódicamente la diferencia de potencial a lo largo de todo el axón. Este
mecanismo de refuerzo es lento, por lo que una señal se propaga a lo
largo del axón aproximadamente a 30 mis. En las siruaciones donde
se requiere una respuesta mas rápida. los axones están cubiertos de
una vaina segmentada de mielina grasa. Los segmentos son de aproximadamente 2 mm de largo. separados por espacios Uamados 110dos de Ram;ier. La mielina aumenta la resistencia de un segmento de
la membrana de 1.0 p.rn de largo a R2 =' 3.3 X 10 12 O. En el caso
de un axón mielinndo de estc tipo, ¿en qué fracción disminuye la diferencia de potencial entre el interior y el exterjor del axón a lo largo de la distancia dc un nodo de Ranvier al siguiente? Esta menor
atenuación significa que la rapidez de propagación aumenta.
=
=
mas
mas