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NIP: 222503 - Pág.: 10 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Los números naturales, los enteros, las fracciones y decimales han sido objeto de estudio en diferentes oportunidades. En este caso se retoman esos conjuntos de números pero prestando especial atención a sus características y CONTENIDOS ❚ Números naturales ❚ Números enteros ❚ Números racionales ❚ Números irracionales ❚ Números reales 1 propiedades. A partir de las propiedades se podrá profundizar en el estudio de cuestiones más generales. Se resolverán problemas que requieren ampliar los conjuntos numéricos conocidos. NÚMEROS REALES Problema 1 Indiquen en qué conjuntos numéricos pueden resolverse los siguientes problemas: a. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado cuya área es 1 cm2? b. Encontrar todos los números que verifican que al multiplicarlos por su siguiente se obtiene por resultado 20. c. Si se conoce que 9 veces el cuadrado de un número es 4, ¿de qué número se trata? d. ¿Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si se sabe que su área es 2,5 cm2? e. Encontrar, si existe, un número cuyo cuadrado sea –1. Cada uno de los problemas anteriores apunta al estudio de un conjunto numérico diferente orientado por las siguientes cuestiones: ❚ ¿Cuáles son los números que intervienen y cómo se opera entre ellos? ❚ ¿Qué otras cuestiones pueden estudiarse con ellos? ¿A qué problemas dan respuesta y cuáles no pueden resolverse? ❚ ¿Qué propiedades tienen? ¿Qué propiedades que valían en un conjunto numérico dejan de valer en otro? ¿Qué propiedades que no valían en otro conjunto numérico ahora valen? De todas estas cuestiones se tratará este capítulo. 10 Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-10-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 11 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 en El problema a. de la página anterior puede pensarse de la siguiente manera: si un cuadrado de lado l tiene un área de 1 cm², entonces, para calcular el lado puede plantearse la ecuación l2 = 1. Esta ecuación tiene dos soluciones l = 1 o l = –1; sin embargo en el contexto del problema la única solución posible es l = 1. Dicho de otro modo; en el conjunto de los números naturales esta ecuación tiene por solución l = 1 y en el conjunto de los números enteros tiene dos soluciones l = 1 y l = –1. Este problema apunta entonces al estudio de los números naturales. Los números naturales son los que se usan para contar. Suelen representarse con la letra ¥, y pueden mostrarse por extensión (de manera incompleta) así: ¥ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; ...} Como hay infinitos números naturales, se dice que el conjunto de los números naturales es un conjunto infinito. Todos los elementos de este conjunto son positivos (mayores que 0). Tiene un elemento, el 1, que es el menor de todos; a este número se lo denomina el primer elemento del conjunto. No hay ningún número natural que sea el mayor que todos, es decir, este conjunto no tiene “último” elemento, pues es suficiente con sumar 1 para obtener uno mayor. El resultado de sumar dos números naturales cualesquiera es siempre otro número natural, pero esto no siempre sucede con la resta. Por ejemplo, no puede resolverse la operación 20 – 27. El conjunto de los números naturales está formado por aquellos números que sirven para contar ; ¥ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ...} En ocasiones se considera al 0 como número natural. En este caso, se lo simboliza ¥0. ¥0 = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ...} En el conjunto de los números naturales todo elemento a tiene su siguiente a + 1 y todo elemento b distinto de 1 tiene su anterior, b – 1. 11 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-11-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 12 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 El conjunto de los números enteros Si se analiza ahora el problema 1.b. de la página 10: Encontrar todos los números que verifican que al multiplicarlos por su siguiente se obtiene por resultado 20. Se llama conjunto solución de una ecuación al conjunto formado por todas sus soluciones. Se lo simboliza S. Este problema puede traducirse a través de la ecuación x (x + 1) = 20. Es sencillo reconocer que el número 4 verifica la ecuación porque 4 . 5 = 20. Con lo cual en el conjunto de los números naturales el conjunto solución de la ecuación es: S = {4}. Si solo se piensa en números naturales, la solución es única. Pero si se admite el uso de números enteros, también ocurre que (–5) . (–4) = 20. Es decir, aparece otra solución x = –5. El conjunto solución en el conjunto de los números enteros es S = {4 ; –5} Problema 2 ¿Es posible encontrar un número que al restárselo a 20 dé por resultado 27? Si se piensa este problema en términos de ecuaciones, la expresión que lo representa es la siguiente: 20 – x = 27. No hay ningún número natural que, restado al 20 dé por resultado 27. Esto quiere decir que no hay solución para esta ecuación dentro del conjunto de números naturales. Luego S = ø. Para encontrar la solución de esta ecuación es necesario definir un nuevo conjunto de números, el de los enteros, que se simboliza ¢. Está formado por los números naturales, el 0 y los opuestos de los números naturales. Puede definirse: ¢ = { ... ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ...} enumerando sus elementos de manera incompleta. En este conjunto la solución es S = {–7} El conjunto de los números enteros es también un conjunto infinito y no hay un número entero que sea el menor de todos ni tampoco un número entero que sea el mayor de todos. Es decir, en este conjunto no existen ni primer elemento ni último elemento. Ubicación en la recta numérica Al número –a se lo llama opuesto de a. Por ejemplo: –5 es el opuesto de 5; 7 es el opuesto de –7, porque –(–7) = 7; 0 es el opuesto de 0, porque – 0 = 0; – a es el opuesto de a y a es el opuesto de – a. El opuesto de un número es negativo cuando ese número es positivo; es positivo cuando ese número es negativo y es 0 cuando ese número es 0. 12 Problema 3 En la siguiente recta numérica están ubicados el 0 y el 8. ¿Dónde se ubica el número 5?¿Dónde se ubican los números –1 y –2? 0 8 Para resolver este problema, una posibilidad es intentar ubicar el número 1. Para ello es conveniente ubicar el 4, justo en el punto medio entre 0 y 8. Luego el 2 en el punto medio entre 0 y 4 y finalmente el 1 entre 0 y 2. Determinada la posición del 1, es sencillo señalar la ubicación del 5: 0 1 2 4 5 8 Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-12-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 13 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Es decir, para ubicar los números naturales en una recta, basta con señalar el 0 y el 1, o sea, elegir una unidad en la recta, luego, el 2 se ubica a una unidad de distancia a la derecha del 1, el 3 a una unidad de distancia a la derecha del 2, etcétera. Para ubicar el número –1 en esta recta alcanza con tomar la misma unidad de medida pero para la izquierda. Entonces: –2 –1 0 1 2 4 5 8 En la recta puede observarse que dados dos números enteros distintos, el que está más a la derecha en la recta numérica será el mayor. Por ejemplo, 5 está a la derecha de –2 y 5 > –2. En el conjunto de los números naturales se puede observar que el más grande es el que está más lejos del cero. Sin embargo, esta propiedad deja ser cierta en el conjunto de los números enteros, ya que, por ejemplo, –10 está más lejos del 0 que 5. –10 0 5 En el conjunto de los números enteros, el mayor entre dos números es el que está ubicado en la recta numérica más a la derecha. 4 En el conjunto de los números enteros todo elemento a tiene su siguiente o consecutivo a + 1 y todo elemento b tiene su anterior, b – 1. Por ejemplo: –6 es el siguiente de –7, y el anterior de –5; 450 es el anterior de 451 y –123 es el anterior de –122. Problema 4 a. ¿Cuántos números enteros hay ente 10 y 14? b. ¿Cuántos números enteros hay entre –303 y 304? ¿y entre –400 y –126? c. ¿Hay alguna forma de calcular la cantidad de números enteros que hay entre dos números enteros p y q? Entre 10 y 14 están solamente los números enteros 11, 12 y 13, es decir hay tres números enteros. Para hallar los números enteros entre –303 y 304 hay que contar los números –302, –301 … hasta 303. Para saber cuántos hay, se puede realizar la cuenta 304 – (–303) = 607. Pero en este cálculo se está considerando el número –303, entonces hay que restarle uno: 607 – 1 = 606. Es decir, hay 606 números. Pueden resumirse los resultados en la siguiente tabla: Entre ... hay ... 10 y 14 3 (11, 12 y 13) –303 y 304 606 –400 y –126 273 ¿Cuántos son? 14 – 10 = 4 ; 4 – 1 = 3 304 – (–303) = 607 607 – 1 = 606 –126 – (–400) = 274 274 – 1 = 273 14 – 10 – 1 = 3 304 – (–303 ) – 1 = 606 –126 – (–400) – 1 = 273 Para hallar los números enteros que hay entre p y q (p < q) se calcula la diferencia q – p y se obtienen los números entre p y q, pero incluyendo a p. Al restar 1 se excluye al número p. Puede deducirse entonces que entre dos números enteros cualesquiera, la cantidad de números enteros que hay entre ellos es siempre finita y se calcula haciendo q – p – 1. A partir de esta propiedad se dice que el conjunto de números enteros es un conjunto discreto. Todo número natural tiene un siguiente, que se obtiene al sumarle 1. Todos, excepto el 1, tienen además un elemento anterior que se obtiene restando 1 al número. En el caso de los números enteros, todos tienen anterior y siguiente. Dado un número entero a, su anterior es a – 1 y su siguiente a + 1. Entre dos números enteros a y b (b > a) hay siempre una cantidad finita de números enteros y ésta es exactamente b –a –1. Si a = b, la cantidad de números enteros entre ellos es 0. Esta propiedad de los números enteros se conoce con el nombre de discretitud. Si se quiere contar cuántos números enteros hay desde a hasta b (es decir, los que hay “entre” y también a y b) esa cantidad es b – a + 1. Si a = b, hay 1. 13 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-13-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 14 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Divisibilidad Uno de los temas más importantes en el conjunto de los números enteros es el de la divisibilidad, tal como se propone en el siguiente problema. Problema 5 Sean a y n números enteros tales que a = 25 . n + 7, hallar el resto de dividir a por 5. Un número entero es par cuando se lo puede escribir como a = 2 . k, con k ∊ ¢ . Un número entero es impar cuando se lo puede escribir como a = 2 . k + 1, con k ∊ ¢. n 25 . n + 7 Resto al dividirlo por 5 0 7 2 1 32 2 3 82 2 10 257 2 123 3082 2 Aparentemente el resto siempre es 2. Pero, ¿cómo se puede hacer para estar seguros de que el resto siempre es 2? Como a = 25 . n + 7 es posible transformar esta expresión en otra equivalente a = 25 . n + 7 = 5 . 5 . n + 5 + 2 = 5 (5n + 1) + 2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Dados dos números enteros a y b (b distinto de 0), existen únicamente dos números enteros q y r, llamados respectivamente cociente y resto, tales que a = b . q + r, siendo r mayor o igual que 0 y menor que b. Para resolver esta cuestión, una posibilidad es comenzar a explorar asignándole a n algunos valores, tal como se muestra en la tabla: múltiplo de 5 La última expresión muestra que el número a es dos unidades mayor que un múltiplo de 5. Y como al dividir un múltiplo de 5 por 5, su resto es cero, al dividir un número dos unidades mayor que un múltiplo de 5, el resto es 2. Problema 6 4 Un número entero es primo cuando tiene exactamente cuatro divisores: el 1, el –1, el número y su opuesto. Por ejemplo 13 es primo porque sus únicos divisores son –1, 1, –13 y 13, en cambio 4 no es primo porque, además de –1,1,–4 y 4 tiene a –2 y 2 como otros divisores. 1 y –1 no son números primos porque tienen exactamente dos divisores: 1 y –1. Si a = k . b con a, b, k ∊ ¢ entonces a es múltiplo de b o b es divisor de a. 14 ¿Cuáles son los posibles restos que se obtienen al dividir un número entero a por: a. 2? b. 3? Si a es un número entero par, entonces al dividirlo por 2 se obtiene un cierto cociente q y resto 0. Entonces a = 2 . q con q ∊ ¢. Si a es un número entero impar, entonces al dividirlo por 2 se obtiene un cierto cociente n y resto 1. Entonces a = 2 . n + 1 con n ∊ ¢. Si a es divisible por 3, al dividir a a por 3 se obtiene un cociente m y resto 0.Entonces a = 3 . m con m ∊ ¢. Si a no es divisible por 3, al dividir a a por 3 se obtiene un cociente n y un resto que puede ser 1 o 2. Entonces, puede ser que a = 3 . n + 1 con n ∊ ¢ o a = 3n + 2 con n ∊ ¢. En general puede decirse que si a y b son números enteros entonces: ❚ a es divisible por b, si existe un número entero k tal que a = b . k. ❚ Si a no es múltiplo de b entonces existen números enteros q y r tales que: a = b . q + r y 0 < r < b. Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-14-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 15 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Ecuaciones Con los números enteros se pueden resolver algunas ecuaciones que no tenían solución en ¥. Problema 7 Para cada una de las ecuaciones siguientes, hallar el conjunto solución en ¥ y en ¢. a. x + 5 = 1 b. 4x = –20 c. 2x = 3 d. x² = 100 e. x² = 64 f. x² = –4 4 h. x³ = 27 i. x³ = –64 g. x = 16 La ecuación x + 5 = 1 no tiene solución en ¥ porque no existe ningún número natural que sumado a 5 dé por resultado 1, luego S¥ = ∅. Sin embargo, la ecuación tiene solución en ¢ y es x = 1 – 5 = – 4 . S¢ = {– 4}. La ecuación 4x = –20 tiene solución en ¢ pero no en ¥ porque: x = –20 : 4 = –5 luego S¢ = {–5} y S¥ = ∅. La ecuación 2x = 3 no tiene solución en ¥ ni en ¢ porque ningún número entero multiplicado por 2 da 3. S¥ = S¢ = ∅. La ecuación x2 = 100 tiene una única solución en ¥ que es 10. S¥ = {10}. Sin embargo, tiene dos soluciones en ¢: 10 y –10, ya que 102 = 100 y (–10)2 = 100. S¢ = {–10 ; 10}. Esta ecuación introduce un problema en los clásicos “despejes” usados al resolver ecuaciones, que conviene analizar. ____ La resolución x2 = 100 ⇔ x = √ 100 ⇔ x =10 es válida para resolver la ecuación en ¥, pero no en ¢, ya que se pierde una solución. En estos casos se debe tener presente que hay dos números enteros que elevados al cuadrado dan 100 y estos números son 10 (la raíz cuadrada de 100) y –10 (el opuesto de la raíz cuadrada de 100). La ecuación x2 = 64 puede resolverse de la siguiente manera: x2 = 64 ⇔ x = 8 o x = –8 Entonces S¥ = {8} y S¢ = {8 ; –8} Cuando se intenta resolver la ecuación x2 = –4, se observa que ningún número entero elevado al cuadrado da negativo. Luego esta ecuación no tiene solución en ¥ ni en ¢. S¥ = S¢ = ∅. La ecuación x4 = 16 ⇔ x = 2 o x = –2 porque 24 = 16 o (–2)4 = 16. Entonces S¥ = {2} y S¢ = {2 ; –2}. Las consideraciones anteriores son necesarias en los pasajes de potencias pares a raíces; los que contienen potencias impares no tienen mayores dificultades. x3 = 27 ⇔ x = 3, dado que el único número entero que elevado al cubo da 27 es 3. S¥ = S¢ = {3}. x3 = –64 ⇔ x = –4 porque el único número entero que elevado al cubo da –64 es –4. S¥ = ∅, S¢ = {–4}. Se simboliza S¥ al conjunto solución de una ecuación en el conjunto de los números naturales. De igual forma S¢ es el conjunto solución en el conjunto de los números enteros. 4 Los números pertenecientes a ¥0 que tienen raíz cuadrada en ¥0 se llaman cuadrados perfectos. Por ejemplo: 36 es un cuadrado ___ perfecto porque √36 = 6. Si a es un cuadrado perfecto, entonces: En ¥0 : __ x2 = a ⇔ x = √a En ¢: x2 = a, a ≥ 0 ⇔ __ __ x = √a o x = – √a 1. ¿Cuántos números enteros hay desde –154 hasta 5201? a. La cantidad de números primos que hay entre 40 y 50 es la misma que 2. Si a = 79, propongan un número entero b de forma tal que entre a y b hay entre 70 y 80. haya 53 números enteros. Expliquen cómo lo pensaron. b. Todos los números enteros que terminan en 1 y son mayores que 10 y 3. Decidan si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. menores que 50 son primos. ADES ACTIVID Justifiquen la decisión. 15 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-15-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 16 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 El conjunto de los números racionales Si se retoma el problema 1.c. Si se conoce que 9 veces el cuadrado de un número es 4, ¿de qué número se trata? Es posible traducir este problema con la ecuación 9x² = 4 Si x es un número entero, al elevarlo al cuadrado seguirá siendo entero y al multiplicarlo por 9, el resultado será un múltiplo de 9, con lo cuál nunca da 4. Esta ecuación no tiene solución en ¢. Para dar respuesta a problemas como éste se define otro conjunto de números. El conjunto de números racionales, que se simboliza ¤ , es el conjunto formado por todos los números que pueden ser expresados como fracción, es decir, como cociente de dos números: a entero y b natural. EL conjunto de los números racionales es: a , con a ∊ ¢ y b ∊ ¥}. ¤ = {x/x = __ b Puede pensarse también que el denominador es un número entero, sin embargo –a = ___ a a = ___ – __ b b –b S¤ es el conjunto solución en ¤. Los números enteros son fracciones de denominador 1, lo que demuestra que el conjunto de los números enteros está incluido en el de los racionales. Además, el conjunto de los naturales está incluido en el de los enteros. Simbólicamente: ¥ ⊂¢⊂¤ En un diagrama de Venn, puede mostrarse esta relación entre los conjuntos: a , con a ∊ ¢ y b ∊ ¥ }. ¤ = { x/x = __ b 2 y – __ 2 . LueEn este conjunto numérico la ecuación 9x² = 4 tiene dos soluciones __ 3 3 2 2 __ __ go S¤ = { ; – }. 3 3 Así como los números enteros son una “extensión” de los naturales (porque los contienen), los racionales son una “extensión” de los enteros, ya que todo número entero puede ser pensado como una fracción con denominador 1. El conjunto de los números racionales es también un conjunto infinito y no hay un número racional que sea el menor de todos ni tampoco un número racional que sea el mayor de todos; es decir, como ocurre con los enteros, no hay ni primer ni último elemento. Problema 8 Si a es un número racional, ¿es cierto que no existe ningún otro número racional entre a y a + 1? Si a es un número entero, a + 1 es el entero siguiente a a y no existe otro número entero entre ellos. Pero, a diferencia de los enteros, en ¤ no tiene sentido hablar de siguiente ni de 5 no es su siguiente porque 2 + 1 = __ 2 es un número racional, pero __ anterior. Por ejemplo, __ 3 3 3 7 2 con __ 1. hay otros números racionales que están entre ellos, como __ que se obtiene al sumar __ 6 3 2 5. 7 está entre __ 1 es menor que 1 y mayor que cero, entonces __ 2 y __ Como __ 2 6 3 3 ¤ ¢ 16 ¥ Los números racionales no van “saltando de a 1” en la recta como los enteros. Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-16-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 17 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Ubicación en la recta numérica Los números racionales también pueden ubicarse en la recta numérica, como se muestra a continuación. Problema 9 1 en la siguiente recta numérica. Ubicar el número – __ 3 0 1 Para resolver este problema hay varias posibilidades. Una es señalar la ubicación de – 1, como opuesto de 1, para luego dividir en tres la distancia entre 0 y – 1. 1 – __ 3 –1 0 1 1 para lueOtra forma es dividir en tres partes iguales la distancia entre 0 y 1, marcar __ 3 1 1 __ __ go ubicar – como opuesto de : 3 3 1 – __ 3 –1 1 __ 0 1 3 En la siguiente recta se pueden ubicar también otros números racionales, por ejemplo: –1 1 –__ 3 1 _ 0 2 1 5 __ 4 7 2 _ 8 __ 3 3 4 Se puede observar que los números racionales están más “apretados” en la recta que los enteros. Números decimales Los números racionales pueden también expresarse como decimales, como propone el siguiente problema. Problema 10 ¿Qué números van en las casillas libres en las siguientes tablas? Fracción 1 __ 4 ... Decimal ... 3,͡5 Fracción 5 __ 2 ... ... Decimal Fracción Decimal ... ... 0,23 2,26͡1 ... 11 ___ 90 1,3 ͡ 0,25 Las expresiones decimales de todas las fracciones siempre tienen parte decimal finita o tienen parte decimal periódica. El período no tiene que empezar necesariamente en la primera cifra decimal. En el caso en que el período no comienza en la primer cifra decimal se dice que la expresión decimal es mixta. Realizar el pasaje de la expresión fraccionaria a decimal es sencillo. Por ejemplo, la 5 es 1 es 0,25 porque 1 dividido 4 da 0,25; la escritura decimal de __ escritura decimal de __ 4 2 2,5, pues basta con hacer la cuenta. 17 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-17-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 18 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Pasaje de decimal a fracción: 1. Para números racionales cuyo desarrollo decimal es finito como por ejemplo x = 2,461, se multiplica por la unidad seguida de ceros hasta que quede un número entero. En este caso 2461 1000 . x = 2461 ⇒ x = ____ 1000 2. Para números racionales cuyo desarrollo decimal es periódico no ) mixto, como x = 5,3 , se multiplica por la unidad seguida de ceros hasta que quede un número decimal con el mismo período que el original. En este ejemplo se multiplica por 10 y se obtiene ) 10 x = 53, 3 . Luego se restan las ecuaciones obtenidas, y queda una ecuación cuyos coeficientes son todos enteros. ) ) 10 x – x = 53, 3 – 5, 3 ⇔ 16 48 = ___ 9 x = 48 ⇔ x = ___ 9 3 3. Para números decimales periódicos mixtos, como por ) ejemplo x = 2,38 4 , se multiplica la ecuación dos veces por la unidad seguida de ceros hasta obtener números racionales con igual desarrollo decimal periódico, no mixto. En este caso se multiplica por 100 y por 1000 y se obtiene: ) 100 x = 238, 4 ) 1000 x = 2384, 4 Se restan luego ambas igualdades obtenidas y quedan expresadas solo con números enteros. ) ) 1000 x – 100 x = 2384, 4 – 238, 4 ⇔ 900 x = 2146 ⇔ 1073 2146 = _____ x = ____ 900 450 18 ¿Cómo se pasará de una expresión decimal a su equivalente fraccionaria? Para realizar este proceso pueden presentarse distintos casos, como se muestra en la siguiente tabla. Números decimales con ... parte entera ... parte decimal ... igual a cero distinta de cero x = 0,23 100 x = 23 23 x = ____ 100 finita x = 1,3 10 x = 13 13 x = ___ 10 º (1) x = 0, 25 Se multiplican ambos miembros por 100. º (2) 100 . x = 25,25 periódica Se restan las ecuaciones (2) y (1) : º – 0,25 º 100 x – x = 25,25 . 99 x = 25 25 x = ___ 99 x = 3,5º (1) Se multiplican ambos miembros por 10. 10 x = 35,5º (2) Se restan las ecuaciones (2) y (1) 10 x – x = 35,5º – 3,5º 9 x = 32 32 x = ___ 9 ) x = 2,26 1 (1) Se multiplican ambos miembros por 1000. ) 1000 . x = 2261, 1 (2) Se multiplican ambos miembros de (1) por 100. ) 100 . x = 226, 1 (3) Se restan las ecuaciones (2) y (3) : ) ) 1000 x – 100 x = 2261, 1 – 226, 1 900 x = 2035 407 2035 = ____ x = ____ 900 180 mixta Ahora es posible completar la tabla Fracción 1 __ 4 32 ___ 9 Decimal Fracción Decimal Fracción Decimal 0,25 5 __ 2,5 13 ___ 1,3 3,͡5 2 23 ____ 100 407 ____ 180 0,23 2,26͡1 10 25 ___ 99 11 ___ 90 0,͡ 25 0,12͡ Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-18-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 19 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Problema 11 la ¿Cuántos números racionales hay entre 1 y 2? Unos cuantos de ellos pueden listarse fácilmente: 1,3 ; 1,8 ; 1,25 ; 1,761 ; etc. Pero, para poder decidir cuántos hay, se propone el siguiente razonamiento: Se calcula el promedio entre el 1 y el 2, luego entre el 1 y el promedio anterior y así siguiendo: Promedio entre ... Resultado 1y2 1,5 1 y 1,5 1,25 1 y 1,25 1,125 1 y 1,125 1,10625 1 y 1,0625 1,03125 1 1,25 1,5 2 1,125 1,0625 1,03125 De esta manera se han encontrado 5 números racionales entre 1 y 2. Pero el proceso de promediar al 1 con el promedio obtenido en el paso anterior puede continuarse indefinidamente. Puede pensarse que, en algún momento, se llegará al 1, sin embargo, esto no es así porque, en cualquier paso, el promedio se realiza entre el 1 y el promedio del paso anterior (que es mayor que 1), obteniéndose un número que está entre ambos, por lo que es cada vez más próximo a 1, pero mayor que él. Como este proceso puede seguir indefinidamente, hay infinitos números racionales entre 1 y 2. De igual manera puede procederse con cualquier par de números racionales distintos; por lo tanto el conjunto de los números racionales no es discreto sino denso. El promedio entre dos números distintos a y b es a + b . Este número es el número ____ 2 distinto de a y de b y está ubicado entre ambos en la recta numérica. El conjunto de los números racionales no es un conjunto discreto como ¢ sino que es un conjunto denso dado que entre dos números racionales distintos siempre es posible encontrar infinitos números racionales. 4 ) ¿Cuántos números racionales hay entre 0,9 y 1? ) Si se supone que 0, 9 es menor que 1, entonces deberían existir infinitos números racionales entre ellos, como entre cualquier par de racionales distintos. Pero es imposible ) encontrar tan siquiera uno que sea mayor que 0, 9 y menor que 1. Esto no contradice la ) propiedad de densidad de este conjunto dado que si se escribe el número 0,9 en su forma ) ) fraccionaria se obtiene que x = 0,9 (1)⇔ 10 x = 9,9 (2) ⇔ restando (2) – (1) 9 x = 9 ⇔ x = 1. ) Luego 0,9 = 1 y entonces estos dos números son iguales. ) 4. Hallen cuatro números racionales entre 9, 7 y 9,8. Expresen a dos de ellos como fracción y a los otros dos como decimal. 5. Ordenen de menor a mayor a cada una de las dos listas siguientes de ) Otra forma de ver que 0,9 = 1 es: ) ) 0,9 = 3 . 0,3 = ) 1 Como 0,3 = __ 3 ) 1 =1 0,9 = 3 . __ 3 Lo mismo sucede con todos los decimales con período 9. ) ) Por ejemplo: 7,9 = 8; 26,59 = 26,6. 2 (1 – x) = –3 b. 2 . (x + 3) = 1 – 4x c. – __ 3 121 27 e. x2 = ____ f. x3 = – ___ d. x2 = 144 64 8 8. Sin resolverlas, indiquen cuáles de las siguientes ecuaciones tienen a. 3 x – 4 = –5x + 1 números racionales: ) ) a. 8,9 ; 8,9 ; 8,º 98 ; 8,º 89 ; 8, 8 ; 9 ; 8,98 ; 8,99. ) 528 ; –2,52 8 ; –2,5º 28 ; –2,528 b. –2, ͡ 6. ¿Los números 2,͡ 52 y 2,5͡ 25 son iguales? Justifiquen sus respuestas solución en ¥ y en ¢. desde la expresión decimal y desde la expresión fraccionaria de ambos 9. Resuelvan las siguientes ecuaciones en ¢. Escriban el conjunto solución. a. 2x – 1 = 5 b. –4 . (x + 3) = 12 –5x + 1 ______ =8 d. x2 = 121 c. 2 números. 7. Resuelvan las siguientes ecuaciones. Indiquen su conjunto solución en ¤: a. x – 100 = 43 b. 20 + x = 10 c. 4x = 18 d. x : 3 = 4 e. x + 10 = 3 f. 12x = 1 g. –4x = –16 h. x : (–3) = 4 ADES ACTIVID 19 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-19-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 20 - MAT M: 10826 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 El conjunto de los números irracionales Si se retoma el problema 1.d de la página 10: ¿Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si se sabe que su área es 2,5 cm²? Como el triángulo es rectángulo isósceles, sus dos catetos son iguales. x Como además el área es 2,5 cm², queda expresada la ecuación: x . x = 2,5 ⇔ x² = 5 ____ x 2 Las raíces cuadradas de números primos son siempre irracionales. El conjunto de los números irracionales es aquel cuyos elementos tienen desarrollo decimal infinito, no periódico. Dicho conjunto se simboliza con la letra . Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números racionales porque no existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé por resultado 5. Aparece entonces un nuevo conjunto numérico, el de los números irracionales. El desarrollo decimal de los números racionales, es finito o periódico. Quedan fuera de este tipo de números aquellos cuyo desarrollo decimal es infinito pero no periódico, como por ejemplo: 5,10110111011110... π = 3,14159265... –108,414243444546... __ Estos números son números irracionales. El lado del triángulo anterior mide √ 5 y es __ 3 __ un número irracional. Otros números irracionales son √2 ; √ 7 y 42/3. Ubicación en la recta numérica ⎧ ⎨ ⎩ Definición de potenciación: ❚ con exponente natural: Siendo a ∊ ¡ y N ∊ ¥0: a . a . ... a si N > 1 Los números irracionales también tienen lugar en la recta. Problema 12 __ ¿Dónde estará ubicado el número √ 5 en la recta numérica? N veces a si N = 1 a = 1 si N = 0 y a ≠ 0 no está definida si N = 0 y a = 0 N ❚ con exponente entero negativo: 1N a ∊ ¡ y N ∊ ¥: a – N = __ a () ❚ con exponente fraccionario: M es una fracción: Si a ∊ [0 ; +∞) y __ N __ N ___ aM/N = ( √a ) = √aM N 20 M __ Para ubicar el número √5 es posible realizar lo que sigue: Se construye sobre la recta numérica un triángulo rectángulo cuyos catetos tengan longitud 2 y 1. Por el Teorema de Pitágoras la __ hipotenusa del triángulo mide √5 . Con un compás se hace centro en el 0 y, con radio igual a la hipotenusa, se traza un arco que interseque a la recta. Ese valor de intersección es la __ ubicación de √ 5 . í I í Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-20-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 21 - MAT M: 10826 C1: 20565 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 El conjunto de los números reales El conjunto formado por todos los números racionales y todos los números irracionales se denomina conjunto de los números reales. En el siguiente diagrama de Venn se pueden observar las relaciones de inclusión entre los distintos conjuntos numéricos. El conjunto de los números reales es el que está formado por todos los números racionales y todos los números irracionales. ¡=¤U ¡ ¤ ¢ ¥⊂¢⊂¤⊂¡,¤U =¡ ¥ Si a y b dos números reales, con a < b: ❚ para nombrar a todos los números reales que están entre a y b se usa la notación (a ; b), que se lee “intervalo abierto ab” (////////) a b Este conjunto tiene la propiedad de “llenar” la recta numérica. Cada número real es un punto en la recta numérica y cada punto de la recta numérica es un número real. Al conjunto de los números reales se lo simboliza ¡. El conjunto de los números reales es también un conjunto denso, es decir, entre dos números reales distintos siempre hay infinitos números reales (tanto racionales como irracionales). Por ejemplo, en el intervalo (0 ; 2) hay infinitos números racionales y también hay infinitos 1 √__ números irracionales. Allí se ubican los números de la forma __ n 2 , siendo n cualquier natural. Con la incorporación de los números irracionales pueden resolverse ecuaciones que no tienen solución en ¤ como por ejemplo: __ __ __ __ x2 = 7 ⇔ x = √7 o x = – √7 . Entonces S¡ = { √7 ; – √7 } 5⇔x= x2 = __ 9 ___ __ __ __ ❚ para nombrar a todos los números desde a hasta b inclusive, se usa [a ; b], y se lee “intervalo cerrado ab” [////////] a b ❚ para nombrar a todos los números reales mayores que a se usa (a ; +∞). (/////////// a __ √5 √5 √5 √5 5 = ____ __ o x = – ___ . Entonces S¡ = {___ ; – ___ } √9 3 3 3 3 ❚ para nombrar a todos los números reales menores que a se usa (–∞ ; a). ///////////) a No obstante, hay ecuaciones que no tienen solución en ¡. Si se retoma el problema 1. e. Encontrar, si existe, un número cuyo cuadrado sea –1. S¡ es el conjunto solución de una ecuación en el conjunto de los números reales. En este problema queda planteada la ecuación x2 = –1. Sin embargo cuando se multiplica un número real por sí mismo el resultado siempre es positivo. No existe entonces ningún número real que elevado al cuadrado dé –1. Luego S¡ = ∅. 10. De la siguiente lista de números, indiquen cuáles son___ irracionales: ) 3 ___ ) 1 27 12 ; 4π ; 2__14 ; –5 ; 2,1234... ; 7–1 ; 6,1 ; √____ ___ 150 ; 82/3 ; 21,6 ; ; 9,124; __ 4 5 8 11. ¿Cuántos números hay en el intervalo [–5 ; 1] que sean: a. naturales? b. enteros? c. racionales? √ d. irracionales? () 13. Completen el cuadro colocando una cruz cuando el número que encabeza la fila pertenece al conjunto numérico que encabeza la columna: ¥ ¢ ¤ ¡ –3 e. reales? En los casos en que haya una cantidad finita, muéstrenlos a todos; si –34,2345 ____ son infinitos, muestren cuatro de ellos. √ 101 12. Resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen su conjunto 23,21 12 ___ solución en ¡. a. x2 = 8 ADES ACTIVID 64 b. x3 = ___ 27 16 c. x4 = ___ 81 d. x4 = –81 5 21 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-21-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 22 - MAT M: 10826 C1: 20565 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000 Módulo o valor absoluto de un número real Un concepto importante en el conjunto de los números reales es el de módulo o valor absoluto. El módulo o valor absoluto de un número real x es la distancia que hay en la recta numérica entre 0 y x. Se lo simboliza ⎪x⎪. Por ejemplo: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 5 Si x ∊ ¡: x si ⎮5⎮= 5 0 x≥0 5 ⎪x⎪ = –x si ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3 ⎮–3⎮= 3 x<0 –3 0 Otros ejemplos son: ⎪–5,34⎪= 5,34 ; ⎪0⎪= 0 ; ⎪π⎪= π. Por ser una distancia, el módulo de cualquier número real es siempre positivo o cero. Problema 13 Encuentren, en cada caso, todos los números reales que verifiquen lo pedido. a. Su módulo es 4. b. Su módulo es menor que 5. c. Su distancia al cero es mayor que dos. 4 Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+ U {0}: ΙxΙ= a ⇔ x = a o x = –a Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+ ΙxΙ< a ⇔ – a < x < a ⇔ x ∊ (– a ; a) ADES ACTIVID –4 4 0 hay dos números cuyo módulo es 4: 4 y – 4. En términos de ecuaciones, esta situación puede ser representada de la siguiente manera: | x⎪ = 4 cuyo conjunto solución es S¡ = {4 ; –4}. Hay dos números cuyo módulo es 5: 5 y –5. Todos los números que estén entre ellos dos tendrán una distancia al 0 menor que 5. En términos de ecuaciones esta situación puede plantearse así: ⎮x⎮< 5 cuya solución es S = (–5 ; 5) es decir, el intervalo abierto (–5 ; 5). Hay dos números cuyo módulo es 2: 2 y –2. Todos los números que son mayores que 2 están a una distancia al 0 mayor que 2. Pero también los números menores que –2 están a una distancia del 0 mayor que 2.Una vez más, en términos de ecuaciones, la situación puede escribirse así:⎮x⎮> 2 y tiene,entonces, solución S = (–∞ ; –2) ∪ (2 ; +∞) (////////////////////////) –5 5 0 2 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+: ΙxΙ > a ⇔ x > a o x < – a ⇔ x ∊ (–∞ ; – a) ∪ (a ; +∞) 4 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Como se ve en la figura, ////////) –2 (/////// 0 2 14. Resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen su conjunto solución: 15. Resuelvan las siguientes inecuaciones, dando su conjunto solución: a. |x| = 10 a. |x| ≤ 6 22 b. |x| = –4 c. |x| = 0 d. |x| = 5,1 b. |x| > 1 c. |x| ≥ 8 d. |x| < 2,3 Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-22-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 23 - MAT M: 10826 C1: 20565 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000 Operaciones con números reales Para resolver situaciones que involucran números irracionales que son raíces de números enteros, la única manera de escribirlos en forma exacta es expresándolos como radicales, ya que es imposible anotar sus infinitas cifras decimales no periódicas. Se trabajará ahora, sobre la operatoria con este tipo de números. Problema 14 En la figura se ven dos cuadrados de áreas 8 cm2 y 2 cm2 respectivamente. a Calcular el perímetro de la figura sombreada. b d c e f g Como el área del cuadrado grande es 8 cm², entonces: __ __ __ __ __ ac = cg = gf = fa = √ 8 cm Como el área del cuadrado chico es 2 cm², luego: __ __ __ __ __ ab = be = ed = da = √2 cm __ __ Para calcular la longitud del segmento bc hay que encontrar el resultado de √ 8 – √2 . __ __ ____ __ __ __ __ __ __ √8 – √2 = √4 . 2 – √2 __ Se escribe al 8 como 4 . 2. __ Se aplica la propiedad distributiva de la radicación respecto de la multiplicación. √8 – √2 = √4 . √2 – √2 __ __ √8 – √2 = 2 √2 – √2 __ __ Se resuelve la raíz exacta. __ √8 – √2 = √2 __ __ Se opera. __ La potenciación y la radicación son distributivas respecto de la multiplicación y de la división. Simbólicamente: __ Luego bc = √ 2 cm. De la misma forma df = √ 2 cm. El perímetro de la figura sombreada es: __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ bc + cg + gf + fd + de + eb = (√2 + √ 8 + √8 + √ 2 + √2 + √ 2 )cm = __ __ __ __ __ __ __ (√ 2 + 2√2 + 2√2 + √ 2 + √2 + √ 2 ) cm = 8 √2 cm. Para resolver otros cálculos se puede proceder como en este ejemplo. Si a, b ∊ ¡ y n ∊ ¥, b ≠ 0, se cumple que: (a . b)n = an . bn (a : b)n = an : bn Problema 15 Comparar, en cada caso, los siguientes números. 3 con __ 3 √__ 2 con 2 – √__ a. ____ 2 b. _______ 2 __ __ 2 √ 2__ √2 + 2 __ __ __ __ c. ( √ 2 – √ 3 )2 – (3 √ 2 + 4 √ 3 )2 con –26 √ 6 Si a ≥ 0, b > 0 y n ∊ ¥ , n > 1, se cumple que: n ____ n __ n __ √a . b = √a . √b __ n __ n __ √a a = ___ __ b n√b √ 23 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-23-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 24 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Para poder comparar los números planteados en a. es conveniente transformar las expresiones en otras equivalentes. Para lograrlo, es posible realizar lo siguiente: __ __ √2 3 = ___ 3 . ___ ____ __ __ __ √2 √2 √2 __ En una expresión algebraica o en un número que tenga por divisor a un radical puede multiplicarse dividendo y divisor por otro radical conveniente, de modo de obtener una expresión equivalente que tenga por divisor un número racional. Esta transformación se llama racionalización. Se multiplican el numerador y denominador por √2 . __ 3 √2 = __ 3 √2 = _____ 3 = _____ 3 √__ ____ 2 __ __ 2 2 √2 ( √2 )2 Se opera, simplificando la expresión obtenida. 3 √__ 3 = __ 2 lo que indica que ambos números son iguales. Entonces, ____ __ 2 √2 __ 2 con 2 – √2 se puede recurrir a la siguiente técnica: Si se trata de comparar _______ __ √2 + 2 __ __ √2 – 2 2 = ______ 2 . ______ ______ __ __ __ √2 + 2 √2 + 2 Se multiplican el numerador y denominador por √2 –2. √2 – 2 __ __ 2 . (√2 – 2) 2 . (__√ 2 – 2) ______________ = _________ __ __ (√2 )2– 4 Se opera utilizando la propiedad de diferencia de cuadrados. ( √2 + 2)( √2 – 2) (a + b) (a – b) = a2 – b2 __ __ __ 2 . (√2 – 2) 2 . (√2 – 2) _________ = _________ = –√ 2 + 2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2–4 Se opera. –2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 __ 2 Entonces, _______ = 2 – √2 . __ √2 + 2 __ __ __ __ __ Si se trata de comparar a los números (√ 2 – √ 3 )2 – (3√ 2 + 4√ 3 )2 y –26√ 6 se puede pensar de la siguiente manera: Se desarrollan los cuadrados de los binomios y queda: __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ √ ( 2 – √3 )2 – (3√2 + 4√3 )2 = [(√2 )2 – 2√ 2 √3 + (√3 )2] – [(3√2 )2 + 2 . 3√2 . 4√ 3 + (4√ 3 )2] __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ (√2 – √ 3 )2 – (3√2 + 4√ 3 )2 = (2 – 2√6 + 3) – (9 . 2 + 24√ 6 + 16 . 3) Expresiones que tengan por divisor una suma compuesta por uno o dos radicales (de índice 2) pueden racionalizarse multiplicando el numerador y denominador por la resta de esos radicales. __ __ __ (√ 2 – √3 )2 – (3√2 = 4√3 )2 = 5 – 2√ 6 – 18 – 24√6 – 48 = –61 – 26√ 6 __ __ __ __ __ __ Como (√2 – √ 3 )2 – (3√2 + 4√ 3 )2 = –61 – 26√ 6 , el resultado es menor que –26√6 , ya que se le resta 61. __ __ __ __ __ Entonces: (√2 – √ 3 )2 – (3√2 + 4√ 3 )2 < –26√6 . __ ADES ACTIVID forma simplificada: __ ___ ____ ___ __ __ 1 (8 – 2 √7 ) c. (√7 –2)2 – __ 2 17. Comparen los siguientes pares de números: __ __ 1__ __1 b. ______ y √2 + 3 a. √7 y ___ √7 √2 – 3 a. √3 – 4 √12 24 b. 4 √125 – 7 √20 __ __ __ √3 1__ +1 y ___ d. ___ –1 2 √3 18. Escriban una expresión equivalente a cada una de las dadas donde c. (4 – √3 )2 y (2 – √3 ) . (2 + √3 ) 16. Realicen las siguientes operaciones e indiquen el resultado en los radicales estén en el numerador. 1__ __ 1 __ b. _______ a. ___ √2 – √3 √5 3__ 2__ + ___ c. ___ √2 √3 Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-24-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 25 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Resolución de ecuaciones Problema 16 __ a. ¿Es cierto que x = √3 es solución de la ecuación –x2 + 2 . (1 – x)2 = 5 – 4x? b. ¿Cuáles son todas las soluciones de la ecuación anterior? Para saber si un número es solución de una ecuación puede reemplazarse la variable por ese número y ver si la verifica, es decir, si se convierte en una igualdad numérica verdadera. __ __ – (√3 )2 + 2 . (1 – √ 3 )2 __ __ –3 + 2 [1 – 2√3 + (√3 )2] __ 5 – 4 √3 __ Se reemplaza x por √3 cada vez que aparece. __ 5 – 4 √3 Se desarrolla el cuadrado del binomio y se opera. __ –3 + 2 (1 – 2 √__3 + 3) = –3 + 2 – 4√3__+ 6 = 5 – 4√ 3 __ 5 – 4 √3 Se simplifica, se aplica la propiedad distributiva y se opera. __ __ __ Como se ha llegado a una igualdad verdadera (5 – 4√ 3 = 5 – 4 √3 ), √3 es solución de la ecuación. __ ¿Es x = √3 la única solución de la ecuación? Para responder a esta pregunta no alcanza con lo realizado en a., ya que eso no permite saber si algún otro número verifica la ecuación. Para saber si es la única solución, debe resolverse la ecuación. –x2 + 2(1 – x)2 = 5 – 4x ⇔ – x2 + 2 . (1 – 2x + x2) = 5 – 4x ⇔ __ __ ⇔ –x2 + 2 – 4x + 2x2 = 5 – 4x ⇔ x2 –4x + 4x = 5 – 2 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = √ 3 o x = – √3 . __ __ __ Entonces, √3 no es la única solución. El conjunto solución es S¡ = {√ 3 ; –√ 3 } Hay propiedades de los números reales que son útiles para encontrar soluciones a diferentes tipos de ecuaciones. Sobre el análisis de esas propiedades y cómo resolver esas ecuaciones tratan los siguientes problemas. Problema 17 ¿Qué valores de x verifican las siguientes ecuaciones? a. (x – 1) . (x + 5) = 0 x2 – 4 = 0 d. _____ x+2 b. x.(x2–1) . (2x + 3) = 0 4x – 2 = 1 e. ______ 2x – 1 c. x2 – 2x = 0 – x2 es equivalente a –(x2), es decir que primero se eleva al cuadrado al número y luego se obtiene su opuesto, por lo que el resultado será siempre negativo o cero. Si a ∊ ¡ y b ∊ ¡: a.b=0⇔a=0ob=0 En matemática decir a = 0 o b = 0 equivale a decir que a vale 0, b vale 0 o ambos valen 0. Como en la ecuación (x – 1) . (x + 5) = 0 se trata de un producto entre dos expresiones (x – 1) y (x + 5), dicho producto es 0 cuando alguna de ellas sea 0. Es decir cuando x – 1 valga 0 o cuando x + 5 valga 0. Entonces: (x – 1) . (x + 5) = 0 ⇔ x – 1 = 0 o x + 5 = 0 ⇔ x = 1 o x = –5 Luego, S¡ = {1 ; –5}. 25 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-25-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 26 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Definición de división: Dados dos números reales a y b, b distinto de 0, a:b=c⇔a=b.c 0 : 5 = 0, porque 0 = 5 . 0; ¿Por qué la definición pide que el divisor no sea 0? 7 : 0 no se puede resolver porque si existe un c ∊ ¡ tal que 7 : 0 = c ⇒ 7 = c . 0, luego 7 = 0 y esto es imposible. 0 : 0 tampoco se puede resolver porque la operación no tendría solución única. Para encontrar la solución de la ecuación x . (x2 – 1) . (2x + 3) = 0 se puede pensar de manera similar al caso anterior: x . (x2 – 1) . (2x + 3) = 0 3 2x + 3 = 0 ⇔ x = – __ 2 x2 – 1 = 0 ⇔ x = 1 o x = –1 x=0 3 }. Con lo cual, S¡ = {0 ; 1 ; –1 ; – __ 2 El modo de trabajo utilizado en la resolución de las ecuaciones anteriores es fértil para resolver una ecuación como: x2 – 2x = 0 La expresión x2 – 2x puede transformarse en otra equivalente extrayendo factor común x. Así, quedará expresada como un producto igual a 0. x2 – 2x = 0 ⇔ x . (x – 2) = 0 ⇔ x = 0 o x – 2 = 0 ⇔ x = 0 o x = 2. S¡ = {0 ; 2} Pero hay que ser un poco más cuidadoso si se trata de buscar las soluciones de una x2 – 4 = 0 ecuación como la siguiente: _____ x+2 2 x – 4 = 0 ⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 o x = – 2. _____ x+2 Si a ∊ ¡ y b ∊ ¡ con b ≠ 0: a = 0 ⇔ a = 0. __ b Pero la solución x = –2 anula al divisor, pues – 2 + 2 es 0; por lo tanto, x = –2 no puede formar parte de la solución. Luego, S¡ = {2}. 4x – 2 = 1 puede ser tratada de la siguiente manera: La ecuación ______ 2x – 1 4x – 2 = 1 ⇔ 4x – 2 = 1 . (2x–1) ⇔ 4x – 2 = 2x – 1 ⇔ 2x = –1 + 2 ⇔ x = __ 1 ______ 2x – 1 Definición de radicación: ❚ Dados a ∊ ¡ y n un número natural impar mayor que uno: n __ √a = b ⇔ bn = a ❚ Dados a ∊ ¡+ U {0}, b ∊ ¡+ U {0} y n un número natural par: n __ √a = b ⇔ bn = a 2 1 –1 es 0. Entonces x = __ 1 no 1 es el valor que anula el denominador, pues 2 . __ Pero x = __ 2 2 2 puede ser solución. Como es la única que surgió de la resolución, entonces S¡ = ø. a = c son expresiones equivalentes excepto cuando b Esto sucedió porque a = c . b y __ b vale 0. Por ejemplo: 0 = 1 . 0 es una igualdad, pero no existe 0:0. Problema 18 ¿Es lo mismo elevar un número al cuadrado y luego extraer su raíz que extraer su raíz y luego elevarlo al cuadrado? __ Elevar un número al cuadrado y luego extraer su raíz se representa √x2 . Si se prueba para algunos valores, por ejemplo: __ _____ __ ___ x = 3 ⇒ √ 32 = √9 = 3 o x = –4 ⇒ √ (–4)2 = √16 = 4 En el primer caso, se obtiene el mismo número. Esto ocurre para todos los valores de x __ mayores o iguales que 0. Es decir: si x ≥ 0, √x2 = x (puede simplificarse cuadrado y raíz). En el segundo caso, se obtiene el número opuesto. Esto ocurre con todos los valores de x __ que son negativos; es decir, si x < 0, √x2 = –x (no puede simplificarse cuadrado y raíz). Sintetizando lo anterior, elevar al cuadrado a un número y luego extraerle raíz cuadrada equivale a calcular el módulo de dicho número. 26 Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-26-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 27 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 __ En cambio, extraer la raíz de un número y luego elevar al cuadrado se escribe: (√ x )2 Si se prueba con algunos valores se obtiene: __ ___ x = 9 ⇒ (√ 9 )2 = 32 = 9 o x = –4 entonces , (√ –4 )2 que no se puede resolver porque no está definida la raíz cuadrada de un número negativo. Este cálculo contiene las mismas operaciones que el anterior pero en distinto orden; es sustancialmente distinto: solo está __ definido para valores positivos o cero. __ √ Es posible concluir entonces que x2 no es lo mismo que (√ x )2. El análisis anterior permite pensar en la búsqueda de soluciones de distintas ecuaciones. __ Si x ∊ ¡: x si x ≥ 0 √x2 = –x si x < 0 Dicho de otra manera: __ √x2 = ⎮x⎮ __ Si x ∊ ¡+ U {0} : (√x )2 = x Problema 19 Buscar las soluciones de las siguientes ecuaciones: _____ b. (x + 3)2 = 81 c. √x – 5 = 2 a. x2 = 81 ______ d. √ 2x + 5 = x + 1 Una forma de resolver la primera ecuación es pensar en cuáles son los números que elevados al cuadrado dan 81. De allí se obtiene que, x2 = 81 ⇔ x = 9 o x = –9 Otra forma de resolverla es: __ ___ x2 = 81 ⇔ √ x2 = √81 ⎮x⎮ = 9 Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros. Se usa la propiedad anterior. x = 9 o x = –9 Se usa la definición de módulo. Para resolver (x + _______ 3)2 = 81 se puede proceder de manera similar: ___ 2 (x + 3) = 81 ⇔ √(x + 3)2 = √81 ⇔ ⎮x + 3⎮= 9 ⇔ x + 3 = 9 o x + 3 = –9 ⇔ x = 6 o x = –12 _____ Para resolver √ x – 5 = 2 el primer paso puede consistir en tratar de deshacerse de la raíz cuadrada para lo cual se elevan ambos miembros al cuadrado. Hay que tener en cuenta que para que la raíz cuadrada esté definida debe cumplirse que x – 5 ≥ 0: x – 5 = 22 ⇔ x – 5 = 4 ⇔ x = 4 + 5 ⇔ x = 9 ______ Y para resolver la ecuación √ 2x + 5 = x + 1 se puede pensar en el siguiente recorrido: 2x + 5 = (x + 1)2 ⇔ 2x + 5 = x2 + 2x + 1 ⇔ x2 + 2x – 2x + 1 – 5 = 0 ⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ x = 2 o x = –2 Si a ∊ ¡, b ∊ ¡, a ≥ 0 y b ≥ 0: __ √a = b ⇔ a = b2. Sin embargo, x = 2 verifica la ecuación inicial, pero x = –2 no pues: __________ ________ si x = 2 ⇒ √ 2 . 2 + 5 = 2 + 1 ⇔ 3 = 3, si x = –2 ⇒ √2.(– 2) + 5 = –2 + 1 ⇔ 1 = –1 __ Esto se debe a que la expresión √ a = b no es equivalente a la expresión a = b2. Con un valor negativo de b, puede ser cierta una de las igualdades y no la otra. Por ejemplo: __ 9 = (–3)2 pero √ 9 ≠ –3. Por lo tanto, este método de resolución puede usarse, pero teniendo en cuenta que pueden aparecer resultados que no son soluciones y que deben ser descartados. Para evitar ese inconveniente puede plantearse inicialmente la condición que debe cumplir x + 1. En este caso, x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ –1. Así, solo queda por ver que los resultados de la ecuación cumplan la condición; x = 2 la cumple (por eso es solución) y x = –2 no (por eso no lo es). 27 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-27-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 28 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Inecuaciones Inecuaciones lineales Problema 20 Encontrar todos los números que son solución de las siguientes inecuaciones: 2x–1≤2 a. 2x + 3 > 5 b. – __ c. –7 < –4x + 1 ≤ 9 3 Sean a, b y x números reales: x+a<b⇔x<b–a x+a>b⇔x>b–a b a . x < b, a>0 ⇔ x < __ a b a . x < b, a<0 ⇔ x > __ a Para encontrar la solución de la primera inecuación se puede proceder de la siguiente manera: 2x + 3 > 5 ⇔ 2x > 5 – 3 ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 2 : 2 ⇔ x > 1 La inecuación tiene infinitas soluciones, todos los valores de x que verifican x > 1. Para indicar el conjunto solución se puede escribir el intervalo correspondiente S = (1 ; +∞) o representarlos en la recta numérica: (/////////////////////// 1 0 Al resolver la segunda inecuación se obtiene: 9 2 ⇔ x ≥ – __ 2 x ≤ 2 + 1 ⇔ – __ 2 x ≤ 3 ⇔ x ≥ 3 : – __ 2 x – 1 ≤ 2 ⇔ – __ – __ 3 3 3 3 2 ( ) 2 es un número negativo. El cambio del signo de la desigualdad ocurre porque – __ 3 9 __ El conjunto solución es: S = [– ; +∞) y su representación en la recta numérica: 2 [//////////////////////// 9 – __ 2 0 La tercera inecuación es un ejemplo de una inecuación doble. –7 < –4x + 1 ≤ 9 ⇔ –7 < –4x + 1 y –4x + 1 ≤ 9 , quedan por resolver dos inecuaciones: a<x<b⇔a<x y x<b –7 < –4x + 1 y –4x + 1 ≤ 9 –7 – 1 < –4x y –4x ≤ 9 –1 –8 < –4x y –4x ≤ 8 –8 : (–4) > x y x ≥ 8 : (–4) 2>x y x ≥ –2 x<2 y x ≥ –2 Las dos condiciones deben cumplirse en simultáneo porque están conectadas por “y”, por lo que debe realizarse la intersección entre ellas: \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\) [////////////////////// –2 0 2 El conjunto solución es: S = [–2 ; 2) 28 Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-28-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 29 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 Inecuaciones cuadráticas Problema 21 a. ¿Cuáles son los números reales que verifican la inecuación: x2 ≤ 4? b. ¿Cuáles son los números reales que verifican la inecuación: x2 > 3? Existen distintas formas de resolver la primera inecuación. Una forma, es pensar en qué números elevados al cuadrado dan menores o iguales que 4. Estos números deben ser menores que 2, pero también mayores que –2. Entonces S = [–2 ; 2]. Otra forma de hacerlo__es: __ x2 ≤ 4 ⇔ √x2 ≤ √4 ⇔ ⎮x⎮ ≤ 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 2. Luego, S = [–2 ; 2] Los números que elevados __ al cuadrado dan mayores que 3 verifican: __ __ __ __ 2 √ x > 3 ⇔ x2 > √ 3 ⇔ ⎮x⎮ > √3 ⇔ x > √ 3 o x < – √3 __ __ La solución es S = (–∞ ; –√3 ) ∪ (√3 ; +∞). Problema 22 ¿Para qué valores de x se verifica (x + 3).(x – 5) > 0? Como un producto de dos números es positivo cuando ambos números tienen el mismo signo: (x + 3).(x–5) > 0 ⇔ x+3>0 y x–5>0 o x+3<0 y x–5<0 x > –3 y x > 5 o x < –3 y x < 5 (\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ (//////////// –3 \\\) /////////////////) –3 5 5 S1 = (5 ; +∞) S2 = (–∞ ; –3) Luego: S = (–∞ ; –3) ∪ (5 ; +∞). Problema 23 x + 2 < 0? ¿Cuáles son los números que verifican la inecuación: _____ x–4 Como un cociente es negativo cuando el dividendo es positivo y el divisor es negativo x + 2< 0 ⇔ o viceversa: _____ x–4 x+2>0 y x–4<0 o x+2<0 y x–4>0 x > –2 y x < 4 o x < –2 y x > 4 (//////////////////// \\\\\\\\\\\\\\\\\\) o –2 4 S1 = (–2 ; 4) (\\\\\\\\ //////) o –2 La regla de los signos de la multiplicación y de la división puede ser escrita simbólicamente de la siguiente manera: a ∊ ¡ y b ∊ ¡: a . b > 0 ⇔ (a>0 y b>0) o (a<0 y b<0) a . b < 0 ⇔ (a>0 y b<0) o (a<0 y b>0) Si además b ≠ 0: a > 0 ⇔ (a>0 y b>0) o (a<0 y b<0) __ b a < 0 ⇔ (a>0 y b<0) o (a<0 y b>0) __ b Es decir, el producto y el cociente de dos números reales son positivos cuando ambos números tienen el mismo signo y son negativos cuando ambos números tienen distinto signo. 4 S2 = ø Luego: S = (–2 ; 4) 29 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-29-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 30 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 19. Decidan cuál de los siguientes números es mayor: ____ a = √144 – 10 o b = (34 – 43) – (42 – 24). a. Hallen cuatro ternas pitagóricas. Verifiquen que cumplen el Teorema de Pitágoras. b. Encuentren ahora dos ternas pitagóricas que contengan a algún 20. Escriban una fórmula que permita obtener a todos los múltiplos de número irracional. Verifiquen que cumplen el Teorema de Pitágoras. 8. Muestren, usándola, que el número 808 es uno de ellos. 26. Se supone, sin certeza, que los griegos fueron quienes tuvieron los 21. ¿Cuál es el resto de dividir 24 n + 17 por 4? ¿Y por 6? primeros acercamientos con los números irracionales. Ellos hablaron de segmentos inconmensurables (hoy se diría segmentos de longitud 22. Resuelvan las siguientes inecuaciones e indiquen su conjunto solución: irracional). En un diálogo entre Teeteto, amigo de Platón, y Sócrates a. ⎮x⎮ ≤ 10 b. ⎮x⎮ > 2 c. ⎮x⎮ ≥ 3,1 (en la primera mitad del siglo IV a.C.) discutían sobre los números d. ⎮x⎮ < √2 e. ⎮x⎮ < 0 f. ⎮x⎮ ≥ 0 inconmensurables: observaron que distintos pares de números eran g. ⎮x⎮ ≥ –5 h. ⎮x⎮ < –2 i. ⎮x⎮ < 6,1 inconmensurables y que la razón de sus cuadrados podía o no serlo __ (aclaración: la razón entre dos números es el cociente entre ellos). ______ __ ______ __ 23. La escuela pitagórica estuvo compuesta por un grupo de a. √1 + √3 y √1 + √5 son irracionales. ¿Cómo es la razón de sus matemáticos griegos liderados por Pitágoras (siglo V a.C.). Se atribuye cuadrados? a ellos la clasificación de los números naturales (mayores que 1) en b. √3 y √5 también son irracionales. ¿Cómo es la razón de sus cuadrados? __ __ perfectos, abundantes y deficientes. A cada número se le calcula la suma de sus divisores positivos (sin contarlo a él). El número es perfecto 27. Escriban una fórmula que genere a todos los números enteros que cuando la suma de esos divisores coincide con él, es deficiente cuando tienen resto 3 al dividirlos por 4. Justifiquen, usando la fórmula, que 75 es menor que él y es abundante cuando es mayor que él. tiene resto 3 al dividirlo por 4 y que 53, no. a. Clasifiquen a los siguientes números naturales: 4, 6 y 36. b. Hallen los dos primeros números naturales que sean perfectos. 28. Propongan tres pares de números a y b que cumplan que entre ambos haya 36 números enteros y a y b sean ... 24. Los pitagóricos también estudiaron a aquellos pares de números I. positivos. II. negativos. contarlo a él mismo) coincide con el otro y viceversa. Llamaron amigos a estos pares de números. III. uno positivo y otro negativo. naturales en los que la suma de los divisores positivos de uno (sin 29. Hallen dos números racionales y dos irracionales que estén entre: __ __ 3 y 0,37 7 y __ 7 c. ___ b. √3 y √6 a. __ 10 9 8 a. 12 y 15 no son números amigos. Verifíquenlo. b. 220 y 284 son números amigos. Prueben esta afirmación. 30. En una calculadora se dividieron dos números enteros. En la c. Thabit Ibn-Qurra (siglo IX) fue un matemático árabe, que se ocupó pantalla apareció escrito: 6,618025751. El cociente entre los dos de realizar traducciones del griego y del sirio. Al traducir una de las números elegidos, ¿es racional o irracional? Justifiquen. obras de los pitagóricos, realizó un aporte valioso: halló una forma de generar pares de números amigos, que es la siguiente. 31. Las siguientes afirmaciones son falsas. Justifíquenlas. Si p, q y r son números primos positivos tales que p = 3 . 2n – 1, a. Cualquiera sea a ∊ ¡, el número –a es negativo. q = 3 . 2n – 1 – 1 y r = 9 . 22n – 1 – 1 (con n ε ¥ y n > 1), entonces los números x = 2n . p . q e y = 2n . r son pares de números amigos. b. Cualquiera sea a ∊ ¡, el número (–a)2 es negativo. __ 2 1 c. Si a = –√6 , el número __ a – a es irracional. ( ) Muestren que el par de números amigos indicados en b. son el menor __ posible y encuentren el próximo par de amigos. 32. Hallen el valor de la expresión –x2 + 3x – 1 cuando x = 2 + √5 . 25. Los pitagóricos propusieron una forma de obtener ternas de 33. Indiquen el conjunto solución de las siguientes ecuaciones e valores enteros que cumplan el que hoy se conoce como Teorema de inecuaciones: 4 = –1 a. 3 + ____ x+3 d. ⎮x⎮ ≥ 9 1 – 3x ≥ –2 g. _____ 4 j. x2 + 6 ≥ 0 Pitágoras. Sin embargo, esta versión parece una modificación de lo que ya conocían los babilonios, por lo que es posible que no sea un aporte totalmente original de los griegos. Las ternas propuestas tienen la p2 – 1 p2 + 1 forma p, _____ y _____ , siendo p un natural impar mayor que 1. 2 2 30 b. (–2x + 1) . (x – 5) . x = 0 ______ e. √x2 + 5x = x h. –2 (x + 5) > – x +3 –3x + 4 > –5 c. ______ 2 f. 4 + (x + 2)2 = 13 2x – 4 < –3 i. _____ x–1 Capítulo 1. Números Reales. Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-30-MAT-9* NIP: 222503 - Pág.: 31 - MAT M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 AUTOEVALUACIÓN Elijan, en cada caso, las alternativas correctas: a Cualquiera sea el valor real de x. b Solo cuando x es mayor o igual que 0. c Solo cuando x es menor que 0. d Solo cuando x es entero. 1. A. x = 4 es una solución de la ecuación x2 – 16 a x–4 =0 ______ b ______ = 0 c 1=4 __ d 1 =0 _____ x2 – 16 x x+4 __ 5. La expresión √x2 está definida: x–4 B. Una ecuación cuya solución es S = ø es ... 1 =5 __ a x 1 =0 __ x c a = 0 es equivalente a ... C. __ b a=0yb=0 a a≠0y b=0 c __ b 1 = √2 __ x d Ninguna de las anteriores. a Cualquiera sea el valor real de x. b Solo cuando x es mayor o igual que 0. c Solo cuando x es menor que 0. d Solo cuando x es entero. 6. Cualquier número irracional elevado al cuadrado da por b a=0yb≠0 d a≠0yb≠0 resultado un número: a Entero. b Racional. c Irracional. d Real. D. Una ecuación que tiene solución en ¢ es ... 1 x2 = __ 4 x2 = 5 a c b x3 = 8 d x4 = –1 7. Entre 4,51 y 4,52 ... 2. Las afirmaciones verdaderas son: __ __ 2 a No hay números racionales. b No hay números irracionales. c Hay infinitos números irracionales. d Hay números enteros. Cualquiera sea el número real x, se cumple que √x2 = (√x ) . a __ Existen números reales para los cuales la expresión √x2 no b está definida. 6 – x = 0 es … 8. El conjunto solución de la ecuación ______ 36 – x2 {6} {–6} a b Cualquier número irracional elevado al cuadrado da por c c resultado un número racional. {6 ; –6} d ø Hay ecuaciones que no tienen solución en el campo de los d –2x < 0 es: 9. El conjunto solución de la inecuación _____ x–1 números reales. e Existen números racionales que son enteros. f El siguiente de 2,3 es 2,4. 3. El único número que cumple simultáneamente las siguientes a (–∞ ; 0) ∪ (1 ; +∞) b (1 ; +∞) c (0 ; +∞) d (0 ; 1) 10. Una solución de la ecuación 4x + (x–2)2 = 11 es: condiciones: es primo, pertenece al intervalo (–80 ; –70), la suma de las cifras de su módulo es un cuadrado perfecto, es: a –77 b –73 c –71 d –79 __ __ 4. √x2 = (√x )2 a c __ 1 √7 __ 2 __ –2√7 __ b –√7 d 2√7 __ 3 y 2x2 + 8 < 16 es: 11. Una solución común a las inecuaciones ⎮x⎮ ≥ __ 2 a 2 b c –2 d 7 – __ 4 __ –√2 31 Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123 e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar *0000-222503-31-MAT-9*