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CAPÍTULO V I I I
41
LOGARITMOS
Introducción
Si bien la importancia práctica de los logaritmos ha disminuido mucho en
los últimos años con la introducción de las calculadoras electrónicas,
consideramos oportuno un repaso de los mismos - o estudio, según los casos para el futuro ingeniero. Incidiremos más en el aspecto práctico que en el rigor
teórico, pretendiendo que se resuelvan problemas de trigonometría con ayuda
de las ta blas logarítmicas.
Definición
Log aritmo de un número
hay que elevar
b
para obtener
n
b
en base
(b > 1), es el exponente a que
n:
n = b l o gbn
La base
b
suele ser el número 10 (el logaritmo se llama enton ces
logaritmo decimal, y lo repres entaremos por log n); o el número e = 2,7182, y
entonces el logaritmo se llama natural o neperiano; lo representaremos por 1n
n).
Admitiremos, sin demostrarlo, que log x es una función conti nua de x y
creciente, para todo x > 0.
Corolarios
1)
El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base. Porque bº = 1.
2)
El logaritmo de la base es 1. Porque b 1 = b.
3)
El logaritmo de un número mayor que 1 es positivo, y el logaritmo de
un número menor que 1 es negativo.
Porque: b +K > bº = 1.
b -K =
1
b
4)
<
k
1
=1
bº
Los números negativos no tienen logaritmo; dado que dicho
logaritmo no puede ser positivo ni negativo.
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Logaritmos Notables
log 10
= 1
log 100
= 2
log 1000 =
3
..........................
log 1 =
0
log 0.1
=-1
log 0.01
=-2
log 0.001 = - 3
............................
log 10n
log 10-n
=
n
1
= log
10 n
= -n
Característica y mantisa
Si exceptuamos aquellos números que son potencias de 10, el logaritmo no será un
número entero, sino que constará de una parte entera, llamada característica, y una parte
decimal llamada mantisa.
Ejemplo: el logaritmo de 200 estará comprendido entre el de 100, o sea 2,
y el de 1000, o sea 3. Será pues 2 más algo. En ese caso, log
200 = 2.301030; cuya característica es 2, y cuya mantisa es
0.301030.
Característica del logaritmo de un número mayor que 1
Sea N un número de n cifras enteras (antes del punto decimal), siendo n > 1. Se
cumple que:
10n-1 < N < 10n
por tanto su logaritmo está comprendido entre n - 1 y n; tiene una parte entera n-1. Luego
se justifica la siguiente Regla: La característica del logaritmo decimal de un número
mayor que 1, es igual al número de cifras que tiene a la izquierda del punto decimal,
menos 1.
Ejemplo: Característica de log 3 = 0
30 = 1
300 = 2
Convenio
Para operar con comodidad con logaritmos, convenimos en que la mantisa será
siempre positiva, a menos que se indique lo contrario. Y cuando no lo sea, se modificará la
característica y la mantisa para cambiar esta última a positiva.
43
Una característica negativa seguida de una mantisa positiva se
indicará con el signo - encima de la característica.
Ejemplo: supongamos el log 0.02 = - 1.698970; le restamos 1 a la
característica, pasándola a - 2, y le sumamos 1 a la mantisa,
que queda:
1 - 0.698970 = 0.301030.
El resultado lo indicamos así:
lo g 0.02 = 2 .301030
valor equivalente al que teníamos antes, pero con mantisa
positiva.
Características del logaritmo decimal de un número menor que 1
Sea un número menor que 1 que tiene
n
ceros a la izquierda antes de
la primera cifra significativa:
y tomando logaritmos en esas desigualdades:
- n < log x < - n + 1
Por consiguiente, log x es un número negativo, con parte en tera – n + 1 ;
y si pasamos la mantisa a un valor positivo, de acuerdo al convenio, debemos
a ún restar uno a la característica, la cual queda - n; ó
n.
Regla: La característica del logaritmo decimal de un número menor que
1 es igual al n úmero de ceros antes de la primera cifra significativa (incluyendo
el cero anterior al punto decimal) con signo negativo.
Eje mp lo:
característica
de
log
0.02
=
2
Logaritmo de un Producto
Teorema VIII-1: El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos
de los factores.
44
Dem.:
identificando los exponentes en la última igualdad:
log(m x n) = log m + log n.
Logaritmo de un Cociente
Teorema VIII - 2: El logaritmo de un cociente es la diferencia de
logaritmos del dividendo y del divisor,
Dem.:
D
=c
D = d xc
d
y por el teorema anterior:
-log D = lo g d + log c
log c = log D - log d
Logaritmo d e u n a Potencia
Teorema V III-3: El logaritmo de una potencia es igu al al exponente
multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia .
De.: y = m
n
= (b
log m
)
n
b
n log m
=b
log y
-identificando exponentes:
log
b
y = n log
b
m
lqqd
Logaritmo de una Raíz
Teorema VIII - 4: El logaritmo de una raíz es igual al logarit mo del
radicando dividido por el índice de la raíz.
45
Cologaritmo
Cologaritmo de un número es el opuesto a su logaritmo:
col a = - log a
Se conviene, para facilidad del cálculo, en usar el cologaritmo siempre
con parte decimal (o mantisa) positiva. Para ello, su pongamos que tenemos
un logaritmo:
log 200 = 2.301030
col 200 = - 2.301030 = - 2 - 1 + 1 - 0.301030 =
col 200 = 3.698970
Las operaciones hechas permiten enunciar la siguiente Regla:
Para hallar el cologaritmo, se cambia de signo a la característica y se le
añade - 1. Se res tan las cifras de la mantisa de 9, exc e pto la última
significativa a la derecha, que se resta de 10.
Corolario
Restar un logaritmo es lo mismo que sumar el cologaritmo.
Teorema VIII- 5: El cologaritmo de un número es el logaritmo del
recíproco de dicho número
Dem.:
log
1
= log 1 - log a = - log a = col a
lqqd.
a
n
Teorema VIII-6: Si se multiplica un número por 10 , siendo n entero, la
mantisa de su logaritmo decimal no varía.
Sea a un número.
log (a x 10 n ) = log a + n
como n es entero la mantisa de log (a10 n ) y la de log a serán idénticas.
Ejemplo: log 2
= 0.301030
log 200 = 2.301030
log 0.02 = 2 .301030
Función Antilogaritmo
Es la función inversa de la función logaritmo. Así antilog (log x) = x.
46
Uso de los Logaritmos en Trigonometría
Las tablas de logaritmos deben incluir, para ser usadas en cálculos
trigonométricos, tablas de logaritmos de senos, cosenos y tangentes.
Es conveniente aprender a manejarlas, usando la interpolación
lineal para mayor aproximación. Las tablas existentes suelen inclui r
ciertas facilidades para la interpolación lineal, cuyo uso debe aprenderse
en las mismas tablas concretas que se usen.
La ventaja de los logaritmos para el cálculo de fórmulas que
consistan en productos, cocientes, potencias y raíces estriba en que los
productos se transforman en sumas, los cocientes en restas, las
potencias en multiplicaciones por el exponente y las raíces en divisiones
por el índice de la raíz.
El mecanismo es análogo al de la resolución de problemas gráficos
mediante transformaciones (Ver "Apuntes de Geometría", cap. VII), Allí
podíamos resolver un problema mediante 3 etapas: transformar, resolver,
invertir la transformación.
En una fórmula apropiada para el cálculo logarítmico, primero
transformamos los números en sus logaritmos (o en los logaritmos de sus
funciones trigonométricas: resolvemos la fórmula en el dominio de los
logaritmos; y, finalmente, invertimos la transformación, pasando los
logaritmos a sus antilogaritmos (o a los ángulos oportunos).
En algunas tablas, como en las de Allen -Baldor, suman 10 a la
característica del logaritmo de las funciones trigonométricas, para no
usar características negativas. Mediante el uso del cologaritmo, se puede
conservar el ve rdadero valor de la mantisa sin p roblemas.
Ejemplo 1
Resolver un triángulo conociendo
A = 29º13' 28"
B = 5 3º 25' 12"
c = 37.446 metros.
Resolución:
senA senB senC
=
=
; A + B + C = 180º
a
b
c
C = 180º- (A + B) = 97º 21' 20"
log a = log c + log sen A + col sen C.
47
log
c = 1.573406
log sen A = 1 .688626
c o l s e n C = 0.003589
log a = 1.265621
a = 18.4341.m
log b = log c + log s e n B + c o l s e n C
log b = 1.481725
Ejemplo 2
b = 30.3 197 m
Resolver un triángulo conociendo
a = 1.342 Km.
b = 1.543 Km.
C = 8 7º 14' 15"
A+ B
C
= 90º − = 46°22' 52" 5
2
2
B− A b−a
C
tg
=
cot
2
b+a
2
B− A
C
log tg
= log(b − a ) + col(b + a ) + coltg
2
2
log( b − a ) = 1.303196
Resolución:
col (b + a ) = 1.539854
c
coltg = 0.020947
2
B− A
B− A
log tg
= 2.863997
= 4º10'54' '
2
2
A+ B A− B
sumando y restando
y
2
2
B = 50º33'46''.5
A = 42º11'58''.5=
A p l i c ando ahora al teorema de los senos:
log c = log a + log sen C + col sen A
48
log a = 0 .188366
log sen C = 1 .999495
col sen A = 0.112201
log c = 0.300062
Ejemplo 3
c = 1.9956 Km.
Resolver un triángulo conociendo
a = 18.434 m
b = 30.3195 m
A = 29º 13' 28"
Resolución:
log sen B = log sen A + log b + col a
log sen A = 1 .688626
log b
= 1.481722
col a
= 2 .734381
log sen B = 1 .904729
B1 = 53º 25' 11".6
B2 = 126° 34'.48".4
El ángulo B 1 corresponde a la solución 1, tal que
C 1 = 180º - (A + B1 ) = 97º 21' 20'' .4
cuyo seno será el mismo que el de A + B 1 = 82º 38' 3 9".6
log c 1 = log a + log sen C1 + col sen A
log c 1 = 1.573404
c1 = 37.4458 m
La solución 2 tiene C2 = 180 - (A + B2 ) = 24º 11' 43".6
log c 2 = log a + log sen C2 + col sen A
log c 2 = 1.189618
c2 = 15.4745 m
las 2 soluciones son, pues
B 1 = 53º 25' 11".6
B 2 = 126 º 34' 48".4
C 1 = 97º 21’20’’4
C 2 = 24º 11' 43".6
C 1 = 37.4458
C 2 = 15.4745 m.
49
Ejemplo 4 Resolver un triángulo conociendo
a = 36.8 68 m
b = 60.640 m
c = 30.95 m
resolución:
A
( p − b)( p − c)
=
2
p( p − a )
a +b +c
p=
= 64.229 m
2
tg
log (p - b) = 0.554973
log (p – c) = 1.522171
col p
= 2. 192269
col (p - a)
= 2. 562869
2.832282
log tg
A
2
=
x1
2
1.416181
A
= 14º 36'42' '.5
2
A = 29º13'25''
y de la misma forma:
B = 126º34'52''
C = 24º11'43''
Ejemplo 5 Desarrollar fórmulas para resolver, usando logaritmos, un
triángulo del que se conocen: A, B y a + b + c.
Resolución:
senA senB senC senA+ senB + senC
=
=
=
a
b
c
a +b +c
C = 180º- (A + B)
sen A + sen B + sen C = sen A + sen B + sen (18 0º - A - B) =
= sen A + sen B + sen (A + B) = 2 sen
A+ B
A− B
cos
+
2
2
+ 2sen
A+ B
A+ B
A+ B
A
B
cos
= 2sen
X 2 cos cos =
2
2
2
2
2
= 4 cos
A
B
C
cos cos
2
2
2
50
b = (a + b + c) sen B
a =(a + b + c) sen A
4 cos
A
B
C
cos cos
2
2
2
4 cos
A
B
C
cos cos
2
2
2
c = ( a + b + c) sen C
4 cos
A
B
C
cos cos
2
2
2
Logaritmos del Seno y la Tangente de ángulos pequeños
Cuando los ángulos son pequeños (menores de 2 º), los logaritmos del
seno y la tangente se hacen números negativos de gran valor absoluto; y
para un ángulo 0 º v a l e n infinito negativo. Ello causa que la interpolación
lineal sea poco exacta o irrealizable.
Por ello, en las tablas de logaritmos, se añaden las columnas S y T que
permiten una interpolación razonable. El fundamento del método está en los
siguientes teoremas:
Teorema VIII- 7: El límite, cuando x tiende a cero, de
tgx
es 1 (siendo x un
x
senx
x
y de
ángulo expresado en radianes).
Sea la circunferencia trigonométrica y un ángulo pequeño x.
AE
sen x; AF = 2 sen x; arco AD = x; arco ADF = 2x; como el arco ADF es
mayor que el segmento AF, podemos escribir:
sen x < x
BD = tg x; CB = BD; CB + BD = 2 tg x; arco CAD = 2x; y siendo la quebrada
convexa envolvente mayor que la convexa envuelta, podemos escribir:
51
x < tg x
o sea
sen x < x < tg x
dividiendo esta desigualdad por sen x:
1〈
x
1
〈
;
senx cos x
dividiendo la misma desigualdad por tg x:
cos x〈
x
〈1
tgx
tomando límites en las dos últ imas desigualdades, cuando x
0:
y el límite de las fracciones inversas será también 1.
Siendo = y = el ángulo pequeño en segundos, se tabula
S = log
senx
y
y T = log
tgx
las
y
cuales no tienden a infinito negativo,
sino a un valor concreto:
senx senx x
=
x
y
x
y
x
=
y
log
radianes que tiene un segundo =
2π
360 x60 x60
senx
senx
2π
= log
+ log
=S
y
x
360 x60 x60
o sea: log sen x = S + log y
lo que indica que buscando S y sumándole el logaritmo del números de
segundos , se obtiene log sen x; análogamente:
log tg x = T + log y
Como S y T apenas varían, ni siquiera es necesario hacer in terpolación
lineal. Las tablas S y T pueden usarse igualmente para la función inversa, o
sea, para calcular el ángulo a partir del logaritmo del seno o de la tangente.
52
Papel Logarítmico
Una aplicación importante de los logaritmos e s la llamada "es cala
logarítmica".
Hemos visto que podemos representar números sobre una recta,
haciendo corresponder a cada punto el valor de su abscisa (o un valor
proporcional):
Esta representación se dice que está a "escala natural".
Cuando la abscisa correspondiente a cada número se toma proporcional al logaritmo de ese número, la representación se llama "en escala
logarítmica", cuyo aspecto es aproximadamente así:
Un pagel cuadriculado (de venta en el comercio) puede tener:
x
-
escalas en
e = y= naturales
-
una de las dos natural y la otra logarítmica (papel semilo garítmico)
las dos escalas logarítmicas (papel logarítmico o log - log).
53
En el
primer
tipo
de
papel,
una
y = mx + n, tiene como representación una recta.
ecuación
lineal como
En el papel semilogarítmico, si por ejemplo y = K log u, x = v,
la ecuación
y = mx + n
equivale a la:
MV
K log u = mv + n
u = N
luego: en papel semilogarítmico,
representación gráfica una recta.
la
función
En papel log - log, si
y = K log u ;
y = mx + n representa la ecuación:
K log u = m K log v + n
exponencial
x = K
tiene
log v ,
la
como
recta
u = Nvm
luego: en papel logarítmico, la función potencial tiene como representación
una recta.
54
Ejercicios propuestos
Usando logaritmos, resuelva los triángulos siguientes:
1. a = 3.80 m; b = 4.75 m; C = 90 º
(R: c = 6.08291 m;
A = 38 º 39' 35".2; B = 51 º 20' 24".8).
2. A = 109 º 15' 18"; B = 28 º 54' 36"; a - b = 42.3675 m
(R: a = 86.8330 m; b = 44.4655 m; c = 61.3483 m;
C = 41 º 50' 6").
3. a = 2,470 m; b = 614 m; c = 3,000 m.
(R: A = 27º 13' 3"; B = 6° 31' 42"; C = 146º 15' 15")
4. b = 2,432 m; c = 1 m; A = 90º
(R: a = 2432 m; B = 1'24".8; C = 89º 58' 35’’ .2 )
5. a = 15.2 cm; b = 20.75 cm; C = 63 º 20'
(R: A = 44 º 16' 53"; B = 72 º 24' 7"; C = 19.455 m.)
Hallar, usando las tablas, las funciones siguientes y compararlas con el valor
del arco en radianes:
6. sen 5º 45'
(R: 0.100188 y 0.100356 ).
7. tg 5º 45'
(R: 0.100695 y 0.100356).
8. sen 35'
(R: 0.010181 y 0.010181).
9. tg 35'
(R: 0.010181 y 0.010181).
10. ¿A qué distancia de nuestra vista tenemos que colocar una moneda
de diámetro 2 cm., para que tape exactamente la imagen de la Luna? (Diámetro
aparente de la Luna, 31'; substituya el seno y la tangente por el arco).