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Índice:
Competencia I…………………………………………………………………………………………………………………………..15
Saberes
1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana
2. Tipos de líneas y ángulos
3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante
Ejemplos
1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones
2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas
Ejercicios
1. Poniendo letras y números en su lugar
2. Ángulos por todas partes
3. Ángulos entre paralelas
Competencia II…………………………………………………………………………………………………………………………..42
Saberes
1. Generalidades de los Triángulos
2. Teoremas de importancia en los Triángulos
Ejemplos
1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes
2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y
Pitágoras
Ejercicios
1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos
2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras
Competencia III……………………………………………………………………………………………………….………………..68
Saberes
1. Generalidades de los polígonos
2. Circunferencia y círculo
3.Área y volumen de figuras geométricas
Ejemplos
1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos
2. Practicando con las circunferencias
3. Practicando con áreas y volúmenes
Ejercicios
1. Miscelánea de ejercicios con polígonos
2. Miscelánea de ejercicios con circunferencias
3. A calcular áreas y volúmenes
Competencia IV………………………………………………………………………………………………………………………..103
Saberes
1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo
2. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones
3. Triángulos oblicuángulos
4. Identidades trigonométricas
Ejemplos
1. Practicando con las funciones trigonométricas
2. A resolver y aplicar los triángulos rectángulos
3. Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos
4. Identidades trigonométricas
Ejercicios
1. Ejercitándose con las funciones trigonométricas
2. Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos
3. Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos
4. Ejercitándose con las identidades trigonométricas
Competencia V………………………………………………………………………………………………………………………..150
Saberes
1. Ecuaciones Trigonométricas
2. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
Ejemplos
1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas
2. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Ejercicios
1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas
2. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Competencia
•
•
Explicar los conceptos básicos de la Geometría Euclidiana.
Utilizar los distintos tipos de líneas, rectas, ángulos y pares de
ángulos para la resolución de problemas prácticos.
Saberes
1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana.
2. Tipos de líneas y ángulos.
3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante.
Ejemplos
1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones.
2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas.
Ejercicios
1.
2.
3.
Poniendo letras y números en su lugar.
Ángulos por todas partes
Ángulos entre paralelas.
15
1

ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Emplea el lenguaje de la notación
matemática para representar la
simbología de un punto, líneas rectas,
semirrectas, segmentos de recta,
rectas perpendiculares y paralelas y
ángulos.

Argumenta la naturaleza de las
matemáticas como una herramienta
para interpretar un axioma, postulado,
lema, teorema, corolario,
razonamiento deductivo e inductivo.
Maneja los conceptos y valores de

los ángulos agudos, obtusos, rectos,
llanos, ángulos complementarios y
suplementarios.

Domina el algoritmo para
convertir de grados a radianes y
viceversa.
Aplica principios algebraicos y

aritméticos para encontrar distintos
tipos de ángulos en situaciones
diversas.

Elije la estrategia aritmética o
algebraica más conveniente, para la
resolución de un problema dado en
donde intervienen ángulos formados
por rectas paralelas.
Domina los conceptos fundamentales de la
Geometría Euclidiana, así como aplica
principios algebraicos y aritméticos para
resolver problemas de geometría plana en
diversas situaciones.
16
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Saberes a adquirir
Conceptos básicos de la geometría Euclidiana
No. 1
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Conceptos de punto,
línea, superficie,
plano, proposición,
axioma, postulado,
definición, lema,
teorema corolario,
razonamiento
deductivo e inductivo.
Manera didáctica de
lograrlos
Mediante exposición y
tareas
Punto. El concepto de punto es difícil de definir. Nos lo podemos imaginar como la huella que
dejaría la punta infinitamente afilada de un lápiz. Hay que imaginarlo tan pequeño que carezca de
dimensiones; es decir, que no posea longitud, ni ancho, ni fondo.
Los puntos se designan con una letra mayúscula y se representan con un círculo pequeño o una
cruz, como se puede observar en las siguientes figuras:
A • “ Se lee punto A”
B
“Se lee punto B”
Línea. Es un concepto matemático que tiene distintas acepciones. Podemos definirla como la
"huella" que deja el desplazamiento de un punto, como el borde o limite de una superficie o como
la intersección de dos superficies. La línea posee solo una dimensión: la longitud.
Línea recta
Línea curva
Superficie. Para la geometría, la superficie es una extensión en la que solo se consideran dos
dimensiones, el ancho y el largo. Por lo tanto se dice que la superficie es una variedad
bidimensional.
Algunos ejemplos pueden ser una sombra, la cara de un cuerpo geométrico (la pantalla de la
televisión) o las paredes de una habitación (Véanse las figuras).
17
Superficies
Plano. El plano, en geometría, es una superficie plana que contiene infinitos puntos y rectas (o sea
que se le pueden trazar un infinito de rectas por los puntos que lo forman), es uno de los entes
geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Se dice que un plano se extiende hacia el
infinito.
♦ PROPOSICIÓN, AXIOMA, POSTULADO, DEFINICIÓN, LEMA, TEOREMA Y COROLARIO
Proposición matemática. Es un enunciado verdadero. Las proposiciones matemáticas se clasifican
en axiomas, postulados, teoremas, corolarios y lemas.
Axioma. Es una proposición de la cual hemos aceptado que su significado es verdadero, sin
necesidad de demostrarse. Ejemplos:
1) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual.
2) Si a cantidades iguales se agregan o se quitan cantidades iguales, los resultados son
iguales.
3) El todo es igual a la suma de sus partes.
Postulado. En la actualidad se utilizan de manera indistinta las proposiciones, axiomas y
postulados, cuyo significado hemos aceptado que es verdadero, sin embargo, es conveniente
señalar que en matemáticas el axioma tiene aplicación general mientras que el postulado se aplica
de manera particular, es decir, el axioma: el todo es mayor que cualquiera de sus partes, se puede
aplicar en matemáticas de manera general; mientras el postulado: dos puntos determinan una
recta y solo una, tiene aplicación en matemáticas de manera particular, en este caso en geometría.
Ejemplos:
1. La recta es la distancia más corta entre dos puntos.
2. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma y dimensiones.
3. El punto medio de un segmento de recta es único.
18
Definición. Es una proposición que implica casi siempre una descripción o convención de algo.
Ejemplos:
1. Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados de uno son prolongaciones
de los lados del otro.
2. Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos.
3. Dos ángulos que suman
son complementarios.
Lema. Es una proposición que se establece y demuestra previo a la demostración de un teorema.
Se puede decir que un lema es un teorema a partir del cual se facilita la demostración de otros
teoremas.
Teorema. Es una proposición sujeta a demostración, la cual se apoya en axiomas y lemas para su
desarrollo. Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos, es decir 180°.
Los lados opuestos por un paralelogramo son iguales.
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a él.
Corolario. Es una proposición cuya validez se desprende de la validez de un teorema y, donde su
demostración requiere un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno.
Del teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° se obtiene:
Corolario 1: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90°.
Corolario 2: Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos del otro, el
tercer ángulo de uno es igual al tercer ángulo del otro.
Razonamiento deductivo. Para realizar la demostración de proposiciones geométricas se utiliza el
método deductivo, el cual consiste en el encadenamiento de conocimientos que se suponen que
son verdaderos (axiomas y postulados) de tal manera que se obtengan nuevos conocimientos.
El razonamiento deductivo, aplicado a la demostración del conocimiento matemático, es una
herramienta muy importante, ya que la aceptación de una proposición como verdadera no puede
basarse en la experimentación, pues ésta depende de las condiciones particulares en las que se
realice; tampoco se puede basar en la observación, a causa de que la vista resulta engañosa; ni en
la medición, porque el resultado de ella está ligado a la pericia de quien mide y a la precisión del
instrumento utilizado.
19
A continuación se presenta un esquema de los elementos que integran la demostración geométrica:
TEO REM A
D E M O S T R A C IO N G E O M E T R IC A
F IG U R A
H IP O T E S IS
Ilu s tra la
p ro p o s ic ió n
que se desea
d e m o s tra r.
S u p u e s to s q u e
s e a c e p ta n
com o
v e rd a d e ro s y
q u e s irv e n
com o base
p ara el
ra z o n a m ie n to .
T E S IS
R A Z O N A M IE N T O
E s lo q u e s e
desea
d e m o s tra r.
C O N C L U S IO N
C o n ju n to d e
a firm a c io n e s y
ra z o n e s o rd e n a d a s
ló g ic a m e n te y q u e
re la c io n a n d o la
h ip ó te s is c o n la
te s is , p e r m ite n la
d e d u c c ió n d e lo q u e
s e q u ie re d e m o s tra r.
T e s is o
p ro p o s ic ió n
d e d u c id a
m e d ia n te
ra z o n a m ie n to .
Razonamiento inductivo
El razonamiento es el proceso mediante el cual se sacan conclusiones a partir de la información. En
ocasiones, la gente saca conclusiones basadas en sus propias observaciones. Al observar varias veces que
una acción produce el mismo resultado, se concluye, en general, que esa acción tendrá siempre el mismo
resultado. A esta clase de razonamiento se le llama razonamiento inductivo. Y a la conclusión que se saca del
razonamiento inductivo se le llama generalización. Ejemplo:
Supóngase que alguien cortó, de una hoja de papel, tres triángulos diferentes:
2
1
2
3
2
1
3
1
3
Las esquinas de cada triángulo se cortaron y colocaron juntas tal como se muestran a continuación:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
¿Qué se observa acerca de la suma de las medidas de los ángulos?, ¿Es cierto para todos los triángulos? Por
lo tanto la generalización será:
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, siempre da 180˚
20
Ejercicios
Nombre
Instrucciones para
el alumno
Actitudes a formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera didácticas
de lograrlas
Poniendo letras y números en su lugar
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu profesor.
Responsabilidad
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
de lograrlas
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas ó dudas.
1.
Examinar las proposiciones siguientes e identificar con una A si es axioma, una P si es postulado, una D si es
definición o una T si es teorema:
•
•
•
•
•
•
•
Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales los resultados son iguales. ( )
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. ( )
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de
los cuadrados construidos sobre los catetos. ( )
Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( )
Todo número es igual a sí mismo. ( )
Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales. ( )
Dos ángulos que suman
son suplementarios. ( )
•
•
•
•
•
Dado un segmento, hay un punto y sólo uno que lo divide en dos partes iguales. ( )
En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. ( )
Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son iguales. ( )
Mediatriz de un segmento es la perpendicular trazada en su punto medio. ( )
Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro del círculo. ( )
2.
Indicar de que teorema es consecuencia inmediata cada corolario (un teorema puede tener más de un corolario).
Teorema:
a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. (
)
b) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. (
)
c) En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. (
)
Corolario:
1.
2.
3.
4.
Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un obtuso.
Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales.
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°.
Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus catetos.
21
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Saberes a adquirir
Tipos de líneas y ángulos
No. 2
Analiza la información que se presenta en este apartado, y aplica tus
principios aritméticos y algebraicos para representar ideas.
Tipos de líneas:
Revisando la
Rectas, semirrectas,
información,
segmentos de recta,
Manera didáctica de realizando tareas y
rectas paralelas,
lograrlos
participando
perpendiculares y
activamente en el
oblicuas.
grupo.
RECTA. La línea recta se representa con una figura como la siguiente:
A
B
El símbolo
se lee “recta AB”.
Las puntas de flecha indican que la figura se puede prolongar en ambos sentidos tanto como se
quiera.
La línea recta también se puede designar con una sola letra minúscula.
m
El símbolo
se lee “recta m”
SEMIRRECTA O RAYO. Una semirrecta se representa con una figura como la siguiente:
O
A
El símbolo
se lee “rayo OA”
La figura indica que el rayo tiene su rigen en O, pasa por A en línea recta y se prolonga
indefinidamente como indica la flecha.
SEGMENTO DE RECTA. Un segmento de recta, o simplemente, un segmento se representa con una
figura como la siguiente:
m
El símbolo
se lee “segmento AB".
También
22
se lee “segmento m”
♦TIPOS DE LÍNEAS
Según la posición de una recta con respecto a otra, dos rectas pueden ser: perpendiculares,
paralelas y oblicuas.
Rectas perpendiculares. Si dos rectas al cruzarse formas ángulos rectos, se dice que son
perpendiculares entre sí.
C
B
A
D
Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera AB ⊥ CD.
Rectas paralelas. Dos líneas rectas son paralelas, si se prolongan indefinidamente y nunca se
cruzan. Las rectas paralelas se representan por un par de rayas verticales
A
||.
B
Se lee “ AB paralela a CD”
C
D
Rectas oblicuas. Dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos se llaman oblicuas, como se
muestra en la figura:
23
♦ ÁNGULOS
Definición de ángulo: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos semirrectas o
rayos que parten de un punto común llamado vértice y las semirrectas o rayos reciben el nombre
de lados del ángulo.
Nomenclatura del ángulo: Para nombrar un ángulo se puede utilizar cualquiera de las formas
siguientes:
Formas de notación:
a)
o
se lee “ángulo a”
b) ∡B
o
se lee “ángulo B”
c) ∡ABC
d) ∡CBA
e)
se lee “ángulo ABC”
se lee “ángulo CBA”
Cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, el uso de una sola letra mayúscula
para referirse a uno de ellos crea confusión, por ello, debe utilizarse la notación con tres letras
mayúsculas, en la cual la letra del vértice va en medio.
Ejemplo:
En esta figura, es mejor denotar los tres ángulos
posibles de la siguiente manera:
∡ABC
∡ABD
∡DBC
24
Ángulo Agudo
Ángulo Recto
Ángulo Obtuso
Es aquél cuya magnitud es Es aquél cuya magnitud es igual Es aquél cuya magnitud es mayor que
menor que 90º
a 90º
90º
Ángulo Nulo
Ángulo Llano
Ángulo Cóncavo
Es aquél cuya
Es aquél cuya magnitud es
Es aquél cuya
magnitud es igual a mayor que 180º pero menor
magnitud es igual a 0º
180º
que 360º
Ángulo Perigonal
Es aquél cuya magnitud
es igual a 360º
Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes
iguales.
La semirrecta VP es la bisectriz del
ángulo ∡MVN
25
PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos
adyacentes
Son ángulos que tienen un lado
común y el mismo vértice.
BAC es adyacente con
Ángulos
opuestos por el
vértice
DAC
- Dos líneas que se intersectan generan
ángulos opuestos por el vértice. – Los
ángulos opuestos por el vértice son iguales.
1=
2y
3=
4
- Es un tipo especial de ángulo adyacente
cuya particularidad es que suman 90°.
Ángulos
Ángulos
complementarios
El BAC es adyacente al
viceversa.
DAC y
- Es un tipo especial de ángulo adyacente
cuya particularidad es que suman 180°.
Ángulos
suplementarios
El BAC es adyacente al
viceversa.
DAC y
26
♦ UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Medidas de ángulos. La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la
apertura o separación que hay entre ellos, es decir, que dependen de la amplitud o separación
que hay entre las dos rectas que lo forman.
Medir un ángulo, es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón, los
cuales utilizan como unidades de medición los grados sexagesimales ó los radianes.
Sistema sexagesimal
Este es el sistema más común, creado por los sumerios, basándose éstos en los 360 días del año,
es decir que su unidad se obtiene al dividir la circunferencias en 360 partes iguales, cada una de las
cuales, recibe el nombre de GRADOS.
Esta circunferencia esta dividida en 360 partes ó 360 grados.
Un grado entonces, es equivalente en fracción a quebrado a 1/360 de la circunferencia total, es
decir, que un grado es igual a una de las 360 partes en las que se divide una circunferencia.
Donde el grado se divide a su vez, en 60 minutos y éste en 60 segundos, representándose de la
siguiente forma: Grados (°), minuto (´), segundo (”)
(1 grado = 60 minutos)
(1 minuto = 60 segundos)
27
Sistema circular.
La unidad utilizada en este sistema es el radian. Donde un radian, es el ángulo cuyas lados
comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
A
r
r
1 radián
B
0
r
Longitud del arco “AB” es igual al radio (r ) de la circunferencia, ∡ AOB = 1 radian.
Relación entre grados y radianes
Se sabe que el radio ( r ) cabe 6.283 veces alrededor de la circunferencia, entonces, tenemos que:
(ya que 1 radio = 1 radián;
)
En conclusión, la fórmula que relaciona grados con radianes es:
.
Dividiendo todo entre 2 obtenemos una relación equivalente:
28
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones
No. 1
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Manera didáctica
Orden
Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
1. Cambiar las siguientes cantidades dadas en grados, a radianes:
(Para cambiar de grados a radianes, se multiplica el ángulo por el factor
).
a)
Nota: Si no sabes usar
bien tu calculadora,
pregúntale a tu
profesor.
b)
Solución:
a)
b)
2. Transformas las siguientes cantidades dadas en radianes, a grados:
(Para cambiar de radianes a grados, se multiplica por el factor
a)
b)
Solución:
a)
b)
29
)
3. Encontrar el complemento y suplemento de 35°43′ . Recuerda que
; 90° = 89°60′ y 180° = 179°60′ .
a) El complemento es: 89°60′ − 35°43′ = 54°17′
b) El suplemento es : 179°60′ − 35°43′ = 144°17′
4. Si dos ángulos se representan por A y B, plantear la ecuación de cada problema y
después hallar sus valores.
Los ángulos son suplementarios y uno es 15 grados menor que el doble del otro.
Datos
A=A
Planteo
5. Hallar el valor de
Operaciones
solución
en la siguiente figura:
Solución:
Para resolver este problema se plantean un par de ecuaciones. Hay muchas opciones para
plantearlas; A continuación se toma una de estas opciones:
(son ángulos opuestos por el vértice)
(son ángulos opuestos por el vértice)
Podemos expresar estas ecuaciones de la siguiente manera:
Que al resolverlas por suma y resta tenemos;
30
;
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Ángulos por todas partes
No. 2
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden
Manera didáctica
Responsabilidad
de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
1. Observa el mapa con atención y contesta las preguntas indicadas:
1.
2.
3.
4.
¿Cuáles vialidades son paralelas a la calle Avinguda 308?
¿Cuáles vialidades son perpendiculares a la calle Avinguda 308?
¿Cuál vialidad es oblicua a la calle Avinguda 308?
Si te toparas con un turista en la intersección de Avinguda 313 y Avinguda 302, ¿cómo le
dirías para que llegara a un Burger King que se localiza en la intersección de Doctor
Fleming y Arcadi Balaguer?
31
2. Llenar las siguientes tablas:
Transformación de grados a radianes
Grados
Radianes
Transformación de radianes a grados
Radianes
Grados
3. Hallar el ángulo desconocido que falta
4. La figura muestra una entrada vista desde arriba. Si abres la puerta de forma tal que la
medida del
sea igual a
, ¿Cuántos grados más deberías abrir la puerta para que el
ángulo entre la pared y la puerta sea de
.
32
5. Hallar el valor del
A.
en cada una de las siguientes figuras:
B.
C.
6. Indicar que clase de ángulo es:
a) El complemento de un ángulo agudo.
b) El suplemento de un ángulo obtuso.
c) El suplemento de un ángulo recto.
7. Hallar dos ángulos complementarios tales que:
a) Uno sea el doble que el otro.
b) Uno sea 20° mayor que el otro.
c) Uno sea 10° menor que el triple del otro.
d) Uno sea 5° menor que el cuádruplo del otro.
e) Uno sea 6° mayor que el doble del otro.
8. Hallar dos ángulos suplementarios tales que:
a) Uno es el cuádruplo del otro.
b) Uno sea 20° mayor que el triple del otro.
c) Uno sea 60° menor que el doble del otro.
d) Uno sea 36° mayor que el doble del otro.
e) Uno sea 10° mayor que las 2/3 partes del otro
33
9. IDENTIFICAR ÁNGULOS. Afirma si los dos ángulos que se muestran son complementarios,
suplementarios o ninguno de los dos.
A.
C.
B.
D.
10. Hallar el valor de
en cada una de las siguientes figuras:
A.
B.
C.
D.
34
E.
F.
11.
12. Completa la siguiente tabla:
35
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Saberes a adquirir
Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una
No. 3
transversal o secante.
Lee y analiza la información que se te presenta y aclara cualquier duda
con tu profesor
Ángulos alternos
internos y externos,
opuestos por el
Mediante exposición y
Manera didáctica de
vértice,
tareas.
lograrlos
correspondientes y
colaterales internos y
externos.
♦Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una
transversal (secante)
Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos, cuatro llamados internos por
estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos por estar fura de ellas.
En la figura son ángulos:
Internos: 3, 4, 5 y 6
Externos: 1, 2, 7 y 8
Se llaman ángulos correspondientes a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno
interno y otro externo).
Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son
iguales, lo cual se demuestra en el teorema correspondiente.
36
En la figura anterior son pares de ángulos correspondientes:
El
es correspondiente con el
;
El
es correspondiente con el
;
El
es correspondiente con el
;
El
es correspondiente con el
;
Se llaman ángulos alternos-internos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal
(alternos) y dentro de las paralelas (internos).
En la figura anterior son ángulos alternos internos:
Con base en la propiedad (demostrable) de que los ángulos correspondientes son iguales, se
puede deducir que los ángulos alternos-internos son iguales.
Como
por ser correspondientes y por otra parte
por ser opuestos por el vértice, se deduce que
por propiedad transitiva de la igualdad.
Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que:
.
Se llaman ángulos alternos-externos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal
(alternos) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos alternos-externos:
Los ángulos alternos-externos son iguales.
Como
por ser correspondientes, y por otra parte
por ser opuestos por el vértice, se deduce que
por la propiedad transitiva de la igualdad.
Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que
Se llaman ángulos colaterales-internos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal
(colaterales) y dentro de las paralelas (internos). En la figura son ángulos colaterales-internos:
37
Los ángulos colaterales-internos tienen la propiedad de ser suplementarios.
Como
por ser correspondientes, y por otra parte
por formar un ángulo llano, se deduce que
Porque toda cantidad puede ser substituida por si igual. Con un razonamiento
análogo al anterior se deduce que
Se llaman ángulos colaterales-externos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal
(colaterales) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos colaterales-externos:
Los ángulos colaterales-externos tienen la propiedad de ser suplementarios.
Como
por ser correspondientes, y por otra parte
por formar un ángulo llano, se deduce que
=180 porque toda cantidad pude ser substituida por su igual.
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Como encontrar ángulos entre rectas paralelas
No. 2
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos entre paralelas.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Manera didáctica
orden
Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
38
Ejemplo 1.Encuentre la medida de los ángulos indicados con letras minúsculas en la figura.
Suponga que las líneas horizontales son paralelas. Justifique su respuesta.
(Ángulos alternos-internos)
Forman un ángulo llano
.
Ejemplo 2. Hallar el valor de
, y establecer las relaciones establecidas.
(Ángulos alternos internos)
(Ángulos alternos internos)
(La 1ra. ecuación por 2)
Sustituir el valor encontrado de
en una ecuación cualquiera:
.
39
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
1.
Ángulos entre paralelas
No. 3
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden
Manera didáctica
Responsabilidad
de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Pon en línea en blanco si los pares de ángulos que se muestran son correspondientes,
alternos-internos, alternos-externos, colaterales-internos y colaterales-externos
_________________
__________________
__________________
__________________
__________________
__________________
_________________
__________________
__________________
__________________
Hallar los ángulos que se te piden en la siguiente figura, suponga
2.
que
.
40
En la figura de la izquierda, hallar los valores de los
ángulos señalados con letras minúsculas, si
3.
Las líneas oblicuas son paralelas.
4. Hallar los valores de
y
figuras. Considere que las rectas
según sea el caso, en cada una de las siguientes
son paralelas.
a)
c)
b)
d)
5.
En las siguientes figuras
En este ejercicio
. Hallar el valor de “x”.
es bisectriz del ∡AOC.
41
Competencia
•
•
•
•
•
Explicar la definición y clasificación de los triángulos
Utilizar los teoremas del ángulo interior y ángulo exterior
Aplicación del Teorema de Tales
Aplicación de Triángulos semejantes
Aplicación del Teorema de Pitágoras
2
Saberes
1. Generalidades de los Triángulos
2. Teoremas de importancia en los Triángulos
Ejemplos
1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes
2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales
y Pitágoras
42
Ejercicios
1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos
2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras

ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Emplea sus conocimientos para
definir y clasificar a los triángulos.

Argumenta la naturaleza de las
matemáticas como una herramienta
para calcular el valor de los ángulos
interiores y exteriores de los triángulos.

Maneja los conceptos de
triángulos congruentes para
identificarlos en distintos contextos.

Domina el algoritmo para resolver
problemas en donde se aplica el
teorema de tales.

Aplica principios algebraicos y
aritméticos para resolver problemas
cotidianos, en donde se aplican los
conocimientos sobre triángulos
semejantes.

Elije la estrategia aritmética o
algebraica para resolver problemas
cotidianos en donde se usa el Teorema
de Pitágoras.
Domina los conceptos fundamentales, así
como aplica principios y teoremas
fundamentales sobre los triángulos.
43
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Saberes a adquirir
Generalidades de los Triángulos
No. 1
Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con
tu profesor.
• Definición,
notación y
clasificación
de los
triángulos.
• Teoremas del
ángulo
interior y
exterior de los Manera didáctica de
lograrlos
Mediante exposición y
triángulos.
tareas.
• Criterios de
congruencia
entre
triángulos.
TRIÁNGULOS
Definición y notación: El triángulo es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres
puntos no colineales llamados VÉRTICES.
Los vértices se pueden denotar por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que
unen dos vértices del triángulo y se denotan con la misma letra que el vértice opuesto. Es decir: El
lado “a” es el segmento que une los vértices B y C, el lado “b” es el segmento que une los vértices
A y C y el lado “c” que es el segmento que une los vértices A y B. (Figura 1)
Figura 1
Figura 2
44
Ángulos interiores: son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del
triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega
ubicada entre los lados del ángulo. (Figura 1)
Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación
de otro hacia la región exterior. (Figura 2)
Notación de triángulos
Los triángulos se nombran por sus tres letras de sus vértices anteponiendo un símbolo en
forma de triángulo. Ejemplo: En la figura anterior el triángulo se denota como ∆ ABC.
♦Clasificación de los triángulos
Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos.
Según sus lados
Según sus ángulos
equilátero
tres lados iguales
acutángulo
tres ángulos agudos
isósceles
Por lo menos dos lados iguales
rectángulo
un ángulo recto
escaleno
tres lados desiguales
obtusángulo
un ángulo obtuso
Además, a los triángulos en general que no sont rectángulos se les llama oblicuángulos.
Por la medida de sus lados:
45
Por la medida de sus ángulos
(Ángulo recto)
Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a
M
N
.
Hipótesis
son ángulos interiores
de un triángulo.
Tesis
Trazo auxiliar: Trazar por ,
Plan: Al trazar por uno de sus vértices del triángulo la paralela al lado opuesto, se obtiene
un ángulo llano del cual se demuestra que sus partes son iguales a los ángulos del triángulo dado.
46
RAZONAMIENTO
Afirmación
Razón
1.
1. Por construcción
2.
2. Por ser alternos internos
3.
3. Por formar un ángulo llano.
4.
4. Substituyendo ( 2 ) en ( 3 ).
Teorema: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores
no adyacentes con él.
Criterios de congruencia entre triángulos
• Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente iguales, son iguales. (l.a.l. = l.a.l.)
47
•
Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado
respectivamente iguales, son iguales. (a.l.a. = a.l.a.)
•
Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente
iguales, son iguales. (l.l.l. = l.l.l.)
•
Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al
lado mayor respectivamente iguales, son iguales.
48
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
1.
Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar
No. 1
triángulos congruentes.
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
Hallar los valores de los ángulos faltantes en las siguientes figuras
a)
b)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
En el ∆ABC : ∠A + ∠B + ∠C = 180°
50° + 35° + ∠C = 180°
∠A + 40° + 95° = 180°
∠C = 180° − 85°
∠A = 180° − 135° = 45°
∠C = 95°
(usando el
( ∠y es un ángulo exterior)
49
)
2. Determinar que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el postulado
correspondiente.
a)
b)
c)
Soluciones:
a) ∆I ≅ ∆II
l.a.l = l.a.l
En el ∆III el ángulo de 60°
no está comprendido entre los
lados de 8 y 12.
b) ∆I ≅ ∆III
a.l.a. = a.l.a.
En el ∆II el lado de 28
no está comprendido entre
los ángulos de 40° y 85°
c)
∆ II ≅ ∆ III
l.l.l. = l.l.l.
En el ∆I sus lados
tienen medidas diferentes a las de los
triángulos II y III.
50
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
1.
A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Mide los lados de los siguientes triángulos y escribe el nombre de cada uno de ellos.
Triángulo _____________
Triángulo __________
51
Triángulo ___________
2. Une según corresponda.
Triángulo
isósceles.
Tiene sus 3 lados de
igual medida.
Triángulo
equilátero.
Tiene 2 de sus lados de
igual medida.
Triángulo
escaleno.
Tiene sus 3 lados de
diferente medida.
3.
Une según corresponda.
Triángulo
acutángulo.
Tiene 3 ángulos agudos
Triángulo
obtusángulo.
Tiene un ángulo de 90
grados
Triángulo
rectángulo.
Tiene un ángulo mayor
de 90 grados
agudos.
52
4. COMBINAR TRIÁNGULOS. En los ejercicios siguientes, combina la descripción del
triángulo con su nombre específico:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Longitudes de los lados: 2cm, 3cm, 4 cm
Longitudes de los lados: 3cm, 2cm, 3cm
Longitudes de los lados: 4cm, 4cm, 4cm
Medidas de los ángulos:
Medidas de los ángulos:
Medidas de los ángulos:
5.
6.
53
A. Equilátero
B. Escaleno
C. Obtusángulo
D. Equiángulo
E. Isósceles
F. Rectángulo
4. Hallar los valores de “x” e “y” en cada inciso de las siguientes figuras:
b) Nota: ∆ABC es equilátero. ∠D = 90°
a)
5. Identificar en cada inciso los triángulos que son congruentes y dar el postulado de
congruencia que lo
Justifica.
a)
b)
54
c)
6.
En las siguientes figuras ∆I ≅ ∆II , hallar “x” e “y”.
55
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Teoremas importantes de los Triángulos
No. 2
Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con
tu profesor.
• Teorema de
tales
• Condiciones
Manera didáctica de
para que dos
lograrlos
triángulos sean
Mediante exposición
semejantes, y
y tareas.
aplicaciones.
• Teorema de
Pitágoras y
aplicaciones
Saberes a adquirir
El Teorema de Tales establece que:
Sí un sistema de rectas paralelas que cortan a dos transversales, determinan en ellos segmentos
correspondientes proporcionales.
Aplicado a los triángulos establece que:
Toda paralela a un lado de un triangulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales.
A
Q
B
La figura muestra al teorema de Tales
Demostración:
Xn
Y
(1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí)
(2) QP y QR son transversales
P
R
(3) Por el teorema de Tales:
56
La figura anterior muestra el teorema de Tales de Mileto
Demostración:
(1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí)
(2) QP y QR son transversales
(3) Por el teorema de Tales:
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre
los elementos (puntos, rectas, ángulos,…) de esas dos figuras se establece una relación por la que
cada elemento f le corresponde otro de f´. Dos figuras semejantes f y f´ cumplen con las siguientes
relaciones métricas:
AB
BC
AC
=
=
=K
A ' B ' B 'C ' A 'C '
Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos
correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A’, B’, C’ los correspondientes
puntos de f entonces se cumple que:
AB
BC
AC
=
=
=K
A ' B ' B 'C ' A 'C '
La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras
semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que
el correspondiente segmento de la segunda.
57
TEOREMA DE PITÁGORAS
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”.
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos
No. 2
los teoremas de Tales y Pitágoras.
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
Ejemplo 1 Aplique el Teorema de Tales para hallar el valor de “x” .
Solución:
⇨
⇨
por lo tanto
58
Ejemplo 2: Cálculo de la altura de un árbol usando la longitud de su sombra, por medio de
triángulos semejantes:
En cualquier día soleado, se puede medir la altura de un árbol usando solo su sombra siguiendo el
siguiente procedimiento: Se entierra una vara o pértiga a un lado del árbol a medir y se toman las
siguientes medidas; la longitud de la sombra BC, la altura de la vara ab y la sombra que proyecta la
pértiga bc, dejando como incógnita la longitud AB que es la altura del árbol. A continuación se
hace la siguiente proporción,
AB BC
(ab)( BC )
, que al despejar AB nos queda AB =
=
ab
bc
bc
Supongamos que se midieron las distancias BC = 12 m, ab = 1.5 m y bc = 2 m, la altura del árbol
sería,
AB =
(1.5)(12)
= 9 metros
2
Ejemplo 3. Hallar el valor de “x” e “y” en la figura por medio de triángulos semejantes:
2 x 20
=
11 10
20 x = 220
x = 11
24 20
=
y 10
3
20
240 =
y
3
3( 240)
y=
= 36
20
59
Ejemplo 4: Calcular el valor del cateto que falta en el triángulo rectángulo siguiente:
Si
=c
es la hipotenusa, entonces tenemos:
Despejando
tenemos:
Sustituyendo datos y sacando raíz a ambos lados,
=a
Ejemplo 5 : Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm .
Puede observarse que se forman cuatro triángulos rectángulos
iguales, cuyos catetos son la mitad de cada diagonal.
Por lo tanto, la hipotenusa del triángulo es el lado del rombo.
60
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A usar el Teorema de Tales, los triángulos Semejantes y el Teorema No. 2
de Pitágoras
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica
Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Ejercicio 1: Encuentre el valor de “x” en cada caso, aplicando el Teorema de Tales.
Ejercicio 2: En cada uno de los siguientes ejercicios, cada par de triángulos son
semejantes. Calcular el valor que representan las letras:
61
Ejercicio 3: Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le
falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.
¿Cómo podría Ambrosio
conocer la altura del muro y
con ello poder calcular el área
que va a pintar?
Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la
geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:
62
La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m.
La sombra de Ambrosio, también a
las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que
mide 1.75 m. Con esta información él
podrá calcular la altura del muro, ya
que si usted observa los dos dibujos,
en cada uno de ellos hay un triángulo
rectángulo semejante.
Entonces, ¿cuánto vale la altura del muro?
Ejercicio 4: Martín necesita medir el ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no
puede llegar al otro lado. ¿Cómo podría medir el ancho del río?
Para resolver su problema, Martín le pide a unos amigos que le ayuden a hacer las siguientes
mediciones y observaciones:
63
Observemos que sucede si obtuvieron los siguientes datos:
¿Cuál será entonces el ancho del río?
TEOREMA DE PITÁGORAS
Ejercicio 5. Para evitar que un poste de luz se rompa, Rocío debe colocar un cable de acero desde
su punta hasta el piso como se muestra en el dibujo.
El poste mide de altura 4m y el cable en el piso debe estar separado 3m de la base del poste. Rocío
debe comprar el cable de acero a la medida adecuada, pues no le debe faltar ni sobrar.
¿Qué debe hacer Rocío para saber cuánto comprar de cable?
64
TEOREMA DE PITÁGORAS
Ejercicio 6: ¿A que distancia de la pared se encuentra la escalera de la siguiente figura?
Ejercicio 7: Calcula la distancia que debe recorrer un teleférico, sabiendo que debe salir de la
estación de servicio y llegar a la cima de la montaña, cuya altura es de 650m, como se muestra en
la figura.
65
Ejercicio 8: Antonio tiene un terreno rectangular cuyas medidas son 23m de largo por 41m de
ancho, por el cual debe atravesar un cable de teléfono para establecer comunicación de la bodega
ubicada en la parte final del terreno, empleando la mínima cantidad posible de cable de teléfono.
¿Qué medida deberá tener el cable?
Ejercicio 9: ¿Cuánto debe medir la varilla de soporte que se emplea para construir el soporte del
papalote que se muestra en la figura?
66
Ejercicio 10: Cuando se descubrió la pirámide Keops de Egipto, fácilmente pudieron medir
cuánto medía cada lado de su base (233 m) y la longitud de su pendiente (186.784 m), pero
la altura no la midieron físicamente, sino que la calcularon.
¿Cómo calcularía usted la altura de la gran pirámide?
Ejercicio 11: Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X
dadas las siguientes dimensiones:
67
Competencia
•
•
•
•
•
Explicar la definición y clasificación de los polígonos
Calcular los ángulos interiores, ángulos exteriores y número de
diagonales de los polígonos.
Conocer las rectas y ángulos notables de la circunferencia
Aplicación de las fórmulas para calcular el área de los polígonos
en diferentes contextos
Aplicación de las fórmulas para calcular el volumen de los
cuerpos sólidos en diferentes contextos
Saberes
1. Generalidades de los polígonos
2. Circunferencia y círculo
3. Área y volumen de figuras geométricas
Ejemplos
1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos
2. Practicando con las circunferencias
3. Practicando con áreas y volúmenes
68
3
Ejercicios
1. Miscelánea de ejercicios con polígonos
2. Miscelánea de ejercicios con circunferencias
3. A calcular áreas y volúmenes




ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA

RESULTADOS DE APRENDIZAJE
69
Emplea el lenguaje de la notación
matemática para representar y
clasificar a los polígonos.
Argumenta la naturaleza de las
matemáticas como una herramienta
para interpretar los ángulos interiores y
exteriores de los polígonos.
Maneja y aplica los conceptos de
rectas y ángulos notables de la
circunferencia.
Domina el algoritmo para calcular
el número de diagonales en los
polígonos.
Elije la estrategia aritmética o
algebraica más conveniente, para
calcular áreas y volúmenes de las
figuras más comunes en la geometría
plana
¬ Domina los conceptos
fundamentales de los
polígonos y circunferencia para
calcular sus ángulos interiores,
ángulos exteriores y diagonales
en distintos contextos.
¬ Calcula áreas y volúmenes de
las figuras más comunes en la
geometría.
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Saberes a adquirir
Generalidades de los Polígonos
No. 1
Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con
tu profesor.
• Definición ,
notación y
clasificación de
polígonos
• Clasificación de
los
cuadriláteros
Manera didáctica de
• Ángulos
lograrlos
Mediante exposición
interiores y
y tareas.
exteriores de
polígonos
• Diagonales en
los polígonos
Definición
Etimológicamente la palabra polígono proviene de las raíces “POLI” que significa muchos y
“GONOS” que significa ángulos, por lo tanto en un TRAZO QUE TIENE MUCHOS LADOS.
También se define como las figuras planas formadas por la unión de tres o más segmentos que
forman una línea quebrada cerrada llamada línea poligonal.
LÍNEAS POLIGONALES: existen dos tipos de líneas, la quebrada que no forma polígonos, y la
cerrada que es la que forma los polígonos.
70
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Se han establecido tres distintas clasificaciones de los polígonos:
1.- Por la amplitud de sus ángulos, los polígonos pueden ser clasificados como:
A) CONVEXOS: son aquellos cuyos ángulos son todos menores de 180º y solo pueden ser cortados por
dos puntos mediante una recta secante.
B) CONCAVOS: Son los que tienen uno o varios ángulos mayores de 180º y pueden ser cortados en más
de dos puntos por una recta secante.
2.- Por la medida de sus lados y sus ángulos pueden clasificarse en:
A) Regulares: son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y
equiángulos.
Los principales elementos de un polígono regular son:
Centro (C ): Punto interior que está a la misma distancia de cada vértice.
Radio (r ): Es el segmento que va del centro a cada vértice
Apotema (a ): Distancia del centro al punto medio de un lado.
71
Ángulo interior de un polígono regular: Es el formado por dos lados consecutivos.
Ángulo exterior de un polígono regular: Es el formado por un lado y la prolongación de un lado
consecutivo.
La suma de los ángulos exteriores
de un polígono convexo es de
Angulo central: Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados, entonces el
ángulo central será.
Ángulo central
La figura muestra un ángulo central
B) Irregulares: los que tienen a lo menos un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes.
72
NOMBRE DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS
Nombre
Lados
Triángulo (o trígono)
3
60°
Cuadrilátero (o tetrágono)
4
90°
Pentágono
5
108°
Hexágono
6
120°
Heptágono (o Septágono)
7
128.571°
Octágono
8
135°
Nonágono (or eneágono)
9
140°
Decágono
10
144°
Endecágono (or undecágono)
11
147.273°
Dodecágono
12
150°
Tridecágono
Tetradecágono
Pentadecágono
Hexadecágono
Heptadecágono
Octadecágono
Eneadecágono
Icoságono
Triacontágono
Tetracontágono
Pentacontágono
Hexacontágono
Heptacontágono
Octacontágono
Eneacontágono
Hectágono
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
60
70
80
90
100
152.308°
154.286°
156°
157.5°
158.824°
160°
161.053°
162°
168°
171°
172.8°
174°
174.857°
175.5°
176°
176.4°
73
Forma
Ángulo interior
Chiliágono
Miriágono
Megágono
Googológono
1,000
10,000
1,000,000
10100
179.64°
179.964°
~180°
~180°
n-ágono
n
(n-2) × 180° / n
Clasificación de los cuadriláteros convexos
74
Ángulos interiores de un polígono
•
La suma de ángulos interiores (AI) de un polígono convexo de n lados es igual al numero de
lados del polígono menos dos (n -2) por 180°.
De lo anterior se obtiene el siguiente corolario:
•
En un polígono regular de n lados, cada uno de sus ángulos interiores
se obtiene al
dividir AI (suma de los ángulos interiores) entre n (número de lados) , esto es:
Diagonales en los polígonos
•
El número de diagonales d que se pueden trazar desde un mismo vértice de un polífono
convexo de n lados es igual al número de lados menos tres.
•
El número total de diagonales D que pueden trazarse desde todos los vértices de un
polígono convexo de n lados es igual a la mitad del producto del número de lados por el
número de lados disminuido en tres.
75
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos
No. 1
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
1. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de 15 lados.
Sustituyendo
2. Calcular la medida del ángulo central de un pentágono regular.
Solución:
n = 5, medida del ángulo central =
3. Calcular la medida del ángulo interior de un pentágono regular.
Solución:
n = 5,
76
4. Calcular el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide
.
Eneágono
5. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un Hexágono.
n=6
6. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales?
Solución:
Sea n = numero de lados; El número total de diagonales será también n
⇒
Que al sustituir queda:
Reordenando términos nos queda:
Factorizando:
que nos conduce a
El polígono pedido es n = 5, que es un Pentágono.
77
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Miscelánea de ejercicios con polígonos
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
1. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente:
78
2. Consulta la clasificación de los polígonos para llenar la siguiente tabla:
3. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente:
= suma de ángulos interiores
= suma de ángulos exteriores
79
4. ¿Cuál de los siguientes polígonos es convexo y cuál no es convexo?
5.
SELECCIÓN MÚLTIPLE
a) La medida de un ángulo exterior de un polígono regular de ocho lados es:
C) 45°
D) 90°
E) 180°
A) 360° B) 8°
b) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 30° entonces, el número de lados
es:
A) 36
B) 24
C) 3
D) 12
E) 10
c) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 36°° entonces, el ángulo interior
mide:
B) 72°
C) 36°
D) 44°
E) 144°
A) 90°
d) En el heptágono regular, la medida de cada ángulo interior es:
A) 120°
B) 128,57°
C) 900° D) 60°
E) 180°
e) La fórmula que permite calcular la medida de un ángulo interior de un polígono regular de n
lados es:
A) n
B) n − 2
C)
(n − 2) ⋅180ο
n
D) (n − 2) ⋅ 180°
f) La medida de cada ángulo exterior en un polígono regular de trece lados es:
A) 27,69° B) 13°
C) 90°
D) 130°
E) 30°
80
E) 2 ⋅ n
6.
Actividades de aplicación.
P1.- El ángulo exterior de un polígono mide 85o. ¿Cuánto medirá el ángulo interior
correspondiente?
P2.- Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono. Si fuera regular, ¿Cuánto
mediría cada uno?
P3.- ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular?
P4.- ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260o?
P5.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 45o?
P6.- ¿Puede haber un polígono regular cuyo ángulo exterior mida 75o? ¿Y con un ángulo interior
de igual medida?
P7.- ¿Cuánto vale la suma del ángulo interior y del ángulo exterior de un decágono regular?
P8.- ¿Cuánto vale el ángulo interior de un polígono regular de doce lados?
P9.- ¿Cuánto vale el ángulo exterior de un pentágono regular?
P10.- El ángulo interior de un polígono regular mide 156o. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
P11.- El ángulo exterior de un polígono regular vale 20o. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
¿Cuántos lados posee el polígono cuyos ángulos interiores suman 2520o?
7. Recordando el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, encuentra el
valor de los ángulos señalados con letras minúsculas.
81
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Circunferencia y círculo
No. 2
Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con
tu profesor.
•
Saberes a adquirir
Líneas y
ángulos
notables de la
circunferencia
Manera didáctica de
lograrlos
Mediante exposición
y tareas.
LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual
distancia de otro punto interior fijo llamado centro.
El círculo es la superficie del plano limitada por una circunferencia.
Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por lo tanto solo tiene longitud,
mientras que el círculo es una superficie y por lo tanto tiene área.
La circunferencia o círculo se representan con el símbolo Θ , la diferencia se obtienen del
contexto.
82
Líneas Notables
AB Cuerda
CD Diámetro
Secante
Tangente
OI
Radio
Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes).
Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se
llama punto de tangencia o de contacto.
Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto
cualquiera de la misma.
AC arco AC; BC arco BC; ACB arco ACB; CAB arco CAB
Arco: Es una parte de la circunferencia. Un arco se representa así:
y se lee “arco”.
Semicircunferencia: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia.
Arco menor: Es aquel que mide menos que una semicircunferencia.
Arco mayor: Es aquel que mide más que una semicircunferencia.
En la figura anterior AC y ABC son respectivamente, un arco menor y un arco mayor. El uso
de las tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos.
El arco ACB es una semicircunferencia. En lo sucesivo la palabra arco se referirá a un arco
menor, a menos que se especifique lo contrario.
83
ÁNGULOS NOTABLES
1. La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus lados.
(Ver figura arriba)
2.
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad de la del arco
comprendido entre sus lados.
(Ver figura arriba)
3.
Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la
semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.
(Ver figura arriba)
4.
Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo
exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos
entre sus lados.
(Ver figura arriba)
84
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Practicando con las circunferencias
No. 1
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
1. Hallar los ángulos que se piden en las siguientes figuras:
Soluciones:
1. ∠x = AB , por lo tanto, AB = 110°
3.
∠x =
BC − DE 100° − 40° 60°
=
=
= 30°
2
2
2
BC = ABC − AB = 180° − 110° = 70°
Por lo tanto ∠y =
2. ∠x =
AC + BD
2
Por lo tanto
BC 70°
=
= 35°
2
2
⇒ 85° =
100 + y
2
⇒ 170° = 100° + y
y = 170° − 100° = 70°
85
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Miscelánea de ejercicios con circunferencias
No. 2
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
1. Dar el nombre a cada una de las siguientes líneas:
a)
AB es:
b) CD es:
c) OE es:
d)
OF es:
e)
EF es:
2. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los siguientes ángulos:
86
3. Si ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, hallar :
a) ∠A si arco a = 100° y arco c = 200°
b) ∠A si AB ⊥ BC y a = 100°
c) ∠A si AC es un diámetro y a = 100°
d) ∠B si ABC = 235°
e) ∠B si a = 75° y c = 2 b
4. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E. como se ilustra, hallar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
∠ x si AC = 90° y BD = 70°
∠ x si AC y BD miden 60° cada uno.
∠ x si AC + BD = 210°
∠ x si BC + AD = 150°
AC + BD si ∠x = 85°
AC + BD si ∠x = 100°
BC si ∠x = 60° y AD = 160°
BC si ∠y = 72° y AD = 2 BC
5. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se lustra, hallar:
a)
b)
c)
d)
e)
∠A si c = 90° y a = 40°
∠A si c − a = 82°
∠A si c = a + 40°
a si c = 135° y ∠A = 40°
c si a = 60°
87
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Saberes a adquirir
Áreas y volúmenes de figuras geométricas
No. 2
Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu
profesor.
• Áreas de figuras
Manera didáctica de
Mediante exposición y
planas
lograrlos
tareas.
• Volúmenes de
sólidos
ÁREAS Y VOLÚMENES
Definición de Área y Volumen.
Qué es un área.
Una unidad cuadrada es la superficie que encierra un cuadrado cuyo lado es 1 unidad (de longitud).
1 cm
1 centímetro cuadrado (
1 cm
Se llama área de una figura plana, por ejemplo, un polígono, al número de unidades cuadradas que
contiene su superficie. Como quiera que un rectángulo de 5 unidades de longitud y 4 unidades de anchura
se puede dividir en 20 cuadrados unidad, su área es de 20 unidades cuadradas.
4
5
Volúmenes.
Unidad cúbica es un cubo que tiene por arista la unidad de longitud. Por ejemplo, la pulgada cúbica es
un cubo cuya arista mide una pulgada.
1 cm
1 cm
1 centímetro cúbico
1 cm
88
Se llama volumen de un cuerpo al número de unidades cúbicas que éste puede contener. Por
ejemplo, una caja cuadrada que tiene 3 unidades de longitud, 3 de anchura y 3 de de altura,
ocupa un volumen de 27 unidades cúbicas, o sea, que tiene una capacidad o espacio suficiente
para contener 27 cubos de una unidad de longitud por arista.
3
3
3
En las fórmulas relativas a volúmenes, éstos se expresan en unidades cúbicas, y éstas deben
ser de la misma denominación que la utilizada para medir las dimensiones. Por ejemplo, si en la
caja anterior, la unidad para medir tanto la anchura, la altura y la longitud hubieran sido metros, el
volumen sería 27m3 .
Perímetros y áreas de las figuras más comunes
Figura
Perímetro
Área
Triángulo
= semiperímetro
Cuadrado
89
Rectángulo
Paralelogramo cualquiera
Rombo
Trapecio
Polígono regular cualquiera
90
Fórmulas alternativas para encontrar áreas de polígonos regulares comunes, considerando la
medida del lado. ( l = lado )
Pentágono: A = 1.721l 2 ; Hexágono : A = 2.598l 2 ; Eptágono: A = 3.634l 2
2
2
2
Octágono: A = 4.828l ; Eneágono: A = 6.182l ; decágono: A = 7.694l
Sector circular
Polígono cualquiera
El perímetro se obtiene
El área se obtiene triangulando
Sumando cada lado.
el polígono y sumando las áreas
de dichos triángulos.
91
ÁREAS LATERALES
, ÁREAS TOTALES
Y VOLÚMENES DE LAS FIGURAS MÁS COMUNES
Área
Volumen
Cubo
a
a
a
Paralepípedo rectángulo
c
b
a
El volumen de un
prisma recto
cualquiera, es igual al
producto del área de su
base por su altura.
Prisma recto cualquiera
Pirámide regular cualquiera
El volumen de una
pirámide regular
cualquiera, es igual a 1/3
del producto del área de
la base por su altura
92
Cilindro circular recto
Cono circular recto
Esfera
93
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Practicando con áreas y volúmenes
No. 1
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁREAS
1) Hallar el área del siguiente triángulo:
Solución:
A=
bh (11)(7)
=
= 38.5cm 2
2
2
2) Hallar el área de un triángulo rectángulo si los catetos son iguales y la hipotenusa vale 16.
Solución:
X=
16
Por Pitágoras
Área:
x 2 + x 2 = (16) 2
2 x = 256
2
Base = x
x 2 = 128
Altura = x
94
bh ( x )( x ) x 2 128
A=
=
=
=
= 64
2
2
2
2
3) Hallar la altura de un triángulo si el área es igual a 25 y el lado a la cual pertenece la
altura dada es igual a 5
Solución:
A=
bh
que al despejar “h” nos da
2
h=
2 A 2(25)
=
= 10
b
5
4) Hallar el área de un cuadrado si el perímetro es igual a 10.
Solución:
Perímetro = 4l = 10
El lado será l =
Área:
10
= 2.5
4
A = l 2 = (2.5)2 = 6.25
5) Si el área de un cuadrado es 81, hallar la longitud de la diagonal.
Solución:
A = l2
81 = l 2
l =9
La diagonal forma triángulos rectángulos cuyos catetos valen 9
Usando Pitágoras
l 2 + l 2 = (diagonal)2
d 2 = (9) 2 + (9) 2
6) En un paralelogramo, hallar la altura si el área es igual a 21 y la base supera en cuatro unidades
a la altura.
Solución: Sea h = x
bh = A
x( x + 4) = 21
b = x+4
x 2 + 4 x − 21 = 0
( x + 7)( x − 3) = 0
x = −7 ;
x=3
La altura es h = 3 y la base x + 4 = 7
95
7) Hallar el área de un trapecio isósceles CDEF, si
= B = 22,
= b = 12 y a = 13
Solución:
D
22-12 = 10
E
Por Pitágoras:
C
G
F
El área del trapecio será:
unidades cuadradas
8) Hallar el área de un rombo si una de las diagonales es 10, y el lado es 13.
Solución: Si suponemos que la diagonal d = 10, entonces la mitad de esta
diagonal es 5. Puede entonces observar que se forma un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa es
, que al aplicar Pitágoras da:
D = la otra diagonal
⇒
Obteniendo raíz a ambos lados queda
La diagonal completa será D = 24
Por lo tanto el área del rombo será
96
unidades cuadradas
9) Hallar el área de un triángulo equilátero si la altura es igual a 6.
¿Por qué h =
a
3 ?
2
En la figura, se toma a uno de los triángulos formados por la
altura h y se aplica Pitágoras:
2
2
a
3
a
= h2 ⇒ a 2 = h 2
a =   + h2 ⇒ a 2 −
4
4
2
2
Al obtener la raíz a ambos lados da
h=
a
3
2
. En este
ejemplo, como h = 6 se obtiene el lado a de la siguiente manera:
6=
a
3 que al despejar a se obtiene
2
Por lo tanto el área será
10) Calcular el área sombreada de la siguiente figura. Cada punto lleno representa el centro de un
arco de circunferencia o el centro de un círculo.
Paso 1: En el triángulo rectángulo, la medida de los catetos será
da,
⇒
.
Paso 2: El área de ese triángulo es:
Paso 3: Área del sector circular
Paso 4: El área del segmento circular, no sombreado, es la resta
del sector circular y el triángulo:
Paso 5: El área sombreada será la resta de la media circunferencia menos
el segmento circular no sombreado:
97
, que al resolver
EJEMPLOS RESUELTOS DE VOLUMEN
1) Hallar el volumen de la siguiente figura. Considere que r = 8 cm .
Solución: 2 r = altura del cilindro circular recto; 3r = altura del cono.
La figura está formada por un cilindro circular recto y un cono.
Paso1: El volumen del cilindro circular recto es:
V = π r 2 h = π (8cm) 2 (16cm) = 3216.99cm3
Paso 2: El volumen del cono será:
1
1
V = πr 2 h = π (8cm) 2 (24cm) = 1608.495cm3
3
3
Paso 3: Paso 3: El volumen total de la figura es:
VT = 3216.99 + 1608.495 = 4825.485cm3
2) Hallar el volumen de una pirámide regular de base pentagonal de altura 20 cm si la
longitud del lado de la base pentagonal es igual a 6 cm.
Paso 1: Área de la base pentagonal
A = 1.721l 2 = 1.721(6cm) 2 = 61.956cm 2
Paso 2: Fórmula del volumen
V =
1
1
Ab h = (61.926cm 2 )(20cm)
3
3
V = 413.04cm3
98
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A calcular áreas y volúmenes
No. 3
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
EJERCICIOS DE ÁREAS
1) Hallar el lado de un cuadrado si: a) El perímetro es igual a 44 , b) La diagonal es igual a 8.
2) Si el área de un cuadrado es 81, hallar: a) El lado, b) El perímetro, c) La diagonal.
3) Hallar el área de un triángulo rectángulo si: a) Los catetos miden 5 y 6; b) los catetos son
iguales y c) la hipotenusa mide 16.
4) Hallar el área de: a) Un triángulos cuyos lados son iguales a 5, 12 y 13; b) Un triángulo isósceles
cuya base es 30 y cuyos lados iguales miden 17.
5) Hallar el área de un triángulo equilátero si: a) Un lado es igual a 10; b) El perímetro es igual a
36; c) La altura es igual a 5 3 .
6) Hallar El área del trapecio isósceles CDEF, si b = 17, a = 10 y h = 6.
D
C
E
G
F
99
7) Dado un trapecio isósceles, hallar las bases, si los lados iguales miden 5, la altura 3 y el área 39.
8) Hallar el área de un rombo si:
a) Las diagonales son 8 y 9
b) Las diagonales son 11 y 7
c) El perímetro es 40 y una de las diagonales es 12
d)El perímetro es 32 y la diagonal menor es igual
al lado.
9) Hallar el área de un octágono de 4 cm de lado y apotema 4.828 cm.
10) En las siguientes figuras, encontrar el área de la región sombreada. El punto resaltado
representa el centro de una circunferencia o de un círculo.
11)
a) La figura ABC es un equilátero. AB = BC = CA = 10cm. P, M y N son los puntos medios
de los lados. Calcule el área de la parte sombreada de la figura.
b) El ABCD es un cuadrado OA = 4cm . Calcule el área de la parte sombreada de la figura.
a)
b)
100
EJERCICIOS DE VOLÚMENES
12) Calcular el volumen de las siguientes figuras:
a)
b)
c)
3m
13) Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista
14) Calcular la diagonal de un paralepípedo rectángulo de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de
alto.
101
15) Calcular el volumen de las siguientes figuras:
a)
c)
c) l = 6cm, w = 4cm y h = 8cm
d) Prisma recto
102
Competencia
•
•
•
•
Explicar las funciones trigonométricas en el plano cartesiano
Resolver triángulos rectángulos y sus aplicaciones con el uso de
las funciones trigonométricas
Aplicar la Ley de Senos y la Ley de Cosenos
Emplear las ocho identidades trigonométricas fundamentales
Saberes
1.
2.
3.
4.
Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo
Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones
Triángulos oblicuángulos
Identidades trigonométricas
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
Practicando con las funciones trigonométricas
A resolver y aplicar los triángulos rectángulos
Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos
Identidades trigonométricas
103
4
Ejercicios
1.
2.
3.
4.
Ejercitándose con las funciones trigonométricas
Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos
Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos
Ejercitándose con las identidades trigonométricas

ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Emplea el lenguaje de la notación
matemática para representar las seis
funciones trigonométricas

Argumenta la naturaleza de las
matemáticas como una herramienta
para interpretar las funciones
trigonométricas en diferentes
contextos

Domina el algoritmo para resolver
triángulos rectángulos y sus
aplicaciones
Aplica principios algebraicos y

aritméticos para aplicar la Ley de Senos
y la Ley de Cosenos

Elije la estrategia aritmética o
algebraica más conveniente para
resolver identidades trigonométricas
Domina los conceptos fundamentales de la
trigonometría, así como aplica principios
algebraicos y aritméticos para resolver
triángulos rectángulos y oblicuángulos en
distintos contextos.
104
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el
No. 1
triángulo rectángulo
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
¬
¬
¬
Saberes a adquirir
¬
¬
Ángulos en
posición normal
Ángulos
coterminales
Valor de las
funciones
trigonométricas
para cualquier
ángulo.
Valor de las
funciones
trigonométricas
para ángulos
especiales
Gráfica de
las funciones
trigonométricas
Manera didáctica de
lograrlos
Mediante exposición y
tareas
EL PLANO DE COORDENADAS Y ÁNGULOS
Para el estudio de ángulos en un sistema de coordenadas, es útil definir un ángulo en términos de
una rotación. Un ángulo se forma por la rotación de un segmento de recta o rayo sobre su
extremo; la posición inicial del segmento se llama lado inicial del ángulo; la posición final del
segmento se llama lado final; el punto de rotación, se llama vértice del ángulo (ver figura).
105
La cantidad y dirección de rotación es la medida del ángulo, cuya unidad más común es el grado,
definido como 1/360 de la rotación total. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas
del reloj, la medición es positiva; pero si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, la
medición será negativa. Si la rotación es completa en el sentido contrario de las manecillas del
reloj, se tendrá un ángulo cuya medida será de 360° , con los lados inicial y final coincidentes. En
la figura siguiente se muestran diversos ángulos y sus medidas o valores.
Ángulo en posición normal. Un ángulo se encuentra en posición normal dentro de un sistema de
coordenadas sólo si su vértice coincide con el origen y su lado inicial se encuentra sobre el eje
positivo x . En las figuras abajo se muestran dos ángulos en posición normal, uno positivo y otro
negativo.
106
En la figura siguiente se muestran diferentes ángulos con el mismo lado terminal o final. Tales
ángulos se denominan ángulos coterminales. En dicha figura, los ángulos de 45° y 405° son
coterminales. Los ángulos de −315° y 405° también lo son. Las medidas de los ángulos
coterminales difieren en múltiplos de
.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA CUALQUIER ÁNGULO
Sea θ un ángulo, colocado en posición normal, y sea P( x, y ) un punto cualquiera, distinto del
origen, perteneciente al lado terminal del ángulo. Las seis funciones trigonométricas de θ se
definen, en términos de la abscisa, la ordenada y la distancia de P como sigue:
seno θ = sen θ =
ordenada y
=
dis tan cia r
coseno θ = cos θ =
abscisa
x
=
dis tan cia r
tangente θ = tan θ =
ordenada y
=
abscisa
x
cosecante θ = csc θ =
dis tan cia r
=
ordenada y
secante θ = sec θ =
dis tan cia r
=
abscisa
x
cotangente θ = cot θ =
107
abscisa
x
=
ordenada y
Al trabajar con un triángulo rectángulo cualquiera, es conveniente designar los vértices de los
ángulos como A, B, C, y los lados opuestos a los ángulos como, a, b, c, respectivamente. Con
relación al ángulo A, el lado a recibe el nombre de cateto opuesto y el b de cateto adyacente; con
relación al ángulo B, el cateto adyacente es a, y el cateto opuesto es b. Al lado c se llama siempre
hipotenusa.
Si ahora se coloca el triángulo en un sistema de coordenadas (véase figura abajo) de tal manera
que el ángulo A quede en posición normal, las coordenadas del punto B, en el lado terminal del
ángulo A, son (b, a) y su distancia es c = a + b . En estas condiciones, las funciones
2
2
trigonométricas del ángulo A, pueden definirse en términos de los lados del triángulo rectángulo,
como sigue:
sen A =
a c.opuesto
=
c hipotenusa
csc A =
cos A =
b c.adyacente
=
c hipotenusa
sec A =
tan A =
a
c.opuesto
=
b c.adyacente
c hipotenusa
=
a c.opuesto
cot A =
108
c hipotenusa
=
b c.adyacente
b c.adyacente
=
a
c.opuesto
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES
Es fácil determinar las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales. Al aplicar las
definiciones de estas funciones, puede usarse cualquier punto P ubicado sobre el lado final del
ángulo. En la figura , P se ha escogido de manera que r = OP = 1
Compruébense los valores de la tabla 1: Nótese que, para ciertos valores de θ , algunas funciones
tienen valores indefinidos. ¿Por qué?
Tabla 1
109
Las funciones trigonométricas de otros ángulos especiales también pueden determinarse
mediante el empleo de relaciones geométricas.
Se puede recurrir a las figuras siguientes para obtener los valores de las funciones trigonométricas
de ángulos especiales:
C
B
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• Representación de las funciones trigonométricas en el círculo unitario
Sea θ un ángulo cualquiera dado, en posición normal. (En la figura 2-20 se muestra θ en cada
uno de los cuadrantes). Descríbase una circunferencia con centro en el vértice O, y cuyo radio de
tome como unidad. Esta circunferencia corta el lado inicial OX de θ en A, el semi-eje positivo de
las Y en B, y el lado final de θ en P. Trácense también las tangentes a la circunferencia en A y B. Las
tangentes trazadas cortan el lado final de θ (o su prolongación en sentido contrario a partir de O)
en los puntos Q y R respectivamente.
110
En cada una de las figuras, los triángulos rectángulos OMP, OAQ y OBR son semejantes y, en
consecuencia,
senθ = MP / OP = MP
csc θ = OP / MP = OR / OB = OR
cos θ = OM / OP = OM
secθ = OP / OM = OQ / OA = OQ
tan θ = MP / OM = AQ / OA = AQ
cot θ = OM / MP = BR / OB = BR
Los segmentos de recta MP, OM, AQ, etc., son segmentos dirigidos tales que la magnitud de cada
función viene dada por la longitud del segmento respectivo, y el signo de la función corresponde al
sentido indicado. Los segmentos dirigidos OQ y OR se consideran positivos cuando están
determinados sobre el lado final del ángulo, y negativos cuando están determinados sobre la
prolongación, en sentido contrario, del lado final.
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
A continuación se da una tabulación de valores, para que el alumno en un eje de coordenadas
rectangulares grafique las funciones trigonométricas
Tabla 2.
Los valores del ángulo x están expresados en radianes.
111
112
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Practicando con las funciones trigonométricas
No. 1
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
1. Encuéntrese, para cada caso, el ángulo coterminal positivo más pequeño:
a) 840°
b) −115°
Solución
Hágase un diagrama para cada ángulo. Súmese o réstese 360° , hasta obtener un ángulo cuyo
valor se encuentre entre 0° y 360° .
840° − 360° = 480°
−115° + 360° = 245°
480° − 360° = 120°
113
2. El lado final de un ángulo θ contiene el punto P = ( −5, −12) de la figura.
Determínese los valores del seno, coseno, tangente de θ , cosecante θ , secante θ y
cotangente θ .
Solución:
El valor de r se encuentra mediante el teorema de Pitágoras
r = ( −5) 2 + ( −12) 2 = 169 = 13
Nota: La distancia r siempre se considerará positiva. Lo
único que puede ser negativo son sus componentes
x e y que determinan la ubicación del cuadrante.
Entonces:
3. Sea cos θ = −
sen θ =
−12
12
=−
13
13
csc θ = −
13
12
cos θ =
−5
5
=−
13
13
csc θ = −
13
5
tan θ =
−12 12
=
−5
5
tan θ =
5
12
6
y θ un ángulo en el cuadrante II. Encuéntrese sen θ y tan θ .
10
Solución:
De la función cos θ = −
6 −6
=
10 10
Se tiene que x = −6 y r = 10 . Por tanto, se
puede encontrar el valor de y por Pitágoras.
62 + y 2 = 102
por tanto
Como θ está en el cuadrante II, se tiene que y = 8 , así,
sen θ =
114
8 4
=
10 5
y
tan θ =
8
4
=−
−6
3
4. Si se tiene un ángulo θ en el cuadrante III y csc θ = -2, encuéntrese sen θ , cos θ ,
tan θ , sec θ y cot θ .
Solución: De csc θ = -2 se obtiene una función recíproca, con lo que sen θ = −
1
. Para obtener
2
los valores de las demás funciones, se debe conocer los valores de las coordenadas de un punto
sobre el lado final de θ .
2
, de donde y = −1 y r = 2 (ver
−1
De la definición de cosecante se tiene que csc θ = −2 =
figura). Del teorema de Pitágoras: x 2 + (−1) 2 = 22 , se obtiene x = ± 3 y como se tiene un
ángulo en el cuadrante III, x = − 3 . De aquí se sigue que,
cos θ = −
3
2
tan θ = −
1
3
=−
3
3
sec θ = −
2
2 3
=−
3
3
cot θ = − 3
5. Determínese los valores de a) sen360°, b) tan( −270°) y c) sec 540° .
Solución: Hágase un dibujo para cada ángulo y evalúese con base a la tabla 1.
sen360° =
0
= 0;
1
tan (− 270°) =
1
=indefinido
0
115
sec 540° =
1
= −1
−1
6. Determínese sen60°, cos 60° y tan 60°
Solución: Dibujando un ángulo como el de la figura 2-16, se puede escoger un punto P sobre la
recta del lado final, de tal manera que por comodidad r = OP = 2. Sea A el punto desde el que
se levanta una perpendicular el eje x , con lo que ∆PAO es un triángulo rectángulo de 30° y
60° . La longitud del lado opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la longitud de la hipotenusa, lo
que lleva a la conclusión de que OA = ½ (2) =1. La longitud del lado opuesto al ángulo de 60° es
3 veces la longitud del lado más corto, con lo que se concluye que PA =
3 . De lo anterior se
tiene que las coordenadas de P son x = 1, y = 3; por lo tanto:
También podemos usar el teorema de Pitágoras para demostrar los valores de los lados del
triángulo de la figura.
(1) 2 + ( 3 ) 2 = (2) 2
1+ 3 = 4
sen60° =
3
2
cos 60° =
1
2
tan 60° = 3
7. Determínese los valores de sec150°, csc150° y cot150° .
Solución:
Dibújese el ángulo y el triángulo PAO con r = 2 .
De la figura 2-17, se tiene
∠POA = (180° − 150°) = 30°. El triángulo POA es un triángulo rectángulo de 30° y 60° y las
coordenadas del punto P son x = − 3, y = 1, de donde se tiene que:
sec150° =
2
− 3
=−
csc150° = 2 ,
116
2 3
3
cot150° = − 3
8. Determínese los valores de sen315°, cos 315° y tan 315° .
Como en los ejemplos anteriores, dibújese una recta con r = 2 (ver figura). Entonces,
∠POA = (360° − 315°) = 45°. El triángulo considerado es el ∆POA rectángulo de 45° y 45° .
La longitud de la hipotenusa es
que
2(OA) = 2 y
2 veces la longitud de cada uno de los lados restantes. De aquí
OA = 2. En forma similar, PA = 2 y las coordenadas de P serán
x= 2, y=− 2.
Podemos usar Pitágoras para demostrar el valor de los lados del triángulo
( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = ( 2) 2
2+2=4
sen315° = −
2
,
2
tan 315° =
9. Determínese sec( −135°) , csc(−135°) y
cos 315° =
2
,
2
− 2
= −1
2
cot(−135°) .
Viendo la figura se observa que ∠POA = 225° − 180° = 45° , donde las coordenadas de P son
x = − 2 y y = − 2 , con lo cual nos da:
sec(−135°) =
2
− 2
csc(−135°) =
117
=− 2
2
− 2
=− 2
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Ejercitándose con las funciones trigonométricas
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I. En los siguientes ejercicios, evalúense las funciones sen θ , cos θ ,tan θ , csc θ , sec θ y cot θ
del ángulo θ en posición normal, cuya recta del lado final pasa por los puntos cuyas coordenadas
se indican. Dense las respuestas en la forma más sencilla posible.
1. P (3, −4)
2. P ( −5, −12)
4. P ( −9,12)
3. P (8,15)
II. Supóngase que θ es la medida de un ángulo en posición normal, cuyo lado final se encuentre
en el cuadrante indicado para cada caso. En los ejercicios siguientes se da el valor de una función;
encuéntrese el valor de las funciones restantes. Exprésese la respuesta en la forma más sencilla
posible:
1. senθ = −
3. cos θ = −
4
; cuadrante III
5
4
; cuadrante II
5
8
; cuadrante II
10
4. tan θ = −
3
4
6. sec θ =
5. tan θ = − ; cuadrante IV
7. cos θ =
2. senθ =
3
; cuadrante IV
2
3
; cuadrante II
2
13
; cuadrante IV
12
4
3
8. csc θ = − ; cuadrante III
118
III. Los ejercicios 1 a 16 se refieren a ángulos en posición normal, para los cuales hay que
determinar las seis funciones trigonométricas. Cuando el valor sea indefinido, establézcase
también.
1. 210°
2. 135°
3. 300°
4. 315°
5. 540°
6. 720° 7. 630°
8. 450°
9. 240° 10. 225° 11. 330° 12. 45° 13. −180° 14. − 270° 15. − 450° 16. − 225°
IV. Los ejercicios 1 al 10 son aseveraciones. Dígase si son verdaderas o falsas (V o F).
1. cos(−45°) = cos 45°
2. sen(−120°) = − sen120°
4. cos 30° = sen60°
5. sen30° = cos 60°
7. cos 30° + cos 60° = cos(30° + 60°)
9. (sec180°) 2 = 1 + (tan180°) 2
3. tan(−30°) = tan 30°
6. ( sen135°) 2 + (cos135°) 2 = 1
8. sen60° + sen30° = sen(60° + 30°)
10. sen120° = 2sen60° ⋅ cos 60°
V. Hallar el valor numérico de:
1. 2sen30° cos 30° cot 60°
2. sen60° cot 30° tan 45°
3. sen30° cos 45° + cos 60° tan 30°
4. cot 60° tan 30° + sec 2 45°
5. tan 2 60° + 2 tan 2 45°
6. 2 cot 30° + sec 60°
7. 3 tan 45° − 4 sen30°
8.
sen60° − cos 30°
sec 60°
10.
9.
tan 45° + cot 45°
csc 30°
cos 45° sec 60°
csc 45°
Te ponemos las respuestas de los ejercicios V para que te orientes:
1)
1
; 2)
2
3)
3 2+2 3
7
); 4) ; 5) 5; 6) 2( 3 + 1) ; 7) 1
12
3
8) 1; 9) 0 ; 10) 1
119
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones
No. 2
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
¬
Saberes a adquirir
Como encontrar
los elementos de
un triángulo
rectángulo
usando funciones
trigonométricas
¬ Aplicaciones
prácticas usando
triángulos
rectángulos
Manera didáctica de
lograrlos
Mediante exposición y
tareas
Generalidades para resolver triángulos rectángulos:
En esta sección y la siguiente se aplicarán las funciones trigonométricas al problema de la solución
de triángulos. Se empezará por considerar el triángulo rectángulo.
En un triángulo rectángulo se tienen cinco elementos fundamentales. Loa ángulos agudos y los
tres lados. Loa dos ángulos agudos son complementarios por lo que conociendo una de ellos el
otro se puede obtener restando a 90° el valor del ángulo conocido. Si se conocen dos elementos
fundamentales de un triángulo rectángulo, que no sean dos ángulos, es posible resolver el
triángulo, es decir, se pueden calcular los valores de los demás elementos.
En general se presentan dos casos:
a) Cuando se conoce un lado y un ángulo.
b) Cuando se conocen dos lados.
La resolución se hace con aplicación de las funciones trigonométricas y con el teorema de
Pitágoras. Se recomienda tratar de trabajar con las funciones seno, coseno y tangente, ya que
estas funciones son las que aparecen directamente en la calculadora.
120
Consideraciones a tomar en los problemas de aplicación:
Al aplicar la resolución de triángulos rectángulos a problemas de orden práctico generalmente
se hace referencia a ángulos llamados de elevación y de depresión.
Llamaremos visual a la línea recta que va del ojo del observador al objeto observado.
Se llama ángulo de elevación al que forma la horizontal con la visual que se halla por encima de la
horizontal y el mismo plano vertical.
Se llama ángulo de depresión al que forma la horizontal con la visual, el cual se halla por
debajo de la horizontal y el mismo plano vertical.
En la figura, la persona A observa a la persona B con un ángulo de depresión, mientras que la
persona B observa a la persona A con un ángulo de elevación
121
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
A resolver y aplicar los triángulos rectángulos
No. 2
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
Manera
didácticas de
lograrlas
1. Resolver el triángulo rectángulo ABC si ∠A = 65°20′ y c = 75 m.
Datos
∠C = 90°
∠A = 65°20′
c = 75 m
Incógnitas
∠B =
a=
b=
∠B = 90° − ∠A
= 89°60′ − 65°20′
= 24°40′
Nota: Al formar una función, tomamos un lado conocido y
un lado desconocido.
senA =
senA =
a
c
a
75
75sen65°20′ = a
cos A =
cos A =
b
c
b
75
75 cos 65°20′ = b
75(0.9088) = a
75(0.4173) = b
68.16 = a
31.30 = b
Solución: ∠B = 24°20′; a = 68.16m; b = 31.30m.
122
2. Resolver el triángulo rectángulo ABC si a = 32.45 m y ∠A = 29°18′.
Datos
∠B = 90° − ∠A
Incógnitas
∠C = 90°
= 89°60′ − 29°18′
∠B =
∠A = 29°18′
b=
a = 32.45 m
c=
= 60°42′
Tomamos un lado conocido y uno desconocido,
que al despejar c da:
Sustituimos,
Ahora podemos usar Pitágoras para hallar lado b:
3.
Resolver el triángulo ABC si a = 45.2 m y b = 20.5 m.
Datos
Incógnitas
∠C = 90°
∠A =
a = 45.2 m
∠B =
b = 20.5 m
c=
Con los lados conocidos podemos usar la tangente:
⇨
⇨
, con lo cual
Podemos encontrar ∠B restando ∠A de
123
Podemos usar Pitágoras para el lado c:
4. Un topógrafo encuentra que el ángulo de elevación del asta de una bandera como el de la
figura, es de 61.7° ( 61°42′ ). La observación se hace desde una altura de 1.5 m sobre el
nivel del piso y a una distancia de 10 m del asta. En estas condiciones, determínese la
altura del asta.
Solución: El problema se reduce a encontrar el lado f del triángulo de la figura 2-27 y sumarle
1.5, que es la altura sobre el nivel del piso donde se encuentra el punto de observación.
tan 61.7° =
f
10
f = 10(tan 61.7°)
f = 18.57
Al valor obtenido hay que sumarle 1.5m, que es la
Altura sobre el nivel del piso, así :
Altura del asta = 18.57 + 1.5 = 20.07 m .
5. Un vigilante se encuentra en la ventana del faro de la figura, a una altura de 32 m sobre el
nivel del océano. El ángulo de depresión del barco es de 27° . ¿A qué distancia se
encuentra el barco del faro?
Solución:
Podemos formar el triángulo ABC como
en la figura 2-28b. El lado b será la
solución del problema.
tan 27° =
b=
32
b
32
= 62.80 m
tan 27°
124
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos
No. 2
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I. Resolver el triángulo rectángulo ABC, dados:
1) c = 54
∠A = 37°40 ′
6) a = 156
∠A = 49°36′
2) c = 458
∠A = 64°18′
7) a =245
∠A = 54°40′
3) c = 12
∠A = 49°
4) a = 67
∠A = 42°30′
5) b = 25
∠B = 57°
8) b = 842
∠B = 79°14′
9) a = 120
10) b = 261.7
∠A = 61°
∠A = 43°21′
Respuestas:
1) ∠B = 52°20′; a = 32.99; b = 42.74
2) ∠B = 25°42′; a = 412.70; b = 198.63
6) ∠B = 40°24′; c = 204.858; b = 132.765
7) ∠B = 35°20′; c = 300.32; b = 173.68
3) ∠B = 41°; a = 9.056; b = 7.87
8) ∠A = 10°46′; a = 160.11; c = 857.08
4) ∠B = 47°30′; c = 99.17; b = 73.12
9) ∠B = 29°; c = 137.205; b = 66.516
5) ∠A = 33°; a = 16.235; c = 29.808
10) ∠B = 46°39′; a = 247.33; c = 359.87
125
II. Resolver el triángulo rectángulo ABC, dados:
1) a = 36
b = 58
6) c = 326
a = 28
2) a = 18.9 b = 32
7) c = 156.8 a = 99.46
3) a = 425
b = 260
8) c = 89
a = 72
4) c = 47
b = 33
9) c = 149
a = 51
5) c = 729.5 b = 617.5
10) c = 137 b = 105
Respuestas:
1) ∠A = 31°50′; ∠B = 58°10′; c = 68.26
6) ∠A = 4°56′; ∠B = 85°04′; b = 324.795
2) ∠A = 30°34′; ∠B = 59°26′; c = 37.16
7) ∠A = 39°22′; ∠B = 50°38′; b = 121.219
3) ∠A = 58°33′; ∠B = 31°27′; c = 498.22
8) ∠A = 54°; ∠B = 36°; b = 52.316
4) ∠A = 45°24′; ∠B = 44°36′; a = 33.466
9) ∠A = 20°01′; ∠B = 69°59′; b = 140
5) ∠A = 32°10′; ∠B = 57°50′; a = 388.41
10) ∠A = 39°58′; ∠B = 50°02′; a = 88
III. Resolver los siguientes problemas aplicados, usando triángulos rectángulos.
1. Cuando los rayos del Sol tienen una inclinación de 49° sobre la horizontal, el árbol de la figura
proyecta una sombra de 8.8 m sobre el piso, desde la base del mismo. ¿Cuál es la altura del árbol?
Resp: 10.1 m
126
2. Determínese la distancia AB y CB a través del lago mostrado en la figura.
3. El techo se define, en meteorología, como la distancia vertical del suelo a la base de las nubes,
Para medir el techo se coloca un reflector apuntando verticalmente hacia la nube. La figura
muestra un meteorólogo tratando de determinar cuál es la altura del techo. ¿Cuál es el valor de
esta altura?
Resp: 540 m
4. El barco de la figura navega en línea recta a lo largo de la costa. Cuando se encuentra
directamente frente el faro (L), el ángulo formado entre la línea del barco al faro y un hotel (H), es
de 53° . En estas condiciones, ¿Cuál es la distancia (d) que hay entre el barco y el faro?
127
5. Un aeroplano se encuentra volando a una altura de 760 pies cuando los motores fallan
repentinamente. Determínese el ángulo de deslizamiento θ , necesario para que el aeroplano
pueda llegar a un terreno plano que se encuentra a 5000 pies del lugar donde sucede la falla de los
motores de la figura.
Resp: 8.6°
6. Un observador de aves mira el nido de un águila, en el claro del risco de la figura. ¿Qué distancia
hay entre el nido del águila y la cima del risco?
Resp: 7.65 m
7. El copiloto del aeroplano de la figura, que vuela a una altura de 8000 pies sobre el nivel del
océano, descubre una isla. Calcúlese la anchura de la isla.
128
8. Un topógrafo hace dos observaciones, como se muestra en la figura, con objeto de obtener el
valor de la altura de la montaña ahí mostrada. Determínese la altura de la cima de la montaña h,
sobre el nivel del altiplano, si la distancia entre los dos puntos de observación es 200 pies.
9. Un topógrafo desea medir la altura h de un edificio, pero no puede medir la distancia que hay
entre los puntos B y C como se ve en la figura. Primero se sitúa en B y mide el ángulo de elevación
. Después retrocede 350 m, y desde A
a la parte superior del edificio (punto D) resultando de
mide el ángulo de elevación al punto D, obteniendo
. Con estos datos hallar la altura del
edificio.
Resp: 261.3 m
10.
Con los datos de la figura, estima la altura del acantilado. La altura del mástil es de 6 m.
129
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Triángulos oblicuángulos
No. 3
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
¬
Saberes a adquirir
Aplicación de la
Ley de Senos
¬ Aplicación de la
Ley de los
Cosenos
Manera didáctica de
lograrlos
Mediante exposición y
tareas
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
En un triángulo oblicuángulo se tienen seis elementos fundamentales: Los tres lados y los tres
ángulos. De tal manera que puede haber tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos,
pues conociendo dos ángulos, el tercero se puede obtener restándole a 180° la suma de los dos
primeros.
El triángulo oblicuángulo se puede resolver si se conocen tres elementos, no todos ángulos,
excepción hecha con base en el caso ambiguo.
En general se presentan cuatro casos:
a) Cuando se conoce un lado y dos ángulos.
b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
c) Cuando se conocen dos lados y un ángulo comprendido.
d) Cuando se conocen los tres lados.
De modo que la resolución de estos cuatro casos se hace con la aplicación de la ley de senos,
de los cosenos o de ambas.
Ley de los senos. En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos; es decir,
a
b
c
=
=
senA senB senC
130
Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo
comprendido; es decir,
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos
No. 3
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
Conociendo un lado y dos ángulos (Ley de Senos)
Ejemplo 1. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 22 m, ∠A = 35° y ∠B = 65° .
Datos
Incógnitas
131
Solución:
Cálculo del lado b
Cálculo del lado c
Que al despejar b queda:
Que al despejar c queda:
Conociendo dos lados y un ángulo no comprendido entre los lados conocidos (Ley de Senos)
Ejemplo 2.
Datos:
Incógnitas
lado c
Solución:
Cálculo del ángulo B
Cálculo del ángulo C
Cálculo del lado c
Por lo tanto
132
Conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre esos dos lados (Ley de Cosenos)
Ejemplo 3. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 125 m, b = 230 m, ∠C = 35°10′ .
Datos
Incógnitas
Cálculo del lado c
Cálculo del ángulo A
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Se puede usar la Ley de senos
c 2 = 15625 + 52900 − 57500(0.8175)
c 2 = 68525 − 47006.25
c = 21518.75 = 146.69
Cálculo del ángulo B:
NOTA: Si hubiéramos decidido halar al
por la Ley de Senos tendríamos:
⇨
⇨
Podemos observar que el valor obtenido no concuerda con el cálculo anterior para el ángulo B,
pero al observar el triángulo nos percatamos que se trata de un ángulo mayor a
. En este caso
se realiza la siguiente operación:
.
133
Conociendo los tres lados (Ley de Cosenos)
Ejemplo 4. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 36, b = 48 y c = 30.
Cálculo del ángulo A
Cálculo del ángulo B
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
a 2 + c 2 − b 2 36 2 + 30 2 − 48 2
=
cos B =
2ac
2(36)(30)
Que al despejar tenemos:
cos A =
b 2 + c 2 − a 2 48 2 + 30 2 − 36 2
=
2bc
2(48)(30)
cos B = −0.0500
∠B = 92°52′
cos A = 0.6625
∠A = cos −1 0.6625 = 48°30′
Por último:
134
∠C = 180° − 48°30′ − 92°52′ = 38°38′
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y
No. 3
la Ley de Cosenos
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:
1. a = 15
∠B = 48°15′ ∠C = 54°
6. a = 74 ∠A = 63°42′ ∠B = 34°52′
2. a = 85
∠B = 65°20′ ∠C = 50°10′
7. a = 82 ∠B = 51°42′ ∠C = 109°17 ′
3. a = 364
∠A = 50°15′ ∠B = 57°45′
8. b = 678 ∠A = 36°10′ ∠C = 44°35′
4. a = 478
∠B = 77°36′ ∠C = 45°
9. c = 246 ∠B = 38°56′ ∠C = 57°25′
5. a = 128 ∠A = 62°40′ ∠C = 38°20′ 10. c = 931 ∠B = 40°57′ ∠C = 129°29′
Respuestas:
1. ∠A = 77°45′ ; b = 11.45; c = 12.42
6. ∠C = 81°26′ ; b = 47.19; c = 81.63
2. ∠A = 64°30′ ; b = 85.58; c = 72.31
7. ∠A = 19°01′ ; a = 34.05; c = 98.62
3. ∠C = 72° ; b = 400.40; c = 450.31
8. ∠B = 99°15′ ; a = 405.36; c = 482.16
4. ∠A = 57°24′ ; b = 554.14; c = 401.18
9. ∠A = 83°39′ ; a = 290.14; b = 182.82
5. ∠B = 79° ; b = 141.43; c = 89.36
10. ∠A = 9°34′ ; a = 177.75; c = 700.95
135
II. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:
1. a = 525, b = 380, ∠A = 58°20′
5. a = 551, c = 608, ∠A = 60°12′
2. a = 25, b = 30, ∠A = 50°10′
6. a = 85, b = 45,
3. a = 740, b = 380, ∠A = 58°20′
7. a = 10, b = 6, ∠A = 20°10′
4, a = 14, c = 12,
∠A = 35°30 ′
∠A = 110°20′
8. b = 15, c = 8, ∠B = 39°15′
Respuestas:
1. ∠B = 38°01′; ∠C = 83°39′; c = 613.80
5. ∠B = 46°33′; ∠C = 73°15′; b = 460.96
2. ∠B = 67°09′; ∠C = 62°41′; c = 28.93
6. ∠B = 29°45′; ∠C = 39°55′; c = 58.17
3. ∠B = 25°55′; ∠C = 95°45′; c = 865.11
7. ∠B = 11°56′; ∠C = 147°44′; c = 15.48
4. ∠B = 29°51′; ∠C = 114°39′; b = 21.91
8. ∠A = 121°02′; ∠C = 19°43′; a = 20.31
III. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:
1. a = 78, b = 54, ∠C = 42°20′
5. b = 129, c = 87, ∠A = 27°14 ′
2. a = 67, b = 33, ∠C = 36°
6. a = 124, b = 175, ∠B = 83°26′
3. a = 886, b = 747, ∠C = 71°54′
7. b = 46, c = 18, ∠A = 115°42′
4. a = 455, b = 410, ∠C = 62°19′
8. b = 45, c = 31, ∠A = 55°19′
Respuestas:
1. ∠A = 94°; ∠B = 44°40′; c = 52.66
5. ∠B = 115°09′; ∠C = 37°37 ′; a = 65.2
2. ∠A = 118°18′; ∠B = 25°42 ′; c = 44.73
6. ∠A = 44°45′; ∠51°59′; c = 138.76
3. ∠A = 60°45′; ∠B = 47°21′; c = 965.26
7. ∠B = 47°31′; ∠C = 16°47 ′; a = 56.2
4. ∠A = 63°46′; ∠53°55′; c = 449.2
8. ∠B = 81°40′; ∠C = 43°01′; a = 37.4
136
IV. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:
1. a = 25, b = 36, c = 44
4. a = 6.34, b = 7.30, c = 9.98
2. a = 380, b = 400, c = 150
5. a = 12, b = 18, c = 20
3. a = 120, b = 80, c = 100
6. a = 83, b = 54, c = 41
Respuestas:
1. ∠A = 34°25′; ∠B = 54°54′; ∠C = 90°41′ 4. ∠A = 39°20′; ∠B = 46°50′; ∠C = 93°50′
2. ∠A = 71°29′; ∠B = 86°32′; ∠C = 21°59′ 5. ∠A = 36°20′; ∠B = 63°42′; ∠C = 79°58′
3. ∠A = 82°49′; ∠B = 41°25′; ∠C = 55°46′ 6. ∠A = 121°51′; ∠B = 33°50′; ∠C = 24°19′
V. Resuélvase los siguientes problemas usando la ley de senos:
1. ¿A qué distancia está la muchacha del castillo situado en el punto C?
137
2. Una joven caminante que se encuentra en el punto A de la figura desea dirigirse al punto C, que
se encuentra a 2.8 km en línea recta. A causa de las condiciones del terreno, decide seguir la
trayectoria de A a B para de ahí dirigirse hacia C. ¿Cuál será la distancia total que deberá recorrer?
Respuesta: 3.2 km
3. El globo de la figura, que está sujeto al punto A por una cuerda, es desplazado por el viento
hasta el punto C. Si un observador se encuentra en el punto B, ¿Cuál es la longitud de la cuerda
que sujeta al globo? La distancia entre A y B son 1526 m.
Respuesta: 1512 m
138
4. Un parque de béisbol está trazado como se muestra en la figura. Calcúlese la distancia que hay
desde home ( H ) hasta el punto C en el jardín central, siguiendo una trayectoria recta. La distancia
de H a A es también 315 pies. Al unir con una recta los puntos A y C, el ángulo H se corta a la
mitad.
Respuesta: 378.70 pies
VI. Resuélvase los siguientes problemas usando la ley de los cosenos.
1. Un topógrafo encuentra que el ángulo en el punto A de la figura, desde donde se observa los
puntos B y C, en cada orilla del lago, es 72° . Encuéntrese la distancia a través del lago
determinando la separación que hay entre los puntos B y C.
Respuesta: 21.7 m
139
2. En la figura se muestra un terreno de forma triangular, cuyo frente corresponde a las calles
Vine y Wilson. Calcúlese la longitud del lado restante.
Respuesta: 28.47 m
3. Un golfista golpea la pelota desde el punto de saque ( tee ) y la envía hasta el punto P de la
figura . ¿A qué distancia se encuentra la pelota del hoyo?
Respuesta: 158.1 yardas
P
140
VII. Subraya la respuesta correcta en los siguientes ejercicios:
1. ¿Cuál es la longitud del lado c?
a) 7.67
b) 8.12
c) 6.25
d) 7.34
2. ¿Cuánto vale el ángulo B de la siguiente figura?
a)
b)
c)
141
d)
3. El área del triángulo ABC es:
b)
a)
c)
d)
4. Las diagonales de un paralelogramo miden 8.54 y 5 cm y el ángulo que forman es de
. Calcule los lados a y b.
a)
a = 5 cm
b = 6.31 cm
b) a = 4 cm
b = 2.76 cm
c) a = 6 cm
b = 3.60 cm
142
d) a = 7 cm
b = 5.23 cm
Saberes
Nombre
Instrucciones para
el alumno
Identidades trigonométricas
No. 4
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
¬
Aplicar las ocho
identidades
trigonométricas
fundamentales
a) Relación inversa
b) Relación por
cociente
c) Relación
pitagórica
Saberes a adquirir
Manera didáctica
de lograrlos
Mediante exposición
y tareas
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Una identidad trigonométrica es un a igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo que
aparece en la igualdad.
Las relaciones fundamentales son las siguientes:
senθ csc θ = 1
(1)
cos θ sec θ = 1
(2)
tan θ cot θ = 1
(3)
tan θ =
senθ
cos θ
(4)
cot θ =
cos θ
senθ
(5)
cos 2 θ + sen 2θ = 1
(6)
1 + tan 2 θ = sec 2 θ
(7)
cot 2 θ + 1 = csc 2 θ
(8)
143
Las ocho relaciones fundamentales agrupadas anteriormente son identidades y se pueden usar
para deducir otros menos fundamentales.
El método mas simple para demostrar que un a ecuación en una identidad, consiste en convertir
uno de los miembros para la educación en la forma que tiene el otro miembro. Tal como se indico,
no existe un método general para lleva r a efecto estas conversiones, pero las indicaciones
siguientes pueden ser útiles como guía en este tipo de operacione3s:
1.- Generalmente es más conveniente trabar con el miembro mas complicado de la identidad.
2.- Si uno de los miembros contiene uno o más operaciones indicadas, estas se deben efectuar
como primer paso.
3.- Si uno de los miembros contiene mas de una función, mientras que el otro miembro contiene
solo una, se convierten las funciones del primer miembro en términos de la función que entra en
el segundo, de acuerdo con la relación fundamental.
4.- Si el numerador de uno de loe miembros contiene varios términos y el denominador solamente
uno, se puede en ciertos casos, efectuar la conversión deseada expresado el miembro en cuestión
como una suma de funciones y aplicando luego las relaciones fundamentales.
5.- De ser posible, uno de los miembros debe ser factorizado. Después de ello, quizá sea posible
distinguir el paso siguiente.
6.- Algunas veces, para obtener las conversiones deseadas es necesario multiplicar el numerador y
el denominador de un miembro por un mismo factor. Esto es equivalente al multiplicar la función
por la unidad.
7.- Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores, las funciones del miembro mas
complicado se conviertan en senos y cosenos, y se simplifica.
144
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Calentamiento con las identidades
No. 4
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
Ejemplo 1. Demostrar que es una identidad.
senθ + cos θ tan θ
= 2 tan θ
cos θ
Simplificado:
Por definición:
senθ cos θ tan θ
+
= 2 tan θ
cos θ
cos θ
tan θ + tan θ = 2 tan θ
2 tan θ = 2 tan θ
Ejemplo 2. Demostrar que la siguiente ecuación es una identidad
sen 2θ − cos 2 θ = sen 4θ − cos 4 θ
Por diferencias de cuadrados, trabajando el lado derecho:
sen 2 − cos 2 θ = (sen 2θ + cos 2 θ )(sen 2θ − cos 2 θ )
Como cos 2 θ + sen 2θ = 1 , la expresión anterior se transforma en:
sen 2 − cos 2 θ = (1)(sen 2θ − cos 2 θ )
145
Finalmente
sen 2 − cos 2 θ = sen 2θ − cos 2 θ
Ejemplo 3. Demostrar la identidad trigonométrica:
csc x tan x = sec x
Por definición:
1 senx
⋅
= sec x
senx cos x
1
= sec x
cos x
Si despejamos la identidad 2 tendremos que
sec x = sec x
Si x = 30°
csc 30° tan 30° = sec 30°
(2.0000) (0.5774) = 1.1547
1.1547 = 1.1547
Ejemplo 4. Demostrar la igualdad.
2
Cos A (sec A – cos A) = sen A
Multiplicando:
Por identidad:
Por lo tanto:
cosA secA - cos 2 A = sen 2 A
cosA
1
2
2
- cos A = sen A
cos A
2
2
1 - cos A = sen A
sen 2 A = sen 2 A
Si A = 45°
1 - (cos 45)° = (sen 45° ) 2 A
1 – 0.50 = 0.50
146
0.50 = 0.50
Ejemplo 5. Demostrar la siguiente identidad.
csc 2 A + cot 2 A csc 2 A = csc 4 A
Por identidad:
(1 + cot 2 A) + cot 2 A (1 + cot 2 A) = csc 4 A
Desarrollando la expresión:
1 + cot 2 A + cot 2 A +cot 4 A = csc 4 A
2
4
4
1 + 2cot A + cot A = csc A
Factorizando:
2
2
4
(1 + cot A) = csc A
4
4
csc A = csc A
Ejemplo 6. Hallar la demostración de:
4
2
2
4
sec A – 2sec A tan A+ tan A = 1
Factorizando:
2
2
2
(sec A - tan A) = 1
Por la identidad:
2
2
1+ tan A = sec A
Sustituyendo:
(1+ tan 2/ A - tan 2/ ) = 1
2
Simplificando:
2
(1) = 1
1= 1
147
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Ejercitándose con las identidades trigonométricas
No. 4
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
EJERCICIOS
Demostrar que cada una de las siguientes ecuaciones es una identidad. Aplicar las ocho
identidades fundamentales.
1. cot A (tan A + cot A) = csc 2 A
2
2. sen A (csc A – sen A) = cos A
3. (sec A – tan A) ( sec A + tan A) = 1
4. sec 2 A + csc 2 A = sec 2 A csc 2 A
5.
1 − tan A sec A
1 + tan A
+
=
sec A
tan A sec A tan A
6.
senA
1 + cos A
=0
1 − cos A
senA
7.
1 + tan Asen 2 A − tan A
= cot A - cos 2 A
senA
148
8.
tan xsenx 1 + cos x
=
1 − cos x
cos x
9.
cot x − tan x
= cot x + 1
1 − tan x
10.
senx tan x
- senx = tanx
csc x − cot x
11.
1 + 3 cos y 1 + 2 cos y − 3 cos 2 y
=
1 + cos y
sen 2 y
12.
senx
+ cotx = cscx
1 + cos x
13.
sec y
1 + tan 2 y
=
2
sec y ( seny + cos y ) 1 + tan y
14.
sen 3 y + cos 3 y sec y − seny
=
tan y − 1
2 sen 2 y − 1
15.
cos y + seny
2 tan y
1
+
=
2
2
1 − tan y 2 cos y − 1 cos y − seny
149
Competencia
•
•
Explicar el algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas
Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y algunas
aplicaciones.
Saberes
1. Ecuaciones Trigonométricas
2. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
Ejemplos
1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas
2. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Ejercicios
1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas
2. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas
150
5


ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA

RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Domina el algoritmo para resolver
ecuaciones trigonométricas
Aplica principios algebraicos y
aritméticos para desarrollar el método
más pertinente en la resolución de las
ecuaciones exponenciales.
Elije la estrategia aritmética o
algebraica más conveniente para
resolver ecuaciones logarítmicas
Domina los conceptos fundamentales del
álgebra y la trigonometría, así como aplica las
estrategias más pertinentes para resolver
ecuaciones trigonométricas, exponenciales y
logarítmicas.
151
Saberes
Nombre
Instrucciones para
el alumno
Ecuaciones trigonométricas
No. 1
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
¬
Saberes a adquirir
Concepto de
ecuación
trigonométrica
¬
Resolución de
ecuaciones
trigonométricas
Manera didáctica de
lograrlos
Mediante exposición
y tareas
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones
trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las
funciones trigonométricas.
Para resolver la ecuación trigonométrica calculamos el número finito de valores del ángulo en un
intervalo especificado para los que se satisface la ecuación.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que
tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una
ecuación trigonométrica.
152
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas
No. 1
1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
Ecuaciones que se resuelven mediante operaciones algebraicas simples
No existe un método general para la resolución de las ecuaciones trigonométricas. Los métodos de
resolución son parcialmente algebraicos y parcialmente trigonométricos.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación: 2senθ cos θ − cos θ = 0
para
cos θ ( 2 senθ − 1) = 0
Factorizado:
Igualando cada factor a cero, se obtiene:
cosθ = 0
θ = cos −1 0 = 0°
2senθ − 1 = 0
Solución:
rad,
,
senθ =
1
2
θ = sen −1
1
= 30°
2
. También puedes dar la solución en radianes:
(Si tienes duda pregunta a tu maestro porqué
153
también son soluciones).
Ejemplo2. Resuelva la ecuación
para
Solución: Factorizando
Iguale a cero cada factor y simplifique:
La solución con este factor:
Esta igualdad no interesa puesto que
no
puede ser mayor que 1. La única solución es la anterior.
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Resuelva las ecuaciones siguientes para
1.
7.
2.
8.
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
12.
7.
154
Saberes
Nombre
Instrucciones para el
alumno
Saberes a adquirir
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
No. 2
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
¬ Concepto de
función
exponencial
¬
Concepto y
propiedades de
los logaritmos
¬ Concepto de
cologaritmo
¬ Aplicación de las
ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas
Manera didáctica de
lograrlos
Mediante exposición
y tareas
Función Exponencial
Una función exponencial es una función definida por ecuaciones del tipo:
, donde
, b≠ 1
Donde b es una constante, llamada la base y el exponente en una variable. El dominio de f es el
conjunto R de números reales.
A las funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento puesto que su
uso mas extenso esta en la descripción de diferentes clases de fenómenos de crecimiento. Estas
funciones se usan para describir crecimiento de poblaciones de personas, de animales, de
bacterias; desintegración radio activa, formación de nuevas sustancias químicas.
Es una reacción; aumento o disminución en la temperatura de una sustancia cuando se calienta o
se enfría; aumento de dinero colocado a intereses; absorción de la luz al pasar por el aire, agua o
vidrio; descenso de la presión atmosférica cuando aumenta la altura; aumento del aprendizaje de
una destreza como la natación.
La base exponencial es un número irracional, denotando por “e” y es la base exponencial de uso
mas frecuente tanto en la parte teórica como practico.
155
La función:
f ( x) = e x
Se le dice la función exponencial por uso tan extenso. Las razones para la preferencia para “e”
como una base son claras en cursos mas avanzadas. El numero irracional “e” con cinco cifras
decimales es:
e =2.71828
LOGARITMOS
Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para
obtener el número dado. Así:
4° = 1
41 = 4
4 2 = 16
4 3 = 64
Luego, siendo la base 4, el logaritmo de 1 es 0, por que 0 es el exponente a que hay que elevar la
base 4 para que de 1; el log 4 es 1; es log 16 es 2, el log 64 es 3, etc.
Esta forma de representación se llama forma exponencial.
Base. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmo.
La forma exponencial de las relaciones anteriores, las podemos representar de otra forma que se
denomina forma logarítmica:
Forma exponencial
Forma logarítmica
4° = 1
41 = 4
4 2 = 16
4 3 = 64
156
SISTEMAS DE LOGARITMO
Pudiendo tomarse como base de un sistema de logaritmos cualquiera numero positivo, el número
del sistema es ilimitado. No obstante, los sistemas usados generalmente son dos: El sistema de
logaritmo Vulgares o Briggs cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o neperianos
creados por Neper, cuya base es el número inconmensurable
e = 2,71828181828…
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1.- Logaritmo de un Producto. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de
los factores.
log b MN = log b M + log b N
2.- Logaritmo de un Cociente. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo de dividiendo
menos el logaritmo de divisor.
log b
M
= log b M − log b N
N
3.- Logaritmo de una Potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por
el logaritmo de la base.
log b M P = P log b M
4.- Logaritmo de una Raíz. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical
dividido entre el índice de la raíz.
log
n
M =
log M
n
Para todos los casos si b, M y N son números reales positivos, b ≠ 1 y p es cualquier número real.
157
Logaritmos de Briggs
Observando la progresión en forma exponencial:
10 0 = 1
10 −1 = 0.1
101 = 10
10 −2 = 0.01
10 2 = 100
10 −3 = 0.001
10 3 = 1000
10 −4 = 0.0001
10 4 = 10000
10 −5 = 0.00001
Podemos deducir fácilmente la forma logarítmica de los logaritmos de base 10. Cuando la base es
10 se acostumbra omitir este número en la notación. Tú podrás notar que en la calculadora
tampoco aparece el número 10, lo cual significa que es un logaritmo base 10.
log 1 = 0
log 0.1=-1
log 10 = 1
log 0.01=-2
log 100 = 2
log 0.001= -3
log 1000 = 3
log 0.0001=-4
log 10000 = 4
log 0.00001= -5
CARACTERISTICA Y MANTISA
El logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10 consta de una parte entera y una
parte decimal. La parte entera se llama característica, y la parte decimal, mantisa.
La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número esta
comprendido entre 1 y 10; positiva si el número es mayor que 10 o negativa si el numero es menor
que 1. Las potencias de 10 solo tienen característica; su mantisa es cero.
158
COLOGARITMO
Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de si inverso; también se le conoce como
antilogaritmo.
Ejemplos:
log 35 =
1{
.1
54441
23
caracteristica
matisa
log 5350 = 3.7284
log 0.025 = -1.6021
Cologaritmo: 1.5441= 35
Cologaritmo: 3.7284= 5350.56
Cologaritmo: -1.6021= 0.025
Para calcular el logaritmo de un número, basta activar la tecla “log” en una calculadora científica,
programable o graficadora preferentemente Casio, Texas Instruments o Hewlett Packard. Utilizar
imitaciones puede calcular resultados ambiguos o errados. Para calcular el cologaritmo o
antilogaritmo, antes de activar la tecla “log” se presiona la tecla “shift” en la calculadora Casio y
“2nd” o “INV” para las Texas Instruments o Hewlett Packard.
ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las cuales la incógnita está en el exponente.
Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplican logaritmos a los dos miembros de la ecuación y
se despeja la incógnita.
159
Ejemplos
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas
No. 2
1.
Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.
2.
Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.
Orden
Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema
de lograrlas
1.
Propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
2.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas
de otros compañeros.
Ejemplo 1. Graficar la función exponencial:
Proponer valores:
x
-3
-2
1
8
1
4
f(x) −
-1
0
1
2
1
1
2
2
3
4
8
Gráfica hecha con una calculadora graficadora
160
Ejemplo 2. Construir la grafica de la función exponencial mostrada para − 3 p x p 3
o equivalente,
Proponer valores:
x
-3
-1
y
27
3
0
1
1
3
1
3
1
27
Ejemplo 3. Construir la grafica de la función:
Proponer valores:
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
14.33 12.71 11.27 10 8.87 7.87
161
3
6.98
Ejemplo 4. Hallar el resultado de 632 x 0.285 aplicando logaritmo.
log (632x0.285) = log 632 + log 0.285
= 2.8007 + (-0.5452) = 2.2555
colog 2.2555 = 180.09
Ejemplo 5. Hallar por log el valor de:
331.81 x 0.0004 x 54.72 =
Aplicando la propiedad de logaritmos para multiplicación:
log 331.81+log 0.0004 + log 54.72=
2.5209+ (-3.3979)+1.7381= 0.8611
colog 0.8611= 7.2627
Aplicando la ley de los signos = -7.2627
Ejemplo 6. Por logaritmos, resolver la división:
8753.90
=
14.5342
Aplicando la propiedad de logaritmos en la división:
log 8753.90 - log 14.5342 =
3.9422 - 1.1624 = 2.7798
colog 2.7798 = 602.2821
162
Ejemplo 7. Hallar el valor de la potencia:
9.507 =
Aplicando la propiedad de exponentes en logaritmos.
7(log 9.50) =
7(0.9777) = 6.8441
colog 6.8441 = 6983372.961
Ejemplo 8. Hallar el valor de la expresión por logaritmos.
4328x0.08146
816.95
Aplicado las propiedades de los logaritmos:
log 4328 + log 0.08146 - log 81695 =
3.6363 + (-1.0890) - 2.9122 =
3.6363 - 1.0890 - 2.9122 = -0.3649
colog - 0.3649 = 0.4349 = 0.4315
Ejemplo 9. Resolver la expresión por logaritmos.
200.48 x0.07497
=
8.16 x0.039
Aplicando las propiedades logarítmicas:
(log 200.48 + log 0.07497) – (log 8.16 + log 0.039) =
(2.3021 + (−1.1251)) – (0.9117 + (−1.4089)) =
(2.3021 – 1.1251) – (0.9117 – 1.4089) =
1.177 + 0.4972= 1.6742
colog 1.6742 = 47.2285
163
Ejemplo 10. Hallar el valor del producto de potencias.
Resolviendo por logaritmos:
3
7
3
7
log 4 + 94 log 6 =
(0.6020) + 94 (0.7781) = 0.2580 + 0.3458 = 0.6039
colog 0.6039 = 4.0167
Ejemplo 11. Hallar por logaritmos.
4
43.9 x 0.007
=
0.18 x 79.62
Aplicando propiedades:
=
1
[(log 43. + log 0.007) – (-0.18 + log 79.62)]
4
=
1
[(1.6424 – 2.1549) – (-0.7447 + 1.9010)]
4
=
1
1
[(- 0.5124) – (1.1563)] =
(-1.6687)
4
4
= -0.4172
colog -0.4172 = 0.3827
164
Ejemplo 12. Calcular la operación de radicales por logaritmos.
43.19 × 5 0.88
=
7
724.13
Por logaritmos:
1
1
1
log 43.19 + log 0.88 log 724.13 =
2
5
7
= 0.8177 + (-0.0111) – 0.4085
= 0.8177 – 0.111 – 0.4085
= 0.3980
Finalmente se obtiene
colog 0.3980 = 2.5006
Ejemplo 13. Resolver la ecuación:
Aplicando propiedades de logaritmos:
x (log 7) = log 85
Despejando x:
x=
log 85
log 7
x=
x = 2.2831
165
1.9294
0.8451
Ejemplo 14. Resolver la ecuación:
Por propiedades logaritmos:
(3x+2) log 6 = log 216
3x+2 =
log 216
log 6
3x+2 =
2.3344
0.7781
que al despejar x nos da:
3x+2 = 3
3x = 3 - 2
x =
1
3
“ESTUDIO DE POBLACIÓN”
Una de las poblaciones más importantes de logaritmos tanto de Briggs como Neperianos y la
notación exponencial es en el estudio de la población y su crecimiento.
La dotación de servicios, crea la necesidad de ejecutar proyecciones del crecimiento de la
población a determinado numero de años. Agua potable, electricidad, salud, alcantarillado y
sistema de transporte son algunos de los servicios para los cuales es necesario realizar las
proyecciones del crecimiento de la población.
Estos estudios de crecimiento se apoyan en datos estadísticos recabados generalmente cada 10
años por medio de los censos de población.
Las poblaciones crecen por nacimientos, inmigración y anexión, principalmente; de crecer por
muerte y emigración. Cada uno de estos elementos tienen gran influencia por los factores sociales,
económicos y del medio ambiente que son inherentes a la localidad, otros son de origen regional,
nacional y mundial.
Existen varios métodos de predicción de población futura, los cuales indican la formación de un
juicio para la toma de decisiones con relación a la población del proyecto dentro de un periodo de
tiempo considerado. Localidades próximas a centros turísticos, agrícolas, industriales, el
conocimiento de hoteles y otros nos permite conocer la población flotante, misma que en muchos
casos puede implicar necesidades extraordinarias en lo referente al suministro del servicios
públicos.
166
Ejemplo 15. De acuerdo a los Censos de Población y Vivienda ejecutados por el INEGI (instituto
Nacional de Estadística, Geográfica e Informática), los siguientes datos representan la
población de Mexicali, Baja California desde el año 1930 a 2000, hallar la población para:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2008
2010
2015
2025
2050
DATOS DE POBLACION
AÑO
POBLACION MEXICANA
1930
14,482 Habitantes
1940
18,775 Habitantes
1950
64,609 Habitantes
1960
107,076 Habitantes
1970
310,940 Habitantes
1980
487,708 Habitantes
1990
601,968 Habitantes
2000
764,902 Habitantes
MÉTODO GEOMÉTRICO
Pf = PUC e kt
en donde:
k=
ln Puc − ln Pi
Tuc − Ti
Puc = Población Ultimo Censo
Pi = Población Inicial, un censo antes de Puc
t = Diferencia de años
Tuc = Año del ultimo censo
Ti = Año del censo de Pi
167
Sustituyendo:
k=
ln 764902 − ln 601938
2000 − 1990
k=
13.5475 − 13.3079
= 0.0240
10
Finalmente:
Pf 2008 = 764902e ( 0.0240)(8)
a)
Pf 2008 = 764902(1.2117)
Pf 2008 = 926809 hab
Pf 2010 = 764902e (0.0240)(10)
b)
Pf 2010 = 972381 hab
c)
Pf 2015 = 764902e ( 0.0240)(15)
Pf 2015 = 1,096,357 hab
d)
Pf 2025 = 764902e ( 0.0240)( 25)
Pf 2025 = 1,393,742 hab
e)
Pf 2050 = 764902e (0.0240)(50)
Pf 2050 = 2,539,564 hab
Para aplicar la fórmula Pf = PUC e kt , hay que activar la tecla e x . Para calculadoras Texas
Instruments aplastar las teclas 2 ND y luego e x
mientras que para las calculadoras Casio hay que
aplastar shift y luego e x .
168
Ejemplo 16. La población de Eureka situada en el extremo Norte de California en la frontera con el
estado de Oregon, contaba con 50,000 habitantes en 1930. Para 1960 la población había
aumentado a 75,000 personas. ¿Cuál será la población esperada para el año 2010 en Eureka,
California?
Pf = PUC e kt
k=
ln 75000 − ln 50000
= 0.0135
1960 − 1930
Pf 2010 = 75000e ( 0.0135)(50)
Pf 2010 = 75000(1.9640)
Pf 2010 = 147,302 hab
169
Ejercicios
Nombre
Instrucciones
para el alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas
No. 2
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de
conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Orden y
Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema
responsabilidad
de lograrlas
1.
Propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
2.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
1. Construir la gráfica de cada función exponencial para − 4 ≤ x ≤ 4 . Fijar puntos de la gráfica
para x entero y luego unirlos con una curva continua.
(a) y = 3
x
(b) y = 4(3 )
x
(c) y = 2
−x
(d) y = 2
x
−x
(e) y = 4(2 )
2. Utilizando la calculadora científica, encontrar el logaritmo de cada uno de los números.
(a) log 5.32
(b) log 28.14
(c) log 3.50
(d) log 9.93 (e) log 8.72 (f) log 47
(g) log 846000 (h) log 0.000094 (i) log 5.039 (j) log 213 (k) log 0.00093 (l) log 0.19
3. Utilizando una calculadora científica, hallar el cologaritmo del logaritmo de x.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
log x = 0.9226
log x = 0.8929
log x = 0.7913
log x = 0.4954
log x = 9.4146
log x = 0.9698 – 4
log x = 4.4140
log x = 1.6130
log x = 0.6809-3
(j) log x = 0.00089 -2
(k) log x = 0.4769-3
(l) log x = 5.9323-8
(m) log x = - 0.1837
(n) log x = -0.6396
(o) log x = -2.9258
(p) log x = 2.318
(q) log x = 2.5735
(r ) log x = 0.4385
170
4. Resolver las siguientes operaciones por logaritmos.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(82.6)(957)
(6152)(48.2)
41.17/ 6714
(6752000)(0.00918)
(9.496) 7
(f) (0.000304)
(g)
4
309.13
526.91
(h)
(i)
6
(2.5034) 5 (0.0778)
0.02442
(0.0347) 4
(j)
(0.00972)(−555)
(k)
(5.78) 2
0.5749
8594)(15.991)
0.017
(l)
(m)
(639000) 4 (0.0007423) 7
6
0.1148
5. Encuentre el valor de x en cada uno de los siguientes problemas
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
171
6.
Según los Censos de Población y Vivienda realizados por el INEGI, las siguientes cifras
representan la población de Tijuana, Baja California de 1960 a 2000. Aplicando el método
geométrico, ejecutar una proyección para los años:
(a) 2008
(b) 2010
Datos de Población
(c) 2015
(d) 2025
Año
Población Tijuana
(e) 2050
1960
165,673 hab
1970
340,596
1980
461,260
1990
747,381
2000
1,210,820
7. Los siguientes datos representan la población de Ensenada, Baja California durante los censos
de 1|960 a 2000. Aplicando el método geométrico, realizar una proyección de crecimiento para
los años.
(a) 2009
Datos de población
(b) 2010
Año
(c) 2012
1960
64,917
(d) 2013
1970
115,418
(e) 2025
1980
175,387
(f) 2050
1990
259,979
2000
370,730
Población Ensenada
172