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Empaquetamiento compacto
Introducción a la
Ciencia de Materiales
M. Bizarro
Energía
g y empaquetamiento
p q
• No denso, empaquetamiento
aleatorio
Energy
Distancia del enlace
r
energía de
enlace
• Denso, empaquetamiento
ordenado
Energy
distancia del enlace
Energía de enlace
r
Estructuras densas y con empaquetamiento
p q
ordenado
tienden a tener menores enegías.
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M. Bizarro
Estructuras cristalinas metálicas
• ¿Cómo podemos acomodar átomos
para minimizar el espacio
p
vacío?
metálicos p
2 dimensiones
vs.
Ahora hay que apilar estas capas para formar estructuras en 3D
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M. Bizarro
Modelo de esfera dura
• Los átomos (o iones) se consideran como esferas
sólidas con diámetros bien definidos  Modelo
atómico de esfera dura
• Las esferas más cercanas se tocan entre sí.
• En los metales cada esfera representa el núcleo
atómico.
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M. Bizarro
Estructuras cristalinas metálicas
• Tienen empaquetamiento denso
• Razones p
para el empaquetamiento
p q
denso:
- Generalmente solo está presente un elemento, por lo que todos
los radios atómicos son iguales.
- El enlace
l
metálico
táli no es di
direccional.
i
l
- Las distancias a los primeros vecinos tienden a ser cortas
para reducir la energía
p
g del enlace.
- La nube electrónica cubre a los núcleos
• Tienen las estructuras cristalinas más simples.
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Estructura cúbica simple
p ((CS))
• Es rara debido a su baja densidad de empaquetamiento
• Las direcciones de empaquetamiento compacto son los
bordes del cubo
• # Coordinación = 6
(# primeros vecinos)
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Factor de empaquetamiento atómico (APF)
Volumen de los átomos en la celda unitaria*
APF =
Volumen de la celda unitaria
*asumidos como esferas
Cubo de lado ‘a’
Radio atómico, R
a
R=0.5a
contiene 8 x 1/8 =
1 átomo/celda unitaria
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átomos
Celda u
u.
APF =
volumen
átomo
4
(0.5a)
(0 5a) 3
1
3
a3
volumen
Celda u.
• APF de una cúbica simple = 0.52
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•
Cúbica centrada en el cuerpo
(BCC)
Los átomos se tocan a lo largo de las diagonales.
ej:
j Cr,, W,, Fe (),
( ), Tántalo,, Molibdeno
• # Coordinación = 8
Adapted from Fig. 3.2,
Callister 7e.
2 átomos/celda unitaria: 1 centro + 8 esquinas x 1/8
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Factor de empaquetamiento:
p q
BCC
3a
a
R
a
2a
Direcciones de empaquetamiento:
longitud=4R = 3 a
átomos
volumen
4
 ( 3a/4) 3
2
Celda u
átomo
3
APF =
volumen
a3
C ld unitaria
Celda
it i
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• APF para una estructura BCC es = 0.68
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Cúbica centrada en las caras
(FCC)
• Los átomos se tocan entre sí a lo largo de las diagonales
de las caras.
--Nota: Todos los átomos son iguales.
ej: Al
Al, Cu
Cu, Au
Au, Pb
Pb, Ni,
Ni Pt
Pt, Ag
• # Coordinación =
12
4 átomos/celda unitaria: 6 caras x 1/2 + 8 esquinas x 1/8
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Factor de empaquetamiento:
p q
FCC
Tiene el factor de empaq. máximo
2a
a
Direcciones de empaquetamiento:
largo = 4R = 2 a
La celda unitaria contiene:
6 x 1/2 + 8 x 1/8
= 4 átomos/celda unitaria
átomos
volumen
4
3
( 2a/4)
4
Celda u.
átomo
3
APF =
volumen
3
a
Celda unitaria
• APF para una estructura FCC = 0.74
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Secuencia de apilamiento FCC
• ABCABC... Secuencia de apilamiento
• Proyección
y
2D
B
B
C
A
B
B
B
A sites
i
C
C
B sites
B
B
C sites
• Celda unitaria FCC
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A
B
C
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Estructura Hexagonal
g
Compacta
(HCP)
• ABAB...
ABAB Secuencia
S
i d
de apilamiento
il i t
• Proyección 3D
• Proyección 2D
sitios A
c
sitios B
Sitios A
Capa superior
Capa intermedia
Capa inferior
a
• # Coordinación = 12
• APF = 0.74
• c/a = 1.633
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6 átomos/celda unitaria
ej: Cd, Mg, Ti, Zn
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Densidad teórica
teórica, 
Masa de átomos en la celda unitaria
Densidad =  =
Volumen total de la celda unitaria
 =
dónde
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nA
VC NA
n = número de átomos/celda unitaria
A = peso atómico
VC = Volumen de la celda unitaria = a3 para
celda cúbica
NA = número de Avogadro
= 6.023
6 023 x 1023 átomos/mol
át
/ l
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Ejercicio 1
• El cobre tiene un radio atómico de 0.128
nm,, una estructura cristalina FCC y un
peso atómico de 63.5 g/mol. Calcule la
densidad teórica y compare la respuesta
con el valor medido reportado en tablas
(8 94 g/cm3)
(8.94
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Ejercicio 2
• Calcule la densidad teórica del cromo, si:
• Cr (BCC)
(
)
Peso atómico: A = 52.00 g/mol
Radio atómico: R = 0.125 nm
número de átomos por celda =
R
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a
medida = 7.19 g/cm3
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Densidad lineal y planar
En cristalografía:
• Direcciones cristalográficas
g
densidad lineal
• Planos cristalográficas  densidad planar
• Direcciones equivalentes
q
tienen igual
g
densidad lineal (LD). Las unidades son en
inverso de longitud (i
(i.e.
e nm-1,m
m-1)
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Densidad Lineal
• Densidad lineal de átomos  LD =
[110]
a
Longitud del vector de dirección
ej: densidad lineal del Al en la
dirección [110]
a = 0.405 nm
# átomos
LD 
longitud
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Número de átomos
2
2a
 3.5 nm 1
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Densidad planar
p
• Densidad planar de átomos  PD =
Número de átomos en el plano
Área del plano
Las unidades son el inverso del área (i
(i.e.
e nm-2,m
m-2)
Ej. Considere la sección del plano (110) dentro de una celda
unitaria FCC
Área= (4R)(2R√2)
= 8R2√2
PD110=
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1
4R2√2
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• Empaquetamiento compacto
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Hexagonal
g
compacta
p
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Secuencia de apilamiento de
empaquetamiento compacto para FCC
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