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Espacios Booleanos
Rodrigo Jesús Hernández Gutiérrez
[email protected]
Instituto de Matemáticas
Universidad Nacional Autónoma de México
Espacios Booleanos– p. 1/12
Recordemos...
Sea X un espacio topológico. Recordemos que X es...
Hausdorff si cualesquiera dos puntos de X se pueden
separar por abiertos,
compacto si X es homeomorfo a un cerrado de un
cubo de Tychonoff [0, 1]κ ,
disconexo si X se puede escribir como la unión de dos
abiertos ajenos no vacíos.
Espacios Booleanos– p. 2/12
Recordemos...
Sea X un espacio topológico. Recordemos que X es...
Hausdorff si cualesquiera dos puntos de X se pueden
separar por abiertos,
compacto si X es homeomorfo a un cerrado de un
cubo de Tychonoff [0, 1]κ ,
disconexo si X se puede escribir como la unión de dos
abiertos ajenos no vacíos.
Definición. Un espacio X es 0-dimensional si es Hausdorff y para cada
x ∈ X y U abierto con x ∈ U , existe un abierto y cerrado V tal que
x ∈ V ⊂ U.
Por ejemplo, los racionales, el conjunto de Cantor,
cualquier espacio discreto; todos son 0-dimensionales.
Espacios Booleanos– p. 2/12
Espacios Booleanos
Definición. Un espacio Booleano es un espacio compacto, Hausdorff y
0-dimensional.
Espacios Booleanos– p. 3/12
Espacios Booleanos
Definición. Un espacio Booleano es un espacio compacto, Hausdorff y
0-dimensional.
Un ejemplo importante de espacio Booleano es el espacio
de Cantor generalizado κ 2, que es el producto de κ copias
del espacio discreto con dos puntos. En el caso κ = ω , se
tiene el conjunto de Cantor tradicional.
Espacios Booleanos– p. 3/12
Espacios Booleanos
Definición. Un espacio Booleano es un espacio compacto, Hausdorff y
0-dimensional.
Un ejemplo importante de espacio Booleano es el espacio
de Cantor generalizado κ 2, que es el producto de κ copias
del espacio discreto con dos puntos. En el caso κ = ω , se
tiene el conjunto de Cantor tradicional.
Proposición. Si X es un espacio 0-dimensional con w(X) ≤ κ,
entonces X se puede encajar en κ 2.
Espacios Booleanos– p. 3/12
¿Porqué se llaman Booleanos?
Definición. Un álgebra Booleana es un orden parcial (B, ≤, ∨, ∧,′ ) tal
que existen el mayor 1, el menor 0, para cualesquiera a, b ∈ B , existen
el supremo a ∨ b, el infimo a ∧ b y para cada a ∈ B , existe a′ ∈ B el
complemento de a.
El ejemplo canónico de álgebra booleana es considerar
(P(X), ⊂, ∪, ∩, X − · · ·) para algún conjunto X .
Espacios Booleanos– p. 4/12
¿Porqué se llaman Booleanos?
Definición. Un álgebra Booleana es un orden parcial (B, ≤, ∨, ∧,′ ) tal
que existen el mayor 1, el menor 0, para cualesquiera a, b ∈ B , existen
el supremo a ∨ b, el infimo a ∧ b y para cada a ∈ B , existe a′ ∈ B el
complemento de a.
El ejemplo canónico de álgebra booleana es considerar
(P(X), ⊂, ∪, ∩, X − · · ·) para algún conjunto X .
Si X es un espacio topológico, consideramos CO(X) la
colección de cerrados y abiertos de X . Sucede que X es
un subálgebra Booleana de P(X).
Espacios Booleanos– p. 4/12
¿Porqué se llaman Booleanos?
Definición. Un álgebra Booleana es un orden parcial (B, ≤, ∨, ∧,′ ) tal
que existen el mayor 1, el menor 0, para cualesquiera a, b ∈ B , existen
el supremo a ∨ b, el infimo a ∧ b y para cada a ∈ B , existe a′ ∈ B el
complemento de a.
El ejemplo canónico de álgebra booleana es considerar
(P(X), ⊂, ∪, ∩, X − · · ·) para algún conjunto X .
Si X es un espacio topológico, consideramos CO(X) la
colección de cerrados y abiertos de X . Sucede que X es
un subálgebra Booleana de P(X).
Si X es 0-dimensional, entonces CO(X) es base para los
abiertos (y para los cerrados) de X .
Espacios Booleanos– p. 4/12
¿Se vale un regreso?
Pregunta. ¿Dada una álgebra Booleana B , existe algún espacio
topológico X tal que CO(X) ≈ B ?
Espacios Booleanos– p. 5/12
¿Se vale un regreso?
Pregunta. ¿Dada una álgebra Booleana B , existe algún espacio
topológico X tal que CO(X) ≈ B ?
Notemos que si X es 0-dimensional y x ∈ X , entonces
N (x) = {U ∈ CO(X) : x ∈ U } cumple las siguientes
propiedades:
T
N (x) = {x},
si U, V ∈ N (x), entonces U ∩ V ∈ N (x),
si U ∈ N (x) y V ∈ CO(X) es tal que U ⊂ V , entonces
V ∈ N (x).
Espacios Booleanos– p. 5/12
¿Se vale un regreso?
Pregunta. ¿Dada una álgebra Booleana B , existe algún espacio
topológico X tal que CO(X) ≈ B ?
Notemos que si X es 0-dimensional y x ∈ X , entonces
N (x) = {U ∈ CO(X) : x ∈ U } cumple las siguientes
propiedades:
T
N (x) = {x},
si U, V ∈ N (x), entonces U ∩ V ∈ N (x),
si U ∈ N (x) y V ∈ CO(X) es tal que U ⊂ V , entonces
V ∈ N (x).
Es decir, N (x) es un CO(X)-ultrafiltro fijo.
Espacios Booleanos– p. 5/12
Ultrafiltros
Definición. Si B es un álgebra Booleana, un B -filtro es una colección
F ⊂ B que cumple las siguientes condiciones:
1 ∈ F, 0 ∈
/ F,
si a, b ∈ F, entonces a ∧ b ∈ F,
si a ∈ F y b ∈ B es tal que a ≤ b, entonces b ∈ F.
Espacios Booleanos– p. 6/12
Ultrafiltros
Definición. Si B es un álgebra Booleana, un B -filtro es una colección
F ⊂ B que cumple las siguientes condiciones:
1 ∈ F, 0 ∈
/ F,
si a, b ∈ F, entonces a ∧ b ∈ F,
si a ∈ F y b ∈ B es tal que a ≤ b, entonces b ∈ F.
Definición. Decimos que un B -filtro F es B -ultrafiltro si cada vez que
a, b ∈ B cumplen a ∨ b ∈ F, entonces a ∈ F ó b ∈ F. De manera
equivalente, un B -ultrafiltro es un B -filtro maximal.
Espacios Booleanos– p. 6/12
Ultrafiltros
Definición. Si B es un álgebra Booleana, un B -filtro es una colección
F ⊂ B que cumple las siguientes condiciones:
1 ∈ F, 0 ∈
/ F,
si a, b ∈ F, entonces a ∧ b ∈ F,
si a ∈ F y b ∈ B es tal que a ≤ b, entonces b ∈ F.
Definición. Decimos que un B -filtro F es B -ultrafiltro si cada vez que
a, b ∈ B cumplen a ∨ b ∈ F, entonces a ∈ F ó b ∈ F. De manera
equivalente, un B -ultrafiltro es un B -filtro maximal.
En particular, en un espacio X , los conjuntos de la forma
N (x) sonTCO(X)-ultrafiltros.
Cualquier CO(X)-ultrafiltro U
T
cumple | U| ≤ 1. Si U = {x}, entonces U se llama fijo y
es fácil demostrar que U = N (x). Si X es compacto, todo
ultrafiltro es fijo.
Espacios Booleanos– p. 6/12
El espacio de Stone de un BA
Dada un álgebra Booleana B , consideramos el conjunto
St(B) de B -ultrafiltros y demosle la siguiente topología.
Para a ∈ A, sea λ(a) = {U ∈ St(B) : a ∈ U}. Observemos
que se cumplen:
Espacios Booleanos– p. 7/12
El espacio de Stone de un BA
Dada un álgebra Booleana B , consideramos el conjunto
St(B) de B -ultrafiltros y demosle la siguiente topología.
Para a ∈ A, sea λ(a) = {U ∈ St(B) : a ∈ U}. Observemos
que se cumplen:
St(B) = λ(1),
Espacios Booleanos– p. 7/12
El espacio de Stone de un BA
Dada un álgebra Booleana B , consideramos el conjunto
St(B) de B -ultrafiltros y demosle la siguiente topología.
Para a ∈ A, sea λ(a) = {U ∈ St(B) : a ∈ U}. Observemos
que se cumplen:
St(B) = λ(1),
∅ = λ(0),
Espacios Booleanos– p. 7/12
El espacio de Stone de un BA
Dada un álgebra Booleana B , consideramos el conjunto
St(B) de B -ultrafiltros y demosle la siguiente topología.
Para a ∈ A, sea λ(a) = {U ∈ St(B) : a ∈ U}. Observemos
que se cumplen:
St(B) = λ(1),
∅ = λ(0),
λ(a ∧ b) = λ(a) ∩ λ(b),
Espacios Booleanos– p. 7/12
El espacio de Stone de un BA
Dada un álgebra Booleana B , consideramos el conjunto
St(B) de B -ultrafiltros y demosle la siguiente topología.
Para a ∈ A, sea λ(a) = {U ∈ St(B) : a ∈ U}. Observemos
que se cumplen:
St(B) = λ(1),
∅ = λ(0),
λ(a ∧ b) = λ(a) ∩ λ(b),
λ(a ∨ b) = λ(a) ∪ λ(b),
Espacios Booleanos– p. 7/12
El espacio de Stone de un BA
Dada un álgebra Booleana B , consideramos el conjunto
St(B) de B -ultrafiltros y demosle la siguiente topología.
Para a ∈ A, sea λ(a) = {U ∈ St(B) : a ∈ U}. Observemos
que se cumplen:
St(B) = λ(1),
∅ = λ(0),
λ(a ∧ b) = λ(a) ∩ λ(b),
λ(a ∨ b) = λ(a) ∪ λ(b),
λ(a′ ) = St(B) − λ(a).
Espacios Booleanos– p. 7/12
El espacio de Stone de un BA
Dada un álgebra Booleana B , consideramos el conjunto
St(B) de B -ultrafiltros y demosle la siguiente topología.
Para a ∈ A, sea λ(a) = {U ∈ St(B) : a ∈ U}. Observemos
que se cumplen:
St(B) = λ(1),
∅ = λ(0),
λ(a ∧ b) = λ(a) ∩ λ(b),
λ(a ∨ b) = λ(a) ∪ λ(b),
λ(a′ ) = St(B) − λ(a).
Se puede demostrar que con la topología generada por
estos conjuntos, St(B) es compacto, Hausdorff y
0-dimensional.
Espacios Booleanos– p. 7/12
Cosas que se saben...
Si X es un espacio discreto, CO(X) = P(X) y
St(CO(X)) = βX , la compactación de Stone-Čech de
X.
Espacios Booleanos– p. 8/12
Cosas que se saben...
Si X es un espacio discreto, CO(X) = P(X) y
St(CO(X)) = βX , la compactación de Stone-Čech de
X.
Si X es un espacio sin puntos aislados, entonces
St(CO(X)) tampoco tiene puntos ailados, observemos
que estos pueden ser distintos espacios ya que
St(CO(X)) no es compacto.
Espacios Booleanos– p. 8/12
Cosas que se saben...
Si X es un espacio discreto, CO(X) = P(X) y
St(CO(X)) = βX , la compactación de Stone-Čech de
X.
Si X es un espacio sin puntos aislados, entonces
St(CO(X)) tampoco tiene puntos ailados, observemos
que estos pueden ser distintos espacios ya que
St(CO(X)) no es compacto.
Si I es un ideal de un álgebra booleana B , entonces
St(B/I) es homeomorfo al subespacio cerrado
{U ∈ St(B) : U ∩ I = ∅},
por ejemplo, si κ es un cardinal con la topología
discreta, St(κ/[κ]<ω ) es el residuo βκ − κ.
Espacios Booleanos– p. 8/12
Cosas que se saben...
Si {Ai : i ∈ I}Qes una familia de álgebras Booleanas,
entonces
St( {Ai : i ∈ I}) es homeomorfo a
S
β( {St(Ai ) : i ∈ I}).
Espacios Booleanos– p. 9/12
Cosas que se saben...
Si {Ai : i ∈ I}Qes una familia de álgebras Booleanas,
entonces
St( {Ai : i ∈ I}) es homeomorfo a
S
β( {St(Ai ) : i ∈ I}).
Si A es un subálgebra de un álgebra Booleana B ,
entonces la función f : St(B) → St(A) definida por
f (U) = {a ∈ A : a ∈ U} es continua y sobre.
Espacios Booleanos– p. 9/12
Cosas que se saben...
Si {Ai : i ∈ I}Qes una familia de álgebras Booleanas,
entonces
St( {Ai : i ∈ I}) es homeomorfo a
S
β( {St(Ai ) : i ∈ I}).
Si A es un subálgebra de un álgebra Booleana B ,
entonces la función f : St(B) → St(A) definida por
f (U) = {a ∈ A : a ∈ U} es continua y sobre.
Más en general, cualquier morfismo de álgebras
Booleanas f : A → B induce una función continua
f ⋆ : St(B) → St(A).
Espacios Booleanos– p. 9/12
Cosas que se saben...
Si {Ai : i ∈ I}Qes una familia de álgebras Booleanas,
entonces
St( {Ai : i ∈ I}) es homeomorfo a
S
β( {St(Ai ) : i ∈ I}).
Si A es un subálgebra de un álgebra Booleana B ,
entonces la función f : St(B) → St(A) definida por
f (U) = {a ∈ A : a ∈ U} es continua y sobre.
Más en general, cualquier morfismo de álgebras
Booleanas f : A → B induce una función continua
f ⋆ : St(B) → St(A).
Si Fκ es el álgebra Booleana libre sobre κ generadores,
entonces St(Fκ ) ≈ κ 2.
Espacios Booleanos– p. 9/12
Dualidad de Stone
Teorema. La categorı́a de álgebras Booleanas BA es la opuesta a la
de espacios Booleanos BS. En particular, existen funtores
F : BA → BS, G : BS → BA definidos de la siguiente manera.
En objetos, F (B) = St(B) y G(X) = CO(X). Si f : A → B es un
morfismo en BA, g : X → Y es un morfismo en BS , definimos
F (f ) : St(B) → St(A) y G(g) : CO(Y ) → CO(X) por:
F (f )(U) = {a ∈ A : f (a) ∈ U},
G(g)(U ) = g ← [U ].
Funciones continuas inyectivas corresponden a morfismos suprayectivos
de álgebras (cocientes de álgebras) y funciones continuas suprayectivas
corresponden a morfismos inyectivos de algebras (subálgebras).
Espacios Booleanos– p. 10/12
¿Para que sirve?
Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el único
F -espacio Booleano de peso 2ω en el que todo Gδ no
vacío tiene interior no vacío.
Espacios Booleanos– p. 11/12
¿Para que sirve?
Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el único
F -espacio Booleano de peso 2ω en el que todo Gδ no
vacío tiene interior no vacío.
En general, las propiedades topológicas de βω que
dependen de la hipótesis del continuo se estudian del
punto de vista algebrista. (cita directa del artículo sobre
βω de Jan van Mill)
Espacios Booleanos– p. 11/12
¿Para que sirve?
Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el único
F -espacio Booleano de peso 2ω en el que todo Gδ no
vacío tiene interior no vacío.
En general, las propiedades topológicas de βω que
dependen de la hipótesis del continuo se estudian del
punto de vista algebrista. (cita directa del artículo sobre
βω de Jan van Mill)
Las álgebras Booleanas superatómicas estan en
correspondencia con los espacios Booleanos que
tienen kernel perfecto vacío.
Espacios Booleanos– p. 11/12
¿Para que sirve?
Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el único
F -espacio Booleano de peso 2ω en el que todo Gδ no
vacío tiene interior no vacío.
En general, las propiedades topológicas de βω que
dependen de la hipótesis del continuo se estudian del
punto de vista algebrista. (cita directa del artículo sobre
βω de Jan van Mill)
Las álgebras Booleanas superatómicas estan en
correspondencia con los espacios Booleanos que
tienen kernel perfecto vacío.
Las cubiertas proyectivas en la categoría de espacios
compactos Hausdorff se construyen a través de
espacios se Stone de álgebras Booleanas completas.
Espacios Booleanos– p. 11/12
Bibliografía
“Handbook of Boolean Algebras”, Volumen 1, Editado
por J. Donald Monk, North-Holland Publishing Co.,
Amsterdam, 1989.
“An Introduction to βω ”, J. van Mill, en “Handbook of
set-theoretic topology”, 503–567, North-Holland,
Amsterdam, 1984.
Espacios Booleanos– p. 12/12