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Movimiento Armónico Simple
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Movimiento Armónico Simple (y Movimiento Circular Uniforme)
Generalidades
El movimiento armónico simple (MAS) podría ser definido como una proyección de un movimiento circular
uniforme (MCU) en un plano perpendicular al de giro. Por ende, los modelos que caracterizan al primer
movimiento se pueden extraer a partir de las establecidas para el segundo.
Gráfico 1: Un movimiento circular uniforme
correspondiente a un movimiento armónico simple.
En el Gráfico 1 puede verse un MAS junto a su MCU correspondiente, el radio del movimiento circular es la
amplitud del movimiento armónico (A), la aceleración de este último corresponde a la componente en X de
la aceleración centrípeta del movimiento circular, lo mismo la velocidad.
Para poder extraer los datos de la posición, aceleración y velocidad del cuerpo oscilante se utilizan
funciones trigonométricas para extraer las componentes en X de lo distintos valores correspondientes al
MCU:
• En el caso de la posición (x) se utiliza el radio del círculo (r=A), entonces la posición va a ser igual a
la proyección de A sobre el eje X (coseno1):
x t =A⋅cos φ 
•
•
La aceleración se extrae de la aceleración centrípeta del movimiento circular, usando también la
función coseno:
a t=−ac⋅cos  φ  (se utiliza el signo negativo dado que para el gráfico utilizado, la aceleración
tiene dirección negativa)
La velocidad, finalmente, se obtiene con la función seno, dándole también signo negativo:
v t =−v⋅sen φ 
Desplazamiento y velocidad angular
En los modelos del movimiento armónico se incluye el ángulo φ, que representa el giro del cuerpo en
movimiento circular correspondiente al movimiento armónico (o desplazamiento angular). Es, entonces,
importante, poder calcular este ángulo, para esto debemos basarnos en las ecuaciones del movimiento
circular uniforme.
Para empezar, una enumeración de las propiedades básicas del M.C.U.:
•
Desplazamiento angular, es el ángulo recorrido en radianes, y se calcula como el cociente entre el
arco de circunferencia recorrido por el cuerpo sobre el radio:
φ=
1
arco
n⋅2⋅⋅radio
y arco=n⋅2⋅⋅radio  φ =
siendo n la fracción de circunferencia
radio
radio
Las funciones trigonométricas utilizadas fueron elegidas respecto al Gráfico I, puede utilizarse indistintamente seno o
coseno, teniendo en cuenta que se debe invertir de la misma manera la función en las otras ecuaciones del
movimiento, dado que unas se derivan de las otras. Sobre las funciones trigonométricas se incluirá un apéndice.
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recorrida.
Velocidad angular, es el cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo que lleva éste
(período). Entonces, una velocidad para frecuencia f=1/s (una vuelta en un segundo), el valor de
velocidad angular sería ω=2π/1s=2π·f Entonces ω=radianes/T (siendo T el período.)
•
Podemos ya definir el ángulo φ como φ= ω·T
Velocidad tangencial y aceleración centrípeta
En base a estas dos primeras propiedades pueden extraerse una tercera sin caer en complicaciones
demasiado grandes:
Velocidad tangencial, esta velocidad tiene ya una notación de la forma distancia sobre tiempo, en
lugar de ángulo sobre tiempo, y se utilizará en el M.A.S. para obtener la velocidad del cuerpo,
siendo ésta una proyección en el eje horizontal (o vertical, dependiendo del modelo elegido) de la
velocidad tangencial del M.C.U. Para calcular la velocidad tangencial:
•
φ arco /r arco
=
=
T
T
T⋅r
arco
entonces ⋅r =
=
v
T
=
Obtener la aceleración centrípeta ya es una tarea un tanto más complicada. Se puede, de todas maneras,
encarar de una forma simple. Suponiendo un desplazamiento muy corto, la diferencia entre los vectores
velocidad sería casi igual al arco, entonces:
φ=

v
v

Siendo así, la diferencia entre velocidades puede expresarse como  
v =
v⋅φ si definimos a la
aceleración como la variación de velocidad sobre el tiempo entonces, para una circunferencia de radio r:
a=

v 
v⋅φ
=
=
v⋅=2⋅r
T
T
Tanto velocidad tangencial como aceleración centrípeta son valores vectoriales, el primero tangente a la
circunferencia, el segundo en ángulo recto a éste, siempre “apuntando” al centro de la circunferencia. La
velocidad angular de la que se habló antes es un vector vertical, perpendicular a la circunferencia.
Extendiendo las ecuaciones generales
Se habían alcanzado anteriormente las siguientes ecuaciones para el movimiento armónico simple:
x t =A⋅cos φ  (posición); a t=−ac⋅cos  φ  (aceleración); v t =−v⋅sen φ  (velocidad).
Habiendo ya desarrollado el movimiento circular es posible completarlas:
φ =ω · T φ 0 (siendo φ0 el
•
En primer lugar, reemplazar el desplazamiento angular, es decir
“ángulo inicial”.
•
En segundo lugar, los valores de aceleración centrípeta (ac) y velocidad (v) por sus
correspondientes:
v2
.
v =⋅r y 

a c = ⋅r=reemplazando
r
2
Energía
La energía en el movimiento armónico simple se conserva, permitiendo al movimiento continuarse invariable
en su aceleración, amplitud, etc. Una energía puede definirse como la capacidad de realizar un trabajo. La
energía mecánica de un cuerpo se calcula como
1
E c = m v 2 , entonces, para calcular la energía de un
2
cuerpo en un M.A.S. puede utilizarse esa fórmula tomando la máxima velocidad posible, dado que la
energía mecánica en el punto en que la velocidad sea máxima va a ser igual a la energía del sistema. Esta
velocidad se alcanza en el punto de equilibrio del movimiento. Por el contrario, si se tienen los valores de
Movimiento Armónico Simple
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aceleración máxima y no la velocidad puede reemplazarse en la fórmula de la forma
1
E c= m a A
2
(siendo A la amplitud del movimiento). Ahora, por último, dado un resorte oscilando, y conociendo la
constante elástica (k) de ese resorte y la amplitud (A) del movimiento, puede calcularse la energía como
1
1
E c = F A= k A2 .
2
2
Apéndice – Trigonometría
Las funciones trigonométricas pueden definirse como la relación entre los ángulos de un triángulo
rectángulo. Se expondrán ahora las funciones usadas en este resumen:
•
Seno: es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo tomado y la hipotenusa, así, para el Gráfico
2:
sen α =
•
a
c
Coseno: es el cociente entre el cateto adyacente al ángulo tomado sobre la hipotenusa, así, para el
Gráfico 2:
cos α =
b
c
Gráfico 2: Funciones trigonométricas.
Matías Ducasa