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Liceo N°1 Javiera Carrera/ Bachillerato de Física/ Octavo básico, 2014
Guía N°3: Métodos matemáticos para la Física
Nombre: ____________________________ Curso: ____________ Fecha: _________
Eje: Habilidades de pensamiento científico
Objetivos:
 Comprender la naturaleza de los conjuntos numéricos y la operatoria en ellos.

Admitir y resolver problemas que no admiten solución en los números enteros y que
pueden ser resueltos en los distintos conjuntos numéricos.
Disposiciones Generales: Lea detenidamente la presente guía y resuelva los ejercicios y
actividades propuestas. Consulte duda a su profesor respectivo.
I. Marco teórico
Conjuntos numéricos y operatoria en R
En la ciencia en general, sobretodo en la Física, hay ciertas cantidades que se expresan a
través de números de diversa naturaleza, y para trabajar con estas cantidades se utilizan
propiedades que definen cómo se operan todos estos números. Es así como es necesario para
el estudio de la física el conocer los conjuntos numéricos y su operatoria.
Los conjuntos numéricos son un agrupamiento de números que entre sí cumplen ciertas
propiedades de estructura y operatoria. La forma en que se organizan estos conjuntos
numéricos es la siguiente:
 Números naturales (N): Son aquellos números enteros positivos. Este conjunto tiene
elemento incial, pero no final, por lo tanto es un conjunto infinito.
N: {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Operaciones que se pueden realizar en N para todos los números del conjunto:
 Suma
 Producto
 Potenciación
Operaciones que se pueden realizar en N bajo ciertas condiciones:
 Resta: Si el minuendo es mayor que el sustraendo.
 Cociente: si el dividendo el múltiplo del divisor y éste es distinto de cero, además de
ambos ser mayores de cero.
 Números enteros (Z): Son aquellos enteros positivos y negativos, incluyendo el cero. Es
un conjunto infinito.
Z: {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Operaciones que se pueden realizar en Z para todos los números del conjunto:
 Suma y Resta
 Producto
 Potenciación
Operaciones que se pueden realizar en Z bajo ciertas condiciones:
 Cociente: si el dividendo el múltiplo del divisor y éste es distinto de cero.
 Números racionales (Q ):
Para dar solución a los cocientes donde el dividendo no es múltiplo del divisor, cómo es
el caso de 7:3, se necesitan los números fraccionarios. El conjunto de los números
enteros unido al de los números fraccionarios corresponde al de los Racionales.
En donde:
a
b
numerador
denominador
Recordemos las reglas básicas para la suma y el producto de fracciones:
Para restar dos fracciones, simplemente sumamos al minuendo el opuesto del
sustraendo:
El cociente se resuelve multiplicando el dividendo por el recíproco o inverso del divisor:
La potenciación puede hacerse en el conjunto de los números racionales para base
racional y exponente entero:
a) Si el exponente es natural:
b) Si
el
exponente
e
negativo:
Puede darse una expresión decimal para los números racionales, por ejemplo:
En general, toda expresión decimal finita puede transformarse a fracción, dividiendo por
un múltiplo de diez que contenga tantos ceros como números después de la coma
tenga el decimal. Por ejemplo:
 Números Irracionales: Todas aquellas expresiones decimales infinitas que no se pueden
transformar a fracción son parte del conjunto de los números irracionales. Por ejemplo,
un irracional conocido es el número π.
 Números Reales (R): Si unimos al conjunto de los números Racionales con el de los
Irracionales obtendremos el conjunto de los números Reales. Si se representa este
conjunto en la recta numérica, se puede decir que a cada número real le corresponde
un punto en la recta y que a cada punto en la recta le corresponde un número real.
En este conjunto se pueden realizar todas las operaciones sin problemas, excepto la
radicación.
Si se tiene, por ejemplo que:
ya que
y que
Pero no se puede obtener
, ya que no existe ningún número real que multiplicado
por si mismo de cómo resultado un negativo. De esta excepción es que nace el conjunto
de los Imaginarios (I).
 Complejos (C): La unión entre los Reales y los imaginarios da como resultado el
conjunto de los Complejos. Este conjunto contiene al resto de los conjuntos antes
nombrados, y todas las operaciones se pueden aplicar en él.
II. Ejercicios
 Ondas y sonido
¿Qué es una onda?
Las ondas son una perturbación, una vibración oscilatoria en el espacio que transporta energía
y momento lineal pero sin transportar materia. Cuando una onda se mueve por la superficie del
agua de un estanque, las moléculas de agua oscilan hacia arriba y abajo, pero no cruzan el
estanque con la onda. De la misma forma, si hay un bote en la superficie del agua, este
también se mueve hacia arriba y hacia abajo impulsado por la onda u ola, pero tampoco
cruzará el estanque impulsado por ellas. Una onda electromagnética no necesita de un medio
material para propagarse, o sea, pueden propagarse en el vacío, como por ejemplo la luz. En
cambio una onda mecánica sí necesita de un medio para propagarse. Ejemplo: el sonido.
El sonido es un tipo de onda mecánica. Las características de los materiales influyen en la
velocidad del sonido. A continuación, se presenta algunos valores de la velocidad del sonido
para diferentes medios materiales, medidos a temperatura ambiente (20° C)
Medio
Cobre
Vidrio
Agua
Madera
Aire
Velocidad aproximada en
m/s
3500
5200
1500
4500
343
La expresión matemática para calcular la velocidad En donde del sonido está dada por:
v: Velocidad del sonido en el medio.
d: distancia que recorre.
t: tiempo de viaje del sonido.
Ejercicio de Aplicación.
1. Una onda sonora se demora 0,001 s en atravesar un espesor de madera. ¿Cuánto mide este
espesor?
Respuesta:4,5 m
 Óptica
¿Qué es el índice de refracción?
El índice de refracción (n) relaciona la velocidad de la luz en el vacío (c) con la velocidad de la
luz en un medio determinado (v), es decir indica cuántas veces más rápido se propaga la luz en
el vacío respecto al medio. De acuerdo a:
De acuerdo a los datos tabulados puedes responder las preguntas planteadas a continuación.
1.
¿Cuál es la velocidad con la que se propaga la luz en el aire?
2.
¿Qué operación matemática realizaste para obtener el resultado anterior?
3.
¿Cuál es la velocidad de la luz en el diamante?
4.
¿Cuál es la velocidad de la luz en el cuarzo fundido?
5. ¿Qué relación matemática existe entre el índice de refracción y la velocidad de la luz en
el medio?
R.:
 Fuerza y Movimiento
Aplicaciones
1.
Sobre un cuerpo rectangular se ejercen dos fuerzas contrarias, como lo indica la figura
F = 0,08 N
Determine el valor de la fuerza resultante.
F = 100 N
2. Sabiendo que F= m ∙ a , donde:
F = Fuerza
a = aceleración
m = masa.
Un cuerpo de masa 500 kg., tiene una aceleración de 0,05 m/s2 . Determine la fuerza que se
ejerció sobre él.
3. Un cuerpo tiene una masa de 0,006 kg., y se mueve con una aceleración de 30 m/s2.
Determine el valor de la fuerza aplicada.
4. Sobre un cuerpo se ejerce una fuerza de 40 N. Si la masa del cuerpo es de 400 grs,
determine el valor de la aceleración.
5. Sobre un cuerpo se ejercen las siguientes fuerzas como lo indica la figura.
F1= 20 N
F3 = 0,8 N
F2= 10 N
F= 100 N
Determine el valor de la fuerza resultante.