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1.6
La fórmula de Euler
(realción entre la función exponencial y las funciones trigonométricas)
La fórmula de Euler es la base para poder evaluar la función exponencial en cualquier número complejo. Dicha fórmula nos dice que la exponencial de un complejo imaginario puro es un
número complejo cuyas partes real e imaginaria estéan dadas respectivamente por las funciones
trigonométricas coseno y seno. Concretamente la fórmula de Euler establece que para cualquier
número real θ,
eiθ = cos θ + i sen θ.
Usando esta fórmula y las leyes de los exponentes se calcula fácilmente la exponencial de cualquier número complejo z = x + yi:
ez = e x+yi = e x eyi = e x (cos y + i sen y)
La función exponencial
La función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes, pero la forma fundamental de calcularla es mediante la serie de potencias que aparece en la siguiente fórmula:
ex =
∞
∑
n =0
xn
= 1 + x + 12 x2 + 16 x3 + · · ·
n!
(1)
Esta fórmula es la serie de Taylor de la función exponencial y se explica y se demuestra en los
cursos de cálculo infinitesimal. Aquí sólo la usaremos con fines ilustrativos y como motivación.
En cualquier caso es importante que el estudiante se familiarize con ella y con los razonamientos que haremos con ella a continuación ya que esto será de enorme ayuda en muchas otras
asignaturas.
De la función exponencial a la fórmula de Euler
Si en la serie de Taylor (1) de la función exponencial se pone como x un imaginario puro,
x = iθ, entonces, debido a que in = ±1 para n par e in = ±i para n impar, todos los términos de
grado par en x son números reales y los de grado impar, imaginarios. En consecuencia la serie
se separa en dos partes dando lugar a una suma de dos series, una todos cuyos términos son
reales y la otra todos cuyos términos son imaginarios:
∞
(iθ )n
= 1 + 21 (iθ )2 + · · · + iθ + 61 (iθ )3 + · · ·
n!
n =0
= 1 − 21 θ 2 + · · · + i θ − 16 θ 3 + · · ·
∑
= a + b i.
1
Versión de 20 de marzo de 2017, 1:32 h.
eiθ =
Así obtenemos dos series de números reales que definen sendos números a = 1 − 21 θ 2 + · · · y
b = θ − 61 θ 3 + · · · , los cuales son, por tanto, las partes real e imaginaria de eiθ . Se demuestra en
los cursos de Cálculo que la serie de a es la serie de Taylor de la función coseno y que la de b
es la serie de Taylor de la función seno, de forma que se llega a la conclusión de que las partes
real e imaginaria de eiθ son a = cos θ y b = sen θ; es decir, se llega a la fórmula de Euler:
eiθ = cos θ + i sen θ.
Esta fórmula tiene una enorme importancia en las aplicaciones de los números complejos.
Su demostración se basa únicamente en la ecuación i2 = −1 y en las series de Taylor de las
funciones seno, coseno y exponencial. Vamos a ver ahora otras formas sencillas de deducirla sin
recurrir a las series de Taylor.
Deducciones elementales de la fórmula de Euler
Primera:
Consideremos la función
f (t) = cos t + i sen t.
(2)
Vamos a ver que esta función se puede expresar también en términos de la función exponencial.
Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:
f 0 (t) = − sen t + i cos t = i2 sen t + i cos t = i (i sen t + cos t) = i f (t).
(3)
Esto significa que la función f (t) tiene las propiedades
f 0 (t)
= i,
f (t)
f (0) = 1 ,
de donde, integrando de 0 a θ,
Z θ 0
f (t)
0
es decir:
f (t)
dt =
Z θ
0
i dt ,
[ln f (t)]0θ = i [t]0θ ,
ln f (θ ) = iθ ,
f (θ ) = eiθ ,
eiθ = cos θ + i sen θ.
Segunda:
La siguiente demostración es parecida a la anterior pero sólo usa las reglas de derivación.
Consideremos la función
cos t + i sen t
f (t) =
.
(4)
eit
Vamos a ver que esta función es una función constante calculando su derivada y viendo que es
cero. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:
(− sen t + i cos t)eit − (cos t + i sen t)ieit
− sen t + i cos t − (i cos t − sen t)
=
it
it
e e
eit
(5)
− sen t + i cos t − i cos t + sen t
=
=
0.
eit
Puesto que f (t) es una función constante, su valor es para todo t igual a su valor en t = 0, pero
i sen 0
f (0) = cos 0+
= 1+1i·0 = 1, luego f (t) = 1 para todo t, o sea:
ei0
f 0 (t) =
cos t + i sen t
= 1.
eit
que es equivalente a la fórmula de Euler.
2
(6)
Tercera:
La tercera demostración de la fórmula de Euler se basa en la propiedad
p(z) = p(z)
(7)
del conjugado, la cual es válida no sólo cuando p(z) es un polinomio, sino también cuando es
una función analítica real cualquiera y, en particular, para la función exponencial:
ez = ez .
(8)
No vamos a demostrar la propiedad (7) para todas las funciones analíticas, pero sí queremos
remarcar que la demostración de (8) a partir de la fórmula (1) que define a la función exponencial
es exactamente igual que la demostración de la propiedad (7) de los polinomios.
Suponiendo conocida la ecuación (8), se deduce que para todo número complejo de la forma
eiθ su conjugado es igual a su inverso y por tanto, según zz = |z|2 , eiθ tiene módulo igual a 1:
eiθ = eiθ = e−iθ
por tanto:
|eiθ | = 1.
En consecuencia, existe una función α(θ ) tal que α(0) = 0 y
eiθ = cos α(θ ) + i sen α(θ ).
Derivando ambos miembros de esta igualdad se deduce que la derivada de α es constante e
igual a 1. Puesto que α(0) = 0, deducimos que α es la función identidad: α(θ ) = θ y por tanto
eiθ = cos θ + i sen θ.
Cartel de anuncio de una conferencia de matemáticas en la
Universidad de Santiago de Compostela en 2012.
1 Ejercicio de tarea. Demuestra que la derivada de la función f (θ ) = cos α(θ ) + i sen α(θ ) es:
f 0 (θ ) = α0 (θ ) − sen α(θ ) + i cos α(θ )
y que el paréntesis que multiplica a α0 (θ ) es igual a la derivada de eiθ respecto a θ.
3
Una identidad famosa
Un caso particular de la fórmula de Euler que es especialmente famoso es el que se obtiene
al poner θ = π teniendo en cuenta que cos π = −1 y sen π = 0. Entonces se obtiene:
eπi = −1 ,
que se puede reescribir como:
eπi + 1 = 0.
Esta última es una expresión en la que los cinco números más importantes de las matemáticas
están relacionados entre sí mediante las tres operaciones fundamentales de la aritmética (sumar,
multiplicar y elevar a una potencia).
2 Ejercicio de tarea. Deducir la ecuación (8) a partir de la fórmula de Euler teniendo cuidado en
considerar que z es un número complejo cualquiera, no sólo un imaginario puro.
3 Ejercicio de tarea. Evalúa la función exponencial, ez , en los siguientes números complejos:
π
i
4
3
2 i,
(b)
√
z = ln 2 +
√
(b)
+
π
i,
3
1
2
z=
Solución: (a)
(a)
2(1 + i ).
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2, Ejercicio 3.
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