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1.5
El conjugado de un número complejo
Definición: Se llama conjugado de un número complejo z = x + yi, y se denota z, al número
complejo que tiene la misma parte real que z y parte imaginaria cambiada de signo:
z = x + y i = x − y i.
(1)
Definición del
conjugado de
un número
complejo.
Propiedades del conjugado
La principal propiedad del conjugado (y la principal razón para hacer esta definición) es la
ecuación (??) según la cual el producto de un complejo por su conjugado es igual al cuadrado
de su módulo:
(2)
zz = |z|2 .
De esto se deduce inmediatamente la siguiente caracterización de los números complejos de
módulo 1 (o elementos de la circunferencia unidad):
Un número complejo z tiene módulo igual a 1 si y sólo si su conjugado es igual a su inverso:
|z| = 1 si y sólo si z−1 = z.
Además de las anteriores, se cumplen las siguientes propiedades del conjugado, que el estudiante debe demostrar como ejercicio:
1 Ejercicio de tarea. Al cambiar de signo dos veces a la parte imaginaria, se queda como estaba,
por tanto: El conjugado del conjugado es el número de partida:
z = z.
(3)
2 Ejercicio de tarea. El conjugado de una suma es la suma de los conjugados:
z + w = z + w.
(4)
4 Ejercicio de tarea. Al sumarle a un número complejo su conjugado se obtiene la parte real
multiplicada por 2:
z + z = 2 Re(z)
(6)
5 Ejercicio de tarea. Al restarle a un número complejo su conjugado se obtiene la parte imaginaria multiplicada por 2i:
z − z = 2i Im(z)
(7)
1
Versión de 20 de marzo de 2017, 1:32 h.
3 Ejercicio de tarea. El conjugado de un producto (o potencia) es el producto (o potencia) de los
conjugados:
(a) z w = z w ,
(b) z2 = z2 ,
(c) zk = zk .
(5)
Como consecuencia de (7):
6 Ejercicio de tarea. El conjugado de un número real es él mismo:
z=z
si y sólo si
Im(z) = 0.
(8)
Aplicaciones del conjugado
1.–
La primera aplicación del conjugado es la regla (??) para dividir números complejos:
Para calcular una fracción de números complejos se multiplican numerador y denominador por el
conjugado del denominador.
Esto, ahora, lo podemos escribir, usando el módulo y el conjugado, de esta forma:
zw
zw
z
=
=
.
w
ww
| w |2
(Ver el handout División de Números Complejos.)
2.– La segunda aplicación del conjugado es la “fórmula del inverso” (??), que ahora podemos
reescribir así:
z
1
z −1 = =
.
(9)
z
| z |2
3.– La tercera aplicación del conjugado es su relación con las partes real e imaginaria. Como
consecuencia de las propiedades enunciadas en los ejercicios de tarea 4 y 5 tenemos las fórmulas
Re(z) =
z+z
,
2
Im(z) =
z−z
z−z
=
i.
2i
2
4.– Otra importante aplicación del conjugado es la demostración de que las raíces complejas no reales que pueda tener un polinomio de coeficientes reales aparecen siempre en pares
conjugados z, z:
Proposición: Si p( x ) es un polinomio de coeficientes reales y z es un número complejo, entonces
p ( z ) = p ( z ).
(10)
Demostración:
p ( z ) = a0 + a1 z + a1 z2 + · · · + a n z n
= a0 + a1 z + a n z2 + · · · + a n z n
(por la propiedad (4).)
= a0 + a1 z + a n z2 + · · · + a n z n
(por la propiedad (5) (a).)
2
n
(por la propiedad (5) (c).)
2
n
(por la propiedad (8).)
= a0 + a1 z + a n z + · · · + a n z
= a0 + a1 z + a n z + · · · + a n z = p ( z ).
Corolario: Si p( x ) es un polinomio de coeficientes reales y z es una raíz de p( x ) (es decir
p(z) = 0) entonces el conjugado de z también lo es: p(z) = p(z) = 0 = 0. Por tanto:
Las raíces complejas no reales de un polinomio de coeficientes reales aparecen en pares conjugados.
2
Desafío para estudiantes avanzados. Demostrar que si p(z) es un polinomio de coeficientes
complejos y cumple la propiedad p(z) = p(z) entonces todos los coeficientes de p(z) son reales.
Sugerencia: Usar inducción en el grado de p.
5.– Por último, también se deduce de las propiedades del conjugado, combinadas con la ecuación (2), que el módulo de un producto es igual al producto de los módulos:
| z w | = | z | | w |.
En efecto: |z w|2 = (zw)zw = z w z w = zz ww = |z|2 |w|2 .
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
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en esta sección:
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