Download Tema 1: Estimación de parámetros. Contraste de hipótesis (2ª parte

UNED Tudela
Tema 1: Estimación de parámetros. Contraste de hipótesis (2ª parte)
1.4.- La estadística inferencial.
Objetivo: Llegar a conclusiones sobre las características de una o varias poblaciones a partir de la información
obtenida en muestras. Hay dos formas:
1) Estimar parámetros de la población
2) Contrastes de hipótesis.
Intervalos de confianza
Estimadores
Se realizará siempre un muestreo aleatorio simple (m.a.s).
1.4.1. Propiedades que puede tener un estimador:
Estimador insesgado: Su media coincide con el valor del parámetro estimado.
Estimador eficiente: Estimador preciso (de poca varianza).
Estimador consistente: Si aumenta la precisión a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
Estimador suficiente: Utiliza toda la información de la muestra (todos los valores).
1.2.1.1. Intervalo de confianza para la media.
Supondremos siempre que Y es normal o, en su defecto, la muestra tiene tamaño mayor o igual que 30
Seleccionaremos una m.a.s.
Caso 1: Varianza poblacional conocida.
(Y − E
)

σ
σ 
, Y + Emax =  Y − z
, Y+z

n
n 

Ejemplo: Las puntuaciones obtenidas en una oposición siguen una N(µ, 30) (Se desconoce la media)
Queremos determinar un intervalo de confianza para la media poblacional con un n.c. del 99%. Para ello se
selecciona una muestra de tamaño 40 resultando que la media muestral es 82 puntos
Intervalo de confianza (I.C.)
max
1−
α
1−
α
2
2
Caso 2: Varianza poblacional desconocida.
(Y − E
)

S n −1
S n −1 
, Y + E max =  Y − t
, Y +t

n
n 

Ejemplo: Las puntuaciones obtenidas en una oposición siguen una distribución desconocida con varianza
desconocida. Queremos determinar un intervalo de confianza para la media poblacional con un n.c. del 95%.
Para ello se selecciona una muestra de 40 opositores, resultando que la media es 82 puntos y la cuasivarianza
121. Hallar dicho intervalo de confianza.
Intervalo de confianza (I.C.)
max
1−
α
2
Caso 3. Varianza poblacional desconocida y n≥100
La t de Student se aproxima a una normal
1−
α
2
UNED Tudela
1.4.1.2. Intervalo de confianza para la proporción
Dada Y ≡ B(π ) con parámetro desconocido: La media muestral es igual a la proporción muestral

P(1 − P )
P(1 − P ) 
I.C. para P: (P − E max , P + E max ) =  P − z
, P+z


n
n


Ejemplo: Para determinar un intervalo de confianza con un n.c. del 95% para la proporción de votantes a
determinado partido político, se extrae una muestra aleatoria simple de 200 de ellos, de los que 60 aseguran que
votarán a dicho partido. Hallar dicho intervalo confidencial.
1−
α
2
1−
α
2
1.4.1.3. Intervalo de confianza para la varianza
Dada X ≡ ( µ , σ )
 nS 2
nS 2 


I.C. para la varianza = 
,

b
a


siendo a el valor que deja la χn-1 una probabilidad de α/2 a la izquierda
y b el valor que deja la χn-1 una probabilidad de α/2 a la derecha.
Ejemplo: Una empresa eléctrica fabrica bombillas que tienen una duración que se distribuye normalmente,
Hallar un intervalo de confianza para la varianza con un n.c. del 95% sabiendo que, extraída una muestra de
tamaño 41, se ha obtenido una varianza de 4.000 horas.
1.4.2. Amplitud del tamaño muestral
Cálculo del tamaño de la muestra para que el error máximo de estimación tenga un valor fijado:
a) Media (varianza conocida)
Ejemplo: Las puntuaciones obtenidas en una oposición siguen una N(µ, 30) (Se desconoce la media)
Queremos determinar un intervalo de confianza para la media poblacional con un n.c. del 95%. ¿Cuál debería
ser el tamaño de la muestra para que el error máximo de estimación sea de 6 puntos?
b) Media (varianza desconocida)
c) Proporción