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APLICACIONES INFORMATICAS EN EL AULA
PARA LAS ASIGNATURAS DE ANALISIS MATEMATICO
Alonso Durán María
Castro Uceda José Antonio
Herrero Gonzalez Josué
1. INTRODUCCION
Para transmitir el mensaje matemático en economía se puede utilizar un
programa como DERIVE u otros, de forma que el alumno disponga de un
método para visualizar las gráficas de las funciones en dos y tres dimensiones.
En el estudio de los extremos relativos por ejemplo, pueden comparar
sus resultados con los que les ofrece el ordenador.
En la programación de las asignaturas de Matemáticas de las
licenciaturas de Economía y Administración de Empresas se pueden realizar
unas sesiones prácticas en las aulas de informática donde el alumno aprende a
trabajar con dichos programas en función de sus necesidades.
2. POSIBILIDADES DE APLICACION DEL PROGRAMA DERIVE
DERIVE es un
“Computer Algebra System” para ordenadores
personales ampliamente extendido que permite la manipulación de expresiones
simbólicas, cálculos matemáticos y representaciones gráficas, que facilita a los
alumnos el trabajo con un programa informático de forma sencilla y agradable.
DERIVE es muy adecuado para su utilización como laboratorio
matemático en el aula ya que permite utilizar con facilidad un buen número de
ejemplos y ejercicios que ilustren los conceptos teóricos y proponer a los
alumnos la realización de simulaciones sencillas.
Según la programación de estas asignaturas en nuestra Universidad, la
aplicación de este programa podría efectuarse en los siguientes temas:
Matemáticas I
. Cálculo de límites, derivadas y obtención de extremos de funciones de una
variable.
. Representación gráfica de estas funciones.
. Obtención del desarrollo de Taylor.
. Cálculo de integrales.
Matematicas II
. Resolución de sistemas de ecuaciones.
. Cálculo matricial: Operaciones elementales, determinantes y matriz inversa.
. Cálculo de autovalores.
. Cálculo de límites iterados y derivadas parciales de funciones de varias
variables.
. Representación gráfica de funciones en tres dimensiones.
Matemáticas III
. Utilizando las posibilidades de programación de derive se pueden resolver
ecuaciones diferenciales y problemas avanzados de optimización.
3. DIDACTICA EN EL AULA
En Matemáticas I dentro del Análisis Matemático y en el apartado de
funciones reales de una variable real, el profesor apoya su explicación teórica en
la pizarra con unas transparencias con retroproyector donde aparecen las
gráficas que previamente el alumno ha tenido que sacar con los cálculos típicos.
A continuación el profesor pregunta ¿ Cuántos saben representar una
función con algún programa informático?.
Llevamos dos cursos haciendo esta misma pregunta en clases de 80
alumnos aproximadamente y la respuesta fué la siguiente:
El primer año un 6 % sabía programar una función. Un 2 % conocía
DERIVE.
El segundo año un 7% sabía programar una función. Un 3 % conocía
DERIVE y un 1 % MATHEMATICA.
Algo parecido ocurre en el Análisis de varias variables: aquí los efectos
son mas vistosos en cuanto que las superficies en tres dimensiones causan un
agradable efecto cuando se ven en el retroproyector.
Pero nos quedaríamos cortos si solo los alumnos contemplaran los
resultados desde sus asientos en el aula habitual.
Nos proponemos dentro de la programación de un cuatrimestre reservar
cinco horas en las aulas de informática donde el alumno protagonice todo el
problema y sepa sacar el mismo los resultados “a mano” y “a maquina”.
De esta forma se aprovechan las posibilidades de la representación
gráfica para englobar el cálculo de límites, existencia de extremos y la
interpretación económica de las funciones, cumpliéndose así el principal
objetivo que nos proponemos: que el alumno sepa extraer toda la información
que necesita al estudiar una función de este tipo.
4. DESARROLLO Y EJEMPLOS
Como orientación de posibles actividades a realizar en el aula
proponemos los siguientes ejemplos enmarcados en la programación de las
asignaturas de Matemáticas antes mencionadas.
Ejemplo 1:
Desarrollo de Taylor de la función y=senx en el punto x=1.
El programa permite observar cómo se aproximan las gráficas de los
polinomios de Taylor a la gráfica de la función de una manera instantánea.
Ejemplo 2:
Inexistencia de límite en una función de dos variables.
Si calculamos el límite de la función f(x,y) = ( (x2 - y2)/ (x2 + y2))2 cuando
(x,y) tiende a (0,0) de la forma habitual, vemos que no existe.
La gráfica de esta función, de difícil intuición, aparece con el programa
Derive sin dificultad, viéndose claramente que el límite cuando (x,y) →(0,0) no
existe, pues en la dirección de la recta y=x el límite es cero, y en la dirección del
eje x es distinto de cero.
Ejemplo 3:
Cálculo del máximo de una función de beneficio:
Sea P(x,y)= -x2 - y2 + 22x + 18y –102 una función de beneficios
anuales (en millones de dólares) donde x es la cantidad invertida en
investigación e y es el gasto publicitario.
Y las curvas de nivel correspondientes serían:
Después del cálculo “a mano” del punto crítico de la función, el programa nos
permite constatar por medio de la representación gráfica que dicho punto corresponde a
un máximo de la función, así como el comportamiento de la misma nos ayuda a obtener
una interpretación económica.
Ejemplo 4:
Cálculo de extremos cuando no decide el criterio de la derivada
segunda.
Dada la función f(x,y)= x2y2
Después del cálculo de los puntos críticos, se observa que el
criterio de la deriva segunda no asegura que se trate de extremos. La
gráfica de la función confirma que en dichos puntos de los ejes x e y se
alcanzan mínimos absolutos de la función.
Ejemplo 5:
Resolución de una ecuación diferencial obtenida a partir de un
problema económico.
Designemos por X=X(t) el producto nacional, por K=K(t) al
stock de capital, y por L = L(t) el número de obreros de un pais en el
instante t. Supongamos que, para t ≥ 0 tenemos
X = AK(-1-α) Lα
d K/dt = s X
L = L0 e λ t
(a)
(b)
(c)
con A, α, s, L0 y λ constantes positivas y 0 < α < 1.
Deducir de estas ecuaciones una única ecuación diferencial que
determine K = K(t), y hallar la solución de esa ecuación cuando
K(0) = K 0 > 0.
Antes de dar la solución precisemos que
a) es una función de producción de Cobb-Douglas
b) dice que la inversión agregada es proporcional a la producción
c) implica que la plantilla laboral crece exponencialmente.
Solución:
La ecuación diferencial sería:
dK/dt = sAK(-1-α) Lα = s A L0α eα λ t K1-α
que es de variables separables.
Kα-1 dK = s A L0α eα λ t dt
k
luego ∫k β
y de aquí
0
k
α-1
t
dβ = ∫0 s A L0α eα λ ι dι
t
∫ k (1/α) β = (1/ αλ) s A L0α | eα λ ι
0
ó
α
0
1/α (Kα - K0α ) =(1/αλ) s A L0α (eα λ t -1)
luego K =[ K0α + ( s/λ) A L0α ( e αλt -1) ] -(1/α)
En DERIVE pondriamos Transfer - Load- Utility
ODE1.MTH
SEPARABLE (s A L0α eα λ t , K1-α , t , K , 0 , K0 )
y despues de teclerar solve obtendriamos la solución.
Derive permite resolver la ecuación rápidamente y comparar el resultado
con el obtenido “a mano”.
5. METODOLOGIA
Como ya habíamos indicado , dentro del horario lectivo se pueden
reservar cinco horas para cada cuatrimestre por asignatura, donde el alumno
(pudiendo trabajar en grupo) utiliza el programa DERIVE para resolver sus
problemas, comprobando los resultados obtenidos en clase.
6. EVALUACION
El profesor puede valorar el resultado de estas actividades proponiendo
la resolución de algunas prácticas que el alumno entregará al finalizar el curso.
7. CONCLUSIONES
Nuestra opinión, dadas las experiencias ya realizadas y aquellas que
proponemos, es que alumno puede beneficiarse del uso de DERIVE
principalmente teniendo en cuenta dos aspectos:
- Rapidez de cálculo (resolución de verdaderos problemas económicos).
- Visualización rápida de gráficas (observación de las patologías de la función).
8. BIBLIOGRAFIA
1. Kunt Sydsaeter, Peater J. Hammond (1996): Matemáticas para el análisis
económico. Edit. Prentice Hall.
2. García, A.(1993): Prácticas de matemáticas con DERIVE. Edit. Clagsa.
Trabajo desarrollado en el Dp. Economía de la Universidad Carlos III de
Madrid, C/ Madrid 126 28903 Getafe (Madrid).