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MATEMATICA
Guía teórico-Práctica
Unidad 27
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NUMEROS RACIONALES
CONCEPTO
Con los números enteros podemos contar cantidades exactas: 2 kilogramos de carne, 1 metro de
altura, -3 °C..., pero no podemos contar cantidades que representen partes de la unidad, como 2,5
kilogramos de fruta, 1,52 metros de altura o 18,3 ºC.
Los problemas que implican los resultados inexactos de la división y de la medida de longitudes
provocan la necesidad, y por tanto, la aparición de las fracciones; estos nuevos números son
conocidos en matemáticas como números racionales, como el número 2/3, por ejemplo.
Los números racionales se representan con la letra Q y pueden escribirse como fracción o en su
expresión decimal.
NOTACION DECIMAL
¿QUÉ ES UN NÚMERO DECIMAL?
Los números 2,5, 1,52 o 18,3 son números decimales. Cualquiera de ellos tiene dos partes:


La parte entera, que es la que va delante de la coma (a su izquierda).
La parte decimal, que es la que va después de la coma (a su derecha).
COMPLETAR EL CUADRO…
NUMERO
2,5
PARTE
ENTERA
2
PARTE
DECIMAL
O,5
9,3
4,7
6,1
¿CÓMO SE LEEN LOS NÚMEROS DECIMALES?
Para leer un número decimal, decimos primero su parte entera, y a continuación su parte decimal
terminada en la unidad que corresponda a su última cifra decimal. También se pueden leer sin
especificar las unidades como vamos a ver en los ejemplos siguientes.
Los números decimales que hemos visto al principio se leen así:
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LAS FRACCIONES
Si partimos una pizza en ocho trozos iguales y comemos dos de ellos, decimos que hemos comido
de la pizza “dos octavas partes”:
En un partido de baloncesto, que está dividido en cuatro tiempos iguales de diez minutos, se han
jugado ya tres tiempos; decimos que se llevan jugadas del partido “tres cuartas partes”:
En la vida diaria, usamos las fracciones con más frecuencia de lo que pensamos...
TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN
Las fracciones representan partes de una unidad. Constan de dos términos:


el numerador, que indica las partes iguales que se toman de la unidad;
el denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad.
REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES
Podemos representar una fracción, por ejemplo, mediante un círculo, un rectángulo o un cuadrado:
dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador y sombreamos tantas
partes como indique el numerador.
Por ejemplo:
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Si quieres, puedes practicar hallando la fracción que representa cada uno de los dibujos siguientes:
ESCRIBE LA FRACCION REPRESENTADA….
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REPRESENTA EN LA RECTA NUMERICA LAS FRACCIONES QUE HAYAS OBTENIDO EN LA
ACTIVIDAD ANTERIOR…
¿CÓMO SE LEEN LAS FRACCIONES?
Para leer una fracción primero se nombra el numerador y después el denominador, de la siguiente
forma:
1. El numerador se nombra tal cual.
2. Si el denominador es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, se lee, respectivamente: medios, tercios, cuartos,
quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos o décimos. Si es un número mayor que 10, se lee el
número terminado en avo, por ejemplo: 11, onceavos; 12, doceavos; 90, noventavos (ten en
cuenta que, si el nombre del número del denominador termina en a, se elimina esta letra).
Si quieres, puedes practicar con las fracciones de la siguiente tabla:
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¿CÓMO INTERPRETAMOS UNA FRACCIÓN?
Podemos interpretar una fracción de tres maneras, como parte de la unidad, como cociente o como
operador:
Como parte de la unidad: una fracción representa un valor (dado por el numerador) con respecto
a un “total” (dado por el denominador) que llamamos “unidad” (no lo confundas con el número 1).
Por ejemplo, si nos hemos comido de una pizza, eso supone que del total, que son las cinco
partes en que la hemos dividido, hemos tomado tres. Así pues, esta fracción representa “a tres de
cada cinco”.
Como cociente: una fracción representa el cociente entre dos números, el numerador y el
denominador. Por ejemplo, la fracción representa el cociente de tres entre seis, es decir, el
resultado de dividir 3 entre 6, que es 0,5.
Como operador: una fracción actúa sobre cualquier número como si fuera un operador que actúa
sobre el número multiplicándolo por el numerador, y dividiéndolo por el denominador. Por ejemplo,
si queremos hallar las tres quintas partes de diez caramelos, haríamos:
Si quieres, puedes practicar efectuando los cálculos de la siguiente tabla:
6
REPRESENTA GRÁFICAMENTE LAS SIGUIENTES FRACCIONES….
a)
5 / 6 de los objetos:
b) Tomando como unidad un segmento, ¿te animas a representar también como círculo?
-
5/8
3/ 2
1/ 4
3/ 4
4/ 6
FRACCIONES DECIMALES
Cualquier fracción, o equivale a un número natural, o se puede expresar como un número decimal,
sin más que dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo:
5/4 = 1,25
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ESCRIBE LA EXPRESIÓN DECIMAL DE LAS SIGUIENTES FRACCIONES….
a) 2/ 4
b) 5/7
c) 3/ 8
d) 23/ 7
e) 4/ 5
f) 3/ 6
OPERACIONES CON FRACCIONES
Para efectuar operaciones con fracciones, o con números enteros y fracciones, no podemos actuar
como cuando todos los números que intervienen son enteros; hemos de tener en cuenta los
denominadores y seguir unas reglas que vemos a continuación.
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Para sumar o restar dos o más fracciones, nos fijamos primero en sus denominadores: si son
iguales o distintos.
- Suma y resta de fracciones con igual denominador
En este caso, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Por ejemplo:
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REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES…
a)
b)
c)
d)
1/5 + 2/5 =
7/12 + 3/12 =
2/3 – 1/3 =
11/3 – 7/3 =
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- Suma y resta de fracciones con distinto denominador
En este caso, primero hemos de reducir a común denominador, y después sumar o restar las
fracciones.
Para reducir dos fracciones a común denominador, podemos proceder de dos maneras: por el
método de los productos cruzados o por el método del mínimo común múltiplo.
Por el método de los productos cruzados: se multiplican los dos términos de cada fracción por el
denominador de la otra. Por ejemplo:
Por el método del mínimo común múltiplo, seguimos estos dos pasos:
1.º Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que es el menor de sus
múltiplos comunes; en nuestro caso
el m.c.m. (7, 3) = 21.
2.º Se divide ese mínimo común múltiplo entre cada denominador y el cociente se multiplica por
cada numerador
Una vez que las dos fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumarlas o restarlas:
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Para sumar o restar más de dos fracciones, es preferible usar el método del mínimo común
múltiplo.
REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES…
a)
b)
c)
d)
2/7 – 1/3 + 2/4 =
7/9 + 3/2 =
1–½=
2/5 + 9/2 – 4/9 =
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones es otra fracción, que tiene como numerador el producto de
los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.
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Por ejemplo:
Para multiplicar un número entero por una fracción podemos considerar que el número entero es
una fracción de denominador igual a 1. Así, por ejemplo:
El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando en cruz los términos
de las dos fracciones. Es decir, se multiplica:
1.º El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda (ese será el numerador
de la fracción cociente).
2.º El denominador de la primera por el numerador de la segunda (ese será el denominador de la
fracción cociente resultante).
Por ejemplo:
Para dividir un número entero por una fracción podemos considerar que el número entero es una
fracción de denominador igual a 1. Por ejemplo:
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REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES…
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
1/8 . 2/3 =
2/9 . 5/7=
9/4 . 1/9 . 4/3 =
8/7 . 9/2 . 1/4 =
2/9 : 3/4 =
1/8 : 2/9 =
6/9 : 1/7 : 3/5 =
2/9 : 5/2 : 8/3 =
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TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR….
1) Resolver los siguientes problemas.
a) José sale de su casa con $50 y gasta 4/5 en el cine y 1/10 en chocolates,
¿qué fracción del total ha gastado?
b) Gonzalo vive en Buenos Aires y decide visitar a su hermano que vive en la
provincia de Santa Cruz. El primer día recorre 2/7 del camino y el segundo día
2/5 de lo que le falta. Si le quedan aún 900 km por recorrer, ¿cuántos km tiene
el camino?
c) Pagamos $38 por un libro, un cuaderno y una birome. El precio del cuaderno
es un quinto del precio del libro. La birome cuesta un tercio de lo que cuesta el
cuaderno ¿Cuánto cuesta el libro?
d) Del total de alumnos de una escuela de Mendoza, la mitad nació en esa
provincia, un tercio en otra provincia argentina y los restantes nacieron en otros
países. Si son 83 los alumnos extranjeros de la escuela, ¿cuántos de los
alumnos de la escuela nacieron en Mendoza?
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2) Hacer las siguientes sumas y restas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5/12 – 1/12 + 11/12 =
5/3 – 5/6 =
3/10 + 1/5 – 7/15 =
2 – 11/2 + 1/4 =
15/9 – 5/6 – 1/3 =
3/4 + 1 – 7/24 =
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3) Obtén el resultado de las siguientes multiplicaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
2/5 . 15/4 =
7/8 . 4/3=
-7/8 . (-4/3) =
12/5 . (-1/5) =
15/8 . (-2/5).1/3 =
4) Resuelve las siguientes divisiones.
a)
b)
c)
d)
e)
1/3 : 4/3 =
-2/5 : 8 =
21/15 : 7/5 =
-7/9 : (-4/5) =
1/6 : (-4/7) =
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5) Mas problemas…..
a) ¿Qué fracción representa la cantidad de letras “a” en la palabra “armario”?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) ¿Qué fracción representa la cantidad de letras “e” en la palabra “creer”?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) ¿Qué fracción representa la cantidad de letras “i” en la palabra “música”?---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d) ¿Qué fracción representa la cantidad de letras “o” en la palabra “moldeo”?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------e) ¿Qué fracción representa la cantidad de consonantes en la palabra “ser”?---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f) ¿Qué fracción representa la cantidad de “cuatros” en el numero “24484”?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g) ¿Qué fracción es mayor: la que representa la cantidad de vocales de la palabra
“mayor” o la que representa la cantidad de consonantes de la palabra
“amanecer”?-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6) Resolver ejercicios combinados
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2/5 +(1/2 – 3/10) =
1/6 – (-4/7 + 1/21) – 71/42 =
(-2 + 1/3) – 11/12 =
(1/4 + 1/6) – 1/5 =
1/2 – (8/21) =
2/5 + 1/3 – 5. (-1/10) =
5/2 : {-1/2 + 1/2. [1/2 : ( 1/2. 1/2) + 1/2. (1 + 1/2) .1/2] - 1} =
-3/7 : {5/7 + 5/19. [5/7 : 5/14 + 1/2. (1/2 : 1/2 + 1/2)]}=
A
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7) Resuelve más problemas….
a) Una sociedad tiene 420 miembros. Las dos terceras partes de ellos son hombres,
¿Cuántos hombres hay?
b) Las tres cuartas partes de 180 encuestados respondieron si a una pregunta.
¿Cuántos contestaron afirmativamente?
c) Un cajón de gaseosas tiene 12 botellas; si se consumen tres cuartas partes,
¿cuantas botellas se tomaron?
d) Calcular el 50% de $380.
e) Las tres cuartas partes de los profesionales de un equipo de futbol tienen mas de
21 años. Si en el equipo hay 20 profesionales, ¿ cuantos son los mayores de
edad?
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