Download 4.- Raíces cuadradas.

Unidad 1: Números enteros
2ºESO
Apuntes
IES Vilar Ponte
4.- Raíces cuadradas.
DEFINICIÓN La raíz cuadrada exacta de un número entero es otro número entero cuyo
cuadrado coincide con el primer número, es decir:
a = b ⇔ b2 = a
No todos los enteros tienen raíz cuadrada exacta, sólo los llamados cuadrados
36 = ±6 .
perfectos (1, 4, 9,16, 25K ). Por ejemplo,
¡CUIDADO! La raíz cuadrada de un número positivo siempre tiene dos valores, uno positivo
y uno negativo, pues al elevar al cuadrado el signo siempre es positivo. El único número que
tiene una sola raíz cuadrada es el cero.
DEFINICIÓN La raíz cuadrada entera de un número es el mayor entero con un cuadrado
menor o igual que dicho número. Se llama resto de la raíz cuadrada entera de un número a
la diferencia entre dicho número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera. Escribiremos ≈
en lugar de = para indicar que es una aproximación.
Ejemplos:
DEFINICIÓN Llamamos raíz n-esima de un número
ésima de
b
coincide con
a
a un número
a , es decir:
n
a = b ⇔ bn = a
1
b
tal que la potencia n-
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¡Cuidado con el signo del radicando!
Los posibles resultados de una raíz varían según sea par o impar el índice. El
"problema" viene con las raíces de índice par, ya que no es posible multiplicar un
número por sí mismo un número par de veces y conseguir un resultado negativo.
En la siguiente tabla tienes un resumen de todas las situaciones, según sea el índice y
el radicando.
5.- Múltiplos y divisores.
La multiplicación y la división son operaciones "emparentadas". Una es la
operación inversa de la otra. No tienes más que pensar en cualquier par de números
enteros y multiplicarlos. Por ejemplo:
6 ⋅ 4 = 24
De esa multiplicación podemos sacar dos divisiones exactas:
DEFINICIÓN Existe una relación de divisibilidad entre dos números enteros
división
que
b
a :b
es
exacta.
es divisor de
En
ese
caso,
decimos
que
a
a
y
b
es múltiplo de
si la
b
y
a.
¡CUIDADO! Las relaciones de divisibilidad vienen a pares. Por ejemplo, si consideramos la
división
56 : 7 = 8 , podemos decir que 7
es divisor de
56 , pero también 8
es divisor de
56 .
¡CUIDADO! Nuestro objetivo es usar las relaciones de divisibilidad para descomponer
números en piezas más pequeñas. Para simplificar las cosas, nos “olvidaremos” de los
números negativos.
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Los múltiplos de un número contienen a dicho número una cantidad exacta de
veces. Para
obtener
múltiplos de
cualquier
número no
tienes
más
que
multiplicar dicho número por un entero cualquiera.
•
Todo número entero tiene infinitos múltiplos, excepto el
0 , que tiene sólo uno, él
mismo.
•
Todo entero es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
Los divisores de un número están contenidos en dicho número una cantidad exacta de
veces. Para obtener divisores de un número tienes que encontrar divisiones
exactas en las que dicho número sea el dividendo.
•
Todo número entero tiene una cantidad finita de divisores, excepto el cero, que es
divisible por cualquier número entero excepto él mismo.
•
Todo número entero no nulo tiene al menos dos divisores, él mismo y la unidad.
5.1.- Criterios de divisibilidad.
Encontrar múltiplos es fácil, pero encontrar divisores puede resultar complicado. Una
forma de buscarlos sería comprobar varias divisiones hasta encontrar una exacta, sin
embargo, es recomendable tener una serie de reglas en la cabeza que nos ahorren
cuentas.
Fíjate en los siguientes ejemplos:
3
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¡CUIDADO! Los criterios del 3, del 7, del 9 y del 11 se pueden usar de forma recursiva.
5.2.- Números primos y números compuestos.
Seguro que recuerdas las siguientes definiciones.
DEFINICIÓN
1 y sólo tiene como divisores al 1 y a él mismo,
es decir, no se puede descomponer en factores más pequeños. Ejemplos: 2, 3, 5K
Un número entero es primo si es distinto de
1 y no es
4, 6, 8, 9K
Un número es compuesto si es distinto de
distinto de él mismo y la unidad. Ejemplos:
4
primo, es decir, tiene algún divisor
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¡CUIDADO!
Si te fijas en las definiciones anteriores, no trabajaremos con números negativos.
Los números primos son infinitos, así que queda descartada la opción de "chapárselos"
para el examen. Tampoco será necesario. Manejaremos habitualmente una cantidad
limitada de primos, que serán suficientes para las descomposiciones que haremos a mano.
No tienes que aprendértela de memoria, pero a continuación puedes consultar una
tabla con todos los primos menores que 1000 .
5.3.- Descomposición en factores primos.
ALGORITMO
Para descomponer un número entero en factores primos, se hacen divisiones exactas, entre
números primos, de forma sucesiva, hasta reducir el número de partida a la unidad.
No es obligatorio buscar los factores de menor a mayor, aunque es recomendable. Si
te fijas en el siguiente ejemplo, aunque se ponen los factores primos en diferente
orden, la descomposición es la misma.
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¡CUIDADO!
Si el número que tienes que descomponer es negativo, el proceso es exactamente el mismo.
La única diferencia es que debes incluir un factor
− 1 en la descomposición.
¿Cuándo podemos afirmar que un número que intentamos descomponer es
primo? ¿Con cuántos factores primos tenemos que probar?
Nunca deberías probar con número primo mayor que la raíz entera del número que
quieres descomponer.
Si un número es divisible entre un factor primo mayor que su raíz entera, entonces
necesariamente tiene que ser divisible entre otro factor primo menor que su raíz
entera. Recuerda que los divisores de un número “van por parejas”.
Por ejemplo, si queremos comprobar si el número
probar con los primos
que
30 ,
911
es primo, sólo deberíamos
2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29 , ya que son los primos menores
que es la raíz entera de
primos anteriores es divisor de
911 .
Si lo intentases, verías que ninguno de los
911 , así que 911 es primo.
¿Existe alguna forma de encontrar todos los divisores de un número a partir de
su descomposición en números primos?
Calcular todos los divisores de un entero a partir de su descomposición en factores
primos no es algo cómodo, pero sí es fácil saber cuántos divisores tiene el número.
Cada divisor es una combinación diferente de los factores primos del número dado.
Sólo tenemos que contar cuántas de esas combinaciones existen.
El exponente de un primo en la descomposición de un entero indica la cantidad de
veces que aparece, que será el tope de veces que podrá aparecer en cada uno de los
divisores que tenga ese número.
Siempre tenemos, para cada factor, una opción más que la que marca el exponente.
No tenemos más que multiplicar estas opciones y el resultado será el número de
combinaciones posibles.
Por ejemplo,
360 = 2 3 ⋅ 32 ⋅ 5
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•
Podemos seleccionar el
2
una vez, dos veces, tres veces o ninguna (4 opciones).
•
Podemos seleccionar el
3
una vez, dos veces o ninguna (3 opciones).
•
Podemos seleccionar el
5
una vez o ninguna (2 opciones).
En total,
360
tiene
4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24
divisores.
6.- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Máximo común divisor
Una forma de calcular el máximo común divisor podría ser encontrar todos los
divisores de cada uno de los enteros con los que estemos trabajando y comprobar
cuál es el mayor de los divisores comunes. Sin embargo, es una mala estrategia,
porque para números muy grandes tendríamos que hacer muchísimas cuentas.
Los divisores de un número son una combinación de algunos de sus factores primos.
Por tanto, si queremos un divisor común a varios enteros, tendremos que tomar
factores primos comunes a todos esos enteros. Si además queremos que sea el
mayor de todos los divisores comunes, tendremos que tomar todos los factores que
sean comunes, sin olvidarnos de ninguno.
ALGORITMO Para calcular el máximo común divisor ( m.c.d. ) de varios enteros:
•
Descomponemos los números en factores primos.
•
Escogemos los factores primos comunes a todos ellos, elevados al menor de los
exponentes con que aparecen.
Por ejemplo:
¡CUIDADO!
Si un número es divisor de otro, también es el máximo común divisor de dicho par de
números.
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Mínimo común múltiplo
ALGORITMO Para calcular el mínimo común múltiplo ( m.c.m. ) de varios enteros:
•
Descomponemos los números en factores primos.
•
Escogemos todos los factores primos que aparezcan, comunes y no comunes, sin
repetirlos y elevados al mayor de los exponentes con que aparecen.
Por ejemplo:
¡CUIDADO!
Si un número es múltiplo de otro, también es el mínimo común múltiplo de dicho par de
números.
¡CUIDADO!
Existe una relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos
números.
Dados dos números
a
y
b
distintos de cero:
m.c.d.(a, b ) ⋅ m.c.m.(a, b ) = a ⋅ b
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