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UNIDAD II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Tema. Funciones trigonométricas
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Introducción:
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que
las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los
ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con B = 60º y C = 30º. Todos los
triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados
proporcionales:
RAZONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS Y RECIPROCAS DE
ÁNGULOS AGUDOS
En un triángulo rectángulo (observar la figura) se define
como seno, “sen” de un ángulo agudo al valor obtenido al
dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la
longitud
de
la
hipotenusa.
Se define como coseno “cos” de un ángulo agudo al valor
b
obtenido al dividir la longitud del cateto adyacente al
ángulo entre la longitud de la hipotenusa. Se define como
tangente “tan” de un ángulo agudo de un triángulo
rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la
longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto adyacente.
De aquí, podemos decir que la función cosecante de
seno de a, y viceversa.
es la función reciproca de la función
De la misma forma podemos ver que la función secante de
función coseno de a, y viceversa:
es la función reciproca de la
Y que la función cotangente de a es la función reciproca de la función tangente de a, y
viceversa.
Las funciones inversas para el seno, coseno y tangente se denotan como
respectivamente.
Por ejemplo si
entonces
. De manera similar:
Las funciones trigonométricas inversas se pueden obtener usando una calculadora
científica. Otra manera de denotar a las inversas del seno, coseno y tangente es “arc sen”,
“arc cos” y “arc tan” respectivamente.
Ejemplo:
Un poste está sujeto desde su punto más alto por un cable
anclado al piso a una distancia de 20m de su base. El ángulo
formado por el cable con el piso es de 70 0. ¿Cuál es la
longitud que tiene el cable?
Solución:
En la figura observamos que el cable es la hipotenusa del
triangulo rectángulo formado por el poste, cable y piso y tiene un ángulo de inclinación de
700, cuyo cateto adyacente b=20m. Utilizando el coseno de 700 obtenemos:
Tenemos que
El cable mide aproximadamente
58.48 metros.
, despejando c se tiene
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
Y EN GENERAL PARA MÚLTIPLOS DE
,
UTILIZANDO TRIANGULOS
Hay ángulos cuyo uso es más frecuente. Estos son los ángulos de
30º, 45º, 65º. Por ello debe haber un método para hallar el valor de
las funciones trigonométricas sin necesidad de contar con otros
recursos.
Empecemos con las funciones trigonométricas para ángulos de 30º
y 60º.
Tomemos un triángulo equilátero donde cada lado mide 2 unidades (se puede asignar
cualquier medida a los lados pero para mayor facilidad se escoge 2). Recordando también
que cada ángulo interno de un triángulo equilátero mide 60 0.
Tomando la altura. Se divide al triángulo
equilátero en dos triángulos rectángulos,
que tienen las siguientes características:
Por el teorema de Pitágoras el valor del
otro cateto del triangulo rectángulo es
:
Los valores de este triangulo son de suma importancia, ya que con ellos vamos a encontrar
los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de 30º y 60º. Para obtener estos
valores utilizaremos la siguiente metodología:
Por ejemplo, determinemos el valor de sen 60º.
Primero identifiquemos el ángulo en el triángulo. En este caso se encuentra en la base del
triangulo. Después determinemos que lados involucran la relación:
En cuestión seno relaciona a
Identificar cuáles son los lados que contienen la relación:
Para 600 el cateto opuesto vale
y la hipotenusa vale 2.
Finalmente sustituir los valores en la relación. Por lo tanto:
Podemos hallar de manera similar los valores de todas las funciones trigonométricas para
600 y también para 300 si tomamos este ángulo en el triángulo.
Para ángulos de 450, pensemos en un triángulo rectángulo que
tenga dos lados iguales (catetos) y uno desigual (obviamente, la
hipotenusa). Por algunas propiedades tenemos:
1.
El valor de los ángulos opuestos a los catetos es el mismo,
cada uno de 450. Ya que se trata de un triángulo rectángulo y tiene
un ángulo de 900.
2.
Podemos asignarle un valor a los catetos. Así podemos darle
el valor de 1 a los catetos para facilitar nuestras operaciones y nuestro triángulo se vería
como el de la figura.
Es importante recordar los valores que nos muestra la figura para poder conocer los
valores de las funciones trigonométricas para el ángulo de 45 0.
Para hallar los valores de las funciones trigonométricas de 45 0 se sigue el mismo método
aplicado para hallar los valores de los ángulos de 30 0 y 600 y se deja de tarea al
estudiante.