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MATEMÁTICAS Mayores de 25 años
Tema 4. Trigonometría.
Razones y proporciones: Teorema de Thales. Semejanza de triángulos.
Teorema de Pitágoras.
Razones trigonométricas: Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un mismo
ángulo.
Razones trigonométricas de ángulos notables. Reducción de las razones al
primer cuadrante en la circunferencia goniométrica.
Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos.
Identidades y ecuaciones trigonométricas sencillas.
IPEP de Granada
Dpto. de Matemáticas
Tema 4. Trigonometría.
Razones y proporciones: Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teorema
de Pitágoras.
Razones y Proporciones
http://new.aulafacil.com/curso-gratis-de-porcentajes,razones-y-proporciones,629,10495
Llamamos razón al cociente indicado de dos números:
son razones que como ves, se tratan de divisiones que están indicadas, sin calcular su
resultado.
No hay que confundir razón con fracción.
Si
es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la razón
los
números a y b pueden ser decimales.
Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:
Es una proporción porque tenemos igualadas dos razones;
es otra proporción porque tenemos
la igualdad de dos razones.
La proporción:
se lee:
a
es a
b
como
c
es a
d
En la vida de cada día vemos que muchas cosas son proporcionales:
1) Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor consumo de
combustible).
2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).
3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el
billete).
En la proporción:
, a y d son los extremos, b y c los medios.
1) En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
2) El cociente de las dos fracciones de una proporción siempre son iguales.(Porque las fracciones son
equivalentes)
Veamos la siguiente proporción:
1) El producto de los extremos es:
2) El producto de los medios es:
El cociente de
son iguales.
Al cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad (muy útil para
resolver problemas que tratan de repartos proporcionales).
Ejercicio 1: ¿Crees que
y
forman una proporción?
Respuesta: Sí porque el producto de extremos es igual al producto de medios y porque se trata de fracciones
equivalentes.
Ejercicio 2:¿Cuál es la constante de proporcionalidad en
?
Respuesta:
PROPORCIONES Y REGLA DE TRES:
Los problemas que hicimos utilizando la regla de tres, podemos resolverlos haciendo uso de las
proporciones.
Proporcionalidad directa (regla de tres directa):
En una proporción en la que nos dan el valor de 3 datos, podemos calcular el cuarto de un modo muy
simple. Veamos en un ejemplo:
Ejercicio 3: Un vehículo recorre 300 kilómetros con 25 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros podría
recorrer con 200 litros?
Solución:
Por regla de tres escribimos los datos conocidos:
Si la regla de tres es directa, cada pareja de datos, debidamente ordenados, los podemos escribir en forma
de dos razones:
como ves, en el mismo orden tal como los habíamos escrito en la regla de tres.
Colocamos estas dos razones en forma de proporción:
Sabemos que en toda proporción el producto de extremos es igual al producto de medios:
300 200 = 25 x
Para calcular el valor de x tenemos que pasar el número (25) que lo multiplica al otro lado del signo =, es
decir, donde se encuentran 300 200 pero cuando un dato pasa al otro lado del signo igual lo hace con el
signo contrario al que tenía: si le sumaba a ‘x’ pasa restando, si estaba restando pasa sumando, si estaba
multiplicando, pasa dividiendo y se le estaba dividiendo pasa multiplicando.
En el caso actual, 25 multiplica a ‘x’, luego, pasará dividiendo:
Ejercicio 4: Una rueda da 1000 vueltas en 4 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora?. Resuelve utilizando
las proporciones:
Respuesta: 15000 vueltas.
Solución: Directamente establecemos la proporción:
Ejercicio 5: Con 30 € puedo comprar 2 camisas ¿cuántas podré comprar con 180 €? Resolverlo haciendo
uso de las proporciones.
Respuesta: 12 camisas
Solución:
Ejercicio 6: Para construir 5 casas se han utilizado 22000 kilos de cemento. ¿Cuántas casas podremos hacer
con 132000 kilos?
Respuesta: 30 casas
Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Ejemplos
1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
Sí, porque se cumple el teorema de Thales.
Teorema de Thales en un triángulo
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se
obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Ejemplo:
Hallar las medidas de los segmentos a y b.
Aplicaciones del teorema de Thales
El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.
Ejemplo:
Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.
1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A
3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la
última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales
en que se divide.
Semejanza de triángulos
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos
proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
Ejercicios
1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m
de altura da una sombra de 0.90 m.
2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un
triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Teorema de Pitágoras
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html
Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:
Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...
... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...
... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados
(llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)
Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado
de c (c²):
a2 + b2 = c2
¿Seguro... ?
Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula
debería funcionar.
Veamos si las áreas son la misma:
32 + 42 = 5 2
Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25
¡sí, funciona!
¿Por qué es útil esto?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos
ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)
¿Cómo lo uso?
Escríbelo como una ecuación:
a2 + b2 = c2
Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
25 + 144 = 169
c2 = 169
c = √169
c = 13
a2 + b2 = c2
92 + b2 = 152
81 + b2 = 225
Resta 81 a ambos lados
b2 = 144
b = √144
b = 12
¡Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!
Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía:







Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio
alrededor.
Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo)
Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la
hipotenusa
Dibuja líneas como en la animación, así:
Recorta los trozos
Colócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado
grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados
juntos
Otra Demostración, Muy Simple
Aquí tienes una de las demostraciones más antiguas de que el cuadrado grande tiene la misma área que los otros
cuadrados juntos.
Mira la animación, y presta atención cuando se empiecen a mover
los triángulos.
Quizás quieras verla varias veces para entender bien lo que pasa.
El triángulo violeta es el importante.
También tenemos una demostración sumando las áreas.
Nota histórica: aunque se llama Teorema de Pitágoras, ¡también lo conocían los matemáticos
indios, griegos, chinos y babilonios antes de que él viviera!
Razones trigonométricas: Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas
http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_2.html
Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.
Identidades trigonométricas fundamentales
cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
Ejemplos:
1
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del
ángulo α.
2
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del
ángulo α.
3
Si α es un ángulo del primer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas si
Si sabemos que
aplicando la relación
Como
Razones trigonométricas de ángulos notables. Reducción de las razones al primer
cuadrante en la circunferencia goniométrica.
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su
radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro
cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
Signo de razones trigonométricas
1 Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º
2 Razones trigonométricas del ángulo de 45º
3 Razones trigonométricas de ángulos notables
4 Relaciones trígonométricas fundamentales
sen2 α + cos2 α = 1
sec2 α = 1 + tg2 α
cosec2 α = 1 + cotg2 α
5 Ángulos complementarios
6 Ángulos suplementarios
7 Ángulos que se diferencian en 180°
8 Ángulos opuestos
9 Ángulos negativos
10 Ángulos mayores de 360º
11 Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad
12 Ángulos que suman en 270º ó 3/2 π rad
Razones y proporciones: Teorema de Thales. Semejanza de triángulos.
Razones y Proporciones
http://new.aulafacil.com/curso-gratis-de-porcentajes,razones-y-proporciones,629,10495
Llamamos razón al cociente indicado de dos números:
son razones que como ves, se tratan de divisiones que están indicadas, sin calcular su
resultado.
No hay que confundir razón con fracción.
Si
es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la razón
los
números a y b pueden ser decimales.
Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:
Es una proporción porque tenemos igualadas dos razones;
es otra proporción porque tenemos
la igualdad de dos razones.
La proporción:
se lee:
a
es a
b
como
c
es a
d
En la vida de cada día vemos que muchas cosas son proporcionales:
1) Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor consumo de
combustible).
2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).
3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el
billete).
Existen muchos otros ejemplos….
Los componentes de una proporción se llaman: Extremos y medios.
Los extremos, como su nombre indican son el primero y último términos de la proporción.
Los medios, los que están entre los dos anteriores; segundo y tercero términos.
En la proporción:
, a y d son los extremos, b y c los medios.
1) En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
2) El cociente de las dos fracciones de una proporción siempre son iguales.(Porque las fracciones son
equivalentes)
Veamos la siguiente proporción:
1) El producto de los extremos es:
2) El producto de los medios es:
El cociente de
son iguales.
Al cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad (muy útil para
resolver problemas que tratan de repartos proporcionales).
Ejercicio 1: ¿Crees que
y
forman una proporción?
Respuesta: Sí porque el producto de extremos es igual al producto de medios y porque se trata de fracciones
equivalentes.
Ejercicio 2: ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en
?
Respuesta:
PROPORCIONES Y REGLA DE TRES:
Los problemas que hicimos utilizando la regla de tres, podemos resolverlos haciendo uso de las
proporciones.
Proporcionalidad directa (regla de tres directa):
En una proporción en la que nos dan el valor de 3 datos, podemos calcular el cuarto de un modo muy
simple. Veamos en un ejemplo:
Ejercicio 1: Un vehículo recorre 300 kilómetros con 25 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros podría
recorrer con 200 litros?
Respuesta: Por regla de tres escribimos los datos conocidos:
Si la regla de tres es directa, cada pareja de datos, debidamente ordenados, los podemos escribir en forma
de dos razones:
como ves, en el mismo orden tal como los habíamos escrito en la regla de tres.
Colocamos estas dos razones en forma de proporción:
Sabemos que en toda proporción el producto de extremos es igual al producto de medios:
300 200 = 25 x
Para calcular el valor de x tenemos que pasar el número (25) que lo multiplica al otro lado del signo =, es
decir, donde se encuentran 300 200 pero cuando un dato pasa al otro lado del signo igual lo hace con el
signo contrario al que tenía: si le sumaba a ‘x’ pasa restando, si estaba restando pasa sumando, si estaba
multiplicando, pasa dividiendo y se le estaba dividiendo pasa multiplicando.
En el caso actual, 25 multiplica a ‘x’, luego, pasará dividiendo
Ejercicio 2: Una rueda da 1000 vueltas en 4 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora?. Resuelve utilizando
las proporciones:
Solución: Directamente establecemos la proporción:
Respuesta: 15000 vueltas.
Ejercicio 3: Con 30 € puedo comprar 2 camisas ¿cuántas podré comprar con 180 €? Resolverlo haciendo
uso de las proporciones.
Solución:
Respuesta:
12 camisas
Ejercicio 4: Para construir 5 casas se han utilizado 22000 kilos de cemento. ¿Cuántas casas podremos hacer
con 132000 kilos?
Respuesta: 30 casas
Teorema de Thales
http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_f.html
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas
paralelas, los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra.
Ejemplo 1: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
Ejemplo 2: Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
Sí, porque se cumple el teorema de Thales.
Teorema de Thales en un triángulo
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se
obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Ejemplo: Halla las medidas de los segmentos a y b.
Aplicaciones del teorema de Thales
El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.
Ejemplo: Divide el segmento AB en 3 partes iguales.
1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A
3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la
última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales
en que se divide.
Semejanza de triángulos
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos
proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
Ejercicio 1: Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste
de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
Ejercicio 2: Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de
un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Criterios de semejanza de triángulos
1 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales (puesto que entonces sus 3 ángulos son
iguales).
2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos
igual.
Criterios de semejanza de triángulos rectángulos
1 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
2 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
Teorema de Pitágoras.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html
Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:
Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...
... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...
... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados
(llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)
Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado
de c (c²):
a2 + b2 = c2
¿Seguro... ?
Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula
debería funcionar.
Veamos si las áreas son la misma:
32 + 42 = 5 2
Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25
¡sí, funciona!
¿Por qué es útil esto?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos
ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)
¿Cómo lo uso?
Escríbelo como una ecuación:
a2 + b2 = c2
Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
25 + 144 = 169
a2 + b2 = c2
92 + b2 = 152
81 + b2 = 225
c2 = 169
c = √169
c = 13
Resta 81 a ambos lados
b2 = 144
b = √144
b = 12
http://www.vitutor.com/geo/eso/as_5.html
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras:
1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
Ejemplo 2: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro
cateto?
3 Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos
menores.
Ejemplo 3: Determina si el triángulo es rectángulo.
Luego el
triángulo es rectángulo
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_2.html
Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Trigonometria_Razones.html
La trigonometría, enfocada en sus inicios sólo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos en
topografía, navegación y astronomía.
Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede
definir como "medida de triángulos".
Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier
triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para
ello, veamos la figura a la derecha:
Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con
vértice en B es recto.
Los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un
cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.
Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de cuyos
lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden
ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente o contiguo al
ángulo.
Cateto adyacente o contiguo es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra
enfrente de este.
Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:
Si consideramos el ángulo α Si consideramos el ángulo γ
cateto adyacente
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto opuesto
Por convenio, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con
las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra
minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.
Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se
establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos.
También se llaman Funciones trigonométricas.
Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos
agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos
en el siguiente cuadro:
Funciones (razones) trigonométricas
Fundamentales
Recíprocas
seno
sen
cosec (csc) cosecante
coseno
secante
cos
sec
tan (tg) tangente
cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo, para un ángulo α:
Sea el ángulo BACde medida α (siempre menor de
90º) en el triángulo rectángulo ABC.
Los lados BC y BA son los catetos y AC, la
hipotenusa.
En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen como:
Seno
Seno, es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
Coseno
coseno, es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa
Tangente
tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.
Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo
agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.
A cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así por que cada una es la inversa
de otra fundamental.
Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo ángulo:
Cosecante
cosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca del seno de
α se puede expresar como
Secante
secante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca del coseno
de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como es la
recíproca de la tangente de α se puede expresar como
Utilización de la calculadora en trigonometría
Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno,
coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:

En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para
obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón

deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos
muestra el resultado en la pantalla.
Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados
sexagesimales (DEG) y los gradianes centesimales (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya
que no es lo mismo
que
.
La conversión entre los sistemas es la siguiente:
Ejercicio 1: Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
1
3 rad
2
2π/5rad.
3
3π/10 rad.
Ejercicio 2: Expresa en radianes los siguientes ángulos:
1
316°
2
10°
3
127º
Ejemplo: Dado el triángulo ABC rectángulo en B (figura a la
derecha).
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que
es:
82 + 62 = 102; o sea, es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonométricas:
o
Razones trigonométricas de ángulos notables.
Seno, coseno y tangente de 30º y 60º
Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura
del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada
uno. Si en particular tomamos un triángulo equilátero de lado 2 unidades, recurriendo al Teorema de
Pitágoras, tenemos que la altura es 3 :
Seno, coseno y tangente de 45º
Si dibujamos un cuadrado de lado 1 unidad, cada uno de los ángulos
comprendido entre los lados son ángulos rectos. Si dibujamos una diagonal
obtenemos.
Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.
http://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_Bachillerato_LOGSE/Resoluci%C3%B3n_de_tri%C3%A1ngulos
Las razones trigonométricas sólo dependen del ángulo
debido al teorema de Thales.


Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y
midiendo simplemente.
Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del
ángulo.
Ejemplo Tenemos un triángulo cuyos lados miden a= 60mm b= 80mm c= 100mm que es rectángulo
(compruébalo) y queremos saber sus razones trigonométricas así que
Es un triángulo rectángulo, puesto que si elevamos el mayor de los
lados y cada uno de los menores al cuadrado y sumamos el resultado
de los cuadrados de los menores, da lo mismo que el mayor: 802 +
602 = 1002; luego el triángulo es rectángulo
Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo
Las razones trigonométricas, es decir el seno, coseno y tangente son dependientes, esto quiere decir que si
sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son:
Relaciones trigonométricas fundamentales
cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
sen
 tg
cos 
Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa
Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la
mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.
Ejemplo 1: Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen el seno y la tangente
Solución:
Ejemplo 2: Se conoce la tangente de un ángulo vale 1/3 y se quiere calcular cuánto valen
sino
Solución:
Ejercicio 1: Sabiendo que sec α = 2, 0< α <
Ejercicio 2: Sabiendo que sec α = 2,
0<α<
/2, calcula las restantes razones trigonométricas.
/2, calcula las restantes razones trigonométricas.
Solución:
Ejercicio 3: Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcula las restantes razones trigonométricas
del ángulo α.
Solución:
Ejercicio 4: Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcula las restantes razones trigonométricas del
ángulo α.
Solución:
Ejercicio 5: Si α es un ángulo del primer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas si
Solución: Si sabemos que
aplicando la relación
Como
Resolución de triángulos rectángulos
Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas,
es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.
Triángulos rectángulos
Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará
falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:

Dos lados
o
o
Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras
Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones
trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.
Ejemplo 1: Tenemos este triángulo y sabemos que un cateto mide 14 unidades y la hipotenusa mide 23
unidades. ¿Cuánto miden sus ángulos y el otro cateto?
Solución:

Un ángulo y un lado
o Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del
lado que tenemos
o El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres
180º siempre.
Ejemplo 2: Tenemos un triángulo rectángulo del que conocemos que un cateto mide 29 unidades y que
forma un ángulo de 63º con la hipotenusa. Calcula el resto de ángulos y lados.
Solución:
Razones trigonométricas en
la circunferencia
goniométrica
http://www.aritor.com/trigonomet
ria/razones_trigonometricas.html
Se llama circunferencia
goniométrica a aquélla que tiene
su centro en el origen de
coordenadas y su radio es la
unidad
En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran
en sentido contrario a las agujas del reloj
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
Signo de las razones trigonométricas
Razones trigonométricas de ángulos notables
Reducción de las razones al primer cuadrante en la circunferencia goniométrica.
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos que difieren en 180°
Ángulos opuestos
Ángulos negativos
Mayores de 360º
Ángulos que difieren en 90º
Ángulos que suman en 270º
Ángulos que difieren en 270º
Ejercicio 1: Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encuentra el ángulo de
elevación del sol en ese momento.
Solución:
Ejercicio 2: De un triángulo rectángulo ABC (rectángulo en A), se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resuelve
el triángulo.
Solución:
Ejercicio 3: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resuelve el triángulo.
Solución:
Ejercicio 4: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resuelve el triángulo.
Solución:
Ejercicio 5: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resuelve el triángulo.
Solución:
Ejercicio 6: Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de
depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Solución:
Ejercicio 7: Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco
correspondiente uno de 70°.
Solución:
Ejercicio 8: Calcula el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y
forman entre ellos un ángulo de 70°.
Solución:
Ejercicio 9: Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo
un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
Solución:
Ejercicio 10: La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia
inscrita y circunscrita.
Solución:
Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos.
Identidades y ecuaciones trigonométricas sencillas.
http://www.aritor.com/trigonometria/ejercicios_identidades.html
Ejercicios de identidades trigonométricas
Ejercicio: Comprueba las identidades:
1
Solución:
2
Solución:
3
Solución:
4
Solución:
5
Solución:
6
7
Simplifica r la s fracciones:
1
2
3
Ecuaciones trigonométricas
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto
sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una
sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.
Ejemplos:
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
3
4
5
7
6
7