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Estadística
Para el caso de dos variables aleatorias
X e Y, se puede mostrar que
Pero
y
Entonces
donde
son desconocidos.
covarianza muestral
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Estimación de intervalos de confianza
¿Cuál es el intervalo (de confianza) donde
existe una alta probabilidad de que el
parámetro a este contenido?
Existen diferentes condiciones bajo las cuales pueden
obtenerse los intervalos de confianza. Aquí solo
veremos una de ellas.
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Estimación del intervalo de confianza para
de
una muestra obtenida de una distribución normal
con varianza conocida.
Veamos esto por medio de un ejemplo:
Supongamos que la media muestral de ventas
de cierto producto es 200 unidades.
Así que
es un estimador de la
“demanda” media desconocida
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Asumiendo que se conoce la desviación
standard de la media muestral (
).
¿Este estimador implica que la demanda media
no es mayor que 250, ni menor que 150 ?
Elijamos un nivel de confianza (
95%
)del
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Suponga que se toma una muestra de tamaño 16
de cierto producto y se encuentra que el peso en
gramos de cada uno de ellos es:
506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505,
493, 496, 506, 502, 509 y 496.
Si el peso de los productos es una variable
aleatoria con distribucion Gaussiana y desviación
standard
, obtenga el intervalo de
confianza del 90%.
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Pruebas de hipótesis estadística
Problema de tomar una decisión (aceptar/no rechazar,
rechazar) basándonos en los datos experimentales
Existen diferentes pruebas para no rechazar (o
rechazar) alguna característica/parámetro de una
distribución/población: Student t-test, NeymannPearson test, Fisher's F-test.
Aquí, sólo veremos la llamada “prueba de bondad de un
ajuste” (Chi-square goodness of fit test)
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Recordatorio e información preliminar
Gamma distribution:
Sea Y una variable aleatoria dada por
donde
sigue una distribución Gaussiana con
y
Entonces
Y sigue una distribución
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La distribución
es un caso particular de la
distribución Gama (recuerden el caso visto en clase:
con
y
, es decir,
donde n son los “grados de libertad”. El valor medio y
varianza están dados por:
y
)
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Generalización: se puede mostrar que la suma de
variables aleatorias X de la forma:
i
donde las Xi siguen una distribución normal
está dada por una distribución
libertad:
con
y
con n grados de
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Pruebas de hipótesis
Nos interesa saber si nuestro modelo teórico
describe correctamente (estadísticamente hablando)
los datos experimentales (o datos numéricos).
La hipótesis H0 a verificar (llamada hipótesis nula) es
H0 : nuestro modelo es correcto, desde un punto de
vista estadístico.
¿De acuerdo a la muestra que tenemos no rechazamos
o rechazamos la hipótesis nula ?
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Consideramos la hipótesis nula:
H0: F(x) = F0(x)
donde F0 representa nuestro modelo teórico y F el
resultado observado.
Existen varias pruebas, aquí sólo veremos la llamada
-test
Esta prueba de bondad considera la suma de las
variables estandarizadas:
donde Ni es el valor observado y fi el valor teórico
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¿ De dónde sale esta fórmula ?
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Detalles:
Sea la hipótesis nula:
Consideremos una muestra de tamaño
variable aleatoria X, dividida en
n de la
k clases
(exhaustivas y mutuamente excluyentes). Sea el
número de observaciones en la i-ésima clase
Como sabemos
la probabilidad
ésima clase.
(nuestro modelo) podemos obtener
de obtener una observación en la i-
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De modo que
Sea
la realización de
(i=1,2,...,k), de modo que:
(i-ésima clase)
De esta forma la probabilidad de la muestra
“agrupada” está dada por la distribución
multinomial:
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Veamos un caso simple: k=2 (distribución binomial) y
consideremos la variable aleatoria
Para
n grande, sabemos que Y se aproxima a una
distribución Gaussiana/Normal.
También que si Y sigue una distribución Gaussiana
entonces Y2 sigue una distribución
(caso particular
de la distribución gama)
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También sabemos que la suma de los cuadrados de n
variables aleatorias con distribución Gaussiana sigue
una distribución
(en este caso con n-1 grados de libertad. Tenemos la
constricción de que el tamaño de la muestra es fija)
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Consideremos entonces el cuadrado de Y:
Para n grande esta variable sigue una distribución
Gaussiana. Además, ésta puede escribirse como:
donde se ha utilizado que
y
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Entonces en general tenemos
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Regresando al problema, se puede mostrar que la
variable
sigue una distribución , con k-1 grados de libertad
(en un histograma, k es el número de clases).
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Ahora fijemos el criterio para no rechazar la
hipótesis. Para ello hacemos uso de la función
acumulativa de la distribución
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Distribución
típica
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Así, el criterio para no rechazar la hipótesis nula es
depende del valor de Y (o ) con el
cuantil
de la distribución .
El valor del quantil
puede consultarse
en tablas (k: número de grados de libertad).
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Si se satisface que
Entonces la hipótesis no se puede rechazar (no hay
razones estadísticas para rechazar el modelo). Se
acostumbra a imponer un valor de significancia de