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MATEMÁTICA APLICADA 1
CAPITULO I. Introducción al lenguaje de los métodos matemáticos (6h):
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Escalares, vectores y álgebra vectorial.
Productos de vectores (escalar, vectorial y mixto).
Independencia y dependencia lineal, componentes, bases y cosenos directores. Algebra vectorial e índices.
Aplicaciones del álgebra vectorial (rectas y planos).
Derivación e integración de funciones vectoriales.
Gradientes, divergencias y rotacionales.
Vectores y números complejos.
CAPITULO II. Espacios vectoriales (4h)
 Grupos, campos y espacios vectoriales abstractos.
 Métricas y espacios métricos.
 Normas y espacios normados. Producto interno y espacios de Hilbert.
 Dependencia e independencia lineal, bases de un espacio vectorial.
 Ortogonalidad y bases ortogonales, ortogonalización.
 Complementos ortogonales y descomposición ortogonal.
CAPITULO III Vectores duales y tensores funcionales lineales. (4h)
 Una definición funcional de tensores.
 Definición de producto tensorial y sus propiedades.
 Bases para un producto tensorial.
 Tensores, sus componentes y sus contracciones.
 Tensor métrico, índices y componentes.
 Ejemplos de tensores: el tensor de esfuerzos (stress) y el tensor de inercia.
 Vectores, formas, tensores y leyes de transformación.
CAPITULO IV. Operadores lineales, matrices y vectores propios (6h)
 Operadores lineales y espacio vectorial de operadores lineales.
 Composición de operadores lineales, proyectores, operadores biyectivos e inversos, operadores
hermíticos, conjugados y operadores unitarios.
 Representación matricial de operadores.
 Bases y representación matricial de operadores.
 Algebra de matrices. Sistemas de ecuaciones lineales, inversa de una matriz.
 Cambio de base y representación matricial de operadores lineales.
 Traza, determinante y sus propiedades.
 Diferenciación de operadores lineales.
 Fórmula de Glauber.
 Ejemplos de matrices cuadradas.
 Valores y vectores propios de distintos tipos de matrices.
 Conjunto completo de observables que conmutan.
CAPITULO V. Coordenadas curvilíneas (4h)
 Coordenadas generalizadas, vectores, formas y tensores.
 Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
 Otros sistemas coordenados.
 Métrica en varios sistemas coordenados.
 Transformaciones de coordenadas para vectores, tensores.
CAPITULO VI. Campos y operadores diferenciales (6h)
 Concepto de campo tensorial.
 Campos escalares y superficies.
 Campos vectoriales y líneas de flujo.
 Líneas de flujo o curvas integrales, trayectorias ortogonales a las líneas de flujo.
 Flujo de campos vectoriales.
 Derivada direccional, diferencial total y gradiente.
 Divergencia y flujo en campos vectoriales.
 Rotacionales, líneas de torbellino y circulación.
 Formulario del operador nabla. Laplacianos.
 Integrales y campos vectoriales.
 Campos vectoriales y teoremas integrales.
 Teorema de Gauss y Stokes.
 Teoría de potencial. Potenciales escalares.
 Potenciales vectoriales y calibres.
 Teorema de Green y potenciales.
 Teorema de Helmholtz.
CAPITULO VII. Ecuaciones diferenciales ordinarias (10h)
 Ecuaciones diferenciales de primer orden: separables, exactas y paramétricas; existencia y unicidad de
soluciones.
 Solución numérica a las ecuaciones diferenciales: métodos explícitos e implícitos, control de paso.
 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden.
 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior: homogéneas, lineales, de segundo orden y de
orden n. Métodos de solución para ecuaciones no homogéneas.
 El Wronskiano. Coeficientes indeterminados. Métodos de variación de parámetros y de reducción de
orden.
 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior a la mecánica y la electricidad.
 Oscilaciones libres, libres-amortiguadas, forzadas y forzadas-amortiguadas. Movimiento alrededor de un
punto de equilibrio: perturbaciones.
 Péndulo simple con desplazamiento finito. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias: lineales,
homogéneos y no homogéneos. Modos normales de oscilación.
BIBLIOGRAFÍA
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[2] GREENBERG, M. D., Advanced Engineering Mathematics. Prentice-Hall, 2 Edition, 1998.
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Science. World Scientific, 2003.
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2009.
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Cambridege, 3 Edition, 2006.