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ETSI de Minas de Madrid Ingeniero Geólogo - Segundo Curso TEORÍA DE CAMPOS Programa Capítulo 1.- ALGEBRA TENSORIAL §1.1 Repaso de álgebra vectorial a) Álgebra vectorial b) Propiedades y aplicaciones de las operaciones c) Índices y notación indicial d) Álgebra vectorial en componentes cartesianas e) Cambio de base §1.2 Álgebra tensorial a) Definición matemática de tensor y ejemplos b) Operaciones con tensores c) Bases y componentes tensoriales d) Álgebra tensorial en componentes e) Cambio de base para tensores §1.3 Estudio de los tensores de segundo orden a) Determinante de un tensor b) Tensores traspuesto e inverso de uno dado c) Autoanálisis de un tensor: autovalores y autovectores d) Tensores simétricos, antisimétricos y ortogonales e) Rotaciones y simetrías en el espacio f) (Teorema de descomposición polar) Capítulo 2.- INTEGRACIÓN SOBRE LUGARES GEOMÉTRICOS §2.1 Parametrización de lugares geométricos a) Curvas b) Superficies c) Volúmenes §2.2 Construcción de bases de referencia en los lugares geométricos a) Base de Frenet de una curva b) Base de superficie §2.3 Integrales de línea, de superficie y de volumen Capítulo 3.- CAMPOS (I): DIFERENCIACIÓN Y OPERADORES DIFERENCIALES §3.1 Conceptos básicos de campos a) Campos escalares: superficies o líneas de nivel Ingeniero Geólogo ETSI de Minas Teoría de Campos b) Campos vectoriales: líneas de acción o líneas de campo §3.2 Diferenciación y gradiente de un campo escalar y vectorial a) Gradiente de un campo escalar b) Gradiente de un campo vectorial §3.3 Operadores diferenciales clásicos a) El operador nabla ∇ b) Operadores divergencia y rotacional Capítulo 4.- CAMPOS (II): INTEGRACIÓN Y TEORIA DEL POTENCIAL §4.1 Integración de campos vectoriales a) Integral de línea, de superficie y de volumen de un campo escalar . b) Integrales de campos vectoriales: circulación y flujo §4.2 Teoremas fundamentales de la integración de campos vectoriales a) Teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea b) Teorema de Stokes o del rotacional c) Teorema de Gauss o de la divergencia §4.3 Teoría del potencial a) Teoría del potencial escalar. Existencia y cálculo. Campos conservativos y campos irrotacionales. b) Teoría del potencial vector. Existencia y cálculo. Campos rotacionales y campos adivergentes. ____________________________
