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Maestría en el Padrón Nacional de Posgrado de CONACyT
EXAMEN TIPO: PRIMER EXAMEN PARCIAL
MICROECONOMIA
SEMESTRE 2007-I
1.
Un consumidor tiene una función de utilidad de la forma U(x, y) = xa + yb con a, b ≥ 0. ¿Qué
condiciones adicionales se deben imponer sobre los parámetros a y b bajo cada uno de los
siguientes supuestos?
(a)
(b)
(c)
(d)
2.
Las preferencias sean cuasi-lineales y convexas, y el bien x sea normal.
Las preferencias sean homotéticas.
Las preferencias sean homotéticas y convexas.
Los bienes x y y sean sustitutos perfectos.
Dada la función de utilidad U ( x1 , x2 )  x1 
1
y la restricción presupuestaria p1x1 + p2x2 = M,
x2
con M > (p1p2)1/2.
(a)
(b)
(c)
(d)
3.
Considere que un individuo tiene preferencias de consumo representadas por la función de
Stone-Geary U(x1, x2) = (x1 - c1)a (x2 - c2)1-a, con 0 < a < 1, ci > 0, i=1,2.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
4.
Demuestre que U(x1, x2) es estrictamente cuasi-cóncava.
Encuentre las funciones de demanda y determine si los bienes son sustitutos o
complementarios.
Verifique que las funciones de demanda obtenidas son homogéneas de grado cero,
satisfacen la ley de Walras, la agregación de Engel y la agregación de Cournot.
Verifique asimismo que la matriz de efectos sustitución es semidefinida negativa.
Encuentre las funciones de demanda.
Demuestre que las funciones de utilidad Stone-Geary siempre representan
preferencias monótonas y estrictamente convexas. (xi > ci).
Demuestre que los dos bienes son normales para este caso.
Demuestre que los bienes son complementarios.
Demuestre que las demandas son inelásticas.
Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad u  x1a x12a .
(a) Encuentre la función de utilidad indirecta.
(b) Confirme la identidad de Roy usando las condiciones de primer orden para obtener la
solución para x1 y λ, y con esto una expresión para -λx.
5.
Considere la función de utilidad U(x1, x2) = α log x1 +(1- α) log x1, en donde 0< α<1.
(a)
(b)
(c)
Calcule las demandas compensadas y la función de gasto asociada. Verifique que la
función de gasto sea homogénea de grado uno en precios y que se cumple el lema de
Hotelling
Verifique que la función de gasto sea cóncava en precios (estrictamente cóncava en
este caso). Use este resultado para probar que los efectos sustitución son negativos.
Calcule las demandas marshallianas y la función indirecta de utilidad asociada. Verifique
que la función indirecta de utilidad sea homogénea de grado cero en precios y renta, y
que se cumple la identidad de Roy.
N
6.
Considere la siguiente función de utilidad lineal U   0    i xi .
i 1
(a) Explique el sentido económico de esta función.
(b) Considere el caso de dos bienes, y muestre que la función de utilidad lineal presenta
una utilidad marginal constante. Comente si este resultado le parece realista en términos
económicos.
(c) Dado el anterior resultado, muestre que dada una restricción presupuestaria, la elección
óptima del consumidor será una combinación en la que la cantidad de ambos bienes
será distinta de cero solamente cuando la razón de las utilidades marginales iguale a la
razón de los precios. En otro caso el consumo de alguno de los bienes será cero.
(d) Encuentre la función de demanda.
(e) Note que la demanda será igual a cero arriba de un precio máximo ¿Qué implicaciones
tiene este resultado? (considere el caso en que uno de los bienes es un bien esencial,
por ejemplo agua).
7.
Muestre que para que una combinación de insumos sea técnicamente eficiente la
producción-eficiencia es una condición necesaria pero no suficiente.
8.
¿Por qué las isocuantas pueden tener regiones con pendientes positivas, pero las curvas de
indiferencia no?
9.
¿Son el producto marginal y las tasas marginales de sustitución técnica de las funciones de
producción homogéneas de cualquier grado independientes del nivel de producción?
10.
Demuestre que E CP
pi 
11.
Muestre que la función de costos Cobb-Douglas y  Az1 z 12 para una empresa con retornos
constantes es C ( p, y)  yp1 p12 B , en donde B es una función de A y α solamente. Encuentra
las funciones de demanda de los factores.
12.
Considere una empresa que desea resolver el siguiente problema de optimización:
z i ( p, y ) p i
, es decir, que la elasticidad del costo promedio C(p, y)/y
C ( p, y )
con la producción constante, con respecto al precio de un insumo, es igual a la proporción de
gasto en el insumo con respecto al costo total.
max y 
N
 pf N , K C   F 
N
En donde p es el precio del bien producido, f(N, KC) es la función de producción, N es el
número de empleados, KC es el capital fijo, y F es un costo fijo.
(a)
(b)
(c)
Explique el significado de y y diga de que tipo de empresa se trata.
Resuelva el problema de optimización para N y para y.
Calcule la expresión para determinar que sucede con N cuando cambia p, y explique el
efecto perverso en N tras un aumento en p.