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INTRODUCCIÓN
La trigonometría es una parte de la matemática que, genéricamente,
estudia la relación entre la medida de los ángulos y los lados de un
triángulo. De hecho, la propia palabra trigonometría tiene su origen en
este hecho: tri– significa "tres", –gono–, significa "ángulo" y –metria
significa "medida"; es decir, trigonometría significa algo así como
"medida de (figuras) con tres ángulos".
Los primeros usos de la trigonometría (aunque no llevara este nombre)
fueron la cartografía, astronomía y la navegación, y sólo
recientemente su uso se ha extendido a otros muchos campos. La
astronomía es, quizá, el campo que desde antiguo estuvo más unido a la
trigonometría y, de hecho, la mayor parte de estudios trigonométricos se
presentaban en trabajos astronómicos
TRIGONOMETRÍA. 4º ESO
1.Sistemas de medida de ángulos.
2. Razones trigonométricas. Relación entre ellas.
3. Resolución de triángulos rectángulos.
4. Reducción de ángulos al primer cuadrante.
5. Teorema del seno y del coseno.
6. Resolución de un triángulo cualquiera.
7. Problemas de aplicación.
1. SISTEMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS.
La unidad de referencia en el sistema sexagesimal es el grado(º) .
Sus submúltiplos son el minuto(‘) y el segundo(“)
1º=60’
1’=60”
La unidad de referencia en el sistema internacional es el radián(rad),
que es la amplitud del ángulo central de una circunferencia que
abarca un radio de longitud.
360º =2π rad
(1 radián= 57º 17’ 45”)
TABLA DE CONVERSIÓN
GRADO
0º
30º
45º
60º
90º
120º
180º
270º
360º
RADIÁN
0
Π/6
Π/4
Π/3
Π/2
2Π/3
Π
3Π/2
2Π
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.RELACIÓN ENTRE ELLAS.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo se definen en
función de los lados de ese triángulo y son independientes de su
tamaño. Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente del
ángulo agudo de un triángulo rectángulo como el de la figura, se
definen:
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.RELACIÓN ENTRE ELLAS.
Debe destacarse que el seno y el coseno de un ángulo agudo son
números positivos nunca mayor que 1 (un cateto no puede nunca ser
superior a la hipotenusa).
0 £ sen a £ 1
0 £ cos a £ 1
Las razones trigonométricas dependen del ángulo, pero no del
triángulo escogido para definirlas.
https://www.geogebra.org/m/yK4spc59
En definitiva, para cualquier ángulo de 0 a 90º, existe un único
número que sea su seno, un único número que sea su coseno y,
finalmente, un único número que sea tangente. Estos tres números se
conocen como las razones trigonométricas básicas del ángulo.
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.RELACIÓN ENTRE ELLAS.
Los valores de seno, coseno y tangente de un mismo ángulo no son
independientes, sino que están relacionados, de tal modo que
conociendo uno de ellos, podemos calcular los otros dos. Las
relaciones que los ligan se las suele llamar relaciones fundamentales,
y son las siguientes:
( sen a ) + ( cos a )
2
2
sen a
t ga =
cos a
=1
(NOTA: En lugar de ( sen a ) , escribiremos sen 2a )
2
En efecto,
( sen a ) + ( cos a )
2
2
2
2
a 2 b2 a 2 + b2 c 2
æaö æbö
= ç ÷ +ç ÷ = 2 + 2 =
= 2 =1
2
c
c
c
c
ècø ècø
a
a
sen a
t ga = = c =
b b
cos a
c
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.RELACIÓN ENTRE ELLAS
Veamos las razones trigométricas de los ángulos notables:
2
3l 2
3
ælö
2
h = l -ç ÷ =
=
l
2
4
2
è ø
l
1
sen 30º = 2 =
l 2
3
l
3
sen 60º = 2 =
l
2
sen 45º =
l
l 2
=
1
2
=
2 2
3
l
3
cos 30º = 2 =
l
2
1
1
3
tg 30º = 2 =
=
3
3
3
2
3
tg 60º = 2 = 3
1
2
l
1
cos 60º = 2 =
l 2
cos 45º =
l
l 2
=
1
2
=
2 2
2
tg 45º = 2 = 1
2
2
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.RELACIÓN ENTRE ELLAS
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro
en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la
circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro
cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
●
●
●
●
PQ PQ
sen a =
=
= PQ
OP r
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
OQ
cos a =
= OQ
OP
PQ ST ST
tg a =
=
=
= ST
OQ OT r
https://www.geogebra.org/m/pyPGsGVc
3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos(lados o
ángulos) a partir de algunos elmentos conocidos.
Las razones trigonométricas nos permiten resolver cualquier triángulo
rectángulo.
CONOCIDOS LOS LADOS
●
●
El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.
Cada uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica
que lo relaciona con los dos lados desconocidos.
CONOCIDO UN LADO Y UN ÁNGULO
●
●
Otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el
lado y el ángulo conocidos.
El otro ángulo agudo es complementario del que desconocemos.
4. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE
Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de
la circunferencia. Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo,
tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del
primer cuadrante.
Ángulos complementarios ( suman 90º )
æp
ö
sen ç - a ÷ = cos a
è2
ø
æp
ö
cos ç - a ÷ = sen a
è2
ø
1
æp
ö
tg ç - a ÷ =
= cot g a
è2
ø tg a
https://www.geogebra.org/m/VkhUq6qc
4. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE
Ángulos suplementarios ( suman 180º )
sen ( p - a ) = sen a
cos ( p - a ) = - cos a
tg ( p - a ) = - t g a
Ángulos que difieren 180º
sen ( p + a ) = - sen a
cos ( p + a ) = - cos a
tg ( p + a ) = t g a
4. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE
Ángulos opuestos
sen ( 2p - a ) = - sen a
cos ( 2p - a ) = cos a
tg ( 2p - a ) = - t g a
Ángulos negativos
sen ( -a ) = - sen a
cos ( -a ) = cos a
tg ( -a ) = - t g a
5. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
El teorema del seno se utiliza para relacionar los lados de un triángulo con
los ángulos opuestos a estos.
Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B
y C son respectivamente a, b, c, entonces
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
En efecto,
Þ
https://www.geogebra.org/m/DgrM84S9
5. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
El teorema del seno es utilizado para resolver un triángulo cuando tenemos:
●
●
Dos ángulos y un lado
Los lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Puede ser empleado el teorema del seno,
seno con reajustes circunstanciales, en:
Cálculo de la altura de un árbol
Hallar el ángulo de elevación del suelo
Plano para construcción de puentes
Estudio y dibujo de carriles de una autopista
Itinerario de un planeo
Ubicación de un foco de incendio
Situación de un transmisor de radio clandestino
La altitud de una montaña y otros casos.
5. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
Teorema del coseno
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de
ambos por el coseno del ángulo que forman.
a 2 = b 2 + c 2 - 2 × b × c × cos A
b 2 = a 2 + c 2 - 2 × a × c × cos B
c 2 = a 2 + b 2 - 2 × a × b × cos C
En efecto,
h12 = b 2 - z 2
h = a - (c - z )
2
1
2
2
Þ a 2 - c2 - z 2 + 2 × c × z = b2 - z 2
ß
a 2 = b2 + c 2 - 2 × c × z
z
cos A = Þ z = b × cos A entonces sustituyendo nos queda
b
a 2 = b 2 + c 2 - 2 × b × c × cos A
https://www.geogebra.org/m/DgrM84S9
5. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
El teorema del coseno es utilizado para resolver un triángulo cuando
tenemos:
●
●
Conocemos los tres lados.
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
●
Dos lados y el ángulo que forman.
6. RESOLUCIÓN DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA.
Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto mediante
“la estrategia de la altura” . Consiste en elegir adecuadamente
una de las alturas del triángulo de modo que, al trazarla,
se obtengan dos triángulos rectángulos resolubles
por separado o conjuntamente.
7. PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
La trigonometría es útil para resolver problemas
geométricos y calcular longitudes en la realidad.
Con un teodolito como el de la fotografía,
se pueden medir ángulos, tanto en el plano vertical
como en el horizontal, que nos permiten,
aplicando las razones trigonométricas,
hallar distancias o calcular alturas de
puntos inaccesibles.