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TRIGONOMETRIA
TEMA 1
1.- INTRODUCCIÓN
Recordemos que la trigonometría es la ciencia que estudia la resolución de triángulos,
se remonta a las civilizaciones egipcias y babilonias, aunque fueron los árabes en el
siglo VII los que obtuvieron los valores de la trigonometría actual. En Europa los
primeros conocimientos de trigonometría llegaron por la traducción de libros árabes,
los primeros matemáticos europeos que trabajaron sobre la trigonometría fueron
Regiomontano (1436-1476) y François Viète (1540-1603). En siglo XVIII Newton y
Euler definieron las funciones trigonométricas que forman parte hoy del análisis
matemático.
Utilizando los triángulos se pueden obtener, áreas, distancias, ángulos,…
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era
determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida
de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables
aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de
la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de
corriente alterna.
Lo primero que se estudia son los ángulos. Recordemos como se miden, ultimaremos:
El sistema sexagesimal de medida de ángulos.
Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez
cada grado se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos.
Así un ángulo se mide en: grados º minutos' segundos''. Otro tipo de medida de
ángulos es:
Radianes
Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia. Como la longitud de
toda la circunferencia es 2·π·radio, resulta conveniente tomar como unidad de
medida el radio. Los ángulos se representaron en una circunferencia de radio 1,
ello no significa que el radio mida 1cm o 1pie o 1m, sino que el radio es la unidad
de medida tomada. Por razones evidentes a esta unidad se le llama radián.
La escena comienza mostrando el ángulo de medida un radián, aquel cuyo recorrido
en la circunferencia es igual a su radio. Luego, en los ejemplos, se pide una
estimación de la medida de algunos ángulos.
El radián (rad) es el ángulo central cuyo arco tiene igual longitud que el radio de la
circunferencia. Puesto que esa longitud es 2r , el ángulo completo tiene 2 radianes
De grados a radianes y de radianes a grados
 Ángulo completo  360º = 2 rad = giro completo.
 Ángulo recto  90º =  rad = ¼ de vuelta.
2
 Ángulo llano  180º =  rad = ½ vuelta.
1
Si despejamos el grado resulta:
1 grado = π/180 radianes ~ 0.0175 radianes
Si despejamos el radián resulta:
1 radián = 180/π grados ~ 57.2957 grados
EJERCICIOS: Pág.142: 1, 2 y 3. Pág. 128 y 129 del 1 al 4.
2.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Consideremos el ángulo rOs   , siendo O
el origen de coordenadas y coincidiendo la
semirrecta Or con la parte positiva del eje de
abscisas. Al trazar las rectas verticales AB, A´B´...
s


se forman los triángulos OAB , OA' B'...

r
 Se llama seno de  a la razón entre el cateto opuesto AB y la hipotenusa OB:
AB
sen  
OB
 Se llama coseno de  a la razón entre el cateto contiguo OA y la hipotenusa OB:
cos  
OA
OB
 Se llama tangente de  a la razón entre el cateto opuesto AB y el cateto contiguo
OA:
tg  
AB
OA
Fíjate que los triángulos OAB y OA´B´ son semejantes por ser rectángulos y
compartir el ángulo , por lo tanto, y usando el teorema de Thales:
AB A' B'

 ...  sen
OB OB'
OA OA'

 ...  cos 
OB OB'
AB A' B'

´ ...  tg
OA OA'
Lo cual nos dice que las razones seno, coseno y tangente son características de un
ángulo  e independientes de la longitud de los lados del triángulo.
Estas tres razones trigonométricas de un ángulo se completan con sus inversas.
 Se llama cotangente de  a la razón entre el cateto adyacente OA y el cateto
opuesto AB:
cot g 
OA
1

AB tg
2
 Se llama secante de  a la razón entre la hipotenusa OB y el cateto adyacente OA:
sec  
OB
1

OA cos 
 Se llama cosecante de  a la razón entre la hipotenusa OB y el cateto opuesto AB:
cos ec  
OB
1

AB sen
IMPORTANTE: Como los catetos de un triángulo rectángulo son menores que la
hipotenusa, el coseno y el seno (en valor absoluto) de un ángulo tienen valores
comprendidos entre 0 y 1:
0  sen   1 y 0  cos   1 .
Además, de las definiciones vistas más arriba se puede deducir que:
AB
AB OB
tg 

OA OA
OB

tg 
sen
cos 
EJERCICIOS: Pág. 104 1y2. Pág. 122 el 1.
3.-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Para definir las razones trigonométricas de ángulos
cualesquiera (de 0º a 360º) se empieza situando el ángulo en
una circunferencia de radio 1(goniométrica) con su centro, O,
situado sobre unos ejes coordenados.
Y
El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus
lados, a, sobre la parte positiva del eje de las X. El segundo
lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas del
reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia en un punto,
P, cuyas coordenadas son c = cos  y s = sen . Es decir, P(cos
, sen ). La tg = t se sitúa sobre la recta r, tangente a la
circunferencia en U, y queda determinada por el punto T en
que el lado b, o su prolongación, corta a r.
Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues el segundo lado no corta a la recta r.
En cuanto al signo, las razones trigonométricas son positivas si el segmento que las
representa esta en eje positivo o negativo. La secante y la cosecante, al ser segmentos
inclinados, tienen el signo que corresponda a su inversa.
Según esta definición, las razones trigonométricas seno, coseno y tangente toman
valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo . En
la figura siguiente se resumen los signos de las tres razones:
3
X
T
4.-RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS
ÁNGULOS
Dos ángulos son complementarios si suman 90º; sus razones trigonométricas, al igual
que ocurre en varios casos, están relacionadas. También lo están las de los ángulos
suplementarios (los que suman 180º) y las de los opuestos (los que suman 360º).

Ángulos complementarios,  y 90º - :

sen (90º  ) = cos 

cos (90º  ) = sen 

tg (90º  ) = cos /sen  = 1/tg  = cotg 
Si dos ángulos son complementarios, tienen conjugados
seno/coseno y tangente/cotangente.
 Ángulos suplementarios,  y 180º  :
 sen (180º  ) = sen 
 cos (180º  ) = cos 
 tg (180º  ) = tg 
Si dos ángulos son suplementarios, tienen iguales los
senos y opuestos los cosenos y las tangentes.
 Ángulos que difieren en 180º,  y  + 180º:
 sen ( + 180º) = sen 
 cos ( + 180º) = cos 
 tg ( + 180º) = tg 
Si dos ángulos difieren en 180º, tienen iguales las tangentes y opuestos los senos y los cosenos.
 Ángulos opuestos,  y - o bien  y 360º  :
 sen () = sen 
 cos () = cos 
 tg () = tg 
Si dos ángulos son opuestos, tienen iguales los cosenos y opuestos los
senos y las tangentes.
EJERCICIOS: Pág. 109 1,2 y 3
4
5.-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS BÁSICOS.
Los valores numéricos de las razones trigonométricas de ciertos ángulos se
pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se
tiene que los dos ángulos iguales miden 45° y que los dos catetos también miden lo
mismo. Así, por el teorema de Pitágoras, H2=a2+a2=2a2 el cuadrado de la hipotenusa
será el doble del cuadrado de un cateto, por lo tanto H obtiene calculando la raíz
cuadrada:
hipotenusa :
a
a 2
2a 2  a 2
Las razones trigonométricas, como el cateto opuesto y contigo son
iguales
45º
a
sen 45  cos 45 
a
a 2

2
2
tg 45  cot g 45  1
sec 45  cos ec 45  2
De manera análoga podemos razonar con un triángulo equilátero (en el que todos
los ángulos miden 60º) de lado unidad. Si trazamos la altura correspondiente a
cualquiera de los lados, ésta coincide con la bisectriz del ángulo. De manera que se
forma un triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos es de 30º y el otro de 60º.
Aplicando en este triángulo las definiciones dadas de las razones trigonométricas en el
epígrafe 2. junto con el teorema de Pitágoras, se obtienen todas las razones
trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º (observa que estos ángulos suman 90º, con
lo que podemos además utilizar lo descrito en el epígrafe 4. para obtener las razones
trigonométricas de uno a partir de las del otro).
5
También podemos, a partir de las definiciones, saber las razones de 0º, 90º, 180º,
270º y 360º.
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
0º
0
1
0

1

30º
1/2
3 /2
45º
2 /2
2 /2
1
60º
3 /2
1/2
3
3 /3
3
1
3 /3
90º
1
0
+
0

1
180º
0
1
0

1

270º
1
0

0

1
6.-FÓRMULAS NOTABLES DE TRIGONOMETRÍA.
Además de las relaciones trigonométricas estudiadas en los epígrafes anteriores,
existen otras fórmulas que permiten calcular las razones trigonométricas de un ángulo
cualquiera a partir de una de ellas.
Recordemos que en la circunferencia de r=1, al representar un
ángulo , se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son el sen  y
el cos , y cuya hipotenusa coincide con el radio de la circunferencia,
que es 1. Así, sin más que usar el teorema de Pitágoras se obtiene la
igualdad fundamental de trigonometría:

sen 2   cos 2   1
Si dividimos la igualdad anterior por cos 2  y por sen 2  y tenemos en cuenta
las relaciones trigonométricas ya estudiadas, se tiene que:
1  tg 2   sec 2 
1  cot g 2   cos ec 2 
Aclaremos para terminar que tanto los ángulos negativos como los que superan
360º son siempre “equivalentes” (idénticas razones trigonométricas) a uno  de la
circunferencia fundamental (donde 0º    360º ).
Demuestra las siguientes identidades:
a) tg  cot g 
cos ec
cos 
b)
1 - sen
1 - sen 2 

cos  - sen·cos 
cos 3 
c)
tgx
1  tg 2 x

cos 2 x
cot gx
2
2
d) tg x  sen x  sen 2 x
tg 2 x
6

Simplifica las siguientes expresiones:
a ) (1  tg 2 x ) cos 2 x
e)
b)
sec 2 x  1
1  cos 2 x
c) sen 2 x 
1
1  tg 2 x
d)
1  tg 2 x
1  tg 2 x
1
 sen x cos 2 x  sen 3 x  cot gx sen x
sec x
EJERCICIOS: Pág. 122 del 2 al 4.
7.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.
7.1 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de
triángulos. En este curso se abordan únicamente los triángulos rectángulos.
También veremos cómo resolver triángulos no rectángulos por descomposición en
triángulos rectángulos. Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y
sus tres ángulos.
El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras, nos
permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo dos datos, uno de
ellos ha de ser un lado.
1.- CONOCIDOS DOS LADOS.
El tercer lado se calcula aplicando el teorema de Pitágoras. Uno de los ángulos
agudos aplicando la razón trigonométrica que relacione los dos lados conocidos.
Para calcular el otro ángulo agudo basta considerar que la suma de los ángulos
agudos es 90º.
2.- CONOCIDOS UN LADO Y UN ÁNGULO
El proceso es similar al caso anterior. Se calcula otro lado mediante la razón
trigonométrica adecuada del ángulo conocido. El tercer lado mediante el teorema
de Pitágoras; o bien, mediante otra razón trigonométrica. El otro ángulo es 90 ángulo conocido.
Libro pág. 110. Realiza ej. 1 pág. 111.
7.2 TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS.
Como ya se ha dicho, pueden resolverse triángulos no rectángulos aplicando
correctamente las razones trigonométricas. Los problemas más frecuentes son los
que se presentan a continuación.
EJERCICIOS: Pág. 113 del 1 al 4.
A continuación veremos unas fórmulas nuevas que nos permitirán conocer
triángulos cualesquiera sin utilizar la estrategia de la altura.
Teorema del Seno: Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos del
ángulo opuesto. Demostración:
7
Demostración:
a de los
Teorema del Coseno: En un triangulo cualquiera se cumple:
Demostración:
EJERCICIOS: Pág. 114 1 y 2. Pág. 115 3. Pág.117 4, 5,6 y 7.
8
2º PARTE
8.- FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
8.1.-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
Hoy nos dedicaremos a determinar relaciones para las funciones trigonométricas de
la suma y de la diferencia de dos ángulos, o sea, demostraremos lo siguiente:
Para la demostración de la suma de ángulos, utilizaremos la siguiente figura, que
nos permite obtener lo que queremos, o sea, una suma de
Amplificando ambas fracciones por una cantidad conveniente tenemos:
Luego
Te dejamos la demostración del coseno de tarea y determinaremos a continuación
la
9
Ahora, para determinar las funciones trigonométricas con la diferencia de ángulo,
nos basaremos en la siguiente figura:
Análogamente, puedes demostrarlo para coseno y tangente.
8.2.-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y MITAD
Para obtener las fórmulas de ángulo doble y mitad utilizaremos las de la suma.
cos()=cos()=coscos-sensencos2sen2
sen(2a)=sen(a+a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) =2 sen a cos a
Par demostrar las fórmulas del ángulo mitad Sabemos que:
cos2x = cos2xsen2x = 2cos2x 1 = 1sen2x y despejando el sen2x y el cos2x,
obtenemos:
10
1+cos(2x)
cos2x=
2
y
1cos(2x)
2
sen x=
2
Si hacemos 2x=t, tendremos:
y el signo que le asignaremos dependerá del cuadrante donde se encuentre t/2.
Análogamente:
Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, para obtenerla basta aplicar las dos
anteriores:
8.3.-TRANSFORMACIONES DE SUMAS EN PRODUCTOS Y TRANSFORMACIONES DE
PRODUCTOS EN SUMAS
A veces en la resolución de ecuaciones e incluso en la integración de funciones
trigonométricas conviene transformar las sumas en productos o los productos en sumas.
Consideramos \sen A\sen B y vamos a transformarlo en un producto, para ello hacemos
A = +
B = 
Sistema que tiene por solución A=[(+)/2] y B=[()/2] (basta sumar y restar las
ecuaciones para obtener la solución).
sen A+sen B=sen (+) = sencos+sencos
sen A sen B=sen () = sencossencos
Sumando y restando las dos ecuaciones, se obtiene:
sen (+)+sen () = sencos+sencos+ sencossencos =
11
= 2 sen cos
sen (+)sen () = sencos+sencos sencos+sencos =
= 2 sen cos
Procedemos de forma análoga para obtener la suma y diferencia de cosenos:
cosA+cosB = cos(+)+cos() =
= coscossensen+ coscos+sensen=
A+B
= 2 coscos = 2 cos
AB
cos
2
2
cosAcosB = cos(+)cos() =
= coscossensen coscossensen=
A+B
AB
= 2 sen sen = 2 sen
sen
2
2
Resumiendo:
A+B
sen A+sen B = 2 sen
AB
cos
2
2
A+B
AB
cos
sen Asen B = 2 sen
2
2
A+B
cosA+cosB = 2 cos
AB
cos
2
cosAcosB = 2 sen
2
A+B
AB
sen
2
2
Utilizando las fórmulas del ángulo suma y resta, obtenemos:
12
13