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Los polinomios y las funciones: ¿un capricho de matemáticos ociosos?
Esta breve lectura puede servir como ejemplo-motivación en el estudio de los
polinomios, observándose que tanto los polinomios como las funciones no son
expresiones matemáticas abstractas y sin significado. A través de ella se puede
notar su aplicación en diferentes campos como la física, la astronomía, etc.
Breve historia del álgebra
Es un breve recorrido histórico por el álgebra, en el que se la relaciona con
otros importantes campos de las matemáticas, como la geometría o el análisis.
En él aparecen de nuevo dos conocidos: Fibonacci y el número áureo.
El número de oro es ya bien conocido: en la primera unidad hablábamos de él.
Se recomienda como lectura para los estudiantes.
Biografía de Galileo
Se recomienda como lectura.
Unidad 2. Polinomios y fracciones algebraicas
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LOS POLINOMIOS Y LAS FUNCIONES:
¿UN CAPRICHO DE MATEMÁTICOS OCIOSOS?
• El área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio.
• Cuando una piedra cae desde un décimo piso, la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo de caída.
• El volumen de una esfera es proporcional al cubo del radio.
• La atracción mutua entre dos planetas es inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia entre ellos.
• La intensidad de la luz producida por un foco es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia al foco.
• Como tendrás ocasión de ver más adelante, al tratar de estudiar las órbitas de los
planetas, el movimiento de una piedra al ser lanzada en ángulo y otros muchos fenómenos corrientes, aparecen de modo natural las funciones.
Los polinomios no constituyen un capricho superfluo de los matemáticos, sino que
están motivados por el interés en estudiar estos y otros fenómenos semejantes desde
el punto de vista cuantitativo.
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BREVE HISTORIA DEL ÁLGEBRA
De los números a las letras
Se suele pensar que el álgebra comienza cuando se empiezan a utilizar letras para representar números.
En realidad, la utilización de letras dentro del ambiente matemático es muy vieja.
— Los griegos escribían los números mediante las letras de su alfabeto: ␣ era 1, ␤
era 2, ␥ era 3, ␦ era 4, ...
— La numeración romana también utilizaba letras.
Pero en ambos casos, cada letra representaba un número bien determinado.
El álgebra comienza, en realidad, cuando los matemáticos empiezan a interesarse
por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número, más que por los mismos números. Ese cualquier número se representa con una letra y se da, así, el paso
de la aritmética, que se interesa por los número concretos, al álgebra.
En un principio, las operaciones generales con números cualesquiera se describían
con un montón de palabras:
¿Cuánto vale “la cosa” que, si se triplica y se la añade diez, vale el cuadrado de “la cosa”?
Por el uso de la palabra se le llamó álgebra retórica.
Luego, los matemáticos se inventaron una especie de taquigrafía para decir lo mismo pero en menos espacio. Así:
Tres veces “cosa” más diez, es “cosa” por “cosa”. ¿Cuánto es “la cosa”?
Se inició así el período del álgebra sincopada, es decir, abreviada. La cosa, era el término técnico para la incógnita.
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Hacia el siglo XVI, los matemáticos ya se habían dado cuenta de que sería mejor tener símbolos para la cosa buscada, es decir, para la incógnita (x) y para los números
que intervenían en las ecuaciones cuando no importaba qué números concretos debían ser.
En esta época (del álgebra simbólica) el problema anterior ya se expresaba así:
¿Cuánto es x si 3x ⫹ 10 ⫽ x2?
Al darse cuenta de que el método para resolver una ecuación como esta sirve igual
si, en lugar de 3 y 10, hay otros números cualesquiera, el problema tomó la forma
más abstracta:
Hallar x tal que ax ⫹ b ⫽ x2.
El comienzo del álgebra: los árabes
El álgebra es, sobre todo, una invención de los árabes en el siglo IX, y su expansión
hacia Europa en el siglo XII tuvo lugar gracias al trasvase de cultura que se desarrolló
en la península ibérica hacia este periodo.
Harun al-Rashid, el sultán de Bagdad que aparece en Las Mil y una Noches, fue un
gran protector de las ciencias y de las letras, como también su hijo, Al-Mamun. Durante el reinado de este, en el siglo IX, vivió en Bagdad el mejor matemático de la
época, Al-Khowarizmi, que escribió, hacia el año 825, una obra titulada Aljabr w´al
muqabalah (Ciencia de la restauración y oposición) y que constituía el primer tratado de álgebra.
Esta obra fue traducida al latín hacia 1140 por el sevillano Juan de Luna (Johannes
Hispaliensis) y, un poco más tarde, por un italiano, Gerardo de Cremona, quien vino
a Toledo para aprender árabe y hacerse así capaz de leer las obras sobre astronomía y
otras matemáticas de los árabes.
Toledo: centro de la ciencia
De los siglos X al XIII, Toledo fue para la ciencia europea el centro fundamental de
atracción. Gerberto, el Papa más cultivado científicamente en la historia de la Iglesia, llegó a ser, tal vez, el hombre más culto de su tiempo y, antes de ser Papa, fue
enviado a España, a finales del siglo X, para completar su formación.
En el siglo XIII, Alfonso X el Sabio instituyó en Toledo la Escuela de Traductores, desde donde la ciencia griega y árabe se esparcieron por toda Europa.
Desarrollos posteriores
Italia, a través del estímulo del comercio con los árabes, fue otro foco de expansión
del álgebra. Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci (hijo de Bonacci), co-
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menzó en el siglo XII a divulgar los conocimientos algebraicos de los árabes, que había ido conociendo en los viajes de negocios que con su padre hacía.
También es mérito de Fibonacci el haber entendido las grandes ventajas del sistema
de numeración árabe, que hoy utilizamos en nuestros cálculos aritméticos, frente a
la enorme dificultad para operar con los números romanos, hasta entonces en uso.
Fibonacci trató de convencer de ello a sus contemporáneos, encontrando en su intento grandes resistencias. Un ejemplo más de la inercia del pensamiento colectivo.
En el Renacimiento del siglo XVI los nombres más importantes son los del italiano
Cardano, que con su obra Ars Magna proporciona al álgebra un fuerte impulso, y el
francés Vieta, que aunque profesional del derecho, se dedicó como aficionado con
gran éxito a las matemáticas. Él fue quien dio el paso decisivo de representar números arbitrarios por letras en las ecuaciones y fórmulas de álgebra.
El álgebra del Renacimiento (siglo XVI), comenzó estudiando a fondo ecuaciones
tales como:
o x 3 ⫹ px ⫽ q
ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0,
Su gran triunfo, en este periodo, consistió en obtener una fórmula de resolución de
esta última ecuación: la ecuación cúbica.
Álgebra, Geometría y Análisis
Uno de los grandes triunfos del álgebra se produjo cuando Descartes, en el siglo
XVII, fue capaz de expresar en términos de problemas algebraicos, para los que ya se
conocían métodos de resolución, problemas geométricos que se consideraban extraordinariamente complicados. Con ello creó un nuevo campo de la matemática, la geometría analítica.
Como verás, enseguida serás capaz tú mismo de resolver, reduciéndolo a un problema algebraico, el siguiente problema geométrico:
A
P
B
Dado el segmento AB, determinar un punto P dentro de él tal que las distancias PA,
PB, AB, se comporten de la siguiente manera:
PA ⫽ PB
AB PA
El número que mide la proporción PA/AB es precisamente el número áureo de los
griegos que tuvo y tiene una gran importancia en la matemática, así como en el arte y en la arquitectura clásica y actual. La creación de la geometría analítica dio lugar a nuevos e interesantes problemas y estimuló a pensar en métodos más potentes
para resolverlos. Con ello tuvo lugar, también en el siglo XVII, el desarrollo del análisis matemático. Como puedes ver, en matemáticas ha existido desde siempre, como
en la actualidad, una gran conexión entre unos campos y otros.
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Esos dichosos problemas
Problemas matemáticos importantes, como el que consistía en trisecar (dividir en
tres) un ángulo cualquiera solo con regla y compás, o el de construir un heptágono
regular también, únicamente, con regla y compás, fueron reducidos a problemas algebraicos en el siglo XVIII y principios del XIX. Con ellos se logró demostrar que tales tareas, que habían preocupado tanto a los matemáticos desde el tiempo de los
griegos, eran imposibles de realizar.
Gauss: “ ¿A qué me dedico?”
Precisamente el problema de decidir cuáles son los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás fue resuelto por un joven alemán de 18 años en
1796, Carl Friedrich Gauss.
Hasta entonces había estado indeciso entre dedicarse a matemáticas o a filología.
Tanto le entusiasmó su resultado que se decidió por las matemáticas. Gauss, con
Arquímedes y Newton, es considerado entre los más grandes matemáticos de la historia de la humanidad.
Algebrista y sangrador
En la puerta de cualquier barbero castellano del siglo XVI, se podía leer con grandes
rótulos:
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Algebrista y sangrador
Extraño, ¿no? Pero, en realidad, lo extraño es que hoy llamemos algebrista al matemático que se ocupa de los polinomios.
Hacia el año 825, el árabe Al-Khowarizmi, como ya hemos visto, escribió un libro
que había de hacer época: Aljabr w´al muqabalah.
La palabra abr significa reunir, juntar o restaurar, y así, si se tiene:
bx ⫹ 2q ⫽ x2 ⫹ bx ⫺ q
mediante al-jabr (sumar o restaurar lo que está restando), resulta:
bx ⫹ 3q ⫽ x2 ⫹ bx
Y de aquí, mediante al-muqabalah (restar u oponer lo que está sumando), resulta:
3q ⫽ x2
Lo lógico era que el término árabe al-jabr pasara al castellano con su significado
más corriente de restaurar (pocos se dedicaban a las sumas) y, como los barberos antiguos, normalmente, además de afeitar, se dedicaban a hacer sangrías y a restaurar
(al-jabr) huesos rotos, el nombre de ALGEBRISTA Y SANGRADOR se colocaba a la
puerta de las barberías con toda justicia.
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BIOGRAFÍA DE GALILEO
El gran libro de la naturaleza permanece siempre abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía se encuentra escrita en él... Pero no lo podemos leer sin haber aprendido
antes el lenguaje y los caracteres en los que está escrito... Está escrito en lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas...
Estas son las palabras de Galileo que señalan un estilo de pensamiento totalmente
diferente del que hasta su tiempo predominaba. Con él, Galileo enlazaba con la genial intuición de Pitágoras según la cual todo es armonía y número y con la antigua
idea de los pitagóricos de que hay que acudir al pensamiento matemático para encontrar las raíces y fuentes de la naturaleza.
Galileo nació en Pisa en 1564, hijo de un músico, y recibió su primera educación
en un monasterio cercano a Florencia.
A los 17 años ingresó en la Universidad de Florencia donde, según se cuenta, observó en la catedral por primera vez cómo el periodo de oscilación de una lámpara que
colgaba de su bóveda no dependía de la amplitud de tal oscilación.
Aunque había sido enviado a la universidad para estudiar medicina, ésta y otras observaciones semejantes le decidieron a inclinarse hacia las matemáticas. A sus 25
años fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Pisa, donde comenzó a investigar sobre mecánica y sobre el movimiento de los cuerpos. En 1592,
a los 28 años, fue nombrado profesor en Padua, donde llevó a cabo, a lo largo de 18
años, la parte más importante de su obra, plasmada en 1632 en el libro Diálogo sobre los dos sistemas del mundo.
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Sus descubrimientos astronómicos fueron importantes, siendo él el primero en hacer del telescopio, recién inventado, un instrumento útil para la observación astronómica.
Pero su contribución más interesante fue la de establecer el lazo, a partir de entonces nunca roto, entre física, en particular la mecánica, y las matemáticas, que hasta
entonces se habían considerado como ciencias separadas.
Galileo murió en 1642, el mismo año del nacimiento de Newton, a quien dejó el
camino abierto para la consolidación de la mecánica, que éste llevó a cabo en 1687
con la publicación de los Principia Mathemática.
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