Download historia de las matematicas - Biblioteca Digital Tamaulipas

HISTORIA DE LAS
MATEMATICAS
NACIMIENTO: HASTA VI-V a.C.
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar
objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras...
(basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus
que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente,
limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números
representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.
Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas
de numeración, diferentes para cada civilización.
Estudiaremos cuatro culturas o civilizaciones, localizadas en esta misma página:
•
Antigua Civilización Egipcia
•
Mesopotamia o Antigua Babilonia
•
China Antigua
•
India Antigua
•
Grecia Clásica
ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA. La información disponible sobre la
civilización desarrollada a lo largo del Nilo es, lo suficientemente fiable, como para ser
considerada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático.
Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basan
principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeños
fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos.
Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar
cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos,
figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a
un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de
numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de
numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad,
esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como
combinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos de
operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y
fracciones.
Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la
incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y
volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del
número pi de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas
y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y
nociones básicas de semejanza de triángulos.
MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA. Bajo esta denominación se engloban
los Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C.
hasta el año 200 a.C. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a
matemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia,
debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla,
mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas,
sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que
sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemas concretos y casos
especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere decir que no
existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al
azar.
Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que
un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban
por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario,
que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta
evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos
algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo
el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas.
Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la
operación de la división.
Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo
de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron
a la solución para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y también ax2+bx=c
mediante el cambia de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron
para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta
materia era tal, que incluso desarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de
progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de abstracción fue tal
que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas,
algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos, terreno éste,
en el que también superaron a la civilización egipcia, constituyendo los problemas de
medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy
buena aproximación de pi igual a 3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de
figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de
Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio
general.
CHINA ANTIGUA. Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las
civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos
fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares)
¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de
los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de
pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter
eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los
egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos,
sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de
cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y
propiedades de triángulos rectángulos.
El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las
habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la
previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de
números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La
contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en
la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se
establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como
método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial,
tranformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo",
artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para
expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado
como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta
mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de
esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el
desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi
Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso
aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao . El
método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método
de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época
medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui
(s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la
rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al
que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.
No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose
principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.
Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de
estancamiento.
INDIA ANTIGUA. Son muy escasos los documentos de tipo matemático que han
llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta
civilización. Aun más que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidad
en la tradición matemática hindú y al igual que ocurría con las tres civilizaciones
anteriores, no existe ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios
matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones
geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que
desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue,
sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las
matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:
Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La
característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las
reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos
y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números
irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales
y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas.
Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de
resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la
ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Como resumen acabaremos diciendo
que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la
existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos, egipcios, árabes y
con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema
de numeración decimal y las reglas de cálculo.
GRECIA La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y
Mesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era
Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerza
indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, la
cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las
civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas.
El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue
amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto
a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de
ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura
hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.
Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemáticos de esta
época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos,
mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin
embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una
rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la
logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica
de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones,
resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado,
problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría,
agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de
hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo,
de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el
conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales
de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los
métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones
sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas,
geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica.
Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de
hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de
números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones
geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de
demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los
problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del
cubo y la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la
irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este
descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría
de la divisibilidad.
La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general
tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse
el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una
reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama
incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones
geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la
arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin
embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos,
siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o
superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución
mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas
geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la
duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de
ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el
método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas
trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de
creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo
constituyó el algoritmo de Euclides.
Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas que se
abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo,
crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y
especificidad de las matemáticas.
El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración
matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara
a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una
sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los
primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos
pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un
segundo plano tras una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los
Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de
ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión
de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros
autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.
Métodos infinitesimales. En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia
Antigua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la solución
de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la
continuidad ...
Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la
aplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable lo
constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta
concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los
métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y
aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas,
búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no
se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera
forma del método de límites.
Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para
muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. particularmente se
estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de
volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas
de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".
Durante la época de Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente,
tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas
teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas
ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del
álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que
aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más
completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga.
Estos tres últimos matemáticos citados, Euclides, Arquímedes y Apolonio, sobresalieron
por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho que se denomine
como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entre los años 300 y 200
a.C. Tras ellos se entró en un lento declive de forma que los resultados perdieron
generalidad, haciéndose cada vez más particulares y especiales.
En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo
necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario
de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y
volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo
conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que
encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de
segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas. La fase final se caracteriza por la
aparición de "comentaristas" que comentaban las obras clásicas, signo evidente del
descenso de creatividad. Entre ellos citaremos a Gémines de Rodas (100 a.C), Teon de
Alejandría (s. IV), Pappo de Alejandría (s. IV), Proclo (s.V) y Eutoquio (s. VI).
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de
los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia,
desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias
matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica
teórica y el método axiomático.
MATEMÁTICAS ELEMENTALES
Recordemos que este periodo abarca un enorme periodo de tiempo, alrededor de 2000
años, desde los siglos VI-V a.C. hasta el siglo XVI.
En el año 529 el emperador Justiniano cerró las escuelas griegas, pese a lo cual la ciencia
griega siguió presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento científico
griego, ampliamente difundido, si bien no produce ya obras originales, se encuentra
ampliamente confrontado a otras tradiciones. En estas condiciones surgen los árabes,
creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vida económicas
y políticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemáticas, exigido por las
necesidades del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio y la artesanía,
desarrollándose en el arsenal de los matemáticos árabes, muchos procedimientos de
cálculo y algorítmos especiales.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen tan antiguo origen como en muchos
países del Medio y Lejano Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del
Medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
•
Imperio Musulmán
•
Europa Medieval y Renacimiento
IMPERIO MUSULMÁN. Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo
ningún desarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso
intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había
desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando
comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas.
Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de
la Sabiduría). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed
ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribió más de media docena de obras matemáticas y
astronómicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. La primera
de ellas está basada en una traducción árabe de Brahmagupta y en la que se da una
reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo que ha originado la creencia
popular de que nuestro sistema de numeración procede del árabe. El "nuevo" sistema de
numeración vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a través de
deformaciones lingüísticas derivó en "algorismi" y después en algoritmo, término que,
actualmente, posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del titulo de
su obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre
mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de
ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos.
Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de
cálculo y algoritmos especiales, entre ellos: - obtención del número pi con 17 cifras
exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por
Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo
nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para
repetir el cálculo de Kashi. - cálculo de raíces por el método conocido actualmente como
de Ruffini-Horner, posiblemente como resultado de la estrecha colaboración con los
matemñaticos chinos. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial
y fue también enunciada la tabla de coeficientes binomiales. - extracción aproximada de
raíces, utilizando la interpolación lineal. - sumación de progresiones aritméticas y
geométricas.
Asimismo, en virtud de la frecuente aplización en los cálculos de las irracionalidades, el
límite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse,
ampliándose la concepción de número real positivo. La idea de una concepción única del
número real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento. Los trabajos
algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de ecuaciones de
primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A estas últimas
conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un plano, la
trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados... Otra
dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas, se basaba en la obtención de la imagen
geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones cónicas,
convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta época era la
ausencia de una simbología, lo que contuvo el desarrollo del álgebra. Además de la
separación del álgebra, el rasgo característico más importante de las matemáticas árabes
fue la formación de la trigonometría. En relación con los problemas de astronomía,
confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado
de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica. Entre las obras geométricas
destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII), directamente
influenciadas por las obras clásicas, pero a las que contribuyeron con distintas
generalizaciones y estudios críticos, como los relativos al axioma euclideano del
paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometría no
euclideana.
EUROPA MEDIEVAL Y EL RENACIMIENTO. En el continente europeo, las
matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio
Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del medievo desarrollado y
especialmente en el Renacimiento. El punto de arranque de las matemáticas en Europa
fue la creación de los centros de enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se
dedicaron a estudiar las obras de ciencias naturales y matemáticas de los antiguos. Uno
de los primeros centros de enseñanza fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto
(Silvestre II) (940-1003). Fua posiblemente el primero en Europa que enseñó el uso de
los numerales hindú-arábigos. Sin embargo hubo que esperar a que los musulmanes
rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de
traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemática. El trabajo de los
traductores fue sensacional. Así Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo del árabe más
de 80 obras. Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más
conocido como Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci"
(el libro del ábaco), en el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el
sistema de numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y
cálculos comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional,
problemas sobre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresiones
y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas... Fibonacci quedó inmortalizado por la famosa
"sucesión de Fibonacci" y el famoso problema de los conejos. Otra obra importante fue el
"Practica Geometriae" dedicada a resolver problemas geométricos, especialmente medida
de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos. Otro contemporáneo, aunque no tan
excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera
formulación correcta del problema del plano inclinado. El profesor parisino Nicole
Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia, introduciendo los exponentes
fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones con ellos y una simbología
especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo. En una de sus obras llegó a
utilizar coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación
gráfica de ciertos fenómenos físicos.
Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada de la
astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (14361474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la determinación de
triángulos planos y esféricos.
Regiomontano enriqueció además el concepto de número, introduciendo los radicales y
las operaciones con ellos, ampliando así las posibilidades de resolución de ecuaciones.
Nicolo Tartaglia (1500-1557), Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474) desarrollaron
fórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer grado.
Pero fue Jerónimo Cardano (1501-1576) quien introdujo un método regular de resolución
de ecuaciones de tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna". En esta obra se expresan
diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un
polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se
establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos
consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible, la
expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Viète estableció
en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos,
de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le
podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto
es, la goniometría. Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron
ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas
relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas
trigonométricas. En la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (14731543) y Kepler (1571-1630). Semejantes métodos se utilizaban tan frecuentemente que
recibieron el nombre de "prostaferéticos". Ellos fueron utilizados por los matemáticos de
Oriente Medio, Viète, Tycho Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros.
Estos métodos siguieron utilizándose incluso después de la invención de los logaritmos a
comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparación entre
progresiones aritméticas y geométricas, comenzaron a fraguarse mucho antes. En 1614
fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis mirifici logarithmorum
descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones trigonométricas.
Años más tarde, en estrecha colaboración con Henry Briggs (1561-1630) desarrollaron el
sistema logarítmico decimal. La teoría de las funciones logarítmicas fue seguidamente
desarrollada, alcanzando su culminación en los trabajos de Leonard Euler. Junto a estos
avances científico-matemáticos comenzaron a desarrollarse las primeras máquinas de
cálculo.
MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEAS
SIGLO XIX
El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de
la Matemática. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en
calidad como en cantidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. este siglo
fue también, con la excepción de la época Heroica de la Antigua Grecia, el más
revolucionario de la historia de la Matemática.
Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo. En
álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de
ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra
una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar
el concepto de grupo.
El descubrimiento en los años 20-30 por Lobachevski y también por J. Bolyai y Gauss de
los hechos fundamentales de la geometría hiperbólica no euclideana y en los años 60-70
la búsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de ciencias geométricas
transformaciones de carácter revolucionario. El sistema de disciplinas que forman parte
del análisis matemático, sufrió en sus fundamentos una muy profunda reconstrucción
sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. A finales de siglo,
los recursos del análisis se complementaban con lo que ya se ha venido a llamar aparato
epsilon, delta. Junto a este desarrollo del análisis matemático clásico, se separaron de él
disciplinas matemáticas independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales, la teoría de
funciones de variable real y la teoría de funciones de variable compleja. Antes de estudiar
estos aspectos más detalladamente citemos tres rasgos que tienen un carácter general para
la mayoría de las ciencias matemáticas:
1. En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliación del contenido del objeto de
las matemáticas, debido fundamentalmente a las exigencias crecientes de las
ciencias afines.
2. En segundo lugar la necesidad de fundamentar las matemáticas en su conjunto,
produciéndose una revisión crítica de los conceptos primarios y afirmaciones.
3. La tercera particularidad es la ampliación considerable del campo de aplicaciones,
condicionado por el aumento de posibilidades del aparato del análisis matemático.
•
•
Álgebra Moderna.
o
Teoría General de Ecuaciones Algebraicas.
o
Teoría de Grupos.
o
Álgebra Lineal.
Análisis Matemático.
o
Teoría de Límites.
o
Teoría de Funciones.
o
Teoría de Número Real y Teoría de Conjuntos.
•
•
Teoría de las funciones de variable compleja.
Transformación de la geometría.
Álgebra Moderna: El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y
ramificado en el que se recogen un gran número de disciplinas científicas e
independientes cuyo objeto común son las operaciones algebraicas, las cuales representan
abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra elemental.
Teoría General de las Ecuaciones algebraicas: Este fue el problema fundamental del
álgebra durante el siglo XIX, entendiéndose como la búsqueda de las raíces de la
ecuación con ayuda de operaciones racionales y la operación de la extracción de la raíz.
En este época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo,
que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F.
Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad en
radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.
Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven,
advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y la
división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba el
teorema fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas
demostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar,
fue la dada por Descartes. para la demostración de este teorema necesitó construir los
campos de desarrollo de los polinomios.
Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de siglo es la
demostración de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones de quinto grado. Por
este camino llevó P. Ruffini sus investigaciones a finales del siglo XVIII, pero el primer
éxito real lo obtuvo Niels Henrik Abel. Tras esto, Abel realizó investigaciones
fundamentales en el campo de la teoría de funciones analíticas, e investigó una serie de
funciones especiales como las elípticas e hiperbólicas. Pero Abel no pudo dar un criterio
general de resolubilidad en radicales de las ecuaciones con coeficientes numéricos. Sin
embargo, la solución a este problema no se hizo esperar largamente y se debe a Evaristo
Galois.
El objeto fundamental de sus investigaciones fue el determinar cuando son resolubles
mediante radicales las ecuaciones polinómicas.El aparato algebraico introducido tuvo, sin
embargo, una significación que salía de los marcos del problema indicado. Su idea del
estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparación con ellos de la
estructura de los grupos de un número finito de sustituciones, fue la base fructífera del
álgebra moderna. la teoría actual de Galois, se ha convertido en una disciplina
matemática compleja y ramificada, que incluye un amplio material sobre las relaciones
entre las propiedades de las ecuaciones, los números algebraicos y los grupos.
Teoría de Grupos: Galois y Ruffini introdujeron de forma independiente el concepto de
grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría de grupo jugaron un
papel auxiliar, especialmente en la teoría de las ecuaciones algebraicas, formándose,
predominantemente, la teoría de los grupos finitos.
Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros, comenzaron a aparecer
definiciones abstractas más generales de grupo. este proceso se aceleró desde el año 1870
con los trabajos de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados de la teoría de
grupos finitos en su aplicación a la teoría de números, teoría de funciones y geometría
algebraica.
A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de grupo,
resolviéndose, por ejemplo, el problema de la clasificación de todas las redes cristalinas
espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos discretos finitos, a los que
pertenecen los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensión en la teoría de los espacios
multidimensionales en relación con la teoría de los poliedros regulares en éstos.
Posteriormente se planteó la investigación de los grupos infinitos, tanto discretos como
continuos y también sobre la creación de un aparato de cálculo adaptado a las
necesidades de la teoría de grupo. los logros fundamentales sobre estas cuestiones
pertenecen a los discípulos de C. Jordan, F. Klein y S. Lie.
En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó
desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra actual. Ella se compone de una serie
de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los
grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie.
Los métodos teóricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matemáticas y sus
aplicaciones. Los descubrimientos de De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros, en la
mecánica cuántica y en la teoría de la estructura de la materia mostraron que la física
moderna debe apoyarse en la teoría de los grupos continuos, en particular en la teoría de
la representación de grupos por operadores lineales, la teoría de los caracteres y otras
elaboradas por Cartan, H. Weyl y otros científicos. Pasó medio siglo desde los trabajos de
Gauss, Abel y Galois y el centro de gravedad en las investigaciones algebraicas se
trasladó a la teoría de grupos, subgrupos, anillos, estructuras. En al álgebra comenzó el
periodo de las matemáticas modernas.
Álgebra Lineal: La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no
atendiésemos a la formación del álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de
ecuaciones lineales y relacionada con la teoría de determinantes y matrices. Durante la
segunda mitad de siglo se realizaron investigaciones muy importantes de la teoría de los
invariantes de las ecuaciones. En este camino del desarrollo, creció la teoría de las formas
que encontró aplicación además de en el álgebra, en la teoría de números, la geometría
diferencial, la geometría algebraica y la mecánica.
Análisis Matemático: El análisis matemático, hacia el siglo XIX se convirtió en un
sistema de disciplinas ramificado y siguió ocupando un lugar central en las matemáticas.
El flujo inagotable de nuevos resultados teóricos y el campo de aplicaciones el cual se
amplía continuamente, condicionaron el que en la estructura general de las matemáticas
ocuparan un lugar especial, principalmente, las disciplinas analíticas.
Las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el medio operativo fundamental del
análisis. El aparato del análisis matemático en este siglo era un conjunto de
procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente.
Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el
cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales que
rápidamente se independizaba de este último. Los contornos de la teoría en formación de
funciones de variable compleja, la teoría de las funciones especiales... se delineaban aun
lentamente.
Teoría de Límites: Uno de los lugares centrales del análisis lo ocupa el concepto de
límite. Sobre él se apoya todo el aparato de las demostraciones infinitesimales. los
matemáticos del siglo XVIII probaron un conjunto de procedimientos para fundamentar
el análisis infinitesimal, pero la insatisfactorio de casi todos estos métodos se hizo
rápidamente evidente.
A finales del siglo XVIII y principios del XIX era más que evidente la necesidad de
costrucción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una
reconstrucción radical de este último. Este proceso de reconstrucción se reveló
claramente en los años veinte de este siglo, sobre todo en los trabajos de Agustín-Luis
Cauchy y en sus famosas conferencias, las cuales fueron publicadas en tres libros: "Curso
de análisis" (1821); "Resumen de conferencias sobre el cálculo de infinitesimales" (1823)
y "Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la geometría" (dos tomos 1826,1828).
Estos libros tienen una importancia especial, porque en ellos por primera vez, el análisis
matemático se construye sucesivamente sobre la teoría de límites. El primero de los libros
está dedicado al estudio de las funciones elementales, tanto de variable real como
compleja, incluyendo el estudio de las series infinitas. Asimismo se introduce por primera
vez, una magnitud infinitesimal como una variable cuyo límite es igual a cero. Expuso
también la cuestión de la convergencia de las series, así como sus criterios de
convergencia. En el segundo de los libros se expone el cálculo diferencial e integral de
función de variable real, destacando la aparición de una demostración analítica de
existencia de integral definida de una función continua.
Teoría de Funciones: En la primera mitad de siglo se realizó una investigación profunda
de los fundamentos del análisis matemático, utilizando los métodos y resultados de la
teoría de conjuntos y la teoría de funciones de variable real.
Los méritos principales en este rama, corresponden a Bernard Bolzano, aunque sus
resultados fundamentales vieran la luz después de su muerte. ya en 1817, Bolzano
formuló y demostró el teorema de que si un conjunto de números reales está acotado
entonces tiene extremo, adelantándose en cuarenta años a Weierstrass.
Igualmente se adelantó a Cauchy en el estudio del criterio de convergencia de sucesiones
y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió profundamente las
propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de
notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua
toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.
También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de acumulación de
singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la función que no tiene derivada
en ningún punto y conocida actualmente como función de Bolzano. En otra de sus obras
"Paradoja del Infinito" encontramos las bases de la posterior teoría de conjuntos.
Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos: En el año 1872 surgieron una serie de
trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo
único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste
considerado vital para una correcta fundamentación del análisis.
Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números
racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en
forma de línea recta.
Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números
racionales. La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos
pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de
números racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática
la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto
de punto límite, de conjunto derivado...
La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre
conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente
la teoría abstracta de conjuntos. Las cuestiones de fundamentación de la teoría de
conjuntos, junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron
durante el siglo XX en una ciencia especial, la "lógica matemática", la cual forma una
parte importante de los fundamentos de las matemáticas modernas.
El campo de aplicación del análisis matemático creció rápidamente merced a un sin fin de
investigadores de los métodos matemáticos de la física y la mecánica: Green, Stokes,
Thomson, Hamilton, Maxwell... Entre estas aplicaciones cabe destacar la creación del
aparato analítico para la investigación de los fenómenos electromagnéticos, la teoría
matemática de la conductividad del calor, o la construcción del aparato matemático de la
nueva mecánica.
Teoría de las funciones de Variable Compleja: La teoría actual de las funciones
de variable compleja abarca un amplio dominio de las matemáticas, haciéndose difícil
enumerar todas sus ramificaciones. Consideremos en primer lugar las premisas
acumuladas hasta este momento.
El concepto de número imaginario y después complejo se conocía desde tiempos
remotos, introduciendo con posterioridad el conjunto de operaciones.
Durante los siglos XVII y XVIII se establecieron, ya de una forma significativa, un
conjunto de importantes aplicaciones de los números complejos en diversas ramas de la
ciencia. Sin embargo todos los resultados en esta materia se entremezclaban sin la
formulación de una concepción única.
En el siglo XIX llegó el momento de crear la teoría general de las funciones de variable
compleja. Esta etapa de la historia, ya en el siglo XIX, se caracterizó por la introducción
de definiciones precisadas de los conceptos fundamentales. Ante todo se trató del
surgimiento de las interpretaciones geométricas del concepto de número complejo.
Un tratamiento teórico lo suficientemente general de la cuestión surgió inicialmente, en
los trabajos de Gauss y después en los de Cauchy. En 1831 Gauss publicó un trabajo
sobre la teoría de los residuos bicuadráticos donde expuso la fundamentación teórica y la
interpretación geométrica de los números complejos, dándoles por primera vez la
denominación que se ha conservado hasta nuestros días. En una carta de Gauss al
astrónomo y matemático Bessel, escrita en 1811 y publicada en 1880 daba la
interpretación precisa de los números imaginarios, la definición de integral en el plano
complejo, el teorema integral, (conocido actualmente como teorema de Cauchy) y el
desarrollo de una función analítica en series de potencias. de estos aspectos merece
especial atención la integración en el plano complejo, ya que la utilización de las
variables complejas en los cálculos de integrales definidas difíciles ejerció una
grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja.
Laplace acudió a la interpretación en variable compleja, desarrollando el método de
resolución de ecuaciones lineales en diferencias y diferenciales, conocido bajo la
denominación de transformada de Laplace. Ésta y otras transformadas similares,
permitieron resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia,
hidrodinámica, mecánica y conductividad térmica entre otros. Fue precisamente esta
presión de los problemas prácticos, lo que llevó a la necesidad de elaborar una teoría de
funciones de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las demás partes del
análisis infinitesimal.
El cumplimiento de esta tarea fue realizado fundamentalmente por Cauchy. Sus primeros
trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar las magnitudes imaginarias
al cálculo de integrales definidas, formulando el teorema integral. Durante los años
siguientes 1826-1829 creó la teoría de los residuos, desarrollándola en años posteriores y
buscando nuevas aplicaciones. Junto a los trabajos de Cauchy surgieron otros muchos
sobre la teoría de funciones de variable compleja, entre los que cabe mencionar los
realizados por Abel, Jacobi, Laurent y Liouville.
Durante los años 40 quedó superado el aislamiento de las ideas sobre funciones de
variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Rieman (1826-1866) en los
cuales aparecían amplias analogías que vinculaban esta teoría con otros campos de las
matemáticas.
Los resultados fundamentales de Rieman aparecen en sus obras "Fundamentos de la
teoría general de funciones de variable compleja" (1851) y en "Teoría de las funciones de
Abel" (1857). Entre los problemas analizados por Rieman citaremos el de en qué medida
las funciones analíticas se determinan por sus condiciones en la frontera. Otro punto de
desarrollo fue la interpretación geométrica de los números complejos y de las funciones
de variable compleja, desarrollando las denominadas "superficies de Rieman". también
investigó diversas clases de funciones que satisfacían ecuaciones diferenciales lineales
con coeficientes algebraicos. Partiendo de las ideas de Rieman surgieron gran cantidad de
trabajos cuyos autores elaboraron diferentes aspectos de la teoría de funciones de variable
compleja.
Otra dirección en el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja,
denominada analítica se formó en los trabajos de Weierstrass (1815-1897), quien elaboró
un sistema de fundamentación lógica apoyándose en la rigurosa teoría de los números
reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y métodos
fundamentales.
Así, en este época, la mayoría de las investigaciones sobre el tema, se realizaban en el
plano de desarrollo de una de las tres direcciones: la teoría de las funciones diferenciales
de Cauchy, las ideas geométricas y físicas de Rieman y la dirección analítica de
Weierstrass. Fue a finales de siglo y a comienzos del siglo XX cuando se unificaron
conceptos, creando una concepción única general de la teoría de funciones de variable
compleja.
Transformación de la Geometría: La geometría hacia comienzos del siglo XIX
representaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas del análisis y
generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las
partes elementales, se incluyeron en la geometría casi todas aquellas partes que la
conforman actualmente.
La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar como
parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones
algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra.
La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos del
cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con
numerosos problemas aplicados.
Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda
mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran
variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que
constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría
proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de
Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la
proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la
geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.
Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no
euclideanas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso
Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario
revisar los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la
matemática, pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus
ideas en solitario aislamiento.
El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no
euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante
siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente
se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a
través de un punto no contenido en una recta se puede trazar más de una paralela
que yace en el mismo plano que la primera.
El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no
euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de
los trabajos que avalaban la nueva teoría. En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a
la misma conclusión a la que había llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss
que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública, los trabajos de Bolyai
y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los calló
por temor a comprometer su reputación científica. La geometría no euclideana
continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática,
hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones
extraordinariamente generales de Rieman.
GEOMETRÍA
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus
conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros
hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.
El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la
geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que
las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que,
precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.
Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes,
encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 3'1605.
Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones
formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de
semejanza de triángulos.
También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo
los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo
(con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de determinados cuerpos,
semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el
teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como
principio general.
No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india,
limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de
cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de
algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas
ideas sobre la demostración de este teorema.
En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las
necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas
continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas
poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo
la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con
números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos
auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a
ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la
arquitectura, geometría, agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de
hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la
demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo
de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números
que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones
geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de
demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los
problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del
cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
.Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición de
los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al
álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión
de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades
algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del
diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba
limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que
conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los
problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la
resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la
trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es
que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo
aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de
límites o la introducción de curvas trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una
teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo
de Euclides.
Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un
conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes
para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.
El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración
matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara
a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una
sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los
primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos".
Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han
quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de la
historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra
a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una
sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a
otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.
En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que
sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por
la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las
paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió
este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas
geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.
Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente,
tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas
teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse.
Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones
cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las
secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos
con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones
cónicas se debe a Apolonio de Perga.
En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que
permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de
Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados.
Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo
científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario,
mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi
completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el
desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas, fundándose
escuelas por todo el Imperio.
Destacaremos como avance anecdótico, pero no por ello carente de valor, la obtención
del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la
circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en
Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI
y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.
El rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de la
trigonometría. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las
funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en
trigonometría plana como esférica.
Entre las obras geométricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s.
XIII), directamente influenciadas por las obras clásicas, pero a las que contribuyeron con
distintas generalizaciones y estudios críticos, como los relativos al axioma euclideano del
paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometría no
euclideana.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en
muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época
del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
Podemos considerar la obra de Fibonacci "Practica Geometriae" como el punto de
arranque de la geometría renacentista. Esta obra está dedicada a resolver determinados
problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de
cuerpos.
Otro contemporáneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius
(1237-?) a quien debemos la primera formulación correcta del problema del plano
inclinado.
El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) llegó a utilizar en una de sus obras
coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica
de ciertos fenómenos físicos.
Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada de la
astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (14361474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la determinación de
triángulos planos y esféricos. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio
desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos
consecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexión entre
los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le
considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del
enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.
Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos
en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonométricas, lo
que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la elaboración de
tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571,1630). Semejantes
métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de "prostaferéticos".
Ellos fueron utilizados por los matemáticos de Oriente Medio, Viète, Tycho Brahe,
Wittich, Bürgi y muchos otros. Estos métodos siguieron utilizándose incluso después de
la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos,
basados en la comparación entre progresiones aritméticas y geométricas, comenzaron a
fraguarse mucho antes.
Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en
lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica.
Sin duda los dos grandes en esta materia y época fueron René Descartes (1596-1650) y
Pierrede Fermat (1601-1655).
La última parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Método" denominada
"Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones
cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas
geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y
último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones,
llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de
la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está
dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de
coordenadas.
Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de
aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas
rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en
una pequeña obra: "introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales". Aquellos
lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y
los representados por cónicas, especiales. Fermat abordó la tarea de reconstruir los
"Lugares Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental
de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas,
tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o
curva". Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B,
esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky;
x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse
respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que
aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de
reducirlas a los términos anteriores.
La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la
realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos.
Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría
analítica del espacio quedó sin culminar.
Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de coordenadas
deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejerció tanta influencia
como la Géometrie de Descartes, debido a la tardanza de su edición y al engorroso
lenguaje algebraico utilizado.
El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre
la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino
separado aunque relacionado.
El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del análisis
infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la construcción de la
mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significanda la aparición de las posibilidades
para la creación del análisis de variables.
Ya en el siglo XVIII se completó el conjunto de las disciplinas geométricas y,
excluyendo sólo las geometrías no euclideanas y la apenas iniciada geometría analítica,
prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, se formaron en este siglo. Así
además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la geometría diferencial,
descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la
geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran
significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se
desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar
central en al sistema de las disciplinas geométricas. Estudiemos por separado cada una de
estas ramas:
Geometría Analítica:
Bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las
figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas a
esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero sólo incluían
problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al
publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", clasificando las curvas
según el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo un total de
72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si
designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ;
xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el
descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los
signos de las funciones en los cuatro cuadrantes.
Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling,
Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch
y otros.
Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En
primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo
además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En
segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También
clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades
generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas
canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las
secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la
inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de
curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de
curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la
resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el
segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a
la geometría analítica.
En la segunda mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en lo
fundamental, la geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los
nombres de G. Monge, Lacroix y Menier.
Geometría diferencial:
Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las
curvas, superficies etc... Su singularidad consiste en que partiendo de la geometría
analítica utiliza métodos del cálculo diferencial.
A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas
por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas
espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional
al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada,
como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler.
El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las
líneas geodésicas sobre una superficie, desarrollando a continuación una completa teoría
de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable.
A finales de siglo, es desarrollo de esta rama entró en un ligero declive, debido
principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemático.
Geometría descriptiva y proyectiva:
Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones
técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó
en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto
"Géometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la
geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos
tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección
de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies.
El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de
proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabjos sobre geometría
proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los
objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las
secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de
base a la nueva geometría.
Como acabamos de ver la geometría hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un
amplio complejo de disciplinas surgidas del análisis y generalizaciones de los datos sobre
las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la
geometría casi todas aquellas partes que la conforman actualmente.
La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar como
parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones
algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra.
La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos del
cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con
numerosos problemas aplicados.
Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda
mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran
variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que
constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría
proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de
Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la
proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la
geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.
Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no
euclideanas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso
Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar
los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero
ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario
aislamiento.
El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclideana
fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski,
que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era
imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido
en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la
primera.
El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no
euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los
trabajos que avalaban la nueva teoría.
En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado
Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de
forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los
mismos puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación científica.
La geometría no euclideana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal
de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones
extraordinariamente generales de Rieman.
ÁLGEBRA Y ARITMÉTICA
En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más tarde se
separó de ella. Ésta es la razón por la que en gran parte de la literatura científica a la
hora de estudiar ambas ramas se hace de una manera conjunta.
La aritmética será la ciencia que se ocupa de los objetos concretos, esto es, de los
números. En cambio el Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones
matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico,
independientemente de los números o objetos concretos.
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar
objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras...
(basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus
que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente,
limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números
representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.
Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas
de numeración, diferentes para cada civilización.
Los egipcios desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía
en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo
(palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se
formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos
números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares
características sería el sistema de numeración romano.
También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma
1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas
fracciones.
Aparecen también durante la expansión de esta civilización los primeros métodos de
operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y
fracciones.
Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la
incógnita x se denominaba "montón".
En la civilización mesopotámica utilizaron el sistema de numeración posicional
sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar
indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema.
Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer
aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y
simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se
atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de
Newton para la aproximación de raíces cuadradas.
Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la
operación de la división.
Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo
de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron
a la solución para ecuaciones de la forma y también mediante el cambio de variable t=ax.
Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo
de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso
desarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como
geométricas.
Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen
como ecuaciones Diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con
conceptos geométricos.
En la Antigua Civilización China el sistema de numeración es el decimal jeroglífico.
Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que
en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador.
Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como
solución a una ecuación.
La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado
en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se
establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como
método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial,
tranformándolos en ceros de manera escalonada.
Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de
bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los
negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta
mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de
esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el
desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi
Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso
aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma . El método del elemento celeste
es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que
vivió medio siglo más tarde.
Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon
Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron
elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo
precioso" de manera similar a lo que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o
Pascal.
Los primeros indicios matemáticos de la civilización india se calculan hacia los siglos
VIII-VII a.C. y parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de
numeración posicional y decimal.
Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución de las
matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:
Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).
La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de
las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números
negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos los
números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de
ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas
como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos,
métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver
(s.XII) la ecuación , denominada ecuación de Pelt.
Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de
numeración decimal y las reglas de cálculo.
El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue
amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto
a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de
ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura
hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.
En los matemáticos de la época helénica los problemas prácticos relacionados con las
necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas
continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas
poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo
la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con
números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos
auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a
ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la
arquitectura, geometría, agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de
hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo,
de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el
conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales
de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los
métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones
sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas,
geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica.
Fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números
"pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la
irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este
descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría
de la divisibilidad.
La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general
tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse
el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una
reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama
incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones
geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la
arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin
embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos,
siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o
superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución
mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas
geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la
duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de
ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el
método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas
trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una
teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo
de Euclides.
En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo
necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario
de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y
volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo
conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que
encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de
segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas.
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de
los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia,
desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias
matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica
teórica y el método axiomático.
Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo
científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario,
mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi
completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el
desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas.
Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de
la Sabiduría). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed
ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribió más de media docena de obras matemáticas y
astronómicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. La primera
de ellas está basada en una traducción árabe de Brahmagupta y en la que se da una
reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo que ha originado la creencia
popular de que nuestro sistema de numeración procede del árabe. El "nuevo" sistema de
numeración vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a través de
deformaciones lingüísticas derivó en "algorismi" y después en algoritmo, término que,
actualmente, posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del titulo de
su obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre
mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de
ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos.
Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de
cálculo y algoritmos especiales, entre ellos:
•
obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y
circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de
150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que
esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de
Kashi.
•
cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini-Horner,
posiblemente como resultado de la estrecha colaboración con los matemñaticos
chinos. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue
también enunciada la tabla de coeficientes binomiales.
•
extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal.
•
sumación de progresiones aritméticas y geométricas.
Asimismo, en virtud de la frecuente aplicación en los cálculos de las irracionalidades, el
límite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse,
ampliándose la concepción de número real positivo. La idea de una concepción única del
número real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento.
Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de
ecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A estas
últimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un
plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados...
Otra dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas, se basaba en la obtención de la
imagen geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones cónicas,
convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta época era la
ausencia de una simbología, lo que contuvo el desarrollo del álgebra.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en
muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época
del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
El punto de arranque de las matemáticas en Europa fue la creación de los centros de
enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras de
ciencias naturales y matemáticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de
enseñanza fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fue
posiblemente el primero en Europa que enseñó el uso de los numerales indo-arábigos. Sin
embargo hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingüística, hacia
el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la
maquinaria matemática. El trabajo de los traductores fue sensacional. Así Gerardo de
Cremona (1114-1187) tradujo del árabe más de 80 obras.
Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido
como Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el libro
del ábaco), en el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema de
numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos
comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional,
problemas sobre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresiones
y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas... Fibonacci quedó inmortalizado por la famosa
"sucesión de Fibonacci" y el famoso problema de los conejos.
El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia,
introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones
con ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo.
Ya en el siglo XV, Regiomontano enriqueció el concepto de número, introduciendo los
radicales y las operaciones con ellos, ampliando así las posibilidades de resolución de
ecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557), Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474)
desarrollaron fórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer grado. Pero fue Jerónimo
Cardano (1501-1576) quien introdujo un método regular de resolución de ecuaciones de
tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna". En esta obra se expresan diversos teoremas
que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por
factores (x-x1), donde x1 es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un
notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos
consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible, la
expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Viète estableció
en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos,
de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le
podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto
es, la goniometría.
En 1614 fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis mirifici
logarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones
trigonométricas. Años más tarde, en estrecha colaboración con Henry Briggs (1561-1630)
desarrollaron el sistema logarítmico decimal. La teoría de las funciones logarítmicas fue
seguidamente desarrollada, alcanzando su culminación en los trabajos de Leonard Euler.
Junto a estos avances científico-matemáticos comenzaron a desarrollarse las primeras
máquinas de cálculo.
Ya en pleno siglo XVII, la última parte de la famosa obra de Descartes(1596-1650)
"Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones
geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la
aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de
distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la
construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el
número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo
demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación
entre el álgebra y la geometría.
El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre
la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino
separado aunque relacionado, de hecho durante la segunda mitad de siglo el álgebra
siguió rompiendo su hermandad con la geometría, fortaleciéndose el aparato simbólico
literal, alcanzando gran desarrollo la teoría de ecuaciones.
La teoría de números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En
particular a él pertenece el conocido "Gran teorema de Fermat". En el año 1665 B. Pascal
formuló el principio de inducción matemática.
Ya en el siglo XVIII los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con la aparición
de los logaritmos.
La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) continuó
determinándose ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la "Aritmética
Universal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con el desarrollo
de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio de las
aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la formación
de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el libro con
los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica de éstas,
mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratado contiene las
fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica,
fórmulas conocidas habitualmente como "identidades de Newton". Aparece también un
teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como
una regla para determinar una cota superior de las raíces positivas.
Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías,
especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones,
elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.
En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya estaba
ciego. En ella se analizan un sin fin de resultados: se generalizan las reglas de resolución
de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se aclaran
las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen los
logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones
algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresión de las
funciones racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios y negativos
de una potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones,
las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones
algebraicas.
Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. En
ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para la
resolución de tales ecuaciones.
También se profundizó en el concepto de número, produciéndose de una manera
definitiva la admisión de los números irracionales. Igualmente se profundizó en las reglas
de operaciones con números imaginarios y complejos, pero siempre bajo la premisa de la
obtención de raíces de ecuaciones.
Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en día
conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para
desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando
métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis
infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos
trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el
módulo m.
No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre
problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría
de las fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resolución
de problema de la distribución de números primos, en la serie de los números naturales y
también para una serie de problemas aditivos. El primero de estos problemas fue tratado
también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde se estudia
el desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto a Euler
los nombres de Waring y Lagrange.
La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente,
sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros,
definiéndose prácticamente los principales problemas y direcciones.
El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de
la Matemática.
Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo. En
álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de
ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra
una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar
el concepto de grupo, dando lugar al nacimiento del Álgebra moderna.
El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que se
recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común
son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las
operaciones del álgebra elemental. Estudiemos de una manera más detallada estas
disciplinas.
Teoría General de las Ecuaciones algebraicas:
Este fue el problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX, entendiéndose como
la búsqueda de las raíces de la ecuación con ayuda de operaciones racionales y la
operación de la extracción de la raíz.
En este época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo,
que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F.
Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad en
radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.
Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven,
advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y la
división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba el
teorema fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas
demostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar,
fue la dada por Descartes. para la demostración de este teorema necesitó construir los
campos de desarrollo de los polinomios.
Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de siglo es la
demostración de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones de quinto grado. Por
este camino llevó P. Ruffini sus investigaciones a finales del siglo XVIII, pero el primer
éxito real lo obtuvo Niels Henrik Abel. Tras esto, Abel realizó investigaciones
fundamentales en el campo de la teoría de funciones analíticas, e investigó una serie de
funciones especiales como las elípticas e hiperbólicas. Pero Abel no pudo dar un criterio
general de resolubilidad en radicales de las ecuaciones con coeficientes numéricos.
Sin embargo, la solución a este problema no se hizo esperar largamente y se debe a
Evaristo Galois. El objeto fundamental de sus investigaciones fue el determinar cuando
son resolubles mediante radicales las ecuaciones polinómicas. El aparato algebraico
introducido tuvo, sin embargo, una significación que salía de los marcos del problema
indicado. Su idea del estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparación
con ellos de la estructura de los grupos de un número finito de sustituciones, fue la base
fructífera del álgebra moderna. la teoría actual de Galois, se ha convertido en una
disciplina matemática compleja y ramificada, que incluye un amplio material sobre las
relaciones entre las propiedades de las ecuaciones, los números algebraicos y los grupos.
Teoría de Grupos.
Galois y Ruffini introdujeron de forma independiente el concepto de grupo. En la primera
mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría de grupo jugaron un papel auxiliar,
especialmente en la teoría de las ecuaciones algebraicas, formándose,
predominantemente, la teoría de los grupos finitos.
Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros, comenzaron a aparecer
definiciones abstractas más generales de grupo. este proceso se aceleró desde el año 1870
con los trabajos de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados de la teoría de
grupos finitos en su aplicación a la teoría de números, teoría de funciones y geometría
algebraica.
A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de grupo,
resolviéndose, por ejemplo, el problema de la clasificación de todas las redes cristalinas
espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos discretos finitos, a los que
pertenecen los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensión en la teoría de los espacios
multidimensionales en relación con la teoría de los poliedros regulares en éstos.
Posteriormente se planteó la investigación de los grupos infinitos, tanto discretos como
continuos y también sobre la creación de un aparato de cálculo adaptado a las
necesidades de la teoría de grupo. los logros fundamentales sobre estas cuestiones
pertenecen a los discípulos de C. Jordan, F. Klein y S. Lie.
En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó
desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra actual. Ella se compone de una serie
de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los
grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie. Los métodos teóricos de grupos
penetraron en una serie de disciplinas matemáticas y sus aplicaciones. Los
descubrimientos de De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros, en la mecánica cuántica y en
la teoría de la estructura de la materia mostraron que la física moderna debe apoyarse en
la teoría de los grupos continuos, en particular en la teoría de la representación de grupos
por operadores lineales, la teoría de los caracteres y otras elaboradas por Cartan, H. Weyl
y otros científicos.
Pasó medio siglo desde los trabajos de Gauss, Abel y Galois y el centro de gravedad en
las investigaciones algebraicas se trasladó a la teoría de grupos, subgrupos, anillos,
estructuras. En al álgebra comenzó el periodo de las matemáticas modernas.
Álgebra Lineal:
La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos a la
formación del álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y
relacionada con la teoría de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo
se realizaron investigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de las
ecuaciones. En este camino del desarrollo, creció la teoría de las formas que encontró
aplicación además de en el álgebra, en la teoría de números, la geometría diferencial, la
geometría algebraica y la mecánica.
Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos:
En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.
Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría
rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta
fundamentación del análisis.
Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números
racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en
forma de línea recta.
Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números
racionales.
La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece
también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números
racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría
de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto
límite, de conjunto derivado... La teoría general de las potencias de conjuntos, las
transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos
ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos.
Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación de
los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la
"lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos de las
matemáticas modernas.
ANÁLISIS
MATEMÁTICO
En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano se
específico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, era necesario
investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad...
Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la
aplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable lo
constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta
concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los
métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y
aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas,
búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no
se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera
forma del método de límites.
Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para
muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmente se
estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de
volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas
de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".
El concepto de límite fue el primer paso, pero hubo que esperar hasta el siglo XVII, para
que los métodos integrales y diferenciales y, en esencia, el análisis infinitesimal se
diferenciaran como disciplinas estructuradas dentro de las matemáticas.
Métodos Integrales: Al comienzo, estos métodos se elaboraban, acumulaban e
independizaban en el transcurso de la resolución de problemas sobre el cálculo de
volúmenes, áreas, centros de gravedad... formándose como métodos de integración
definida.
El primero de los métodos publicado fue el de las operaciones directas con
infinitesimales actuales. Apareció en el año 1615 en las obras de Kepler. Para la
demostración matemática de las leyes de Kepler fue necesario utilizar las magnitudes
infinitesimales. Sin embargo, fue en su obra "Nueva esteriometría de toneles de vino..."
donde expuso su método de utilización de magnitudes infinitesimales y los fundamentos
para la sumación de éstos.
Muchos científicos dedicaron sus trabajos al perfeccionamiento del lado operativo de esta
empresa, y a la explicación racional de los conceptos que surgían sobre esto. La mayor
fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un
método universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de las
medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos
compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de
rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz
de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran
adimensionales. Pese a ello, la integración definida en forma de cuadraturas geométicas,
adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas
que podían resolver.
Las ideas que incluyen elementos de integración definida abarcaban hacia los años 60 del
siglo XVII amplias clases de funciones algebraicas y trigonométricas.
Era necesario sólo un impulso, la consideración total de los métodos desde un punto de
vista único, para cambiar radicalmente toda la problemática de integración y crear el
cálculo integral.
Métodos Diferenciales: En las matemáticas del siglo XVII junto a los métodos
integrales, se formaron también los métodos diferenciales, dando sus primeros pasos en la
resolución de problemas. Tales problemas eran en aquella época de tres tipos:
determinación de las tangentes a las curvas, búsqueda de máximos y mínimos de
funciones y búsqueda de las condiciones de existencia de raíces múltiples de las
ecuaciones algebráicas.
En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se resolvían por los
métodos más diversos. veamos algunos casos.
Ya en la escuela de Galileo, para la búsqueda de tangentes y normales a las curvas, se
aplicaban simultáneamente los métodos cinemáticos, considerando diferentes
lanzamientos y movimientos complejos, determinando la tangente en cualquier punto de
la trayectoria. Torricelli, admirador de Galileo, estudió las trayectorias parabólicas que
siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo con velocidad inicial constante,
pero con ángulos de elevación sobre la horizontal variables, descubriendo que la
envolvente de todas esas parábolas era otra parábola, la llamada parábola de seguridad.
Al pasar de la ecuación de la distancia a la de la velocidad, ambas en función del tiempo,
y recíprocamente, se dio cuenta Torricelli del carácter inverso que presentan los
problemas de cuadraturas en determinación de tangentes. Sin embargo, su muerte
repentina a los 39 años, truncó lo que podía haber sido la invención del cálculo
infinitesimal.
La exposición sistemática del método y sus aplicaciones más importantes las dio
Roberval en 1640.
La acumulación de los métodos del cálculo diferencial adquirió su forma más clara en
Fermat, quien resolvió el problema de la determinación de los valores extremales de una
función f(x). También está próximo al cálculo diferencial su método de búsqueda de las
tangentes a las curvas algebraicas, si bien las funciones estudiadas eran polinómicas.
Hacia mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo suficientemente grande de
recursos de resolución de problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación.
Sin embargo, no habían sido aun
Análisis Infinitesimal: La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal, fue el
establecimiento de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones
diferenciales e integrales, y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial e integral.
Este último surgió como una parte independiente de las matemáticas, casi
simultáneamente en dos formas diferentes: en la forma de teoría de fluxiones de Newton
y bajo la forma del cálculo de diferenciales de G.W. Leibniz.
Teoría de fluxiones: En el método de fluxiones se estudian las magnitudes variables,
introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico
continuo. estas magnitudes variables se consideran cantidades que van fluyendo o
"fluentes". después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, esto es,
las derivadas con relación al tiempo. Ellas se denominan fluxiones, que a su vez son
también variables y poseen también sus fluxiones y así sucesivamente. Los símbolos de
la primera, segunda... fluxiones, si el fluente se designa por y serán Para el cálculo de las
velocidades instantáneas, es decir, de las fluxiones, se exigían variaciones infinitesimales
de los fluentes, denominados por Newton momentos.En esencia, el momento del fluente
es su diferencial. Con esta teoría se resuelven dos problemas fundamentales:
- determinación de la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado, según un
camino dado. De otro modo: determinación de la relación entre las fluxiones dada la
relación entre los fluentes.
- dada la velocidad de movimiento determinar el camino recorrido en un tiempo dado. En
términos matemáticos, determinar la relación entre los fluentes dada la relación entre las
fluxiones.
El primer problema, llamado problema directo, representa el problema de la
diferenciación implícita de funciones y obtención de la ecuación diferencial, que expresa
las leyes fundamentales de la naturaleza. El segundo, llamado problema inverso, es el
problema de la integración de las ecuaciones diferenciales.
Cálculo de los diferenciales: en el plano puramente matemático el cálculo de Leibniz se
formó bajo las siguientes premisas:
a) Problemas de sumación de series y la utilización de los sistemas de diferencias finitas.
b) Resolución de problemas sobre tangentes, el triángulo de Pascal y el paso gradual de
las relaciones entre elementos finitos a arbitrarios y después infinitesimales.
c) Problemas inversos de tangentes, sumación de diferencias infinitamente pequeñas,
descubrimiento de la inversibilidad mutua entre los problemas diferenciales e integrales.
Él llegó a la idea sobre el símbolo "d" (abreviatura de la palabra diferencia" para la
designación de diferencias infinitesimales. Igualmente representó la integral como suma
de "todas" las ordenadas, que son una cantidad infinita y lo escribió con el símbolo omny.
Más tarde incorporó el símbolo inicial de la palabra Summa. posteriormente aclaró la
necesidad de perfeccionar el símbolo integral, incluyendo en él, el símbolo de diferencial
del argumento .
Se formularon reglas de diferenciación de las magnitudes de las magnitudes constantes,
de la suma, diferencia, producto, cociente, potencia y raíz de funciones. los diferenciales
se interpretaron incialmente como magnitudes proporcionales al incremento instantáneo
de la magnitud. Verdaderamente, más tarde, los diferenciales se definieron como
diferencias infinitesimales. Los estudios sobre cálculo diferencial e integral se publicaron
en 1684 y 1686 respectivamente.
En trabajos posteriores de Leibniz se abarca, en esencia, todas las partes del cálculo
diferencial e integral obteniendo, por ejemplo, la regla de diferenciación de la función
exponencial general, y la fórmula de diferenciación múltiple del producto. Generalizó
también el concepto de diferencial al caso de exponente fraccionario y negativo.
Mediante el nuevo cálculo los matemáticos de finales de siglo y comienzos del XVIII
lograron resolver un número, que crecía rápidamente, de importantes problemas difíciles
y prácticos. Estos éxitos prácticos y la elaboración del cálculo, alcanzaron tal nivel, que a
finales de siglo (1696), apareció el primer manual de cálculo diferencial y sus
aplicaciones a la geometría; "Análisis Infinitesimal" de G.F. L'Hopital.
Un extenso lugar en las obras sobre historia de las matemáticas de esta época, estuvo
marcado por la disputa en la prioridad del descubrimiento del cálculo diferencial e
integral, por parte de Newton o Leibniz; descubrimiento que, como se ha demostrado
posteriormente tuvo lugar de forma simultánea e independiente
Ya en el siglo XVIII la elaboración científica de los problemas matemáticos se concentró
casi exclusivamente en los países de Europa.
Junto a la formación de los fundamentos del análisis matemático -el cálculo diferencial e
integral- hacia comienzos de siglo surgieron resultados también en sus ramas superiores:
la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones.
La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias obtuvo un desarrollo sistemático,
comenzando con los trabajos de Jo. Bernoulli y J. Ricatti.
Durante el siglo XVIII el problema de la creación de la teoría de funciones se convirtió
en el problema preliminar del análisis infinitesimal.
El concepto de función tenía dos aspectos: la función como correspondencia y la función
como expresión analítica. Los éxitos prácticos del análisis infinitesimal, impulsaron a los
científicos a poner más atención a este tratamiento del concepto de función, el cual
permitía operar con funciones concretas. Fue en el transcurso de los años 30 y 40, en lo
fundamental gracias a Euler, cuando se elaboró, sistematizó y clasificó la teoría de las
funciones elementales analíticas. La experiencia señaló a los matemáticos que todas las
funciones conocidas, eran desarrollables mediante series de potencias. Igualmente se
crearon las premisas para la teoría de funciones de variable compleja.
Uno de los rasgos más característicos del análisis infinitesimal durante este siglo XVIII
era la poca claridad de sus conceptos primarios, la imposibilidad de explicar
racionalmente la validez de las operaciones introducidas. Las ideas de los creadores del
análisis en esta materia no se distinguían ni por su constancia ni por su determinación.
Tanto Newton como Leibniz llevaron a cabo un conjunto de intentos de explicar sus
cálculos, sin lograr éxito.
Entre los numerosos esfuerzos por encontrar una fundamentación rigurosa al análisis
infinitesimal, destacan los de Euler y D'Alembert.
Según Euler, el concepto fundamental no es el de diferencial, sino el de derivada; en lo
que se refiere a los infinitesimales o diferenciales, ellos son simplemente ceros exactos.
Pero esta teoría de Euler no pudo ser reconocida como satisfactoria pues se limitaba a
enmascarar los pasos reales al límite, los cuales prácticamente se llevaban a cabo en la
diferenciación de funciones.
D'Alembert por su parte, ponía objeciones a la teoría de los ceros de Euler y sostenía que
la notación de los diferenciales no es más que una manera vaga de hablar, que depende
para su justificación del lenguaje de los límites. Sin embargo, la teoría de los límites del
siglo XVIII, no obtuvo el reconocimiento de la mayoría de sus contemporáneos.
El trabajo más serio que reveló la posibilidad total del cálculo diferencial algebraico y
que determinó su destino fue el gran trabajo de Lagrange, "Teoría de las funciones
analíticas...". Demostró que toda función y=f(x+h) puede ser desarrollada en serie de
potencias en la forma f(x+h)=f(x)+ph+qh2+rh3... excepto en determinados valores del
argumento. Las series de potencias fueron pues, utilizadas para la aproximación de
cualquier función por polinomios. Además dedujo la fórmula del resto y el teorema del
valor medio. Los coeficientes del desarrollo polinómico fueron definidos por Lagrange
como derivadas sucesivas. Pero siguió sin resolver el concepto de límite y las operaciones
con series carecían de fundamento, al realizarse sin el estudio de la convergencia de la
serie. Semejantes dificultades existieron durante mucho tiempo, hasta que a finales del
siglo XIX fue creado el "aparato (, (" de la teoría de límites.
La riqueza real del análisis acumulada durante el siglo XVIII es tremenda. Veamos
algunas de sus particularidades.
Cálculo Diferencial: el cálculo diferencial conservó una estrecha relación con el
cálculo de diferencias finitas, originado en los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y
Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de
diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos
términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el
cálculo en diferencias finitas.
El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de
potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las
funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pornto surgió el problema de
la convergencia de las serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos
residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes.
Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones,
como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler.
La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente,
acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual. Por ejemplo
Euler demostró que en df(x,y)=Pdx+Qdy las derivadas parciales deben satisfacer la
condición
Cálculo Integral: los logros en este terreno pertenecieron inicialmente a J.Bernoulli,
quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742.
Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal
forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel
actual.
El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el
descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Entre
ellas citaremos las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones
elípticas. También se desarrolló el método de las sustituciones complejas.
Ecuaciones Diferenciales: la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se
había desarrollado ya considerablemente antes de esta época, pero el problema más difícil
de la resolución de ecuaciones en derivadas parciales era entonces un campo abierto para
los pioneros. El problema de la integración de ecuaciones diferenciales, en su inicio, se
presentaba como parte de un problema más general: el problema inverso del análisis
infinitesimal. Además cada una de las ecuaciones estaba justificada por la existencia de
un problema concreto, no existiendo a principios de siglo una teoría general, con lo que la
vía utilizada, fue la de resolver clases de ecuaciones lo más amplias posibles.
Los primeros intentos de resolución se centraron en las ecuaciones diferenciales lineales,
advirtiéndose resultados notables ya en los años 20 con los trabajos de Ricatti, Golbach,
Bernoulli y Leibniz. En el año 1743 Euler publicó el método de resolución de una
ecuación diferencial lineal homogéneo de cualquier orden, mediante la sustitución y=ekx
o similares. D'Alembert encontró en 1766 que la solución general de una ecuación no
homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de
la correspondiente ecuación homogénea.
Junto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, fueron encontradas las soluciones de
ciertas ecuaciones en derivadas parciales, llevadas a cabo especialmente por Euler y
D'Alembert. Así, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden
surgieron preferentemente en el curso de resolución de problemas físicos, entre los que
cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce a la ecuación: resuelta por Euler.
Fue a finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones
singulares, así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes de
las curvas integrales. El estudio de estas familias de curvas integrales y la solución de
problemas sobre la búsqueda de trayectorias envolventes e isogonales dio lugar a la
aparición de una nueva rama dentro de la geometría: la geometría diferencial.
Cálculo de Variaciones: el cálculo de variaciones surgido en este siglo, recibió en los
trabajos de Euler y Lagrange la forma de una teoría matemática rigurosa, posibilitando la
resolución de un gran número de problemas de carácter práctico, referidos a la
determinación de los extremos de las funciones y que no admitían resolución con los
medios del recientemente aparecido análisis infinitesimal. Entre estos problemas
citaremos el de la braquistócrona, el problema isoperimétrico o el de las líneas geodésicas
sobre las superficies.
El primer método general de resolución de problemas de variaciones, fue elaborado en
una serie de trabajos de Euler durante los años 1726 a 1744, presentando la primera
formulación general de un problema de variaciones unidimensionales en 1735. Cuatro
años después, este método fue generalizado, publicando ya en 1744, el que podríamos
considerar como primer libro de la historia sobre cálculo de variaciones. En el libro de
Euler se citan más de 60 ejemplos que ilustran las posibilidades del nuevo método. En
ellos se demuestra el valor pr´ctico del cálculo y se establece su estrecha relación con la
mecánica y la física. El objetivo de este método general era la búsqueda de líneas curvas
para las cuales cierta magnitud prefijable, alcanza su valor máximo o mínimo. Pese a la
practicidad del método, éste adolecía de cierta falta de rigor sobre todo en cuestiones
relacionadas con los pasos al límite.
La situación cambió como consecuencia de la puesta en común de ideas por parte de
Euler y Lagrange, al comunicar éste último, el método general analítico de cálculo de la
variación de la integral, mediante la integración por partes.
El análisis matemático, hacia el siglo XIX se convirtió en un sistema de disciplinas
ramificado y siguió ocupando un lugar central en las matemáticas. El flujo inagotable de
nuevos resultados teóricos y el campo de aplicaciones el cual se amplía continuamente,
condicionaron el que en la estructura general de las matemáticas ocuparan un lugar
especial, principalmente, las disciplinas analíticas.
Las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el medio operativo fundamental del
análisis. El aparato del análisis matemático en este siglo era un conjunto de
procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente.
Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el
cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales que
rápidamente se independizaba de este último. Los contornos de la teoría en formación de
funciones de variable compleja, la teoría de las funciones especiales... se delineaban aun
lentamente.
Teoría de Límites: Uno de los lugares centrales del análisis lo ocupa el concepto de
límite. Sobre él se apoya todo el aparato de las demostraciones infinitesimales. los
matemáticos del siglo XVIII probaron un conjunto de procedimientos para fundamentar
el análisis infinitesimal, pero la insatisfactorio de casi todos estos métodos se hizo
rápidamente evidente. A finales del siglo XVIII y principios del XIX era más que
evidente la necesidad de costrucción de la teoría de límites como base del análisis
matemático y una reconstrucción radical de este último. Este proceso de reconstrucción
se reveló claramente en los años veinte de este siglo, sobre todo en los trabajos de
Agustín-Luis Cauchy y en sus famosas conferencias, las cuales fueron publicadas en tres
libros: "Curso de análisis" (1821); "Resumen de conferencias sobre el cálculo de
infinitesimales" (1823) y "Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la geometría"
(dos tomos 1826,1828). Estos libros tienen una importancia especial, porque en ellos por
primera vez, el análisis matemático se construye sucesivamente sobre la teoría de límites.
El primero de los libros está dedicado al estudio de las funciones elementales, tanto de
variable real como compleja, incluyendo el estudio de las series infinitas. Asimismo se
introduce por primera vez, una magnitud infinitesimal como una variable cuyo límite es
igual a cero. Expuso también la cuestión de la convergencia de las series, así como sus
criterios de convergencia.
En el segundo de los libros se expone el cálculo diferencial e integral de función de
variable real, destacando la aparición de una demostración analítica de existencia de
integral definida de una función continua.
MATEMÁTICAS DE LAS VARIABLES:
SIGLOS XVI, XVII Y XVIII
Estudiaremos independientemente cada uno de estos siglos:
•
Siglo XVI
•
Siglo XVII
•
Siglo XVIII
SIGLO XVI
A finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya, la mayor parte de las
obras matemáticas más importantes de la antigüedad que se han conservado hasta
nuestros días. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada,
introduciendo un cierto simbolismo y la trigonometría, se había convertido en una
disciplina independiente. La época estaba ya casi madura, para llevar a cabo ciertos
avances que superaran las contribuciones tanto antiguas, como medievales y
renacentistas. Pero la transición del Renacimiento al mundo moderno, se hizo también a
través de un considerable número de figuras intermedias: Galileo, Cavalieri, Briggs,
Neper, Kepler y Viète entre otros.
SIGLO XVII
Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución
de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las
Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y
sociedades científicas, que se convirtieron en una forma fructífera de trabajo en equipo de
los científicos. También comenzaron durante este siglo las publicaciones periódicas. Sin
embargo se produjo un cambio muy importante en la concepción de las matemáticas,
complementando el estudio de los números y demás magnitudes constantes, con el
estudio de los movimientos y transformaciones. En este siglo es cuando tienen comienzo
todas o casi todas las disciplinas matemáticas:
•
Geometría Analítica.
•
Métodos Integrales.
•
Métodos Diferenciales.
•
Análisis Infinitesimal.
•
Cálculo de Probabilidades.
Geometría Analítica: En los trabajos de René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat
(1601-1655), comenzó a fraguarse la geometría analítica como un método de expresión
de las relaciones numéricas de las dimensiones, formas y propiedades de los objetos
geométricos, utilizando esencialmente el método de coordenadas. La última parte de la
famosa obra de Descartes "Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su
comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose
seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza
también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que
compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la
conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma,
aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a
la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas.
Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de
aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas
rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en
una pequeña obra: "Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales". Aquellos
lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y
los representados por cónicas, especiales. Fermat abordó a la tarea de reconstruir los
"Lugares Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental
de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas,
tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o
curva".
Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es,
una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2;
a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso
de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo
grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores. La
extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la
realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos.
Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría
analítica del espacio quedó sin culminar. Lo que sí está totalmente demostrado, es que la
introducción del método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin
embargo su obra no ejercio tanta influencia como la Géometrie de Descartes, debido a la
tardanza de su edición y al engorroso lenguaje algebraico utilizado.
El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre
la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino
separado aunque relacionado. L. Euler dio a la geometría analítica un aspecto próximo al
actual, dedicando a esto el segundo tomo de "Introduction al análisis" (1748). Le precedió
sólo Clairaut (1713-1765) que extendió la geometría analítica al espacio tridimensional
mediante la introducción de un sistema de tres ejes coordenados rectangulares. La
denominación geométrica analítica fue introducida por primera vez por el matemático
francés S. F. Lacroix (1764-1848) a finales del siglo XVIII.
El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del análisis
infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la construcción de la
mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significando la aparición de las posibilidades
para la creación del análisis de variables.
Métodos Integrales: Al comienzo, estos métodos se elaboraban, acumulaban e
independizaban en el transcurso de la resolución de problemas sobre el cálculo de
volúmenes, áreas, centros de gravedad... formándose como métodos de integración
definida. El primero de los métodos publicado fue el de las operaciones directas con
infinitesimales actuales. Apareció en el año 1615 en las obras de Kepler. Para la
demostración matemática de las leyes de Kepler fue necesario utilizar las magnitudes
infinitesimales. Sin embargo, fue en su obra "Nueva esteriometría de toneles de vino..."
donde expuso su método de utilización de magnitudes infinitesimales y los fundamentos
para la sumación de estos. Muchos científicos dedicaron sus trabajos al
perfeccionamiento del lado operativo de esta empresa, y a la explicación racional de los
conceptos que surgían sobre esto. La mayor fama la adquirió la geometría de los
indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método universal de la geometría.
Este método fue creado para la determinación de las medidas de las figuras planas y
cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de
dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos
de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz de medir longitudes de curvas,
ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la
integración definida en forma de cuadraturas geométricas, adquirió fama en la primera
mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían resolver. Las
ideas que incluyen elementos de integración definida abarcaban hacia los años 60 del
siglo XVII amplias clases de funciones algebraicas y trigonométricas. Era necesario sólo
un impulso, la consideración total de los métodos desde un punto de vista único, para
cambiar radicalmente toda la problemática de integración y crear el cálculo integral.
Métodos Diferenciales: En las matemáticas del siglo XVII junto a los métodos
integrales, se formaron también los métodos diferenciales, dando sus primeros pasos en la
resolución de problemas. Tales problemas eran en aquella época de tres tipos:
determinación de las tangentes a las curvas, búsqueda de máximos y mínimos de
funciones y búsqueda de las condiciones de existencia de raíces múltiples de las
ecuaciones algebráicas. En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se
resolvían por los métodos más diversos. veamos algunos casos. Ya en la escuela de
Galileo, para la búsqueda de tangentes y normales a las curvas, se aplicaban
simultáneamente los métodos cinemáticos, considerando diferentes lanzamientos y
movimientos complejos, determinando la tangente en cualquier punto de la trayectoria.
Torricelli, admirador de Galileo, estudió las trayectorias parabólicas que siguen los
proyectiles disparados desde un punto fijo con velocidad inicial constante, pero con
ángulos de elevación sobre la horizontal variables, descubriendo que la envolvente de
todas esas parábolas era otra parábola, la llamada parábola de seguridad. Al pasar de la
ecuación de la distancia a la de la velocidad, ambas en función del tiempo, y
recíprocamente, se dio cuenta Torricelli del carácter inverso que presentan los problemas
de cuadraturas en determinación de tangentes. Sin embargo, su muerte repentina a los 39
años, truncó lo que podía haber sido la invención del cálculo infinitesimal. La exposición
sistemática del método y sus aplicaciones más importantes las dio Roberval en 1640. La
acumulación de los métodos del cálculo diferencial adquirió su forma más clara en
Fermat, quien resolvió el problema de la determinación de los valores extremales de una
función f(x). También está próximo al cálculo diferencial su método de búsqueda de las
tangentes a las curvas algebraicas, si bien las funciones estudiadas eran polinómicas.
Hacia mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo suficientemente grande de
recursos de resolución de problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación.
Sin embargo, no habían sido aun separados la operación específica de diferenciación y
los conceptos equivalentes a los de derivada y diferencial.
El análisis matemático se formaba en los dominios y en los términos del álgebra, la
geometría, la mecánica, formadas ya entonces como ciencias. Así, cada nuevo cálculo
matemático siempre atraviesa un periodo de formación en los límites del ya existente
sistema de ciencias matemáticas, utilizando sus recursos.
Análisis Infinitesimal: La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un
largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación
teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el
desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción
a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas,
especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes... Las
causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la
mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la
búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal
tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Walis,
Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz, Euler,...
La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal, fue el establecimiento de la
relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales e integrales, y a
partir de aquí la formación del cálculo diferencial e integral. Este último surgió como una
parte independiente de las matemáticas, casi simultáneamente en dos formas diferentes:
en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma del cálculo de diferenciales
de G.W. Leibniz.
Teoría de fluxiones: En el método de fluxiones se estudian las magnitudes variables,
introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico
continuo. Estas magnitudes variables se consideran cantidades que van fluyendo o
"fluentes". Después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, esto es,
las derivadas con relación al tiempo. Ellas se denominan fluxiones, que a su vez son
también variables y poseen también sus fluxiones y así sucesivamente. Los símbolos de
la primera, segunda... fluxiones, si el fluente se designa por y serán,
Para el cálculo de las velocidades instantáneas, es decir, de las fluxiones, se exigían
variaciones infinitesimales de los fluentes, denominados por Newton momentos. El
símbolo del momento tiempo es 0; el momento del fluente "y" se escribe
., es decir,
el producto de la velocidad instantánea por el momento tiempo. En esencia, el momento
del fluente es su diferencial. Con esta teoría se resuelven dos problemas fundamentales: determinación de la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado, según un
camino dado. De otro modo: determinación de la relación entre las fluxiones dada la
relación entre los fluentes. - dada la velocidad de movimiento determinar el camino
recorrido en un tiempo dado. En términos matemáticos, determinar la relación entre los
fluentes dada la relación entre las fluxiones. El primer problema, llamado problema
directo, representa el problema de la diferenciación implícita de funciones y obtención de
la ecuación diferencial, que expresa las leyes fundamentales de la naturaleza. El segundo,
llamado problema inverso, es el problema de la integración de las ecuaciones
diferenciales.
Cálculo de los diferenciales: en el plano puramente matemático el cálculo de Leibniz se
formó bajo las siguientes premisas:
1. Problemas de sumación de series y la utilización de los sistemas de diferencias
finitas.
2. Resolución de problemas sobre tangentes, el triángulo de Pascal y el paso gradual
de las relaciones entre elementos finitos a arbitrarios y después infinitesimales.
3. Problemas inversos de tangentes, sumación de diferencias infinitamente pequeñas,
descubrimiento de la inversibilidad mutua entre los problemas diferenciales e
integrales.
Él llegó a la idea sobre el símbolo "d" (abreviatura de la palabra "diferencia") para la
designación de diferencias infinitesimales. Igualmente representó la integral como suma
de "todas" las ordenadas, que son una cantidad infinita y lo escribió con el símbolo omny.
inicial de la palabra Summa. Posteriormente aclaró la
Más tarde incorporó el símbolo
necesidad de perfeccionar el símbolo integral, incluyendo en él, el símbolo de diferencial
. Se formularon reglas de diferenciación de las magnitudes de las
del argumento
magnitudes constantes, de la suma, diferencia, producto, cociente, potencia y raíz de
funciones. Los diferenciales se interpretaron incialmente como magnitudes
proporcionales al incremento instantáneo de la magnitud. Verdaderamente, más tarde, los
diferenciales se definieron como diferencias infinitesimales. Los estudios sobre cálculo
diferencial e integral se publicaron en 1684 y 1686 respectivamente. En trabajos
posteriores de Leibniz se abarca, en esencia, todas las partes del cálculo diferencial e
integral obteniendo, por ejemplo, la regla de diferenciación de la función exponencial
general, y la fórmula de diferenciación múltiple del producto. Generalizó también el
concepto de diferencial al caso de exponente fraccionario y negativo.
Mediante el nuevo cálculo los matemáticos de finales de siglo y comienzos del XVIII
lograron resolver un número, que crecía rápidamente, de importantes problemas difíciles
y prácticos. Estos éxitos prácticos y la elaboración del cálculo, alcanzaron tal nivel, que a
finales de siglo (1696), apareció el primer manual de cálculo diferencial y sus
aplicaciones a la geometría; "Análisis Infinitesimal" de G.F. L'Hopital. Un extenso lugar
en las obras sobre historia de las matemáticas de esta época, estuvo marcado por la
disputa en la prioridad del descubrimiento del cálculo diferencial e integral, por parte de
Newton o Leibniz; descubrimiento que, como se ha demostrado posteriormente tuvo
lugar de forma simultánea e independiente
El álgebra siguió rompiendo su hermandad con la geometría, fortaleciéndose el aparato
simbólico literal, alcanzando gran desarrollo la teoría de ecuaciones. La teoría de
números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En particular a él
pertenece el conocido "Gran teorema de Fermat". En el año 1665 B. Pascal formuló el
principio de inducción matemática.
Teoría de Probabilidades: La teoría de probabilidades, en relación con los problemas
con los que se tomaban las investigaciones combinatorias, a mediados del siglo XVII
entró en el estadio de formación como ciencia. Las consideraciones probabilísticas, en las
cuales las ideas intuitivas sobre el grado de posibilidad lógica se complementaba con los
cálculos de frecuencia teórica, comenzaron a aparecer en el siglo XVI, pero sólo en las
obras de Pascal, Fermat y Huygens comenzó a entrar en uso en relación con el problema
de la repartición de los sueldos, el concepto de esperanza matemática. Al parecer, en el
mismo final del siglo XVII Jo. Bernouilli descubrió la forma más simple de la ley de los
números generales (publicado en el año 1713).
SIGLO XVIII
Durante el siglo XVIII la elaboración científica y matemática se centró casi
exclusivamente en Europa. Gradualmente fue creciendo el papel de los centros superiores
de enseñanza, haciéndose particularmente notable hacia finales de siglo con la revolución
francesa.
Se podría decir que el siglo XVIII fue un tramite entre los siglos XVII, cuando se
inventaron la geometría analítica y el cálculo infinitesimal y el siglo XIX, origen del rigor
matemático y espectador de lujo del brillante florecimiento de la geometría.
Los matemáticos más importantes de la época fueron casi todos franceses: Monge,
Lagrange, D'Alembert, Laplace, legendre, Carnot y Condorcet. las dos grandísimas
excepciones a esta lista fueron Euler y Gauss.
El concepto de análisis infinitesimal se completó de nuevos hechos, encontrando las
operaciones de diferenciación e integración aplicaciones a una cada vez mayor gama de
funciones, dando lugar al análisis funcional y dentro de él, al cálculo de variaciones como
una de las partes más importantes del análisis matemático moderno.
Comentar, por último, que una revisión del desarrollo de las matemáticas en el siglo
XVIII sería incompleta sin nombrar los trabajos teóricos realizados en el terreno de la
probabilidad.
La elaboración científica de los problemas matemáticos se concentró casi exclusivamente
en los países de Europa.
Junto a la formación de los fundamentos del análisis matemático -el cálculo diferencial e
integral- hacia comienzos de siglo surgieron resultados también en sus ramas superiores:
la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones. La teoría de las
ecuaciones diferenciales ordinarias obtuvo un desarrollo sistemático, comenzando con los
trabajos de Jo. Bernoulli y J. Ricatti. Los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron
con la aparición de los logaritmos. Sobre la base de la ampliación del concepto de
función al campo complejo y de la amplia aplicación del desarrollo de funciones en serie,
comenzó a crearse la teoría de funciones de variable compleja. Se completó igualmente,
el conjunto de las disciplinas geométricas y, además de la ya desarrollada geometría
analítica, se formaba a finales de siglo la geometría descriptiva y se profundizaba en el
estudio de la perspectiva. Estudiemos por separado el desarrollo de estas disciplinas:
•
Análisis Infinitesimal
•
Análisis Matemático.
o
Cálculo Diferencial.
o
Cálculo Integral.
o
Ecuaciones Diferenciales
•
Cálculo de Variaciones.
•
Desarrollo de la Geometría.
o
Geometría Analítica.
o
Geometría Diferencial.
o
Geometría Descriptiva y Proyectiva.
•
Análisis Numérico.
•
Teoría de Probabilidades.
Análisis Infinitesimal: El problema de la creación de la teoría de funciones se convirtió
en el problema preliminar del análisis infinitesimal. El concepto de función tenía dos
aspectos: la función como correspondencia y la función como expresión analítica. Los
éxitos prácticos del análisis infinitesimal, impulsaron a los científicos a poner más
atención a este tratamiento del concepto de función, el cual permitía operar con funciones
concretas. Fue en el transcurso de los años 30 y 40, en lo fundamental gracias a Euler,
cuando se elaboró, sistematizó y clasificó la teoría de las funciones elementales
analíticas. La experiencia señaló a los matemáticos que todas las funciones conocidas,
eran desarrollables mediante series de potencias. Igualmente se crearon las premisas para
la teoría de funciones de variable compleja.
Uno de los rasgos más característicos del análisis infinitesimal en el siglo XVIII era la
poca claridad de sus conceptos primarios, la imposibilidad de explicar racionalmente la
validez de las operaciones introducidas. Las ideas de los creadores del análisis en esta
materia no se distinguían ni por su constancia ni por su determinación. Tanto Newton
como Leibniz llevaron a cabo un conjunto de intentos de explicar sus cálculos, sin lograr
éxito. Entre los numerosos esfuerzos por encontrar una fundamentación rigurosa al
análisis infinitesimal, destacan los de Euler y D'Alembert. Según Euler, el concepto
fundamental no es el de diferencial, sino el de derivada; en lo que se refiere a los
infinitesimales o diferenciales, ellos son simplemente ceros exactos. Pero esta teoría de
Euler no pudo ser reconocida como satisfactoria pues se limitaba a enmascarar los pasos
reales al límite, los cuales prácticamente se llevaban a cabo en la diferenciación de
funciones. D'Alembert por su parte, ponía objeciones a la teoría de los ceros de Eules y
sostenía que la notación de los diferenciales no es más que una manera vaga de hablar,
que depende para su justificación del lenguaje de los límites. Sin embargo, la teoría de los
límites del siglo XVIII, no obtuvo el reconocimiento de la mayoría de sus
contemporáneos. El trabajo más serio que reveló la posibilidad total del cálculo
diferencial algebraico y que determinó su destino fue el gran trabajo de Lagrange,
"Teoría de las funciones analíticas...". Demostró que toda función y=f(x+h) puede ser
desarrollada en serie de potencias en la forma f(x+h)=f(x)+ph+qh2+rh3... excepto en
determinados valores del argumento. Las series de potencias fueron pues, utilizadas para
la aproximación de cualquier función por polinomios. Además dedujo la fórmula del
resto y el teorema del valor medio. Los coeficientes del desarrollo polinómico fueron
definidos por Lagrange como derivadas sucesivas. Pero siguió sin resolver el concepto de
límite y las operaciones con series carecían de fundamento, al realizarse sin el estudio de
la convergencia de la serie. Semejantes dificultades existieron durante mucho tiempo,
hasta que a finales del siglo XIX fue creado el "aparato delta, epsilon" de la teoría de
límites.
Análisis Matemático: La riqueza real del análisis acumulada durante el siglo XVIII es
tremenda. Veamos algunas de sus particularidades.
Cálculo Diferencial: el cálculo diferencial conservó una estrecha relación con el cálculo
de diferencias finitas, originado en los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre
otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de
una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas
restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en
diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de
funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor,
desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero
pronto surgió el problema de la convergencia de las serie, que se resolvió en parte con la
introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras
que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de
desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por
Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió
rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual.
Por ejemplo Euler demostró que en df(x,y)=Pdx+Qdy las derivadas parciales deben
satisfacer la condición
Cálculo Integral: los logros en este terreno pertenecieron inicialmente a J.Bernoulli, quien
escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler
quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos
de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de
integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una
serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Entre ellas citaremos las
funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. También se
desarrolló el método de las sustituciones complejas.
Ecuaciones Diferenciales: la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se había
desarrollado ya considerablemente antes de esta época, pero el problema más difícil de la
resolución de ecuaciones en derivadas parciales era entonces un campo abierto para los
pioneros. El problema de la integración de ecuaciones diferenciales, en su inicio, se
presentaba como parte de un problema más general: el problema inverso del análisis
infinitesimal. Además cada una de las ecuaciones estaba justificada por la existencia de
un problema concreto, no existiendo a principios de siglo una teoría general, con lo que la
vía utilizada, fue la de resolver clases de ecuaciones lo más amplias posibles. Los
primeros intentos de resolución se centraron en las ecuaciones diferenciales lineales,
advirtiéndose resultados notables ya en los años 20 con los trabajos de Ricatti, Golbach,
Bernoulli y Leibniz. En el año 1743 Euler publicó el método de resolución de una
ecuación diferencial lineal homogéneo de cualquier orden, mediante la sustitución y=ekx o
similares. D'Alembert encontró en 1766 que la solución general de una ecuación no
homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de
la correspondiente ecuación homogénea. Junto a las ecuaciones diferenciales ordinarias,
fueron encontradas las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales, llevadas a
cabo especialmente por Euler y D'Alembert. Así, las ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales de segundo orden surgieron preferentemente en el curso de resolución
de problemas físicos, entre los que cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce a
la ecuación: resuelta por Euler. Fue a finales de los 70 cuando Lagrange estableció la
forma de obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas como la
familia de envolventes de las curvas integrales. El estudio de estas familias de curvas
integrales y la solución de problemas sobre la búsqueda de trayectorias envolventes e
isogonales dio lugar a la aparición de una nueva rama dentro de la geometría: la
geometría diferencial.
En resumen, el aparato del análisis matemático en el transcurso del siglo XVIII se
desarrolló con rapidez extraordinaria tomando una forma y un volumen próximo al
actual. La diferenciación y también la integración mediante funciones elementales fueron,
en lo fundamental concluidas. Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias como en
derivadas parciales, poco a poco, se convirtieron en una parte importantísima del análisis
matemático, en su tratamiento algorítmico-operativo. Junto a la elaboración de los
métodos de resolución de clases independientes de ecuaciones se formaron los elementos
de la teoría general.
Cálculo de Variaciones: El cálculo de variaciones surgido en este siglo, recibió en los
trabajos de Euler y Lagrange la forma de una teoría matemática rigurosa, posibilitando la
resolución de un gran número de problemas de carácter práctico, referidos a la
determinación de los extremos de las funciones y que no admitían resolución con los
medios del recientemente aparecido análisis infinitesimal. Entre estos problemas
citaremos el de la braquistócrona, el problema isoperimétrico o el de las líneas geodésicas
sobre las superficies.
El primer método general de resolución de problemas de variaciones, fue elaborado en
una serie de trabajos de Euler durante los años 1726 a 1744, presentando la primera
formulación general de un problema de variaciones unidimensionales en 1735. Cuatro
años después, este método fue generalizado, publicando ya en 1744, el que podríamos
considerar como primer libro de la historia sobre cálculo de variaciones. En el libro de
Euler se citan más de 60 ejemplos que ilustran las posibilidades del nuevo método. En
ellos se demuestra el valor práctico del cálculo y se establece su estrecha relación con la
mecánica y la física. El objetivo de este método general era la búsqueda de líneas curvas
para las cuales cierta magnitud prefijable, alcanza su valor máximo o mínimo. Pese a la
practicidad del método, éste adolecía de cierta falta de rigor sobre todo en cuestiones
relacionadas con los pasos al límite.
La situación cambió como consecuencia de la puesta en común de ideas por parte de
Euler y Lagrange, al comunicar éste último, el método general analítico de cálculo de la
variación de la integral, mediante la integración por partes. Este método se basaba en la
introducción de la variación de una función y en la extensión a las variaciones de las
reglas del cálculo diferencial. Lagrange fue, además, el primero en señalar la posibilidad
de utilizar la segunda variación para diferenciar el tipo de extremal encontrado. Con
posterioridad esta posibilidad fue convertida en condición por Legendre y K. Jacobi (s.
XIX) y reafirmada por Weierstrass en 1879.
Desarrollo de la Geometría: Prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría,
excluyendo sólo las geometrías no euclideanas, se formaron en este siglo. Se trata de las
geometrías analítica, diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos
sobre los fundamentos de la geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la
geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo
infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que
ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas.
Geometría Analítica: bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría
donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones
algebraicas.
Las puertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero
sólo incluían problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso
importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", clasificando
las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo
un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos.
Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ;
xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el
descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los
signos de las funciones en los cuatro cuadrantes.
Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling,
Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch
y otros. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera
formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano,
introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y
polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas.
También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus
propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las
formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de
las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la
inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de
curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de
curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la
resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el
segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a
la geometría analítica.
En la segunda mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en lo
fundamental, la geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los
nombres de G. Monge, Lacroix y Menier.
Geometría diferencial: esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos
geométricos, o sea, las curvas, superficies etc... Su singularidad consiste en que partiendo
de la geometría analítica utiliza métodos del cálculo diferencial.
A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas
por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas
espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional
al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada,
como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler. El primer logro de Euler en este
terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una
superficie, desarrollando a continuación una completa teoría de superficies, introduciendo
entre otros el concepto de superficie desarrollable. A finales de siglo, es desarrollo de esta
rama entró en un ligero declive, debido principalmente a la pesadez y complejidad del
aparato matemático.
Geometría descriptiva y proyectiva: los métodos de la geometría descriptiva surgieron en
el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia
matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó
plasmada en el texto "Géometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el
método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con
instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en
capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y
superficies.
El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de
proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabajos sobre geometría
proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los
objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las
secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de
base a la nueva geometría.
Análisis Numérico: La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de
Descartes) se determinó ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la
"Aritmética Universal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con
el desarrollo de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio
de las aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la
formación de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el
libro con los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica
de éstas, mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratado contiene
las fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica,
fórmulas conocidas habitualmente como "identidades de Newton". Aparece también un
teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como
una regla para determinar una cota superior de las raíces positivas.
Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías,
especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones,
elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.
En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya estaba
ciego. En ella se analizan un sin fin de resultados: se generalizan las reglas de resolución
de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se aclaran
las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen los
logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones
algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresión de las
funciones racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios y negativos
de una potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones,
las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones
algebraicas.
Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. En
ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para la
resolución de tales ecuaciones. También se profundizó en el concepto de número,
produciéndose de una manera definitiva la admisión de los números irracionales.
Igualmente se profundizó en las reglas de operaciones con números imaginarios y
complejos, pero siempre bajo la premisa de la obtención de raíces de ecuaciones.
Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en día
conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para
desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando
métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis
infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos
trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el
módulo m.
No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre
problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría
de las fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resolución
de problema de la distribución de números primos, en la serie de los números naturales y
también para una serie de problemas aditivos. El primero de estos problemas fue tratado
también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde se estudia
el desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto a Euler
los nombres de Waring y Lagrange.
La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente,
sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros,
definiéndose prácticamente los principales problemas y direcciones.
Teoría de Probabilidades: La teoría de probabilidades debe más a Laplace que a ningún
otro matemático. Desde1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados
obtenidos los incorporó y organizó en su obra "Teoría Analítica de las Probabilidades"
publicada en 1812. Sin embargo el primero de los resultados teóricos en esta rama fue, al
parecer, la demostración realizada por Moivre en 1730 del teorema local del límite
central.
El problema del cálculo de probabilidades sobre la base de observaciones en diferentes
aspectos, también fue tratado por D.Bernoulli, Euler, Simpson y Condorcet, siendo uno
de los resultados más importantes las fórmulas de Bayes publicadas en 1764. Junto a esto
Legendre, Laplace y Gauss elaboraron el método de mínimos cuadrados.
Todo el aparato matemático que permitió desarrollar la teoría de probabilidades está
extraído del análisis combinatorio, disciplina iniciada por Leibniz y Ja. Bernoulli.
Posteriormente se introdujo la teoría de límites disminuyendo el peso específico de los
métodos combinatorios.