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Tema 3.A. Problemas de Variables aleatorias:
Problema 3.A.1
La resistencia R2 en el circuito de la figura se elige aleatoriamente de una caja que contiene
las siguientes resistencias; 180 Ω, 470 Ω, 1000 Ω y 2200 Ω. Todas las resistencias tienen la
misma probabilidad de ser seleccionadas. Con estas condiciones, el voltaje V2 es una variable
aleatoria.
1) ¿Es V1 una variable aleatoria discreta o continua?
2) Que valores toma V1 y hallar sus probabilidades.
3) Hallar Esperanza E(V1), de V1
R1=880Ω
12
R2
V1
Problema 3.A.2
Una variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad dada por:
 1
cos( x) − π / 2 ≤ x ≤ π / 2
f X ( x) =  2
 0
otros valores
Hallar el valor esperado de g(X)=4X2
Problema 3.A.3
Supongamos que un voltaje V se puede caracterizar estadísticamente como una variable
aleatoria Gaussiana de media cero y varianza 9. Este voltaje se aplica a un rectificador de
onda completa cuya función de transferencia esta dada por Y=5X2 , en donde X representa la
entrada y Y la salida.
Calcular el valor esperado del voltaje de salida cuando se aplica a la entrado el voltaje V
Problema 3.A.4
La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias X e Y, esta dada por:
f XY ( x, y ) = 0.1δ ( x)δ ( y ) + 0.12δ ( x − 4)δ ( y ) + 0.05δ ( x)δ ( y − 1) + 0.25δ ( x − 2)δ ( y − 1) +
0.3δ ( x − 2)δ ( y − 3) + 0.18δ ( x − 4)δ ( y − 3)
1) Calcular las funciones de densidad de probabilidad marginales de X e Y. Dibujarlas.
2) Calcular E(X), E(Y), E(X2), E(Y2),E(XY)
3) ¿Son X e Y ortogonales?
4) ¿Son incorreladas?
Problema 3.A.5
1.- Una fuente de información genera ‘0’ y ‘1’ con probabilidades 0.3 y 0.7 respectivamente.
La salida de la fuente es transmitida a través de un canal BSC (Binary State Channel):
X
Y
0.8
‘0’
‘0’
0.2
‘1’
0.2
‘1’
0.8
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que se observe un ‘1’ a la salida del canal?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya transmitido un ‘1’ si se observa un ‘1’ a la
salida del canal?
Problema 3.A.6
Una moneda se tira tres veces , y la variable aleatoria X da el número de caras que aparecen
en el experimento. Supongamos que p representa la probabilidad de que salga cara cuando se
lanza la moneda (una vez).
a) ¿Qué valores puede tomar la variable aleatoria?
b) Determinar la función de densidad de X.
c) Calcular y dibujar la función de distribución de X.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 1?
Problema 3.A.7
Una variable aleatoria X tiene la siguiente función de distribución. FX ( x ) ,
 0
1
FX ( x ) =  x
2
 k
x<0
0 ≤ x <1
x ≥1
a. ¿Qué valor tiene k?
b. ¿Qué tipo de variable aleatoria es? (continua, discreta o mezcla)
1

c. ¿Cuál es la probabilidad del evento  < X ≤ 1 ?
2

1

d. ¿Cuál es la probabilidad del evento  < X < 1 ?
2

e. ¿Cuál es la probabilidad del evento {2 < X } ?
Problema 3.A.8
Dos variables aleatorias, X e Y, tienen como función de densidad conjunta :
ke − x e − y x ≥ y ≥ 0
f X ,Y ( x, y ) = 
0 resto

f. Encontrar el valor de k
g. Hallar las funciones de densidad marginales f X ( x ) y f Y ( y )
h. ¿Son X e Y independientes?
i. Hallar f X Y (x y )
j. Hallar E ( X Y = y )
e) Las variables aleatorias X e Y tienen como función de densidad conjunta:
 k −x

f X ,Y ( x, y ) = π e

0
2
+ y2
2
x⋅ y ≥ 0
x⋅ y < 0
a. Encontrar k
b. Demostrar que X es gaussiana, e Y también
c. Demostrar que X e Y no son conjuntamente gaussianas
d. ¿Son v.a. independientes?
e. ¿Son v.a incorreladas?