Download 6. Principales leyes de distribución de variables aleatorias

6. Principales leyes de distribución de
variables aleatorias
6.2 Introducción
Como complemento al capítulo anterior en el que definimos todos los conceptos
relativos a variables aleatorias, describimos en éste las principales leyes de probabilidad
que encontramos en las aplicaciones del cálculo de probabilidades. Atendiendo a la
clasificación de las v.a. en discretas y continuas describiremos las principales leyes de
probabilidad de cada una de ellas, las cuales constituirán el soporte subyacente de la
inferencia estadística y a las que será necesario hacer referencia en el estudio de dicho
bloque. Iniciamos este capítulo con el estudio de las distribuciones para v.a. discretas.
6.4 Distribuciones discretas
6.4.2 Distribución de Bernoulli
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso
ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea
(fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que
únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o
fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o
histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del
resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta Xque
toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota
Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al
aire y considerar la v.a.
Para una v.a. de Bernouilli, tenemos que su función de probabilidad es:
y su función de distribución:
Su función característica es:
Los principales momentos de la X los podemos calcular directamente
o bien usando la función característica y la proposición de la página
:
6.4.2.1 Observación
En este caso tan simple no se aprecia la ventaja de usar la función característica en el
cálculo de momentos, pero en las próximas leyes de probabilidad que son más
complicadas, esta ventaja se hará manifiesta.
6.4.4 Distribución binomial
Se dice que una v.a. X sigue una ley binomial de parámetros n y p,
la suma de n v.a. independientes de Bernouilli con el mismo parámetro, p:
, si es
Esta definición puede interpretarse en el siguiente sentido: Supongamos que realizamos
n pruebas de Bernouilli, Xi, donde en todas ellas, la probabilidad de éxito es la misma
(p), y queremos calcular el número de éxitos, X, obtenidos el el total de las n pruebas.
Su ley de probabilidad es6.1 En la Figura 6.1 se representa la función de probabilidad de
una variable binomial.
Figura: Función de probabilidad de una variable binomial
cunado n es pequeño.
Figura: Función de probabilidad de una variable binomial
cuando n es grande.
Por tanto, su función de distribución es
El modo más simple de calcular la función característica nos lo da el teorema de la
página , que afirma que la función característica de la suma de variables
independientes es el producto de las funciones características de estas:
Los principales momentos de X los calculamos más fácilmente a partir de
página 5) que de su propia definición:
6.4.4.1 Ejemplo
(prop.
Un médico aplica un test a 10 alumnos de un colegio para detectar una enfermedad cuya
incidencia sobre una población de niños es del
. La sensibilidad del test es del
y la especificidad del
. ¿Cual es la probabilidad de que exactamente a cuatro
personas le de un resultado positivo? Si en la muestra hay cuatro personas a las que el
test le da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que entre estas, exactamente dos estén
sanas? Calcular la probabilidad de que el test suministre un resultado incorrecto para
dos personas. Calcular la probabilidad de que el resultado sea correcto para más de 7
personas.
Solución:
Los datos de que disponemos son:
donde E, T+, y T- tienen el sentido que es obvio. Si queremos saber a cuantas personas el
test le dará un resultado positivo, tendremos que calcular
, para lo que podemos
usar el teorema de la probabilidad total (estar enfermo y no estarlo forman una
colección exhaustiva y excluyente de sucesos):
Sea X1 la v.a. que contabiliza el número de resultados positivos. Es claro que llamando
, se tiene que X sigue una distribución binomial
Por ello la probabilidad de que a cuatro personas le de el resultado del test positivo es:
Si queremos calcular a cuantas personas les dará el test un resultado positivo aunque en
realidad estén sanas, hemos de calcular previamente
predictivo de falsos positivos:
, o sea, el índice
Es importante observar este resultado. Antes de hacer los cálculos no era previsible que
si a una persona el test le da positivo, en realidad tiene una probabilidad
aproximadamente del
de estar sana. Sea X2 la variable aleatoria que contabiliza al
número de personas al que el test le da positivo, pero que están sanas en realidad.
Entonces
y
Por último vamos a calcular la probabilidad p3 de que el test de un resultado erróneo,
que es:
La variable aleatoria que contabiliza el número de resultados erróneos del test es
Como la probabilidad de que el test sea correcto para más de siete personas, es la de que
sea incorrecto para menos de 3, se tiene
6.4.6 Distribución geométrica ( o de fracasos)
Consideramos una sucesión de v.a. independientes de Bernouilli,
Una v.a. X sigue posee una distribución geométrica,
, si esta es la suma
del número de fracasos obtenidos hasta la aparición del primer éxito en la sucesión
. Por ejemplo
De este modo tenemos que la ley de probabilidad de X es
6.4.6.1 Observación
Es sencillo comprobar que realmente f es una ley de probabilidad, es decir,
. Para ello basta observar que la sucesión
es una progresión
geométrica de razón q, a la que podemos aplicar su fórmula de sumación:
6.4.6.2 Observación
En la distribución geométrica el conjunto de posibles valores que puede tomar la
variable ( ) es infinito numerable, mientras que en la de Bernouilli y en la binomial,
estos eran en número finito.
La función característica se calcula teniendo en cuenta que de nuevo aparece la
sumación de los términos de una progresión geométrica, pero esta vez de razón eit q:
La media y varianza de esta variable aleatoria son:
6.4.6.3 Ejemplo
Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento
de una hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá
el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres hijos o más.
Solución: Este es un ejemplo de variable geométrica. Vamos a suponer que la
probabilidad de tener un hijo varón es la misma que la de tener una hija hembra. Sea X
la v.a.
Es claro que
Sabemos que el número esperado de hijos varones es
número esperado en total entre hijos varones y la niña es 2.
, por tanto el
La probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres o más hijos, es la de que tenga 2 o
más hijos varones (la niña está del tercer lugar en adelante), es decir,
Hemos preferido calcular la probabilidad pedida mediante el suceso complementario, ya
que sería más complicado hacerlo mediante la suma infinita
6.4.6.4 Observación
La distribución exponencial también puede ser definida como el número de pruebas
realizadas hasta la obtención del primer éxito (como hubiese sido más adecuado en el
ejemplo anterior). En este caso es un ejercicio sencillo comprobar que X sólo puede
tomar valores naturales mayores o iguales a 1, y que:
6.4.8 Distribución binomial negativa
Sobre una sucesión de v.a. de Bernouilli independientes,
se define la v.a. X como el número de fracasos obtenidos hasta la aparición de r éxitos
en la sucesión
. En este caso se dice que X sigue una ley de distribución
binomial negativa de parámetros r y p y se denota del modo:
probabilidad se deduce siguiendo el esquema:
=1mm
Es decir,
De nuevo, el conjunto de posibles valores de esta v.a. discreta es
.
Su función característica es
y sus momentos más importantes los obtenemos derivando esta última:
. Su ley de
6.4.8.1 Ejemplo
Para tratar a un paciente de una afección de pulmón han de ser operados en operaciones
independientes sus 5 lóbulos pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si todo va bien,
lo que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda definitivamente sano, pero si no
es así se deberá esperar el tiempo suficiente para intentarlo posteriormente de nuevo. Se
practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5lóbulos funcionen correctamente. ¿Cuál es el
valor esperado de intervenciones que se espera que deba padecer el paciente? ¿Cuál es
la probabilidad de que se necesiten 10 intervenciones?
Solución: Este es un ejemplo claro de experimento aleatorio regido por una ley
binomial negativa, ya que se realizan intervenciones hasta que se obtengan 4 lóbulos
sanos, y éste es el criterio que se utiliza para detener el proceso. Identificando los
parámetros se tiene:
Lo que nos interesa es medir el número de intervenciones, Y, más que el número de
éxitos hasta el r-ésimo fracaso. La relación entre ambas v.a. es muy simple:
Y=X+r
Luego
Luego el número esperado de intervenciones que deberá sufrir el paciente es de 11. La
probabilidad de que el número de intervenciones sea Y=10, es la de que X=10-4=6. Por
tanto:
6.4.8.2 Observación
La distribución binomial negativa también se puede definir como el número de pruebas
hasta la aparición de r éxitos. Como el número de pruebas contabiliza tanto los éxitos
como los fracasos se tendría según ésta definición que
6.4.10 Distribución hipergeométrica
Por claridad, consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos una baraja de cartas
españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10
naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una
vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de
que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción. La respuesta a este problema es
En lugar de usar como dato D es posible que tengamos la proporción existente, p, entre
el número total de oros y el número de cartas de la baraja
de modo que podemos decir que
Este ejemplo sirve para representar el tipo de fenómenos que siguen una ley de
distribución hipergeométrica. Diremos en general que una v.a. X sigue una distribución
hipergeométrica de parámetros, N, n y p, lo que representamos del modo
, si su función de probabilidad es
6.4.10.1 Observación
Cuando el tamaño de la población (N) es muy grande, la ley hipergeométrica tiende a
aproximarse a la binomial:
El valor esperado de la hipergeométrica es el mismo que el de la binomial,
sin embargo su varianza
no es exactamente la de la binomial, pues está corregida por un factor,
, que tiende
a 1 cuando
. A este factor se le denomina factor de corrección para población
finita.
6.4.12 Distribución de Poisson (o de los sucesos raros)
Una v.a. X posee una ley de distribución de probabilidades del tipo Poisson cuando
Este tipo de leyes se aplican a sucesos con probabilidad muy baja de ocurrir,
obteniéndose como la distribución límite de una sucesión de variable binomiales,
, donde
,y
La demostración de esto consiste en
(por tanto
).
En general utilizaremos la distribución de Poisson como aproximación de experimentos
binomiales donde el número de pruebas es muy alto, pero la probabilidad de éxito muy
baja. A veces se suele utilizar como criterio de aproximación:
La ley de Poisson la podemos encontrar tabulada en la tabla número 2, para ciertos
valores usuales de .
La función característica de
es
de lo que se deduce que valor esperado y varianza coinciden
6.4.12.1 Ejemplo
Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la
probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con
dicha enfermedad. Calcular el número esperado de habitantes que la padecen.
Solución: Si consideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen
la enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser muy bien
aproximado por un modelo de Poisson, de modo que
Así el número esperado de personas que padecen la enfermedad es
. Como
, existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad
hay muchas más personas o menos que están enfermas. La probabilidad de que haya
más de tres personas enfermas es:
6.6 Reproductividad de familias de v.a.
Las variables aleatorias relacionadas entre si por uno o más parámetros mediante f, o lo
que es equivalente según el teorema de Fourier (página ), mediante su función
característica, las hemos agrupado en familias de v.a. que hemos denotado de modo
genérico
. Para cualquier tipo de familia de v.a.
reproductiva respecto al parámetro p, si al considerar
donde
misma familia, pero con parámetro
, diremos que esta
independientes,
se tiene que la suma de todas ellas es una v.a. de la
Por ejemplo
no es reproductiva con respecto a p, ya que la suma de dos v.a. de
esa familia no sigue una distribución de Bernouilli. Sin embargo la familia
es con respecto al parámetro , ya que
lo
Un modo sencillo de ver si una familia de distribuciones es reproductiva con respecto a
algún parámetro es analizar su función característica utilizando el teorema de la página
. Por ejemplo el mismo resultado se puede obtener para la distribución binomial
teniendo en cuenta que
Utilizando el mismo argumento, tenemos que otra distribuciones reproductiva es
.
6.8 Distribuciones continuas
En esta sección estudiaremos las distribuciones más importantes de v.a. continuas
unidimensionales. El soporte de una v.a. continua se define como aquella región de
donde su densidad es no nula,
. Para las distribuciones que enunciaremos,
podrá ser bien todo
o bien un segmento de la forma
,
.
6.8.2 Distribución uniforme o rectangular
Se dice que una v.a. X posee una distribución uniforme en el intervalo [a,b],
si su función de densidad es la siguiente:
Con esta ley de probabilidad, la probabilidad de que al hacer un experimento aleatorio,
el valor de X este comprendido en cierto subintervalo de [a,b] depende únicamente de la
longitud del mismo, no de su posición. Cometiendo un pequeño abuso en el lenguaje,
podemos decir que en una distribución uniforme la probabilidad de todos los puntos del
soporte es la misma 6.2.
Teniendo en cuenta que si
,
la función de distribución de
es:
Figura: Función de densidad y de distribución de
La función característica es
Como esta distribución es muy simple, vamos a calcular sus momentos más usuales
directamente a partir de la definición, en lugar de usar la función característica:
6.8.4 Distribución exponencial
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica
discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:


Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,
el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra
en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no
ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:



El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento
de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la
datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono
14, C14;
El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de
un paciente;
En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a
intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos
sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo,
el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de
de densidad es
, es tal que su función
se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro
,
.
Figura: Función de densidad, f, de una
.
Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,
luego la función de distribución es:
Figura: Función de distribución, F, de
, calculada como el área que
deja por debajo de sí la función de densidad.
Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos
en primer lugar la función característica
para después, derivando por primera vez
y derivando por segunda vez,
Entonces la varianza vale
6.8.4.1 Ejemplo
En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de
. Sabiendo que la
duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán
hasta que haya desaparecido el
de este material?
Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de
distribución exponencial:
es una v.a. de
Como el número de átomos de
existentes en una muestra de 10 gramos es
enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de
desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la
curva de densidad, f. Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas
debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo
que transcurre hasta que el
del material radiactivo se desintegra es el percentil 90,
t90, de la distribución exponencial, es decir
Figura: Como el número de átomos (observaciones) es extremadamente alto en
10 gramos de materia, el histograma puede ser aproximado de modo excelente por
la función de densidad exponencial, y el polígono de frecuencias acumuladas por la
función de distribución.
6.8.4.2 Ejemplo
Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una
distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una
persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes
de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente,
¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de
años?
Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una
persona. Tenemos que
Entonces
En segundo lugar
Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,
o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que
en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución
exponencial no tiene memoria".
6.8.6 Distribución normal o gaussiana
La distribución gaussiana, recibe también el nombre de distribución normal, ya que una
gran mayoría de las v.a continuas6.3 de la naturaleza siguen esta distribución. Se dice
que una v.a. X sigue una distribución normal de parámetros
representamos del modo
6.8.6.1 Observación
6.4
y
, lo que
si su función de densidad es:
Estos dos parámetros y
coinciden además con la media (esperanza) y la varianza
respectivamente de la distribución como se demostrará más adelante6.5:
La forma de la función de densidad es la llamada campana de Gauss.
Figura: Campana de Gauss o función de densidad de una v.a. de distribución normal. El área contenida
entre la gráfica y el eje de abcisas vale 1.
Para el lector es un ejercicio interesante comprobar que ésta alcanza un único máximo
(moda) en
, que es simétrica con respecto al mismo, y por tanto
, con lo cual en coinciden la media, la mediana y la
moda, y por último,calcular sus puntos de inflexión.
El soporte de la distribución es todo , de modo que la mayor parte de la masa de
probabilidad (área comprendida entre la curva y el eje de abcisas) se encuentra
concentrado alrededor de la media, y las ramas de la curva se extienden asintóticamente
a los ejes, de modo que cualquier valor ``muy alejado" de la media es posible (aunque
poco probable).
La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros
y
:

indica la posición de la campana (parámetro de centralización);
Figura: Distribuciones gaussianas con diferentes medias e igual dispersión.

(o equivalentemente, ) será el parámetro de dispersión. Cuanto menor sea,
mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de la
media (grafo de f muy apuntado cerca de
aplastado" será.
) y cuanto mayor sea ``más
Figura: Distribuciones gaussianas con igual media pero varianza diferente.
La función característica de la distribución normal, se comprueba más adelante que es
Como consecuencia, la distribución normal es reproductiva con respecto a los
parámetros
,y
, ya que
6.8.6.2 Observación
Como se ha mencionado anteriormente, la ley de probabilidad gaussiana la encontramos
en la mayoría de los fenómenos que observamos en la naturaleza, por ello gran parte de
lo que resta del curso lo vamos a dedicar a su estudio y a el de las distribuciones
asociadas a ella. Sin embargo, a pesar de su utilidad, hay que apuntar un hecho negativo
para esta ley de probabilidad:
La función
no posee primitiva6.6 conocida6.7.
Las consecuencias desde el punto de vista práctico son importantes, ya que eso impide
el que podamos escribir de modo sencillo la función de distribución de la normal, y nos
tenemos que limitar a decir que:
sin poder hacer uso de ninguna expresión que la simplifique. Afortunadamente esto no
impide que para un valor de xfijo, F(x) pueda ser calculado. De hecho puede ser
calculado con tanta precisión (decimales) como se quiera, pero para esto se necesita usar
técnicas de cálculo numérico y ordenadores. Para la utilización en problemas prácticos
de la función de distribución F, existen ciertas tablas donde se ofrecen (con varios
decimales de precisión) los valores F(x) para una serie limitada de valores xi dados.
Normalmente F se encuentra tabulada para una distribución Z, normal de media 0 y
varianza 1 que se denomina distribución normal tipificada:
En el caso de que tengamos una distribución diferente
haciendo el siguiente cambio:
De manera general se tiene6.8:
6.8.6.3 Proposición (Cambio de origen y escala)
Sean
. Entonces
, se obtiene Z
Este resultado puede ser utilizado del siguiente modo: Si
calcular
, y nos interesa
,
1.
Hacemos el cambio
y calculamos
;
2.
Usamos la tabla 3, relativa a la distribución
aproximado)
para obtener (de modo
;
3.
Como
tenemos que el valor obtenido en la tabla, FZ(z) es la probabilidad buscada.
6.8.6.4 Ejemplo
Supongamos que cierto fenómeno pueda ser representado mediante una v.a.
, y queremos calcular la probabilidad de que Xtome un valor entre 39 y
48, es decir,
Comenzamos haciendo el cambio de variable
de modo que
Vamos ahora a demostrar algunas de las propiedades de la ley gaussiana que hemos
mencionado anteriormente.
6.8.6.5 Proposición
Sea
. Entonces
Demostración
Por ser la normal una ley de probabilidad se tiene que
es decir, esa integral es constante. Con lo cual, derivando la expresión anterior con
respecto a
se obtiene el valor 0:
luego
.
Para demostrar la igualdad entre la
pero esta vez derivando con respecto a
y
, basta con aplicar la misma técnica,
:
Luego
Para demostrar el resultado relativo a la función característica, consideramos en primer
lugar la v.a. tipificada de X,
y calculamos
Como
, por la proposición 5 deducimos que
6.8.6.6 Aproximación a la normal de la ley binomial
Se puede demostrar (teorema central del límite) que una v.a. discreta con distribución
binomial,
se puede aproximar mediante una distribución normal si n es
suficientemente grande y p no está ni muy próximo a 0 ni a 1. Como el valor esperado y
la varianza de X son respectivamente
y
, la aproximación consiste en decir que
. El convenio que se suele utilizar para poder realizar esta
aproximación es:
aunque en realidad esta no da resultados muy precisos a menos que realmente nsea un
valor muy grande o
. Como ilustración obsérvense las figuras 6.10 y 6.11.
Figura: Comparación entre la función de densidad de una v.a. continua
con distribución
de distribución
y el diagrama de barras de una v.a. discreta
para casos en que la aproximación normal de la
binomial es válida. Es peor esta aproximación cuando p está próximo a los
bordes del intervalo [0,1].
Figura: La misma comparación que en la figura anterior, pero realizada
con parámetros con los que damos la aproximación normal de la binomial es
mejor.
6.8.6.7 Ejemplo
Durante cierta epidemia de gripe, enferma el
de la población. En un aula con 200
estudiantes de Medicina, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 padezcan la
enfermedad? Calcular la probabilidad de que haya 60 estudiantes con gripe.
Solución: La v.a. que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es
cuya media es
y su varianza es
. Realizar los cálculos
con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen números combinatorios de
gran tamaño, y potencias muy elevadas. Por ello utilizamos la aproximación normal de
X, teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea
aceptable:
Así aproximando la v.a. discreta binomial X, mediante la v.a. continua normal XN
tenemos:
También es necesario calcular
como:
. Esta probabilidad se calcula exactamente
Dada la dificultad numérica para calcular esa cantidad, y como la distribución binomial
no está habitualmente tabulada hasta valores tan altos, vamos a utilizar su aproximación
normal, XN. Pero hay que prestar atención al hecho de que XN es una v.a. continua, y por
tanto la probabilidad de cualquier punto es cero. En particular,
lo que ha de ser interpretado como un error de aproximación. Hay métodos más
aproximados para calcular la probabilidad buscada. Por ejemplo, podemos aproximar
por el valor de la función de densidad de XN en ese punto (es en el único
sentido en que se puede entender la función de densidad de la normal como una
aproximación de una probabilidad). Así:
Por último, otra posibilidad es considerar un intervalo de longitud 1centrado en el valor
60 del que deseamos hallar su probabilidad y hacer:
6.8.6.8 Ejemplo
Según un estudio, la altura de los varones de cierta ciudad es una v.a. X, que podemos
considerar que se distribuye según una ley gaussiana de valor esperado
y
desviación típica
. Dar un intervalo para el que tengamos asegurado que el
de los habitantes de la ciudad estén comprendidos en él.
Solución: Tenemos que
. Si buscamos un intervalo donde
estar seguros de que el
de los habitantes tengan sus alturas comprendidas en él hay
varias estrategias posibles:
1.
Podemos tomar el percentil 50, ya que este valor deja por debajo suya a la mitad,
0,5, de la masa de probabilidad. Este valor, x0,5, se definiría como:
donde
El valor z0,5 lo podemos buscar en la tabla 3 (distribución
) y se obtiene
Por tanto podemos decir que la mitad de la población tiene una altura inferior a
. Este resultado era de esperar, ya que en la distribución es
simétrica y habrá una mitad de individuos con un peso inferior a la media y otro
con un peso superior (figura 6.12). Esto puede escribirse como:
El
de la población tiene un peso comprendido en el intervalo
.
Figura: Intervalo donde tenemos asegurado que el 50% de la población tiene un peso comprendido en él.
Como se observa, no es un tamaño óptimo, en el sentido de que el intervalo es demasiado grande (longitud
infinita a la izquierda).
2.
Análogamente podemos considerar el percentil 50, y tomar como intervalo
aquellos pesos que lo superan. Por las mismas razones que en el problema
anterior, podremos decir:
El
de la población tiene un peso comprendido en el intervalo
.
3.
Los anteriores intervalos, aún dando un resultado correcto, no son satisfactorios
en el sentido de que son muy grandes, y no tienen en cuenta la simetría de la
distribución normal para tomar un intervalo cuyo centro sea . Vamos a utilizar
entonces otra técnica que nos permita calcular el intervalo centrado en la media,
y que además será el más pequeño posible que contenga al
de la población.
Para ello observamos que la mayor parte de probabilidad está concentrada
siempre alrededor de la media en las leyes gaussianas. Entonces podemos tomar
un intervalo que contenga un
próximo a la media, y un
de probabilidad del lado izquierdo más
del derecho (figura 6.13).
Figura: Intervalo donde tenemos asegurado que el 50% de la población tiene un peso comprendido en él.
En este caso el intervalo es más pequeño que el anterior y está centrado en
.
Esto se puede describir como el intervalo
donde x0,25 es el valor que deja por debajo de sí al
de la masa de
probabilidad y x0,75 el que lo deja por encima (o lo que es lo mismo, el que deja
por debajo al
de las observaciones). Del mismo modo que antes estos
valores pueden ser buscados en una tabla de la distribución normal, tipificando
en primera instancia para destipificar después:
donde
En una tabla encontramos el valor z0,75, y se destipifica:
Análogamente se calcularía
donde
Por la simetría de la distribución normal con respecto al origen, tenemos que
z0,25= - z0,75.Luego
En conclusión:
El
de la población tiene un peso comprendido en el intervalo
[168,25,181,75].
De entre los tres intervalos que se han calculado el que tiene más interés es el último, ya
que es simétrico con respecto a la media, y es el más pequeño de todos los posibles
(más preciso). Este ejemplo es en realidad una introducción a unas técnicas de
inferencia estadística que trataremos posteriormente, conocidas con el nombre de
``estimación confidencial'' o ``cálculo de intervalos de confianza''.
6.8.8 Distribución
, la v.a. X=Z2 se distribuye según una ley de
Si consideramos una v.a.
probabilidad distribución
con un grado de libertad, lo que se representa como
Si tenemos n v.a. independientes
, la suma de sus cuadrados respectivos es
una distribución que denominaremos ley de distribución
.
La media y varianza de esta variable son respectivamente:
y su función de densidad es:
con n grados de libertad,
Los percentiles de esta distribución que aparecen con más frecuencia en la práctica los
podemos encontrar en la tabla 5.
Figura: Función de densidad de
Figura: Función de densidad de
para valores pequeños de n.
para valores grandes de n.
En consecuencia, si tenemos
, v.a. independientes, donde cada
, se tiene
6.8.8.1 Observación
La ley de distribución
muestra su importancia cuando queremos determinar la
variabilidad (sin signo) de cantidades que se distribuyen en torno a un valor central
siguiendo un mecanismo normal. Como ilustración tenemos el siguiente ejemplo:
6.8.8.2 Ejemplo
Un instrumento para medir el nivel de glucemia en sangre, ofrece resultados bastantes
aproximados con la realidad, aunque existe cierta cantidad de error que se distribuye
de modo normal con media 0 y desviación típica
.
Se realizan mediciones de los niveles de glucemia dados por el instrumento en un grupo
de n=100 pacientes. Nos interesa medir la cantidad de error que se acumula en las
mediciones de todos los pacientes. Podemos plantear varias estrategias para medir los
errores acumulados. Entre ellas destacamos las siguientes:
1.
Definimos el error acumulado en las mediciones de todos los pacientes como
¿Cuál es el valor esperado para E1?
2.
Definimos el error acumulado como la suma de los cuadrados de todos los
errores (cantidades positivas):
¿Cuál es el valor esperado para E2?
A la vista de los resultados, cuál de las dos cantidades, E1 y E2, le parece más
conveniente utilizar en una estimación del error cometido por un instrumento.
Solución:
Suponiendo que todas las mediciones son independientes, se tiene que
De este modo, el valor esperado para E1 es 0, es decir, que los errores ei van a tender a
compensarse entre unos pacientes y otros. Obsérvese que si
no fuese conocido a
priori, podríamos utilizar E1, para obtener una aproximación de
Sin embargo, el resultado E1 no nos indica en qué medida hay mayor o menor
dispersión en los errores con respecto al 0. En cuanto a E2 podemos afirmar lo siguiente:
En este caso los errores no se compensan entre sí, y si
``estimado" de modo aproximado mediante
no fuese conocido, podría ser
Sin embargo, no obtenemos ninguna información con respecto a
.
En conclusión, E1 podría ser utilizado para calcular de modo aproximado , y E2 para
calcular de modo aproximado
. Las dos cantidades tienen interés, y ninguna lo tiene
más que la otra, pues ambas formas de medir el error nos aportan información.
El siguiente resultado será de importancia más adelante. Nos afirma que la media de
distribuciones normales independientes es normal pero con menor varianza y relaciona
los grados de libertad de una v.a. con distribución
varianza (página ):
, con los de un estadístico como la
6.8.8.3 Teorema (Cochran)
Sean
v.a. independientes. Entonces
6.8.10 Distribución de Student
La distribución -Student se construye como un cociente entre una normal y la raíz de
una
independientes. De modo preciso, llamamos distribución t-Student con n
grados de libertad,
donde
,
v.a. independientes
a la de una v.a. T,
. Este tipo de distribuciones aparece cuando tenemos n+1
y nos interesa la distribución de
La función de densidad de
es
Figura: Función de densidad de una de Student
La distribución de Student tiene propiedades parecidas a


:
Es de media cero, y simétrica con respecto a la misma;
Es algo más dispersa que la normal, pero la varianza decrece hasta 1 cuando el
número de grados de libertad aumenta;
Figura: Comparación entre las funciones de densidad de
y
.

Para un número alto de grados de libertad se puede aproximar la distribución de
Student por la normal, es decir,
Figura: Cuando aumentan los grados de libertad, la distribución de Student se aproxima a la
distribución normal tipificada.

Para calcular
en lugar de considerar una primitiva de esa función y determinar la integral
definida, buscaremos el resultado aproximado en una tabla de la distribución
. Véase la tabla 4, al final del libro.
6.8.12 La distribución de Snedecor
Otra de la distribuciones importantes asociadas a la normal es la que se define como
cociente de distribuciones
independientes. Sean
independientes. Decimos entonces que la variable
e
v.a.
sigue una distribución de probabilidad de Snedecor, con (n,m) grados de libertad.
Obsérvese que
.
La forma más habitual en que nos encontraremos esta distribución será en el caso en
que tengamos n+m v.a. independientes
y así
De esta ley de probabilidad lo que más nos interesa es su función de distribución:
y para ello, como en todas las distribuciones asociadas a la normal, disponemos de una
tabla (la número 6) donde encontrar aproximaciones a esas cantidades
Figura: Función de densidad de
.
Es claro que la distribución de Snedecor no es simétrica, pues sólo tienen densidad de
probabilidad distinta de cero, los punto de
. Otra propiedad interesante de la
distribución de Snedecor es:
6.10 Problemas
Ejercicio 6..1. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica se inyectan
ratas albinas con un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En
general, 4 de cada 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento
haya concluido. Si se trata a 10 animales con el fármaco, ¿cuál es la probabilidad de que
al menos 8 lleguen vivas al final del experimento?
Ejercicio 6..2. En una cierta población se ha observado un número medio anual de
muertes por cáncer de pulmón de 12. Si el número de muertes causadas por la
enfermedad sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que durante
el año en curso:
1.
Haya exactamente 10 muertes por cáncer de pulmón?
2.
15 o más personas mueran a causa de la enfermedad?
3.
10 o menos personas mueran a causa de la enfermedad?
Ejercicio 6..3. Dañando los cromosomas del óvulo o del espermatozoide, pueden
causarse mutaciones que conducen a abortos, defectos de nacimiento, u otras
deficiencias genéticas. La probabilidad de que tal mutación se produzca por radiación es
del 10%. De las siguientes 150 mutaciones causadas por cromosomas dañados, ¿cuántas
se esperaría que se debiesen a radiaciones? ¿Cuál es la probabilidad de que solamente
10 se debiesen a radiaciones?
Ejercicio 6..4. Entre los diabéticos, el nivel de glucosa en sangre X, en ayunas, puede
suponerse de distribución aproximadamente normal, con media 106 mg/100 ml y
desviación típica 8 mg/100 ml, es decir
1.
Hallar
2.
¿Qué porcentaje de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 90 y 120 ?
3.
Hallar
.
4.
Hallar
.
5.
Hallar el punto x caracterizado por la propiedad de que el 25% de todos los
diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior o igual a x.
Ejercicio 6..5. Una prueba de laboratorio para detectar heroína en sangre tiene un 92%
de precisión. Si se analizan 72 muestras en un mes, ¿cuál es la probabilidad de que:
1.
60 o menos estén correctamente evaluadas?
2.
menos de 60 estén correctamente evaluadas?
3.
exactamente 60 estén correctamente evaluadas?
Ejercicio 6..6. El 10% de las personas tiene algún tipo de alergia. Se seleccionan
aleatoriamente 100 individuos y se les entrevista. Hallar la probabilidad de que, al
menos, 12 tengan algún tipo de alergia. Hallar la probabilidad de que, como máximo, 8
sean alérgicos a algo.
Ejercicio 6..7. La probabilidad de muerte resultante del uso de píldoras anticonceptivas
es de 3/100.000. De 1.000.000 de mujeres que utilizan este medio de control de
natalidad:
1.
¿Cuántas muertes debidas a esta causa se esperan?
2.
¿Cuál es la probabilidad de que haya, como máximo, 25 de estas muertes?
3.
¿Cuál es la probabilidad de que el número de muertes debidas a esta causa esté
entre 25 y 35, inclusive?
Ejercicio 6..8. La probabilidad de presentar una característica genética es de 1/20.
1.
Tomando una muestra de 8 individuos, calcular la probabilidad de que 3
individuos presenten la característica.
2.
Tomando una muestra de 80 personas, ¿cuál será la probabilidad de que
aparezcan más de 5 individuos con la característica?
Ejercicio 6..9. Se supone que en una cierta población humana el índice cefálico i,
(cociente entre el diámetro transversal y el longitudinal expresado en tanto por ciento),
se distribuye según una Normal. El 58% de los habitantes son dolicocéfalos (i
75), el
38% son mesocéfalos (75 < i 80) y el 4% son braquicéfalos (i > 80). Hállese la media
y la desviación típica del índice cefálico en esa población.
Ejercicio 6..10. Se supone que la glucemia basal en individuos sanos, Xs sigue una
distribución
mientras que en los diabéticos Xd, sigue una distribución
Si se conviene en clasificar como sanos al 2% de los diabéticos:
1.
¿Por debajo de qué valor se considera sano a un individuo? ¿Cuántos sanos
serán clasificados como diabéticos?
2.
Se sabe que en la población en general el 10% de los individuos son diabéticos
¿cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar y diagnosticado
como diabético, realmente lo sea?
Ejercicio 6..11. Supóngase que se van a utilizar 20 ratas en un estudio de agentes
coagulantes de la sangre. Como primera experiencia, se dio un anticoagulante a 10 de
ellos, pero por inadvertencia se pusieron todas sin marcas en el mismo recinto. Se
necesitaron 12 ratas para la segunda fase del estudio y se les tomó al azar sin
reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que de las 12 elegidas 6 tengan la droga y
6 no la tengan?