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APÉNDICE MATEMÁTICO TEMA 3
Este apéndice tiene como objetivo mostrar el paso de la relación OA vista en el tema 2
(donde el nivel de precios de la economía depende de la tasa efectiva de paro) a una nueva
relación OA donde la tasa de inflación de la economía depende de la tasa efectiva de paro
Pt = Pte (1 + µ )(1 − λut + z)
π t = π te + (µ + z) − λut
Partimos de la función de OA vista en el tema 2 y expresada en función de la tasa efectiva de
paro:
Pt = Pte (1 + µ )(1 − λut + z)
(1)
Dividimos ambos miembros de la expresión (1) por Pt −1
Pt
Pte
=
(1 + µ )(1 − λu t + z)
Pt −1 Pt −1
Dado que
(2)
Pt
P − Pt−1
−1+1 = t
+1 = πt +1
Pt −1
Pt−1
Pte
Pte − Pt −1
−
1
+
1
=
+ 1 = π te + 1
Y también
Pt −1
Pt −1
Sustituimos en (2) y tenemos:
(1 + π t ) = (1 + π te )(1 + µ )(1 − λut + z)
(3)
Reordenando la expresión (3) tenemos que:
(1 + π t )
(1 + π te )(1 + µ )
= (1 − λut + z)
(4)
Recordemos las siguientes aproximaciones matemáticas:
•
(1 + x)(1 + y) ≈ (1 + x + y)
(Ver Proposición 3, pp. 670 Blanchard)
•
(1 + x)
≈ (1 + x − y)
(1 + y)
(Ver Proposición 6, pp. 670 Blanchard)
Utilizamos estas 2 aproximaciones para simplificar el lado izquierdo de la ecuación (4)
(1 + π t )
(1 + π te )(1 + µ )
≈
(1 + π t )
(1 + π te + µ )
(por la proposición 3)
Ahora aplicamos la aproximación matemática de la Proposición 6:
(1 + π t )
(1 + π te
+ µ)
≈ 1 + π t − π te − µ
(por la proposición 6)
Es decir:
(1 + π t )
(1 + π te )(1 + µ )
≈ 1 + π t − π te − µ
Introducimos la aproximación anterior en la expresión (4)
1 + π t − π te − µ = (1 − λut + z )
(5)
Finalmente, reordenando la expresión (5) tenemos:
π t = π te + (µ + z) − λut
Hemos obtenido por tanto una nueva versión de la función de OA vista en el tema 2, donde en
lugar de nivel de precios y nivel de precios esperado, tenemos tasas de inflación y tasas de
inflación esperada.