Download 1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos

CLASE 22: CIRCUNFERENCIA
La circunferencia se define como la figura geométrica cuyo conjunto de puntos del plano que la
componen, están a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia.
Hay que diferenciarlo del círculo, que es el conjunto de todos los puntos del plano que están a
menor distancia de un punto fijo. (centro)
A continuación se identificarán las rectas que cortan o tocan a la circunferencia, así como la que se
encuentra ubicada fuera de la misma.
Recta secante (1) que intercepta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente (2) intercepta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.
Recta exterior (3) no tiene ningún punto de contacto con la circunferencia.
Elementos de la circunferencia:
Radio (AB): segmento que une al centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia.
Cuerda (CD): segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Diámetro (GH): segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo;
se le considera como la cuerda de mayor tamaño que divide al círculo en dos partes congruentes
Arco (LM): parte de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella.
Ángulos y arcos en el círculo
Ángulo Central (<ABC): Ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
Ángulo Inscrito (<DEF) Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son
cuerdas del círculo.
Ángulo semi-inscrito (<GHI) Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados lo
forman una tangente y una secante.
Todo ángulo del centro determina un arco, como vemos en la figura siguiente, entonces decimos
que el ángulo AOB subtiende el arco AB.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Teoremas de la circunferencia
Recordemos las relaciones fundamentales que se cumplen en las circunferencias y que debes
haber demostrado y trabajado en 2° medio.
1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que subtienden el
mismo arco.
<AOC = 2<ABC
2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.
3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad de la medida del
ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.
5. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el
vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
AB  AC
6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos
correspondientes.
 AEB 
AB  CD
2
7. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
correspondientes.
 CAD 
CD  BE
2
Proporcionalidad en la circunferencia
1. Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los
segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la
otra cuerda.
PA  PC = PB  PD
2. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida
de una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra
secante por la medida de su exterior.
PB  PA = PD  PC.
3. Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la
tangente es igual al producto de la medida de la secante por la medida de su exterior.
PC2 = PB  PA