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Lógica Proposicional
Cátedra de Matemática
Abril 2017
¿Qué es la lógica proposicional?
• Es la disciplina que estudia métodos de análisis y razonamiento;
utilizando el lenguaje de las matemáticas como un lenguaje
analítico.
 La lógica proposicional es el estudio del razonamiento a través de
mecanismos que primero evalúa sentencias(o enunciados) simples
y luego sentencias complejas. Este mecanismo determina la
veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de
veracidad asignados a las sentencias simples.
Definiciones
 Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor
asociado, ya sea verdadero o falso.
 La lógica proposicional permiten asignar un valor verdadero o
falso a cada uno de estos enunciados.
Notación: se denotan con letras minúsculas p, q, r, s ó p1, p2,..
 Una forma proposicional es una expresión que contiene una
variable y puede transformarse en proposición si se sustituye
dicha variable por un elemento del conjunto de referencia.
Ejemplo: p(x): x es un estudiante de la FAZ
Definiciones
 Una proposición simple es un enunciado que se refiere a un
hecho único.
Ejemplos:
p: hoy es lunes
q: 3 es un número par
r: la soja es el principal cultivo en argentina
 Una proposición compuesta es la combinación de enunciados
simples mediante el uso de símbolos llamados conectivos
lógicos.
 Ejemplos:
Dos es un número par y primo
Si no llueve entonces voy a ir al cine
Conectivos lógico
Nombre
Símbolo
Proposición
Se lee:
Conjunción
p
q
…y…
… pero …
… aunque …
Disyunción
p
q
… o…
… y/o …
Implicación
p
q
Si … entonces …
Doble implicación
p
q
… sí y solo sí …
Negación
p
No …
No es cierto que …
Tablas de Verdad
 Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla
que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta,
para cada combinación de valores de verdad que se pueda
asignar a sus componentes.
 El número de combinaciones posibles es igual a 2n, siendo n el
número de proposiciones simples intervinientes.
 Si n = 2, tendremos 4 combinaciones.
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
 Si n = 3, tendremos 8 combinaciones.
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Conjunción
 Dadas dos proposiciones simples p y q, se define la conjunción
p q como la proposición compuesta que es verdadera solo si lo
son las dos proposiciones componentes.
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
p
q
Disyunción
 Dadas dos proposiciones simples p y q, se define la disyunción
p q como la proposición compuesta que es verdadera si lo es al
menos una de las proposiciones componentes.
p
q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p
q
Condicional o implicación
 Dadas
dos proposiciones simples p (antecedente) y q
(consecuente), se define la implicación p
q como la
proposición compuesta que es falsa solo cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso.
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p
q
Bicondicional o doble implicación
 Dadas dos proposiciones simples p y q, se define la doble
implicación p
q como la proposición compuesta que es
verdadera si las proposiciones componentes son ambas verdaderas
o ambas falsas.
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p
q
Negación
 Dada una proposición simples p, se define la negación de p ( p)
como la proposición verdadera si p es falsa y falsa si p es
verdadera.
p
p
V
F
F
V
Proposiciones compuestas
 Para resumir, dadas dos proposiciones simples p y q, se
pueden definir las siguientes proposiciones compuestas.
p
q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
p
q
p
q
p
q
p
q
Definiciones
 Las proposiciones compuestas se clasifican en:
 a)Tautología: es una proposición compuesta que es
verdadera independientemente de los valores de verdad de
las proposiciones simples que la componen.
 b) Contradicción: es una proposición compuesta que es
falsa independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen.
 c) Contingencia: es un proposición compuesta que no es
tautología ni contradicción
 Argumento: un argumento es una sucesión de proposiciones
llamadas premisas cuyo propósito es la inferencia o deducción
de otra proposición llamada conclusión.
 Un Argumento válido es válido si y sólo si la conjunción de
las premisas implica la conclusión y dicha implicación es siempre
verdadera.
 Ejemplo: Analice si es válido el siguiente argumento:
Si gano las elecciones bajaré los precios de los combustibles.
Bajaré el precio de los combustibles si los electores votan por mi.
Los electores no votaron por mi por lo tanto no bajaré los precios
de los combustibles.
 Consideremos:
p: gano las elecciones
q: bajaré el precio de los combustibles
r: los electores votan por mi.
 Podemos escribir las premisas y la conclusión de la siguiente manera:
p1 : p
q
p2 : r
q
p3 : r
C: q
El argumento lógico quedará [(p
q) (r
q) ( r)]
q
Realicemos la tabla de verdad de la implicación, y observemos :
si es una tautología el argumento será válido y si se obtiene una
contingencia o contradicción el argumento no es válido.
 Proposiciones lógicamente equivalentes: dos o más
proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen los
mismos valores de verdad bajo iguales condiciones de verdad.
 Ejemplo:
Analice si
p
( p)
q es equivalente a
q
p
( p)
Leyes de la lógica
 Ley del medio excluyente:
 Ley de contradicción:
p
( p)
[p
( p)]
 Ley de involución:
 Ley de idempotencia:
 Ley conmutativa:
 Ley asociativa:
 Ley distributiva:
( p)
p
(p
p)
p
(p
p)
p
(p
q)
(q
p)
(p
q)
(q
p)
(p
q)
r
p
(q
r)
(p
q)
r
p
(q
r)
(p
q)
r
(p
r)
(q
r)
(p
q)
r
(p
r)
(q
r)
Fórmula que niegan proposiciones binarias
 Negación de la conjunción:
(p
q) ( p)
( q)
(p
q) ( p)
( q)
 Negación de la disyunción:
 Negación de la implicación:
(p
q) p
( q)
 Negación de la equivalencia:
(p
q) ( p)
q p
( q)