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Notas para el Curso de Lógica y Conjuntos
Luz Victoria De La Pava
Luis Recalde
1.
1.1.
La Lógica no Formalizada
Introducción
Aunque los seres humanos, en la mayoría de los casos, actuamos de manera automática,
es claro que no podemos sobrevivir sin re‡exión alguna. Esto se debe a que nuestras vidas
no se mantienen indiferentes ante el corrosivo tiempo. Si bien somos animales de costumbre,
estamos sometidos a imprevistos que nos exigen tomar decisiones no sólo de tipo individual,
sino en relación con los demás. En la mayoría de ocasiones debemos intercambiar con los
otros para solucionar con‡ictos o argumentar en favor de una causa que nos interese. Esto
no siempre es fácil; en general se hace necesario argumentar en favor de nuestra posición o
hacer ver a los otros la idoneidad de nuestras propuestas.
El vehículo por medio del cual comunicamos nuestros puntos de vista es el lenguaje; lo
hacemos a través de un discurso cuyos elementos básicos son los enunciados.
Hay enunciados cuya veracidad o falsedad es fácilmente veri…cable. Entre algunos de ellos
tenemos: La capital de Francia es París, la selección de Italia quedó campeona de la Eurocopa
2004, Alemania fue derrotada en la segunda guerra mundial. Hay enunciados que aceptamos
a pesar de no tener una veri…cación directa, porque con…amos en la autoridad de la historia
o porque existe un razonamiento que lo sustenta, como cuando expresamos: la tierra gira
alrededor del sol, Homero escribió la Iliada, la suma de los ángulos de un triángulo es 180
grados, la suma de dos números pares es un número par. En cambio, hay enunciados a los
cuales no tiene sentido asignarles un carácter de verdad o falsedad, como sucede con las
pasiones, deseos o exclamaciones. A este género pertenecen: ¡ojalá América quede campeón!,
me gusta el chocolate amargo, hace mucho frío.
De los tres tipos de enunciados nos interesan los del segundo tipo. Es decir, aquellos
cuya veracidad o falsedad no podemos determinar de manera directa, sino que exigen la
existencia de otros enunciados que le sirvan de fundamento. Son enunciados que se deben
demostrar a través de un proceso argumentativo. Sabemos que no necesariamente los procesos
argumentativos son expeditos y que en muchos casos debemos cambiarlos de acuerdo a nuevos
datos. Recordemos, por ejemplo, que en la antigüedad se creía en la teoría geocéntrica, según
la cual era el sol quien giraba alrededor de la inmóvil tierra. De hecho el lector puede detenerse
a pensar un poco en este hecho y concientizarse de las di…cultades para refutarlo, dado que
la evidencia sensorial parece mostrarnos lo contrario.
De esta forma, existen enunciados que en principio se consideraban evidentes hasta que
revisiones críticas nos revelan lo contrario. Muy similar a lo que ocurre con las llamadas
ilusiones ópticas en las que la primera información sensorial nos puede llevar a malas interpretaciones.
Finalicemos este apartado insistiendo en aquellos enunciados de los que nos ocuparemos
en este curso, y que son determinantes en las investigaciones cientí…cas, históricas, jurídicas y
1
en cualquier tipo de conocimiento sistemático o en muchas de nuestras prácticas cotidianas.
Se trata de aquellos enunciados que para probarlos debemos apoyarnos en otros enunciados
concatenados a través de diversos elementos de juicio. Este es precisamente el objetivo general
de la lógica.
¿Qué es entonces la Lógica? Cada uno de nosotros tiene ideas sobre la lógica y su uso,
incluso sin haber abordado estudios formales sobre el tema. Expresiones como eso no es
lógico, lógicamente, póngale lógica al asunto, evidencian la presencia de una lógica inmersa
en lo cotidiano y que hace parte de nuestro diario acontecer. En palabras de Estanislao
Zuleta1 :
La lógica no es una alternativa por la que podamos optar; no podemos decir
si vamos a emplearla o no. Resulta inevitable y está presente en cada frase que
pronunciamos ya que continuamente estamos enunciando proposiciones lógicas.
Cuando decimos por ejemplo que algo es necesario -que una cosa depende de
otra, que un evento es la causa de otro- cuando indicamos una contradicción o
una imposibilidad, una implicación o una dependencia, estamos haciendo lógica,
aunque no seamos conscientes de ello. La lógica siempre se supone de antemano.
1.2.
Concepto de lógica
No es fácil precisar una de…nición absoluta y universal sobre el concepto de lógica. Etimológicamente, la palabra lógica proviene del vocablo griego logos. El logos, que se puede
traducir como razón, pensamiento o ciencia, sintetiza la experiencia del pensar …losó…co. Es
el instrumento por medio del cual el hombre produce pensamiento re‡exivo. La re‡exión no
tiene su asidero en la información inmediata de los sentidos (producto de una experiencia
común y consuetudinaria), sino que proviene del compromiso con el pensamiento trascendente. En este sentido la lógica sería una ciencia o tratado del pensamiento humano.
Sin embargo, la anterior es una de…nición demasiado general de la lógica y no nos proporciona datos sobre las especi…cidades de la disciplina. Además la lógica, como producto
histórico, ha evolucionado en cuanto a sus métodos, procedimientos y contenidos. A lo largo
de los siglos, se han producido cambios y ampliaciones por parte de un cúmulo de pensadores
de diferentes latitudes.
Es de aceptación general que la lógica, en el sentido que hoy la conocemos, se inicia con
Aristóteles. Durante más de veinte siglos la lógica aristótelica no sufrió cambios sustanciales
al extremo de ser presentada por el …lósofo alemán Enmanuel Kant, en su Crítica de la
Razón Pura, como una ciencia perfecta. Los cambios más signi…cativos se dieron a …nales
del siglo XIX y a principios del siglo XX, principalmente a partir de las investigaciones
del norteamericano Charles Sanders Pierce, del británico George Boole, del alemán Gottlob
Frege y del inglés Bertrand Russell.
Para que el lector tenga una idea de los cambios de perspectiva, a continuación, se presentan algunas de…niciones que se han dado de la lógica.
1
ZULETA, Estanislao. Lógica y Crítica, Editorial Universidad del Valle, Cali, 1996. pp. 16-17.
2
La lógica es la ciencia de la demostración, pues sólo se preocupa de formular reglas
para alcanzar verdades a través de la demostración. (Aristóteles)
La lógica o arte de razonar es la parte de la ciencia que enseña el método para alcanzar
la verdad. (San Agustín)
La lógica es la ciencia de las leyes necesarias del entendimiento y la razón. (Kant)
La lógica es la ciencia de la idea pura, de la idea en el elemento abstracto del pensamiento. (Hegel)
La lógica es la ciencia de las aspiraciones intelectuales que sirven para la estimación
de la prueba. (J. S. Mill)
Hemos llegado al punto en el cual es necesario plantear la concepción de lógica que nos
interesa. En primer lugar, parece indiscutible la relación entre lógica y pensamiento humano.
Pero no es de incumbencia de la lógica formal todos los aspectos y leyes del pensamiento. Por
ejemplo, escapan a su jurisprudencia los pensamientos de ensoñación, elucubración o deseo.
Algunos de los aspectos del pensamiento son tratados por la psicología y el materialismo
dialéctico.
A la psicología le interesa la manera como se produce el pensamiento en la mente y las
causas que lo hacen funcionar. Su objetivo es desentrañar las condiciones de funcionamiento
normal, así como las trabas, complejos o neurosis en los individuos.
Al materialismo dialéctico le interesa la relación entre el pensamiento y la realidad material y social.
De acuerdo a los intereses de este curso, el objetivo central de la lógica es el concepto de
argumento. La lógica tiene por objeto el estudio de los métodos y principios que permiten
distinguir entre los argumentos correctos y los argumentos incorrectos.
Cuando …jamos una posición o defendemos una idea, recurrimos a un razonamiento o
presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones. Este razonamiento o evidencia, presentada con el propósito de demostrar algo, es un argumento. La cuestión fundamental es
determinar cuándo un argumento es correcto o no. Es importante señalar que la lógica no
ofrece un método único, que permita decidir la correctud de cualquier argumento. Pero permite construir sistemas formales diferentes mediante los cuales podemos dar cuenta de la
correctud de los distintos tipos de argumentos.
En general un argumento 2 está formado por un conjunto de una o más proposiciones, la
última de ellas se denomina conclusión y las anteriores se llaman premisas. Una proposición
es un enunciado declarativo del cual podemos decidir, sin ambigüedades, su verdad o falsedad,
en un contexto especí…co.
Antes de continuar, es necesario establecer algunas cuestiones respecto a las proposiciones.
En primer lugar, las proposiciones son oraciones, que a diferencia de las preguntas, órdenes y
2
Aquí sólo nos referiremos a lo que comúnmente se denomina argumento deductivo. En general, los
argumentos se clasi…can en deductivos e inductivos.
3
exclamaciones, son verdaderas o falsas. El hecho de que una proposición sea falsa o verdadera
no signi…ca que necesariamente conozcamos su asignación. A esta especie pertenecen las
conjeturas; por ejemplo el enunciado: Cali posee 2´ 578.532 habitantes es una proposición; ella
es falsa o verdadera; pero seguramente encontraremos obstáculos insalvables para especi…car
la asignación. Tenemos, entonces que toda proposición es una oración, pero existen oraciones
que no se las puede catalogar como proposiciones.
Intuitivamente, un argumento es un conjunto de premisas, hechos o proposiciones que
conducen a una conlusión. Las premisas son las evidencias o razones que nos deben convencer
de la veracidad de la conclusión. El argumento es la concatenación de las premisas con la
conclusión.
1.3.
Estructura Lógica de los Argumentos
Reiteramos en el hecho de que el interés de la lógica es el estudio de los argumentos
correctos. Consideremos por ejemplo el siguiente argumento, en el cual la conclusión se ha
separado de las dos premisas por medio de una línea horizontal. En él no se requiere más que
el signi…cado de términos como todos y es para aceptar que la conclusión se sigue lógicamente
de las premisas; es decir, para determinar que el argumento es correcto.
Todos los campeones olímpicos consumen esteroides
Ben Jhonson es un campeón olímpico
Luego, Ben Jhonson consume esteroides
Podemos asegurar que cualquier argumento que tenga la misma estructura es un argumento correcto. Por ejemplo, los argumentos siguientes son correctos por analogía con el
argumento anterior:
Todos los topólogos tienden a ser algebristas
Marino es un topólogo
Luego, Marino tiende a ser algebrista
Todos los perros tienen cinco patas
Lucas es un perro
Luego, Lucas tiene cinco patas
Obsérvese que la forma del argumento garantiza la validez del mismo, a pesar del desconocimiento que se pueda tener acerca de los términos empleados en el mismo e independiente de que las proposiciones implicadas sean verdaderas o falsas. La validez de un argumento
depende de la estructura del mismo, es decir, de la forma en que se relacionan las oraciones
que los componen, y no de su contenido semántico. De tal manera que para decidir la validez
de un argumento, no es relevante conocer el signi…cado de lo que se expresa ni la veracidad
o falsedad de las proposiciones implicadas.
El último argumento tiene la misma forma o estructura lógica que el argumento anterior
que se re…ere a los topólogos y algebristas. Dado que el uno es correcto, el otro debe serlo.
Sin embargo, en nuestro universo, la conclusión, Lucas tiene cinco patas, es falsa cuando la
4
premisa, Lucas es un perro, es verdadera. Según el contexto habitual, la primera premisa es
falsa, por lo tanto se obtiene, bajo esta estructura lógica de argumento, una conclusión falsa.
Obsérvese que la falsedad o veracidad de las proposiciones consideradas en el argumento en
cuestión depende de la realidad o del universo en el que sean enunciadas. Una proposición no
es verdadera o falsa en sí misma, sino que depende del contexto. Por ejemplo, la proposición
la ecuación x2 + 1 = 0 no tiene solución,
es verdadera si consideramos el universo de los números reales, pero es falsa si consideramos el universo de los números complejos.
Es conveniente, entonces, que quede por sentado que legislamos la validez o correctud
de un argumento por su forma lógica, no por las asignaciones que hagamos a las premisas.
El siguiente argumento (que es el mismo que hemos venido usando) es correcto, aunque no
sabemos sobre qué se está hablando.
Todos los glup son plov.
Cariteno es un glup.
Luego, Cariteno es un plov.
1.4.
Relación entre verdad y validez
Veamos claramente cuáles son los elementos de un argumento. En primer lugar, es necesario insistir en que un argumento no es falso ni verdadero; tales apelativos corresponden a
las proposiciones. Se dice de un argumento que es válido o no válido. También decimos que
es correcto o incorrecto.
Como hemos dicho, a la lógica formal no le interesa el contenido de las proposiciones,
sino la manera como están relacionadas. La validez o no de un argumento depende de la
interrelación entre las premisas y la conclusión.
La forma de determinar la validez o no de un argumento no es algo sencillo. Para ello
es necesario referir la legislación que rige la lógica clásica. Estos principios provienen de la
lógica aristotélica y son los tres siguientes:
1. Principio de no contradicción.
2. Principio del tercero excluído.
3. Principio de identidad.
El principio del tercero excluído establece que sólo existen dos posibles asignaciones de
verdad para las proposiciones: Falso y Verdadero; cualquier otra posibilidad está prohibida.
El principio de no contradicción prohibe que una proposición, en un determinado contexto, sea considerada al mismo tiempo como falsa y verdadera.
El principio de identidad dice que cada cosa es igual (idéntica) a ella misma.
5
En general, para determinar la validez o no de un argumento hay que recurrir al proceso
demostrativo, tal como lo mostraremos en los capítulos siguientes. En este capítulo nos interesa desarrollar procesos intuitivos que nos permitan validar algunos argumentos y además
establecer algunos procedimientos para determinar la conclusión que se obtendría a partir
de unas premisas particulares. Estos aspectos los estudiaremos a partir de algunos ejemplos
típicos.
Ejemplo 1. En una cueva se encuentran tres cofres, de tal manera que sólo uno de ellos contiene un
tesoro. Sobre cada cofre hay una inscripción, y hay una y sólo una de esas a…rmaciones
que es verdadera.
Cofre A
Cofre B
Cofre C
El tesoro está El tesoro no está El tesoro no está
en este cofre
en este cofre
en el cofre A
Para descubrir dónde está el tesoro, la estrategía consiste en darle asignaciones a cada
una de las frases que aparecen en los cofres teniendo en cuenta que una y sólo una de ellas
es verdadera. Podemos, en extenso, obtener la siguiente tabla:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Cofre A Cofre B Cofre C
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Como sabemos que sólo una de ellas es verdadera, descartamos (1), (2), (3), (5) y (8).
Así que nos quedamos con (4), (6) y (7). De otro lado, al examinar las inscripciones de los
cofres A y C, observamos que la una es la negación de la otra, así que las dos no pueden
tener el mismo valor de verdad. Esto descarta (6) y quedan sólo (4) o (7). Sin importar cual
de los dos casos se cumple, observamos que en ambos la inscripción del cofre B es falsa. Eso
signi…ca que es falsa la frase que aparece en B: El tesoro no está aquí (en B). Por lo tanto,
el tesoro está en B.
Ejemplo 2: Alonso, Carlos, Rodolfo y William son cuatro artistas creativos de gran talento.
Uno de ellos es bailarín, otro pintor, otro cantante y uno de ellos es escritor, aunque
no necesariamente en ese orden. Contamos con los siguientes hechos
1. Alonso y Rodolfo estaban en el recital en el que debutó el cantante.
2. Carlos y el escritor han encargado sus retratos al pintor.
6
3. El escritor, cuya biografía de William fue un éxito, está planeando escribir una biografía
de Alonso.
4. Alonso nunca ha oído de Rodolfo.
¿A qué se dedica cada uno de ellos?
Aunque, obviamente, no es el único método de resolver el problema, utlizaremos la estrategia típica de aplicar la información al siguiente arreglo:
Bailarín Pintor Cantante Escritor
Alonso
Carlos
Rodolfo
William
Si utilizamos la primera información podemos ir descartando posibilidades marcando con
una equis (X) los cuadros correspondientes, pues sabemos que el cantante no es ni Alonso ni
Rodolfo.
Alonso
Carlos
Rodolfo
William
Bailarín Pintor Cantante Escritor
X
X
La información dada en los apartados (2) y (3) nos permite obtener el siguiente arreglo:
Bailarín Pintor Cantante Escritor
Alonso
X
X
Carlos
X
X
Rodolfo
X
William
X
De este arreglo podemos deducir que Rodolfo es el escritor, y obtener el siguiente arreglo:
Alonso
Carlos
Rodolfo
William
Bailarín Pintor Cantante Escritor
X
X
X
X
X
X
X
Sí
X
De (2) sabemos que el pintor tiene un retraro del escritor, que es Rodolfo, pero por (4)
sabemos que Alonso no conoce a Rodolfo, por lo tanto Alonso no es el pintor y obtenemos
la información de…nitiva para llenar el cuadro y resolver el problema, así:
7
Bailarín Pintor Cantante Escritor
Alonso
Sí
X
X
X
Carlos
X
X
Sí
X
Rodolfo
X
X
X
Sí
William
X
Sí
X
X
1.5.
Acertijos Lógicos
A través de un razonamiento válido resuelva los siguientes acertijos lógicos:
1. Tres amigas, Rosa, Blanca y Celeste se encuentran en una …esta. En un momento dado
Rosa dijo: -¿Se dieron cuenta de que las tres nos pusimos vestidos de color rosa, blanco
y celeste?-. -Si - le contestó la que vestía de blanco, - pero ninguna se vistió con un
color igual al de su nombre- agregó. ¿De que color estaba vestida cada una?
2. Tres amigos participaron recientemente del último Torneo antártico de resolución de
acertijos. No les fue muy bien porque los tres no pudieron resolver un acertijo por
culpa de un inconveniente. Deduzcan cuál fue el acertijo que no resolvió cada uno, qué
inconveniente tuvo y en qué posición quedó en el certamen.
a) Quien no resolvió el acertijo matemático se quedó dormido y llegó tarde a la
competencia
b) El que rompió sus anteojos no quedó en el octavo puesto
c) Cabel quedó décimo
d) Quien no resolvió el acertijo lógico olvidó su lapicera
e) Abel no tuvo problemas en resolver el cazabobos
f ) Babel que no fue quien llegó tarde, no quedó sexto
3. Hay cinco mujeres de espalda, tres de las cuales tienen ojos azules y dos, ojos negros.
El único dato que se tiene es que las que tienen los ojos azules dicen siempre mentiras y
las que tienen los ojos negros dicen siempre la verdad. El objetivo es determinar cuáles
son las mujeres de ojos negros y cuáles las de ojos azules con la siguiente información
adicional. Se tiene la oportunidad de hacer una única pregunta a tres de las cinco
mujeres. Suponiendo que las mujeres están en orden se le preguntó a la primera: ¿De
qué color tiene usted los ojos? Ella contestó en un idioma desconocido, así que no
era posible conocer su respuesta. Se decide entonces preguntar a la segunda: ¿De qué
color dijo la primera que tenía los ojos? Ella responde: la primera dijo que tenía los
ojos azules. Como sólo queda una pregunta, se le preguntó a la tercera: ¿De qué color
tienen los ojos las dos primeras mujeres? Ella responde: la primera los tiene negros y
la segunda los tiene azules.
4. Durante una antigua guerra tres prisioneros fueron llevados a un cuarto. En el lugar
había una gran caja que contenía tres sombreros blancos y dos sombreros negros. A
cada prisionero se le vendaron los ojos y le fue puesto en la cabeza uno de los sombreros.
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Los hombres fueron ubicados en …la, uno tras otro, con su rostro hacia la pared. Al
prisionero que se encontraba más alejado de la pared le fue quitado el vendaje y se le
permitió mirar los sombreros de los dos prisioneros que se encontraban delante de él.
Si deducía el color del sombrero colocado en su cabeza, sería puesto en libertad. Sin
embargo, fue incapaz de decirlo. Luego le fue quitado el vendaje al siguiente prisionero,
quien podía ver sólo el sombrero del hombre ubicado delante de él. A este prisionero
también se le dio la misma oportunidad del anterior, pero tampoco pudo deducir el
color de su sombrero. El hombre restante, dijo a los guardias que el color del sombrero
sobre su cabeza era blanco y entonces fue dejado en libertad. ¿Cómo dedujo el color
de su sombrero?
5. Alicia en el Bosque del Olvido: Cuando Alicia entró en el Bosque del Olvido no
olvidó todo, solamente ciertas cosas. A menudo olvidaba su nombre, y una de las cosas
que más disposición tenía a olvidar era el día de la semana. Ahora bien, el León y el
Unicornio visitaban frecuentemente el bosque. Los dos eran criaturas extrañas. El León
mentía los lunes, martes y miércoles y decía la verdad los otros días de la semana. El
Unicornio, por otra parte, mentía los jueves, viernes y sábados, pero decía la verdad
los restantes días de la semana. Un día Alicia se encontró con el León y el Unicornio
que descansaban bajo un árbol. Ellos dijeron lo siguiente:
León: Ayer fue uno de los días en los que me tocaba mentir.
Unicornio: Ayer también fue uno de los días en los que me tocaba mentir.
A partir de estos dos enunciados Alicia (que era una chica muy lista) fue capaz de
deducir el día de la semana, ¿Qué día era éste?
6. Se dice que Immanuel Kant era de costumbres tan regulares que los habitantes de
Königsberg aprovechaban su paso por determinados lugares para poner en hora sus
relojes.
Una tarde, Kant tuvo la desagradable sorpresa de encontrarse con que el reloj
de su casa se había parado. era evidente que su criado, que tenía el día libre, se
había olvidado de darle cuerda. El gran …lósofo no se atrevió a ponerlo en la hora
porque su reloj de bolsillo estaba en reparación, y no tenía modo de saber la hora
exacta. Le dió cuerda y de inmediato se fue caminando hasta la casa de su amigo
Schmidt, un comerciante que vivía a un par de kilómetros de su casa. Al entrar
en casa de su amigo se …jó en la hora que marcaba un reloj de pared que estaba
en el pórtico. Tras pasar algunas horas en casa de Schmidt, Kant se fue de regreso
a su casa por el mismo camino por el que había venido. Paseaba, como siempre,
con el mismo paso constante y regular que no había cambiado en veinte años. No
tenía la menor idea de cuanto había tardado en hacer el camino de regreso, pues
Schmidt se había mudado recientemente y Kant no había cronometrado aún el
trayecto. Sin embargo, apenas llegó a su casa, puso el reloj en hora. ¿Cómo pudo
saber Kant qué hora era exactamente?
7. Un joyero tiene diez diamantes, nueve de ellos son exactamente del mismo peso; el
décimo ligeramente diferente. Todos están revueltos y el problema consite en seleccionar
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el que es diferente y determinar si es más pesado o más liviano que los otros. ¿Cómo
puede hacerse esto usando sólo tres veces la balanza?
8. El mismo ejercicio anterior con 12 diamantes.
9. Alicia, Betty, Carol y Dorotea tienen una sóla de las siguientes profesiones: salvavidas,
abogada, piloto o profesora. Cada una viste un traje blanco, amarillo, rosa o azul. La
salvavidas le ganó a Betty en tenis, y Carol y la piloto frencuentemente juegan cartas
con la mujer vestida de rosa y con la de azul. Alicia y la profesora envidian a la mujer de
azul, quien no es la abogada porque ésta siempre viste de blanco. ¿Cuál es la ocupación
y el color de vestido de cada una?
10. La tripulación de cierto tren consiste del guardafrenos, el fogonero y el ingeniero. Sus
nombres listados alfabéticamente son: Juan, Robinson y Luis. En el tren, hay también
tres pasajeros con los nombres de Juan, Robinson y Luis. Se conocen los siguientes
hechos:
El señor Robinson vive en Cali.
El guardafrenos vive a medio camino entre Cali y Buga.
El señor Luis gana exactamente once millones de pesos al año.
Luis golpeó una vez al fogonero en el billar.
El vecino del guardafrenos, uno de los tres pasajeros mencionados, gana exactamente tres veces más que el guardafrenos.
El pasajero que vive en Buga tiene el mismo nombre que el guardafrenos.
¿Cuál es el nombre del ingeniero?
11. Daniel fue asesinado en una carretera solitaria, dos millas arriba de Palmira, a las tres
y media de la mañana, del 17 de marzo del último año. Orlando, Carlos, Saúl, Marcos
y Nico fueron arrestados una semana después en Cali y fueron interrogados. Cada uno
de ellos hizo cuatro declaraciones, tres de las cuales eran verdaderas y sólo una falsa.
Una y sólo una de estas cinco personas mató a Daniel. Sus declaraciones fueron:
Orlando: Yo estaba en Bogotá cuando Daniel fue asesinado. Yo nunca he matado a
nadie. Nico es el culpable. Marcos y yo somos amigos.
Carlos: Yo no maté a Daniel. Yo nunca he tenido un revólver. Nico me conoce. Yo
estaba en Cali la noche del 17 de marzo.
Saúl: Carlos mintió cuando dijo que nunca había tenido un revólver. El asesinato se
cometió el día de San Patricio. Orlando estaba ese día en Bogotá. Uno de nosotros es
culpable.
Marcos: Yo no maté a Daniel. Nico nunca ha estado en Palmira. Yo nunca antes había
visto a Orlando. Carlos estaba en Bogotá conmigo la noche del 17 de marzo.
Nico: Yo no maté a Daniel. Yo nunca he estado en Palmira. Nunca vi a Carlos antes.
Orlando miente cuando a…rma que yo soy culpable.
10
¿Quién fue el asesino?
12. Los hijos del matemático.
Un hombre se encuentra en la calle con un amigo, matemático él, al que no ve desde
hace cinco años. Le pregunta cuántos hijos tiene y el matemático, que gusta de los
acertijos, le responde:
Tengo tres hijos. La suma de sus edades es igual al número de ventanas en el edi…cio
de aquí enfrente, y el producto de sus edades es 36.
Y el amigo le responde:
Necesito algo más de información.
A lo que el matemático replica, con una sonrisa:
Mi hijo más chico tiene ojos azules.
¿Cuáles son las edades de los hijos del matemático?
13. Hay tres cajas, una contiene tornillos, otra tuercas y otra clavos. La persona que ha
puesto las etiquetas de lo que contiene cada caja se ha equivocado y no ha acertado
con ninguna. Abriendo una sola caja y sacando una sola pieza ¿Cómo se puede poner
a cada caja su etiqueta correcta?
14. Cinco Casas:
Hechos:
a) Hay 5 casas, cada una de un color diferente (5 colores).
b) En cada casa vive una persona con una nacionalidad determinada. Todos los
habitantes tiene nacionalidad diferente.
c) Cada habitante bebe alguna bebida, fuma una cierta marca de cigarillos y tiene
alguna mascota.
d) Ningún dueño de casa tiene la misma mascota ni fuma la misma marca de cigarillos
ni bebe el mismo tipo de bebida que otro.
Detalles:
a) El Inglés vive en la casa roja.
b) La mascota del Sueco es un perro.
c) El Danés bebé té.
d) La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.
e) El dueño de la casa verde toma café.
f ) La persona que fuma Pall Mall tiene pájaros.
g) El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
h) El hombre que vive en la casa del centro toma leche.
i) El Noruego vive en la primera casa.
j ) La persona que fuma Blend vive junto a la que tiene gatos.
k) El hombre que tiene caballos vive junto al hombre que fuma Dunhill.
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l) La persona que fuma Blue Master bebe cerveza.
m) El Alemán fuma Prince.
n) El Noruego vive junto a la casa azul.
ñ) El hombre que fuma Blend tiene un vecino que toma agua.
¿Quién tiene como mascota un pez?
12
2.
2.1.
La Lógica Proposicional
Introducción
Una proposición es una oración aseverativa de la cual se puede decir, en un contexto determinado, si es verdadera o falsa. Por ejemplo:
1. El conjunto de los números naturales es in…nito.
2. 45 + 30 = 48
3. log3 27 = 3
4. El conjunto de los números irracionales es …nito.
5. La capital de Francia es París
6. Gabriel García Márquez escribió El Amor en los Tiempos del Cólera.
7. Ernesto Sábato escribió El Túnel.
8. La ecuación 3x2
2x + 1 = 0 tiene una raíz real.
No toda oración es una proposición. Por ejemplo, las siguientes oraciones no son proposiciones:
1. Me gusta el chocolate amargo.
2. Puede que hoy llueva.
3. ¿Qué estudia la topología?
4. Juan es un buen hijo.
5. Debes estudiar lógica.
Ejercicio 1 Explique por qué las oraciones anteriores no son proposiciones. ¿Qué tipo de
oración es cada una?
Las proposiciones exhibidas como ejemplo al inicio de esta sección se llaman proposiciones
simples o atómicas. A partir de las proposiciones atómicas se pueden formar proposiciones
compuestas o moleculares. Esto se hace a través de los términos: “no”, “y”, “o”, “si ...
entonces ...”y “...si y sólo si...”.
El enunciado Homero no escribió la Iliada es la negación del enunciado Homero escribió la
Iliada, el cual es atómico.
El enunciado Zenón descubrió la dialéctica y Aristóteles la lógica se denomina conjunción
y se forma insertando el vocablo “y” entre dos enunciados simples. Vocablos tales como
además, también, pero, aún, aunque, sin embargo, el punto y coma, entre otros, también se
interpretan como conjunciones.
13
Cuando dos proposiciones se combinan insertando el vocablo “o”se consigue una proposición
compuesta denominada disyunción. Las disyunciones pueden ser de dos tipos: inclusivas y
exclusivas. Por ejemplo, respecto al siguiente texto: Se ofrece recompensa a quien entregue
un portátil Toshiba con número 871651XN o la información que contiene, quien tenga el
computador, puede interpretar que devuelve sólo el computador, sin la información, o sólo
la información que contiene o puede devolver el portátil con su información. En este caso,
la disyunción es inclusiva. Pero cuando expresamos, cinco es un número par o cinco es un
número impar, pero no ambos, se interpreta que sólo uno de los dos enunciados se cumple y
no ambos; este tipo de disyunción es exclusiva.
De singular importancia son aquellas proposiciones donde aparece caracterizada la acción
de consecuencia. Por ejemplo, la proposición: si Alex es madre entonces Alex es mujer, la
cual podemos pensar como compuesta de las proposiciones: Alex es madre y Alex es mujer,
combinadas en la forma “si ... entonces ...”. En este caso hablaremos de una implicación.
Las implicaciones juegan un papel fundamental en los desarrollos lógicos, pues es a través
de éstas que se intenta caracterizar el sentido de consecuencia lógica.
Otro conectivo de relevancia en lo que nos interesa es el ...si y sólo si... Un ejemplo es la
proposición Soy ciudadano colombiano si y sólo si puedo elegir libremente el presidente de
Colombia.
Más adelante veremos algunos ejemplos concretos con proposiciones matemáticas.
2.2.
Simbolización
En general, los argumentos que se expresan en lenguaje cotidiano, presentan muchas ambigüedades. Las palabras utilizadas tienen diversas connotaciones y las frases pueden recargarse de emociones, deseos o ilusiones. Estas cuestiones, unidas a los giros idiomáticos,
en muchas ocasiones hacen difícil establecer signi…cados precisos. Una misma frase puede
signi…car cosas diferentes, dependiendo de si se dice con ironía, placer o alegría. Ésta es una
de las causas por las cuales se hace necesario constituir un lenguaje arti…cial con su propia
simbología.
Otro de los aspectos que sustenta la necesidad de un lenguaje especial tiene que ver con
la facilidad operativa. Nadie discute la potencia del lenguaje algebraico en la solución de
ecuaciones. Aclaremos este aspecto a partir de un ejemplo. Se nos pide calcular la edad del
gran matemático griego Diofanto (275 d. C.) conociendo los siguientes datos de su productiva
vida que aparecen en su tumba:
Esta tumba contiene a Diofanto. !oh gran maravilla! Y la tumba dice con
arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida.
Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego
nupcial después de un séptimo, y en el quinto año después de la boda concebió
un hijo. Pero, !ay! niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vida
de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro
años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida.3
3
El epita…o original dice:
14
Este problema, que se torna difícil de solucionar siguiendo procedimientos retóricos, se vuelve
sencillo si acudimos a la maquinaria algebraica. Si se designa por x la edad de Diofanto, el
problema consistirá en solucionar la siguiente ecuación:
1
x
6
+
1
x
12
+ 71 x + 5 + 21 x + 4 = x
En esta dirección, presentaremos ahora la lógica proposicional desde una perspectiva simbólica moderna.
2.3.
Sintaxis
El lenguaje de la lógica proposicional está conformado por los símbolos que aparecen a
continuación:
Símbolo
(
)
_
^
!
$
p, q, r,
Nombre
Se lee
paréntesis izquierdo
paréntesis derecho
negación
no
disyunción
o
conjunción
y
condicional (implicación) si ... entonces ...
bicondicional
si y sólo si
...
letras proposicionales
Los símbolos exhibidos en la tabla constituyen el alfabeto con el que trabajaremos. Con estos
símbolos formaremos palabras, expresiones, y luego estableceremos algunas reglas que nos
permiten decidir cuáles expresiones serán aceptadas como gramaticalmente correctas. Por
ejemplo, si construimos la palabra qtyaugia con el alfabeto de la lengua española, sabemos
que ésta no es una palabra del español. No es gramaticalmente correcta, no es aceptada por
la Real Academia de la Lengua Española.
Decimos entonces que cualquier yuxtaposición de los símbolos de la lógica proposicional,
repetidos o no, es lo que se denomina una palabra del lenguaje proposicional. Al igual que en
el idioma español, no todas las palabras construidas así tienen sentido. Por ello es necesario
precisar algunas reglas sintácticas para obtener las proposiciones.
Los cinco símbolos s , _, ^, !, $ se llaman conectivos lógicos. Las fórmulas bien formadas
se construyen de acuerdo a las siguientes reglas:
"Hic Diophantus habet tumulum, qui tempora vitae
illius mire denotat arte tibi:
Egit sextantem juvenis; lanugine males
vestire hinc coepit parse duodecima;
septante uxori post haec sociatur et anno
formosus quinto nascitur, vice, puer.
Heminam aetatis postquam attigit ille paternae,
infelix, subita morte peremptus, obit.
Quattuor aestates genitor lugere superstes.
Cogitur hinc annos illius assequere".
15
1. Las proposiciones simples son el tipo de proposición más básico y se denotan con letras
proposicionales: p, q, r, s, ..., o p1 , p2 , p3 , ...
2. Si
es una proposición, también lo es s .
3. Si
y
son proposiciones, también lo son ( _ ), ( ^ ), ( ! ), ( $ ).
4. Sólo se pueden construir proposiciones con alguno de los pasos anteriores.
Ejemplos:
1. La expresión p
q _ ^r) no es una proposición. Observe que no se puede obtener a
partir de ninguna fórmula por las reglas 1 3, pues no es una letra proposicional, no es
una negación de otra fórmula y tampoco se obtiene al conectar dos fórmulas por algún
conectivo binario.
2. La expresión (s p ! q) sí es una proposición, pues observe que se obtiene de conectar
las fórmulas p y q por el conectivo binario !. Además la expresión p es también
una proposición porque se obtiene negando la fórmula p que es una proposición por ser
una letra proposicional.
Ejercicio 2 Dar cinco ejemplos de proposiciones construidas a partir de las letras
proposicionales p, q y r.
Ejercicio 3 Dar cinco ejemplos de fórmulas o palabras, construidas a partir de las
letras proposicionales p, q y r, que no sean proposiciones.
Es conveniente evitar el uso exagerado de paréntesis. Esto se hace, por ejemplo, cuando la
negación no lleva a equívocos y también en cadenas de símbolos, de acuerdo a la siguiente
jerarquía: _; ^ en un primer nivel; !; $ en un segundo nivel. En este sentido, debemos
tener en cuenta que el símbolo de negación
actúa sobre la proposición más cercana. De
igual manera la conjunción ^ y la disyunción _ afectan sólo a las fórmulas más cercanas.
Ejemplos
1. s p es una proposición. No se necesita escribir (
gada simbólicamente.
p) pues esta expresión resulta recar-
2. (s p^q) es una proposición. En este caso =s p, = q. En esta expresión se entiende
que la negación actúa sólo sobre la proposición p que es la fórmula más cercana.
3. ((s p ^ q) ! r) es una proposición, donde = s p ^ q, = r. Podemos sólo escribir
(s p ^ q) ! r. En este caso los paréntesis externos son innecesarios.
4. ((s p ^ (q _ r)) ! (s (s q ! r))) es una proposición, en la cual: = (s p ^ (q _ r)),
= (s (s q ! r)). La proposición se obtiene de 1 = s p y 2 = (q _ r), cada una
de las cuales son proposiciones. A su vez se obtiene de 1 = (s q ! r), y ésta de
2 = s q, y 3 = r.
16
5. La expresión p _ ^q no es una proposición, pues no se puede obtener aplicando las
reglas indicadas. Las expresiones s ! (q s) y ($)(q _ p) tampoco son proposiciones.
Ejercicio 4 Explique por qué las expresiones del ejemplo 5. no son proposiciones.
Usaremos el lenguaje descrito anteriormente para traducir proposiciones del lenguaje natural
al lenguaje de la lógica proposicional. Esto no siempre es fácil. Recordemos que el lenguaje
simbólico es muy limitado. Sin embargo, los ejemplos que consideramos aquí son suceptibles
de ser simbolizados.
Ejemplo: Simbolizar la siguiente proposición
Si en Colombia hay pobreza y desigualdad social, hay delincuencia.
Para simbolizar la proposición anterior, primero identi…camos las proposiciones simples y las
simbolizamos con letras porposicionales así:
p : En Colombia hay pobreza
q : En Colombia hay desigualdad social
r : En Colombia hay delincuencia
Observamos que la proposición a simbolizar es una implicación cuyo antecedente es una
conjunción. Así que la traducción …nal es: p ^ q ! r.
Ejemplo: Simbolizar el siguiente argumento
Si Juan tiene 17 años, entonces Juan tiene la misma edad de María. Si Carlos no
tiene la misma edad de Juan, entonces Carlos no tiene la misma edad de María. Juan
tiene 17 años y Carlos tiene la misma edad que María. Por lo tanto, Carlos tiene la
misma edad que Juan y Juan tiene la misma edad que María.
En primer lugar se identi…can las proposiciones simples así:
p : Juan tiene 17 años
q : Juan tiene la misma edad de María
r : Carlos tiene la misma edad de Juan
s : Carlos tiene la misma edad de María
Luego el argumento queda así:
p!q
r!
p^s
r^q
s
Hasta ahora, nos hemos ocupado de simbolizar argumentos y proposiciones sin ocuparnos de
su signi…cado. En la siguiente sección dotaremos de una semántica a las proposiciones y nos
ocuparemos de estudiar la validez de los argumentos en esta lógica.
17
2.4.
Semántica: Asignaciones de Verdad
Como ya hemos dicho antes, la lógica clásica se encuentra regida por el principio del tercero
excluido; esto signi…ca que sólo existen dos asignaciones posibles para las proposiciones:
Verdadero (V ) y Falso (F ).
Estos valores no representan más que dos opciones y bien pueden reemplazarse por 1 y 0,
respectivamente. El hecho de usar sólo dos valores, signi…ca que hemos optado por la llamada
lógica bivalente. Otras lógicas de importancia, pero que no serán consideradas aquí son las
llamadas lógicas polivalentes en las cuales se consideran tres o más valores, esto es, que cada
1
proposición tuviera posibilidad de tomar valores entre 0, y 1, o entre una cantidad …nita
2
de valores o incluso entre una cantidad in…nita de valores.
Una vez …jados los valores V y F se busca asignar un valor de verdad a cualquier proposición
conociendo los valores de las fórmulas atómicas. Esto que pareciera muy difícil de lograr, es
relativamente simple a través de un proceso recursivo. A partir de la asignación de valores
de verdad a los símbolos proposicionales, incorporamos unas reglas para la negación, la
disyunción, la conjunción, el condicional y el bicondicional, de manera que cada proposición
tenga asignado un valor de verdad. Veamos:
Sean y proposiciones. Denotamos por v ( ) el valor de verdad de .
1. v (s ) =
V si v ( ) = F
F si v ( ) = V
2. v ( ^ ) =
V si v ( ) = V y v ( ) = V
F en otro caso
3. v ( _ ) =
F si v ( ) = F y v ( ) = F
V en otro caso
4. v ( ! ) =
F si v ( ) = V y v ( ) = F
V en otro caso
5. v ( $ ) =
V si v ( ) = v ( )
F en otro caso
Note que la de…nición es en efecto recursiva, por cuanto el valor de verdad de cada fórmula
depende del valor de verdad de las proposiciones que la componen.
Para el caso de la negación, observe que
se intrepreta a partir del valor de verdad
de . Así si es verdadera,
es falsa y si es falsa entonces
es verdadera.
Para las otras proposiciones que involucran un conectivo binario, es decir, para cualquier
proposición
donde y son proposiciones y es cualquier conectivo binario (^; _; !; $),
el valor de verdad de
depende de los valores de verdad de y . Así,
Para la conjunción se tiene que la proposición
verdaderas.
18
^
es verdadera sólo si
y
son
Para la disyunción se tiene que la proposición
falsas.
La implicación
El bicondicional
de verdad.
!
$
es falsa sólo cuando
_
es falsa sólo cuando
es verdadera y
es verdadero sólo cuando tanto
como
y
son
es falsa.
tienen el mismo valor
En muchas ocasiones se utilizan las tablas de verdad como herramientas que nos permiten
visualizar y memorizar las asignaciones para una proposición de una manera sencilla, aunque
en ocasiones dispendiosa. A continuación presentamos algunas de estas tablas.
2.4.1.
La Negación
Si es falsa, s
queda:
es verdadera. Si
es verdadera entonces s
V
F
2.4.2.
s
F
V
La Conjunción
^ es verdadera si y sólo si
está dada por:
y
son, ambas, verdaderas. La tabla de verdad de
V
V
F
F
2.4.3.
es falsa. La tabla de verdad
^
^
V
F
F
F
V
F
V
F
La Disyunción
_ es verdadera si y sólo si es verdadera o es verdadera. Es equivalente también decir
que _ es falsa si y sólo si tanto como son falsas. La tabla de verdad de _ está
dada por:
_
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
La tabla anterior corresponde a la disyunción inclusiva. Observe que basta con que al menos
una de o sea verdadera para que _ sea verdadera.
El conectivo de disyunción exclusiva se simboliza así Y. Este conectivo no se incluyó en la
tabla de símbolos por cuanto se puede expresar en términos de los conectivos , _ y ^. La
idea intuitiva de la expresión Y es que alguna de las dos, o , sean verdaderas pero no
ambas. Así Y abrevia ( _ ) ^ ( ^ ).
19
2.4.4.
La Implicación
De las reglas anteriores,
verdad está dada por:
!
es falsa sólo cuando
V
V
F
F
es verdadera y
falsa. Su tabla de
!
V
F
V
V
V
F
V
F
La proposición ! , ( implica ), se conoce como proposición condicional;
antecedente y consecuente.
Decir que
se llama
implica , es equivalente a decir que
es condición su…ciente para
y a su vez equivalente a decir que
es condición necesaria para .
También podemos decir que es la hipótesis y es la conclusión o que de se sigue .
Por ejemplo, en el lenguaje natural, la expresión Si Mildred es madre entonces Mildred es
mujer se puede expresar de las siguientes formas:
Es su…ciente que Mildred sea madre para que sea mujer
Es necesario que Mildred sea mujer para que sea madre
Sólo si Mildred es mujer entonces Mildred puede ser madre.
Mildred es madre, sólo si es mujer.
Mildre es mujer, si es madre.
No es posible que Mildred sea madre y no sea mujer.
Que Mildred sea mujer es condición necesaria para que Mildred sea madre.
Que Mildred sea madre es condición su…ciente para que Mildred sea mujer.
En este sentido llama la atención el hecho de que la implicación ! es verdadera cuando el
antecedente es falso. Esto se puede interpretar diciendo que de una falsedad se puede inferir
cualquier cosa, sea esta última verdadera o falsa. En este sentido, vale la pena reiterar que
estas asignaciones no excluyen cierta arbitrariedad, puesto que se pueden dar ejemplos que no
concuerden con tal valoración4 . Sin embargo, vale la pena insistir en que, como construcción
cultural, estas asignaciones proporcionan una herramienta fundamental en la implementación
de algunos aspectos teóricos básicos de las matemáticas. En particular, esta interpretación
de la implicación permite sustentar formalmente, en una demostración matemática, que el
conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
4
Recordemos que la lógica proposicional sólo es un modelo para cierto tipo de argumentos, y no tiene que
dar cuenta de todas las inferencias posibles.
20
Ejercicios
1. Dé un ejemplo de dos proposiciones con sentido preciso en un cierto contexto (escogido
por usted). Escoja una de ellas como antecedente y la otra como consecuente, de tal
forma que el antecedente se interprete como falso y el consecuente como verdadero,
con lo cual la implicación es verdadera, pero que en dicho contexto tal interpretación
para la implicación resulte absurda.
2. Dé un ejemplo de dos proposiciones con sentido preciso en un cierto contexto (escogido
por usted). Escoja una de ellas como antecedente y la otra como consecuente, de tal
forma que tanto antecedente como el consecuente se interpreten falsos, con lo cual la
implicación es verdadera, pero que en el contexto tal interpretación para la implicación
resulte absurda.
2.4.5.
La doble implicación (o bicondicional)
La proposición $ es verdadera si
de verdad está dada por:
y
V
V
F
F
son verdaderas o si
y
son falsas. Su tabla
$
V
F
F
V
V
F
V
F
Observe que con la ayuda de las tablas de verdad anteriores, si asignamos valores de verdad
a un conjunto de letras proposicionales, quedan determinados de manera única los valores
de verdad para cualquier fórmula que contenga dicha letras proposicionales.
Ejemplo
Sea fp; q; r; sg un conjunto de letras proposicionales. Consideremos la siguiente asignación
de valores para estas letras: v (p) = V; v (q) = F; v (r) = F y v (s) = V . Podemos entonces
determinar con precisión los valores de verdad para las fórmulas: = (s p ! r) _ (p ^ s) y
= (q^ s s) $ p. Nótese que tanto como dependen de todas o algunas de las letras
proposicionales p; q; r; s. Así, v ( ) = V y v ( ) = F .
La proposición
Obsérvese que si
ejemplos:
!
!
se llama la recíproca de la proposición
es verdadera, no necesariamente
!
! .
lo es. Veamos los siguientes
1. La proposición Si María es madre entonces María es mujer es verdadera si se aplica a
cualquier mujer llamada María. Sin embargo, su recíproca, Si María es mujer entonces
María es madre es falsa para algunas mujeres.
2. La proposición x = 3 ! x2 = 9 es verdadera; sin embargo, su recíproca x2 = 9 ! x = 3
es falsa.
21
La proposición s
!s
se llama la contrarrecíproca de la proposición
! .
La contrarrecíproca de la proposición Si María es madre entonces María es mujer es la
proposición Si María no es mujer entonces María no es madre que resulta ser verdadera.
La proposición x2 6= 9 ! x 6= 3 es la contrarrecíproca de la proposición presentada en
el anterior ejemplo 2. Observe que esta proposición también es verdadera; más adelante
mostraremos que esto se cumple en general, es decir, toda implicación es lógicamente equivalente a su contrarrecíproca.
2.5.
Tautologías
Una proposición es una tautología si es verdadera para cualquier asignación de verdad de las
letras proposiciones que la componen.
Ejemplos
1. La doble negación
p
V
F
sp
F
V
s (s p) p $ s (s p)
V
V
F
V
2. La proposición (p ! q) $ (s p _ q) es una taulología.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
sp
F
F
V
V
sp_q
V
F
V
V
p!q
V
F
V
V
(p ! q) $ (s p _ q)
V
V
V
V
3. La proposición s (p ! q) $ p^ s q es una taulología.
Si $ es una tautología, decimos que las porposiciones y son lógicamente equivalentes.
Es decir, y son indistinguibles desde el punto de vista semántico de la lógica. En este
sentido, las proposiciones s (p ! q) y p^ s q son lógicamente equivalentes. Del mismo
modo las proposiciones p ! q y s p _ q.
Observe que decir que s (p ! q) y p ^ s q son lógicamente equivalentes signi…ca, intuitivamente, que si la implicación p ! q es no se da es porque se da el antecedente p y no se da
el consecuente q.
4. La contrarrecíproca
Note que las columnas correspondientes a las proposiciones p ! q y s q ! s p son iguales. Es
decir, la proposición (p ! q) $ (s q ! s p) es una tautología y por tanto, las proposiciones
p ! q y s q ! s p son lógicamente equivalentes.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
sp
F
F
V
V
sq
F
V
F
V
p!q
V
F
V
V
s q !s p
V
F
V
V
22
(p ! q) $ (s q !s p)
V
V
V
V
En general, si y son proposiciones, la implicación ! es lógicamente equivalente
a la implicación s
! s . En otras palabras, toda implicación es equivalente a su
contrarrecíproca, ambas proposiciones expresan lo mismo desde el punto de vista de la lógica.
Por ejemplo, las siguientes implicaciones son la una la contrarrecíprca de la otra, por lo que
son lógicamente equivalentes y por tanto expresan lo mismo:
Si hoy es martes o jueves entonces tengo clase de lógica.
Si hoy no tengo clase de lógica entonces hoy ni es martes ni es jueves.
Ejercicio 5 Demostrar que las siguientes fórmulas son tautologías:
1. s (p ! q) $ p^ s q
2. (p ! q) $ ((p^ s q) ! (r^ s r)) (reducción al absurdo)
3. s (p _ q) $ (s p^ s q) (ley de De Morgan).
4. s (p ^ q) $ (s p_ s q) (ley de De Morgan).
El uso de las tablas de verdad, para demostrar que una proposición es una tautología, puede
resultar bastante dispendioso, especialmente si se tienen muchos símbolos proposicionales.
En el caso de 2 símbolos proposicionales se tienen 4 casos a considerar, es decir, 4 posibles
asignaciones de verdad; para 3 símbolos se tienen 8 casos y para 4 símbolos, 16 casos. En
general, para n símbolos proposicionales se tienen 2n casos. Si n es un número pequeño, por
ejemplo, n = 8, se tiene que 2n = 256. Note que no es nada práctico construir una tabla de
verdad con 256 …las. Sin embargo, para decidir si una proposición es o no una tautología,
no es necesario considerar todas las posibles asignaciones; basta con tener en cuenta ciertos
casos. En particular, para demostrar que una proposición no es una tautología es su…ciente
mostrar una asignación que la haga falsa.
Ejemplos
1. La proposición,
: ((p ! q) ^ r) ! (q ^ r) no es una tautología porque para la
asignación v (p) = F , v (q) = F , y v (r) = V , ella es falsa. Ilustremos:
p
F
q
F
r
V
(p ! q) ^ r
V
((p ! q) ^ r) ! (q ^ r)
F
En este caso, basta encontrar una asignación de valores para p; q y r, de las 8 posibles,
que haga que la proposición sea falsa. Esto demuestra que no es tautología.
2. En este ejemplo, veremos cómo demostrar que una proposición es una tautología sin
usar tablas de verdad. Es útil usar el método de reducción al absurdo.
23
Para mostrar que la proposición (p ! q) ! (s p _ q) es una tautología, supongamos lo
contrario, que existe una asignación de valores que la hace falsa.
En este caso, de acuerdo a las reglas de asignación expuestas antes, tenemos que, p ! q
debe ser verdadera y s p _ q debe ser falsa. Pero s p _ q es falsa sólo si s p es falsa y q
falsa, es decir, si p es verdadera y q falsa. Esto signi…ca que p ! q debe ser falsa; lo cual no
puede ser, pues p ! q no puede ser verdadera y falsa a la vez5 . Nos encontramos con una
imposibilidad (un absurdo) que surge de suponer que la proposición en cuestión no es una
tautología. Así que (p ! q) ! (s p _ q) no puede ser, en ningún caso, falsa. Esto signi…ca
que es siempre verdadera, y por tanto es una tautología.
La fórmula es consecuencia lógica del conjunto de fórmulas 1 , 2 , ..., n , si ( 1 ^ 2 ^ ::: ^ n ) !
es una tautología.
Por ejemplo, la proposición q es consecuencia lógica de las proposiciones p y p ! q
(compruébelo).
2.6.
Contradicción
Cuando una proposición es falsa para cualquier asignación de sus letras porposicionales,
decimos que es una contradicción o falacia.
Ejemplo
1. La proposición p ^ s p es una contradicción.
p
V
F
sp
F
V
2. Es inmediato ver que si una proposición
es una contradición (y viceversa).
2.7.
p^sp
F
F
es una tautología, entonces su negación s
Razonamiento e Inferencia
Un razonamiento o argumento es una cadena de proposiciones
notación
1;
2 ; :::;
n,
. Es usual la
1
2
..
.
n
Las proposiciones
1;
2 ; :::;
n
se llaman premisas y la proposición
se llama conclusión.
Si es consecuencia lógica de 1 ; 2 ; :::; n decimos que el razonamiento es válido. En caso
contrario se dice que el razonamiento no es válido.
5
Recuerde que por el principio de no contradicción, una proposición no puede ser verdadera y falsa a la
vez.
24
Ejemplo: Modus Ponendo Ponens
p!q
p
q
Este razonamiento tiene dos premisas: p ! q y p; la conclusión es q. Es un razonamiento
válido puesto que ((p ! q) ^ p) ! q es una tautología.
El razonamiento,
p!r
p
r
no es válido, puesto que ((p ! r)^ s p) ! s r no es una tautología. Este razonamiento, se
conoce como la falacia de la negación del antecedente.
Usaremos razonamientos válidos cortos, como los dos anteriores, para determinar la validez de
ciertos razonamientos más extensos. Es fácil ver que estos razonamientos cortos son válidos.
Los llamaremos reglas de inferencia.
Ejercicios
1. Muestre que la proposición s (p ! q) $ (p^ s q) es una taulología.
2. Usted debe recordar la respuesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Qúe es una tautología?
b) ¿Cúando dos proposiciones son lógicamente equivalentes?
c) ¿Cuándo decimos que una proposición es una contradicción?
3. Muestre que el siguiente razonamiento, conocido como falacia de la a…rmación del
consecuente, no es correcto
p!r
r
p
Fijamos las siguientes reglas de inferencia para efectos de hacer deducciones y probar la
validez de argumentos extensos. Para la lógica proposicional es su…ciente la regla de Modus
Ponens; sin embargo, listaremos algunas otras reglas que usaremos con frecuencia. Entre más
reglas tengamos, más sencillo será demostrar la validez de los razonamientos.
Regla 1 (PP)
(Modus Ponendo Ponens)
p!q
p
q
Regla 2 (TT)
(Modus Tollendo Tollens)
p!q
sq
sp
25
Regla 3 (TP)
Modus Tollendo Ponens
p_q
p_q
sp
sq
q
p
Regla 6 (A)
Ley de Adjunción
q
p
p
q
p^q
q^p
Regla 4 (S)
Simpli…cación
p^q
p^q
p
q
Regla 7 (HS)
Silogismo Hipotético
p!q
q!r
p!r
Regla 9 (De Morgans)
s (p _ q)
s (p ^ q)
sp_sq
sp^sq
Regla 5 (DN)
Doble negación
s (s p)
p
Regla 8 (DP)
Simpli…cación disyuntiva
p_p
p
Regla 10 (Leyes conmutativas)
p_q
p^q
q^p
q_p
Estas son sólo algunas de las reglas más usadas, se pueden acordar o agregar otras. Incluso
algunas de las que exhibimos, se pueden deducir de las otras.
La siguiente regla es útil: si
es una contradicción
p_
p
Intuitivamente, lo que tenemos es que frente a una disyunción verdadera, si una de sus
componentes es falsa, la otra tiene que ser verdadera.
Ejemplo: Demostrar la validez del siguiente razonamiento:
Pedro estudia matemáticas o ingeniería.
Pedro no estudia matemáticas.
Si Pedro estudia ingeniería, añora de por vida las matemáticas
Pedro añora de por vida las matemáticas
El primer paso es simbolizar las proposiciones atómicas:
p: Pedro estudia matemáticas
q: Pedro estudia ingeniería
s: Pedro añora de por vida las matemáticas
Así el razonamiento queda:
p_q
sp
q!s
s
26
Ahora identi…quemos las premisas y la conclusión; usaremos las abreviaciones Pi para las
premisas y C para la conclusión, así:
P1 : p _ q
P2 :s p
P3 : q ! s
C:s
Una manera de validar este resultado es demostrar que:
((p _ q)^ s p ^ (q ! s)) ! s
es una tautología. Sin embargo, este proceso resulta como ya se ha señalado un poco abstruso
debido a que debemos manejar tres variables y combinar valoraciones. En este caso vamos a
validar el razonamiento descomponiendo en pasos simples para después unirlos.
Paso 1
P1 : p _ q
P2 : s p
C1 : q
Resultado que se obtiene aplicando la regla de inferencia 3, MTP.
Paso 2
C1 : q
P3 : q ! s
C:s
El cual se obtiene aplicando la regla de inferencia 1, MPP.
En general, cada paso no se hace independiente sino que se presenta integrado, escribiendo
al lado la justi…cación correspondiente, así:
P1 : p _ q
P2 : s p
P3 : q ! s
P4 : q (TP P1 ; P2 )
C : s (MPP P3 ; P4 )
Ejemplo Se nos pide demostrar la validez del siguiente razonamiento:
Si aplico las reglas de inferencia y tengo cuidado, entonces gano el examen
o me siento bien. Si me siento bien o no tengo cuidado, entonces no aplico las
reglas de inferencia. Aplico las reglas de inferencia. Por lo tanto, gano el examen.
27
El primer paso es simbolizar las proposiciones atómicas:
p : aplico las reglas de inferencia
q : tengo cuidado
r : gano el examen
s : me siento bien.
A continuación, identi…camos las premisas y la conclusión:
P1 : (p ^ q) ! (r _ s)
P2 : (s _ s q) ! s p
P3 : p
C:r
Recordemos que una manera de validar este resultado es demostrar que
(((p ^ q) ! (r _ s)) ^ ((s_ s q) !s p) ^ p) ! r
es una tautología. Sin embargo, el uso de las reglas de inferencia nos conduce más rápido a
la conclusión. Vale la pena resaltar también que una tabla de verdad exigiría considerar 16
asignaciones posibles, lo cual no es práctico.
El razonamiento a validar es el siguiente:
P1 : (p ^ q) ! (r _ s)
P2 : (s _ s q) ! s p
P3 : p
C:r
Usando las reglas de inferencia se llega a la conclusión a partir de las premisas. Estudie con
cuidado las justi…caciones de cada paso.
P1 : (p ^ q) ! (r _ s)
P2 : (s_ s q) ! s p
P3 : p
P4 :s (s_ s q) (TT: P2 , P3 )
P5 :s s ^ q (De Morgan P4 )
P6 : q (Simpli…cación P5 )
P7 : p ^ q (Adjunción P3 , P6 )
P8 : r _ s (PP: P1 , P7 )
P9 :s s (Simpli…cación P5 )
C : r (TP: P8 ,P9 )
Ejemplo Consideremos el siguiente razonamiento y veamos que es válido. El objetivo es
mostrar que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. Apliquemos las reglas
de inferencia.
Si Juan tiene 17 años, entonces Juan tiene la misma edad de María. Si Carlos
no tiene la misma edad que Juan, entonces Carlos no tiene la misma edad de
María. Juán tiene 17 años y Carlos tiene la misma edad que María. Por lo tanto,
Carlos tiene la misma edad que Juan y Juan tiene la misma edad que María.
28
Simbolizando obtenemos,
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
2.8.
:p!q
:s r ! s s
:p^s
:p
:q
:s
:r
:r^q
(Premisa)
(Premisa)
(Premisa)
(Simpli…cación en P3 )
(PP: P4 y P1 )
(Simpli…cación en P3 )
(TT: P2 y P6 )
(Adjunción: P7 y P5 )
Para Trabajar
1. Pruebe que las reglas de inferencia presentadas son razonamientos válidos.
2. Decida si cada uno de los siguientes razonamientos es o no válido.
a) Si José es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Juana. María no
es más baja que Juana. Si José y Luis tienen la misma estatura entonces José es
más alto que Pedro. Por lo tanto José y Luis no tienen la misma estatura.
b) Si esta es una sociedad matriarcal, entonces el hermano de la madre es la cabeza
de familia. Si el hermano de la madre es cabeza de familia entonces el padre no
tiene ninguna autoridad. Esta es una sociedad matriarcal. Por lo tanto el padre
no tiene ninguna autoridad.
c) Si Dios quisiera prevenir el mal pero fuera incapaz de hacerlo, no sería todopoderoso;si
fuera capaz de prevenir el mal pero no quisiera hacerlo, sería malévolo. El mal
existe sólo si Dios es malévolo o incapaz de prevenirlo. Si Dios existe, entonces es
todopoderoso y no es malévolo. El mal existe. En consecuencia, Dios no existe.
d) Si le pago a la modista, no me quedará dinero. Solamente puedo invitar a mi
novio en su cumpleaños si tengo dinero. Si no lo invito en su cumpleaños, se
sentirá triste. Pero si no le pago a la modista, no me entregará el vestido y sin
éste no puedo invitar a mi novio en su cumpleaños. Le pago a la modista o no le
pago. Finalmente, mi novio se sentirá triste.
e) Si voy al cine entonces me divierto y estoy feliz.
No me divierto o no estoy feliz.
Si voy al cine me siento descansado.
Por tanto, no me siento descansado.
f ) Voy a San Andrés o no voy a Cartagena.
No voy a San Andrés y no voy a Barranquilla.
Si voy a Santa Marta entonces voy a Barranquilla.
Si voy a Medellín entonces voy a Cartagena ó voy a Santa Marta.
Por tanto, No voy a Medellín.
3. En los siguientes ejercicios las premisas están dadas en forma simbólica. Dé una deducción completa de la proposición que se quiere demostrar. Si en algún caso, la conlcusión
29
no se puede deducir de las premisas, explique por qué.
Demostrar s
P1 :s t _ r
P2 :s s !s r
P3 : t
Demostrar s t
P1 :s p
P2 : q_ s r
P3 : q $ p
P4 : t ! r
Demostrar p ^ q
P1 : q
P2 : q !s s
P3 : p _ s
Demostrar s s
P1 :s r ^ t
P2 : s ! r
Demostrar q
P1 : s ! p _ q
P2 : s
P3 :s p
Demostrar s
P1 : t ! r
P2 :s r
P3 : t _ s
30
3.
Lógica de Primer Orden (L.P.O)
3.1.
Introducción
En el capítulo anterior estudiamos aquellos argumentos compuestos de proposiciones. La
lógica proposicional estudia los argumentos dependiendo de las conexiones entre los enunciados que los componen. Sin embargo, la lógica proposicional no es su…ciente para determinar
la validez de ciertos argumentos en los que tiene relevancia la estructura interna de cada
enunciado. Consideremos, por ejemplo, el siguiente argumento:
Todo hombre es mortal
Sócrates es hombre
Sócrates es mortal
(1)
Es fácil ver que el argumento (1) es válido. Sin embargo, si usamos la lógica proposicional
para simbolizarlo, tendremos el siguiente argumento
p
q
r
que no es válido, pues si hacemos v (p) = v (q) = V y v (r) = F se muestra que la fórmula
(p ^ q) ! r no es una tautología.
La lógica proposicional no es su…ciente para simbolizar argumentos que contengan una
estructura del mismo tipo de (1). Note que en dicho argumento hay enunciados que se re…eren
a un colectivo (todos) y se enuncian propiedades de ese colectivo. Para simbolizar este tipo
de enunciados se requiere ampliar el lenguaje que se tenía e introducir nuevos símbolos, de
manera que cada enunciado se simbolice con mayor exactitud.
3.2.
Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
Símbolo
(
)
Nombre
Se lee
paréntesis izquierdo
paréntesis derecho
negación
no
_
disyunción
o
^
conjunción
y
!
condicional (implicación)
si ... entonces ...
$
bicondicional
si y sólo si
8
cuanti…cador universal
para todo, para cada, etc.
9
cuanti…cador existencial para algún, existe, hay algún, etc.
x; y; z; :::o x1 ; x2 ; :::
variables
a; b; c; :::o a1 ; a2 ; :::
constantes
P; Q; R; :::o P1 ; P2 ; :::
predicados
Simbolicemos ahora, con el lenguaje anterior, el argumento (1):
31
Paso 1: Fijamos un universo (un conjunto) al cual pertenezcan los elementos de los
cuales se va a predicar algo. Para el argumento que nos ocupa podemos pensar en el universo
de los seres vivos.
Paso 2: Simbolizamos las propiedades que aparecen en el argumento, así:
H (x) : x es hombre
M (x) : x es mortal
Paso 3: Simbolizamos los individuos particulares del universo que ocurran en el argumento, así:
s : Sócrates
Paso 4: Simbolizamos el argumento:
8x (H (x) ! M (x))
H (s)
M (s)
Note que los símbolos H (x) y M (x) son símbolos de predicados en una variable. Es decir,
H y M simbolizan propiedades de un individuo. En el ejemplo anterior están simbolizando
la propiedad de ser humano y la de ser mortal, respectivamente.
Veamos otros ejemplos de propiedades y sus respectivas simbolizaciones en el lenguaje
de la L.P.O.
1. x es un extraterrestre
2. y + 20 = 4
3. z tiene un hijo
4. w es …lósofo
5. x1 es mamífero
6. x es mayor que y
Ninguno de estos enunciados es una proposición puesto que el sujeto sobre el que recae la
acción no está especi…cado. No podemos asignarles ninguna valoración. Así, cuando decimos
y + 20 = 4, no tiene sentido decir si esta a…rmación es falsa o verdadera, pues depende
del valor que se le asigne a y, en un conjunto particular. Los enuciados indeterminados se
simbolizan utilizando variables para designar los sujetos ausentes y otras letras para denotar
de alguna manera lo que se quiere predicar de dichas variables, así:
1. E(x) : x es estraterrestre
2. Q(y) : y + 20 = 4
3. H(z) : z tiene un hijo
32
4. F (w) : w es …lósofo
5. M (x1 ) : x1 es mamífero
6. R (x; y) : x es mayor que y
E(x); Q(y); H(z); F (w); M (x1 ) y R (x; y) se denominan proposiciones libres, funciones
proposicionales, enunciados predicativos o simplemente predicados. Ellos no son proposiciones, pero se transforman en proposiciones cuando reemplazamos la(s) variable(s) por casos
particulares. Para los predicados anteriores se pueden construir las siguientes proposiciones:
1. E(la profesora de lógica)
2. Q (6)
3. H(García Márquez)
4. F (Platón)
5. M (Mi loro Tobias)
6. R (45; 28)
que se leen así:
1. La profesora de lógica es extraterrestre.
2. 6 + 20 = 4
3. García Márquez tiene un hijo
4. Platón es …lósofo
5. Mi loro Tobias es mamífero
6. 45 es mayor que
28
De acuerdo a lo anterior, y estableciendo para cada enunciado un universo que acordemos,
podemos decir que E(la profesora de lógica) es falso, Q(6) es falso, H(García Márquez) es
verdadero, F (Platón) es verdadero, M (Mi loro Tobias) es falso y R (45; 28) es verdadero.
Es importante que las variables pertenezcan a universos especiales preestablecidos para
que los predicados tengan sentido. Si por ejemplo consideramos Q(Maradona), H(3) o
M (vaso), las proposiciones que resultan, carecen de sentido para nosotros.
Observe que el predicado R (x; y) relaciona dos variables. Se dice que R es un predicado
binario. Un predicado también puede relacionar tres o más variables. Si un predicado P
relaciona n variables se dice que es n ario. Los siguientes son ejemplos de predicados que
relacionan dos o más variables:
S(x; y) : x + y = 5
33
M (x; y) : x es el padre de y
G(x; y; z) : x < y < z
H (z; x; w) : z es hijo de x y de w
Para estos casos tenemos que S(2; 3) es verdadera pues 2 + 3 efectivamente es 5, S(2; 2)
es falsa, pues 2 + 2 6= 5, G(1; 7; 20) es verdadera, pues 1 < 7 < 20, mientras que G(2; 1; 7) es
falsa pues 2 1.
Para los predicados considerados en los ejemplos anteriores, también podemos construir
enunciados como los que siguen, y para los cuales también podemos decidir si son verdaderos
o falsos:
Ningún ser humano es extraterrestre.
Todos los perros son mamíferos.
No todos los seres humanos tienen un hijo.
Algún animal es mamífero.
Algún animal no es mamífero.
Este tipo de enunciados serán de interés en lo que sigue.
4.
Los cuanti…cadores
En esta sección nos ocuparemos de enunciados en los que intervengan expresiones del
tipo para cada, para todo, para cualquier, algún, hay algún, existe un y similares.
Consideremos el enunciado todos los hombres son mortales. Podemos decir de él que es
verdadero, pues si se toma como universo el conjunto de los seres humanos, lo que se está
expresando es que cuando en el predicado P (x) : x es mortal, la variable x se sustituye por
cada ser humano, el enunciado resultante, en cada caso, es verdadero. Su simbolización en
el lenguaje de la L.P.O. es 8x (P (x)).
El enunciado, algún animal es mamífero, también es verdadero, pues si se toma el universo
de variación como el conjunto de los animales, se expresa que cuando en el predicado M (x1 ),
la variable x1 se sustituye por algún caso particular del universo, por ejemplo un perro, se
obtiene un enunciado verdadero. Su simbolización en el lenguaje de la L.P.O. es 9x1 M (x1 ).
4.1.
El cuanti…cador universal
Fijemos un Universo o Dominio de variación y enunciemos predicados sobre sus elementos. Para dar cuenta de las proposiciones que contengan frases que establezcan propiedades
sobre todos los elementos del universo usamos el símbolo 8, que se lee para todo, para cada,
para cualquier(a) u otra asignación equivalente a estas.
Ejemplos
34
Para los siguientes ejemplos …jemos el universo de los números enteros, Z.
1. Sea el predicado
P (x) : x es un número par
La expresión
8xP (x)
traduce Todo número entero es par. Al sustituir, en el predicado P (x), la variable x por
cada elemento del universo, se encuentra que dicho enunciado es falso, pues en ciertos
casos al reemplazar x por algunos números la proposición resultante no es verdadera.
Este es el caso de P (3).
2. Sea
Q(x; y) : x + y = 0
La expresión
8x8yQ(x; y)
traduce la suma de cualquier par de números enteros da como resultado cero. Si en el
predicado Q(x; y), las variables x y y se sustituyen por números enteros cualesquiera,
la suma resultante no da como resultado cero, en todos los casos. Por ejemplo, si x = 2
y y = 2 tenemos que Q(2; 2) es verdadera; pero si x = 2 y y = 3, se tiene que
Q(2; 3) es falso pues 2 + 3 6= 0. Con lo cual el enunciado 8x8yQ(x; y) es falso en Z.
4.2.
Cuanti…cador existencial
El cuanti…cador existencial se emplea para dar cuenta de proposiciones que establecen
propiedades sobre uno o algunos de los elementos del universo. Para ello usamos el símbolo
9, que se lee existe por lo menos un, existe algún, para algún, hay un u otra asignación
equivalente.
Ejemplos
Para los siguientes ejemplos …jemos de nuevo el universo de los números enteros, Z.
1. Sea el predicado
P (x) : x es un número par.
La expresión
9xP (x)
traduce algún número entero es par. Este enunciado es verdadero, pues se cumple
en particular para x = 6. Obsérvese que el predicado P (x) produce proposiciones
verdaderas al sustituir la variable x por in…nitos elementos del universo, pero lo que
importa es que al menos para uno de los elementos del universo, se produzca una
proposición verdadera. Esto es su…ciente para decir que el enunciado 9xP (x) es verdadero en Z.
35
2. Sea el predicado
Q(x; y) : x + y = 0
La expresión
9x9yQ(x; y)
que también podemos escribir
9x9y (x + y = 0)
traduce existen dos números enteros cuya suma es cero. Por ejemplo, si hacemos x = 3
y y = 3, tenemos que Q(3; 3) es verdadero. Y de aquí que el enunciado 9x9yQ(x; y)
también es verdadero.
Hasta ahora todas las proposiciones con predicados han sido a…rmativas; para el caso de
las negativas se usa el signo de negación s de la lógica proposicional. De esta forma, tomando
el predicado P (x) del ejemplo anterior, se tiene que el enunciado 9x(s P (x)) traduce existe
un número entero que no es par.
Más ejemplos
1. Se nos pide simbolizar el enunciado:
Nada es perfecto
No es difícil comprobar que es equivalente al enunciado:
Todo es imperfecto
En primer lugar, debemos explicitar un universo en el cual el enunciado tenga sentido.
Como no tenemos ninguna restricción, podemos tomar como universo el conjunto de
las cosas terrenales. Por otro lado la expresión imperfecto es la negación de la expresión
perfecto. De esta manera podemos simbolizar así:
P (x) : x es perfecto
y el enunciado quedará:
8x (s P (x))
para el cual se pueden suprimir los paréntesis para obtener
8x s P (x)
Note que una simbolización equivalente es
9xP (x)
2. Hay cuatro enunciados que aparecen con frecuencia en los argumentos. En el sentido
ariatotélico, estos son llamados enunciados categóricos. A continuación los presentamos
con su simbolización respectiva:
a) Todo A es B: 8x (A (x) ! B (x))
36
b) Algún A es B: 9x (A (x) ^ B (x))
c) Algún A no es B: 9x (A (x) ^
d) Ningún A es B:
B (x))
9x (A (x) ^ B (x)) o 8x (A (x) !
B (x))
3. Consideremos como universo el conjunto de los cuerpos celestes. Para los objetos especí…cos, luna, sol y tierra asociamos símbolos de constantes así:
l : luna
s : sol
t : tierra
Además, dados los siguientes predicados:
P (x) : x es planeta
S (x) : x es satélite
G (x; y) : x gira alrededor de y
tenemos las siguientes simbolizaciones:
a) La tierra es un planeta: P (t)
b) La luna no es un planeta:
P (l)
c) La tierra gira alrededor del sol: G(t; s)
d) Todo planeta es un satélite: 8x(P (x) ! S(x))
Al a…rmar que todo planeta es un satélite estamos a…rmando que cualquier objeto
que es planeta, es también satélite, es decir, que para todo objeto x, si x es un
planeta entonces x es un satélite.
e) Todo planeta gira alrededor del sol: 8x(P (x) ! G(x; s)).
Es decir, para todo objeto x, si x es planeta entonces x gira alrededor del sol.
f ) Algún planeta gira alrededor de la luna: 9x(P (x) ^ G(x; l)).
Es decir, hay un objeto que es un planeta, y gira alrededor de la luna.
g) Hay por lo menos un satélite: 9xS(x)
h) Ningún planeta es un satélite: 9x(P (x) ^ S(x)) ó 8x(P (x) ! S(x))
Lo que se quiere expresar es que no hay objetos que sean al mismo tiempo planeta
y satélite. En la primera simbolización decimos directamente que no hay objetos
con las dos propiedades consideradas, y en la segunda que todo objeto que sea
planeta no es un satélite que es equivalente a la anterior.
i) Ningún objeto celeste gira alrededor de sí mismo: 9x(G(x; x))
Señalemos que no es necesario expresar la propiedad de ser objeto celeste, puesto
que el universo, el dominio de los objetos que hablamos, es precisamente el conjunto de los objetos celestes. De modo que al decir para todo x estamos diciendo
para todo objeto celeste.
j ) Alrededor de los satélites no giran objetos celestes: 8x(S(x) !
también 9x(S(x) ^ 9zG(z; x)).
37
9zG(z; x)) ó
k) Hay exactamente un satélite: 9x(S(x) ^ 8y(S(y) ! x t y)):
Para decir que x es el único satélite, decimos que x es satélite y cualquier satélite
es igual a x.
5.
Cuanti…cación Numérica:
En ocasiones debemos simbolizar enunciados del tipo “hay un único número natural tal
que ...”o “hay exactamente dos números reles tales que ...”o “hay al menos n números tales
que ...”o “hay como máximo n números tal que ...”, entre otros. Veamos:
1. Hay al menos un T ...
se simboliza: 9x (T (x))
2. Hay como máximo un T ...
se simboliza: 8x8y (T (x) ^ T (y) ! x = y)
Esto es, si hay dos cosas con la misma propiedad, como a lo más hay una, entonces
deben ser la misma. Observe que esto es compatible con que no exista ninguna cosa
que tenga la propiedad T .
3. Hay exactamente un T ...
se simboliza: 9x (T (x)) ^ 8x8y (T (x) ^ T (y) ! x = y)
Observe que es exactamente la conjunción de los dos enunciados anteriores y que también se puede escribir así: 9x (T (x) ^ 8y (T (y) ! x = y)).
4. Hay al menos dos T ...
se simboliza: 9x9y (T (x) ^ T (y) !
x = y)
Esto es, hay dos cosas diferentes con la propiedad T .
5. Hay a lo más dos T ...
se simboliza: 8x8y8z ((T (x) ^ T (y) ^ T (z)) ! (x = y _ x = z _ y = z))
Observe que lo que dice el enunciado es que si hay tres cosas que tiene la propiedad T
entonces dos de ellas deben ser iguales, porque máximo hay dos.
Ejercicios: En cada caso simbolizar cada una de los enunciados utilizando un universo
previamente …jado.
1. Todos los pájaros son bípedos.
2. Algunas plantas no dan frutos.
3. Hay estudiantes de ingeniería que son apasionados por las matemáticas.
4. Todos los matemáticos son buenos lectores.
5. Todos son amigos de Juan.
6. Todos son amigos de Pedro.
7. Todas las águilas vuelan.
38
8. Juan es hermano de Pedro y de María.
9. Todos son hermanos de Pedro y de María.
10. Existe al menos un hermano de Pedro y de María.
11. Todos son hermanos de Juan y de Roberto.
12. Todo amigo de Juan y de Pedro es amigo de todo el mundo.
13. Todo lo que me gusta es inmoral ó ilegal ó engorda.
14. Todo político honesto de…ende sus ideales.
15. Todo el mundo quiere a alguien, pero nadie quiere a todo el mundo.
16. Juan puede engañar a alguna gente algunos días y puede engañar a toda la gente
algunos días, pero no puede engañar a toda la gente todos los días.
5.1.
Negación de los cuanti…cadores
Sea un fórmula en el lenguaje de la L.P.O. Las negaciones de los cuanti…cadores están
dadas por las siguientes dos reglas
(8x ) es equivalente a 9x (
)
(9x ) es equivalente a 8x (
)
La negación de un enunciado universal se obtiene cambiando el cuanti…cador universal por
el existencial y negando la fórmula que le sucede. Recíprocamente, un enunciado existencial
se niega cambiando el cuanti…cador existencial por el universal y negando la fórmula que le
sucede.
Ejemplos:
1. La negación del enunciado: todos los …lósofos son geniales, es el enunciado No todos los
…lósofos son geniales o equivalentemente existe al menos un …lósofo que no es genial.
Así, si tomamos como universo el conjunto de seres humanos y hacemos
F (x) : x es …lósofo y G(x) : x es genial, tendremos que el enunciado No todos los
…lósofos son geniales se simboliza
8x (F (x) ! G(x))
el cual es equivalente al enunciado
9x (
(F (x) ! G(x)))
que por lógica proposicional sabemos que es equivalente a
9x(F (x)^
G(x))
cuya traducción es hay …lósofos que no son geniales.
39
2. La negación del enunciado: existen …lósofos geniales pero incoherentes, es el enunciado:
todos los …lósofos geniales, no son incoherentes. En símbolos tenemos,
F (x) : x es …lósofo e I(x) : x es incoherente, y entonces el enunciado queda
9x(F (x) ^ I(x))
que es equivalente al enunciado
8x
(F (x) ^ I(x))
el cual por lógica proposicional es equivalente a
8x (
F (x)_
I(x))
que también se puede escribir como
8x (F (x) !
40
I(x))
Observación: ¿Se pueden intercambiar el cuanti…cador existencial y universal?
En general un cuanti…cador universal no se puede conmutar con un cuanti…cador
existencial, es decir el enunciado:
8x9yR(x; y)
no es equivalente al enunciado:
9y8xR(x; y)
Ejemplo: Sea R(z; w) : z es madre de w.
Observe que los siguientes dos enunciados no son equivalentes:
a) Todo ser humano tiene una madre que se simboliza como 8x9yR(y; x)
b) Hay una madre para todo ser humano que se simboliza así 9y8xR(y; x)
El enunciado a) es verdadero, pues cada ser humano tiene una madre. Sin embargo, el
enunciado b) es falso porque no hay un individuo que sea madre de todos los seres humanos.
Por esta razón se tiene que:
8x9yR(x; y) = 9y8xR(x; y) donde = se puede leer como "no es equivalente a".
Ejercicios
1. Simbolizar los siguientes enunciados:
a) Ningún hombre es a la vez loco y cuerdo.
b) Todo hombre es mortal.
c) Ningún número es a la vez par e impar.
d) Todo número real es positivo si y sólo si es mayor que cero.
e) No todos los números reales son positivos.
2. Fijando como universo el conjunto de los seres vivos, simbolizar los predicados:
a) x es hombre
b) x es mujer
c) x es madre de y
d) x es padre de y
3. Con las simbolizaciones del item anterior, de…nir los predicados:
a) x es hijo de y
b) x es abuela paterna de y
c) x no tiene hijas
d) x es hermano de y por parte de padre y madre
4. Usando los items anteriores simbolizar el adagio popular A quien Dios no le da hijos,
el Diablo le da sobrinos.
41
6.
Argumentos con predicados
Para determinar la validez o no de argumentos en el lenguaje de la L.P.O. se usan de
nuevo las reglas de inferencia de la lógica proposicional y se anexan las siguientes cuatro
reglas:
Instanciación universal (IU)
8xP (x)
P (a)
donde a representa un elemento del universo en el que x toma valores.
Lo que dice esta regla es que de una propiedad universal se pueden deducir casos particulares. Es decir, si es cierto que la propiedad P se satisface para cada elemento del universo,
entonces es cierto que se satisface para el elemento a.
Generalización universal (GU)
P (y)
8xP (x)
valores.
donde y es cualquier elemento no especi…cado del universo en el que x toma
Si y es un elemento cualquiera (sin especi…car) del universo que satisface la propiedad P
entonces toodos lo elementos del universo satisfacen la propiedad P .
Instanciación existencial (IE)
9xP (x)
P (a)
donde a un elemento particular del universo que satisface el predicado P .
Si se sabe que hay un elemento en el universo que satisface la propiedad P y si se sabe
que dicho elemento es a entonces se puede deducir que a satisface la propiedad P .
Generalización existencial (GE)
P (a)
9xP (x)
donde a es cualquier elemento del universo que satisface el predicado P
Si es cierto que en particular a satisface la propiedad P entonces se puede deducir que
hay al menos un elemento del universo que satisface la propiedad P .
Utilizando estos principios se pueden validar algunos razonamientos. Veamos.
Ejemplos
42
1. Simbolicemos el siguiente argumento y construyamos una prueba formal de la validez
del mismo
Todos los hombres son mortales
Sócrates es hombre
Por lo tanto, Sócrates es mortal.
Recordemos que si tomamos como universo el conjunto de los seres vivos, los predicados
H(x) : x es hombre, M (x) : x es mortal y la constante s que representa a Sócrates, el
razonamiento quedará:
8x(H(x) ! M (x))
H(s)
M (s)
La deducción es la siguiente
P1 : 8x(H(x) ! M (x))
P2 : H(s)
P3 : H(s) ! M (s) (IU: P1 )
C : M (s)
(MPP: P2 ; P3 )
2. Construya una prueba formal de la validez del siguiente argumento
8x(P (x) ! Q(x))
8x(Q(x) ! R(x))
8x(P (x) ! R(x))
Demostración:
P1 : 8x(P (x) ! Q(x))
P2 : 8x(Q(x) ! R(x))
P3 : P (a) ! Q(a)
P4 : Q(a) ! R(a)
P5 : P (a) ! R(a)
C : 8x(P (x) ! R(x))
(IU: P1 )
(IU: P2 )
(SH: P3 ; P4 )
(GU: P5 )
3. Simbolice y construya una prueba formal de la validez del siguiente argumento
Todos los políticos son deshonestos
Algunos académicos son políticos
Por lo tanto, algunos académicos son deshonestos
Si tomamos como universo el conjunto de los seres humanos y los predicados
P (x) : x es político, D(x) : x es deshonesto y A(x) : x es académico, el razonamiento
quedará:
P1 : 8x(P (x) ! D(x))
P2 : 9x(A(x) ^ P (x))
C : 9x(A(x) ^ D(x))
43
Demostración
P1 : 8x(P (x) ! D(x))
P2 : 9x(A(x) ^ P (x))
P3 : A(a) ^ P (a)
P4 : P (a) ! D(a)
P5 : P (a)
P6 : D(a)
P7 : A(a)
C : A(a) ^ D(a)
Identi…que las reglas de inferencia que se usaron en la anterior demostración.
Ejercicios
1. Construya una prueba formal de la validez de los siguientes razonamientos
(a) 8x(A(x) !
B(x))
9x(C(x) ^ A(x))
9x(C(x) ^
B(x))
(b) 8x(A(x) !
B(x))
8x(F (x) ! B(x))
8x(F (x) !
D(x))
(c) 8x(G(x) ! H(x))
9x(I(x) !
H(x))
9x (I(x) !
G(x))
(d) 9x(J(x) ^ K(x))
8x(J(x) ! L(x))
9x(L(x) ^
K(x))
2. Simbolice los siguientes argumentos y para cada uno decida si es válido o no. En el
caso en que sea válido, construya una prueba formal del mismo.
a. Ningún atleta es ratón de biblioteca. Carlos es un ratón de biblioteca. Por lo tanto, Carlos
no es un atleta.
b. Todos los bailarines son lúdicos. Algunos esgrimistas no son lúdicos. Por lo tanto, algunos
esgrimistas no son bailarines.
c. Ningún jugador es feliz. Algunos idealistas son felices. Por lo tanto, algunos idealistas no
son jugadores.
d. Todos los burlones son pícaros. Ningún pícaro es feliz. Por lo tanto, ningún burlón es
feliz.
e. Ningún jefe desconsiderado o tirano puede tener éxito. Algunos jefes son desconsiderados.
Hay jefes tiranos. Por lo tanto, ningún patrón puede tener éxito.
f. Quien vende sus ideales es un pusilánime. Nadie sino aquellos sin criterio son pusilánimes.
Por lo tanto, los que venden sus ideales no tienen criterio.
g. Todo el que pide, recibe. Simón no recibe. Por lo tanto, Simón no pide.
En los Ejercicios 3 y 4 trate de generalizar las reglas que se aplicaron a predicados con
una variable, a predicados con varias variables.
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3. Asuma que la relación ser amigo de es simétrica. Es decir, x es amigo de z si y sólo
si z es amigo de x. Simbolice esta relación por el predicado binario A(x; z).
Así: A(x; z) : x es amigo de z.
Analice la validez del siguiente razonamiento.
Todo aquel que aprecie a Jorge escogerá a Pedro para su partido.
Pedro no es amigo de nadie que sea amigo de Juan.
Luis no escogerá a nadie para su partido que no sea amigo de Carlos.
Por tanto, si Carlos es amigo de Juan, entonces Luis no aprecia a Jorge.
4. Represente simbólicamente el siguiente razonamiento y determine su validez:
El papá de cada ser humano es uno de sus familiares.
Patricia no es amiga de nadie que no sea más joven que ella ó que no tenga los ojos claros.
Patricia es un ser humano, y el papá de todo ser humano no es más joven que éste.
Nadie que tenga los ojos claros es familiar de Patricia.
Por tanto, si Roberto es el papá de Patricia , entonces Patricia no es amiga de Roberto.
5. Escriba las negaciones de los siguientes enunciados y simbolice tanto la sentencia como
su negación:
a) Todas las mascotas de los payaneses son perros ó no son pájaros.
b) Existen personas que si alcanzan un cierto conocimiento, creen saberlo todo.
c) Para todo ser humano x existe una madre.
d) Si un triángulo es isósceles entonces tiene dos lados y dos ángulos iguales.
e) Para todo número real x existe un número real y tal que x es igual a ln y.
f ) Para todo número real x existe un número real y tal que x es igual a ln y ó la
suma de x con y es distinta de cero.
g) El cuadrado de todo número real es mayor o igual a cero.
h) Existe un único número real x tal que para cada número real y, se tiene que
x + y = y.
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