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Capítulo 4: Ecuaciones dinámicas del conjunto motor-carga
Capítulo 4: Ecuaciones dinámicas del
conjunto motor-carga
4.1.
Introducción
Los motores de corriente continua sin escobillas (“DC brushless motors”) son
similares en aplicación y funcionamiento a los motores de corriente continua con escobillas
(“brush-type DC motors”) Difieren en la construcción y en el método de conmutación. Un
motor sin escobillas tiene un estátor ensamblado con un rotor con imán permanente y con
dispositivos internos y externos para medir la posición. La combinación de un rotor interno
de imán permanente y bobinas externas ofrece la ventaja de reducir la inercia del rotor y
mejorar la disipación del calor con respecto a un motor con escobillas. Además, la
eliminación de las escobillas reduce el coste del mantenimiento y el ruido, e incrementa la
vida y la fiabilidad del motor
4.2.
Función de transferencia de un motor de corriente continua
El motor convierte energía eléctrica en energía mecánica de rotación. La función de
transferencia del motor de corriente continua se obtendrá por aproximación lineal,
despreciando los efectos de segundo orden tales como la histéresis.
23
4.2. Función de transferencia de un motor de corriente continua
Ilustración 4.1. Esquema del motor
Se denomina I e y U e a la intensidad y tensión de excitación respectivamente. El
flujo magnético φe es proporcional a la intensidad de excitación:
t=k e i e t
(4.1)
El par desarrollado por el motor se puede relacionar con la corriente de armadura
mediante la expresión:
T m t =k 1 t i a=k 1 k e i e t i a t 
(4.2)
Aplicando la transformada de Laplace:
T m s =k
1 k e I e  s  I a  s =k m I a  s
km
(4.3)
con k m la constante del motor.
Del circuito de excitación se puede obtener una relación entre la tensión y la corriente
de excitación en la forma:
U e t=R e i e L e
di e t 
dt
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(4.4)
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que transformando al dominio de Laplace resulta:
U e s = R e sLe  I e  s
(4.5)
El par motor será igual al par desarrollado por la carga más un par de perturbaciones:
T m s =T L  s T p  s 
(4.6)
Y el par desarrollado por la carga puede expresarse como:
2
T L s =Js s Bs  s
(4.7)
El motor de corriente continua controlado por armadura utiliza la corriente ia(t),
denominada corriente de armadura, como variable de control. El acoplamiento de los
segmentos eléctrico y mecánico hace que la energía eléctrica se transforme en energía
mecánica a través de un transductor o elemento giratorio.
La corriente de armadura se relaciona con la tensión de alimentación de la siguiente
forma:
U a  s = R asL a  I a  s U b  s
(4.8)
siendo Ub la fuerza contraelectromotriz, que es proporcional a la velocidad del motor:
U b  s=k b   s=k b s  s
(4.9)
Despejando la corriente de armadura:
I a  s=
U a  s −k b s s 
R asL a
(4.10)
El par de la carga es el expresado en la ecuación 4.7, con lo que la función de
transferencia es:
25
4.2. Función de transferencia de un motor de corriente continua
G s =
km
s 
=
U a  s s [ RasL a  JsBk b k m ]
(4.11)
Ilustración 4.2. Diagrama de bloques de la función de transferencia
Para muchos motores de corriente continua la constante de tiempo a =
La
es
Ra
despreciable, así que queda:
G s =
km
 s 
=
U a  s s [ Ra  JsBk b k m ]
(4.12)
que es la función de transferencia de un sistema de segundo orden con un integrador y
un polo.
Considerando un balance de potencia en régimen permanente despreciando la
resistencia del rotor, se obtiene que la potencia suministrada al rotor es igual a k b i a y la
desarrollada en el eje es T =k m i a 
T = k b i a
(4.13)
T =k m i a 
(4.14)
se deduce que k m =k b
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4.3.
4.3.1.
Función de transferencia discreta
La transformada Z
Es posible calcular la función de transferencia directamente a partir de la función de
transferencia del sistema continuo. Para un sistema definido por su función de transferencia
continua con un mantenedor de orden 0 (MO0) la función de transferencia discreta se
determina por la respuesta a una señal dada y es única. Considerando una entrada escalón
unitario, la secuencia u(k) es una secuencia de unos y la señal u(t) es también un escalón. La
salida y(t) expresada en el dominio de Laplace es:
Y s =
G  s
s
(4.15)
La salida y(k) tiene una transformada Z dada por: Y  z =Z  y =Z  L−1 Y  s  y
para obtener la función de transferencia se divide por la transformada en Z de la entrada, en
−1
−1
este caso del escalón: 1−z Y  z  , con lo que queda:
−1
−1
−1
G z =1−z  Z  L 
4.3.2.
G  s

s
(4.16)
La transformada Z del modelo del motor (integrador + polo)
Haciendo uso de las expresiones obtenidas en el análisis del motor de corriente
continua, se puede calcular la siguiente relación entre la tensión aplicada y el ángulo girado:
G p  s=
KM
 s
=
U a s  s T M s1
(4.17)
G p  s =>(MO0)=>
T

G p  z −1 =K M T M
T
T
−
−
T
T
T
T − T −2
−1e  z−11−e −
e z
TM
TM
M
M
1−1e
−
T
TM
−1
−
 z e
M
T
TM
z−2
Para la velocidad, la función de transferencia discreta queda:
27
(4.18)
4.3. Función de transferencia discreta
Velocidad=> G v s =
KM
s 
=
U a  s T M s1
G v s  =>(MO0)=> G v  z−1=K M
−
T
TM
−
T
TM
1−e
1−e
28
(4.19)
 z −1
−1
z
(4.20)