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Estas son las soluciones del zonal del 99. Veo que no hay muchas respuestas. O es muy difícil o siguen sin
preocuparse. Prefiero la primer opción. Espero que por lo menos lean esto porque no son fácil hacerlos y menos
explicarlos por computadora. Si quieren, porque ya no sé qué decirles, hagan los del zonal del 2003 para el miércoles
que viene. Saludos
MARCELO
XVI Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal
19 de agosto de 1999
primer nivel
1. Seis personas tratan de adivinar el número de piedras que hay en una caja. Ana dice que hay 52 piedras, Beatriz
dice 59, Carla dice 62, Daniel 65, Enrique 49 y Federico 42. Todos se equivocaron, algunos dijeron de más y otros
dijeron de menos, y sus errores fueron de 1, 4, 6, 9, 11 y 12, en algún orden, pero no se sabe quién cometió cada
error. Determinar cuántas piedras hay en una caja y qué error cometió cada persona.
La mayor diferencia es entre las cantidades que dijo Daniel y Federico, obviamente Daniel tiene que tener el error
por encima y Federico por menos, el tema es ver si Daniel tiene el error 12 o 11. Supongamos que es 12 entonces la
cantidad de piedras será 65-12=53. El error de Federico será 11, pero como era por defecto, 42+11=53, cantidad que
coincide. Si fuera al revés, 65-11=54 y 42+12=54 también coincide así que tenemos que determinar cuál de las dos
cantidades es.
La otra diferencia más alejada es la de Carla y le corresponde el 9, entonces 62-9=53. Parece que es 53. Debemos
verificar con los otros. Si Enrique es 49, tiene el error 4. Para Beatriz que dice 59, el error es 6 y para Ana 52, e
corresponde el error 1.
Entonces hay 53 piedras
2. En un programa de computadora:
Al apretar la tecla A se eleva al cuadrado el número que está en pantalla, por ejemplo, si el número que está en
pantalla es 23, lo reemplaza por 529;
Al apretar la tecla B se invierte el orden de las cifras del número que está en pantalla, por ejemplo, si el número
que está en pantalla es 10224, lo reemplaza por 42201.
Lucas ingresó un número de tres cifras, primero apretó una vez la tecla A, luego apretó una vez la tecla B, y obtuvo
un número de cinco cifras.
Emiliano ingresó el mismo número de tres cifras que Lucas, apretó primero una vez la tecla B, luego apretó una vez
la tecla A, y obtuvo el mismo número de cinco cifras que Lucas.
Determinar todos los números de tres cifras que pudo haber ingresado Lucas.
Primero vamos a ver hasta qué número tengo que analizar. El mayor número de 5 cifras es el 99999 y el menor es el
10000. La raíz cuadrada de 99999 es 316,226… entonces el máximo número a ingresar es el 316 y el mínimo es 100.
Entonces si 316 es el mayor número que se puede utilizar, la primera y la última cifra deben ser 1, 2 o 3 ya que de lo
contrario, al darlo vuelta nos pasamos de 316. (por ejemplo si elijo el 134 al darlo vuelta 431 y me paso). Si elijo el 1
como primer cifra, el número al revés tendrá como última cifra el 1; los cuadrados de los números que terminan en
1, también terminan en 1. Esto quiere decir que el cuadrado original tiene que ser menor o igual que 19999 cuya raíz
es 141. Entonces calculo los cuadrados que cumplen las condiciones ante dichas y los doy vuelta luego invierto el
número de tres cifras, lo elevo y me fijo cuales dan igual:
1012: 10201→10201
1022: 10404→40401
1032: 10609→90601
1112: 12321→12321
1122: 12544→44521
1132: 12769→96721
1212: 14641→14641
1222: 14884→48841
1312: 17161→16171
1322: 17424→42471
1412: 19881→18891
1012: 10201
2012: 40401
3012: 90601
1112: 12321
2112: 44521
3112: 96721
1212: 14641
2212: 48841
1312: 17161
2312: 53361
1412: 19881
Ahora analizamos los que empiezan con 2, que al darlos vuelta termina en 2, cuyo cuadrado termina en cuatro,
entonces el cuadrado del número de Lucas empieza con 4, eso quiere decir que el número tiene que ser mayor que
40000  200 y menor que 49999  223,604... Entonces hago lo mismo que antes:
2012: 40401→10404
2022: 40804→40804
2032: 41209→90214
1022: 10404
2022: 40804
3022: 91204
2112: 44521→12544
1122: 12544
2
212 : 44944→44944
2122: 44944
2132: 45369→96354
3122: 97344
2
221 : 48841→14884
1222: 14884
2
222 : 49284→48294
2222: 49284
Y por último los que empiezan con 3, que no hay que hacer mucho análisis ya que no pueden superar el 316:
3012: 90601→10609
1032: 10609
2
302 : 91204→40219
2032: 41209
3032: 91809→90819
3032: 91809
2
311 : 96721→12769
1132: 12769
3122: 97344→44379
2132: 45369
2
313 : 97969→96979
3132: 97969
Entonces los números son: 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 201, 202, 211, 212, 221, 301, 311. Son 15
3. Un parque tiene forma de hexágono regular de 2 km de lado. Alicia caminó 5 km, comenzando en un vértice y
siguiendo el perímetro del parque. ¿A cuántos kilómetros, medidos en línea recta, está del punto de partida?
Este es el grafico del recorrido
2
2
1
Como sabemos, un hexágono está formado por triángulos equiláteros. Marcando los ángulos:
2
2
30º
60º
1
Vemos que se forma un triángulo rectángulo, por lo que podemos calcular la distancia con el teorema de Pitágoras.
Uno de los catetos es 1 y el otro lo podemos calcular con el siguiente triángulo rectángulo
2
30º
60º
2
1
2
Entonces el otro cateto será:
42  22  16  4  12
Entonces el camino será
 12 
2
 12  12  1  13  3,6055... (la diferencia por decimales no cuenta)
segundo nivel
1. Hallar los dígitos a, b tales que el número de 7 cifras 6a74b14 es múltiplo de 9 y de 11. Dar todas las
posibilidades.
Primero sumo los números que se dan como dato 6+7+4+1+4=22; 2+2=4 entonces para que el número sea múltiplo
de 9, a+b deben sumar 5 o 14. Veamos ahora la multiplicidad por 11: 6+7+b+4=17+b; a+4+1=a+5. Si los restamos:
17+b – a – 5= 12+b-a. Como esto tiene que ser 0, 11 o múltiplo de 11, b-a puede ser – 1; o 6. Entonces armamos
sistemas de ecuaciones:
a  b  5
de donde obtenemos: a=3 y b=2

a  b  1
a  b  5
que no puede ser porque no da números naturales

a  b  6
a  b  14
que tampoco puede ser porque no da entero

a  b  1
a  b  14
como da a=4 y b=10 no puede ser porque eran dígitos

a  b  6
Entonces la única solución es a=3 y b=2 y el número queda 6374214
2. El cuadrado de la figura está dividido en cuadraditos de 2 x 2 y se armó con fósforos de 2 cm.
Hallar el tamaño del mayor cuadrado dividido en cuadraditos de 2 x 2 que se puede armar si se tienen 1999
fósforos. ¿Cuántos fósforos sobran?
Vamos a armar una sucesión para ver como se desarrollan los cuadrados
4
12
24
40
60
Si llamo n a la cantidad de fósforos de un lado, y si observamos que hay tantas líneas verticales como horizontales
n+1 y que cada una tiene n fósforos, puedo escribir la siguiente fórmula para determinar la cantidad de fósforos F.
F=2n(n+1)
Verifico por las dudas 2.1(1+1)=4
2.2(2+1)=12
2.3(3+1)=24
2.4(4+1)=40
2.5(5+1)=60
Ahora que se la ley de formación, busco el número más cerca a 1999. Si n=31; F=2.31(31+1)=1984 fósforos. Es decir
que el cuadrado más grande tiene 31 fósforos de lado y sobran 15 fósforos.
3. Sea ABCD un rectángulo y AC una diagonal. Se trazan desde B y desde D perpendiculares a la diagonal AC, que la
intersectan en P y Q, respectivamente. Se sabe que los puntos P y Q dividen a AC en tres segmentos iguales, de
longitud 1. Hallar el área del rectángulo ABCD.
El grafico quedaría:
d
c
p
1
1
1
q
a
b
Voy a llamar x e y a los lados. Los triángulos ACD y AQD son semejantes por lo que podemos plantear:
y
d
c
p
1
1
x
1
q
a
b
3 x
  x2  3  x  3
x 1
Entonces por Pitágoras
y  32 
 3
2
 93  6
Entonces el área será
3. 6  18  3 2  4, 242..
tercer nivel
(ESTOS SON DEL 2000 PORQUE NO FIGURABAN LOS DEL ZONAL DEL 99 PERO COMO LOS TIENE QUE HACER SOLE,
ESTOS SON PARA ELLA)
1. Hallar todas las ternas x, y, z de números reales que satisfacen el sistema
x (x + y + z) = 26
y (x + y + z) = 27
z (x + y + z) = 28
Si sumamos las tres ecuaciones y sacamos factor común nos queda:
x  x  y  z   y  x  y  z   z  x  y  z   26  27  28
 x  y  z  x  y  z   81
2
 x  y  z   81
Entonces
x+y+z=9 o x+y+z=-9
Por lo que estas son las soluciones
26
9
y. 9   27  y  3
26
9
y.9  27  y  3
x. 9   26  x  
28
9
z. 9   28  z  
x.9  26  x 
z.9  28  z 
28
9
2. Diremos que un entero mayor que 1 es admisible si cada uno de los resultados de multiplicar dos divisores del
número (positivos y distintos) es mayor que 1/5 del número. Por ejemplo, 6 es admisible porque sus divisores son
1, 2, 3 y 6, y los productos 1 . 2 = 2, 1 . 3 = 3, 1 . 6 = 6 y 3 . 6 = 18 son todos mayores que 6 / 5. Determinar todos los
enteros positivos admisibles.
Hasta el 5 son todos admisibles ya que al dividir el número por 5 nos quedaba 1 o menor que 1. El 6 ya está
demostrado en el ejemplo aunque faltan algunos productos. Los números primos son todos admisibles ya que el
único producto posible es el numero por 1 que da como resultado el mismo número siempre mayor que el mismo
dividido por 5.
El 8 y el 9 son admisibles ya que 8:5=1,6 y 9:5=1,8 y el menor producto es 2 y 3 respectivamente. A partir de aquí,
todos los números pares no son admisibles ya que 10:5=2 y el menor producto de todos los pares es 2, menor o igual
que la quinta parte del número. Después de acá todos los compuestos no son admisibles. Es decir que los únicos
admisibles son el 4, 6, 8, 9 y todos los primos.
3. Sean ABCD un trapecio de bases AB = 40 y CD = 30 tal que el lado BC es perpendicular a AB y BC = 35. Denotamos
P al punto medio de DA, y trazamos por P la perpendicular a DA que corta al lado BC en Q. Calcular el área del
cuadrilátero BAPQ.
El grafico es así
30
D
C
35
P
Q
A
40
B
Agrego algunos puntos
n
10
P
D
30
35
C
m 35
Q
A
40
Los PQM y AND son iguales
M=N=90º; MPQ=NAD; PM=NA
Entonces ND=MQ=10
Calculamos las superficies:
ABCD 
 30  40  35
 1225
2
 30  3517,5
PMCD 
 568,75
2
10.35
PMQ 
 175
2
Por lo que:
BAPQ  ABCD  PMCD  PMQ  1225  568,75  175  481, 25
B