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Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas. Números complejos
En este tema vamos a analizar diversos conceptos que no están propiamente incluidos en el
temario, así como algunas cuestiones sobre terminología y notación. Comenzamos con algunos símbolos:
El símbolo ∀ se lee ”para todo”. El símbolo ∃ se lee ”existe” (y @ se lee ”no existe”). El símbolo
| se lee ”tal que”. La expresión p ⇒ q se lee ”p implica q” o también ”si p entonces q” (y significa
que si la condición de la izquierda se cumple entonces se cumple la de la derecha). En esta situación
se dice que p es condición suficiente para q, o que q es condición necesaria para p. La expresión p ⇔ q
se lee ”p si y sólo si q” (y significa que las dos condiciones son equivalentes, es decir, que ambas
se cumplen o no simultáneamente). En esta situación se dice que cualquiera de las condiciones es
condición necesaria y suficiente para la otra. El símbolo ∨ significa ”o” (llamado también disyunción)
y el símbolo ∧ se traduce como ”y” (llamado también conjunción). Para finalizar, algunas notaciones
que vamos a utilizar son:
Dados elementos a1 , a2 , ..., an , para designar la suma de ellos a1 + a2 + ... + an en matemáticas es
n
n
P
Q
frecuente utilizar la notación ai . De forma análoga, ai designa el producto de dichos elementos.
i=1
1.
i=1
Conjuntos
Un conjunto es la reunión en un todo de determinados objetos diferenciables unos de otros. A
los objetos que forman un conjunto se les llama elementos del conjunto.
Ejemplo: Algunos conjuntos son
{1, 2, 3}, {a, b, c}, {5, 2, 8, 125},
el conjunto de los números pares, el conjunto de las personas de esta ciudad, etc. Así, en el primer
conjunto de los anteriores, diremos que 1 es un elemento del conjunto y escribiremos 1 ∈ {1, 2, 3} (se
lee ”1 pertenece al conjunto {1, 2, 3}”). Análogamente 2, 3 ∈ {1, 2, 3}. (Si queremos decir que algo
no pertenece al conjunto basta usar el símbolo ∈;
/ por ejemplo 4 ∈
/ {1, 2, 3}.)
Un conjunto puede describirse enumerando sus elementos (éstos suelen ponerse entre llaves separados por comas, como ocurre con los tres primeros casos anteriores) o definiéndolo por las propiedades
que verifican sus elementos (como ocurre con los últimos 2 casos anteriores).
Si un conjunto consta de un número finito de elementos se dice que es un conjunto finito y si no
se dice que es infinito. Se llama conjunto vacío al que no tiene ningún elemento, y se designará por
∅.
Sean A y B conjuntos. Diremos que B es un subconjunto de A cuando todos los elementos de
B están en A. Esto lo denotaremos del siguiente modo B ⊆ A (se lee ”B está contenido en A”). Si
queremos decir que el conjunto B no es un subconjunto de A escribiremos B * A. (A veces se utiliza
⊂ en vez de ⊆ para designar la inclusión.)
Dados conjuntos A y B, para comprobar que son iguales (A = B) hay que ver que ambos tienen
exactamente los mismos elementos. Para demostrar esto, en la práctica, lo que se hará en la mayoría
de las ocasiones será observar que se verifican las dos inclusiones B ⊆ A y A ⊆ B.
1
Ejemplo: {1, 2} es un subconjunto de {1, 2, 3}; {3} es un subconjunto de todos los números
impares, etc.
Sean A y B conjuntos. Se denomina unión de A y B al conjunto cuyos elementos cumplen, cada
uno de ellos, la propiedad de estar o bien en A o bien en B. Este nuevo conjunto se denotará A ∪ B
(se lee ”A unión B”). De modo matemático podríamos expresarlo así
A ∪ B = {x|x ∈ A o bien x ∈ B}.
Se denomina intersección de A y B al conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la
propiedad de estar tanto en A como en B. Este nuevo conjunto se denotará A ∩ B (se lee ”A
intersección B”). De modo matemático podríamos expresarlo así
A ∩ B = {x|x ∈ A y x ∈ B}.
Se llama diferencia de A por B al conjunto formado por los elementos que están en A pero no en B.
Se denota por A − B (también se denota A\B; incluso algunos docentes lo llaman complementario
de B en A y lo denotan por B c ). De modo matemático podríamos expresarlo así
A − B = {x|x ∈ A y x ∈
/ B}.
Ejemplo:
a)
A = {1, 2, 3} B = {6, 2, 4} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6} A ∩ B = {2} A − B = {1, 3} B − A = {6, 4}
Observemos que los elementos repetidos se consideran una sola vez en la unión.
b)
A = {1, 9, 3} B = {6, 2, 4} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9}
A ∩ B = ∅ A − B = {1, 9, 3} B − A = {6, 2, 4}
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B se denota por A × B y es el conjunto de los
”pares” de elementos de A y de B, es decir
A × B = {(a, b)|a ∈ A y b ∈ B}
La definición se extiende de forma natural para cualquier número de conjuntos. En el caso de que
hagamos el producto cartesiano de un conjunto A consigo mismo n veces utilizaremos la notación An
n veces
z
}|
{
para denotar A × A × ... × A (como ocurrirá por ejemplo con R2 , R3 y en general con Rn . En estos
casos sus elementos los denominamos vectores).
Los conjuntos numéricos más destacables son los siguientes:
i) El conjunto de los números naturales
N = {0, 1, 2, 3, ......}.
A veces nos interesa tomar el conjunto
N∗ = {1, 2, 3, ......},
formado por todos los naturales excepto el 0.
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ii) El conjunto de los números enteros
Z = {0, 1, −1, 2, −2, ......}.
Es claro que todo número natural es un número entero.
iii) El conjunto de los números racionales o fraccionarios
Q={
n
tales que m, n ∈ Z y m es no nulo}.
m
Este conjunto puede también verse como los números decimales que son periódicos (incluyendo el caso de números sin decimal [los enteros] y números con una expresión decimal
7
6 = 0,666....., −2
= −3,5 y 42 = 2. De
finita). Así por ejemplo serían números racionales 23 = 0.b
este modo se ve claramente que todo número entero n es un número racional, pues n = n1 .
iv) El conjunto de los números reales R, algo más difícil de dar explícitamente, podríamos verlo
como el conjunto de los números decimales, tanto los periódicos como los no periódicos.
Serían ejemplos de números reales, aparte de todos los números racionales, algunos que no lo
√
son, como 2 = 1,41421....., log2 5 = 2,32192....., y otros tantos números que tienen infinitos
decimales, pero no pueden darse con una expresión que se repita periódicamente. También
tenemos los conjuntos
R+ = {x ∈ R|x > 0} y R− = {x ∈ R|x < 0}
A los números reales que no son racionales se les llama números irracionales. El conjunto de
los números irracionales es R − Q.
v) El conjunto de los números complejos
C = {a + bi|a, b ∈ R}
√
donde se considera i como la raíz cuadrada de −1, i = −1. Algunos números complejos serían
√
los siguientes: 2 − 3i, 3 + i, −4 − 0,4i, etc. Es claro que todo número real x es un número
complejo pues x = x + 0i.
De la definición de los conjuntos numéricos anteriores se deduce que
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
2.
Aplicaciones
Una aplicación (o función) de A hacia B (o de A en B) es una forma de asignar a cada elemento
f
de A un elemento de B. Escribiremos f : A → B ó A → B. Al conjunto A se le llamará dominio
(o conjunto inicial) y al conjunto B codominio (o conjunto final) de la aplicación. Si a ∈ A
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entonces el elemento de B que le asignamos al elemento a se llamará imagen de a por f y se denotará
f (a). Esto también se expresa con las siguientes notaciones
f
f
A→B
a à f (a)
A→B
a → f (a)
Se llama imagen de la aplicación al conjunto
Im f = {f (a)|a ∈ A}, o de otro modo
Im f = {b ∈ B|∃a ∈ A cumpliendo f (a) = b}
Ejemplo:
a) Sea f : {1, 2, 6, 4} → {2, 4, 6, 8, 9} definida del modo siguiente: al 1 le asignamos el 4, al 2 el
9, al 6 el 8, y al 4 el 9. Entonces f está dada por
f (1) = 4
f (2) = 9
f (6) = 8
f (4) = 9
(es decir, la imagen del 1 es el 4, la imagen del 2 es el 9, la imagen del 6 es el 8, y la imagen del 4 es
el 9).
b) Sea A un conjunto. Se llama aplicación identidad en A a la aplicación I : A → A definida
por I(a) = a ∀a ∈ A (otras formas de denotar la aplicación identidad es i, id, 1, iA , idA , 1A ó IA ).
Por ejemplo la aplicación identidad en el conjunto A = {2, 5, 0} cumple que
I(2) = 2
I(5) = 5
I(0) = 0
Notación: Dada una aplicación f : A × B → C entonces f ((a, b)) podrá denotarse también por
f (a, b).
2.1.
Algunos tipos de aplicaciones
Supongamos que tenemos una aplicación f : A → B. Diremos que f es:
i) Inyectiva si se cumple la siguiente propiedad:
Si tenemos a, b ∈ A tales que f (a) = f (b), entonces a = b; o, dicho de otro modo, cada par
de elementos distintos del conjunto inicial tienen distintas imagénes.
ii) Suprayectiva o sobreyectiva si Im f = B. (Como siempre se tiene Im f ⊆ B, que f sea
suprayectiva equivale a que ∀b ∈ B ∃a ∈ A tal que f (a) = b, es decir, que todo elemento del
conjunto final B sea imagen de algún elemento del conjunto inicial A).
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iii) Biyectiva si es tanto inyectiva como suprayectiva.
Ejemplo:
a) Sea
f : {1, 2, 3} → {a, b, c, 0}
dada por
f (1) = a
f (2) = c
f (3) = 0
Entonces f es inyectiva (porque no hay elementos que tengan imágenes iguales), pero no es suprayectiva (Im f = {a, c, 0}, y b ∈
/ Im f ). Por ello f no es biyectiva.
b) Sea
g : {1, 2, 3} → {a, b}
definida del siguiente modo:
g(1) = a
g(2) = b
g(3) = a
Entonces g no es inyectiva (porque hay elementos distintos que tienen imágenes iguales; en concreto
se tiene que g(1) = g(3)), pero sí es suprayectiva (porque Im g = {a, b}). Luego g no es biyectiva.
c) Sea
h : {1, 2, 3} → {a, b, ∗}
la aplicación definida por
h(1) = a
h(2) = ∗
h(3) = b
Entonces h es inyectiva y suprayectiva, con lo que es biyectiva.
d) Consideremos
α : {1, 2, 3} → {a, b, ∗}
la aplicación dada por
α(1) = b
α(2) = ∗
α(3) = b
Entonces α no es inyectiva (α(1) = α(3)) ni suprayectiva (a ∈
/ Im α). Por tanto no es biyectiva.
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e) Sea
f :R→R
definida, para cada x ∈ R, por
f (x) = 2x + 1
Veamos que f es biyectiva. Empecemos por la inyectividad. Supongamos que para a, b ∈ R se
tiene que f (a) = f (b), es decir, 2a + 1 = 2b + 1. Entonces restando 1 y dividiendo después entre
2 se tiene que a = b. Para probar que f es suprayectiva tomemos un elemento arbitrario y ∈ R.
Debemos encontrar alguna antiimagen, es decir, un elemento x ∈ R tal que f (x) = y, es decir, tal
que 2x + 1 = y. Procediendo como antes, es decir, restando 1 y dividendo entre 2, se tiene que el
elemento buscado es x = y−1
, es decir, f ( y−1
) = y.
2
2
f) La aplicación
f :R→R
definida, para cada x ∈ R, por
f (x) = x2
no es inyectiva, pues f (2) = f (−2) = 4 (de hecho para cada x se tiene que f (x) = f (−x)).
Tampoco es suprayectiva pues @x ∈ R tal que f (x) = −2 (de hecho, lo mismo que sucede para el
número −2, sucede para cualquier número negativo). Concretamente Im f = R+ ∪ {0}.
g) La aplicación
f : R → R+ ∪ {0}
definida, para cada x ∈ R, por
f (x) = x2
es suprayectiva, pues es la misma aplicación del ejemplo anterior, en donde ahora tomamos como
espacio final precisamente la imagen de la aplicación, para asegurarnos que todo elemento de este
espacio es imagen de alguno del espacio inicial.
h) La aplicación exponencial f (x) = ex es inyectiva pero no suprayectiva.
i) La aplicación logaritmo neperiano f (x) = log x es suprayectiva pero no inyectiva.
2.2.
Composición de aplicaciones
Sean
g
f
A −→ B −→ C
aplicaciones. Entonces es posible definir la aplicación compuesta de f y g, la cual está dada del
siguiente modo:
A cada elemento a ∈ A, primero le aplicamos f y nos resulta un elemento b = f (a) ∈ B. A este
elemento obtenido le aplicamos g y resulta g(b) = g(f (a)). A la aplicación así definida se la denotará
por g ◦ f y se le llama la composición de f y g (se lee ”g compuesto con f ”). Con esta notación
tendremos
g ◦ f (a) = g(f (a))
6
Ejemplo:
1) Sean
f : {1, 2, 3, 4} → {2, 3, 7, 9}
g : {2, 3, 7, 9} → {2, 3}
definidas por:
f (1) = 7
f (2) = 7
f (3) = 9
f (4) = 2
g(2) = 3
g(3) = 3
g(7) = 3
g(9) = 2
Entonces
g ◦ f : {1, 2, 3} → {2, 3}
está definida por
g ◦ f (1) = g(f (1)) = g(7) = 3
g ◦ f (2) = g(f (2)) = g(7) = 3
g ◦ f (3) = g(f (3)) = g(9) = 2
g ◦ f (4) = g(f (4)) = g(2) = 3
2) Sean
f :R→R
g:R→R
dadas por
f (x) = 3x2
g(x) = 2x − 1
para cada x ∈ R. Entonces es posible calcular las aplicaciones
g◦f : R→R
f ◦g :R→R
y están dadas, para cada x, por
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(3x2 ) = 2(3x2 ) − 1 = 6x2 − 1
f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (2x − 1) = 3(2x − 1)2 = 3(4x2 − 4x + 1) = 12x2 − 12x + 3
7
3) Sea
f :A→A
una aplicación de un conjunto A en sí mismo. Entonces a la composición
f ◦f :A→A
la denotaremos por f 2 . En general, a la composición de f consigo misma n veces, la denotaremos
por f n .
Como puede deducirse del penúltimo ejemplo, en los casos en los que puede hacerse la composición
en ambos sentidos (cosa que no ocurre siempre) no tienen por qué coincidir g ◦ f y f ◦ g.
2.3.
Inversa
Sea
f :A→B
una aplicación biyectiva. Entonces dado b ∈ B existe un único elemento a ∈ A tal que
f (a) = b
Éste es precisamente el que cumple que
f −1 (b) = a
Así puede definirse otra aplicación
g:B→A
definida por
g(b) = f −1 (b)
De hecho se dice que esta aplicación es la inversa de f y se denota simplemente por
f −1 : Y → X
(no confundamos esta notación con la que se da en la situación general en la que tenemos una
aplicación cualquiera f , no necesariamente biyectiva, y f −1 se utiliza para hallar antiimágenes de
subconjuntos del espacio final. En este caso la peculiaridad que se da al ser f biyectiva es que todo
elemento tiene antiimagen y además ésta es única). En esta situación se tiene que
f −1 ◦ f = IA
f ◦ f −1 = IB
Ejemplo: Consideremos la aplicación
f :R→R
definida anteriormente, para cada x ∈ R, por
f (x) = 2x + 1
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Ya vimos que f era es biyectiva. Para determinar la inversa f −1 : R → R hacemos igual que en
la demostración de la suprayectividad. El cálculo de ésta se hace igual que la demostración de la
suprayectividad: para cada y ∈ R tenemos que hallar f −1 (y) = x, con f (x) = y. Con anterioridad ya
habíamos deducido que x = y−1
(basta con comprobar que f ( y−1
) = y), es decir,
2
2
f −1 (y) =
3.
y−1
2
Estructuras algebraicas
Este apartado está dedicado a ver las estructuras algebraicas que usaremos más adelante y que,
por tanto, deben ser conocidas. Comenzamos con la estructura de grupo abeliano.
Definición: Un grupo abeliano es un par (G, ∗) donde G es un conjunto y ”∗” es una ley de
composición interna (LCI) en G (una LCI es una aplicación ∗ : G × G → G; lo cual se traduce en
que cada par de elementos x, y ∈ G se pueden ”operar” mediante ”∗” para dar otro elemento de G
al que denotaremos por x ∗ y) que verifica:
1. ”∗” es asociativa: ∀a, b, c ∈ G se tiene que
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
(en lo sucesivo pondremos a ∗ b ∗ c sin paréntesis).
2. ”∗” es conmutativa: ∀a, b ∈ G se tiene que
a∗b=b∗a
3. Existencia de elemento neutro para ”∗”: es decir, ∃e ∈ G tal que
a∗e=a=e∗a
∀a ∈ G. El neutro lo llamaremos e en este caso.
4. Todo elemento a ∈ G posee elemento simétrico b para ”∗” que cumple que
a∗b =b∗a=e
Nota: Si no se cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo no abeliano.
Observación: Todos los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, excepto N, con la
operación interna ”suma habitual de números” constituyen grupos abelianos. En esta situación el
elemento neutro es el número 0, y el simétrico de un elemento a es el opuesto b = −a. El problema de
N es que no todo elemento tiene opuesto; por ejemplo el 1 no tiene opuesto en N, es decir, no existe
ningún elemento n ∈ N que cumpla que 1 + n = 0. Sin embargo con la operación interna ”producto
habitual de números” ningún conjunto numérico constituye un grupo abeliano; por ejemplo el 0 no
tiene simétrico. Precisamente esto lo que da lugar a la estructura de cuerpo, que es la que vemos a
continuación.
Definición: Un cuerpo es una terna (K, +, ·) donde K es un conjunto y ”+” y ”·” son LCI en
K que verifican:
9
I) (K, +) es un grupo abeliano (denotaremos por 0 al neutro de (K, +)).
II) ”·” es asociativa.
III) ”·” es conmutativa.
IV) (Propiedades distributivas) ∀a, b, c ∈ K se tiene que
a · (b + c) = a · b + a · c
y
(a + b) · c = a · c + b · c
V) Existe un elemento neutro para ”·” (al que denotaremos por 1). Esto se traduce en que
a·1=1·a=a
para cualquier a.
VI) Todo elemento a ∈ K − {0} posee elemento simétrico para ”·”, al que denotaremos por a−1 y
que será denominado el inverso de a en K. Se verifica entonces que
1 = a · a−1 = a−1 · a.
Observación:
1. A las LCI ”+” y ”·” se les llamará respectivamente suma y producto.
2. Puede omitirse el signo del producto. Así en expresiones como a · b pondremos simplemente ab.
3. Pueden eliminarse los paréntesis en expresiones de la forma (a+b)+c = a+(b+c) ó (ab)c = a(bc)
poniendo simplemente a + b + c ó abc, respectivamente, gracias a la asociatividad de la suma
y el producto.
4. Las propiedades asociativas, conmutativas o distributivas pueden extenderse a cualquier número
finito de elementos. Por ejemplo esta última sería así:
a(b1 + b2 + ... + bn ) = ab1 + ab2 + ... + abn
Ejemplo: De los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, con la suma y el producto
habituales, son cuerpos Q, R y C. En éstos todo elemento no nulo tiene inverso, cosa que no ocurre
en Z (ni en N, que ni siquiera era un grupo abeliano para la suma), pues por ejemplo 2 no tiene
inverso, ya que @n ∈ Z tal que 2 · n = 1.
Propiedad: Dado un cuerpo K se cumple que:
Para a, b ∈ K se tiene a · b = 0 si y sólo si a = 0 ó b = 0.
Nota: De todos los cuerpos existentes usaremos especialmente R y ocasionalmente C.
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4.
Números complejos
√
El conjunto de los números complejos es C = {a + bi|a, b ∈ R}, donde i = −1 (es decir,
i2 = −1). Este conjunto tiene estructura de cuerpo (como ya hemos dicho anteriormente) con la
suma y el producto definidos de forma usual:
Dados z1 = a1 + b1 i y z2 = a2 + b2 i, la suma se realiza coordenada a coordenada, es decir,
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i.
El producto se realiza utilizando la propiedad distributiva del siguiente modo:
z1 · z2 = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 i2 = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i − b1 b2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i
Si z = a + bi es un número complejo (ésta se llama forma binómica de z), a se llama parte
real de z y b se llama parte imaginaria de z. Si la parte imaginaria es 0 entonces z es realmente un
número real; si la parte real es 0 se dice que z es un número imaginario puro. Se llama conjugado
de z al número complejo z = a − bi.
Todo número complejo no nulo z = a + bi tiene inverso (para el producto), y éste es z −1 = |z|z 2 .
De este modo se define la división de un número complejo u entre otro número complejo z 6= 0 como
u
= u · z −1 .
z
√
Se llama módulo de z al número real r = |z| = a2 + b2 , el cual es siempre positivo, salvo para
z = 0 (en cuyo caso el módulo da 0). Se llama argumento de z 6= 0 a cualquier ángulo α que cumple
z
la relación |z|
= cos α + isenα, o equivalentemente
z = |z| (cos α + isenα) = |z| cos α + i |z| senα
De hecho de estos ángulos hay solamente uno, α, que verifica además que −π < α ≤ π. A éste se le
llama argumento principal de z.
Ésta se llama la forma trigonométrica del número complejo z. También se dice que la forma
polar de z es rα . Estas formas permiten hacer cálculos de multiplicación, división y potencia más
fácilmente porque:
|zu| = |z| |u|
Producto arg(zu) = arg z + arg u
0
rα ·rα0 0 = rrα+α
0
¯z¯
¯ ¯=
u
|z|
|u|
Cociente arg uz = arg z − arg u
rα
= ( rr0 )α−α0
r0
α0
|z n | = |z|n
Potencia arg(z n ) = n· arg z
(rα )n = (rn )n·α
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Se puede definir la función exponencial también para números complejos. Ésta función satisface
muchas de las propiedades algebraicas de la exponencial real:
ex+y = ex ey
ex−y =
ex
ey
e0 = 1
eit = cos t + isent para cada número real t (i =
√
−1).
Precisamente esta última propiedad es nueva y es la que nos va a dar la forma exponencial de
los números complejos:
Para cada número complejo z se tiene que z = |z| ei arg z .
Multiplicar y dividir en forma exponencial es sencillo por las propiedades enunciadas anteriormente:
z·u = |z| ei arg z ·|u| ei arg u = |z| |u| ei(arg z+arg u)
z
u
=
|z|ei arg z
|u|ei arg u
=
|z| i(arg z−arg u)
e
|u|
Raíces n-ésimas: Si z 6= 0, dado un número natural n ≥ 2, se tiene que z posee n raíces
n-ésimas distintas (es decir, números complejos z1 , z2 , ..., zn tales que (zk )n = z para k = 1, 2, ..., n).
√
Estos números tienen todos módulo n r y sus argumentos son (reducidos al intervalo ]-π, π])
α1 =
α
n
2π
n
2π
= α2 +
n
2π
= α3 +
n
.......
2π
= αn−1 +
n
α2 = α1 +
α3
α4
αn
Veamos algunos ejemplos de operaciones con complejos:
1. (2 + i) + (5 − 4i) = 7 − 3i
(2 − 6i) − (−3 + 2i) = 5 − 8i
2. (3 + 2i) · (2 − i) = 6 − 3i + 4i − 2i2 = 6 + i + 2 = 8 + i
3. (6 − 4i) = 6 + 4i
−1
(2 + 6i)
=
2−6i
40
=
12
1
20
−
3
i
20
4.
u = 3 − 3i |u| =
entonces se tiene que
p 2
√
√
3 + (−3)2 = 18 = 3 2
Si α = arg u
√
3 2(cos α + i sin α) = 3 − 3i
de donde se deduce que
√
3 2 cos α = 3
√
3 2 sin α = −3
o lo que es lo mismo
cos α =
sin α =
√1
2
− √12
y por tanto este ángulo vale
315o =
π
7π
rad, lo que nos da α = − rad
4
4
para que el ángulo esté comprendido en ]-π, π].
5.
√
v = −4 + 4i |v| = 4 2 arg v = 135o = 3π
rad
4
√ 8
8
Tomando w = v 8 |w| = |v| = (4 2) = 220
arg w = 8 3π
= 6π = 1080o , que resulta ser 0 rad = 0o
4
6. Hallemos las 3 raíces cúbicas del número complejo
z = −27i
Como
|z| =
p
(−27)2 = 27 arg z = 270o =
3π
rad
2
se tiene que las 3 raíces cúbicas buscadas z1 , z2 y z3 verifican que
√
3
|z1 | = |z2 | = |z3 | = 27 = 3
En cuanto al argumento se cumple
270o
π
= 90o = rad
3
2
360o
7π
5π
= arg z1 +
= 90o + 120o = 210o = rad= − rad
3
6
6
π
360o
11π
= 210o + 120o = 330o =
rad= − rad
= arg z2 +
3
6
6
arg z1 =
arg z2
arg z3
En definitiva
z1 = |z1 | (cos arg z1 + sin arg z1 i) = 3(0 + 1 · i) = 3i
√
√
3 1
3 3 3
− i) = −
− i
z2 = |z2 | (cos arg z2 + sin arg z2 i) = 3(−
2
2
√ 2
√2
3 3 3
3 1
− i) =
− i
z3 = |z3 | (cos arg z3 + sin arg z3 i) = 3(
2
2
2
2
13