Download x - Departamento de Álgebra

Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Índice general
1. Lenguaje y Matemáticas
1.1. Introducción a la lógica proposicional . . .
1.2. Cuantificadores universales y existenciales
1.3. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Los números complejos . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
1
1
4
6
8
.
.
.
.
13
13
15
22
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
33
38
40
43
44
49
51
56
4. Conjuntos
4.1. Conjuntos. Operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia. . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
68
73
5. Grupos
5.1. Grupos: Definiciones y ejemplos. . . . . . . . . . . . . .
5.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Orden de un elemento de un grupo . . . . . . . . . . . .
5.4. Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Subgrupos normales. Grupo cociente y grupo producto
5.7. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . .
79
79
82
84
86
87
90
93
.
.
.
.
2. Enteros
2.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
2.3. Clases de congruencias módulo m. . . . . . .
2.4. Los teoremas de Fermat y Euler . . . . . . .
3. Polinomios
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Máximo común divisor . . . . . . . . .
3.3. Factorización. Factores múltiples . . . .
3.4. Congruencias. Teorema chino del resto
3.5. Factorización en C[x] y en R[x] . . . . .
3.6. Factorización en Q[x] . . . . . . . . . .
3.7. Factorización en Fp [x] . . . . . . . . . .
3.8. Factorización efectiva en Q[x] y Fp [x]*
3.9. El teorema fundamental del álgebra* . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
5.8. Teoremas de isomorfía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.9. El grupo de las permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6. Anillos y cuerpos
6.1. Anillos (I): Unidades y divisores de cero
6.2. Anillos (II): Ideales . . . . . . . . . . . . .
6.3. Cuerpo de fracciones. Característica . . .
6.4. Epílogo: El problema de la factorización
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
105
107
110
112
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Capítulo 1
Lenguaje y Matemáticas
Antes de comenzar decir que supondremos que todos sabemos qué son los números
(naturales, enteros, racionales y reales), y que conocemos las propiedades elementales de
la suma y el producto de números (asociativa, conmutativa, distributiva,..). La notación
que usaremos a lo largo de estas notas será:
Los números naturales, N.
Los números enteros, Z.
Los números racionales, Q.
Los números reales, R.
El cero, 0, no se considera un número natural
1.1. Introducción a la lógica proposicional
En este tema trataremos de desarrollar el uso del lenguaje en el contexto de las matemáticas. A lo largo del mismo, por una proposición o sentencia lógica entenderemos una
declaración que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo:
1) Hoy es lunes.
2) 3 es mayor que 7.
3) He nacido en Sevilla.
En los tres ejemplos es claro (aunque el 3 sea más complicado comprobarlo) que la
declaración correspondiente es verdadera o falsa. Ésta es la característica fundamental de
las proposiciones. La siguiente declaración (paradoja) “esta frase es falsa"no puede ser ni
verdadera ni falsa, por tanto no la consideraremos como proposición.
Otros ejemplos de declaraciones que no son proposiciones son:
1) El color azul es bonito.
2) n es un número par.
3) ¿Quién ha llegado?
Consideremos el conjunto P de todas la proposiciones posibles. Este conjunto está
dividido en dos partes: las proposiciones que son verdaderas y las proposiciones que son
falsas. Lo que pretendemos ver ahora es cómo podemos combinar proposiciones para
obtener otras nuevas y, además, estudiar cómo se traduce la veracidad o falsedad de las
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
proposiciones combinadas en la proposición resultante. Generalmente usaremos las letras
p, q, r, ... para representar las proposiciones. Por ejemplo
p : hoy es lunes.
Negación
Dada una proposición p , definimos la proposición ¬p (no p ) como la
proposición que es falsa cuando p es verdadera, y verdadera si p es
falsa.
Esta definición se puede ilustrar en su tabla de verdad
p
V
F
¬p
F
V
Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q , definimos p∧q (p y q ) como la proposición que es verdadera sólo cuando ambas, p y q , son verdaderas.
Su tabla de verdad es:
p
q
V V
V F
F V
F F
p ∧q
V
F
F
F
Disyunción
Dadas dos proposiciones p y q , definimos la proposición p ∨ q (p o q )
como aquélla que es verdadera cuando una o ambas proposiciones son
verdaderas.
Su tabla de verdad es:
p
q
V V
V F
F V
F F
p ∨q
V
V
V
F
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Implicación
Dadas dos proposiciones p y q , definimos la proposición p → q (p
implica q ) como la proposición que es falsa cuando p es verdadera y q
falsa, y verdadera en los demás casos. Llamaremos a p la hipótesis y a
q la conclusión.
Su tabla de verdad es:
p
q
V V
V F
F V
F F
p→q
V
F
V
V
Ya podemos construir todo tipo de proposiciones, y sus tablas de verdad. Por ejemplo,
la tabla de verdad de la proposición ¬p ∨ q es
p
q
¬p ∨ q
V V
V F
F V
F F
V
F
V
V
Otro ejemplo algo más complicado: la tabla de verdad de (p ∧ q) → r
p
q
r
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
p ∧q
V
V
F
F
F
F
F
F
(p ∧ q) → r
V
F
V
V
V
V
V
V
Se observa que las tablas de verdad de la implicación y del primer ejemplo coinciden.
Definición 1.1.1. Diremos que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen
la misma tabla de verdad.
Ejemplo 1.1.2. Los siguientes pares de proposiciones son lógicamente equivalentes:
a) p ∨ (q ∧ r ), (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) (propiedad distributiva)
b) p ∨ (q ∨ r ), (p ∨ q) ∨ r (propiedad asociativa)
Tautología
Diremos que una proposición es una tautología si los valores de su tabla
de verdad son todos verdaderos.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Por ejemplo p ∨ ¬p. La negación de una tautología se denomina contradicción. Es
decir, una contradicción es una proposición en cuya tabla de verdad sólo aparece el valor
falso. Por ejemplo p ∧ ¬p.
Definición 1.1.3. Dadas dos proposiciones p y q definimos la proposición p ↔ q (p sí
y sólo si q ) como la proposición que es verdadera cuando p y q son ambas verdaderas ó
ambas falsas.
Su tabla de verdad es:
p
q
V V
V F
F V
F F
p↔q
V
F
F
V
Con esta definición se puede comprobar que dos proposiciones p y q son lógicamente
equivalentes (⇔) si la proposición p ↔ q es una tautología.
Para terminar esta sección veamos cómo actúa la negación sobre ∨, ∧ y → . Es un
fácil ejercicio comprobar que:
1) ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q.
2) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q.
Estas propiedades se conocen con el nombre de las leyes de DeMorgan. Para ver cómo
actúa la negación sobre → basta tener en cuenta que p → q ⇔ ¬p∨q , y aplicando las leyes
de DeMorgan, tenemos que:
¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ⇔ (¬¬p) ∧ ¬q ⇔ p ∧ ¬q
1.2. Cuantificadores universales y existenciales
Comenzaremos escribiendo una proposición de distintas formas. Por ejemplo, sabemos (lo probaremos más adelante) que:
la desigualdad n 2 < 2n es cierta para todos los números naturales mayores o iguales que
5.
Podemos expresar (escribir) esta proposición de distintas formas:
Para todo número natural n , si n ≥ 5, entonces n 2 < 2n .
Para todo n , si n ∈ N y n ≥ 5, entonces n 2 < 2n .
(∀n)[(n ∈ N ∧ n ≥ 5) → (n 2 < 2n )].
Cada vez que hemos escrito la proposición, hemos aumentado el grado de formalidad. En la última aparece el símbolo ∀ (para todo), que denominaremos “cuantificador
universal". Veamos otro ejemplo:
Todos los elementos del conjunto B son negativos.
Para todo x ∈ B , x < 0.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
(∀x ∈ B)(x < 0).
Para todo x , si x ∈ B , entonces x < 0.
(∀x)(x ∈ B → x < 0).
La forma más general para una proposición conteniendo en cuantificador universal
sería como sigue. Si P (x) es una propiedad expresada en términos de x , entonces una
proposición general con el cuantificador universal sería:
(∀x)(P (x)),
que leeríamos: para todo x , P (x).
Volvamos al primer ejemplo. Sabemos que la desigualdad n 2 < 2n es cierta si n ≥ 5,
pero no lo es si 2 ≤ n ≤ 4. Es decir, sabemos que
Existe un número natural n tal que n 2 ≥ 2n .
Existe n tal que n ∈ N y n 2 ≥ 2n .
(∃n)(n ∈ N ∧ n 2 ≥ 2n ).
El símbolo ∃ se lee como “existe” y se denomina cuantificador existencial.
Otro ejemplo:
Algún elemento del conjunto B es positivo.
Existe x ∈ B , x > 0.
(∃x ∈ B)(x > 0).
Existe x tal que x ∈ B y x > 0.
(∃x)(x ∈ B ∧ x > 0).
Si P (x) es una propiedad expresada en términos de x , entonces una proposición general con el cuantificador existencial sería:
(∃x)(P (x)),
que leeríamos: existe un x tal que P (x).
Veamos un ejemplo con los dos cuantificadores:
Existe un elemento del conjunto A que es menor que todos los elementos del conjunto B .
Existe x ∈ A tal que x < y para todo y ∈ B.
Existe x ∈ A tal que, para todo y ∈ B , x < y.
(∃x ∈ A)(∀y ∈ B)(x < y).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
En matemáticas también usamos el símbolo ∃!, que significa “existe un único". La
expresión (∃!x)(P (x)) se lee: “existe un único x tal que P (x)". Por ejemplo: ∃!n ∈ N tal
que n 3 = 8.
Las proposiciones con cuantificadores se niegan siguiendo las dos reglas siguientes:
¬[(∀x)(P (x))] ⇔ (∃x)(¬P (x))
¬[(∃x)(P (x))] ⇔ (∀x)(¬P (x)).
Un ejemplo con los dos cuantificadores: la negación de (∀ǫ > 0)(∃n ∈ N)(1/n < ǫ) es
(∃ǫ > 0)(∀n ∈ N)(1/n ≥ ǫ).
1.3. Demostraciones
En esta sección veremos los cuatro tipos de demostraciones que usaremos a lo largo
de todo el curso.
Prueba directa.
Esquema:
Teorema Si p entonces q .
Demostración: Supongamos p . Entonces [...], se tiene q.
Ejemplo.- Sea n un número natural. Probar que si n es impar entonces n 2 es impar.
Demostración: Si n es impar, es de la forma n = 2k + 1. Por tanto n 2 = (2k + 1)2 =
4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, es decir, n 2 es impar.
Prueba de una proposición lógicamente equivalente.
Consiste en sustituir la proposición a demostrar por otra que sea lógicamente equivalente y tratar de probar esta última. Por ejemplo, si queremos probar que p → (q ∨ r )
podemos usar que es lógicamente equivalente a (p ∧ ¬q) → r.
Esquema:
Teorema p → (q ∨ r ).
Demostración: Supongamos p ∧ ¬q . Entonces [...], se tiene r.
Prueba del contrarrecíproco.
Es un caso particular de la anterior. Si se quiere probar p → q , usamos que es lógicamente equivalente a ¬q → ¬p, y
Esquema:
Teorema p → q .
Demostración: Supongamos ¬q . Entonces [...], se tiene ¬p.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Ejemplo.- Sea n un número natural. Probar que si n 2 es impar entonces n es impar.
Demostración: Supongamos que n es par, es decir n = 2k. Entonces n 2 = 4k 2 es par.
Prueba por reducción al absurdo.
Si queremos probar que p es un teorema (es verdadero), lo que queremos ver es que
p es una tautología. Por tanto ¬p es una contradicción.
Esquema:
Teorema p .
Demostración: Supongamos ¬p . Entonces [...] FALSO. Luego es una contradicción. Se tiene p.
p
Ejemplo.- Proposición (Pitágoras).- 2 no es racional.
p
Demostración.- Haremos
la
demostración
por
reducción
al
absurdo.
Supongamos
que
2
p
es racional, es decir, 2 = m
,
y
suponemos
que
m
y
n
no
tienen
ningún
factor
común.
n
Elevando al cuadrado tenemos 2 = m 2 /n 2 , luego m 2 = 2n 2 . Como m 2 es un número
par, se deduce (probarlo) que m es par, m = 2r. Sustituyendo tenemos 4r 2 = 2n 2 , luego
2r 2 = n 2 , de donde deducimos que n 2 , y por tanto n , es un número par. Esto contradice el
hecho de que m y n no tenían factores comunes.
Contraejemplos.Supongamos que tenemos una proposición y queremos saber si es verdadera o falsa.
Por ejemplo, sea P (n) una propiedad que tratamos probar que se verifica para todos los
números naturales n. Entonces:
Si P (n) es verdadera, tenemos que dar una prueba general.
Si P (n) es falsa, basta dar un valor de n en el que no se verifique la propiedad.
Ejemplo.- Si nuestra propiedad P (n) es: “todo número impar es primo", basta comprobar
que para n = 9 no se verifica la propiedad, luego es falsa.
Prueba por inducción.Supongamos que tratamos de probar una propiedad (un enunciado) sobre los números
naturales n ≥ n 0 , para un n 0 dado. Si denotamos por P (n) dicha propiedad, la prueba por
inducción funciona de la siguiente manera:
1) Probar que P (n 0 ) es cierta
2) Suponer que P (n) es cierta (hipótesis de inducción)
3) Probar que P (n + 1) es cierta.
El segundo paso se puede sustituir por
2’) Suponer que P (k) es cierta ∀k, n 0 ≤ k ≤ n.
Ejemplo.- ∀n ∈ N se verifica que
1 +2 +··· +n =
n(n + 1)
.
2
Demostración:
.
1) El resultado se verifica para n = 1, pues 1 = 1(1+1)
2
2) Suponemos el resultado cierto para n , es decir, 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
.
2
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
3) Tenemos que probar que 1 + 2 + · · · + n + (n + 1) = (n+1)(n+2)
. En efecto,
2
1 + 2 + · · · + n + (n + 1) = [1 + 2 + · · · + n] + (n + 1) =
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
+ (n + 1) =
.
2
2
Ejemplo.- Todo número natural n > 1 tiene un divisor primo.
Demostración:
1) El resultado se verifica para n = 2, pues 2 es un divisor primo de 2.
2’) Suponemos el resultado cierto ∀k, n 0 ≤ k < n.
3) Tenemos que probar que n tiene un divisor primo. Si n es primo, n es el divisor buscado. Si n no es primo entonces n = r s, con 1 < r, s < n. Luego r (y s ) tiene un divisor
primo.
1.4. Los números complejos
Números complejos
Un número complejo es un número de la forma a + b · i , donde a y b
son números reales e i es un símbolo que verifica la propiedad i 2 = −1.
Dado un complejo en forma binómica z = a +b i , el número real a se denomina parte
real de z , notado R(z), mientras que b se denomina parte imaginaria de z , notado I (z).
Dos números complejos son iguales si y sólo si tienen la misma parte real y la misma parte
imaginaria.
En C definimos las siguientes operaciones internas:
(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d ) i ,
(a + b i )(c + d i ) = (ac − bd ) + (ad + bc) i ,
Proposición 1.4.1. (C, +, ·) es un cuerpo.
P RUEBA : Comprobar que C con estas dos operaciones es un cuerpo es algo tedioso.
Simplemente notaremos que el elemento neutro de la suma es 0 = 0 + 0 i y el neutro del
producto es 1 = 1 + 0 i . Así mismo, dado a + b i el inverso aditivo es −a + (−b) i y, si es
distinto de 0, el inverso multiplicativo es precisamente
a/(a 2 + b 2 ) − (b/(a 2 + b 2 )) i .
Nota 1.4.2. Si consideramos los números complejos de la forma a + 0 i vemos que podemos suponer R ⊂ C, identificando a ∈ R con a + 0 i ∈ C.
Definición 1.4.3. Dado un número complejo z = a+b i , llamaremos complejo conjugado
de z, y lo notaremos z, al número complejo z = a − b i .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
La operación de conjugación, a pesar de su inofensivo aspecto, tiene una importancia
enorme, incluso en el estudio de objetos reales. Un par de propiedades inmediatas, a partir
de la definición, son las siguientes:
z1 + z2 = z1 + z2 ,
z1 · z2 = z1 · z2 ,
de donde a su vez se deducen
1/z = 1/z.
−z = −z,
Sea z ∈ C. Es fácil ver que z ∈ R si y sólo si z = z.
Módulo
Sea z = a + bi ∈ C. Llamaremos módulo de z , denotado |z|, a la raíz
cuadrada del número real positivo z · z = a 2 + b 2 ,
|z| =
p
a2 + b2
Nota 1.4.4. La expresión del inverso multiplicativo de z resulta más sencilla usando el
conjugado y el módulo:
1 z 1
z
= · = 2.
z z z |z|
Gráficamente, podemos representar C como un plano:
z=2+3i
3
1
-3
-2
-1
|z
|
2
1
2
3
-1
-2
-3
-z=-2-3i
z=2-3i
Figura 1.1: Representación gráfica
Forma polar o módulo-argumento Todo número complejo z se puede escribir de forma
z = |z|(a + b i ),
donde a 2 + b 2 = 1 y, en consecuencia, existe un único ángulo α ∈ [0, 2π), llamado argumento de z , tal que
z = |z|(cos(α) + sen(α) i ).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
3
z1=-1+2i
2
z=z1+z2=2+i
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
z2=3-i
-2
-3
Figura 1.2: Suma de complejos
Dos números complejos, representados en forma polar, son iguales si y sólo si sus
módulos y sus argumentos son iguales.
Con esta notación es fácil ver que para multiplicar dos números complejos hay que
multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos. Para dividir, por tanto, se dividen sus
módulos y se restan sus argumentos. En efecto: sean
z 1 = r 1 (cos(α1 ) + i sen(α1 )),
z 2 = r 2 (cos(α2 ) + i sen(α2 )).
Entonces
z 1 z 2 = r 1 r 2 · [(cos(α1 ) + i sen(α1 ))(cos(α2 ) + i sen(α2 )]
= r 1 r 2 · [ (cos(α1 )cos(α2 ) − sen(α1 )sen(α2 )) +
(cos(α1 )sen(α2 ) + cos(α2 )sen(α1 )) i ]
= r 1 r 2 · [cos(α1 + α2 ) + i sen(α1 + α2 )] .
3
2
1
-3
-2
-1
=2
|z |
r= θ=30
1
z=√3+ i =2(cos 30 + i sen 30)
y=r sen(θ)
2
3
x=r cos(θ)
-1
-2
-3
Figura 1.3: Forma polar
De aquí se obtiene la fórmula de De Moivre:
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
z1z2=3(cos 105 + i sen 105)
3
2
z2=3/2(cos 75 + i sen 75)
z1=2(cos 30 + i sen 30)
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Figura 1.4: Producto
Fórmula de De Moivre
Para todo número natural n , se tiene
(cos(α) + i sen(α))n = cos(nα) + i sen(nα).
P RUEBA : Lo probaremos por inducción. Para n = 0 se verifica, pues
(cos(α) + i sen(α))0 = 1 = cos(0) + i sen(0).
Supongamos que se verifica para n , es decir,
(cos(α) + i sen(α))n = cos(nα) + i sen(nα).
Entonces,
(cos(α) + i sen(α))n+1 = (cos(α) + i sen(α))n (cos(α) + i sen(α)) =
= (cos(nα) + i sen(nα)(cos(α) + i sen(α)) = cos(n + 1)α + i sen(n + 1)α.
Forma exponencial Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la fórmula de Euler:
e i α = cos(α) + i sen(α).
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada
forma exponencial:
z = |z|e i α .
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que
sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se
suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes
enteros se tiene
z n = |z|n e i nα .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Raíces n -ésimas de un número complejo Estudiemos ahora las potencias con exponente
racional de un número complejo. Sean z = |z|e i α ∈ C y n un número natural. Considerep
mos ω = |ω|e i β = n z = z 1/n una raíz n -ésima de z. Se tiene que
ωn = |ω|n e i nβ = |z|e i α = z.
Por tanto,
|ω| =
p
n
|z|
y β = (α + 2kπ)/n,
con k ∈ Z.
De todos estos valores sólo n consecutivos son distintos. Por tanto, un número complejo
z tiene siempre n raíces n -ésimas distintas
ωk =
p
n
|z|e i (α+2kπ)/n ,
con
k = 0, 1, . . ., n − 1.
Observamos que las n raíces n -ésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en 2π/n cada uno del siguiente, esto es, las raíces n -ésimas se
encuentran en los vértices
de un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia
p
de centro 0 y radio n |z|. Como ejemplo, en la siguiente figura podemos ver las raíces
sextas de z = 8(cos30 + i sen30)
z=8(cos 30 + i sen 30)
3
2
z2= √ 2 (cos 65 + i sen 65)
√ 2 (cos 125 + i sen 125)=z3
1
-3
-2
z1= √ 2 (cos 5 + i sen 5)
-1
√ 2 (cos 185 + i sen 185)=z4
1
2
3
4
5
-1
z6= √ 2 (cos 305 + i sen 305)
√ 2 (cos 245 + i sen 245)=z5
-2
-3
Figura 1.5: Raíces
6
7
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Capítulo 2
Enteros
2.1. Divisibilidad
Antes de comenzar el tema enunciamos una propiedad de los números enteros que
usaremos más adelante:
Principio de la buena ordenación: Todo subconjunto no vacío de Z acotado inferiormente posee un mínimo.
Desarrollamos brevemente la teoría clásica de la divisibilidad sobre los números enteros.
Divisibilidad
Sean a, b dos enteros distintos de cero. Se dirá que a divide a b si existe
c ∈ Z tal que ac = b . En este caso se escribe a|b . También se dice que b
es divisible por a .
Nota 2.1.1. Dos elementos especiales de Z son 1 y −1. Para empezar, obviamente dividen
a todos los números enteros. Pero además son los únicos enteros con esta propiedad.
Supongamos que a ∈ Z es otro entero con esta propiedad. Entonces debe dividir a 1,
luego existe b tal que ab = 1. Entonces, o bien a, b son positivos o son negativos. Si son
negativos, se pone (−a)(−b) = 1, con lo que se puede suponer que ambos son positivos.
En este caso, si fuese a ó b mayor que 1 (por ejemplo a ), sería a > 1 y b > 0 (luego
b ≥ 1) sería ab > 1 · b = b ≥ 1, luego ab > 1, lo que no puede ser. Así, a = b = 1, luego
desde el principio a = ±1, b = ±1.
La relación de divisibilidad verifica las propiedades siguientes:
1. Propiedad reflexiva: a|a . En efecto, a = 1 · a .
2. Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c . En efecto, existen d , d ′ tales que
b = ad y c = bd ′ , luego c = ad d ′ lo que implica que a|c .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
3. Si a|b y b|a entonces a = ±b . En efecto, existen c, c ′ tales que b = ac y a = bc ′ . Así
a = acc ′ , luego a −acc ′ = a(1−cc ′ ) = 0. Como a 6= 0 por definición de divisibilidad,
es 1 − cc ′ = 0 luego cc ′ = 1, de donde c ′ = ±1 y así a = ±b .
Por consiguiente, si nos restringimos a enteros positivos, la divisibilidad es una relación
de orden parcial porque la propiedad 3) anterior es la propiedad antisimétrica: a|b y b|a
=⇒ a = b .
Nota 2.1.2. La divisibilidad es compatible con las operaciones aritméticas. En concreto:
1. Si a|b y a|c entonces a|(b ± c). En efecto, existen d , d ′ ∈ Z tales que b = ad y
c = ad ′ . Así
b ± c = ad ± ad ′ = a(d ± d ′ ) ,
luego a|(b ± c).
2. Si a|b entonces a|bc , ∀c ∈ Z. En efecto, existe d ∈ Z tal que b = ad . Así bc = ad c ,
luego a|bc .
Veamos ahora uno de los resultados más importantes de este tema:
División euclídea
Sean a, b ∈ Z+ , b > 0; Existen unos enteros únicos q, r ∈ Z tales que:
1. a = bq + r
2. 0 ≤ r < b
Al entero q se le llama el cociente de la división y a r el resto.
P RUEBA : Vamos a probar primero la existencia. Si a < b , entonces se puede poner
q = 0 y r = a . Supongamos que a ≥ b y sea q ∈ Z tal que qb ≤ a < (q + 1)b. Pongamos
r = a −bq ; hay que demostrar que 0 ≤ r < b . Desde luego, como a ≥ qb es a −qb = r ≥ 0.
Por otro lado, como a < (q + 1)b , se tiene que r = a − qb < (q + 1)b − qb = b.
Probemos ahora la unicidad. Supongamos que existen q ′ , r ′ ∈ Z tales que a = q ′ b +
r ′ , 0 ≤ r < b. Si q ≥ q ′ , restando obtenemos que (q − q ′ )b = r ′ − r < b , igualdad que sólo
se puede dar si q = q ′ y r = r ′ .
Nota 2.1.3. Este teorema se puede demostrar usando el principio de buena ordenación. En
efecto: sea S = {a−bx | x ∈ Z y a−bx ≥ 0}. S es no vacío y está acotado inferiormente,
luego posee un mínimo. Sea r = a − bq ≥ 0 dicho mínimo. Falta ver que r < b. En caso
contrario, r = b + r ′ , 0 ≤ r ′ < r. Sustituyendo se tiene que r ′ = a − b(q + 1) ∈ S , en contra
de ser r el mínimo.
Nota 2.1.4. Podemos dar una nueva definición de divisibilidad: Sean a, b dos enteros
distintos de cero. Se dirá que b divide a a si el resto de la división de a por b es cero.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Número primo
Un entero p 6= 0, ±1 se llama primo si y sólo si es divisible únicamente
por ±p y ±1.
Máximo común divisor
Dados dos enteros a, b , diremos que d > 0 es un máximo común divisor de a y b y denotaremos d = mcd(a, b), si se verifica:
1. d |a y d |b .
2. Si d ′ > 0 es tal que d ′ |a y d ′ |b entonces d ′ |d .
Si d = 1 se dice que a y b son primos entre sí.
Mínimo común múltiplo
Diremos que m > 0 es un mínimo común múltiplo de a y b y denotaremos m = mcm(a, b), si se verifica:
1. a|m y b|m .
2. Si m ′ > 0 es tal que a|m ′ y b|m ′ entonces m|m ′ .
Nota 2.1.5. Por el momento no tenemos asegurada la existencia del mcd ni del mcm de
dos enteros, pero es fácil comprobar que, de existir, son únicos.
Veamos el caso del mcd. Supongamos que d y f son dos mcd de a y b. Por ser d un
mcd y verificarse que f |a, f |b , por la propiedad 2) se tiene que f |d . Cambiando el papel
de d y f , tenemos d | f , y por tanto la igualdad.
2.2. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Veamos un procedimiento, el algoritmo de Euclides, para el cálculo del máximo
común divisor.
Proposición 2.2.1. Sean a, b ∈ Z+ , a ≥ b , y efectuemos la división euclídea a = qb + r .
Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 6= 0
mcd(a, b) = mcd(b, r ).
P RUEBA : Si r = 0 es a = qb , luego mcd(a, b) = b . Si r 6= 0, sea
d = mcd(a, b),
d ′ = mcd(b, r ) ;
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
entonces d |r = a − qb , luego d |d ′ . Por otra parte, d ′ |a = qb + r , luego d ′ |d y así d = d ′ .
Algoritmo de Euclides
Este resultado nos permite describir el Algoritmo de Euclides: Sean
a, b ∈ Z+ , a ≥ b , y efectuemos la división euclídea a = qb + r. Como
r < b , podemos dividir b entre r , y así sucesivamente, obteniendo:
a
b
r
r1
=
=
=
=
..
.
qb + r
q0 r + r 1
q1 r 1 + r 2
q2 r 2 + r 3
0≤r <b
0 ≤ r1 < r
0 ≤ r2 < r1
0 ≤ r3 < r2
r n−1 = q n r n + r n+1 0 ≤ r n+1 < r n
rn
= q n+1 r n+1 + 0 r n+2 = 0
Proposición 2.2.2. Se tiene que mcd(a, b) = r n+1 , es decir, el máximo común divisor de a
y b es el último resto no nulo al aplicar sucesivamente el algoritmo de división.
P RUEBA : Por la proposición anterior se tiene que:
mcd(a, b) = mcd(b, r ) = mcd(r, r 1 ) = · · · = mcd(r n−1 , r n ) = mcd(r n , r n+1 ) = r n+1 ,
lo cual demuestra el resultado.
Asociada al máximo común divisor está la identidad de Bézout, cuya existencia teórica
viene afirmada por el siguiente teorema:
Identidad de Bézout
Sean a, b > 0 enteros y sea d = mcd(a, b). Existen enteros α, β tales que
αa + βb = d
A cualquier igualdad de este tipo se le llama identidad de Bézout.
P RUEBA : Demostramos la existencia de manera no constructiva. Sea
S = {n ∈ Z+ | n = xa + yb, x, y ∈ Z} ;
evidentemente S 6= ; porque a = 1 · a + 0 · b ∈ S . Como S está acotado inferiormente por
cero, tiene un mínimo al que llamamos n 0 = αa + βb . Como d |a y d |b entonces d |n 0 .
Vamos a probar que d = n 0 , para lo que hay que demostrar que n 0 |a y n 0 |b . Vamos a
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
probar que n 0 |a , la otra relación se prueba de forma análoga. Por la división euclídea
podemos escribir a = qn 0 + r con 0 ≤ r < n 0 . Entonces,
r = a − qn 0 = a − q(αa + βb) = (1 − qα)a + (−qβ)b ∈ S .
Por la minimalidad de n 0 tiene que ser r = 0, luego n 0 |a .
Nota 2.2.3. Los enteros α y β que aparecen en la identidad de Bézout no son únicos. En
efecto: para cualesquiera α, β tales que αa + βb = d , es
(α − kb)a + (β + ka)b = d ,
∀k ∈ Z .
La identidad de Bézout nos permite probar el siguiente teorema:
Teorema de Euclides
Sean a, b, c > 0 tales que c|ab y mcd(c, a) = 1; entonces c|b . En particular, si p es primo, p|ab y p no divide a a , entonces p|b .
P RUEBA : Evidentemente, la segunda afirmación es consecuencia de la primera; demostremos ésta. Por la identidad de Bézout, 1 = αa + βc. Multiplicando por b esta expresión, se tiene que b = αab + βcb. Como c|ab y c|cb , c|b.
Proposición 2.2.4. Sean a, b ∈ Z,
d = mcd(a, b),
a′ =
a
,
d
b′ =
b
.
d
Entonces a ′ , b ′ son primos entre sí.
P RUEBA : Si a ′ y b ′ no son primos entre sí, entonces existe d ′ ∈ Z, 1 6= d ′ , tal que d ′ |a ′
y d |b ′ . Luego d d ′ |a ′ d = a , d d ′ |b ′ d = b y d d ′ > d , lo que no es posible.
′
Ahora podemos definir el mínimo común múltiplo usando el máximo común divisor.
Proposición 2.2.5. Sean a, b ∈ Z, d = mcd(a, b). Se verifica que mcm(a, b) = ab/d .
P RUEBA : Sean
m = ab/d ,
a ′ = a/d ,
b ′ = b/d .
Se tiene que m = a ′ b = ab ′ , luego es múltiplo de a y b . Sea m ′ ∈ Z múltiplo de a y b ,
m ′ = aa ′′ = bb ′′ . Dividiendo esta última igualdad por d obtenemos a ′ a ′′ = b ′ b ′′ y, por el
teorema de Euclides, a ′ |b ′′ , es decir, b ′′ = a ′ c . Sustituyendo m ′ = ba ′ c = mc , luego m es
el mínimo común múltiplo de a y b.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Teorema fundamental de la divisibilidad
Todo entero distinto de 0 y ±1 se descompone en producto finito de
números primos. Esta descomposición es única salvo orden y producto
por ±1.
P RUEBA : Vamos primero a demostrar la existencia de la descomposición. Sea n 6=
0, ±1 un entero fijo, y vamos a demostrar que n se descompone en producto de primos.
Podemos suponer que n > 0 porque, si lo demostramos en este caso y n = p 1 · · · p r , entonces −n = (−1) · p 1 · · · p r , lo que demuestra el resultado para los enteros negativos.
La existencia de la descomposición se prueba por inducción a partir de n = 2. El
número n = 2 es primo. Supongamos que n > 2 y que todos los números menores que n se
descomponen en producto finito de primos. Si n es primo hemos terminado: es producto
de un primo (él mismo). Si no lo es, se descompone en producto n = n 1 n 2 de dos enteros
positivos estrictamente menores que n . Al aplicar a n 1 y n 2 la hipótesis de inducción,
vemos que n se descompone en producto finito de primos.
Para demostrar la unicidad (salvo orden y producto por unidades), basta considerar
enteros positivos n por la misma razón que antes. Además, basta ver que no puede haber
dos descomposiciones distintas de un mismo número positivo en producto de primos positivos. Vamos a operar por reducción al absurdo. Supongamos que hay números que
admiten dos descomposiciones distintas en producto de primos positivos:
n = p 1 · · · p r = q1 · · · q s .
Supongamos que r ≤ s . Tenemos p 1 |n = q1 · · · q s , luego p 1 |qi , para algún i , con 1 ≤
i ≤ s , de donde p 1 = q i , al ser q i primo. Podemos suponer i = 1. Dividiendo por p 1
se tiene que p 2 · · · p r = q2 · · · q s . Repitiendo el razonamiento para p 2 , . . . , p r , llegamos a
1 = q r +1 · · · q s . Luego r = s y p i = q i , i = 1, . . . , r .
Teorema (Euclides)
El conjunto de los primos es infinito.
P RUEBA : Supongamos que no, es decir, que el conjunto de los primos fuese finito, y
sean p 1 , . . . , p r todos los primos. Sea n = p 1 · · · p r + 1. Por la factorización única, n debe
ser divisible por algún p i , lo que implicaría que p i |1 y eso es imposible.
Nota 2.2.6. (Opcional) Veamos otra forma de definir el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. La factorización única de un entero positivo n la escribiremos usualmente en la forma
Y
n=
p νn (p)
p primo
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
donde todos los νn (p) son cero salvo un número finito. La factorización se puede extender
a enteros n < 0 poniendo
n = (−1)
Y
p ν−n (p) .
p primo
Sin embargo, la noción de número primo la reservaremos para los positivos, como hemos
dicho antes.
Teorema (Existencia del máximo común divisor).– Dados dos enteros a, b > 0, existe
un único d > 0 que verifica:
1. d |a y d |b .
2. Si d ′ > 0 es tal que d ′ |a y d ′ |b entonces d ′ |d .
A este entero se le llama el máximo común divisor de a y b y se le denota d = mcd(a, b).
P RUEBA : Sean
a=
Y
p νa (p) ,
p primo
b=
Y
p νb (p)
p primo
las descomposiciones de a y b en producto de primos. Según el enunciado queda claro
que el único número que satisface las condiciones es
d=
Y
p mı́n(νa (p),νb (p)) .
p primo
Teorema (Existencia del mínimo común múltiplo).– Dados dos números a, b > 1, existe
un único m > 0 que verifica:
1. a|m y b|m .
2. Si m ′ > 0 es tal que a|m ′ y b|m ′ entonces m|m ′ .
A este entero se le llama el mínimo común múltiplo de a y b y se le denota m = mcm(a, b).
P RUEBA : Sean
a=
Y
p νa (p) ,
p primo
b=
Y
p νb (p)
p primo
las descomposiciones de a y b en producto de primos. Según el enunciado queda claro
que el único número que satisface las condiciones es
m=
Y
p primo
p máx(νa (p),νb (p)) =
ab
mcd(a, b)
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Congruencias
La división euclídea nos conduce inmediatamente a la noción de congruencia de módulo dado.
Congruencia
Dados enteros a, b, m =
6 0, se dirá que a es congruente con b módulo m 6= 0 si a − b es divisible por m . En este caso se escribirá
a ≡ b (mod m).
Nota 2.2.7. De la división euclídea se deduce que siempre se puede suponer positivo el
módulo m de la congruencia. En efecto, si m < 0 y a ≡ b (mod m) es a − b = km, luego
a − b = (−k)(−m) y por tanto a ≡ b (mod − m). Esto es lo que haremos de ahora en
adelante.
Una propiedad fundamental de las congruencias es la siguiente:
Proposición 2.2.8. a ≡ b (mod m) si y sólo si a y b dan el mismo resto en la división
euclídea por m .
P RUEBA : En efecto, si a ≡ b (mod m), entonces m|(b − a). Sean a = qm + r b =
q ′ m + r ′ ,0 ≤ r, r ′ < m, entonces a − b = (q − q ′ )m + (r − r ′ ), igualdad que sólo es posible
cuando r ′ − r = 0 ya que |r ′ − r | < m . Recíprocamente, si a = qm + r , b = q ′ m + r es
a − b = (q − q ′ )m, luego a ≡ b (mod m).
Se puede ver a las congruencias de módulo m > 0 fijo como una relación en Z. En
este sentido es una relación de equivalencia porque verifica las siguientes propiedades
(que son consecuencia inmediata de la definición):
1. Propiedad reflexiva: Para todo a ∈ Z es a ≡ a (mod m).
2. Propiedad simétrica: Si a ≡ b (mod m) entonces b ≡ a (mod m).
3. Propiedad transitiva: Si a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m), entonces a ≡ c (mod m).
Las congruencias son compatibles con la adición y la multiplicación.
Proposición 2.2.9. Se verifica que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) =⇒ a + c ≡ b +
d (mod m).
P RUEBA : Tenemos que a −b = hm y c −d = km. Sumando ambas igualdades se tiene
que (a + c) − (b + d ) = (h + k)m, luego a + c ≡ b + d (mod m).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Proposición 2.2.10. Se verifica que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) =⇒ ac ≡ bd (mod m).
P RUEBA :
Tenemos que a −b = hm y c −d = km. Basta tener en cuenta que ac −bd = ac − ad +
ad − bd = a(c − d ) + d (a − b) = (ak + d h)m, luego ac ≡ bd (mod m).
Las congruencias tienen algunas propiedades interesantes que las diferencian de los
enteros. ¿Qué ocurre con la cancelación multiplicativa de congruencias? Es decir, se trata
de ver si se verifica que
ax ≡ bx (mod m) =⇒ a ≡ b (mod m)
La respuesta es claramente negativa porque, por ejemplo,
2 · 2 ≡ 0 · 2 (mod 4)
y 2 6≡ 0 (mod 4)
En general, la propiedad cancelativa no se verifica si x y m no son primos entre sí.
En efecto, si 1 < d = mcd(x, m), x = x ′ d , m = m ′ d , entonces m ′ x ≡ 0 · x (mod m) y
m ′ 6≡ 0(mod m) porque 0 < m ′ < m .
Lo positivo de esta situación es que se verifica la propiedad cancelativa con multiplicador x si y sólo si mcd(x, m) = 1. Acabamos de ver que, si este máximo común divisor es
mayor que 1 nunca se verifica la propiedad cancelativa. Veamos que sí se verifica cuando
es 1. Sea ax ≡ bx (mod m) y mcd(x, m) = 1. Por la identidad de Bézout existen α, β ∈ Z
tales que αx + βm = 1. Así, a = αax + βam , b = αbx + βbm , luego
a − b = α(ax − bx) + β(a − b)m,
que es múltiplo de m . Por tanto, a ≡ b (mod m).
Veamos ahora que ocurre con la ecuación ax = b, a, b ∈ Z. Sabemos que la ecuación
anterior tiene solución entera si y sólo si a|b y su solución es x = ba ∈ Z. En el caso de las
congruencias tenemos
Proposición 2.2.11. La ecuación en congruencias
ax ≡ b (mod m)
tiene solución si y sólo si d = mcd(a, m) divide a b.
P RUEBA : Supongamos que d |b , b = d c. La identidad de Bézout nos dice que d =
αa + βm , luego b = d c = αac + βmc. Como mc ≡ 0 (mod m), se tiene que αac ≡
b (mod m), es decir, αc es solución de la ecuación.
Para la implicación contraria supongamos que x0 es una solución de la ecuación en
congruencias. Es decir ax0 − b = km , luego d |ax0 − km = b.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
2.3. Clases de congruencias módulo m.
Fijemos un entero m ≥ 2, y sea Zm el conjunto de los enteros múltiplos de m.
Sabemos que la relación “ser congruente módulo m ” es una relación de equivalencia
en el conjunto de los números enteros Z. Veamos que dicha relación induce una partición
en Z en lo que llamaremos clases de congruencia módulo m. Por definición, la clase de
congruencia módulo m de un entero a es el conjunto {b ∈ Z | a≡ b (mod m) }.
Veamos cómo es la clase de congruencia de un entero a ∈ Z. Sabemos que b ∈ Z está
en la clase de a si y sólo si b es congruente con a módulo m , es decir, m|(b − a), luego
b = a+qm. Por tanto, la clase de congruencia módulo m de a es el conjunto de los enteros
de la forma a + km , con k ∈ Z.
Así, dado a ∈ Z, la clase de congruencia módulo m la denotaremos por a + Zm , y al
conjunto de todas las clases de congruencia módulo m lo denotaremos por Z/Zm.
Vamos a describir el conjunto Z/Zm y a ver que podemos sumar y multiplicar los
elementos de Z/Zm.
Proposición 2.3.1. Todo número natural es congruente módulo m a uno (y sólo uno) de
los enteros del conjunto {0, 1, 2, . . ., m − 1}.
P RUEBA : Sea a ∈ N. El teorema de la división implica que a = qm + r , 0 ≤ r < m. La
primera igualdad nos dice que a y r son congruentes módulo m.
Corolario 2.3.2. Todo número entero es congruente módulo m a uno (y sólo uno) de los
enteros del conjunto {0, 1, 2, . . ., m − 1}.
Así, el conjunto de las clases de congruencias módulo m es
Z/Zm = {0 + Zm, 1 + Zm, . . . , (m − 1) + Zm}.
Veamos cómo se definen la suma y el producto de clases de congruencias.
Definición.- Sean a + Zm, b + Zm ∈ Z/Zm dos clases de congruencias.
(a + Zm) + (b + Zm) := (a + b) + Zm
(a + Zm) · (b + Zm) := (ab) + Zm.
Proposición 2.3.3. El conjunto Z/Zm , con las operaciones definidas anteriormente, es
un anillo (abeliano).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Ejemplo 2.3.4. Supongamos que m = 10, a = 7, b = 9. Entonces
(7 + Z10) + (9 + Z10) = 16 + Z10, (7 + Z10) · (9 + Z10) = 63 + Z10.
Teniendo en cuenta que 7 + Z10 = 17 + Z10, 9 + Z10 = 29 + Z10, ¿que ocurre si cambiamos el 7 por 17 y el 9 por 29? No pasa nada, ya que el resultado es el mismo:
(17 + Z10) + (29 + Z10) = 46 + Z10, pero 46 + Z10 = 16 + Z10. Lo mismo ocurre con el
producto.
En la sección anterior probamos que las congruencias módulo m eran compatibles con
la suma y el producto, es decir, la suma y el producto que hemos definido no dependen
del representante que uno elija.
Hemos visto que toda clase de congruencia a + Zm es igual a una clase r + Zm , con
0 ≤ r < m. A partir de este momento siempre que trabajemos con clases de congruencias
módulo m la escribiremos usando un representante r, 0 ≤ r < m. Así, pondremos (7 +
Z10) · (9 + Z10) = 3 + Z10, ya que, por el teorema de división, 63 = 6,10 + 3, luego 3 es
congruente con 63 módulo 10, es decir, 3 + Z10 = 63 + Z10. Análogamente −11 + Z10 =
9 + Z10.
Ejemplo 2.3.5. Como ejemplo escribimos las tablas de sumar y de multiplicar de las
congruencias módulos 4 y 5.
+
0
1
2
3
4
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
×
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
×
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Teorema chino del resto
Sean m 1 , m 2 , . . . , m n enteros, mayores que 1, primos entre sí dos a dos,
a1 , a2 , . . . , an ∈ Z. El sistema de congruencias:
x ≡ a1 (mod m 1 )
x ≡ a2 (mod m 2 )
..
.
x ≡ an (mod m n )
tiene solución. Además, si x y x ′ son dos soluciones, entonces x ≡
x ′ (mod M), donde M = m 1 m 2 · · · m n . Recíprocamente, si x es una solución y x ′ ≡ x (mod M), entonces x ′ es solución.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
P RUEBA : Denotemos Mi = M/m i , ∀i = 1, . . . , n. Es claro que
mcd(m i , Mi ) = 1,
∀i = 1, . . . , n,
luego, por la identidad de Bézout, existen αi , βi ∈ Z verificando
1 = αi m i + βi Mi ,
i = 1, . . ., n.
Tomemos x = a1 β1 M1 + a2 β2 M2 + · · · + an βn Mn y comprobemos que x es solución.
Para ello tendremos que comprobar que x ≡ ai (mod m i ), para todo i , o, equivalentemente, que x − ai ≡ 0 (mod m i ), para todo i . Usando la identidad de Bézout correspondiente, tenemos ai = ai αi m i + ai βi Mi . Entonces,
x − ai = a1 β1 M1 + · · · + an βn Mn − ai αi m i − ai βi Mi =
= a1 β1 M1 + · · · + ai −1 βi −1 Mi −1 + ai +1 βi +1 Mi +1 + · · · + an βn Mn − ai αi m i ,
y, al ser todos los sumandos múltiplos de m i , es x − ai ≡ 0 (mod m i ).
2.4. Los teoremas de Fermat y Euler
Terminamos este tema probando dos teoremas muy importantes, debidos a Fermat y
Euler, así como varios criterios de divisibilidad sencillos, y probablemente conocidos.
Sean m, n enteros positivos. Recordamos que el número combinatorio
de la forma siguiente:
à !
m
m!
=
n
n!(m − n)!
Lema 2.4.1. Si p es primo, entonces p divide a
P RUEBA : Sabemos que
¡p ¢
r
¡m ¢
n
está definido
, para todo 0 < r < p.
à !
p
p!
=
r
r !(p − r )!
es un entero. Como 1 ≤ r ≤ p − 1, p no divide a r ! ni a (p − r )!, los enteros p y r !(p − r )!
son primos entre sí. Por tanto r !(p − r )! divide a (p − 1)! y
à !
·
¸
p
(p − 1)!
=p
r !(p − r )!
r
es un entero múltiplo de p.
Corolario 2.4.2. Si p es primo, entonces, ∀a, b ∈ Z, (a + b)p ≡ a p + b p (mod p).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Teorema 2.4.3. Si p es primo, entonces, ∀a ∈ Z, a p ≡ a (mod p).
P RUEBA : Basta probarlo para enteros positivos. Lo haremos por inducción. Para a = 1
ya está. Supongamos el teorema cierto para a . Entonces
(a + 1)p ≡ a p + 1p ≡ a + 1(mod p)
por la hipótesis de inducción.
(Pequeño) Teorema de Fermat
Si p es primo y no divide a a ∈ Z, entonces a p−1 ≡ 1 (mod p).
P RUEBA : Por el teorema anterior, a p ≡ a (mod p). Por ser p y a primos entre sí, se
verifica la propiedad cancelativa, luego a p−1 ≡ 1 (mod p).
Nota 2.4.4. El teorema de Euler está relacionado con las congruencias invertibles módulo
m , esto es, los elementos a + Zm tales que existe b + Zm verificando
(a + Zm) · (b + Zm) = 1 + Zm.
Los elementos que verifican esta propiedad se denominan unidades módulo m .
Proposición 2.4.5. a + Zm es una unidad en Z/Zm si y sólo si mcd(a, m) = 1.
P RUEBA : Supongamos que a + Zm es unidad. Entonces existe b + Zm tal que (a +
Zm)(b + Zm) = 1 + Zm , luego ab − 1 = qm , y ab − qm = 1, por tanto a y m son primos
entre sí.
Recíprocamente, supongamos que mcd(a, m) = 1. Por la identidad de Bezout existen
enteros r, s con r a + sm = 1. Luego 1 + Zm = (r a + sm) + Zm = (r a + Zm) + (sm + Zm) =
(a + Zm)(r + Zm). Por tanto a + Zm es una unidad.
Corolario 2.4.6. El conjunto Z/Zp es un cuerpo si y sólo si p es primo.
La notación estándar para el cuerpo Z/Zp es Fp , aunque en estos apuntes seguiremos
con la notación de congruencias.
Corolario 2.4.7. El número de unidades de Z/Zm es igual al número de enteros a, 1 ≤
a < m , que son primos con m.
Definición.- Al número de enteros a, 1 ≤ a < m , que son primos con m se le denota por
φ(m), la función φ de Euler.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Teorema de Euler
Sea a + Zm una unidad en Z/Zm. Entonces
a φ(m) ≡ 1 (mod m).
P RUEBA : Sea
P = {u 1 , u 2 , . . . , u φ(m) }
las unidades de Z/Zm. Sea
Q = {u 1 a, u 2 a, . . . , u φ(m) a}
el conjunto obtenido al multiplicar los elementos de P por a. Es claro que los elementos
de Q son todos distintos y son unidades en Z/Zm. Por tanto los elementos de P y Q son
congruentes entre sí (en diferente orden), de donde
Qφ(m)
i =1
Qφ(m)
ui ≡
Qφ(m)
i =1
u i a (mod m)
Si ponemos u = i =1 u i se tiene u ≡ ua φ(m) (mod m). Como u y m son primos entre
sí, se verifica la propiedad cancelativa y obtenemos
a φ(m) ≡ 1 (mod m).
Vamos a ver por último, cómo hallar φ(m) sin necesidad de comprobar elemento a
elemento de {0, ..., m − 1} si son primos con m o no. Para ello no necesitamos más que la
factorización de m (en realidad, sólo el conjunto de primos que dividen a m , que es algo
menos preciso).
Proposición 2.4.8. La función φ verifica las siguientes propiedades:
1. Si p es primo, entonces φ(p) = p − 1.
2. Si p es primo, entonces φ(p n ) = p n − p n−1 = p n (1 − 1/p).
3. Si m y n son primos entre sí, entonces φ(nm) = φ(n)φ(m).
4. Si n = p 1n1 p 2n2 . . . p rnr es la descomposición en factores primos de n , entonces
µ
1
φ(n) = n 1 −
p1
¶µ
¶ µ
¶
1
1
1−
... 1−
.
p2
pr
P RUEBA : Los apartados primero y segundo son elementales. El primero es directo y
el segundo se sigue de observar que, los únicos números menores que p n y no primos con
él son precisamente los múltiplos de p menores y hay, precisamente p n−1 de éstos.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Para ver el tercer apartado, denotemos Ur las unidades mod r y definimos
f : Umn −→ Um ×Un
x 7−→ (x, x)
g : Um ×Un −→ Umn
(a, b) 7−→ x tal que
x ≡ a (mod m)
x ≡ b (mod n)
Notemos que, dado que mcd(m, n) = 1, un entero es primo con mn si y sólo si lo
es con m y n a la vez. Por tanto f está bien definida, y también lo está g (utilizando el
Teorema chino del resto). Es sencillo ver que f y g son aplicaciones inversas la una de la
otra, por lo que
φ(mn) = ♯ (Umn ) = ♯ (Um ×Un ) = φ(m)φ(n).
El cuarto apartado se sigue directamente del segundo y del tercero.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Capítulo 3
Polinomios
3.1. Introducción
Sea k un cuerpo (por ejemplo, Q, R, C, Fp ). Denotaremos por k[x] al conjunto de todas
las expresiones de la forma
a(x) = am x m + am−1 x m−1 + . . . + a1 x + a0 ,
con los ai ∈ k . De esta manera, k[x] es el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en k . Dos polinomios son iguales si lo son coeficiente a coeficiente.
Grado
El grado, de un polinomio no nulo a(x), notado grado(a(x)), es el mayor entero n tal que an 6= 0. El polinomio cuyos coeficientes son todos
nulos se llama polinomio nulo y se denota por 0. Por convención, su
grado es grado(0) = −∞.
P
Sea a(x) = ni=0 ai x i ∈ k[x] un polinomio no nulo con an 6= 0. Llamaremos término
líder de a(x) al término an x n , coeficiente líder a an y término constante a a0 . Un
polinomio es mónico si su coeficiente líder es 1. Los polinomios se dicen constantes
cuando su grado es cero, así como el polinomio nulo.
Los polinomios se pueden sumar y multiplicar, extendiendo las operaciones de k :
P
P
i
Si a(x) = ni=0 ai x i , b(x) = m
i =0 b i x , suponiendo sin pérdida de generalidad que m ≥ n ,
podemos definir la suma como
a(x) + b(x) =
n
X
i =0
(ai + b i )x i + b n+1 x n+1 + . . . + b m x m .
Cuando m = n , basta quedarnos con el primer sumando de la expresión anterior.
Tomando de nuevo a(x) y b(x), su producto está definido como:
d (x) = a(x)b(x) =
m+n
X
l =0
dl x l ,
donde d l =
X
i +j =l
ai b j .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Estando así definidas las operaciones, es claro que extienden las de k ; basta tomar
m = n = 0. Por otro lado, también es evidente que siempre y cuando asumamos que
−∞ < n y −∞ + n < −∞ para cualquier n ≥ 0 (algo, todo sea dicho, nada extravagante),
tenemos que
grado(a(x) + b(x)) ≤ máx{grado(a(x)), grado(b(x))}, no dándose la igualdad solamente cuando m = n y am + bn = 0.
grado(a(x)b(x)) = grado(a(x)) + grado(b(x))
Es fácil comprobar, y por ello le cedemos la tarea al lector interesado en familiarizarse
con las nociones aquí descritas, que la suma y el producto de polinomios verifican las
propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, además de poseer elemento neutro,
elemento simétrico y elemento unidad. En otras palabras, k[x] es un anillo conmutativo,
como el conjunto de los números enteros. Pero esta no es la única similitud con Z.
Teorema de división
Sean f (x), g (x) ∈ k[x] dos polinomios, con g (x) 6= 0. Entonces, existen
dos únicos polinomios q(x), r (x) ∈ k[x] tales que
f (x) = q(x)g (x) + r (x)
y grado(r (x)) < grado(g (x)).
P RUEBA : La demostración es constructiva, indicando cómo se calculan cociente y resto
de la división euclídea.
Si grado( f (x)) < grado(g (x)) tomamos q(x) = 0, r (x) = f (x), y ya hemos terminado nuestra construcción.
Supongamos ahora que grado( f (x)) ≥ grado(g (x)) y sean ax m , bx n los términos de
mayor grado de f (x), g (x) respectivamente. Escribamos
f 1 (x) = f (x) − (a/b)x m−n g (x);
así pues f 1 (x) es un polinomio de grado estrictamente inferior al de f (x) y escogiendo
q 1 (x) = (a/b)x m−n , tenemos que f (x) = q 1 (x)g (x) + f 1 (x).
Aplicando el mismo razonamiento a f 1 (x) y así sucesivamente, logramos crear un
conjunto finito de igualdades del tipo
f (x) = q 1 (x)g (x) + f 1 (x)
f 1 (x) = q 2 (x)g (x) + f 2 (x)
..
.
..
.
f t−1 (x) = q t (x)g (x) + f t (x),
donde
grado( f 1 (x)) > grado( f 2 (x)) > . . . > grado( f t (x))
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
y como vamos descendiendo al menos una unidad el grado en cada f i (x), o bien f t (x) = 0
o bien es de grado inferior al de g (x), y de ahí la finitud del proceso. Poniendo
q(x) =
t
X
i =1
q i (x) , r (x) = f t (x)
se tiene f (x) = q(x)g (x) + r (x).
Hemos probado la existencia. Probemos ahora la unicidad. Consideremos pues dos
expresiones para f (x) que verifiquen las propiedades que establece el teorema de división:
f (x) = q(x)g (x) + r (x) = q ′ (x)g (x) + r ′ (x);
entonces
r (x) − r ′ (x) = (q ′ (x) − q(x))g (x),
con lo que r (x) − r ′ (x) debe ser nulo, ya que todo múltiplo no nulo de g (x) tiene que ser
de grado mayor o igual que él.
Algoritmo de división
Para calcular el cociente y el resto de la división entre f (x) y g (x), de
grados respectivos m y n .
Si m ≥ n tome
f 1 (x) = f (x) − (a/b)x m−n g (x) , q 1 (x) = (a/b)x m−n .
Repita con f 1 (x) y g (x) hasta que grado( f t (x)) < grado(g (x)). El cociente y el resto son
q(x) = q 1 (x) + . . . + q t−1 (x) , r (x) = f t (x).
Si m < n , el cociente es 0 y el resto el propio f (x).
Veamos cómo funciona esto último con un ejemplo, que nos acompañará por nuestra
lectura de las próximas secciones.
Ejemplo 3.1.1. Sean f (x) = x 5 − 21 x 3 + 2x 2 − 3x + 3 y g (x) = 2x 3 − 23 x 2 + 3x − 1 dos polinomios de Q[x]. Si queremos calcular el cociente y el resto de la división de f (x) entre
g (x), tomamos en primer lugar
1
1
5
f 1 (x) = f (x) − x 2 g (x) = x 4 − 2x 3 + x 2 − 3x + 3.
2
3
2
Como grado( f 1 (x)) = 4, seguimos. Sea ahora
1
17x 3
17x
f 2 (x) = f 1 (x) − xg (x) = −
+ 2x 2 −
+ 3.
6
9
6
Tenemos que seguir, pues todavía no hemos bajado de grado 3, pero este será el último
paso. Así,
f 3 (x) = f 2 (x) +
17
37x 2 37
g (x) =
+ .
18
27
18
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Ahora ya hemos terminado. El cociente y el resto de la división son
1
1
17
37x 2 37
q(x) = x 2 + x −
, r (x) =
+ .
2
6
18
27
18
Este teorema, aunque pueda parecer elemental a primera vista (y es que de hecho
su prueba no es compleja), tiene numerosas aplicaciones inmediatas que lo embellecen
y nos permiten relatar interesantes propiedades de los polinomios en una variable o de
la estructura de k[x] como anillo. Algunas las detallaremos a continuación, y otras las
veremos más adelante en este u otros capítulos, cuando profundicemos en el estudio de
los anillos de polinomios.
Corolario 3.1.2. (Teorema del resto) Sea un polinomio f (x) ∈ k[x], y sea un elemento
del cuerpo a ∈ k . Entonces f (a) es el resto de dividir f (x) por x − a .
P RUEBA : Por el teorema de división,
f (x) = (x − a)q(x) + r (x), con grado(r (x)) < grado(x − a) = 1.
Por tanto, r (x) debe ser una constante, digamos r , luego f (a) = (a − a)q(a) + r = r .
Corolario 3.1.3. (Teorema de la raíz) Sea un polinomio f (x) ∈ k[x] de grado positivo.
Entonces f (x) tiene una raíz a ∈ k (i.e., existe a en k tal que f (a) = 0) si y sólo si es
divisible por x − a .
P RUEBA : En efecto, podemos escribir f (x) = q(x)(x − a) + r con r ∈ k . Así f (a) = 0
si y sólo si r = 0, lo que equivale a que (x − a)| f (x).
Corolario 3.1.4. (D’Alembert) Un polinomio no nulo f (x) ∈ k[x] de grado n tiene a lo
sumo n raíces distintas en k .
P RUEBA : Lo probaremos por inducción en n , el grado de f (x).
Si grado( f (x)) = 0, entonces f (x) en un polinomio constante no nulo, luego no tiene
raíces en k . Nuestra hipótesis de inducción es que si h(x) es polinomio no nulo de grado
n − 1 con r raíces distintas, r ≤ n − 1.
Supongamos ahora que f (x) es un polinomio de grado n > 0 y que tiene r raíces
distintas a1 , . . . , ar en k . Veamos que r ≤ n .
Tenemos que f (ar ) = 0, luego por el teorema de la raíz f (x) = (x − ar )g (x), con
grado(g (x)) = n−1. Para cada i con 1 ≤ i ≤ r −1, f (ai ) = 0 = (ai −ar )g (ai ). Como ai 6= ar ,
por fuerza g (ai ) = 0. En consecuencia a1 , . . . , ar −1 son raíces de g (x) y grado(g (x)) = n−1.
Por inducción, r − 1 ≤ n − 1, así que r ≤ n.
Nota 3.1.5. Hay que notar, por si el lector andaba despistado en la lectura, que este corolario no implica el aserto de que todo polinomio posee tantas raíces como su grado. Este
teorema es mucho más profundo e interesante y necesita conceptos que no veremos hasta
más tarde.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
3.2. Máximo común divisor
Continuan los parecidos razonables entre k[x] y Z, pues al igual que cuando manejamos los enteros, con el teorema de división para polinomios podemos trabajar la divisibilidad de polinomios, el algoritmo de Euclides y la identidad de Bézout.
Máximo común divisor
Sean dos polinomios f (x), g (x) ∈ k[x]. Un polinomio p(x) ∈ k[x] es un
máximo común divisor de f (x) y g (x) si verifica:
1. p(x)| f (x) y p(x)|g (x)
2. Si q(x) es otro polinomio que divide a f (x) y a g (x) entonces
q(x)|p(x).
Nota 3.2.1. Si p(x) = mcd( f (x), g (x)), entonces, para cualquier a ∈ k\{0}, ap(x) = mcd( f (x), g (x)).
Por eso cuando hablamos de un máximo común divisor, sobreentederemos que estamos
tomando un polinomio mónico y, en esas condiciones, sí que es único.
Como en los enteros, podemos calcular un máximo común divisor de dos polinomios
usando el teorema de división.
Consideremos dos polinomios f (x), g (x) ∈ k[x]; sabemos que existen q(x), r (x) ∈ k[x]
con grado(r (x)) < grado(g (x)) tales que
f (x) = q(x)g (x) + r (x).
Proposición 3.2.2. Con las notaciones anteriores, se tiene que
mcd( f (x), g (x)) = mcd(g (x), r (x))
P RUEBA : Supongamos que
a(x) = mcd(g (x), r (x)), b(x) = mcd( f (x), g (x)).
Como f (x) = q(x)g (x) + r (x), a(x) no puede sino dividir a f (x) y así a(x) es un divisor
común de f (x) y g (x), luego por ser b(x) el máximo entre ellos, a(x)|b(x).
Análogamente, como
r (x) = f (x) − q(x)g (x),
se tiene que b(x)|r (x) y así b(x) es un divisor común de g (x) y r (x), luego b(x)|a(x). Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Algoritmo de Euclides
Sean f (x), g (x) ∈ k[x] dos polinomios no nulos, con grado( f (x)) >
grado(g (x)). Entonces, si haciendo divisiones sucesivas obtenemos
f (x)
g (x)
r (x)
= q(x)g (x) + r (x)
= q 0 (x)r (x) + r 1 (x)
= q 1 (x)r 1 (x) + r 2 (x)
..
.
r n−2 (x) = q n−1 (x)r n−1 (x) + r n (x)
r n−1 (x) = q n (x)r n (x),
este proceso es finito y, con las notaciones anteriores, mcd( f (x), g (x)) =
r n (x).
P RUEBA : Consideremos la sucesión {grado(r i (x))}, que es una sucesión estrictamente
decreciente de enteros no negativos, pues el resto de la división polinómica es de menor
grado que el divisor. Como el primer elemento es grado( f (x)), la sucesión puede tener
a lo más grado( f (x)) + 1 elementos. Por tanto, existe un n ≥ 1 tal que r n+1 (x) = 0. Esto
prueba la finitud del proceso.
Ahora queda preguntarse si realmente obtenemos el máximo común divisor de f (x) y
g (x). Para la respuesta basta con aplicar el lema anterior para obtener que
mcd( f (x), g (x)) = mcd(g (x), r (x)) = . . . = mcd(r n−1 (x), r n (x)) = r n (x).
Así pues, con este teorema hemos probado que el siguiente algoritmo es correcto:
Algoritmo de Euclides
Para hallar el máximo común divisor de dos polinomios no nulos
f (x), g (x) ∈ k[x].
Efectúe la división f (x) = q(x)g (x) + r (x) y tome f 0 (x) = f (x), g 0 (x) =
g (x) y r 0 (x) = r (x). Mientras r i (x) 6= 0, repita con f i +1 (x) = g i (x) y
g i +1 (x) = r i (x).
Si r n+1 (x) = 0, mcd( f (x), g (x)) = r n (x), notando r −1 (x) = g (x).
Como en la sección anterior, ilustremos el método de arriba con los mismos polinomios:
Ejemplo 3.2.3. Queremos hallar el máximo común divisor de f (x) = x 5 − 21 x 3 +2x 2 −3x+3
y g (x) = 2x 3 − 23 x 2 + 3x − 1 en Q[x]. Siguiendo el algoritmo, dividimos el primero entre el
segundo, y tomamos
f 0 (x) = f (x) , g 0 (x) = g (x) , r 0 (x) =
37x 2 37
+ .
27
18
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Como r 0 (x) 6= 0, dividimos g (x) entre r 0 (x), tomando
f 1 (x) = g (x) , g 1 (x) = r 0 (x) , r 1 (x) = 0.
La división anterior era exacta de cociente
o tomando el polinomio mónico asociado,
18
(3x − 1),
37
con lo que mcd( f (x), g (x)) = r 0 (x),
3
2
mcd( f (x), g (x)) = x 2 + .
Hemos demostrado la validez del algoritmo de Euclides. Como pasaba en la primera
sección, a pesar de ser un resultado aparentemente trivial, esconde algunas aplicaciones,
siendo la primera de ellas la identidad de Bézout, cuyas consecuencias en algunas de las
abstrusas ecuaciones diofánticas polinómicas son de apreciar.
Identidad de Bézout
Sean f (x), g (x) ∈ k[x] dos polinomios, b(x) no nulo. Si denotamos
mcd( f (x), g (x)) = d (x) entonces existen elementos a(x), b(x) ∈ k[x]
tales que
d (x) = a(x) f (x) + b(x)g (x).
P RUEBA : La demostración es consecuencia de aplicar el algoritmo de Euclides al
revés.
En efecto, si con la notación del teorema, llamamos r n (x) = d (x), tendremos que
r n (x) = r n−2 (x) − q n−1 (x)r n−1 =
= r n−2 (x) − q n−1 (x)(r n−3 (x) − q n−2 (x)r n−2 (x)) =
..
.
= ã(x)r (x) + b̃(x)g (x) =
= ã(x) f (x) + (b̃(x) − ã(x)q(x))g (x).
Tomando a(x) = ã(x) y b(x) = (b̃(x) − ã(x)q(x)), tenemos lo que queríamos.
Ejemplo 3.2.4. Sabemos que el máximo común divisor de nuestros polinomios predilectos, f (x) = x 5 − 21 x 3 + 2x 2 − 3x + 3 y g (x) = 2x 3 − 23 x 2 + 3x − 1 en Q[x] es d (x) = x 2 + 32 .
¿Cuáles son los polinomios a(x) y b(x) de la identidad de Bézout para ellos? Siguiendo
el algoritmo de Euclides realizado anteriormente para ellos,
d (x) =
µ
¶
27
27 1 2 1
17
f (x) −
x + x−
g (x),
37
37 2
6
18
luego a(x) = 27
y b(x) = − 27
q(x).
37
37
Como señalábamos antes, el algoritmo de Euclides tiene una importante aplicación en
la resolución de ecuaciones diofánticas polinómicas
α(x) f (x) + β(x)g (x) = h(x),
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
donde f (x), g (x), h(x) ∈ k[x] son polinomios dados y α(x), β(x) ∈ k[x] son los polinomios
a determinar, si es posible, claro está. El siguiente teorema da condiciones suficientes
para la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diofántica polinomial y una
prueba constructiva. Un caso especial del teorema es cuando los polinomios f (x) y g (x)
son relativamente primos, en cuyo caso la ecuación diofántica polinómica dada se puede
resolver para cualquier h(x) dado.
Proposición 3.2.5. Sean f (x), g (x) ∈ k[x] dos polinomios no nulos y sea d (x) = mcd( f (x), g (x)).
Entonces, para cualquier polinomio h(x) ∈ k[x] divisible por d (x), existen unos únicos
polinomios α(x), β(x) ∈ k[x] tales que
α(x) f (x) + β(x)g (x) = h(x),
y
grado(α(x)) < grado(g (x)) − grado(d (x)).
Más aún, si
grado(h(x)) < grado( f (x)) + grado(g (x)) − grado(d (x)),
entonces β(x) verifica que
grado(β(x)) < grado( f (x)) − grado(d (x)).
P RUEBA : Veamos primero la existencia.
Por la identidad de Bézout sabemos que existen polinomios a(x), b(x) ∈ k[x] tales que
a(x) f (x) + b(x)g (x) = d (x). Como h(x) es divisible por d (x), podremos escribir h(x) =
h ′ (x)d (x), y así, a(x)h ′ (x) f (x) + b(x)h ′ (x)g (x) = h(x).
De este modo los polinomios α′ (x) = a(x)h ′ (x), β′ (x) = b(x)h ′ (x) verifican la ecuación
del enunciado. No obstante, los grados de estos polinomios en general no verifican las
condiciones exigidas. Para evitar esto, si grado(α′ (x)) ≥ grado(g (x))− grado(d (x)), dividimos α′ (x) entre g (x)/d (x) y obtenemos que α′ (x) = (g (x)/d (x))q(x)+α(x) con grado(α(x)) <
grado(g (x)) − grado(d (x)).
Consideremos ahora β(x) = β′ (x) + q(x)( f (x)/d (x)). Sustituyendo entonces,
α(x) f (x) + β(x)g (x) = α′ (x) f (x) + β′ (x)g (x) = h(x).
Veamos ahora la unicidad. Supongamos pues que existen otros polinomios α1 (x), β1 (x) ∈
k[x] verificando las condiciones del teorema. En ese caso,
α(x)( f (x)/d (x)) + β(x)(g (x)/d (x)) = h(x)/d (x)
α1 (x)( f (x)/d (x)) + β1 (x)(g (x)/d (x)) = h(x)/d (x),
luego
(α(x) − α1 (x))( f (x)/d (x)) = −(β(x) − β1 (x))(g (x)/d (x)).
Como los polinomios f (x)/d (x) y g (x)/d (x) son primos entre sí, necesariamente (g (x)/d (x))|(α(x)−
α1 (x)). Pero el grado de (α(x) − α1 (x)) es menor que el grado de (g (x)/d (x)), luego
α(x) − α1 (x) = 0.
Falta probar la última parte del teorema. Supongamos que
grado(h(x)) < grado( f (x)) + grado(g (x)) − grado(d (x)).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Como β(x) = (h(x) − α(x) f (x))/g (x),
grado(β(x)) = grado(h(x) − α(x) f (x)) − grado(g (x)).
Si tuviéramos que grado(h(x)) ≥ grado(α(x) f (x)) entonces ocurriría que
grado(β(x)) ≤ grado(h(x)) − grado(g (x)) < grado( f (x)) − grado(d (x)),
por la hipótesis adicional en el grado de h(x). En caso contrario, es decir, si grado(h(x)) <
grado(α(x) f (x)), entonces
grado(β(x)) ≤ grado(α(x)) + grado( f (x)) − grado(g (x)) < grado( f (x)) − grado(d (x)),
por la propiedad que sabemos que verifica el grado de α(x).
Hemos conseguido pues el siguiente método para resolver ecuaciones diofánticas lineales en polinomios:
Ecuaciones diofánticas lineales
Para resolver una ecuación de la forma
α(x) f (x) + β(x)g (x) = h(x),
donde f (x), g (x), h(x) ∈ k[x] y grado(α(x)) < grado(g (x))−grado(d (x)).
Si h(x) no es divisible por mcd( f (x), g (x)) no existe solución. En caso
de que sí sea divisible, aplique la identidad de Bézout a f (x) y g (x) para
obtener dos polinomios a(x), b(x) con
a(x) f (x) + b(x)g (x) = d (x).
Si grado(a(x)) < grado(g (x))−grado(h(x)), tome α(x) = a(x)h(x)/d (x),
β(x) = b(x)h(x)/d (x) y hemos terminado. En caso contrario, divida α(x) entre g (x)/d (x) para conseguir la expresión α(x) =
(g (x)/d (x))q(x) + r (x). Asignando α(x) := r (x) y β(x) := β(x) +
q(x)( f (x)/d (x)) hemos terminado.
Ejemplo 3.2.6. Para finalizar esta sección, reutilicemos nuestros polinomios de los ejemplos para mostrar cómo resolver una ecuación diofántica como las que hemos visto.
Sean pues de nuevo f (x) = x 5 − 21 x 3 + 2x 2 − 3x + 3 y g (x) = 2x 3 − 23 x 2 + 3x − 1 en Q[x].
Puesto que el ejemplo sería de dudosa utilidad si escogiéramos un polinomio h(x) no divisible por d (x) = x 2 + 23 , tomemos un múltiplo suyo, por ejemplo, h(x) = (2x − 1)d (x) =
2x 3 − x 2 + 3x − 23 .
Del ejemplo anterior obtuvimos la identidad de Bézout
µ
¶
27
27 1 2 1
17
f (x) −
x + x−
g (x) = d (x).
37
37 2
6
18
Ahora, grado(a(x)) = 0 = grado(g (x)) − grado(h(x)), así que debemos dividir
entre g (x)/d (x) = 2x − 32 , obteniendo como cociente y resto
q(x) =
27
9
, r (x) = − .
37
37
27
37 (2x
− 1)
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Así, los polinomios solución de la ecuación son
α(x) = −
¢
1
1 ¡
, β(x) =
−74x 3 − 27x 2 + 139x − 97
3
74
3.3. Factorización. Factores múltiples
En nuestro recorrido en pos de obtener analogías con lo que ocurría con los enteros,
vamos a ver qué elementos juegan el papel en el anillo de polinomios k[x] de los números
primos, y una vez que los hayamos identificado, trabajaremos un poco con ellos y con la
noción de factorización.
Polinomio irreducible
Un polinomio p(x) ∈ k[x] es irreducible si no es una constante, y si
el que podamos escribir p(x) = f (x)g (x) implica que uno de los dos
factores sea una constante.
Proposición 3.3.1. Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio irreducible. Si f (x) es un polinomio que
no es divisible por p(x), entonces el máximo común divisor de p(x) y f (x) es 1.
P RUEBA : Sea d (x) = mcd(p(x), f (x)). Como d (x)|p(x), existirá cierto polinomio
p (x) de modo que podamos escribir p(x) = d (x)p ′ (x). Ahora bien, por la definición de
irreducibilidad, o bien d (x) o bien p ′ (x) es constante. Si el polinomio constante es d (x),
como consideramos sólo polinomios mónicos, debe ser 1, con lo que tendríamos el resultado.
Veamos pues qué pasa cuando el que fuera constante fuera p ′ (x). En ese caso grado(d (x)) =
grado(p(x)) > 0 y existiría un polinomio f ′ (x) cumpliendo que f (x) = d (x) f ′ (x) = p(x)( f ′ (x)/p ′ (x)),
por lo que p(x) dividiría a f (x), que no es posible. Por consiguiente d (x) no puede ser
nada más que 1.
′
Veremos a continuación dos resultados que dejaremos sin demostrar, pues sus pruebas
se pueden escribir de una manera completamente análoga a las de sus semejantes del
ámbito de los enteros.
Proposición 3.3.2. Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio irreducible. Dados dos polinomios
f (x), g (x) ∈ k[x], si p(x)| f (x)g (x), entonces p(x) divide a alguno de los dos.
Descomposición en factores irreducibles
Cualquier polinomio no constante de k[x] es irreducible o factoriza en
producto de polinomios irreducibles. Este producto es único en tanto
que si tenemos dos factorizaciones de f (x) en producto de polinomios
irreducibles en k[x] de la forma f (x) = p 1 (x) · · · p s (x) = q1 (x) · · · q t (x)
necesariamente s = t y existe una correspondencia uno a uno entre los
factores p 1 (x), . . . , p s (x) y q1 (x), . . . , q t (x) donde si p i (x) se corresponde
con q j (x), existe un α ∈ k \ {0} tal que p i (x) = αq j (x).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Hasta este punto, podemos aventurarnos y pronosticar que el lector puede estar interesado por las múltiples analogías en la naturaleza como anillos entre k[x] y Z, o puede
estar a punto de hastiarse al ver que las mismas propiedades que se comentaban para los
enteros existen aquí, aumentando inútilmente (a su juicio, claro está) el número de páginas, o ambas cosas a la vez, una sin perjuicio de la otra. Para intentar evitar la segunda
posibilidad entre otros objetivos, vamos a presentar una herramienta específica y útil de
los polinomios: la derivada (formal), que coincide con el concepto usual de análisis.
Usaremos la notación habitual: f ′ (x) es el polinomio que se obtiene al derivar f (x);
D : k[x] → k[x] es la función que a cada polinomio le asocia su derivada, D( f (x)) = f ′ (x).
Derivada de un polinomio
La derivada de un polinomio f (x) viene definida por las siguientes
reglas:
1. Si f (x) = ax n con a ∈ k , entonces D(ax n ) = nax n−1 . (Si n = 0,
D(a) = 0.)
2. Si f (x) = g (x) + h(x), entonces D( f (x)) = D(g (x)) + D(h(x)).
Proposición 3.3.3. Para cualesquiera polinomios f (x), g (x) ∈ k[x] y para todo natural
s > 1 se verifica que:
1. D( f (x)g (x)) = f (x)D(g (x)) + g (x)D( f (x)).
2. D( f (x)s ) = s f (x)s−1 D( f (x)).
P RUEBA : La prueba es puramente efectiva, y no requiere mucha habilidad; basta con
tener la suficiente concentración como para seguir los cálculos. Por ello se la dejamos al
lector que quiera adquirir soltura con el manejo de las expresiones de los polinomios. Factores múltiples de un polinomio
Sea f (x) ∈ k[x] un polinomio.
1. Si f (x) tiene factores múltiples, entonces f (x) y f ′ (x) no son primos entre sí.
2. En característica cero (k = Q, R, C), si f (x) y f ′ (x) no son primos
entre sí, entonces f (x) tiene factores múltiples.
P RUEBA : Supongamos que f (x) tiene algún factor múltiple, sea f (x) = p(x)s q(x), con
s > 1. Entonces
f ′ (x) = p(x)s−1 [sp ′ (x)q(x) + p(x)q ′ (x)],
luego p(x) es un factor común de f (x) y f ′ (x).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Sean d (x) = mcd( f (x), f ′ (x)), que sabemos que es de grado mayor que cero por el
anterior apartado, y p(x) un factor irreducible de d (x). Veamos que p(x) es un factor
múltiple de f (x).
En efecto, como p(x)| f (x), tenemos f (x) = p(x)g (x). Derivando esa expresión,
f ′ (x) = p ′ (x)g (x) + p(x)g ′ (x).
Como p(x)| f ′ (x), p(x) también divide al producto p ′ (x)g (x), y, por ser p(x) irreducible,
divide a uno de los factores. Ahora bien, p(x) no puede dividir a p ′ (x) pues tiene grado
estrictamente mayor ya que estamos trabajando sobre un cuerpo de característica cero,
luego p(x)|g (x), y g (x) = p(x)h(x), así que sustituímos y conseguimos la expresión
f (x) = p(x)2 h(x).
3.4. Congruencias. Teorema chino del resto
Compadeciéndonos del lector algo hastiado de semejanzas entre Z y k[x], y congratulándonos con el que permanece admirado por las coincidencias entre las estructuras internas de ambos conjuntos (actitud muy recomendable para aprender a hacer y a apreciar
las matemáticas), trabajaremos con las congruencias para polinomios, definidas igualmente a las de los enteros y con propiedades similares (algo que suponemos que empieza
a no resultar extraño teniendo en cuenta a las secciones anteriores). De todos modos,
para tranquilidad de unos y regocijo de otros, no nos extenderemos mucho en este punto;
simplemente lo preciso.
Congruencia de polinomios
Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio. Dados dos polinomios f (x), g (x) ∈ k[x],
diremos que f (x) y g (x) son congruentes módulo p(x), y escribiremos
f (x) ≡ g (x)
( mód p(x)),
si p(x) divide a f (x) − g (x).
Nota 3.4.1. La relación de congruencia módulo un polinomio p(x) y tiene las mismas
propiedades que la de congruencia módulo m de enteros. Por ejemplo:
La congruencia módulo un polinomio es una relación de equivalencia.
Las congruencias son compatibles con la suma.
Las congruencias son compatibles con la multiplicación.
La congruencia es una relación de equivalencia en k[x].
De la misma forma que construimos los anillos Z/Zm de las clases de congruencias
módulo m , podemos considerar el conjunto de las clases de congruencias de polinomios
de k[x] módulo un polinomio m(x), y lo denotaremos por k[x]/(m(x)).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Proposición 3.4.2. Si un polinomio m(x) tiene grado d , cualquier clase de congruencia
módulo m(x) tiene un único representante r (x) de grado estrictamente menor que d .
P RUEBA : Sea un polinomio f (x) ∈ k[x]. Por el algoritmo de división tenemos que
f (x) = q(x)m(x) + r (x) , con grado(r (x)) < grado(m(x))
y f (x) ≡ r (x)( mód m(x)). Como el resto de la división es único, es él el representante de
menor grado buscado.
Dicho de otro modo, lo que esto prueba es que el conjunto de polinomios de k[x] de
grado estrictamente menor que el de m(x) es un conjunto completo de representantes para
k[x]/(m(x)).
Ejemplo 3.4.3. Sea m(x) = x 2 +1 ∈ Q[x]. Por la proposición, cada elemento de Q[x]/(m(x))
tiene un representante de grado menor o igual que 1. Como
x 2 ≡ −1( mód x 2 + 1),
multiplicando por x tenemos que
x 3 ≡ −x( mód x 2 + 1).
En general, es fácil ver por inducción en n que
x 2n ≡ (−1)n ( mód x 2 + 1) y que x 2n+1 ≡ (−1)n x( mód x 2 + 1).
Como Q es un cuerpo infinito, existen infinitos polinomios de grado menor o igual
que 1 en Q[x], y por tanto Q[x]/(x 2 + 1) es un conjunto infinito.
Si utilizáramos ahora F3 en lugar de Q, por lo anterior tendríamos que
(F3 )[x]/(x 2 + 1) = {0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2}.
Al igual que hicimos cuando manejamos las congruencias en Z, podemos definir sin
problema la suma y la multiplicación de clases de congruencias de polinomios como la
clase definida por la suma y la multiplicación, respectivamente, de sus representantes. Es
fácil comprobar que estas operaciones están bien definidas y verifican las propiedades
usuales de la suma y la multiplicación, convirtiendo a k[x]/(m(x)) en un anillo para
cualquier polinomio m(x), y por ello lo dejaremos como ejercicio para quien pretenda
familiarizarse más concienzudamente con las congruencias en anillos de polinomios.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Teorema chino del resto
Sean m 1 (x), . . . , m n (x) ∈ k[x] polinomios primos entre sí dos a dos, y
sean a1 (x), . . . , an (x) ∈ k[x] otros polinomios arbitrarios. Entonces existe f (x) ∈ k[x] tal que:
f (x) ≡ a1 (x)
f (x) ≡ a2 (x)
..
.
( mód m 1 (x))
( mód m 2 (x))
..
.
f (x) ≡ an (x) ( mód m n (x))
Además, para que el polinomio f˜(x) ∈ k[x] sea otra solución es condición necesaria y suficiente que se verifique que
f (x) ≡ f˜(x)( mód m 1 (x)m 2 (x) · · · m n (x)).
P RUEBA : La demostración es, como se imaginará, estimado lector, análoga a la del teorema homónimo en el contexto entero.
Puesto que m i (x) y m j (x) son primos entre sí, para todo i 6= j , m i (x) es primo con el
producto
l i (x) = m 1 (x) · · · m i −1 (x)m i +1 (x) · · · m n (x).
Así pues, por la identidad de Bézout, existirán αi (x), βi (x) ∈ k[x] tales que
1 = αi (x)m i (x) + βi (x)l i (x) , para cualquier i = 1, . . . , n.
Se tiene entonces que
βi (x)l i (x) ≡ 1 ( mód m i (x))
βi (x)l i (x) ≡ 0 ( mód m j (x)) , para todo i 6= j
Podemos tomar como solución entonces
f (x) = a1 (x)β1 (x)l 1 (x) + a2 (x)β2 (x)l 2 (x) + . . . + an (x)βn (x)l n (x).
Vayamos a por el segundo aserto ahora. Si f (x) ≡ f˜(x)( mód m 1 (x) · · · m n (x)), existirá
un polinomio q(x) tal que f (x) − f˜(x) = q(x)m 1 (x) · · · m n (x). Tomando en la anterior expresión clases de congruencia módulo m i (x), es claro que f (x) ≡ f˜(x)( mód m i (x)) para
todo i , y por tanto, es solución del problema.
Recíprocamente, si f (x) 6≡ f˜(x)( mód m 1 (x) · · · m n (x)), es porque existen dos polinomios
q(x), h(x), siendo h(x) no divisible por m 1 (x) · · · m n (x), tales que f (x)− f˜(x) = q(x)m 1 (x) · · · m n (x)+
h(x). Como alguno de los m i (x) no puede dividir a h(x), alguna de las congruencias módulo m i (x) fallará, y por tanto f˜(x) no será solución del problema.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Sistemas lineales de congruencias
Para resolver el sistema
f (x) ≡ ai (x)( mód m i (x)) , i = 1, . . . , n,
siendo los m i (x) polinomios primos entre sí y los ai (x) polinomios cualesquiera.
³Q
´
Tome, para cada i , l i (x) = nj=1 m j (x) /m i (x). Aplique la identidad
de Bézout a cada pareja l i , m i para obtener la igualdad
1 = αi (x)m i (x) + βi (x)l i (x).
Las soluciones son
f (x) = a1 (x)β1 (x)l 1 (x) + a2 (x)β2 (x)l 2 (x) + . . . + an (x)βn (x)l n (x),
y los polinomios congruentes con él módulo
Qn
j =1 m j (x).
3.5. Factorización en C[x] y en R[x]
A continuación enunciaremos un resultado del que hablaremos con más detalle en
la última sección. Para lo que estamos tratando aquí, su importancia es que nos dice
cómo son los polinomios irreducibles sobre C. Ahora bien, su relevancia es mucho mayor,
pero no adelantemos acontecimientos y centrémonos de momento en la factorización de
polinomios.
Teorema fundamental del Álgebra
Todo polinomio f (x) ∈ C[x] de grado positivo tiene una raíz compleja.
Corolario 3.5.1. Todo polinomio f (x) ∈ C[x] de grado positivo, digamos n , tiene n raíces
en C, esto es, se puede escribir como
f (x) = α
n
Y
(x − αi ),
i =1
donde α, αi ∈ C.
P RUEBA : Por el teorema fundamental del álgebra, f (x) tiene una raíz α1 en C. Por
tanto, por el teorema del resto podemos escribir f (x) = (x − α1 ) f 1 (x). Aplicando el mismo razonamiento a f 1 (x), y así sucesivamente, se llega, después de n − 1 pasos, a una
expresión de la forma
f (x) = (x − α1 ) · · · (x − αn−1 ) f n−1 (x),
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
donde f n−1 (x) es un polinomio de primer grado. Como f n−1 (x) se puede escribir f n−1 (x) =
αx − ααn , se tiene el resultado.
En virtud del corolario, el problema de dilucidar si un polinomio de C[x] es irreducible
o no es tremendamente sencillo; tanto como mirar su grado, pues los únicos polinomios
irreducibles en C[x] son los de grado 1. En R[x] no ocurre así, ya que, por ejemplo, los
polinomios x 2 + 1 o x 3 − 15x − 4 no se pueden factorizar en producto de polinomios de
primer grado, aunque tampoco es que la cuestión de la factorización devenga complicada.
Veamos cómo son los irreducibles en este otro anillo.
Proposición 3.5.2. Todo polinomio de R[x] de grado impar tiene una raíz en R. Todo
polinomio de grado par se descompone en producto de polinomios de grados 1 o 2 (los
cuales son irreducibles si y sólo si sus raíces son complejas no reales).
P RUEBA : Sea f (x) ∈ R[x] un polinomio de grado positivo, digamos n . A f (x) lo
podemos mirar con otros ojos, como elemento de C[x], así que aplicamos el teorema
fundamental del Álgebra para saber que f (x) tiene n raíces en C. Sea
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ R, i = 0, 1, . . ., n,
y sea α = a + bi una raíz de f (x). De
0 = f (α) = an (a + bi )n + an−1 (a + bi )n−1 + . . . + a1 (a + bi ) + a0
se deduce, tomando conjugados, que
0 = f (α) = f (α) = an (a − bi )n + an−1 (a − bi )n−1 + . . . + a1 (a − bi ) + a0 .
En consecuencia, si α es una raíz de f (x), también debe serlo α, luego las raíces no reales
de f (x) aparecen por pares de conjugadas. Si n es impar, tiene que haber una raíz que
coincida con su conjugada, es decir, que sea real. Con esto probamos el primer aserto.
En cuanto a la segunda afirmación, obramos como sigue. Si α = a + bi es una raíz
compleja no real de f (x), el polinomio
(x − α)(x − α) = x 2 − 2ax + (a 2 + b 2 )
divide a f (x) y tiene coeficientes reales, con lo que podemos descomponer a f (x) en
producto de factores de grado 2 a lo sumo. La cuestión de si estos se pueden descomponer
a su vez en otros de grado 1 o son irreducibles es tan simple como el hecho de que sus
raíces sean reales o no.
3.6. Factorización en Q[x]
Sea f (x) ∈ k[x] un polinomio de grado 2 o 3. En ese caso, f (x) es reducible si y sólo
si tiene una raíz en k . En efecto, el hecho de que f (x) sea reducible es equivalente a decir
que tiene un divisor que es de grado 1. Si éste es ax −b , entonces b/a es una raíz de f (x).
Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores. Un polinomio de grado
4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factores irreducibles de grado 2, como
x 4 + 3x 2 + 2 en Q, luego no tiene por qué tener raíces en k . Con mayor razón ocurrirá esto
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
en grados más altos. No obstante es bueno ver si un polinomio dado tiene o no raíces en
k . Si las tiene, y es de grado mayor que 1, es automáticamente reducible.
Si echamos la vista atrás al capítulo anterior, la irreducibilidad de los enteros (esto es,
saber si un entero es primo o no) constituía un problema enormemente difícil hasta 2002,
mientras que en la sección anterior hemos visto que cuando k = C, R, en k[x] es bastante
sencillo. Dependiendo de cuáles sean nuestros intereses, las analogías que veíamos hasta
ahora entre k[x] y Z experimentan un vuelco. Consideremos entonces el caso de k = Q. El
problema de saber cuándo un polinomio de Q[x] es irreducible es, en cambio, algo intrincado si se pretende resolver de manera realmente efectiva. Sin embargo, el problema de
la localización de raíces (que, como hemos notado en el párrafo anterior, es más simple),
sí se puede atacar, y es lo que haremos aquí.
Para empezar, notemos que si f (x) ∈ Q[x], es igual buscar sus raíces que las de a f (x),
donde a ∈ Z. En particular, podemos suponer que f (x) está en realidad en Z[x] (esto es,
todos sus coeficientes son enteros). En estas condiciones tenemos el siguiente resultado,
también conocido como Regla de Ruffini:
Proposición 3.6.1. Sea el polinomio
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n,
de grado n > 0. Supongamos que f (x) tiene una raíz racional α = a/b con a y b primos
entre sí. Entonces a|a0 y b|an .
P RUEBA : En efecto, como a/b es raíz de f (x),
0 = f (a/b) = an (a/b)n + an−1 (a/b)n−1 + . . . + a1 (a/b) + a0 ,
luego, previa multiplicación por b n , tenemos que
0 = an a n + an−1 a n−1 b + . . . + a1 ab n−1 + a0 b n .
Como a divide a todos los términos salvo al último y es primo con b , debe dividir a a0 . E
igualmente, como b divide a todos los términos salvo al primero y es primo con a , debe
dividir a a0 .
Hemos visto que intentar localizar las raíces de los polinomios en Z[x] tiene algo más
de futuro, o por lo menos es más abarcable, que en Q[x], así que seguiremos reduciéndonos al caso de los polinomios con coeficientes enteros, donde la factorización única de
los coeficientes nos puede ser de ayuda.
Contenido de un polinomio
Dado un polinomio f (x) ∈ Z[x] no nulo, se llama contenido de f (x) al
máximo común divisor de sus coeficientes. Se denota por c( f ). Se dirá
que f (x) es primitivo si su contenido es 1.
El siguiente resultado es conocido como Lema de Gauss, como también se denomina
del mismo modo a otros resultados en otros campos matemáticos. Al fin y al cabo, Gauss
fue un matemático muy prolijo y no es de extrañar que varios lemas suyos hayan pasado
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
a la historia con el mismo nombre. De hecho, se confunde incluso con un corolario suyo,
pero el que presentamos es, en este contexto, el verdadero históricamente hablando, y
aparece, con otras palabras, en el Artículo 42 de su gran obra Disquisitiones Arithmeticae.
(Los que entiendan el latín, que serán la mayoría, que no se preocupen, que en 1995 se
editó una traducción al español.)
Lema de Gauss
El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.
P RUEBA : Sean
f (x) = am x m + am−1 x m−1 + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , m,
g (x) = b n x n + b n−1 x n−1 + . . . + b 1 x + b 0 , b j ∈ Z, j = 0, 1, . . ., n
dos polinomios primitivos. Para probar que f (x)g (x) es primitivo basta ver que, fijado
p ∈ Z irreducible, existe un coeficiente de f (x)g (x) que no es divisible por él.
Fijemos pues p irreducible. Sea s (resp t ) el entero 0 ≤ s ≤ m (resp. 0 ≤ t ≤ n ) tal que
p|ai para todo i > s (resp. p|b j para todo j > t ), si se da el caso, y p no divide a a s (resp.
a b t ). El coeficiente de x s+t en f (x)g (x) es
a0 b s+t + . . . + a s−1 b t+1 + a s b t + a s+1 b t−1 + . . . + a s+t b 0 ,
en el que se ve que p divide a todos los sumandos salvo a a s b t . Así, p no divide a la
suma, lo que prueba el resultado.
Corolario 3.6.2. Si f (x), g (x) ∈ Q[x] son polinomios no nulos, entonces
c( f g ) = c( f )c(g ).
P RUEBA : Podemos escribir
f (x) = c( f ) f ′ (x), g (x) = c(g )g ′ (x)
donde f ′ (x) y g ′ (x) son primitivos. Así
f (x)g (x) = c( f )c(g ) f ′ (x)g ′ (x)
y, como f ′ (x)g ′ (x) es primitivo por el lema de Gauss, debe ocurrir que c( f )c(g ) = c( f g ).
El siguiente resultado es engañosamente sencillo, pero de una importancia extrema
cuando se trata de factorizar polinomios, como comprobaremos más adelante.
Corolario 3.6.3. Sea f (x) ∈ Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n , que se
descompone en Q[x] en producto de dos polinomios de grados estrictamente menores
que n . Entonces, se descompone en Z[x] en producto de dos polinomios de esos mismos
grados.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
P RUEBA : Sea f (x) = f 1 (x)g 1 (x), donde f 1 (x), g 1 (x) ∈ Q[x] con grado( f 1 (x)) < n y
grado(g 1 (x)) < n . Multiplicando la anterior igualdad por un cierto elemento a ∈ Z para
quitarnos los denominadores de en medio del producto, se tendrá que
a f (x) = g (x)h(x) , g (x), h(x) ∈ Z[x].
De ahí se deduce que ac( f ) = c(g h) = c(g )c(h), luego a|c(g )c(h). Por tanto, si tomamos
g (x) = c(g )g ′ (x), h(x) = c(h)h ′ (x), entonces
f (x) =
c(g )c(h) ′
g (x)h ′ (x),
a
y ésa es la descomposición buscada.
Corolario 3.6.4. Sea f (x) ∈ Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n , y primitivo.
Entonces f (x) es reducible en Z[x] si y sólo si lo es en Q[x].
P RUEBA : Muy, pero que muy simple; basta con releer el enunciado del corolario
anterior.
Terminaremos la teoría de esta sección con un criterio muy general de irreducibilidad
de polinomios, aunque no concluyente al no poderse aplicar a todos.
Proposición 3.6.5. (Criterio de Eisenstein) Sea un polinomio de grado n > 0
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n.
Supongamos que existe un elemento irreducible p ∈ Z que divide a todos los coeficientes,
salvo a an , y cuyo cuadrado p 2 no divide a a0 . Entonces f (x) es irreducible en Q[x].
P RUEBA : Se hará por reducción al absurdo. Supongamos que f (x) fuese reducible
en Q[x]. En consecuencia se descompondría en Q[x] en producto de dos polinomios de
grado estrictamente inferior. Por el corolario anterior se puede escribir
f (x) = (b s x s + b s−1 x s−1 + . . . + b 1 x + b 0 )(c t x t + c t−1 x t−1 + . . . + c1 x + c0 ),
donde bi , c j ∈ Z para cualesquiera i , j y s, t < n .
Por la segunda hipótesis, p debe dividir a uno de entre b0 y c0 , pero no a ambos.
Supongamos pues sin pérdida de generalidad que p|b0 y no divide a c0 . Como p no
divide a an , no puede dividir a todos los bi . Sea m el mínimo índice tal que p no divide
a bm , que sabemos que es menor que n . El coeficiente del término en x m es
b m c0 + b m−1 c1 + . . . + b 0 cm = am ,
que no es divisible por p pues todos los sumandos lo son salvo el primero. Ahora bien,
que am con m < n no sea divisible por p es una contradicción, luego hemos terminado
con la prueba.
Para terminar esta sección veremos con ejemplos un procedimiento algo elemental,
pero procedimiento al fin y al cabo (ya veremos métodos más sofisticados) para descomponer un polinomio con coeficientes en Q en producto de sus factores irreducibles.
Notemos antes los siguientes hechos:
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Todo polinomio f (x) ∈ Q[x] se puede escribir como d f (x) = h(x), con d ∈ Z, h(x) ∈
Z[x]. Por tanto, para obtener la descomposición en Q de f (x) puedo calcular la de
h(x). Es decir, podemos considerar sólo polinomios con coeficientes enteros.
Sea f (x) ∈ Z[x]. Sabemos que f (x) = c( f )h(x), donde h(x) ∈ Z[x] y es primitivo.
Para obtener la descomposición en Q de f (x) puedo calcular la de h(x). Es decir,
podemos considerar sólo polinomios con coeficientes enteros y primitivos.
Ejemplo 3.6.6. Consideremos el polinomio f (x) = x 5 + x 3 − 2x 2 − 2 ∈ Z[x], primitivo.
Si f (x) es reducible se podrá poner como producto de dos polinomios no constantes
f (x) = g (x)h(x), con g (x), h(x) ∈ Z[x]. Como el polinomio de partida es de grado 5, las
posibilidades son:
1. grado(g (x)) = 1 y grado(h(x)) = 4
2. grado(g (x)) = 2 y grado(h(x)) = 3
Ahora se trata de probar “manualmente"si es posible alguna de las posibilidades. Una
respuesta negativa indicaría que el polinomio de partida es irreducible.
El primer caso es el teorema de Ruffini. Si g (x) = ax + b es de grado 1, entonces
−b/a es una raíz de f (x). Por tanto, se dará la posibilidad (1) si y sólo si f (x) tiene raíces
racionales (notemos que este argumento es válido independiente del grado del polinomio
de partida).
En nuestro ejemplo sabemos por Ruffini que las posibles raíces de f (x) son ±1, ±2.
Sustituyendo en f (x) comprobamos que ninguna es raíz, luego la posibilidad 1 no se da.
Veamos pues si es posible la segunda. Si lo fuera, existirían enteros a , b , c , d , e , f y
r tales que:
x 5 + x 3 − 2x 2 − 2 = (ax 2 + bx + c)(d x 3 + ex 2 + f x + r ) =
= ad x 5 + (ae + bd )x 4 + (a f + be + cd )x 3 + (ar + b f + ce)x 2 + (br + c f )x + cr.
Este polinomio será igual a f (x) si tienen los mismos coeficientes. Por tanto, la segunda
posibilidad se da si y sólo si existen unos enteros a , b , c , d , e , f y r verificando que

1





0



1
S:
 −2




0



−2
=
=
=
=
=
=
ad
ae + bd
a f + be + cd
ar + b f + ce
br + c f
cr
Es decir, tenemos que tratar de resolver en Z el sistema de ecuaciones (no lineales) S . La
mejor forma es estudiar casos. La primera ecuación nos dice que a = d = 1 o a = d = −1.
Supongamos que a = d = 1. Si con esta elección encontramos una solución, ya tendríamos
los polinomios g (x) y h(x) y no habría necesidad de seguir buscando. En caso contrario
tendríamos que resolver el sistema con a = d = −1.
Si a = d = 1, el sistema anterior es:


0




 1
S : −2



0


 −2
=
=
=
=
=
e +b
f + be + c
r + b f + ce
br + c f
cr
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
De la última ecuación nos surgen los siguientes casos: (1) c = −1, r = 2, (2) c = 1, r = −2,
(3) c = −2, r = 1 y (4) c = 2, r = −1.
Caso (1). El sistema a resolver es

0



1
S:

−2


0
= e +b
= f + be − 1
= 2+bf −e
= 2b − f
Sustituyendo e = −b, f = 2b en la segunda ecuación se obtiene b 2 −2b +2 = 0 que no tiene
solución entera. Por tanto este caso es imposible.
Caso (2). El sistema a resolver es

0



1
S:

−2


0
= e +b
= f + be + 1
,
= −2 + b f + e
= −2b + f
que tiene como solución b = e = f = 0.
Concluyendo, llegamos a que f (x) es reducible y su descomposición es factores irreducibles es f (x) = (x 2 + 1)(x 3 − 2). Los polinomios x 2 + 1 y x 3 − 2 son irreducibles pues
no tienen raíces racionales.
Como el lector atento habrá podido observar al final no ha sido necesario lidiar con el
caso en que a = d = −1. Esto es porque si el polinomio de partida es mónico, podemos
suponer que los factores en que se descompone son también mónicos. De haber supuesto
esto, habríamos obtenido los polinomios −x 2 − 1 y −x 3 + 2.
3.7. Factorización en Fp [x]
El mismo procedimiento “artesanal” que hemos usado en la sección anterior para
factorizar en Q[x] se puede usar para obtener la descomposición en factores irreducibles
de polinomios con coeficientes en Fp , con p primo. No obstante, esta sección también
contendrá algún resultado que justifique más su existencia, y no un ejemplo solamente.
Ejemplo 3.7.1. Consideremos el polinomio f (x) = x 4 + x 3 + x + 2 ∈ F3 [x]. Si f (x) es
reducible se puede expresar como producto de dos polinomios no constantes f (x) =
g (x)h(x), con g (x), h(x) ∈ F3 [x]. Como el polinomio de partida es de grado 4, las posibilidades son:
1. grado(g (x)) = 1 y grado(h(x)) = 3
2. grado(g (x)) = 2 y grado(h(x)) = 2
El primer caso se resuelve, como en Q, comprobando si f (x) posee alguna raíz en F3 .
Como F3 = {0, 1, 2} es finito, basta comprobar si algún elemento es raíz. En nuestro caso
f (0) = 2, f (1) = 2 y f (2) = 1, luego la primera posibilidad no se da.
Para estudiar el segundo supuesto escribamos
f (x) = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d )
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
(nótese que ya estamos asumiendo que los factores serán mónicos como f (x)). Operando
e igualando coeficientes obtenemos el sistema

1



0
S:

1


2
=
=
=
=
a +c
b + ac + d
ad + bc
bd
De la cuarta ecuación, teniendo en cuenta los elementos de F3 , obtenemos que o bien
b = 1 y d = 2, o bien b = 2 y d = 1. Ahora bien, dado que ambos polinomios son de grado
2, podríamos reordenarlos si se diera lo segundo para suponer sin pérdida de generalidad
que b = 1 y d = 2. El sistema se queda del siguiente modo:

 1 = a +c
S : 0 = ac

1 = 2a + c
Su única solución es a = 0, c = 1. Por consiguiente, f (x) = (x 2 + 1)(x 2 + x + 2) es la descomposición en factores irreducibles buscada. (Los polinomios x 2 + 1 y x 2 + x + 2 son
irreducibles al no tener raíces en F3 .)
Para ilustrar la importancia del problema de factorizar sobre Fp [x] de la que hablábamos
antes veamos cómo podemos relacionar la irreducibilidad en Q y en Fp , con p primo. Sea
f (x) = an x n + . . . + a1 x + a0 ∈ Z[x]
primitivo, sea p un primo que no divida a an , y llamemos f (x) al polinomio
f (x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 ∈ Fp [x],
siendo a i = ai + Zp , 0 ≤ i ≤ n .
Proposición 3.7.2. Si f (x) es irreducible en Fp [x], entonces f (x) es irreducible en Q[x].
P RUEBA : Aquél que seguramente por algún despiste todavía no se haya dado cuenta del argumento de la prueba, que tenga en cuenta que para cualesquiera polinomios
f (x), g (x), f (x)g (x) = f (x)g (x) y que escriba el contrarrecíproco del enunciado.
Veamos, con un ejemplo, cómo podemos usar el resultado anterior.
Ejemplo 3.7.3. Sea f (x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 ∈ Z[x]. Tomemos p = 2. Entonces f (x) =
x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ∈ F2 . Ya que f (0) = 1 y f (1) = 1, f (x) no tiene raíces en F2 .
Como en caso de ser reducible, ningún factor de la descomposición de f (x) sería de
grado 1, pongamos por caso que
f (x) = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d ).
Como otras veces, operando e igualando coeficientes obtenemos el sistema

1



1
S:

1


1
=
=
=
=
a +c
b + ac + d
ad + bc
bd
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
La última ecuación nos dice que b = d = 1, y sustituyendo en el resto nos quedamos con
S:
½
1 = a +c
,
1 = ac
que no tiene solución. Por tanto, f (x) es irreducible en F2 y así, por la proposición, f (x)
es irreducible sobre Q.
Nota 3.7.4. Si bien en apariencia este procedimiento simplifica los cálculos a la hora de
estudiar si un polinomio es o no irreducible sobre Q, tiene un grave inconveniente. El
recíproco de la proposición anterior es falso. Por ejemplo, el polinomio x 2 + 2 es irreducible sobre Q, pero f (x) = x 2 ∈ F2 [x] es reducible, o el polinomio x 2 − x +1, irreducible
en Q y con f (x) reducible en F3 .
3.8. Factorización efectiva en Q[x] y Fp [x]*
En las últimas secciones hemos dado un largo paseo por la factorización de polinomios, pero quizá pecaba de demasiado teórico, o poco efectivo. El objetivo de esta
lección es dar dos opciones, computacionalmente efectivas y más sofisticadas que las
vistas hasta ahora, para atacar el problema de la factorización de polinomios sobre los
racionales (método de los polinomios interpoladores de Lagrange) y sobre los cuerpos
primos (método de Berlekamp).
El método de los polinomios interpoladores de Lagrange, como su propio nombre
indica, no es más que una adaptación a nuestro contexto del clásico método de interpoladores lineales de Lagrange del Cálculo Numérico. En la literatura también se le conoce
como método de Kronecker.
Comencemos con el caso de un polinomio f (x) ∈ Z[x] de grado n y sea d = ⌊n/2⌋.
Obviamente, salvo que f (x) sea irreducible, alguno de sus factores irreducibles ha de tener
grado menor o igual que d , por lo que basta buscar los posibles factores que verifican esta
condición.
Para ello fijaremos d +1 enteros distintos (normalmente lo más cerca posible de 0, por
motivos de comodidad) a0 , a1 , . . . , ad y hallaremos
n i = f (ai ),
i = 0, . . . , d .
Ahora bien, si g (x) es un factor del tipo que busco de f (x), ha de verificar que s i = g (ai )
divide al n i correspondiente. Así pues, fijaremos una (d +1)-upla de divisores, de la forma
(s 0 , s 1 , . . . , s d ) , donde s i |n i , i = 0, . . ., d .
Recordemos que g (ai ) es precisamente g (x)(mód x − ai ). En ese caso, por el teorema
chino del resto, g (x) ha de ser entonces una solución al sistema
g (x) ≡ s 0
g (x) ≡ s 1
( mód x − a0 )
( mód x − a1 )
g (x) ≡ s d
( mód x − ad )
..
.
..
.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Lo que hemos escrito en otras palabras y símbolos es la imposición de que g (ai ) = s i = s i
( mód x − ai ) para todo i . Sabemos que este sistema tiene solución única (pues los x − ai
son primos entre sí) de grado menor o igual que d . Así pues, fijado un vector de divisores,
tenemos un posible divisor de f (x). Como los posibles vectores de divisores son finitos,
este procedimiento nos da una lista exhaustiva de todos los posibles divisores de f (x)
de grado menor o igual que d . Es más, podemos quedarnos con la mitad de vectores de
divisores, pues la única solución asociada a (−s 0 , −s 1 , . . . , −s d ) será así el opuesto de la
que verifique el sistema con (s 0 , s 1 , . . . , s d ).
Polinomios interpoladores de Lagrange
Para factorizar un polinomio f (x) ∈ Z[x].
Sea d = ⌊n/2⌋, tome d + 1 enteros distintos ai . Forme la (d + 1)-upla
( f (ai )).
Forme todas las posibles (d +1)-uplas (s i ) formadas por divisores de los
f (ai ), y resuelva el sistema g (x) ≡ s i ( mód x − ai ), para todo i , y todas
las (d + 1)-uplas que no se diferencien en un signo.
Si f (x) es reducible, de entre las soluciones no constantes, al menos dos
serán un factor de f (x).
Ejemplo 3.8.1. Aprovechando que ya hemos factorizado algunos polinomios en, recuperemos uno de ellos para aplicarle el método que acabamos de detallar. Sea pues el
polinomio f (x) = x 4 + x 3 + x −1 ∈ Z[x], primitivo. Como tiene grado 4, elegimos 5 puntos
cercanos al cero para evitarnos hacer cuentas más latosas. Calculamos los valores que
toma f (x) en esos puntos:
f (−2) = 5 , f (−1) = −2 , f (0) = −1 , f (1) = 2 , f (2) = 25.
Podemos formar 768 quíntuplas distintas, de las que nos quedamos con 384, la mitad.
Evidentemente no vamos a comprobar todas ellas en el reducido espacio con el que contamos, sin mencionar la penosa tarea para el que escribe estas líneas que supondría dicho
cálculo. No obstante, cualquier programa de cálculo efectuaría esos cálculos sin rechistar,
y al fin y al cabo es por esa razón por la que se comenta este método aquí.
Una vez aclarado lo anterior, sigamos con el ejemplo y probemos con la quíntupla
(1, −1, −1, 1, 5). Tenemos así el siguiente sistema de congruencias:


g (x) ≡ 1




 g (x) ≡ −1
S : g (x) ≡ −1



g (x) ≡ 1


 g (x) ≡ 5
( mód x + 2)
( mód x + 1)
( mód x) ,
( mód x − 1)
( mód x − 2)
que tiene como solución al polinomio x 2 +x −1. Si dividimos f (x) entre aquél, obtenemos
como cociente x 2 +1, que se conseguía al tomar la quíntupla (5,2,1,2,5). Por consiguiente,
f (x) es reducible, y como los de grado 2 que hemos obtenido son irreducibles sobre Q,
hemos terminado de calcular su descomposición.
Si hubiéramos seguido buscando factores, no habríamos obtenido más que los opuestos
de los anteriores. Por ejemplo, la quíntupla (1,2,1,1,1) nos habría dado como resultado el
4
3
2
polinomio − x6 + x6 + 2x3 − 2x
3 + 1, que evidentemente no es factor de f (x).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
El algoritmo de Berlekamp para factorizar en Fp [x] data de 1967, fecha de publicación
del artículo en donde se detallaba. Se basa en una idea sencilla, y gracias a eso y a su
efectividad, ha sido desde entonces uno de los más utilizados, tanto para programar como
para servir de ejemplo de algoritmo de factorización en característica positiva. La idea de
la que hablábamos se presenta en el siguiente teorema.
Teorema de Berlekamp
Sea f (x) ∈ Fp [x] de grado n , sin factores múltiples y mónico, y supongamos que existe un polinomio g (x) tal que
¡
¢
f (x)| g (x)p − g (x) .
Entonces
f (x) =
p−1
Y
s=0
mcd( f (x), g (x) − s),
aunque varios de estos factores pueden ser polinomios constantes.
P RUEBA : Si hacemos memoria del no tan lejano capítulo anterior, recordaremos que en
Fp teníamos que
xp − x =
lo cual en particular implica que
p−1
Y
s=0
g (x)p − g (x) =
(x − s),
p−1
Y
s=0
(g (x) − s).
Hay que decir que todos estos factores son primos entre sí al diferenciarse en una constante.
Probemos entonces la igualdad que hemos enunciado. Por un lado, no es nada dificultoso ver que
p−1
Y
s=0
mcd( f (x), g (x) − s)| f (x),
pues todos los elementos de la izquierda dividen a f (x) y como los g (x) − s son primos
entre sí también lo serán los divisores comunes.
En el otro sentido, si tomamos un factor irreducible de f (x), pongamos h(x), debe
dividir a g (x)p − g (x), luego dividirá también a alguno de los g (x) − s y, de igual modo a
mcd( f (x), g (x) − s).
En conclusión, los dos miembros de la igualdad se dividen mutuamente y al ser mónicos, son iguales.
A partir de aquí, la factorización de f (x) ∈ Fp [x] queda reducida por un lado a encontrar g (x) de grado r < n tal que
f (x)|(g (x)p − g (x)),
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
y posteriormente a aplicar el algoritmo de Euclides p veces. Notemos entonces que por
estar en característica positiva y por el pequeño teorema de Fermat,
si g (x) =
n−1
X
i =0
ai x i , entonces g p (x) =
n−1
X
ai x i p .
i =0
Vamos entonces a buscar un tal polinomio g (x) (concretamente, vamos a buscar sus
coeficientes a0 , . . . , an−1 ). Dividamos así los monomios x i p entre f (x), que al tener grado
n obtendremos
x 0p = q 0 (x) f (x) + r 0 (x) = q 0 (x) f (x) + r 00 + r 10 x 1 + . . . + r n−1,0 x n−1
x 1p = q 1 (x) f (x) + r 1 (x) = q 1 (x) f (x) + r 01 + r 11 x 1 + . . . + r n−1,1 x n−1
..
.
x (n−1)p = q n−1 (x) f (x) + r n−1 (x) = q n−1 (x) f (x) + r 0,n−1 + r 1,n−1 x 1 + . . . + r n−1,n−1 x n−1
Por la unicidad de la división euclídea, el resultado de dividir g p (x) entre f (x) es el dado
por la expresión
g p (x) =
n−1
X
i =0
ai x i p =
Ã
n−1
X
i =0
!
ai q i (x) f (x) +
n−1
X
ai r i (x),
i =0
y por el mismo motivo, el de dividir g p (x) − g (x) entre f (x) es
g p (x) − g (x) =
n−1
X
i =0
ai x i p −
n−1
X
i =0
ai x i =
Ã
n−1
X
i =0
!
ai q i (x) f (x) +
n−1
X
i =0
(ai r i (x) − ai x i ).
Por consiguiente, g (x) verifica lo que queremos si y sólo si
0=
n−1
X
i =0
(ai r i (x) − ai x i ),
o escrito en forma matricial, tomando la matriz de orden n × n R = (r i j ), si y sólo si
(a0 , . . . , an−1 )t es solución del sistema (R − I n ) x = 0.
Así, gracias al algoritmo de Berlekamp, factorizar en Fp [x] se reduce a resolver ciertos
sistemas de ecuaciones lineales y aplicar el algoritmo de Euclides, operaciones ambas que
se pueden realizar de manera muy eficiente.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Algoritmo de Berlekamp
Para factorizar un polinomio f (x) ∈ Fp [x] de grado n .
Para cada i = 0, . . . , n − 1, efectúe las divisiones de x i p entre f (x) para
obtener los restos
r (x) = r 0i + r 1i x 1 + . . . + r n−1,i x n−1 .
Construya la matriz R = (r i j ), y plantee el sistema lineal
(R − I n ) x = 0.
Si el sistema no tiene solución, f (x) es irreducible. Si tiene una solución (a0 , . . . , an−1 )t que represente a un polinomio no constante, f (x) se
descompone como
p−1
Y
s=0
¡
¢
mcd f (x), (a0 − s) + a1 x + . . . + an−1 x n−1 .
Ejemplo 3.8.2. Ilustremos también este método con el mismo polinomio que el anterior
ejemplo, pero considerado en F3 [x]. Sea así f (x) = x 4 + x 3 + x + 2 ∈ F3 [x]. Dividimos
determinadas potencias de x entre f (x) y obtenemos:
1 = q 0 (x) f (x) + r 0 (x) = 0 · f (x) + 1
x 3 = q 1 (x) f (x) + r 1 (x) = 0 · f (x) + x 3
x 6 = q 1 (x) f (x) + r 1 (x) = q 2 (x) f (x) + 1 + x + 2x 2 + x 3
x 9 = q 1 (x) f (x) + r 1 (x) = q 3 (x) f (x) + x
Los cocientes no los hemos indicado todos porque sólo nos interesan los restos para formar la matriz. En nuestro caso,



R =

1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
1
0
1
0
0



.

El sistema lineal en F3 [x] que tenemos que resolver es





0
0
0
0
0
2
0
1
1
1
1
1
0
1
0
2



 x = 0,

que tiene como solución cualquier vector de la forma x = (α, β, 0, β)t , donde α, β ∈ F3 . Si
tomamos α = 1, β = 0, obtenemos la constante 1, que obviamente cumple que f (x)|13 −1 =
0. Escogiendo pues α = 0, β = 1 conseguimos la descomposición
f (x) = mcd( f (x), x 3 + x)mcd( f (x), x 3 + x +1)mcd( f (x), x 3 + x +2) = (x 2 +1)(x 2 + x +2)·1.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
3.9. El teorema fundamental del álgebra*
El contenido de esta sección está tomado del artículo The Fundamental Theorem of
Algebra and Linear Algebra, de Harm Derksen, publicado en el American Mathematical
Monthly 110 (2003), número 7, páginas 620-623. El objetivo que perseguimos es dar una
prueba del teorema fundamental del álgebra con argumentos puramente algebraicos y a
la vez asequible al lector que no tenga un conocimiento profundo de esta materia, pues
solamente usa algunas nociones de álgebra lineal.
Teorema fundamental del álgebra
Todo polinomio no constante de C[x] tiene una raíz en C.
Si de algo no se puede quejar alguien que se acerque por primera vez al teorema que
nos ocupa, es por falta de demostraciones. Existe una cantidad considerable de pruebas
distintas, y usando técnicas variopintas. Desde la primera, elaborada por Gauss en su
tesis doctoral de 1799 (aunque con algún fallo en el rigor matemático), hasta esta que
aquí expondremos, existen pruebas topológicas, usando propiedades de la curva compleja
que describe un polinomio, pruebas analíticas, que utilizan el teorema de Liouville de que
toda función entera es acotada, pruebas algebraicas, basándose en la teoría de Galois entre
otras herramientas, o incluso mixturas de los tres tipos anteriores.
Vayamos, sin más dilación, al desarrollo de la prueba. Para ello, definamos la propiedad
P k,r (d ), donde k es un cuerpo, R o C, y r = 1, 2. Su enunciado es el siguiente:
P k,r (d ): Dados r endomorfismos A i que conmuten entre todos de un k -espacio vectorial V de dimensión n , no divisible por d , existe un autovector no nulo que es común a
todos ellos.
Para probar el teorema, bastaría con demostrar que se cumple la propiedad P C,1 (2r )
para todo r ∈ N. Así, para cualquier polinomio (que podemos suponer mónico sin problema) no constante f (x) ∈ C[x], se tiene que

0 0 ··· 0
 1 0 ··· 0

f (x) = x n + an−1 x n−1 + . . . + a0 = det(xI n − A) , con A =  . . .
.
 .. .. . . ..
0 0 ···
−a0
−a1
..
.
1 −an−1





Como A representa a un endomorfismo de C y existe algún r tal que 2r no divide a n ,
A tendría un autovector no nulo. Su autovalor asociado sería raíz de f (x), y habríamos
acabado.
Así pues, para probar P C,1 (2r ) seguiremos el camino marcado a través de diversos
lemas, cada uno apoyándose en los anteriores. Como en la demostración de arriba, denotaremos por A i tanto a un endomorfismo como a su matriz asociada.
Lema 3.9.1. Si se tiene P k,1 (d ), también se cumple P k,2 (d ).
P RUEBA : Sean A 1 y A 2 dos endomorfismos que conmutan de un k -espacio vectorial
V de dimensión n no divisible por d . Vamos a probar por inducción en n que tienen un
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
autovector en común. Si n = 1, cada A i no es más que la multiplicación por una constante,
y todos los vectores de V son propios, siendo trivial el aserto. Supongamos pues que
también es cierto si dimV < n , y veámoslo para dimV = n .
Como P k,1 (d ) se cumple, A 1 tiene un autovalor λ ∈ k . Sean W y Z , respectivamente,
el núcleo y la imagen del endomorfismo A 2 − λI . Como A 1 y A 2 conmutan, W y Z permanecen fijos por A 1 .
Supongamos que W 6= V . Entonces, como dimW + dim Z = dimV , d no dividirá a al
menos alguna de las dos dimensiones, y además ambas son menores que n . Por tanto, por
la hipótesis de inducción, A 1 y A 2 compartirán un autovector no nulo directamente en W
o en Z .
Si W = V , cualquier vector propio de A 1 v cumple que A 2 v = λv, luego también tenemos
la propiedad.
Lema 3.9.2. Si k = R, P k,r (2) son ciertas para r = 1, 2.
P RUEBA : Por el lema anterior bastaría probar que P R,1 (2) es cierta, esto es, que todo
endomorfismo de un espacio vectorial sobre R de dimensión impar tiene un autovector no
nulo, pero eso es equivalente a que su polinomio característico f (x) = det(xI − A) tenga
alguna raíz en R. Ahora bien, f (x) es un polinomio de grado impar con coeficientes reales,
y ya hemos visto que siempre tiene al menos una raíz real.
Lema 3.9.3. Todo endomorfismo de un C-espacio vectorial de dimensión impar tiene un
autovector no nulo, esto es, P C,1 (2) se cumple.
P RUEBA : Sea A : Cn → Cn un endomorfismo con n impar, y sea V = Hermn (C), el
t
R-espacio vectorial de las matrices hermíticas (aquellas que A ∗ = A = A ) de orden n × n .
Consideremos los siguientes endomorfismos R-lineales de V definidos como:
AB + B A ∗
AB − B A ∗
, L 2 (B) =
.
L 1 (B) =
2
2i
Ver que L 1 y L 2 están bien definidos y conmutan es un cálculo bien sencillo y no lo
escribiremos en estas líneas.
Sabemos que dimR V = n 2 , que es impar. Entonces, por el lema anterior, L 1 y L 2
comparten un autovector no nulo al cumplirse P R,2 (2). Sea B ese autovector en V , cuyos
valores propios asociados sean λ y µ respectivamente. En ese caso,
(L 1 + i L 2 )(B) = AB = (λ + µi )B,
luego cualquier columna no nula de B constituirá uno de los autovectores buscados para
A.
Ya hemos acabado el ensamblaje de lemas previos al resultado que nos bastaba para
probar el teorema fundamental del álgebra. Como el lector interesado (pues ya por llegar
hasta aquí ha demostrado un interés digno de mención) podrá ver, no hemos usado más
que algunas propiedades básicas de espacios vectoriales y matrices, asequibles a cualquier
alumno con nociones básicas de álgebra lineal y que, evidentemente, presuponemos aquí,
pues no es competencia de este texto el explicar dichas nociones, sin que eso signifique
ningún menoscabo a ellas. Pero no nos alejemos del tema que nos ocupa y demostremos
la proposición siguiente.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Proposición 3.9.4. Para todo r ∈ N se cumple P C,1 (2r ).
P RUEBA : Se hará por inducción en r . Si r = 1 es el enunciado del lema anterior, así
que supongamos como hipótesis de inducción que tenemos P C,1 (2l ), con l < r .
Tomemos pues un endomorfismo C-lineal A : Cn → Cn , con n divisible por 2r −1 pero no
por 2r . Esto lo podemos asumir, puesto que si n no fuera divisible por 2r −1 estaríamos
en el caso de probar P C,1 (2r −1 ). Sea V = Antn (C) el C-espacio vectorial de las matrices
antisimétricas con coeficientes complejos. Definamos dos endomorfismos de V , L 1 y L 2
como
L 1 (B) = AB − B A t , L 2 (B) = AB A t .
De nuevo, no probaremos que están bien definidos ni que conmutan entre ellos, y se lo
dejaremos al lector con afán de comprobación.
Notemos que 2r −1 no divide a dimV , que es igual a n(n − 1)/2. Por tanto, por la
hipótesis de inducción, existe un vector propio B común a L 1 y L 2 . Sean sus autovalores
asociados λ y µ, respectivamente. Así,
µB = ABA t = A(AB − λB),
es decir,
(A 2 − λA − µI )B = 0.
Sea v un vector columna de B, y sean α y β las dos raíces complejas del polinomio
x 2 − λx − µ, que sí que sabemos que tiene raíces en C, porque es de grado 2. Si llamamos
w = (A − βI )v y es no nulo, tenemos que (A − αI )w = 0, y hemos terminado, siendo w
el autovector que buscábamos. Si w = 0 eso querría decir que (A − βI )v = 0, siendo v el
vector propio buscado.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Capítulo 4
Conjuntos
4.1. Conjuntos. Operaciones básicas
Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos más
importantes: el de conjunto. La Teoría de conjuntos, desde el punto de vista axiomático,
fue introducida por Georg Cantor. Cantor nació en San Petersburgo en 1845, donde vivió
sus primeros once años. Desde 1869 ejerció como profesor en la universidad de Halle.
Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en el Mathematische Annalen
en los que desarrollaba una introducción básica a la teoría de conjuntos. Falleció en 1917.
Conjunto
Llamaremos conjunto a una colección de objetos, distintos entre sí, que
comparten una propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe
ser posible discernir si un objeto arbitrario está o no en él.
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos sus elementos entre
llaves, por ejemplo
A = {1, 2, 3, 4, 5},
o de manera implícita, dando una o varias características que determinen si un objeto dado
está o no en el conjunto, por ejemplo
A = {x | x es un número natural par},
que se leerá: “ A es el conjunto formado por los x tales que x es un número natural par”.
Esta última opción (la definición implícita) es obviamente imprescindible cuando el conjunto en cuestión tiene una cantidad infinita de elementos.
Los conjuntos se notarán con letras mayúsculas: A , B ,... y los elementos con minúsculas, en general. Si el elemento a pertenece al conjunto A escribiremos a ∈ A . En caso
contrario escribiremos a ∉ A .
En ocasiones hay que considerar varios conjuntos en pie de igualdad. En estos casos
es frecuente denotar los distintos conjuntos con la misma letra y un subíndice que los
diferencia. Los subíndices pueden ser finitos y concretos, por ejemplo,
X 1, X 2, X 3, X 4, X 5;
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
finitos pero en cantidad desconocida,
X 1 , X 2 , ..., X n , donde n ∈ N,
o arbitrarios; un ejemplo de esto sería considerar
{A i }i ∈I ,
que se leería: la familia de conjuntos A i donde i pertenece a I . Aquí I es el conjunto
de subíndices que puede o no ser finito (en los ejemplos anteriores I = {1, 2, 3, 4, 5}, I =
{1, 2, . . ., n} con n ∈ N y también I podría ser todo N).
Ejemplo 4.1.1. 1) Para cada i = 0, 1, . . ., 9, definimos los conjuntos X i como
X i = {Españoles cuyo año de nacimiento termina en i }.
2) Para cada n ∈ N, definimos el conjunto
A n = {m ∈ Z | m es múltiplo de n}.
De esta forma se tiene una familia infinita {A n }n∈N de conjuntos. En particular, si n = 5 se
tiene
A 5 = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .}.
Un conjunto que carece de elementos se denomina el conjunto vacío y se denota por
;. Un conjunto con un único elemento se denomina unitario.
Notemos que, si X = {x} es un conjunto unitario, debemos distinguir entre el conjunto
X y el elemento x .
Subconjunto
Dados dos conjuntos A y B , si todo elemento de A es a su vez elemento
de B diremos que A es un subconjunto de B y lo notaremos A ⊂ B . En
caso contrario se notará A 6⊂ B .
Definición 4.1.2. Dados dos conjuntos A y B , diremos que son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, si se verifica que A ⊂ B y B ⊂ A, y lo notaremos por A = B.
Esta definición nos lleva al procedimiento más habitual de demostración en teoría de
conjuntos: la prueba por doble inclusión. Si queremos probar que dos conjuntos A y B
son iguales, lo que haremos es probar que A ⊂ B y que B ⊂ A . A lo largo de esta sección
veremos algunos ejemplos de esta técnica.
Cuando trabajamos con conjuntos concretos, siempre existe un contexto donde esos
conjuntos existen. Por ejemplo, si A = {−1, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {x | x ∈ N es par}, el contexto
donde podemos considerar A y B es el conjunto de los números enteros, Z. En general, a
este conjunto se le denomina conjunto universal y se denota por U . De una forma algo
más precisa, sin olvidar que estamos dando nociones intuitivas, podemos dar la siguiente
definición:
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Conjunto universal
Conjunto universal o de referencia, que lo notaremos por U , es un conjunto del que son subconjuntos todos los posibles conjuntos que origina
el problema que tratamos.
A lo largo de estas notas supondremos, salvo que se especifique lo contrario, que
todos los conjuntos que usamos están contenidos en U . De esta forma, dado un conjunto
A , podemos representarlo con un diagrama de Venn.
U
A
Figura 4.1: Diagrama de Venn
Proposición 4.1.3. Sean A , B y C tres conjuntos cualesquiera. Se tienen las siguientes
propiedades:
(a) A ⊂ A , ; ⊂ A .
(b) Si A ⊂ B y B ⊂ C , entonces A ⊂ C .
P RUEBA : La primera propiedad se sigue directamente de la definición.
La demostración de (b) se sigue de la definición de subconjunto: todo elemento de A
está en B , por ser A ⊂ B y, dado que es elemento de B , está en C por ser B ⊂ C . Así todo
elemento de A está en C y hemos finalizado.
Los subconjuntos de A distintos de ; y A se denominan subconjuntos propios de A.
Complementario
Dado un conjunto A se define el complementario de A , notado por A o
A c , como
A = {x | x ∈ U , x ∉ A}.
Dado A ⊂ U , se dan las siguientes igualdades:
; =U,
U = ;,
A = A.
Nos detendremos solamente en la tercera de las anteriores propiedades. En efecto, por
definición
A = {x | x ∈ U , x ∉ A},
pero para un x ∈ U , x ∉ A si y sólo si x ∈ A , por tanto los elementos de A son precisamente
los de A .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
U
A
Figura 4.2: Complementario
Cardinal de un conjunto
Cuando A es un conjunto finito, el número de elementos de A se denomina cardinal de A y se notará ♯(A).
Unión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la unión de A y B , notado A ∪ B ,
como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen al
menos a uno de los dos conjuntos, A ó B , es decir
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
U
A
B
Figura 4.3: Unión
Ejemplo 4.1.4. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces
A ∪ B = {a, b, c, 2, 5, 7}.
2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces
A ∪ B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 7}.
3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}, entonces
A ∪ B = {Alumnos nacidos en día par o en los días impares de enero}.
Se definen de forma equivalente la unión de una cantidad finita de conjuntos A 1 , ..., A n ,
que denotaremos
A 1 ∪ ... ∪ A n =
n
[
i =1
Ai ,
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
y la unión de una familia arbitrariamente grande de conjuntos {A i }i ∈I , que denotaremos
[
Ai .
i ∈I
Propiedades de la unión
La unión de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para cualesquiera conjuntos A , B y C :
(a) Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A .
(b) Asociativa: (A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C ).
(c) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.
(d) ; ∪ A = A .
(e) A ⊂ B si y sólo si A ∪ B = B.
P RUEBA : (a) Los elementos de A ∪ B son los que pertenecen a A o a B que, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B o a A, es decir A ∪ B = B ∪ A. La
prueba de (b) se hace igual.
(c) Sea a ∈ A. Es claro que a ∈ A ∪ B pues el elemento a verifica que está en A o en B.
Análogamente B ⊂ A ∪ B.
(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A ⊂ ;∪ A . Recíprocamente,sea a ∈ ;∪ A . Esto quiere decir que el elemento a tiene que estar, al menos, en
uno de los conjuntos ; o A . Sabemos que a ∉ ;, luego a ∈ A.
(e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∪ B = B basta probar que A ∪ B ⊂ B, pues
la otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A ∪ B, entonces x ∈ A o x ∈ B. Pero si x ∈ A,
como A ⊂ B se tiene que x ∈ B.
Recíprocamente, supongamos que A∪B = B. Entonces, por (c) tenemos A ⊂ A∪B = B.
Intersección de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la intersección de A y B , notado
A∩B , como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen
al mismo tiempo a ambos conjuntos, A y B , es decir
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Ejemplo 4.1.5. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces
A ∩ B = {a, c}.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
U
A
B
Figura 4.4: Intersección
2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces
A ∩ B = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 3}.
3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}, entonces
A ∩ B = {Alumnos nacidos en los días pares de enero}.
Se definen de forma equivalente la intersección de una cantidad finita de conjuntos
A 1 , ..., A n , y la intersección de una familia arbitrariamente grande de conjuntos {A i }i ∈I ,
que denotaremos, respectivamente,
A 1 ∩ ... ∩ A n =
n
\
Ai ,
y
i =1
\
Ai .
i ∈I
Si A y B son dos conjuntos tales que A ∩ B = ; se dice que A y B son disjuntos.
Propiedades de la intersección
La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para
cualesquiera conjuntos A , B y C :
(a) Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A .
(b) Asociativa: (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C ).
(c) A ∩ B ⊂ A , A ∩ B ⊂ B.
(d) ; ∩ A = ;.
(e) A ⊂ B si y sólo si A ∩ B = A.
P RUEBA : (a) Los elementos de A ∩ B son los que pertenecen a A y a B que, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B y a A, es decir A ∩ B = B ∩ A. La
prueba de (b) se hace igual.
(c) Sea a ∈ A ∩ B. Entonces a ∈ A pues el elemento a verifica que está en A y en B.
Análogamente B ∩ A ⊂ B.
(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A ∩ ; ⊂ ;. La
inclusión contraria se tiene pues sabemos que el ; es subconjunto de todos los conjuntos,
en particular es ; ⊂ ; ∩ A.
(e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∩B = A basta probar que A ⊂ A ∩B, pues la
otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A, entonces x ∈ B pues A ⊂ B. Es decir x ∈ A∩B.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Recíprocamente, supongamos que A∩B = A. Entonces, por (c) tenemos A = A∩B ⊂ B.
Diferencia de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia de A y B , notada
A \ B , como el conjunto formado por los elementos de A que no están
en B, es decir
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.
Se tiene que A\B = A∩B . En efecto, sea x ∈ A\B. Entonces x ∈ A y x ∉ B, luego x ∈ A
y x ∈ B , es decir x ∈ A∩B. Para demostrar la inclusión contraria basta leer la demostración
anterior de derecha a izquierda.
U
A
B
Figura 4.5: Diferencia
Ejemplo 4.1.6. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces
A \ B = {b}.
2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces
A \ B = {x ∈ Q | 3 ≤ x ≤ 7}.
3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}, entonces
A \ B = {Alumnos nacidos en los días impares de enero}.
Notemos que, en general, A \ B 6= B \ A. En el apartado 1) del ejemplo anterior es
A \ B = {a} y B \ A = {2, 5, 7}.
Diferencia simétrica de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simétrica de A
y B , notada A△B , como el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a uno sólo de los conjuntos A, B, es decir
A△B = {x | x ∈ A \ B ∨ x ∈ B \ A}.
Se tiene que A△B = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
U
A
B
Figura 4.6: Diferencia simétrica
Ejemplo 4.1.7. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces
A△B = {b, 2, 5, 7}.
2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces
A△B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x < 2 y 3 < x ≤ 7}.
3) Sean A = {los alumnos nacidos en enero} y B = {los alumnos nacidos en día par}, entonces
A△B = {los alumnos nacidos en los días impares de enero y en los pares del resto de meses}.
Veremos ahora algunas propiedades más de los conjuntos y demostraremos algunos
resultados fundamentales utilizando la técnica de la doble inclusión.
Proposición 4.1.8. Sean A ⊂ B dos conjuntos. Entonces A ∪ (B \ A) = B y A ∩ (B \ A) = ;.
P RUEBA : Ambas pruebas son sencillas. Veamos la primera afirmación. Sea x ∈ A ∪
(B \ A). Si x ∈ A es x ∈ B , pues A ⊂ B. En caso contrario x ∈ B \ A, es decir x ∈ B. Por tanto
A ∪ (B \ A) ⊂ B.
Recíprocamente, sea x ∈ B. Si x ∈ A, entonces x ∈ A ∪(B \ A). En caso contrario, x ∉ A,
luego x ∈ B \ A y x ∈ A ∪ (B \ A). Por tanto B ⊂ A ∪ (B \ A).
Leyes distributivas - Leyes de De Morgan
Dados tres conjuntos A , B y C se verifican las siguientes igualdades:
(a) Leyes distributivas:
A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C ),
A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C )
(b) Leyes de De Morgan (supongamos A, B ⊂ C ):
C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B),
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B)
P RUEBA : Probaremos una de las leyes distributivas y una de las leyes de De Morgan;
las restantes quedan como ejercicio por ser simétricas a las probadas. Ambos resultados
se probarán por doble inclusión.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Veamos que A ∩ (B ∪C ) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩C ). Para ello tomemos un elemento arbitrario
x ∈ A ∩(B ∪C ). Esto quiere decir que x está en A y además en B ó en C . Esto implica que,
bien está en A ∩ B , bien está en A ∩C . En cualquier caso x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩C ).
Demostremos ahora que (A ∩B)∪(A ∩C ) ⊂ A ∩(B ∪C ). Si consideramos un elemento
cualquiera y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ), y ha de pertencer a A ∩ B o a A ∩ C . Por tanto, bien está
en A y en B o en A y en C . En cualquier circunstancia ha de estar en A y al menos en uno
de los otros dos conjuntos B ó C . De aquí y ∈ A y además y ∈ B ∪C .
Pasemos a probar la segunda ley de De Morgan. Veamos primero C \ (A ∩ B) ⊂ (C \
A) ∪ (C \ B). Un elemento x de C \ (A ∩ B) ha de estar en C , pero no en A ∩ B , por lo que
no puede estar en al menos uno de los dos conjuntos A ó B . Así, x ha de pertenecer, bien
a C \ A , bien a C \ B . En cualquier caso x ∈ (C \ A) ∪ (C \ B).
Si tomamos ahora un elemento z ∈ (C \ A)∪(C \B), observemos que z ha de estar, bien
en C \ A , bien en C \ B , por lo que debe estar en C y no estar en A o en B . Así, z ∈ C , pero
nunca puede estar en A ∩ B , por lo que z ∈ C \ (A ∩ B).
Notemos que si en el apartado (b) del teorema anterior tomamos C = U , el conjunto
universal, la leyes de De Morgan nos dicen que:
A ∪ B = A ∩ B,
A
B
A ∩ B = A ∪ B.
A
B
C
C
Figura 4.7: Ley distributiva
A
A
B
C
B
C
Figura 4.8: Ley de De Morgan
Partes de un conjunto
Dado un conjunto X , se define el conjunto de las partes de X , notado
P (X ), como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos
de X .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Ejemplo 4.1.9. Si tenemos el conjunto X = {0, 1, 2, 3}, entonces
P (X ) = { ;, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},
{0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, X }
Teorema 4.1.10. El conjunto P (X ) es finito si y sólo si lo es X . De hecho, en este caso,
♯ (P (X )) = 2♯(X ) .
P RUEBA : En cuanto a la primera afirmación, si X es infinito, lo es obviamente P (X ).
La otra implicación viene dada por la fórmula sobre los cardinales que probaremos por
inducción.
El caso ♯(X ) = 0 es elemental, porque entonces X = ; y, por tanto P (X ) = {;}. Notemos que P (X ) no es el conjunto vacío, es un conjunto unitario, cuyo único elemento es
el conjunto vacío.
Supuesto cierto el resultado para todos los conjuntos que tienen, pongamos, n elementos, tomemos X un conjunto de n + 1 elementos, x ∈ X cualquiera, y escribamos
X = X ′ ∪ {x},
donde X ′ = X \ {x} tiene n elementos. Entonces es claro que los subconjuntos de X son,
bien subconjuntos de X ′ , bien subconjuntos de X ′ a los que se ha añadido x, y que hay
tantos subconjuntos de un tipo como del otro. Dado que, por hipótesis de inducción,
se tiene, por tanto,
¡ ¡ ¢¢
♯ P X ′ = 2n
♯ (P (X )) = 2 · ♯(P (X ′ )) = 2 · 2n = 2n+1 .
4.2. Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia.
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B , se define el producto cartesiano de A y B
como el conjunto de pares ordenados formados (por este orden) por un
elemento de A y uno de B y se denota
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Dado (a, b) ∈ A × B , el elemento a ∈ A (respectivamente b ∈ B ) se suele denominar
primera (segunda) componente del par.
Ejemplo 4.2.1. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1, 2, 3}. Entonces:
A × B = {(a, b), (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, b), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
También se puede definir el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos
(para cantidades infinitas hay dos posibles generalizaciones y no las veremos por ahora )
de la forma natural
A 1 × ... × A n =
n
Y
i =1
©
ª
A i = (a1 , ..., an ) | ai ∈ A i , para i = 1, ..., n .
Correspondencia
Una correspondencia G de A en B es un subconjunto del producto
A × B . Equivalentemente se puede definir como una regla que asocia
algunos elementos de A con algunos elementos de B . Concretamente,
G asocia a ∈ A con b ∈ B si (a, b) ∈ G .
Ejemplo 4.2.2. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1, 2, 3} los conjuntos del ejemplo anterior.
Entonces G = {(a, 1), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 3)} es una correspondencia de A en B .
Las correspondencias se pueden representar como sigue:
A
B
b
a
1
b
2
c
3
Figura 4.9: Correspondencia
Es claro que la representación del ejemplo anterior es posible por trabajar con conjuntos finitos (y con pocos elementos). Si los conjuntos son infinitos, las correspondencias
(no finitas) se tienen que dar definiendo propiedades de los pares que la componen. Por
ejemplo, si A = Z, B = N una correspondencia es G = {(x, y) | x es par, y es impar}.
Relación
Sea A un conjunto. Una relación R definida en A es una correspondencia de A en sí mismo.
Ejemplo 4.2.3. Sea A = {a, b, c}. Entonces R = {(a, a), (a, c), (b, c)} es una relación en A.
Si el par (x, y) ∈ A × A está en R , diremos que x está R –relacionado con y , o relacionado con y por R . Esto se notará frecuentemente xR y (nótese que el orden es importante).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Sea R una relación en A . Entonces diremos que R es:
(a) Reflexiva cuando para todo x ∈ A se tiene que xR x .
(b) Simétrica cuando xR y siempre implica yR x .
(c) Antisimétrica cuando, si tenemos xR y e yR x , entonces x = y
necesariamente.
(d) Transitiva si tenemos xR y e yR z siempre es xR z .
Relaciones de orden y de equivalencia
Las relaciones reflexivas, simétricas y transitivas se denominan relaciones de equivalencia. Las relaciones reflexivas, antisimétricas y transitivas se denominan relaciones de orden.
Ejemplo 4.2.4. 1) En el conjunto Z definimos las relaciones siguientes:
xR y ⇐⇒ x ≤ y,
xSy ⇐⇒ x − y es par,
xT y ⇐⇒ x divide a y
a) R es una relación de orden (de hecho, las relaciones de orden se denominan así por ser
éste el ejemplo fundamental). En efecto:
Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n ≤ n, luego nRn.
Antisimétrica: Si nRm y mRn se tiene que n ≤ m y m ≤ n, luego n = m.
Transitiva: Si nRm y mR s es n ≤ m ≤ s, luego nR s.
b) S es una relación de equivalencia.
Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n − n = 0 es par, luego nSn.
Simétrica: si nSm es n − m par, luego m − n es par y, por tanto, mSn.
Transitiva: si nSm y mSp se tiene que n − m y m − p son pares. Sumando se tiene
que n − p es par, luego nSp.
c) T no es ni de orden ni de equivalencia, pues T no verifica la propiedad antisimétrica ni
la simétrica.
Notemos que S es de equivalencia si sustituimos la condición “x − y es par” por la
condición “x − y es múltiplo de p ”, para cualquier número p que fijemos con antelación.
Esta relación se estudiará en profundidad más adelante.
2) Sea A un conjunto fijo. En P (U ) definimos la relación R :
∀B,C ∈ P (U ),
B RC
Veamos que es una relación de equivalencia.
si
A ∩ B = A ∩C .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Reflexiva: ∀B ∈ P (U ), A ∩ B = A ∩ B, es decir B RB.
Simétrica: si B RC , es A ∩ B = A ∩C , luego A ∩C = A ∩ B y C RB.
Transitiva: si B RC y C RD se tiene que A ∩ B = A ∩C = A ∩ D, luego B RD.
3) En el conjunto Z la relación definida por el menor estricto, xR y ⇐⇒ x < y, verifica
la propiedad antisimétrica ya que no existe ningún par de enteros n, m tales que nRm y
mRn. La relación es también transitiva, pero no es reflexiva ni simétrica.
Clase de equivalencia
Si R es una relación de equivalencia en A , denominamos clase de equivalencia de un elemento x ∈ A al conjunto de todos los elementos de A
relacionados con x , esto es,
x = R(x) = {y ∈ A | xR y},
donde la primera notación se usa si R se sobreentiende, y la segunda si
no es así.
Ejemplo 4.2.5. Vamos a calcular las clases de equivalencia de las relaciones del ejemplo
anterior.
1) En Z consideramos la relación de equivalencia S , nSm si n−m es par. Sea n un número
par. Entonces m ∈ Z está relacionado con n si m − n = 2k es par, luego m = n + 2k es par.
Luego todos los elementos de la clase de equivalencia de n son pares. Recíprocamente,
si m es par se tiene que n − m es par. Por tanto, la clase de equivalencia de n , S(n), es el
conjunto de todos los números pares.
Si n es impar, es fácil ver que la clase de equivalencia S(n) es el conjunto de todos los
números impares.
Notar que si n 1 y n 2 son ambos números pares (impares) entonces S(n 1 ) = S(n 2 ). De
aquíse sigue que en este ejemplo sólo tenemos dos clases de equivalencia, por ejemplo
S(0) = {enteros pares} y S(1) = {enteros impares}. Nótese también que S(0) ∩ S(1) = ; y
que Z = S(0) ∪ S(1). En el teorema siguiente se probará que estas propiedades se verifican
en cualquier relación de equivalencia.
2) Calcularemos las clases de equivalencia de la relación, en P (U ), definida por: ∀B,C ∈
P (U ), B RC si A ∩ B = A ∩ C , siendo A un conjunto fijo. Estudiaremos, primero, un
caso particular que nos servirá para entender mejor el caso general. Supongamos que el
conjunto A que fijamos tiene sólo dos elementos, A = {x, y}. Veamos que, en este caso,
sólo existen 4 clases de equivalencia: R(;), R(A), R({x}) y R({y}). En efecto: sea B un
conjunto cualquiera. Las posibilidades para A ∩ B son
A ∩ B = ; = A ∩ ;, de donde B R; y B ∈ R(;).
A ∩ B = A = A ∩ A, de donde B R A y B ∈ R(A).
A ∩ B = {x} = A ∩ {x}, de donde B R{x} y B ∈ R({x}).
A ∩ B = {y} = A ∩ {y}, de donde B R{y} y B ∈ R({y}).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Observemos que en este ejemplo también se tiene que las cuatro clases anteriores no
tienen ningún elemento en común y que la unión de todas ellas es P (U ).
Pasemos al caso general. Sea A un conjunto cualquiera. Veamos que existen tantas
clases de equivalencia como subconjuntos de A, es decir tantas como ♯(P (A)).
2-1) Si A 1 , A 2 ⊂ A son distintos, entonces R(A 1 ) 6= R(A 2 ). En efecto: A 1 y A 2 no están
relacionados ya que A ∩ A 1 = A 1 6= A 2 = A ∩ A 2 .
2-2) Todo conjunto B pertenece a la clase de equivalencia de un subconjunto de A. En
efecto: basta tomar A∩B ⊂ A, entonces A∩(A∩B) = (A∩A)∩B = A∩B, luego B ∈ R(A∩B).
Teorema 4.2.6. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A . Entonces se
verifican las siguientes propiedades:
(a) Todo elemento pertenece a una clase de equivalencia.
(b) Dos clases de equivalencia son disjuntas o iguales.
Esto es, la relación R divide completamente al conjunto A en subconjuntos disjuntos
(las clases de equivalencia).
P RUEBA : La afirmación (a) es trivial, ya que R es reflexiva. Para probar (b) supongamos que tenemos dos clases de equivalencia R(x) y R(y) de tal forma que existe z ∈
R(x) ∩ R(y). Tenemos que demostrar entonces que R(x) = R(y), y lo haremos por doble
inclusión. De hecho, sólo probaremos que R(x) ⊂ R(y), porque la otra inclusión es absolutamente simétrica.
Tomamos entonces a ∈ R(x). Como z ∈ R(x), tenemos que aR x y xR z , por lo que
aR z . De la misma forma, como z ∈ R(y), se verifica que zR y . Así tenemos aR y , luego
a ∈ R(y). Observemos que hemos usado tanto la propiedad simétrica como la transitiva
para demostrar (b).
Conjunto cociente
Dada una relación de equivalencia R definida sobre un conjunto A , el
conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de A por R se
denomina conjunto cociente de A por R . La notación usual es
A/R = {R(x) | x ∈ A}.
Ejemplo 4.2.7. Veamos los conjuntos cocientes de los ejemplos anteriores.
a) Sea la relación de equivalencia S , en Z, dada por nSm si n − m es par. Entonces
Z/S = {S(0), S(1)}
En general, si fijamos un entero p y consideramos
xSy ⇐⇒ x − y es múltiplo de p,
se tiene que, para todo x ∈ Z
S(x) = {y ∈ Z | x e y dan el mismo resto al dividirlos entre p},
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
por lo que
Z/S = {S(0), S(1), ..., S(p − 1)}.
b) Consideremos la relación de equivalencia, en P (U ), definida por:
B RC
∀B,C ∈ P (U ),
si
A ∩ B = A ∩C ,
siendo A un conjunto fijo. En este caso
P (U )/R = {R(D) | D ∈ P (A)}.
4.3. Aplicaciones
Aplicación
Una aplicación f de A en B es una correspondencia donde todo elemento de A tiene asociado un único elemento de B . Esto es, en notación
matemática, una correspondencia G es una aplicación si y sólo si se
verifica que
∀a ∈ A ∃!b ∈ B tal que (a, b) ∈ G.
Nota 4.3.1. Es habitual denotar una aplicación entre A y B de la forma f : A −→ B . En
estas condiciones, dado a ∈ A el único b ∈ B verificando (a, b) ∈ f se denota f (a) y se
denomina imagen de a (por f ).
De esta notación surge la terminología, comúnmente usada, de llamar a A conjunto
original (o dominio) y a B conjunto imagen.
Ejemplo 4.3.2. 1) Sea f : R → R la correspondencia dada por
(a, b) ∈ f
si b 2 = a.
La correspondencia f no es aplicación, pues no todos los elementos de R poseen una
imagen (si a < 0, no existe b ∈ R con b 2 = a.)
2) Consideremos la correspondencia anterior donde la primera componente la suponemos
en R+ (los números reales positivos), es decir f ⊂ R+ × R. En este caso, todos los elementos de R+ tienen una imagen, pero f no es aplicación, pues la imagen no es única. Por
ejemplo, (4, 2) ∈ f y (4, −2) ∈ f .
3) Si consideramos f : R+ → R+ , definida por
f (a) = b
si b 2 = a,
si es aplicación.
4) La correspondencia
f : Z − {1} → Q,
es aplicación.
5) Sea A un conjunto fijo. Definimos
f , g : P (U ) → P (U )
f (n) =
n
n −1
f (B) = A ∩ B,
g (B) = A ∪ B.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Ambas son aplicaciones.
6) Sea X un conjunto cualquiera. Siempre se tiene la aplicación
f : X → X,
definida por
f (x) = x, ∀x ∈ X ,
que llamaremos aplicación identidad y notaremos por 1 X .
7) Sean X , Y conjuntos cualesquiera, y 0 ∈ Y un elemento fijo. Siempre se tiene la aplicación
g : X → Y definida por g (x) = y 0 , ∀x ∈ X ,
que llamaremos aplicación constante.
Imagen y anti-imagen
Dada una aplicación f : X −→ Y y subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y , definimos:
(a) La imagen de A (o imagen directa de A ), notada f (A), como
f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A con f (x) = y} ⊂ Y ,
esto es, el conjunto de elementos del conjunto imagen que son
imagen de un elemento de A . Si A = X se denota f (X ) = im( f ) y
se denomina imagen de f .
(b) La anti–imagen (o contraimagen, o imagen recíproca o imagen
inversa) de B , notada f −1 (B), como
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊂ X ,
esto es, el conjunto de elementos del conjunto original cuya imagen está en B .
Nota 4.3.3. En general, si f : X → Y es una aplicación, f (X ) 6= Y . Basta tomar la última
aplicación del ejemplo anterior. Sí se verifica siempre que f −1 (Y ) = X .
Ejemplo 4.3.4. 1) Consideremos la aplicación
f :Z→Z
definida por
f (n) = 2n,
y A = {−1, 0, 4, 5}. Entonces f (A) = {−2, 0, 8, 10}, y la imagen de f es im( f ) = {enteros pares}.
Sean B 1 = {2, 3, 8, −4, −1}, B 2 = {1, 3}. Se tiene que
f −1 (B 1 ) = {1, 4, −2}, f −1 (B 2 ) = ;.
2) Sea la aplicación
f (x) = x 2 ,
p
p
A = [0, 2]. Entonces f (A) = [0, 4], pues ∀x ∈ [0, 4], existe x ∈ [0, 2] tal que f ( x) = x. En
este caso, la imagen de f es im( f ) = [0, +∞), los números reales no negativos.
f :R→R
definida por
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Proposición 4.3.5. Sea f : X −→ Y una aplicación, A 1 , A 2 ⊂ X y B 1 , B 2 ⊂ Y . Se verifica:
(a) f (A 1 ∪ A 2 ) = f (A 1 ) ∪ f (A 2 ), f (A 1 ∩ A 2 ) ⊂ f (A 1 ) ∩ f (A 2 ).
(b) f −1 (B 1 ∪ B 2 ) = f −1 (B 1 ) ∪ f −1 (B 2 ), f −1 (B 1 ∩ B 2 ) = f −1 (B 1 ) ∩ f −1 (B 2 ).
(c) f ( f −1 (B 1 )) ⊂ B 1 , A 1 ⊂ f −1 ( f (A 1 )).
P RUEBA : Vamos a probar, por ejemplo, la segunda afirmación de (a) y la primera de
(b) y (c). Las demás son similares.
(a) Consideremos y ∈ f (A 1 ∩ A 2 ). Entonces existe x ∈ A 1 ∩ A 2 tal que y = f (x). Por
tanto, y ∈ f (A 1 ) e y ∈ f (A 2 ), por lo que se tiene el resultado.
Es importante entender que, para afirmar que la otra inclusión no es cierta, basta con
dar un contraejemplo; esto es, un caso particular donde no sea cierto el enunciado. Para
ello consideremos f : N −→ N definida por
f (x) =
½
x/2 + 1
x +2
si x es par
si x es impar
Tomamos A 1 = {1, 3, 5}, A 2 = {2, 4, 6}. Claramente f (A 1 ∩ A 2 ) = f (;) = ;, pero f (A 1 )∩
f (A 2 ) = {3}.
(b) Sea x un elemento de f −1 (B 1 ∪ B 2 ). Entonces
x ∈ f −1 (B 1 ∪ B 2 ) ⇔ f (x) ∈ B 1 ∪ B 2 ⇔ f (x) ∈ B 1 ó f (x) ∈ B 2 ⇔
⇔ x ∈ f −1 (B 1 ) ó x ∈ f −1 (B 2 ) ⇔ x ∈ f −1 (B 1 ) ∪ f −1 (B 2 ).
(c) Probemos ahora que f ( f −1 (B 1 )) ⊂ B 1 . Si y ∈ f ( f −1 (B 1 )), es porque existe x ∈
(B 1 ) tal que y = f (x). Pero, al ser x ∈ f −1 (B 1 ), por definición tenemos que y = f (x) ∈
−1
f
B1.
Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general podemos tomar la
misma aplicación que en el caso anterior y considerar B 1 = {1, 3, 5} nuevamente. Entonces
f −1 (B 1 ) = {1, 3, 4, 8} (por convenio, no incluimos el 0 en N). Pero f ( f −1 (B 1 )) = {3, 5}, por
lo que hemos acabado.
Veamos que A 1 ⊂ f −1 ( f (A 1 )). Pongamos C = f (A 1 ). Sea x ∈ A 1 , luego f (x) ∈ C . Esto
quiere decir, por la definición de contraimagen, que x ∈ f −1 (C ) = f −1 ( f (A 1 )).
Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general consideramos la
aplicación constante f : X → Y dada por f (x) = y 0 , para un elemento y 0 ∈ Y fijado. Sea A
cualquier subconjunto propio de X . Entonces
f −1 ( f (A)) = f −1 ({y 0 }) = X 6⊂ A.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Sea una aplicación f : X −→ Y .
(a) f se dice inyectiva si dos elementos distintos de X siempre tienen
imágenes distintas. Dicho de otro modo, f es inyectiva si, de
f (x) = f (x ′ ), para x, x ′ ∈ X , se deduce que x = x ′ .
(b) f se dice sobreyectiva (o sobre) si todo elemento de Y es imagen
de algún elemento de X . O sea, f es sobre si f (X ) = im( f ) = Y .
(c) f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 4.3.6. 1) Sea f : R → R la aplicación definida por f (x) = x 2 . Esta aplicación no
es inyectiva, pues f (x) = f (−x). Tampoco es sobreyectiva, pues im( f ) = [0, +∞) 6= R.
2) Sea f : Z → Z la aplicación definida por f (n) = 2n. Esta aplicación es inyectiva ya que,
si f (n) = f (m), entonces 2n = 2m, y de aquí se tiene que n = m. La aplicación no es
sobreyectiva pues im( f ) = {números pares} 6= Z.
3) Sea A 6= ; un conjunto fijo. Sea f : P (U ) → P (A) la aplicación definida por f (B) =
A ∩ B. Esta aplicación no es inyectiva, pues si f (B) = f (C ), tenemos que A ∩ B = A ∩C , y
de aquí no se deduce que B = C . Basta tomar dos conjuntos distintos B,C ⊂ A. Entonces
se verifica que A ∩ B = ; = A ∩C y B 6= C .
Veamos que esta aplicación es sobreyectiva. Sea D ∈ P (A) y pongamos B = A ∪ D.
Entonces
f (B) = A ∩ B = A ∩ (A ∪ D) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ D) = ; ∪ D = D.
4) La aplicación identidad es biyectiva.
5) Sea f : Z → Z la aplicación definida por f (n) = n + 3. Veamos que esta aplicación es
biyectiva.
Inyectiva: si f (n) = f (m) ⇒ n + 3 = m + 3 ⇒ n = m.
Sobreyectiva: si m ∈ Z, tomando n = m − 3 se tiene que f (n) = m.
Nota 4.3.7. Así, podemos decir que:
(a) f es inyectiva si y sólo si para todo y ∈ Y f −1 ({y}) consta, a lo más, de un elemento.
(b) f es sobre si y sólo si para todo y ∈ Y f −1 ({y}) consta, a lo menos, de un elemento.
(c) f es biyectiva si y sólo si para todo y ∈ Y f −1 ({y}) consta, exactamente, de un
elemento.
Aplicación inversa
Sea f : X −→ Y una aplicación biyectiva. La aplicación inversa de f ,
notada f −1 : Y −→ X , está definida por f −1 (y) = x siendo x el único
elemento de X que verifica f (x) = y .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Ejemplo 4.3.8. 1) La aplicación inversa de la identidad es la identidad.
2) Sea la aplicación
f : Z → Z definida por f (n) = n + 3.
Su inversa es la aplicación
f −1 : Z → Z
definida por
f −1 (m) = m − 3.
3) Si la aplicación no es biyectiva no se puede definir la inversa. Consideremos
f :N→Z
dada por
f (n) = 2 − n.
Si existiese la inversa f −1 : Z → N, se tendría que, por ejemplo, f −1 (5) ∈ N. Pero decir que
f −1 (5) = n ∈ N es decir que f (n) = 2 − n = 5, luego n = −3 ∈ N.
Composición de aplicaciones
Dadas dos aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z se define la composición de f y g , notada g ◦ f , de X en Z como
(g ◦ f )(x) = g ( f (x)), para todo x ∈ X .
Obviamente g ◦ f es una aplicación.
Ejemplo 4.3.9. 1) Sean las aplicaciones f : Z → Q, g : Q → R definidas por
f (n) =
La composición de f y g es
g ◦ f :Z→R
pues
p
n
, g (x) = x 2 + 3.
2
dada por
r³ ´
n 2
(g ◦ f )(n) =
+ 3,
2
r³ ´
n 2
(g ◦ f )(n) = g ( f (n)) = g
+ 3.
=
2
2
³n ´
2) Sea A un conjunto fijo y consideremos las aplicaciones
f , g : P (U ) → P (U )
definidas por
f (B) = A ∩ B, g (B) = A ∪ B.
En este caso podemos calcular la composición de f y g y la composición de g y f .
Calculamos g ◦ f :
(g ◦ f )(B) = g ( f (B)) = g (A ∩ B) = A ∪ (A ∩ B) = (A ∪ A) ∩ (A ∪ B) = U ∩ (A ∪ B) = A ∪ B,
luego la composición de f y g es la aplicación
g ◦ f : P (U ) → P (U ),
(g ◦ f )(B) = A ∪ B, ∀B ∈ P (U ).
Por otro lado, f ◦ g :
( f ◦ g )(B) = f (g (B)) = f (A ∪ B) = A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) = ; ∪ (A ∩ B) = A ∩ B,
luego la composición de g y f es
f ◦ g : P (U ) → P (U ),
Nótese que f ◦ g 6= g ◦ f .
( f ◦ g )(B) = A ∩ B, ∀B ∈ P (U ).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Nota 4.3.10. Dadas aplicaciones entre conjuntos
f
g
h
X 1 −→ X 2 −→ X 3 −→ X 4 ,
es elemental comprobar que (h ◦ g ) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) (asociatividad de la composición de
aplicaciones).
Proposición 4.3.11. Sea f : X → Y una aplicación. Se verifica que f es biyectiva si y sólo
si existe una aplicación g : Y → X verificando
g ◦ f = 1X
y
f ◦ g = 1Y .
En este caso se tiene que f −1 = g .
P RUEBA : Si f es biyectiva basta tomar g = f −1 .
Recíprocamente, supongamos la existencia de g . Veamos que f es biyectiva:
Inyectiva: si f (a) = f (b), aplicando g tenemos g ( f (a)) = g ( f (b)), luego a = b por ser
g ◦ f = 1X .
Sobreyectiva: sea y ∈ Y y consideremos x = g (y) ∈ X . Aplicando f tenemos que
f (x) = f (g (y)) = 1Y (y) = y, luego f es sobreyectiva.
Restricción de una aplicación
Dada una aplicación f : X −→ Y y un subconjunto A ⊂ X , se define la
restricción de f a A como la aplicación
f |A : A −→ Y
x 7−→
f |A (x) = f (x)
Esto es, f |A actúa exactamente como f , pero sólo sobre los elementos de A . Esto
pone de manifiesto (o debería) lo importante que es, a la hora de definir una aplicación,
determinar los conjuntos de original e imagen y no sólo cómo se calcula la imagen de un
elemento.
Ejemplo 4.3.12. Sea A un conjunto fijo y consideremos la aplicación f : P (U ) → P (U )
definidas por f (B) = A ∩ B. La restricción de f a P (A), f : P (A) → P (U ) es
f |P (A) (B) = f (B) = A ∩ B = B,
ya que
B ⊂ A.
Ejemplo 4.3.13. Terminamos el capítulo viendo un ejemplo que pone de manifiesto la importancia de, a la hora de definir una función, definir correctamente los conjuntos original
e imagen de la aplicación. Consideremos f : A → B dada por f (x) = x 2 . Entonces:
Si A = B = R, la función anterior no es ni inyectiva ni sobreyectiva.
Si A = R y B = R+ , f es sobreyectiva y no inyectiva.
Si A = [0, 1] y B = R, f es inyectiva y no sobreyectiva.
Si A = B = [0, 1], f es biyectiva.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Capítulo 5
Grupos
5.1. Grupos: Definiciones y ejemplos.
Operación interna y binaria
Una operación interna y binaria en un conjunto A es una aplicación
α : A × A → A.
Nota 5.1.1. En un lenguaje más coloquial, una operación interna y binaria en A es una
regla que asocia a cada par ordenado (a, b) de elementos de A otro elemento de A , α(a, b).
Normalmente, si α : A × A → A es una operación interna y binaria en A , es costumbre
elegir algún símbolo (por ejemplo ⋆) para notar
a ⋆ b := α(a, b).
Nota 5.1.2. Para estudiar un conjunto A con “pocos” elementos dotado de una operación interna y binaria ⋆, podemos trabajar con la tabla de la operación. Esta tabla es un
cuadro de doble entrada en el que se colocan los elementos de A en la línea horizontal
de arriba y vertical de la izquierda. En cada casilla libre correspondiente al par ordenado
(a, b) ∈ A × A se coloca el elemento a ⋆ b . Por ejemplo, si A = {a, b} y la operación viene
determinada por a ⋆ a = a , a ⋆ b = b , b ⋆ a = b y b ⋆ b = a , la tabla será:
⋆
a
b
a
b
a
b
b
a
Ejemplo 5.1.3. Algunas operaciones binarias internas bien conocidas.
1. Si a0 es un elemento fijo de un conjunto A , la aplicación (a, b) ∈ A × A 7→ a0 es una
operación interna y binaria constante.
2. La suma y el producto usuales son operaciones internas y binarias en los conjuntos
de números N, Z, Q, R, C y Z/Zn , así como en los polinomios con coeficientes en
estos conjuntos.
3. La suma es una operación interna y binaria en el conjunto de los vectores Rn o de
las matrices m × n de números.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
4. Cualquier función de dos variables reales f : R×R → R define una operación interna
y binaria en R.
5. Dado un número natural n ≥ 1, consideremos el conjunto Z n = {0, 1, . . . , n − 1} y en
él la operación interna y binaria cuya tabla es:
⋆
0
1
2
0
1
2
0
1
2
1
2
3
2
3
4
..
.
..
.
..
.
..
.
n −2
n −1
n −2
n −1
n −1
0
0
1
···
n −2
n −1
..
..
.
..
.
n −4
n −3
n −3
n −2
···
···
···
.
···
···
n −2
n −1
0
n −1
0
1
6. Dado un conjunto X , consideremos el conjunto A X de las aplicaciones de X en sí
mismo. La composición de aplicaciones es una operación interna y binaria en A X .
7. Dado un conjunto X , la unión y la intersección con operaciones internas y binarias
en P (X ).
Nota 5.1.4. En lo que sigue, “operación en A "significa “operación interna y binaria en
A."
Definición 5.1.5. Dada una operación ⋆ sobre un conjunto A , diremos que:
1. Es conmutativa si a ⋆ b = b ⋆ a para todo a, b ∈ A .
2. Es asociativa si a ⋆ (b ⋆ c) = (a ⋆ b) ⋆ c para todo a, b, c ∈ A .
Elemento neutro
Dada una operación ⋆ sobre un conjunto A , diremos que un elemento
e ∈ A es elemento neutro si e ⋆ a = a ⋆ e = a para todo a ∈ A .
Proposición 5.1.6. Si una operación en A tiene elemento neutro, éste es único.
P RUEBA : Sea un conjunto A con una operación binaria ⋆. Sean e ∈ A un elemento
neutro a la izquierda y e ′ ∈ A un elemento neutro a la derecha. Por ser e elemento neutro
a la izquierda se tiene
e ⋆ e ′ = e ′,
por ser e ′ elemento neutro a la derecha se tiene
e ⋆ e ′ = e.
De donde e = e ′.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Elemento simétrico
Dado un conjunto A dotado de una operación ⋆ con un elemento neutro
e , y dado un elemento x ∈ A , diremos que x ′ es simétrico de x si x ′ ⋆x =
x ⋆ x′ = e .
Proposición 5.1.7. En las condiciones de la definición anterior, se tiene lo siguiente:
1. Si la operación ⋆ es asociativa, x ′ es simétrico de x e y ′ es simétrico de y , entonces
y ′ ⋆ x ′ es simétrico de x ⋆ y .
2. Si la operación ⋆ es asociativa, entonces el simétrico de un elemento, si existe, es
único.
P RUEBA : Para probar 2, supongamos que x ′ y x ′′ son simétricos de x , entonces,
usando la asociatividad,
x ′′ = (x ′ ⋆ x) ⋆ x ′′ = x ′ ⋆ (x ⋆ x ′′ ) = x ′ .
Grupo
Un grupo es un par (G, ⋆), donde G es un conjunto y ⋆ es una operación
interna y binaria sobre G verificando las siguentes propiedades:
1. La operación es asociativa.
2. La operación tiene elemento neutro.
3. Cada elemento de G posee un simétrico.
Si además la operación es conmutativa entonces se dice que el grupo es
abeliano o conmutativo.
Ejemplo 5.1.8. Algunos grupos bien conocidos
1. Z, Q, R, C y Z/Zn son grupos abelianos con la adición.
2. Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos abelianos con la multiplicación.
3. Si p es primo (Z/Zp)∗ es grupo abeliano con la multiplicación.
4. El conjunto S A de las biyecciones de A en A es un grupo con la composición. Si
A tiene más de 2 elementos, S A no es abeliano. Si A = {1, . . . , n}, se nota indistintamente S n o S A .
5. El conjunto de las funciones (continuas, diferenciables,...) definidas en un abierto
de R con valores reales, con la suma “punto a punto”, es un grupo abeliano.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
6. El conjunto de las matrices n × n , con elementos en un cuerpo k y determinante no
nulo, GL(n, k), es un grupo (no abeliano si n ≥ 2) con la multiplicación de matrices.
Nota 5.1.9. Cuando usemos la notación aditiva o la multiplicativa, el elemento neutro y
el simétrico de x serán notados de la siguiente forma:
+
·
elemento neutro elemento simétrico de x
0
−x (opuesto de x )
1
x −1 (inverso de x )
Orden de un grupo
Sea (G, ⋆) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G|, como
el cardinal del conjunto G.
5.2. Subgrupos
Subgrupo
Sea (G, ⋆) un grupo. Un subconjunto no vacío H de G se dice que es un
subgrupo de (G, ⋆) si (H, ⋆) es un grupo. Es decir, que efectivamente un
subgrupo es un grupo dentro de otro grupo con la misma operación.
Proposición 5.2.1. Sean (G, ⋆) un grupo y H ⊂ G un subconjunto no vacío. Las condiciones siguientes son equivalentes:
1. H es un subgrupo de (G, ⋆).
2. ∀x, y ∈ H, x ⋆ y ′ ∈ H .
P RUEBA : Veamos primero 1 ⇒ 2. Supongamos que H es un subgrupo y sean x, y ∈ H .
Como H es subgrupo contiene los simétricos de todos sus elementos, en particular y ′ ∈ H .
De nuevo como H es subgrupo, ⋆ es una operación interna, de donde x · y ′ ∈ H , como
queríamos.
Probemos ahora 2 ⇒ 1: Como H ⊂ G , los elementos de H verifican la propiedad asociativa. Como H es no vacío, sea x ∈ H . Aplicando 2) obtenemos
x ⋆ x ′ = e ∈ H.
Si x ∈ H , aplicando de nuevo 2) para e y x , tenemos
e ⋆ x ′ = x ′ ∈ H,
luego H contiene los simétricos de todos sus elementos. Sean x, y ∈ H , aplicando 2) esta
vez para x, y ′ se tiene
x ⋆ (y ′ )′ = x ⋆ y ∈ H.
(5.2.1)
Luego H es subgrupo de (G, ⋆).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Nota 5.2.2. De ahora en adelante si escribimos el “grupo G ” en lugar de el “grupo
(G, ⋆)”, sobreentendemos que la operación binaria la notamos con el símbolo ⋆.
Ejemplo 5.2.3.
1. Para todo grupo G , {e} y G son subgrupos de G y se denominan
subgrupos triviales de G .
2. Subgrupos de (Z, +): Dado n ∈ Z, n ≥ 0, sea Zn = {k · n | k ∈ Z}. Se tiene:
a) Zn es un subgrupo de Z.
b) Todo subgrupo de Z es de la forma Zn para algún n ≥ 0.
3. Raíces n –ésimas de la unidad dentro de C∗ .
4. Si C ⊂ A , el conjunto { f ∈ S A | f (a) = a, ∀a ∈ C } es un subgrupo de S A .
Proposición 5.2.4. Sean G un grupo, {Hi | i ∈ I } una familia de subgrupos de G . Entonces
∩i ∈I Hi es un subgrupo de G .
P RUEBA : La intersección de subgrupos es no vacía porque el elemento neutro está en
todos los subgrupos. Además,
x, y ∈
\
i ∈I
Hi ⇒ x, y ∈ Hi ∀i ∈ I ⇒ x ⋆ y ′ ∈ Hi ∀i ∈ I ⇒ x ⋆ y ′ ∈
\
Hi .
i ∈I
Subgrupo generado
Dado un subconjunto A de un grupo G , llamamos subgrupo generado
por A al subgrupo de G :
〈A〉 =
\
{H | H subgrupo de G y A ⊂ H}.
Proposición 5.2.5. Sean G un grupo y A ⊂ G un subconjunto, entonces 〈A〉 es el menor
subgrupo de G que contiene a A .
P RUEBA : Es inmediato de la definición de 〈A〉: Si H es un subgrupo que contiene a
A , es evidente que 〈A〉 ⊂ H .
Definición 5.2.6. Se dice que A ⊂ G es un sistema de generadores de un grupo G si
G = 〈A〉.
Un caso particular, e importante, de sistema de generadores de un grupo es cuando
A = {a} posee un sólo elemento. Éstos se estudian en la siguiente sección.
Proposición 5.2.7. prop Sean G un grupo y A ⊂ G un subconjunto. Sea A ′ = {x ′ | x ∈ A}.
Entonces
〈A〉 = {x1 ⋆ x2 ⋆ · · · ⋆ xn | xi ∈ A ∪ A ′ , n ≥ 1}.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
P RUEBA : Es evidente que
〈A〉 ⊃ {x1 ⋆ x2 ⋆ · · · ⋆ xn | xi ∈ A ∪ A ′ , n ≥ 1}.
Para la otra inclusión usaremos que 〈A〉 es el menor subgrupo que contiene a A . Se
comprueba fácilmente que A ⊂ {x1 ⋆x2 ⋆· · ·⋆xn | xi ∈ A∪ A ′ , n ≥ 1} y que {x1 ⋆x2 ⋆· · ·⋆xn |
xi ∈ A ∪ A ′ , n ≥ 1} es un subgrupo. De donde
〈A〉 ⊂ {x1 ⋆ x2 ⋆ · · · ⋆ xn | xi ∈ A ∪ A ′ , n ≥ 1}.
5.3. Orden de un elemento de un grupo
Definición 5.3.1. Sea (G, ⋆) un grupo. Definimos
am =

















e
(m veces)
a ⋆··· ⋆ a
si m = 0
si m > 0
(m veces)
a ′ ⋆ · · · ⋆ a ′ si m < 0
Si G es un grupo cuya operación se nota multiplicativamente, entonces
am =

















1
(m veces)
a ···· · a
a
(m veces)
−1
−1
···· · a
si m = 0
si m > 0
si m < 0
Si la notación es aditiva, entonces
ma =









0
si m = 0
(m veces)
si m > 0






veces)

 (−a)(m
+ · · · + (−a) si m < 0
a +··· + a
Definición 5.3.2. Sean G un grupo y a ∈ G . Diremos que
1. a tiene orden infinito si todas las potencias de a son distintas entre sí.
2. a tiene orden finito si existen 0 ≤ m < n tales que a n = a m .
Ejemplo 5.3.3. Obviamente todo elemento de un grupo finito ha de tener orden finito. En
grupos infinitos podemos tener tanto órdenes finitos como infinitos.
1. Sea a ∈ Z, a 6= 0. Entonces a tiene orden infinito.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
2. El elemento
A=
µ
i 0
0 i
¶
∈ GL(2, C)
tiene orden finito. Notemos que el grupo es, en este caso, infinito.
Nota 5.3.4. Sea a ∈ G. El subgrupo generado por {a} es
〈a〉 = 〈{a}〉 = {a m | m ∈ Z }.
Proposición 5.3.5. Sean G un grupo y a ∈ G . Consideremos el subgrupo 〈a〉.
1. Si a es de orden infinito, entonces
a) a n = e ⇔ n = 0.
b) La aplicación ϕ : Z → 〈a〉 dada por ϕ(n) = a n es biyectiva.
c) 〈a〉 es un grupo infinito.
2. Si a es de orden finito, entones
a) Existe n > 0 tal que a n = e .
b) Sea m el menor entero estrictamente positivo tal que a m = 1. Entonces los a i ,
0 ≥ i ≥ m − 1 son distintos entre sí y
〈a〉 = {1, a, a 2 , . . . , a m−1 }.
P RUEBA : Casi todas las afirmaciones son directas.
1. Si a es de orden infinito, las propiedades a), b) y c) se prueban fácilmente.
2. Supongamos que a tiene orden finito.
a) Si a tiene orden finito existen dos enteros 0 ≤ k < l tales que a k = a l . Sea
n = l − k , entonces
a n = a l −k = a l ⋆ a −k = a l ⋆ a ′k
a l =a k
= a k ⋆ a ′k = e.
(5.3.1)
b) Sea m > 0 el menor tal que a m = 1. Sean 0 ≤ i ≤ j ≤ m − 1 dos enteros tales
que a i = a j , es decir, tales que a j −i = 1. Como j − i < m , debe ser j − i = 0,
es decir, i = j . Luego todos los a i , 0 ≤ i ≤ m − 1 son distintos.
Es evidente que 〈a〉 ⊃ {1, a, a 2 , . . . , a m−1 }. Sea a n un elemento cualquiera de
〈a〉, escribamos n = q ·m +r , 0 ≤ r ≤ m −1, la división euclídea de n entre m ,
entonces
a n = a q·m+r = a q·m ⋆ a r = (a m )q ⋆ a r = a r .
(5.3.2)
Luego 〈a〉 ⊂ {1, a, a 2 , . . . , a m−1 }.
Orden de un elemento
Sean G un grupo y a ∈ G de orden finito. El orden de a , notado por
o(a), es el menor entero estrictamente positivo, m , tal que a m = e .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Proposición 5.3.6. Sean G un grupo y a ∈ G . Se tienen las siguientes propiedades:
1. o(a) = 1 ⇐⇒ a = e .
2. Si a ∈ G tiene orden finito, entonces o(a) = o(a ′ ).
3. Si a ∈ G tiene orden infinito, a ′ tiene orden infinito.
4. Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.
5. Si o(a) = m y a n = e , entonces m | n .
P RUEBA : Los primeros cuatro apartados se obtienen inmediatamente de las definiciones. Para el apartado 5) basta realizar la división euclídea de n entre m , obteniendo
n = q · m + r , con 0 ≤ r ≤ m − 1, de donde
e = a n = a q·m+r = a q·m ⋆ a r = (a m )q ⋆ a r = a r .
Como m es el menor estrictamente positivo tal que a m = e , debe ser r = 0 y, por tanto,
m | n.
El siguiente resultado nos da el orden de todas las potencias de un elemento de orden
finito.
Proposición 5.3.7. Sea a ∈ G un elemento de orden finito n. Entonces, ∀m, 0 ≤ m < n , se
verifica que
o(a m ) =
n
.
mcd(n, m)
P RUEBA : Sea
d = mcd(m, n),
m = m ′d ,
′
n = n ′d .
′
′
En primer lugar tenemos que (a m )n = a mn = (a n )m = e. Supongamos que (a m )t =
a mt = e. Por definición de orden es n | mt , es decir mt = nk. Dividiendo por d ,
m ′ t = n ′ k =⇒ n ′ | m ′ t .
Como m ′ y n ′ son primos entre sí, es n ′ | t .
5.4. Grupos cíclicos
Grupo cíclico
Se dice que un grupo G es cíclico si existe a ∈ G tal que
G = 〈a〉 = 〈{a}〉 = {a m | m ∈ Z }.
La notación habitual para este tipo de grupos, cuando la operación es el producto, es
C n (cuando G tiene n elementos) o C ∞ (cuando tiene infinitos elementos).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Lema 5.4.1. Si G es un grupo cíclico entonces G es abeliano.
Proposición 5.4.2. Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
P RUEBA : Sea H ⊂ G = 〈a〉 un subgrupo. Sea s = min {k > 0 | a k ∈ H}. Veamos que
H = 〈a s 〉 por doble inclusión.
Como a s ∈ H , entonces 〈a s 〉 ⊂ H. En otro sentido, sea h ∈ H. Como h ∈ G , h = a m ,
para algún entero positivo m. (En caso contrario razonaríamos con h ′ .)
Por el algoritmo de la división tenemos m = q s + r , con 0 ≤ r < s. Entonces a m =
(a s )q ⋆ a r , de donde a r ∈ H. Como s es el menor entero no nulo con esa propiedad ha de
ser r = 0, y a m = (a s )q ∈ 〈a s 〉.
Observar que si H = 〈a s 〉 es un subgrupo de G , entonces s divide a m.
Gracias a este resultado podemos estudiar con detalle todos los subgrupos de un grupo
cíclico.
Proposición 5.4.3. Sea G = 〈a〉 un grupo cíclico finito de orden m . Para todo divisor n
de m existe un único subgrupo de G de orden n.
P RUEBA : Sea d = m/n y consideremos el subgrupo H = 〈a d 〉. Sabemos que
|H| = o(a d ) =
m
m
=
= d.
mcd(n, m) n
Sea K = 〈a r 〉 otro subgrupo de G de orden d . Se tiene que
d = o(a r ) =
m
m
= ,
mcd(r, m) r
luego d = r.
5.5. Teorema de Lagrange
Definición 5.5.1. Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos las relaciones
∼H y H ∼ de la manera siguiente: Dados x, y ∈ G ,
x ∼H y ⇔ x ′ ⋆ y ∈ H
x
H
∼ y ⇔ y ⋆ x ′ ∈ H.
Proposición 5.5.2. En las condiciones de la definición anterior, las relaciones ∼H y H ∼
son relaciones de equivalencia.
P RUEBA : Se comprueba que ambas relaciones verifican las propiedades:
1. Reflexiva: ∀x ∈ G, x ∼ x .
2. Simétrica: ∀x, y ∈ G, x ∼ y ⇒ y ∼ x .
3. Transitiva: ∀x, y, z ∈ G, x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Proposición 5.5.3. Sean G un grupo y a ∈ G . Consideremos los conjuntos
a ⋆ H = {a ⋆ h | h ∈ H},
H ⋆ a = {h ⋆ a | h ∈ H}.
Se tiene:
1. a ⋆ H es la clase de equivalencia de a para la relación ∼H .
2. H ⋆ a es la clase de equivalencia de a para la relación H ∼.
P RUEBA : Basta probar el primer apartado, pues el segundo es análogo. Sea a ∈ G y
llamemos ā a su clase de equivalencia por ∼H , es decir,
ā = {b ∈ G | a ∼H b} = {b ∈ G | a ′ ⋆ b ∈ H}.
Probaremos por doble inclusión que ā = a · H . Si b ∈ ā , entonces a ′ ⋆ b ∈ H , es decir,
existe h ∈ H tal que a ′ ⋆ b = h , de donde
b = a ⋆ h ∈ a ⋆ H.
Si b ∈ a ⋆ H , existe h ∈ H tal que b = a ⋆ h , de donde
a ′ ⋆ b = h ∈ H ⇒ a ∼H b.
Proposición 5.5.4. Si G es un grupo abeliano, entonces ∼H y H ∼ coinciden.
Sean G un grupo y H un subgrupo, notaremos
G: H =
G
,
∼H
H: G=
G
.
H∼
Nota 5.5.5. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia son una partición
del conjunto total, es decir, dadas dos clases de equivalencia, o son disjuntas, o coinciden.
En consecuencia, si tomamos x, y ∈ G , tenemos que, o bien x ⋆ H = y ⋆ H , o bien x ⋆
H ∩ y ⋆ H = ;. Análogamente se tiene que, dados x, y ∈ G , o bien H ⋆ x = H ⋆ y , o bien
H ⋆ x ∩ H ⋆ y = ;.
Ejemplo 5.5.6. Algunas relaciones de equivalencia de este tipo.
1. Sea n ∈ Z, n > 0. Se tiene
Z : Zn = Zn : Z = {0 + Zn, . . . , (n − 1) + Zn},
donde las clases anteriores son distintas entre sí.
2. Consideremos el subgrupo H ⊂GL(2, C) dado por
H=
½µ
λ 0
0 λ
¶
¾
: λ = 1, −1, i , −i .
Para todo A ∈GL(2, C), A · H = H · A . Por tanto ∼H =H∼, aún sin ser GL(2, C) un
grupo abeliano.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
3. Sea H ⊂GL(2, C) el subgrupo
H=
½µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
1 0
0 i
−1 0
0
,
,
,
0 1
i 0
0 −1
−i
Sea la matriz
A=
µ
3 2
5 4
¶
−i
0
¶¾
.
,
se tiene que:
A·H =
½µ
3 2
5 4
¶ µ
2i
,
4i
3i
5i
H·A=
½µ
3 2
5 4
¶ µ
5i
,
3i
4i
2i
¶ µ
¶ µ
−3 −2
−2i
,
,
−5 −4
−4i
¶ µ
¶ µ
−3 −2
−5i
,
,
−5 −4
−2i
−3i
−5i
−4i
−2i
¶¾
¶¾
.
Como A · H 6= H · A , es ∼H 6=H∼.
Teorema de Lagrange
Sea G un grupo finito, H ⊂ G un subgrupo. Entonces |H| divide a |G|.
P RUEBA : Consideremos la relación ∼H sobre G . Como G es finito, habrá sólo un
número finito de clases de equivalencia distintas. Sean éstas a1 ⋆ H, . . . , ar ⋆ H . Como G
es unión disjuntas de estas clases, será
|G| = #(a1 ⋆ H) + · · · + #(ar ⋆ H).
Sea H = {h 1 , . . . , h n }, entonces ai ⋆ H = {ai ⋆ h 1 , . . . , ai ⋆ h n }, 1 ≤ i ≤ r . Veamos que
#(ai ⋆ H) = |H|, 1 ≤ i ≤ r. En efecto, si ai ⋆ h j = ai ⋆ h l se deduce que, multiplicando
a izquierda por el simétrico de ai , h j = h l . Por tanto los elementos de la clase ai · H son
todos distintos. Luego |G| = r · |H|.
Corolario 5.5.7. Sean G un grupo de orden finito y H ⊂ G un subgrupo. El número de
clases de equivalencia para ∼H coincide con el número de clases de equivalencia para
H ∼ y es igual a |G|/|H|.
P RUEBA : La demostración del teorema de Lagrange podía haberse hecho con la
relación H ∼.
Definición 5.5.8. Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Se llama índice de H en G al
número de clases de equivalencia para la relación ∼H (o H ∼), es decir, al número
i (G : H) =
|G|
.
|H|
Corolario 5.5.9. Sean G un grupo finito y H, K ⊂ G subgrupos. Se tienen las siguientes
propiedades:
1. Para cada a ∈ G se tiene que o(a) divide a |G|.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
2. Si el orden de G es primo, entonces G es cíclico y no tiene más subgrupos que los
triviales.
3. Si |H| y |K | son primos entre sí, entonces H ∩ K = {e}.
P RUEBA : Todos son consecuencias casi inmediatas del Teorema de Lagrange.
1. Sea a ∈ G y consideremos el subgrupo 〈a〉 ⊂ G . Sabemos que o(a) = |〈a〉|. Por otro
lado, el teorema de Lagrange dice que |〈a〉| divide a |G|.
2. Sea a ∈ G , a 6= 1. El subgrupo 〈a〉 ⊂ G no es trivial y su orden divide al número
primo |G|, luego debe ser o(a) = |G|. De donde G = 〈a〉. Si no existe a ∈ G , a 6= 1,
entonces G = {1} es cíclico.
3. H ∩ K es un subgrupo de H y de K , luego |H ∩ K | debe dividir a |H| y a |K |, que
son primos entre sí. De donde |H ∩ K | = 1 y H ∩ K = {e}.
5.6. Subgrupos normales. Grupo cociente y grupo producto
Si G es un grupo y H es un subgrupo, hemos visto en el tema anterior que los conjuntos
cocientes G : H y H : G son generalmente distintos y no siempre heredan la estructura de
grupo de G . Nos interesa estudiar los subgrupos para los cuales esto no ocurre.
Comenzamos con un lema técnico que usaremos a lo largo de esta sección.
Lema 5.6.1. Sean H1 ⊆ H2 subconjuntos de un grupo G . Entonces ∀g , ge ∈ G , se verifica
que g ⋆ H1 ⋆ ge ⊆ g ⋆ H2 ⋆ ge.
Proposición 5.6.2. Sea H un subgrupo de un grupo G . Las condiciones siguientes son
equivalentes:
1. Las relaciones ∼H y H ∼ coinciden, es decir, x ⋆ H = H ⋆ x para todo x ∈ G .
2. Para todo x ∈ G , se tiene x ⋆ H ⋆ x ′ ⊂ H .
3. Para todo x ∈ G , se tiene x ⋆ H ⋆ x ′ = H .
P RUEBA : Seguiremos el esquema 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1.
1 ⇒ 2 Supongamos que x ⋆ H = H ⋆ x para todo x ∈ G. Sea x ⋆ h ⋆ x ′ ∈ x ⋆ H ⋆ x ′ . Como
e ∈ H tal que x ⋆h = h
e ⋆x. Entonces x ⋆h ⋆x ′ =
x ⋆h ∈ x ⋆H = H ⋆x , se tiene que ∃h
e ⋆ x ⋆ x′ = h
e ∈ H.
h
2 ⇒ 3 Supongamos que, para todo x ∈ G , x ⋆ H ⋆ x ′ ⊂ H . Por el lema tenemos que x ′ ⋆ x ⋆
H ⋆ x ′ ⋆ x ⊂ x ′ ⋆ H ⋆ x, ∀x ∈ G , y por tanto x ⋆ H ⋆ x ′ = H .
3 ⇒ 1 Supongamos por último que para todo x ∈ G se tiene x ⋆ H ⋆ x ′ = H . Por el lema
tenemos que x ⋆ H = x ⋆ H ⋆ x ′ ⋆ x = H ⋆ x.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Subgrupo normal
Un subgrupo H de G se dice normal en G si satisface alguna de las
condiciones anteriores, y lo notaremos H ⊳G .
Grupo cociente
Sea H es un subgrupo normal de G , el conjunto cociente G : H = H : G ,
que notaremos G/H , es un grupo con la operación inducida por la de G .
P RUEBA : El producto de clases se define de la siguiente manera:
(x ⋆ H) ⋆ (y ⋆ H) = (x ⋆ y) ⋆ H, ∀x, y ∈ G.
Veamos que esta operación está bien definida, es decir, no depende del representante
elegido. En efecto, sean x ⋆H = xe⋆H, y ⋆H = ye⋆H , tenemos que probar que (x ⋆y)⋆H =
(e
x ⋆ ye) ⋆ H , o, equivalentemente, que x ′ ⋆ y ′ ⋆ xe ⋆ ye ∈ H. Como y ′ ⋆ ye ∈ H , es
x ′ ⋆ y ′ ⋆ ye ∈ x ′ ⋆ H = xe′ ⋆ H = H ⋆ xe′ .
Luego, multiplicando por xe a la derecha se tiene que
x ′ ⋆ y ′ ⋆ xe ⋆ ye ∈ H.
El neutro es e ⋆ H = H , y el simétrico de x ⋆ H es x ′ ⋆ H. Además G/H será abeliano
si G lo es.
Ejemplo 5.6.3. Algunos grupos normales y no normales.
1. {1} ⊳G .
2. Todos los subgrupos de un grupo abeliano.
3. El conjunto de todas las matrices diagonales regulares es un subgrupo no normal
del grupo lineal GL(n, Q).
4. El conjunto de las matrices escalares λI , con λ ∈ Q, es un subgrupo normal del
grupo lineal GL(n, Q).
A diferencia de la operación cociente, la operación de producto de grupos es mucho
más natural y sencilla.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Producto de grupos
Sean (G 1 , ⋆1 ), . . . , (G n , ⋆n ) grupos. En el conjunto G 1 ×· · ·×G n definimos
la siguiente operación binaria:
(a1 , . . . , an ) ⋆ (b 1 , . . . , b n ) = (a1 ⋆1 b 1 , . . . , an ⋆n b n ).
(G 1 × · · · ×G n , ⋆) es un grupo.
P RUEBA : Se verifican las propiedades de manera casi directa:
1. La operación ⋆ es asociativa por serlo cada una de las operaciones ⋆i , i = 1, . . . , n .
2. Si e i es el elemento neutro del grupo (G i , ⋆i ), con i = 1, . . ., n , entonces (e 1 , . . . , e n )
es el elemento neutro de (G 1 × · · · ×G n , ⋆).
3. El simétrico de un elemento (a1 , . . . , an ) ∈ G 1 × · · · × G n es (a1′ , . . . , an′ ), donde cada
ai′ es el simétrico de ai en el grupo (G i , ⋆i ), con i = 1, . . . , n .
Proposición 5.6.4. En las condiciones anteriores, (G 1 × · · · × G n , ⋆) es abeliano si y sólo
si cada (G i , ⋆i ), con i = 1, . . . , n , lo es.
P RUEBA : Es inmediato.
Proposición 5.6.5. Dados dos grupos cíclicos C n y C m , se tiene que C n × C m es cíclico
si y sólo si mcd(n, m)=1
P RUEBA : Supongamos, en primer lugar, C n = 〈a〉 y C m = 〈b〉 siendo n y m primos entre sí y notaremos 1 el elemento neutro en ambos grupos. Consideramos entonces
(a, b) ∈ C n ×C m . Entonces tenemos que
(a, b)r = (1, 1) =⇒ a r = 1, b r = 1 =⇒ n|r, m|r
y, por ser entones mcd(n, m) = 1, ha de ser nm|r . Como (a, b)nm = 1 concluimos que
C n ×C m = 〈(a, b)〉.
En el otro sentido, supondremos que mcd(n, m) = d > 1. Entonces es sencillo comprobar que, para cualesquiera r, s ∈ N,
¡
ar , bs
¢nm/d
³
´
= a n(r m/d) , b m(sn/d = (1, 1),
luego ningún elemento tiene orden nm y el grupo producto no es cíclico.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
5.7. Homomorfismos de grupos
Cuando definimos aplicaciones entre grupos, nos interesan especialmente aquéllas que
conservan las operaciones. Éstas son los homomorfismos de grupos.
Sean (G, ⋆) y (S, •) dos grupos, de elementos neutros e G y e S , donde notaremos por g ′
el inverso de g si g ∈ G , y por se si s ∈ S .
Homomorfismo de grupos
Un homomorfismo de grupos de G en S es una aplicación f : G → S
tal que
f (x ⋆ y) = f (x) • f (y)
para cualesquiera x, y ∈ G .
Algunos tipos especiales de homomorfismos son:
1. Cuando G = S , f se dice un endomorfismo.
2. Llamamos monomorfismos a los homomorfismos inyectivos y epimorfismos a los
homomorfismos sobreyectivos de grupos.
3. Cuando f : G −→ S es biyectivo, se dice un isomorfismo.
4. Cuando f es un endomorfismo biyectivo de G , se dice un automorfismo de G .
Proposición 5.7.1. Si f : G −→ S es un homomorfismo, se tiene que f (e G ) = e S y que
f (x), ∀x ∈ G .
f (x ′ ) = ‚
P RUEBA : Para ver la primera propiedad, tomamos g ∈ G cualquiera. Entonces
f (g ) = f (e G ⋆ g ) = f (e G ) • f (g ) =⇒ f (e G ) = e S .
La otra propiedad se deduce inmediatamente de ésta.
Ejemplo 5.7.2. Algunos homomorfismo de grupos sencillos.
1. La aplicación constante f : G −→ S , f (x) = e S ∀x ∈ G , es un homomorfismo.
2. Sea G un grupo y x ∈ G . La aplicación i x : G → G , i x (y) = x ⋆ y ⋆ x ′ es un homomorfismo. Además i x es biyectiva y (i x )−1 = i x ′ .
3. Si H ⊂ G es un subgrupo, la inclusión de H en G es un homomorfismo inyectivo.
4. Si H ⊳G , la proyección canónica π : G → G/H , π(x) = x ⋆ H , es un homomorfismo
sobreyectivo de grupos.
El conjunto de los automorfismos de un grupo G , Aut(G), es un grupo con la composición de aplicaciones. La aplicación i : G 7−→ Aut(G) definida por i (x) = i x , para cada
x ∈ G , es también un homomorfismo de grupos.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Núcleo de un homomorfismo
Sea f : G −→ S un homomorfismo de grupos. Definimos el núcleo de
f , que notaremos por ker( f ), al subconjunto de G dado por
ker( f ) = {g ∈ G
|
f (g ) = e S }.
Proposición 5.7.3. Sea f : G −→ S un homomorfismo de grupos:
1. Si H ⊂ G es un subgrupo, f (H) es un subgrupo de S . En particular, la imagen
Im( f ) = { f (g ) | g ∈ G} es un subgrupo de S .
2. Si T ⊂ S es un subgrupo (normal), f −1 (T ) es un subgrupo (normal) de G . En particular, el núcleo de f ,
ker( f ) = f −1 ({e S }),
es un subgrupo normal de G .
3. f es un monomorfismo si y sólo si ker( f ) = {e G }.
P RUEBA : Fijamos f : G −→ S y las notaciones anteriores.
1. f (H) = {s ∈ S | ∃x ∈ G tal que f (x) = s}. Como e S = f (e G ) ∈ f (H), f (H) es no vacío.
Sean s, t ∈ f (H), sean x, y ∈ H tales que f (x) = s y f (y) = t . Entonces
s •e
t = f (x) • ‚
f (y) = f (x) • f (y ′ ) = f (x ⋆ y ′ ) ∈ f (H)
pues, por ser H subgrupo, x ⋆ y ′ ∈ H .
2. La prueba de que
f −1 (T ) = {x ∈ G | f (x) ∈ T }
es un subgrupo de G es análoga a la del apartado anterior. Veamos que si T ⊳ S
entonces f −1 (T ) ⊳G . Basta demostrar que
x ⋆ f −1 (T ) ⋆ x ′ ⊂ f −1 (T ) ∀x ∈ G.
Sea x ⋆ y ⋆ x ′ ∈ x ⋆ f −1 (T ) ⋆ x ′ , con f (y) ∈ T . Entonces
f (x) ∈ f (x) ⋆ T ⋆ ‚
f (x) ⊂ T
f (x ⋆ y ⋆ x ′ ) = f (x) • f (y) • ‚
por ser T ⊳ S . De donde x ⋆ y ⋆ x ′ ∈ f −1 (T ) y f −1 (T ) ⊳G .
3. Supongamos en primer lugar que f es inyectiva, es decir, si f (x) = f (y) entonces
x = y . Sea x ∈ ker( f ), entonces
f (x) = e S = f (e G ) ,
de donde x = e G y ker( f ) = {e G }.
Supongamos ahora que ker( f ) = {e G } y sean x, y ∈ G tales que f (x) = f (y), entonces:
f (x) = f (y) =⇒ e S = f (x) • ‚
f (y) = f (x ⋆ y ′ ) =⇒
=⇒ x ⋆ y ′ ∈ ker( f ) = {e G } =⇒ x ⋆ y ′ = e G =⇒ x = y.
Luego f es inyectiva.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
5.8. Teoremas de isomorfía
Nota 5.8.1. Por conveniencia, notaremos a partir de ahora la composición de homomorfismos por simple yuxtaposición. Es un ejercicio sencillo comprobar que, si
f
g
G −→ S −→ X
son homomorfismos de grupos, g f : G 7−→ X también lo es.
Lema 5.8.2. Sean f : G −→ S un homomorfismo de grupos y H ⊳ G tal que H ⊂ ker( f ).
Existe un único homomorfismo f ′ : G/H −→ G ′ tal que f = f ′ π, donde π es la proyección
canónica que lleva x en x ⋆ H .
P RUEBA : Sea la aplicación
f ′ : G/H
x⋆H
−→ S
7−→
f ′ (x ⋆ H) = f (x)
Veamos que está bien definida, es decir, si tomamos y ∈ G tal que y ⋆ H = x ⋆ H ,
entonces f ′ (y ⋆ H) = f ′ (x ⋆ H). Por definición, f ′ (y ⋆ H) = f (y) y f ′ (x ⋆ H) = f (x), luego
nos preguntamos si, en estas condiciones, f (y) = f (x). Sabemos, por ser H ⊳G , que
y ⋆ H = x ⋆ H ⇔ x ′ ⋆ y ∈ H ⊂ ker ( f ).
f (x) • f (y) y, por tanto, f (y) = f (x).
De donde e S = f (x ′ ⋆ y) = ‚
Comprobemos ahora que f ′ es homomorfismo:
f ′ ((x ⋆ H) ⋆ (y ⋆ H)) = f ′ ((x ⋆ y) ⋆ H) = f (x ⋆ y) = f (x) • f (y) = f ′ (x ⋆ H) • f ′ (y ⋆ H).
Falta ver que es único. Sea g : G/H 7−→ S tal que f = g π. Entonces, para todo x ∈ G ,
f ′ (x ⋆ H) = f (x) = g π(x) = g (π(x)) = g (x ⋆ H).
Luego f ′ = g .
Primer teorema de isomorfía
Sea f : G −→ S un homomorfismo de grupos. Se induce de modo natural
un isomorfismo
f : G/ker( f ) −→ Im( f )
que factoriza f = i f π, siendo π el epimorfismo de G sobre G/ker( f ) e
i la inclusión de Im( f ) en S .
P RUEBA : Basta definir f como se definió f ′ en el lema anterior.
f : G/ker( f ) −→ Im( f )
x ⋆ ker( f ) 7−→
f (x ⋆ ker( f )) = f (x)
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
De igual manera que en el lema anterior, se comprueba que f está bien definida y que
es un homomorfismo.
Sea x ∈ G tal que f (x ⋆ ker( f )) = e S , es decir, sea x ⋆ ker( f ) ∈ ker( f ). Entonces
e S = f (x ⋆ ker( f )) = f (x) =⇒ x ∈ ker( f ) =⇒ x ⋆ ker( f ) = e G ⋆ ker( f ).
Luego ker( f ) = e G ⋆ ker( f ) y f es inyectiva.
Por otro lado, si s ∈ Im( f ), existe x ∈ G tal que f (x) = s , luego f (x ⋆ ker( f )) = s y f es
sobreyectiva.
Segundo teorema de isomorfía
Sea f : G −→ S un homomorfismo sobreyectivo de grupos. Sea J ⊳ S y
pongamos H = f −1 (J ). Entonces f induce un isomorfismo de G/H en
S/J .
P RUEBA : Sea π la proyección de S en S/J , que es un homorfismo sobreyectivo. Luego
la composición π f es un homomorfismo sobreyectivo de G en S/J .
Sea x ∈ G tal que π f (x) = e S • J , es decir, x ∈ ker (π f ). Entonces
e S • J = π f (x) = π( f (x)) = f (x) • J ⇐⇒ f (x) ∈ J ⇐⇒ x ∈ H.
Luego ker(π f ) = H y, aplicando el primer teorema de isomorfía, se tiene un isomorfismo de G/H en S/J .
Corolario 5.8.3. Si H1 y H2 son subgrupos normales de G tales que H1 ⊂ H2 , se tiene:
1. H2 /H1 es un subgrupo normal de G/H1 .
2. (G/H1 )/(H2 /H1 ) es isomorfo a G/H2 .
P RUEBA : Veamos ambos enunciados por separado.
1. Primero hemos de ver que H1 ⊳ H2 . Sea x ∈ H2 ⊂ G , como H1 ⊳G , se tiene x ⋆ H1 =
H1 ⋆ x . de donde H1 ⊳ H2 .
Luego podemos considerar el cociente H2 /H1 , que es un subgrupo de G/H1 . Consideremos entonces
¡
¢ ¡
¢
¡
¢
(x ⋆ H1 ) ⋆ y ⋆ H1 ⋆ x ′ ⋆ H1 ∈ (x ⋆ H1 ) ⋆ (H2 /H1 ) ⋆ x ′ ⋆ H1 ,
con x ∈ G e y ∈ H2 arbitarios. Por ser H1 ⊳G , se tiene
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
(x ⋆ H1 ) ⋆ y ⋆ H1 ⋆ x ′ ⋆ H1 = x ⋆ y ⋆ x ′ ⋆ H1 .
Como H2 ⊳G , se tiene x ⋆ H2 ⋆ x ′ ⊂ H2 . Luego
de donde H2 /H1 ⊳G/H1 .
¡
¢
x ⋆ y ⋆ x ′ ⋆ H1 ∈ H2 /H1 ,
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
2. Basta considerar el epimorfismo proyección π : G −→ G/H1 para concluir que (G/H1 )/(H2 /H1 )
y G/H2 son isomorfos.
Tercer teorema de isomorfía
Sean G un grupo y N y H subgrupos de G . Supongamos que N ⊳ G .
Entonces:
1. (N ∩ H) ⊳ H y N ⊳ (N H).
2. La inclusión de H en N H induce un isomorfismo de H/(N ∩ H)
en (N H)/N .
P RUEBA : Se deja como ejercicio probar (N ∩ H) ⊳ H y N ⊳ (N H). La composición
de la inclusión de H en N H con la proyección de N H sobre (N H)/N es un epimorfismo
cuyo núcleo coincide con N ∩ H , de donde el resultado es una consecuencia directa del
primer teorema de isomorfía.
5.9. El grupo de las permutaciones
Permutaciones
Consideremos el conjunto A = {1, 2, ..., n} y sea
S n = { f : A −→ A | f biyectiva }.
El conjunto S n se denomina conjunto de permutaciones de n elementos.
Ejemplo 5.9.1. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. La aplicación f : A → A definida por
f (1) = 4, f (2) = 3, f (3) = 2, f (4) = 1, f (5) = 5
es una permutación de cinco elementos.
Proposición 5.9.2. S n tiene n! elementos.
P RUEBA : Vamos a contar el número de elementos de S n . El 1 puede transformarse
en cualquier elemento a1 de {1, . . . , n}. Esto nos da n elecciones para a1 . Una vez hecha
esta elección, para evitar duplicación, el transformado del 2, a2 , lo debemos elegir entre
los n − 1 números distintos de a1 . Esto nos da n − 1 elecciones para a2 . Una vez elegidos
los transformados del 1 y del 2, tenemos n − 2 elecciones para a3 , n − 3 elecciones para
a4 , . . . , 2 elecciones para an−1 y una para an . Así, |S n | = n!.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
f
A
A
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
Figura 5.1: Permutación
De la caracterización estudiada para las aplicaciones biyectivas se sigue que la composición de dos aplicaciones biyectivas es de nuevo biyectiva. Por tanto en S n podemos
definir una operación interna, que no es más que la composición de aplicaciones.
Proposición 5.9.3. (S n , ◦) es un grupo.
P RUEBA : Sabemos que la composición de aplicaciones es asociativa.
Elemento neutro: la aplicación
1 A : A −→ A
i
7−→ i
verifica que, para todo σ ∈ S n ,
σ ◦ 1 A = 1 A ◦ σ = σ.
Elemento simétrico: dada σ ∈ S n , se tiene que σ−1 ∈ S n también, y verifica
σ ◦ σ−1 = σ−1 ◦ σ = 1 A .
Nota 5.9.4. A partir de ahora a la permutación identidad 1 A la notaremos por 1.
De hecho, es un grupo no abeliano. Casi cualquier ejemplo no trivial de S 3 sirve para
ver que, en general, si σ, τ ∈ S n , se tiene que σ ◦ τ 6= τ ◦ σ.
Nota 5.9.5. Adoptaremos las siguientes notaciones indistintamente
σ ◦ τ = σ · τ = στ
σ ◦ ... ◦ σ (r veces) = σr
Es posible entender cada aplicación de S n como una reordenación del conjunto {1, ..., n}.
De aquí es usual denotar los elementos de S n como una tabla con dos filas: en la primera
aparecen los números del 1 al n (para saber cuál es el conjunto original) y en la segunda
aparece, bajo cada original, su imagen. Por ejemplo:
σ=
·
1 2 3 4 5
4 3 2 1 5
¸
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
es la aplicación de {1, 2, 3, 4, 5} en sí mismo que envía 1 en 4, 2 en 3, 3 en 2, 4 en 1 y 5 en
sí mismo.
En general, si σ ∈ S n donde σ(1) = a1 , . . . , σ(n) = an , se escribirá
σ=
·
¸
1 2 ... n −1 n
a1 a2 . . . an−1 an
entendiéndose que σ hace corresponder a cada uno de los números que están en la primera
fila el que está debajo.
Para la multiplicación de permutaciones se usará el mismo convenio (de derecha a
izquierda) que para la composición de aplicaciones. Por ejemplo, en S 3 si
σ=
entonces
τ◦σ =
·
·
1 2 3
2 1 3
1 2 3
2 3 1
¸
,
1 2 3
2 3 1
¸
,
¸ ·
¸ ·
¸
1 2 3
1 2 3
·
=
.
2 1 3
3 2 1
s
A
y τ=
·
t
A
A
1
1
1
2
2
2
3
3
3
t±s
Figura 5.2: Producto de permutaciones
Ejemplo 5.9.6. Los elementos de S 3 son los siguientes:
1=
·
σ4 =
·
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
¸
, σ2 =
¸
·
, σ5 =
·
1 2 3
1 3 2
1 2 3
3 1 2
¸
, σ3 =
¸
·
, σ6 =
1 2 3
2 1 3
·
1 2 3
3 2 1
¸
¸
y su tabla de multiplicar es:
·
1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
σ2
1
σ5
σ6
σ3
σ4
σ3
σ4
1
σ2
σ6
σ5
σ4
σ3
σ6
σ5
1
σ3
σ5
σ6
σ2
1
σ4
σ2
σ6
σ5
σ4
σ3
σ2
1
Vamos ahora a dar una cierta estructura al conjunto de las permutaciones. En primer
lugar nos fijaremos en un tipo muy concreto (e interesante).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Ciclo
Un ciclo de longitud r en S n es una permutación σ tal que existen
{a1 , ..., ar } ⊂ {1, ..., n}, todos ellos distintos, verificando:
σ(a j ) = a j +1 para j = 1, ..., r − 1, y σ(ar ) = a1 .
σ(i ) = i para todo i ∉ {a1 , ..., ar }.
Esto es, los r elementos no fijos de σ pueden recorrerse todos yendo de
original a imagen, empezando por uno cualquiera.
Los ciclos de longitud 2 se denominan trasposiciones.
Nota 5.9.7. Un ciclo como el anterior se denotará, abreviadamente
σ = (a1 ... ar ) ,
indicando con ello σ(a j ) = a j +1 para j = 1, ..., r − 1, y σ(ar ) = a1 .
Ejemplo 5.9.8. El ejemplo visto anteriormente
σ=
·
1 2 3 4 5
4 3 2 1 5
¸
no es un ciclo. Hay cuatro elementos no fijos en σ y no pueden recorrerse yendo de
original a imagen.
La permutación inversa de un ciclo es un ciclo de la misma longitud. De hecho
(a1 a2 ... ar )−1 = (ar ... a2 a1 ),
y, en particular, (i j )−1 = (i j ).
Nota 5.9.9. Dos ciclos σ = (a1 ... ar ) y τ = (b1 ... b s ) tales que
{a1 , ..., ar } ∩ {b 1 , ..., b s } = ;
verifican que σ ◦ τ = τ ◦ σ. Estos ciclos se dicen disjuntos.
Proposición 5.9.10. Toda permutación distinta de la identidad se puede descomponer en
producto de ciclos disjuntos, de manera única (salvo reordenación de los ciclos).
P RUEBA : Haremos la prueba por inducción en r , que será el número de elementos
no fijos de σ. Si r = 0 no hay nada que probar, y σ = 1. Claramente r no puede ser 1, por
la biyectividad de σ. Y, si r = 2, entonces llamamos {i , j } a los elementos no fijos de σ y
tenemos que tener, forzosamente
σ(i ) = j , σ( j ) = i =⇒ σ = (i j ).
Sea σ ∈ S n dada por
σ=
·
1 2 ... n
a1 a2 ... an
¸
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
y supongamos que tiene r elementos no fijos.
Comenzamos por el primer número i tal que ai 6= i y vamos creando la siguiente lista:
i 7−→ σ(i ) = ai 7−→ σ2 (i ) 7−→ σ3 (i ) 7−→ ...
Dado que σ ∈ S n , existirán s, t ∈ N (pongamos s < t ) tal que
σs (i ) = σt (i )
y, componiendo con (σ−1 )s obtenemos
i = σt−s (i ).
Sea r el menor entero positivo tal que i = σr (i ). Entonces el ciclo de longitud r
(i σ(i ) ... σr −1 (i ))
actúa, por construcción, de la misma forma que σ sobre el conjunto {i , σ(i ), ..., σr −1 (i )}.
Sólo resta aplicar el mismo razonamiento (hipótesis de inducción) a la permutación τ,
definida por
½
σ( j ) si j ∉ {i , σ(i ), ..., σr −1 (i )}
τ( j ) =
j
si j ∈ {i , σ(i ), ..., σr −1 (i )}
Ejemplo 5.9.11. En el ejemplo anterior
σ=
·
1 2 3 4 5
4 3 2 1 5
¸
= (1 4) (2 3).
Nota 5.9.12. Si admitimos ciclos de longitud 1 (con la definición obvia) podemos obtener
una descripción más precisa de la permutación. En efecto,
(1 4) (2 3)
puede ser la permutación del ejemplo anterior. Pero también puede ser
·
1 2 3 4 5 6
4 3 2 1 5 6
¸
∈ S6.
Si queremos evitar estas confusiones, escribiremos el ejemplo del principio como
(1 4) (2 3) (5).
Llamaremos orden de una permutación σ, notado o(σ), al menor entero r tal que
σr = 1, es decir, al orden como elemento del grupo S n .
Podemos hallar fácilmente el orden de una permutación a partir de su descomposición
en ciclos disjuntos.
Proposición 5.9.13. Un ciclo de longitud l en S n tiene orden l .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
P RUEBA : Si j es un elemento no fijo por C , es evidente por la definición de ciclo que
Cl(j) = j,
C s ( j ) 6= j para s < l .
Como los elementos fijos por C lo son también por C l , se tiene que C l = 1, y C s 6= 1
para cualquier s < l .
Proposición 5.9.14. Sea σ ∈ S n , con descomposición en ciclos disjuntos dada por
σ = C 1 ·C 2 · ... ·C r ,
donde la longitud de C i es, pongamos l i . Entonces
o(σ) = mcm(l 1 , ..., l r ).
P RUEBA : Dado que al componer ciclos disjuntos es irrelevante el orden tenemos que,
para todo s ∈ N
σs = C 1s ·C 2s · ... ·C rs .
Como los C i actúan de forma no trivial sobre elementos distintos de {1, ..., n}, para que
σ = 1 tiene que ser C is = 1 para i = 1, ..., s . Así pues el orden de σ será el menor múltiplo
común de los órdenes de los C i .
Podemos dar otro tipo de descomposición para las permutaciones de S n .
s
Proposición 5.9.15. Toda permutación se puede descomponer en producto de trasposiciones.
P RUEBA : Esta demostración es mucho más simple, dado que basta probarlo para un
ciclo, y esto es muy sencillo. Sólo hay que comprobar
(a1 a2 ... ar ) = (a1 ar ) ... (a1 a3 ) (a1 a2 ).
Nota 5.9.16. La descomposición anterior, sin embargo, no es única. Por ejemplo,
(1 2 3) = (1 3) (1 2) = (3 2) (1 3).
Sin embargo, no es casual el hecho de que ambas descomposiciones consten de dos
trasposiciones.
Proposición 5.9.17. Sea σ ∈ S n una permutación. Entonces todas las posibles descomposiciones de σ como producto de trasposiciones consta de, bien un número par, bien un
número impar de factores.
P RUEBA : La demostración es interesante porque sigue un camino indirecto: en lugar
de trabajar con las permutaciones como objetos en sí, usaremos cómo las permutaciones
actúan sobre otro objeto, en este caso un polinomio en n variables.
Consideremos el polinomio
F (x1 , ..., xn ) =
Y¡
i <j
¢
xi − x j = (x1 − x2 ) · ... · (x1 − xn ) · (x2 − x3 ) · ... · (xn−1 − xn ).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Entonces hacemos actuar σ sobre F de la siguiente manera
¡
¢
σ(F ) = F xσ(1) , ..., xσ(n) ,
es decir, renombramos las variables en F siguiendo a σ. Del mismo modo tenemos
σ(F ) =
Y¡
i <j
¢
xσ(i ) − xσ( j ) .
Ahora bien, notemos que una trasposición (r s) (pongamos con r < s ) verifica que
(r s)(F ) = −F.
Veamos esto en la descomposición de F en factores (xi − x j ):
Si {r, s} ∩ {i , j } = ;, entonces (xi − x j ) no se ve afectado por (r s).
Si i < r < s = j , entonces (xi −x j ) va en (xi −xr ) y (xi −xr ) va en (xi −x s ) = (xi −x j ).
Si r < i < s = j , entonces (xi −x j ) va en (xi −xr ) y (xr −xi ) va en (x s −xi ) = (x j −xi ),
con lo cual el producto de ambos factores permanece inalterado por la acción de
(r s).
Si r < s = i < j , entonces (x j −xi ) va en (xr −xi ) y (xr −xi ) va en (x s −xi ) = (x j −xi ).
Por último (r s)(xr − x s ) = −(xr − x s ).
Por tanto, cada trasposición cambia de signo F al actuar sobre él. Así σ, al ser producto
de trasposiciones, puede dejar F invariante o cambiarlo de signo, dependiendo de si σ se
escribe como producto de una cantidad par o impar de trasposiciones, respectivamente.
Pero la acción de σ sobre F es independiente de cómo se escriba σ como producto de
trasposiciones, luego la cantidad de factores ha de ser siempre par o siempre impar.
Nota 5.9.18. Una cierta forma de medir cuánto altera una permutación σ ∈ S n el orden natural en {1, 2, ..., n} es ver el número de inversiones que σ efectúa: para cada i ∈ {1, 2, ..., n}
se cuenta una inversión por cada j > i tal que σ(i ) > σ( j ). En nuestro ejemplo anterior
σ=
·
1 2 3 4 5
4 3 2 1 5
¸
= (1 4) (2 3).
tenemos que contar:
Tres inversiones porque σ(1) > σ(2), σ(3), σ(4).
Dos inversiones porque σ(2) > σ(3), σ(4).
Una inversión porque σ(3) > σ(4).
Luego el número de inversiones de σ es 6. Este concepto será útil para la definición
de determinante, pero además está íntimamente ligado a la descomposición en producto
de trasposiciones.
El número de inversiones también puede contarse al revés: esto es, contar una inversión por cada j > i tal que σ(i ) < σ( j ).
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Proposición 5.9.19. Sea σ ∈ S n una permutación con k inversiones. Entonces existe una
descomposición de σ en producto de k trasposiciones.
P RUEBA : Supongamos que tenemos
σ=
·
1 2 ... n
a1 a2 ... an
¸
,
y supongamos que a1 = r 6= 1. Esto quiere decir que 1 aporta r − 1 inversiones, dado que
los elementos 1, ..., r − 1, menores que r verificarán que sus anti–imágenes, pongamos
x1 < ... < xr −1 son mayores que la de r , que es 1.
Entonces podemos darnos cuenta de que
(r σ(xr −1 )) ... (r σ(x1 ))σ
es una permutación, cuya diferencia con r consiste en que hemos movido r hasta situarlo
como imagen de r , para lo cual hemos usado r −1 trasposiciones, exactamente el número
de inversiones que aporta 1 (o el que aporta r si las contamos al revés). Repitiendo el
proceso con la imagen de 2 (y sucesivamente) llegamos a una expresión de la forma
τ1 · ...τk · σ = 1,
donde recordemos que k es el número de inversiones de σ. De aquí se deduce fácilmente
que
σ = τ−1 · ... · τ−1
k = τ1 · ... · τk ,
como queríamos.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Capítulo 6
Anillos y cuerpos
6.1. Anillos (I): Unidades y divisores de cero
Anillo
Un anillo es una terna (A, +, ·) formada por un conjunto A y dos operaciones internas y binarias +, · verificando:
1. El par (A, +) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro llamaremos normalmente “cero (0)".
2. La operación binaria · es asociativa y tiene elemento neutro, que
llamaremos normalmente “uno (1)".
3. La operación · es distributiva a la derecha y a la izquierda respecto
de la operación +, i.e. para todos x, y, z ∈ A , se tiene (x + y) · z =
x · z + y · z , x · (y + z) = x · y + x · z .
Si además la operación · es conmutativa, diremos que el anillo es conmutativo.
Nota 6.1.1. Algunas notas a la definición.
1. En general se usará la expresión “sea A un anillo", sobreentendiendo las operaciones. La operación · se notará normalmente por simple yuxtaposición.
2. En un anillo A se tiene 0 · x = x · 0 = 0 para todo x ∈ A .
3. Si en un anillo A se tiene 1 = 0, entonces A = {0}.
4. Para todo x, y ∈ A , ese tiene x(−y) = (−x)y = −(x y).
5. Si A 1 , . . . , A n son anillos, el producto cartesiano A 1 × · · · × A n posee una estructura
natural de anillo, donde las operaciones están definidas componente a componente.
Ejemplo 6.1.2. Anillos bien conocidos.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
1. Z, Q, R, C son anillos conmutativos. La estructura de anillo de Z viene determinada
por la de grupo aditivo: el producto de dos enteros x y coincide con el múltiplo de
y con coeficiente x . Así pues, la estructura de anillo de Z no añade nada nuevo
a la de grupo. Esto es falso para Q, R y C en los que, obviamente, la estructura
multiplicativa no viene determinada por la aditiva.
2. Las congruencias módulo m , Z/Zm son un anillo conmutativo con la suma y el
producto que hemos definido en el tema 2.
3. El conjunto M (n) de las matrices n × n sobre Z, Z/Zp , Q, R o C es un anillo, con
respecto a la adición y la multiplicación ordinaria de matrices. No es conmutativo.
4. Si A es un anillo conmutativo, el conjunto A[x1 , . . . , xn ] de los polinomios en n
indeterminadas con coeficientes en A es también un anillo conmutativo.
Unidad
Sea A un anillo. Una unidad es un elemento que posee un simétrico
multiplicativo (a la izquierda y a la derecha), que llamaremos inverso.
El conjunto de las unidades de A es un grupo para el producto y se
notará A ∗ .
Cuerpo
Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto de
cero es una unidad, i.e. A ∗ = A − {0}.
Ejemplo 6.1.3. Algunos casos sencillos de unidades.
1. Las unidades de Z son 1, −1.
2. Las unidades de Z/Zn son los elementos a + Zn tales que mcd(a, n) = 1.
3. Los anillos Q, R, C son cuerpos. El anillo Z/Zn lo es si y sólo si n es primo.
4. El grupo de las unidades del anillo M (n, k) con k = Q, R ó C es GL(n, k).
Nota 6.1.4. A partir de ahora sólo trabajaremos con anillos conmutativos. Así pues, la
palabra ‘anillo’ significará siempre anillo conmutativo.
Dominio de integridad
Sea A un anillo. Un elemento x ∈ A se llamará un divisor de cero si y
sólo si es distinto de cero y existe y ∈ A , y 6= 0, tal que x y = 0. Un anillo
sin divisores de cero se llama un dominio de integridad.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Un elemento x ∈ A se llamará nilpotente si es distinto de cero y existe un entero n > 0
tal que x n = 0.
Nota 6.1.5. En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa por el producto
de elementos no nulos:
a 6= 0, ab = ac ⇒ b = c.
lo cual hace que estos anillos sean particularmente cómodos a la hora de hacer cálculos.
Ejemplo 6.1.6. Divisores de cero y elementos nilpotentes.
1. Las unidades no son divisores de cero, ya que si x es ambas cosas existirían y, z ∈ A ,
con z 6= 0 tales que y x = 1 y xz = 0, de donde
z = 1 · z = y xz = y · 0 = 0.
Así, todo cuerpo es un dominio de integridad.
2. Z es un dominio de integridad.
3. El anillo Z/Z4 no es un dominio de integridad. El elemento 2 es nilpotente en Z/Z4.
4. Todos los elementos no nulos de Z/Zn son unidades o divisores de cero, pero esto
no es cierto en todos los anillos (no lo es, por ejemplo, en Z o en k[x]).
6.2. Anillos (II): Ideales
El concepto equivalente a subgrupo para anillos no es, como podría esperarse, el de
subanillo. En efecto, si R ⊂ A son dos anillos (con las mismas operaciones) no se puede
definir, en general, una estructura coherente de anillo en el grupo cociente A/R .
A mediados del siglo XIX, Dedekind buscaba una generalización de la factorización
única en primos que se tiene en Z para unos anillos denominados anillos de enteros
algebraicos. Estos anillos, que contienen a Q y están contenidos en C, no verifican en
general que exista una factorización única en elementos irreducibles. Por ello, Dedekind
pensó sustituir la factorización tradicional, en producto de elementos del anillo, por un
concepto que denomin´elementos ideales. Conviene destacar que la idea original ya la
tuvo Kummer algunos años antes, buscando la demostración del Teorema de Fermat.
Sin embargo, para mantener las propiedades de la divisibilidad tradicional, Dedekind
pensó que sus elementos ideales debían verificar las propiedades análogas a la divisibilidad. Esto es:
1. Si a|b y a|c , entonces a|(b + c).
2. Si a|b , entonces a|bc , para todo c .
El resultado de esta magnífica idea fue el concepto que hoy denominamos ideal de un
anillo.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Ideal
Sea A un anillo. Un ideal de A es un subconjunto I de A que verifica:
1. I es un subgrupo del grupo aditivo de A .
2. Para todo a ∈ I , x ∈ A se tiene xa ∈ I .
En realidad no hace falta comprobar que I es un subgrupo aditivo. Para ver si I es
ideal es suficiente probar (comparar con las propiedades que buscaba Dedekind):
1. Si a, b ∈ I , entonces a + b ∈ I .
2. Si a ∈ I y c ∈ A , entonces ac ∈ I .
Nota 6.2.1. Sea I ⊂ A un ideal de A . Se tiene:
1. Si I contiene una unidad, entonces I = A .
2. A es un cuerpo si y sólo si sus únicos ideales son {0} y A .
3. Los ideales de Z y los subgrupos son la misma cosa, pues la estructura multiplicativa
viene determinada por la aditiva. El apartado anterior prueba entonces de nuevo que
Z/Zn es un anillo.
Asombrosamente, el concepto de Dedekind es precisamente el que permite dotar de
estructura de anillo a los cocientes.
Anillo cociente
El grupo cociente A/I admite una estructura canónica de anillo.
P RUEBA : En efecto, basta ver que la fórmula
(a + I )(b + I ) = ab + I
define una operación en A/I .
Si a + I = a ′ + I y b + I = b ′ + I es a − a ′ ∈ I , y b − b ′ ∈ I . Así
ab − a ′ b ′ = ab − ab ′ + ab ′ − a ′ b ′ = a(b − b ′ ) + (a − a ′ )b ′ ∈ I ,
lo que prueba nuestro aserto.
Homomorfismo de anillos
Sean A, B anillos, f : A → B una aplicación. Se dirá que f es un homomorfismo de anillos si verifica:
1. Para cualesquiera x, y ∈ A , es f (x + y) = f (x) + f (y).
2. Para cualesquiera x, y ∈ A , es f (x y) = f (x) f (y).
3. f (1) = 1.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Un homomorfismo biyectivo se llama un isomorfismo y los anillos entre los cuales se
puede establecer un isomorfismo se llaman anillos isomorfos.
Proposición 6.2.2. Sea f : A −→ B un homomorfismo de anillos. Se tienen las siguientes
propiedades:
1. El conjunto
ker( f ) = {a ∈ A | f (a) = 0}
es un ideal de A , y f es inyectivo si y sólo si ker( f ) = {0}.
2. Si u ∈ A es una unidad, entonces f (u) es una unidad en B . En particular cualquier
homomorfismo (de anillos) entre cuerpos es inyectivo.
3. El conjunto
im( f ) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, f (a) = b}
es un subanillo de B (esto es, un anillo dentro de B , con las mismas operaciones).
Primer teorema de isomorfía
Sea f : A −→ B un morfismo de anillos. Entonces A/ ker( f ) es isomorfo
a im( f ).
Segundo teorema de isomorfía
Sea A un anillo, I ⊂ A un ideal, y B ⊂ A un subanillo. Entonces B + I =
{b + a : b ∈ B, a ∈ I } es un subanillo de A , I es un ideal de B + I , B ∩ I es
un ideal de B , y existe un isomorfismo de anillos
(B + I )/I ∼
= B/(B ∩ I ).
Tercer teorema de isomorfía
Sea A un anillo y sean I , J ideales de A con I ⊂ J . Entonces J /I es un
ideal de A/I y A/J es isomorfo a (A/I )/(J /I ).
Las tres demostraciones son análogas a las hechas en el tema anterior para homomorfismos de grupos.
Hay que tener cuidado, porque no todas las propiedades de los homomorfismos de
grupos se amplían directamente a los homomorfismo de anillos.
Proposición 6.2.3. Sea f :−→ B un homomorfismo de anillos.
1. Si I ⊂ A es un ideal, f (I ) no es, en general, un ideal de B .
2. Si I ⊂ A es un ideal y f es sobreyectiva, f (I ) es un ideal de B .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
3. Si J ⊂ B es un ideal, f −1 (J ) es un ideal de A .
P RUEBA : Un contraejemplo sencillo para el primer apartado lo da la inclusión i :
Z −→ Q, dado que i (Z) no es un ideal en Q (al ser cuerpo, sólo {0} y Q lo son).
En cuando al caso en que f sea sobreyectiva, tomemos b1 , b2 ∈ f (I ). Entonces tenemos
a1 , a2 ∈ I tales que f (ai ) = b i para i = 1, 2 y, en ese caso
b 1 + b 2 = f (a1 ) + f (a2 ) = f (a1 + a2 ) ∈ f (I ).
Notemos que no hemos usado la sobreyectividad de f aún. Ahora, si tomamos un
y ∈ B cualquiera, tenemos que debe existir x ∈ A con f (x) = y y entonces
yb 1 = f (x) f (a1 ) = f (xa1 ) ∈ f (I ).
Para demostrar la tercera propiedad, tomemos a1 , a2 ∈ f −1 (I ). Entonces f (ai ) ∈ I , para
i = 1, 2, y
f (a1 + a2 ) = f (a1 ) + f (a2 ) ∈ I ,
luego a1 + a2 ∈ f −1 (I ). Por otra parte, si x ∈ A tenemos que
f (xa1 ) = f (x) f (a1 ) ∈ I ,
de donde xa1 ∈ f −1 (I ) y hemos terminado.
6.3. Cuerpo de fracciones. Característica
Terminamos el desarrollo teórico con dos conceptos importantes: el cuerpo de fracciones, que permite construir un cuerpo a partir de un dominio de integridad, y la característica, que es un elemento crucial a la hora de clasificar cuerpos.
Sea A un dominio de integridad y llamemos A ∗ = A \ {0}. Consideremos la relación
binaria ∼ definida en A × A ∗ por
(a, b) ∼ (a ′ , b ′ ) ⇔ ab ′ = a ′ b.
Es fácil verificar que ∼ es una relación de equivalencia. Llamamos Q(A) al conjunto
cociente (A × A ′ )/ ∼, y los elementos de Q(A) los notaremos como ab , representando así la
clase de equivalencia de (a, b).
Se tienen las siguientes operaciones definidas en Q(A):
Suma:
a c ad + bc
+ =
.
b d
bd
Producto:
a c
ac
· =
.
b d bd
Proposición 6.3.1. Las operaciones están bien definidas, esto es, si ab ′ = a ′ b y cd ′ = c ′ d ,
entonces
ad + bc a ′ d ′ + b ′ c ′
=
,
bd
b′d ′
ac
a′c ′
= ′ ′.
bd b d
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Proposición 6.3.2. Q(A) es un cuerpo, denominado cuerpo de cocientes o fracciones de
A.
Proposición 6.3.3. prop Sea A un dominio de integridad y Q(A) su cuerpo de fracciones.
Se verifica:
1. La aplicación ϕ : A → Q(A) definida por ϕ(a) =
de anillos.
a
1
es un homomorfismo inyectivo
2. (Propiedad universal de Q(A)) Si K es un cuerpo cualquiera, todo homomorfismo
inyectivo de anillos ψ : A → K factoriza por ϕ, es decir, existe un único homomorfismo de anillos Φ : Q(A) → K que hace conmutativo el siguiente diagrama:
ψ
A
- K
ϕ
Φ
?
Q(A)
3. Si L es un cuerpo que verifica la propiedad anterior de Q(A), entonces L es isomorfo
a Q(A).
Se tiene, por tanto, que Q(A) es el menor cuerpo que contiene a un dominio de integridad isomorfo a A , salvo isomorfismo. Dicho de otro modo, todo cuerpo que contiene a
un dominio isomorfo a A , contiene también a un cuerpo isomorfo a Q(A).
P RUEBA : El primer apartado es trivial. Para el segundo, definimos Φ mediante la
expresión
³a´
−1
Φ
b
= ψ(a)ψ(b)
.
Hay que verificar que Φ está bien definida:
a a′
= ′ =⇒ ab ′ = a ′ b =⇒ ψ(a)ψ(b ′ ) = ψ(a ′ )ψ(b) =⇒ ψ(a)ψ(b)−1 = ψ(a ′ )ψ(b ′ )−1
b b
lo cual prueba que lo está. También tenemos que ver que es un homomorfismo de anillos:
µ
¶
µ ′
¶
a a′
ab + a ′ b
Φ
+ ′ =Φ
= ψ(ab ′ + a ′ b)ψ(bb ′ )−1 =
′
b b
bb
−1
= ψ(a)ψ(b)
′
′ −1
+ ψ(a )ψ(b )
¶
a′
=Φ
+Φ ′ ,
b
b
³a´
µ
y análogamente conserva el producto y el elemento unidad. Se comprueba fácilmente que
Φ hace conmutativo el diagrama, y de hecho es la única definición posible para que esto
se cumpla, puesto que:
¶
³a ´ µ1¶
a 1
Φ
=Φ
·
=Φ
·Φ
= Φϕ(a)Φϕ(b)−1 = ψ(a)ψ(b)−1 .
b
1 b
1
b
³a´
µ
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Veamos por último la unicidad del cuerpo de fracciones. Sea L un cuerpo verificando
la propiedad universal, con ϕ′ : A → L . Tomando K = Q(A), existe φ′ : L → Q(A) tal que
ϕ = φ ′ ϕ′ .
Aplicando 2) a K = L y ϕ′ , se tiene que ϕ′ = Φϕ. De ambas, se tiene ϕ = Φ′ Φϕ.
Pero aplicando 2) a K = Q(A) y ϕ, se tiene que Φ′ Φ y la identidad hacen conmutativo el
correspondiente diagrama; por la unicidad se tiene que
Φ′ Φ = id .
Análogamente se tiene que ΦΦ′ = id, luego Φ es el isomorfismo buscado.
Nota 6.3.4. Sea K un cuerpo. Todo homomorfismo de anillos ϕ de Z en K , lleva el elemento unidad de Z en el elemento unidad de K . Esto define unívocamente a ϕ. Por tanto
existe un único homomorfismo de anillos ϕ de Z en K .
Si el homomorfismo ϕ de Z en K es inyectivo, se tiene que K contiene a su cuerpo de
fracciones Q. En ese caso diremos que K es un cuerpo de característica cero.
Los cuerpos Q, R y C son de característica cero, puesto que contienen a Z. Además
todo subcuerpo K de C es de característica cero. En otro caso el homomorfismo ϕ : Z → K
no inyectivo se extiende a C, contradicción. Por tanto, todo subcuerpo de C contiene a Q.
Si ϕ por el contrario no es inyectivo, ker(ϕ) es un ideal Zp , con p > 0. Por el primer
teorema de isomorfía Z/Zp es isomorfo a un subanillo de K , luego no tiene divisores de
cero. Así Z/Zp es un dominio de integridad, o equivalentemente un cuerpo, y además, p
es un número primo. Diremos entonces que K es un cuerpo de característica p . En ese
caso se verifica que px = 0, para cada x ∈ K .
El ejemplo más simple de cuerpo de característica p es, obviamente, el propio Z/Zp .
De hecho, dar otro ejemplo no trivial es complejo y corresponde a los objetivos de la
asignatura Estructuras Algebraicas.
6.4. Epílogo: El problema de la factorización
Finalizamos el contenido teórico de este curso presentando un problema ya mencionado, que esperamos que sirva como motivación para el alumno, al que le presentaremos un
problema completamente natural pero que necesitará de más desarrollo teórico para abordar. Es el problema de la factorización en elementos irreducibles.
Definición 6.4.1. Sea A un anillo. Diremos que x ∈ A es un elemento irreducible cuando no es una unidad y, si x = ab , se tiene forzosamente que a o b son necesariamente
unidades.
Los elementos irreducibles en Z son, obviamente, los números primos, mientras que
los elementos irreducibles de k[x] son, precisamente, los polinomios irreducibles (de ahí
su nombre).
Ejemplo 6.4.2. Consideremos el elemento
ayuda, concretamente
p
−5 ∈ C. Vamos a formar un anillo con su
n
o
p
p
R = Z[ −5] = a + b −5 | a, b ∈ Z .
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Es muy sencillo comprobar que, con la suma y el producto naturales (heredados de C,
por ejemplo), R es un anillo. Así mismo, podemos quedarnos con el concepto de norma,
proveniente del módulo de un número complejo:
p
p
p
N (a + b −5) = (a + b −5)(a − b −5) = a 2 + 5b 2 .
o, escrito en notación compleja, N (x) = x x .
No es complicado de ver que la norma verifica las siguientes propiedades:
1. N : R −→ N.
2. N es una aplicación multiplicativa, esto es N (x y) = N (x)N (y).
La norma puede ayudarnos a entender cómo son los elementos de un anillo de este
tipo.
Proposición 6.4.3. Se verifican las siguientes propiedades:
1. x ∈ R es una unidad si y sólo si N (X ) = ±1.
2. x e y son asociados si y sólo x|y y N (x) = N (y).
3. Si N (x) es primo, entonces.x es irreducible.
P RUEBA : Si x ∈ R es unidad, entonces existe y ∈ R tal que x y = 1, de donde
N (x y) = N (x)N (y) = N (1) = 1,
y por tanto,
p N (x) = ±1. Al revés, si N (x) = ±1 construimos explícitamente un inverso de
x = a + b −5,
x −1 =
x
∈ R.
N (x)
La segunda afirmación se sigue directamente de la primera (y de la definición de
elementos asociados).
Ahora, si N (x) es primo y x = ab , entonces N (x) = N (a)N (b), por lo que bien N (a),
bien N (b), por ser enteros, han de ser ±1 y por tanto, bien a , bien b son unidad.
Fijémonos entonces en cómo podríamos factorizar elementos en R . Obviamente, la
demostración de que existe una factorización en producto de irreducibles sigue siendo
válida. En efecto, partimos de x y, si es irreducible, hemos terminado y si no es producto
de dos elementos de norma estrictamente menor, lo que nos permite aplicar la inducción.
Sin embargo, lo que no está tan claro es que la factorización en irreducibles sea única.
Por ejemplo, podemos escribir
³
p ´ ³
p ´
6 = 2 · 3 = 1 + −5 · 1 − −5 .
Claramente no son la misma factorización porque
N (2) = 4,
N (3) = 9,
³
p ´
N 1 ± −5 = 6,
de forma que los factores que hemos encontrado no son asociados. Aún así, bien podría
haber alguna factorización más detallada, o sea, algún irreducible p que dividiese, por
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
p
ejemplo, a 2 y a 1+ −5. Pero p no puede ser entero, porque 2 es primo, y no puede tener
parte compleja, porque entonces N (p) ≥ 5 luego no puede dividir a 2.
p
Por tanto, independientemente de si 2, 3 y 1 ± −5 son o no irreducibles, las descomposiciones anteriores nos llevarán a dos factorizaciones distintas.
Dominio de factorización única
Un anillo A , sin divisores de cero, en el cual todo elemento se puede
descomponer de manera única (salvo unidadaes) como producto de irreducibles se denomina un dominio de factorización única (abreviadamente DFU).
En general el problema de determinar si un anillo posee o no factorización única no
es sencillo, aunque sabemos algunos ejemplos muy especiales.
Proposición 6.4.4. Sea A un anillo en el que todo ideal puede ser generado por un sólo
elemento (estos anillos se llaman dominios de ideales principales o DIP). Entonces A
es un DFU.
P RUEBA : La demostración no es complicada, pero sí un poco larga. Los pasos son
los siguientes:
1. Primero demostramos que, si A es un DIP, entonces toda cadena de ideales creciente
I 1 ⊂ I 2 ⊂ ... ⊂ I n ⊂ ...
es estacionaria, esto es, existe un r ∈ N tal que I r = I s para todo s > n .
2. Utilizando esto, demostramos que todo elemento se descompone en factores irreducibles de manera finita.
3. Dados dos elementos x, y ∈ A , como existe d tal que 〈x, y〉 = 〈d 〉, probamos que un
tal d es un máximo común divisor de x e y . Y probamos el Teorema de Euclides:
si p es un irreducible tal que p|x y pero mcd(p, x) = 1, entonces p|y .
4. Finalmente, probamos que el Teorema de Euclides es equivalente a la unicidad de
la factorización.
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
Dominio euclídeo
Sea A un dominio tal que existe una función µ : A −→ N ∪ {0} verificando:
1. Para cualesquiera x ∈ A , y ∈ A \ {0}, existe unos únicos q, r ∈ A
tales que
a = qb + r, con µ(r ) < µ(b).
2. µ(a) = 0 ⇐⇒ a = 0.
A este procedimiento se le llama división euclídea de A y, en estas condiciones, A se denomina un dominio euclídeo (abreviadamente
DE).
Z y k[x] son DE, como hemos visto durante el curso, tomando respectivamente, µ = |·|
y µ =grado+1. Pero muy pocos anillos lo son, en realidad. Por ejemplo k[x, y] no lo es,
como veremos ahora.
Proposición 6.4.5. Un DE es un DIP (y, por tanto, un DFU).
P RUEBA : La demostración consiste en, dado un ideal I , tomar d ∈ I tal que
©
ª
µ(d ) = mı́n µ(x) | x ∈ I ,
x∈I
y probar (no es complicado) que I = 〈d 〉.
El anillo k[x, y] no es un DE porque no es un DIP, como se puede ver considerando
〈x, y〉.
En la construcción de DFU, curiosamente, los DE juegan un papel destacado, gracias
al resultado siguiente, con el que terminamos esta sección.
Teorema 6.4.6. Sea A un DFU. Entonces A[x] también es un DFU.
P RUEBA : Comenzamos por definir, como hicimos en el tema 4, el contenido de un
polinomio como el mcd de sus coeficientes. A partir de aquí definimos el concepto de
polinomio primitivo (exactamente igual) y probamos que
c( f g ) = c( f )c(g ),
así como el Lema de Gauss (el producto de polinomios primitivos es primitivo). Con
esto, dado un polinomio primitivo f (x) ∈ A[x] lo factorizamos en Q(A)[x] en producto de
irreducibles, cosa que podemos hacer porque Q(A)[x] es un DE y por tanto un DFU:
f (x) = p 1 (x)...p r (x),
y extraemos un mcm de los denominadores que aparecen en los factores, para escribir
f (x) =
1
q 1 (x)...q r (x),
m
Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da
con m ∈ A y q1 (x), ..., qr (x) irreducibles en A[x]. Ahora bien, por ser f (x) primitivo se
tiene que ha de ser m = 1, luego p i (x) = qi (x) para cada i = 1, ..., r .
Con esto aseguramos la factorización, mientras que la unicidad viene dada porque dos
factorizaciones distintas en A[x] inducen dos factorizaciones distintas en Q(A)[x], lo cual
es imposible por ser Q(A)[x] un DFU.