Download desarrollo del pensamiento lógico matemático

Nivel 1
Módulo - Ciencias Básicas
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
LÓGICO MATEMÁTICO
Autor: [Liza Leonor Pinzón Cadena]
Todos los derechos patrimoniales de esta obra han sido cedidos
mediante acto administrativo registrado ante notario público a titulo
de la Fundación Universitaria del Área Andina
Bogotá, Colombia 2010.
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Nivel 1
Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
Tabla de contenido
CAPITULO 1
4
1. OPERACIONES BASICAS
1.1. INTRODUCCION:
1.2. SISTEMAS DE NUMEROS
1.2.1. NUMEROS NATURALES
1.2.2. ADICIÓN
1.2.3. NUMEROS ENTEROS
1.2.4. SUSTRACIÓN
1.2.5. MULTIPLICACIÓN
1.2.6. NUMEROS RACIONALES
1.2.6.1. OPERACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
1.2.6.1.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
1.2.6.1.2. MULTIPLIACIÓN
1.2.6.1.3. DIVISIÓN
1.2.7. NÚMERO IRRACIONALES
1.2.8. NÚMEROS REALES
1.2.8.1. REPRESENTACION GEOMETRICAMENTE
1.2.8.2. NUEVAS OPERACIONES
1.2.8.2.1. POTENCIACIÓN
Propiedades
1.2.8.2.2. RADICACIÓN
Propiedades
1.1.10.2.3. LOGARITMOS
Propiedades
1.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.3.1. POLINOMIOS
1.3.2. FACTORIZACIÓN
1.3.2.1. FACTORIZACION DE BINOMIOS
Factor Común
Binomios de la Forma
1.3.2.2. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
1.3.2.3. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Cuadrado Perfecto
Cubo Perfecto
1.4. ECUACIONES
1.4.1. ECUACIONES
1.4.2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1.4.3. ECUACIONES DE GRADO N
1.4.3.1. ECUACIÓN CUADRATICA
Solución
1.5. RAZONES TRONOMETRICAS
1.5.1. TRIANGULO RECTANGULO
1.5.2. LEY DE ANGULOS INTERNOS
1.5.3. TEOREMA DE PITAGORAS
1.5.5. RAZONES TRIGONOMETRICAS
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
11
11
12
12
12
12
12
13
15
15
15
15
15
16
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CAPITULO 2
25
2. SISTEMAS NÚMERICOS
2.1. SISTEMA DECIMAL
2.2. SISTEMA BINARIO
2.3. SISTEMA OCTAL
2.4. SISTEMA HEXADECIMAL
2.5. CONVERSIONES
2.5.1. CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN BASE N A BASE M
2.6. OPERACIONES BÁSICAS
2.6.1. SISTEMA DECIMAL
2.6.2. SISTEMA BINARIO
2.6.3. SISTEMA OCTAL
2.6.4. SISTEMA HEXADECIMAL
Aplicaciones
25
25
25
26
26
26
27
28
28
30
30
31
33
CAPITULO 3
36
3. LOGICA
3.1. INTRODUCCIÓN
3.2. PROPOSICIONES
3.3. OPERADORES O CONECTIVOS LOGICOS
3.4. TABLAS DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS
3.4.1. ARGUMENTOS VALIDOS Y NO VALIDOS
3.5. TEORIA AXIOMATICO
3.5.1. AXIOMAS LOGICOS
3.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES
37
37
37
37
38
39
40
40
40
CAPITULO 4
42
4. ALGEBRA BOOLEANA
4.1. INTRODUCCIÓN
4.2. DEFINICION DEL ALGEBRA BOOLEANA
4.2.1. POSTULADOS
4.2.2. OPERACIONES
4.2.2.1. SUMA
4.2.2.2. PRODUCTO
4.2.2.3. NEGACIÓN
4.2.2.4. COMBINADA
4.2.3. TEOREMAS MAS IMPORTANTES DEL ALGEBRA BOOLEANA
4.3. PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
4.4. FUNCIONES BOOLEANAS
43
43
43
43
44
44
44
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Capitulo
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1. OPERACIONES BASICAS:
1.1. INTRODUCCION:
La actividad práctica de contar es anterior a la aparición de la escritura.
1.2. SISTEMA DE NUMEROS
Con la aparición de la escritura, cada cultura creo diferentes símbolos,
para representar palabras, cosas y numerales. La simbología fue mejorada, hasta obtener sistemas de numeración posicional cuyas representaciones mas adoptadas son el sistema decimal, sistema binario, sistema
octal, y sistema hexadecimal.
Debido al desarrollo de las actividades varias, como hacer intercambios
comerciales, lo obligo a efectuar operaciones como la ADICIÓN, SUTRACCION , MULTIPLICACION, DIVISON, y en fin se obligo a simplificar los
cálculos creando un sistema de propiedades para estas operaciones.
El sistema de numeración usual para la representación de números naturales es el decimal, los avances tecnológico requiere otros sistemas de
numeración como el binario, octal y el hexadecimal).
1.2.1. NUMEROS NATURALES
En principio, el hombre parte de la idea de los números
naturales, que representaban partes enteras de las cosas con la que convivía o comerciaba.
Una vez escogido el número 0 que simboliza la ausencia
de una cantidad, se halla el sucesor de este y así sucesivamente, obteniendo:
N= {0,1, 2, 3,4…}
Una vez definido el conjunto, surge de manera natural
como combinar sus elementos, así nace la primera operación.
1.2.2. ADICIÓN
La operación de números naturales es una operación
que hacemos entre números α, β que pertenecen a los
números naturales, de modo tal que la adición de estos
dos números sea por ende un numero natural α+β por
ejemplo 7 es un numero natural y 3 es un numero natural, la adición de estos dos números produce un nuevo
numero natural, 3+7 es 10.
Como por ejemplo si debemos más de lo que tenemos…
¿como se expresaría?
Esto respondía que los números naturales no eran lo suficiente para representar esta situación, por lo cual se
vio la necesidad de ampliar el sistema de los números
naturales incluyendo números negativos.
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1.2.3 NUMEROS ENTEROS
Este nuevo conjunto ampliado se denomina números enteros y se representan con la letra Z
Z= {…. (-3), (-2), (-1), 0, 1, 2, 3……}
Con este nuevo conjunto podemos realizar la adición,
como es el caso de (-3)+4=1 e introducir una nueva operación….
1.2.4 SUSTRACCIÓN
Si los números α y β son números enteros, entonces α - β
es un número entero, por ejemplo:
7-9=(-2)
Pero si ambos números son negativos ¿cómo se procede? FACIL! se debe tener en cuenta que si tenemos
– (- α) es igual a tener α es decir,
(-3)-(-4)= (-3)+4
1.2.5 MULTIPLICACIÓN
Se define como la multiplicación
n×α= α+ α + α + α + α + α…. + α n veces
Por ejemplo:
(-4)+ (-4) + (-4) + (-4) + (-4)= (-4) ×5=-20
Para ejemplificar que signo queda después de efectuar
esta operación se usa la siguiente tabla:
x
-
+
-
+
-
+
-
+
x
-
+
-
+
-
+
-
+
1.2.6 NUMEROS RACIONALES
Debido a que ya se están efectuando varias operaciones, el hombre se enfrento con un nuevo dilema,…si
compraban un bulto de sal entre 4 familias, ¿cuánto le
correspondía a cada uno?
Para resolver esta nueva operación introdujeron un nuevo conjunto que abarca ahora a los números enteros.
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Este nuevo sistema surge por la necesidad medir cantidades. El proceso de contar se hace insuficiente y se
vuelve necesario subdividir la unidad en cierto número
de partes iguales.
Es decir sea α la unidad y sea β el numero de partes a
dividirla, entonces esa cantidad se expresara como
Hasta ahora se construyeron los números Naturales,
posterior los números enteros y ahora los números racionales que son un conjunto más amplio de números:
Este nuevo conjunto se denomina números racionales y
se representan con la letra Q
La manera de expresar las fracciones serian:
o de forma decimal.
Esta última forma adopta dos posibilidades:
1
Cif
ifra
rass de
deci
cima
male
less finitas
fini
fi
nita
tass
1.. C
Cifras
decimales
2
Cif
Cifras
ifra
rass de
deci
decimales
cima
male
less infinitas
infi
in
fini
nita
tass
2.. C
1.2.6.1 Operaciones de dos Numeros Racionales
Una vez definido el conjunto, surge la
forma de cómo definir las operaciones en
este sistema.
1.2.6.1.1. Adición o Sustración
más o menos
Ejemplo:
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gi
na} -7
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1.2.6.1.2. Multiplicación:
Ejemplo:
1.2.6.1.3. Division:
Ejemplo:
1.2.7. NUMEROS IRRACIONALES
Como se dijo anteriormente, existen dos formas de expresar las fracciones, en cifras finitas y en cifras decimales infinitas. Para el caso de cifras decimales infinitas
hay dos formas además de verlas, una periódica y otra
no periódica.
El caso de un cifra decimal infinita, periódica es:
El caso de un cifra decimal infinita no periódica es:
π=3,1415926535…
Estos últimos números, los decimales infinitos no periódicos se conocen como NO RACIONALES, o números
IRRACIONALES.
1.2.8 NUMEROS REALES
El conjunto de números que puede representarse por expresiones decimales finitas o infinitas periódicas y con
cifras decimales infinitas no periódicas, se llaman sistemas de números reales.
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Es decir la unión entre números racionales y números no
racionales (irracionales) se denominan, números reales.
1.2.8.1 Representación Geometricamente
La representación de los números reales se hace
usualmente por medio de los puntos de una recta, se
elige un punto que representara al cero, luego a la derecha de él se ubicara el numero 1 y a la izquierda del
cero el -1.
IMAGEN: representar la recta
El sistema de los números reales se nota (R, +,-,..<)
y se simplificada con la letra R. De ahora en adelante
todas las operaciones que vamos a realizar, se encuentran dentro de este sistema.
Existe un conjunto mucho más grande, que contiene a
los numero reales y se denomina COMPLEJOS, pero
en este modulo no trabajaremos con ellos.
1.2.8.2. Nuevas Operaciones
1.2.8.2.1. Potenciación:
Sea α un número real cualquiera y
mero natural; definimos:
cualquier nú-
Ejem
Ej
empl
plo
o
Ejemplo
; 2 es la base, 3 es el exponente y 8
es la potencia y se lee como:
2 al cubo igual a 8
Propiedades
1.
α0=1
Ejemplo: 3 0=1
1
2. α n×α m=α (n+m)
3. α n×bn= (α×b) n
Ejemplo: 5 3×2 3= (5
(5×2
(5×2)
×2))3= (1
(10)
0)3
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4.
Ejemplo:
5. (α
α m) n=α (m×n)
Ejemplo: (52)3=5(2×3) =56
6. Sii n es un numero par entonces (-α) n =α n
Ejemplo: (-7) 4 =74
7.
Ejemplo:
1.2.8.2.2. Radicación
Sea α un numero natural mayor que cero y
quier numero natural; definimos
cual-
si α es p
positivo se denomina la raíz n- esima de a.
Ejemplo:
piedades
Propiedades
1.
Ejemplo:
2.
Ejemplo:
3.
Ejemplo:
4.
Ejemplo:
1.2.8.2.3. Logaritmos
Para cualquier a y b números reales positivos distintos de 1, existe un único número real x tal que:
(α x )=b, x se denomina logaritmo con base a de b y se nota x=log ab
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Ejemplo:
2 x=8 significa que x=log 2 8=3 Es decir que el logaritmo busca el exponente. La forma de leer la expresión es: Logaritmo en base 2 de 8, igual a 3
Propiedades
1. loga M=loga N= si y solo si M=N
Ejemplo: llog
og 2 5
2. log
oga M
M×log
×log
l Ma= 1
Ejemplo: log
log5 3 × llog3 55= 1
3.
Ejemplo:
4. log
oga M s = s log
loga M
Ejemplo: llog
og3 52 = 2 llog
og3 5
5.
Ejemplo:
Para tener en cuenta…
Cuando aparezca la expresión:
log 7 quiere decir log10 7 y ln 3 quiere decir loge 3
1.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En los sistemas numéricos, se ha estudiado los diferentes conjuntos
numéricos con sus operaciones. Si se combina adecuadamente los números con los signos de las operaciones y paréntesis se obtiene expresiones ordenadas como:
Cuando estas expresiones numéricas se pueden escribir usando letras
como variables se denominan expresiones algebraicas ejemplo:
Estas expresiones pueden ser Enteras, Racionales, o Irracionales.
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1.3.1 POLINOMIOS
Las expresiones algebraicas son combinaciones de monomios. Se denomina como combinaciones las operaciones como la adición.
-| Monomios
-| Polinomio
Se denomina coeficiente el numero que multiplica a la variable, por
ejemplo 3 es coeficiente, variable es la x, y 5 es el exponente de la
variable.
3x5
Se debe tener en cuenta que si se desea combinar los polinomios o
monomios, solo pueden hacerse cuando la variable con su exponente
es la misma, es decir:
3x5 + 4x5 y2 + (-4) x5 = (-1) x5 + 4x5 y2
1.3.2 FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión es transformarla en otras equivalente en forma
de producto.
Ejemplo:
4x - 2x5 = 2x (2 - x4)
1.3.2.1 FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS:
Factor común: El factor común es la aplicación de una
de las propiedades de los números reales llamada, la
propiedad distributiva.
(ax+ay)=a(x+y)
Ejemplo
(14x4 + 7x 3 y) = 7x 3 (2x + y)
Binomios de la forma:
an ± bn
-|Diferencia de cuadrados:
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
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-| Diferencia de cubos:
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab - b2)
Si n es mayor a 3 entonces la forma general es:
an - bm=(a-b)(an-1+an-2b+···+abn-2+bn-1)
-| Suma de cuadrados solo es exacta cuando
n es impar y se deduce que:
an+bm=(a+b)(an-1-an-2b+···-abn-2+bn-1)
Ejemplo:
27x3+64y9 = (3x)3 +(4y3)3 = (3x+4y3) ((3x)2-(3x)(4y3)+(4y3 )2)
27x3+64y9=(3x)3+(4y3 )3 = (3x+4y3)(9x2-12xy3+16y6)\
1.3.2.2. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS:
Ejemplo:
Si a es 1,x2 -3x+10 =
Primero el signo del primer factor es el mismo signo del monomio bx
(1x - _ )
y el signo del segundo factor es la multipicación de los signos de bx y c
(1x - _ )
x2-7x+10 =(1x-2)(1x-5), es decir 1×2×5=10 y ademas-2-5= -7
Ejemplo
Si a es 1,x2 - 3x + 10 =
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Primero el signo del primer factor es el mismo signo del monomio bx
(1x - __ )
y el signo del segundo factor es la multipicación de los signos de bx y c
(1x- __ )
x2- 7x+10 =(1x-2)(1x-5), es decir 1×2×5=10 y ademas-2-5=-7
Ejemplo:
8 x 2 - 14x - 15 =
Primero el signo del primer factor es el mismo signo del monomio bx.
(1x-__ )
y el signo del segundo factor es la multipicación de los signos de bx y c
(1x+__ )
14=m+n donde m×n=a×b y no necesriamente m=a y n=b
-14=m+n=donde m×n=(8× -15)=(-20×6) y -20+6= -14
Ejemplo:
8 x2 -14x -15 =
Primero el signo del primer factor es el mismo signo del monomio bx
(1x - __ )
y el signo del segundo factor es la multipicación de los signos de bx y c
(1x + __ )
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14=m+n donde m×n=a×b y no necesriamente m=a y n=b
-14=m+n=deonde m×n=(8×-15)=(-20×6) y-20+6=-14
1.3.2.3. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS:
-| Cuadrado perfecto de Binomios:
(a±b)^2=a^2±2ab+b^3
-| Cubo perfecto de Binomios:
(a+b)3=a3+3a2 b+3ab2+b3
(a-b)3=a3- 3a2 b+3ab2-b3
Para Saber Más:
http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
1.4. ECUACIONES
1.4.1. ECUACIONES:
Cuando definimos dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales,
si tiene el mismo grado y sus coeficientes son iguales.
8 x2- 14x-15 = (2x - 5)(4x + 3)
Si dados dos polinomios P(x) y Q(x) tal que ahora
P(x)≠Q(x), Es posible que P(x) sea igual a Q(x) para algunos valores de x.
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Ejemplo:
Q(x)=8x+3 y P(x)=2x-5 ,
Q(x)=P(x)
es decir
8x+3 = 2x-5
8x-2x=-5-3
6x=-8
esto quiere decir que P(x)=Q(x)cuando x
1.4.2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO:
Si P(x) y Q(x) son polinomios de primer grado (el máximo
número del exponente de la variable es 1), se denomina
una ecuación de primer grado cuando encontramos una
única raíz de solución, que garantiza que el polinomio
P(x) y Q(x) tiene una única solución o raíz.
1.4.3. ECUACIONES DE GRADO n
Sea P(x) un polinomio de grado n, con coeficientes enteros, si se determinan las raíces o soluciones de la ecuación, equivale a encontrar las soluciones de polinomio
P(x), de ahí que la convenencia de igualar a cero una
ecuación de grado n, para encontrar sus soluciones.
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De modo tal que si tenemos la ecuación:
6x2-15=x luego n=2
es decir que existe 2 raices o mejor dicho 2 soluciones
Una manera de encontrar los valores de x es factorizando la expresión:
Para solucionar esta ecuación debemos encontrar:
Los valores de
n y m tal que
(6×(-15) )=(n×(-m) )=(-m+n)=-1
Los valores de
n y m son 9 y (-10)
Las dos raíces de la ecuación
6x2 - x - 15 son:
En ocasiones no es tan fácil encontrar los valores
para ello se usa la Ecuación Cuadrática.
n y m,
Una ma
Una
mane
manera
nera
ra de
d e encontrar
enco
en
cont
ntra
rarr lo
loss valores
valo
va
lore
ress de x es
es factorizanfact
fa
ctor
oriz
izan
ando la expresión:
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Para solucionar esta ecuación debemos encontrar:
Los valores de
n y m tal que
(6×(-15) )=(n×(-m) )=(-m+n)=-1
Los valores de
n y m son 9 y (-10)
Las dos raíces de la ecuación
6x2 - x - 15 son:
1.4.3.1. ECUACIÓN CUADRATICA:
ax2+bx+c = 0
Solución de la Ecuación Cuadratica
es decir que las dos soluciones son:
Ejemplo:
Encontrar las soluciones para la ecuación
6x2 - x - 15 =0
Cuando la solución dentro de la raíz sea de la forma
√(-a), se dice que la raíz es compleja.
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1.5. RAZONES TRIGONOMETRICAS
1.5.1. TRIANGULO RECTANGULO
El triangulo rectángulo, es un polígono interesante. Lleva su
nombre debido a que posee un ángulo rectángulo es decir
un ángulo de 90 grados.
El lado opuesto al ángulo de 90 grados, es decir c, recibe el
nombre de hipotenusa, y los otros lados reciben el nombre
de cateto 1 y cateto 2.
1.5.2. LEY DE ANGULOS INTERNOS
Todos los ángulos internos de cualquier triangulo, suman
180 grados. Para el caso de un ángulo rectángulo los ángulos restantes distintos del ángulo rectángulo, suman 90
grados
1.5.3. TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras, se resume en una grandiosa formula capaz de obtener el valor de alguno de los lados del
triángulo por medio de una formula. En realidad esta fórmula solo puede usarse para triángulos rectángulos.
La formula afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos.
H2= C12 + C22
La letra
H corresponde a la Hipotenusa, la letra C1 corres-
ponde al cateto 1 y la letra
C2 corresponde al cateto 2.
1.5.4. RAZONES TRIGONOMETRICAS
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Ejemplo:
Ejem
Ej
plo:
l
Tenemos un triangulo rectángulo, con los valores a=1,
b=1 A=45, hallar el valor de c, el valor de B. Posteriormente hallar el sen A, cos A, Tan A.
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actividad+tarea
Actividad para que el estudiante entregue:
1. Hallar el valor de x de la siguiente ecuación:
2. Hallar la hipotenusa del triangulo rectángulo, y posteriormente el valor de seno A, CosA, TanA.
Desarrollo
1.
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Debido a que es una ecuación cuadrática, tendremos 2
resultados o raíces.
2. Para desarrollar este ejercicio, primero debemos aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de x.
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Para ello:
El valor de x es 5, puesto que no podemos decir que un
lado mide – 5 unidades.
Como ya tenemos los valores de los lados del triangulo,
posteriormente encontraremos:
las razones trigonométricas.
Luego
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2. SISTEMAS NUMERICOS
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de operación que
permiten construir todos los números válidos del sistema. Los símbolos generalmente
más usados son los números arábigos.
Teorema Fundamental de Numeración
Todo número n puede descomponerse de manera única en la forma poIinómica de
la siguiente manera:
n=ak Bk+···.+a1 B1+a 0 B0
Donde
B es la base del sistema numérico y k es el número de los dígitos.
2.1. SISTEMA DECIMAL
El sistema decimal representado como S_10, es un sistema de numeración en el que las cantidades o símbolos utilizando como base el número
diez.
Por lo tanto S10 ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Un número en el sistema decimal, es la combinación de los símbolos del
sistema y depende de su posición dentro del número.
Ejemplo:
Ejem
Ej
plo:
l
(527)10 =5×(102 )+2×(101 )+7×(10 0)
2.2.
2
2 SISTEMA BINARIO
El sistema binario representado como S_2es un sistema de numeración
en el que los símbolos o números utilizando como base el numero 2.
Por lo tanto
S2={0,1}
Un numero en el sistema binario, es la combinación de los símbolos del
sistema depende de su posición dentro del número.
Ejemplo:
Ejem
Ej
empl
plo:
o:
(110101)2 =1×(25 )+1×(24 )+0×(23 )+1×(22 )+0×(21 )+1×(20 )
El sistema binario es muy usado en la computación, pues representa
mayor número de información al tener menos símbolos:
Bit: 0 ó 1
Cuarteto: Número formado por 4 bits
Byte: 8 bits
Kilobyte: 1024 bytes
Megabyte: 1024 kilobytes
Gigabyte: 1024 megabytes
Un número en el sistema binario es por lo tanto una secuencia de bits
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Nivel 1
Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
2.3. SISTEMA OCTAL
El sistema binario representado como S 8 es un sistema de numeración
en el que los simbolos o números utilizando como base el número 8.
Por lo tanto
S 8={0,1,3,4,5,6,7}
Un numero en el sistema Octal, es la combinación de los símbolos del
sistema depende de su posición dentro del número.
Ejemplo:
(527)8= 5× (82 )+2×(81 )+7×(80)
El sistema octal es también muy usado en la computación por tener una
base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria.
2.4. SISTEMA HEXADECIMAL
El sistema binario representado como S16 es un sistema de numeración
en el que los simbolos o números utilizando como base el número 16.
Por lo tanto S16={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F},
donde A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15
Un numero en el Hexadecimal, es la combinación de los símbolos del
sistema depende de su posición dentro del numero
Ejemplo:
(3E0A)_16 =3×(163) + E×(162) + 0×(161) + A×(160)
El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, su uso actual
está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues
los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica
de memoria.
2.5. CONVERSIONES
Para pasar de una base cualquiera se debe pasar el número dado en
una base, a la base decimal.
Luego se pasa este número en base decimal a la base requerida por
divisiones sucesivas (el divisor es la base requerida y los residuos serán
las bases de los números).
Ejemplo:
-| Obtener una expresión en base 8 de (1001)2
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{P
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La solución es expresar el número binario a base 10
(1001)_2=1×(23 )+0×(22 )+0×(21 )+1×(20 )
=1×8+0×4+0×2+1×1=8+0+0+1=9
Ahora:
(9)10 = (9)16
-|| Ob
Obtener
Obte
tene
nerr una
na expresión
expr
pres
esió
ión
n en base
b as
ase
e 2 de (53)_
(53
53)) 10
La solución es:
Luego
(5310 =(110101)2
TABLA DE LOS PRIMEROS 16 NÚMEROS
Decimal
Binario
Octal
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
2.5.1. Convertir una Fracción en Base N A Base M
El algoritmo usado para convertir un número N en base n a base m es:
1. Se convierte el número en base n a uno en base 10 utilizando la
expansión polinomial.
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{P
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Nivel 1
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2. Luego se aplica el método de multiplicación por la base. En
cada línea la fracción se multiplica por m para obtener la línea
siguiente:
Ejemplo:
-| Convertir (0.65)8
a base 2
Primero se debe convertir (0.65)8 a base 10
6×8 -1+6×8 -2=0,750000+0,078125=0.828125
Ahora se convierte
(0.828125)10 a base 2
0,8281
0,6563
0,3125
0,625
0,25
0,5
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
1,656
1,313
0,625
1,25
0,5
1
(0, 828125)10 = (0,110101)2
2.6. OPERACIONES BÁSICAS
2.6.1. SISTEMA DECIMAL
Tabla de la suma en base 10:
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
3
4
5
6
7
8
9
3
3
4
5
6
7
8
9
10
4
4
5
6
7
8
9
10
11
5
5
6
7
8
9
10
11
12
6
6
7
8
9
10
11
12
13
7
7
8
9
10
11
12
13
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8
8
9
10
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14
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Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
Tabla de la multiplicación en base 10:
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
4
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Ejemplo adición:
+
2 5 4 7 9 8
1 0 3 0 9
2 6 5 1 0 7
Ejemplo producto:
1
x
2
5 4
5 6
+
0 8
5 2
1 6
0
1 6
Tabla de la suma en base 2:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1+1 siempre nos llevamos 1 a la siguiente operación (acarreo)
0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1)
(en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)
{Página}
{P
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Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
2.6.2. SISTEMA BINARIO
Tabla de la multiplicación en base 2:
0
0
0
x
0
1
1
0
1
Ejemplo adición:
1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1 0 1
+
Ejemplo producto:
1 0 1 1 0
x
+
0
0 0
1 0 1
1 1 0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0 0 1
1 1 0
0 0
0
1 1 0
2.6.3. SISTEMA OCTAL
Tabla de la suma en base 8:
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
10
2
3
4
5
6
7
10
11
3
4
5
6
7
10
11
12
4
5
6
7
10
11
12
13
5
6
7
10
11
12
13
14
6
7
10
11
12
13
14
15
7
10
11
12
13
14
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16
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{P
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Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
Tabla de la multiplicación en base 8:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
0
1
2
3
4
5
6
7
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
2.6.4. SISTEMA HEXADECIMAL
Tabla de la suma en base 16:
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A B
A B
B C
C D
D E
E
F
F 10
10 11
11 12
12 13
13 14
14 15
15 16
16 17
17 18
18 19
19 1A
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
E
E
F
10
11
12
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14
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16
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1A
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F
F
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16
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1A
1B
1C
1D
1E
E
E
F
10
11
12
13
14
15
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F
F
10
11
12
13
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17
Tabla de la multiplicación en base 16:
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
5
5
6
7
8
9
A
B
C
D
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
9
9
A
B
C
D
E
F
10
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A
A
B
C
D
E
F
10
11
12
B
B
C
D
E
F
10
11
12
13
C
C
D
E
F
10
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B
C
D
E
F
A
B
C
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E
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B
C
D
E
F
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C
D
E
F
10
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D
E
F
10
11
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E
F
10
11
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F
10
11
12
13
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10
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12
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14
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17
18
13 14
14 15
15 16
16 17
17 18
18 19
19 1A
15
16
17
18
19
1A
1B
16
17
18
19
1A
1B
1C
17
18
19
1A
1B
1C
1D
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
Ejemplo adición:
A 8 3 F
+ 2 4 C C
C D 0 B
Ejemplo sustracción:
A4FC9-DE 8 Para poder realizar esta resta, el método
usado se llama Complemento de la base 16.
Para ello lo primero es igualar en cifras el valor del minuendo al sustraendo es decir: 00 DE 8
Después se resta el número más grande de la base 16;
(F), en igual número de cifras con el nuevo valor encontrado, es decir: FFFFF-00DE8
F F F F F
-
0 0 D E 8
F F 2 1 7
Posteriormente para encontrar el valor COMPLEMENTO
DE LA BASE 16, se deberá sumar 1 a la diferencia encontrado.
F F 2 1 7
+
1
F F 2 1 8
Finalmente sumamos este valor al sustraendo:
A
4 F C 9
+ F
F 2 1 7
1A 4 1 E 1
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Nivel 1
Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
2.7. APLICACIONES
En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual
implementaba el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y
conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.1
[Imagen 01]-
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior,
con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15. 2
[Imagen 02]-
1. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_ binario
2. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_ hexadecimal
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Nivel 1
Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
La utilización del sistema hexadecimal en los ordenadores, se debe a
que un dígito hexadecimal representa a cuatro dígitos binarios (4 bits =
1 nibble), por tanto dos dígitos hexadecimales representaran a ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad básica
de almacenamiento de información.
[Imagen 03]-
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Nivel 1
Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
actividad+tarea
Actividad para que el estudiante entregue:
1) Convertir el número decimal 3107 al sistema numérico con base 8.
2) Sí 56432 es un número del sistema con base 8, encuentre su equivalente en el sistema de base 16, base 2, base 10.
3) Cambie el número binario 10110101 al sistema hexadecimal
Desarrollo
1) Convertir el número decimal 3107 al sistema numérico con base 8.
El número 3107 bajo base diez es igual a 6043 en base ocho.
2) Sí 56432 es un número del sistema con base 8, encuentre su equivalente en el sistema de base 16, base 2, base 10.
El número 56432 bajo base ocho es igual a 5D1A en base dieciséis
El número 56432 bajo base ocho es igual a 101110100011010 en
base dos.
El número 56432 bajo base ocho es igual a 23834 en base diez.
3) Cambie el número binario 10110101 al sistema hexadecimal
Primero convirtamos el número en base 2 a base 10, el número
10110101 bajo base dos es igual a 181 en base diez.
Luego convertimos el número en base decimal, a base hexadecimal, el número 181 bajo base diez es igual a B5 en base dieciséis.
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Capitulo
3
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Módulo - [ Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ]
3. LOGICA
3.1. INTRODUCCIÓN
Según agrupemos las palabras, daremos sentido y forma a las oraciones,
a eso se le llama (sintaxis). Aun así en nuestro idioma, una misma agrupación de palabras, puede tener interpretaciones distintas.
Para estudiar los elementos de la lógica proposicional, se estudiaran
aquellas oraciones o enunciados que en teoría podamos afirmar como
verdadero o falso.
3.2. PROPOSICIONES
Los enunciados que tienen un contexto establecido, se le denominan proposiciones.
Si tenemos un conjunto de proposiciones como:
P={p,q,r,s,t….}
Debido a que en teoría las proposiciones pueden ser afirmativas o negativas, se adopta un conjunto de dos valores de verdad,
1=verdadero; 0=falso
V={0,1},
tal que cada proposición de nuestro conjunto P, se le asignara un valor de
verdad del conjunto V.
La manera de representarlo es:
V(p)=1 si la proposicion p es verdadera
V(p)=0 si la proposicion p es falsa
3.3. OPERADORES O CONECTIVOS LOGICOS
Las expresiones y, o y NO permite combinar dos proposiciones, para
obtener otra proposición.
-| La expresión Y, se denomina conjunción y se nota como ^
Ejemplo: Trabajo y Estudio, p^q
-| La expresión O, se denomina disyunción y se nota V
Trabajo o Estudio, pVq
-| La expresión NO, se denomina negación y se nota ~
No trabajo ~p
-| La expresión ENTONCES, se denomina condicional y se nota
Trabajo entonces estudio p q
-| La expresión SI Y SOLO SI, se denomina bicondicional y se nota como
Trabajo si y solo si estudio p q
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3.4. TABLAS DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS
-| Negación (~)
P
1
0
~p
0
1
-| Conjunción (^)
P
1
1
0
0
q p^q
1
1
0
0
1
0
0
0
-| Disyunción ( V)
P
1
1
0
0
-| Condicional (p
P
1
1
0
0
-| Bicondicional ( p
P
1
1
0
0
q pVq
1
1
0
1
1
1
0
0
q)
q p q
1
1
0
0
1
1
0
1
q)
q p q
1
1
0
0
1
0
0
1
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Ejemplo
-| Si el v(p)=1, v(q)=0, el valor de verdad resultante es :
p^(q^~p)
1^(0 0)
1^1
1
-| Hallar los valores posibles de verdad para la proposición:
[(pVq)V(~q r)]
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
~q pVq ~q r (pVq)V(~q r)
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
3.4.1. Argumentos validos y no validos:
Al verificar los valores de verdad de una proposición se
tienen tres posibles valores, TAUTOLOGIA, CONTRADICCION e INDETERMINADA
-| Cuando las proposiciones resultantes de la tabla de
verdad siempre da 1, se denomina TAUTOLOGIA o siempre VERDADERAS.
P ~p pV~p
0 1
1
1 0
1
-| Cuando las proposiciones resultantes de la tabla de
verdad siempre da 0, se denomina CONTRADICCION o
SIEMPRE ES FALSA.
P ~p p^~p
0 1
0
1 0
0
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-| Cuando las proposiciones resultantes de la tabla de
verdad dan 0 y 1, se denomina INDETERMINADA
P
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pVq
1
1
1
0
3.5. TEORIA AXIOMATICO
La teoría axiomática se define como las leyes encadenadas por DEMOSTRACIONES LOGICAS.
Un sistema LOGICO es un sistema formal, es decir es un sistema de
símbolos con reglas, tal que se puede expresar y manipular por medio
de formulas.
Las leyes fundamentales, que no merecen demostración se denominan
AXIOMAS.
Si por medio de axiomas se deduce una nueva proposición, esta se
denomina Teorema.
Luego los Axiomas y los Teoremas son Tautologías en la Teoría.
3.5.1. AXIOMAS LOGICOS
Si p se deduce de q y q se deduce de p; p y q son
logicamente equivalentes y se nota como p≡q
1. p ≡~(~p)
2. (p Vq) ≡ (q V p)
3. ~(pVq) ≡ ~p^~q
4. ~(p^q) ≡ ~pV~q
5. (p q) ≡ (~pVq)
Los dos últimos axiomas son conocidos como las
LEYES DE MORGAN
3.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES
Una función proposicional es dado P(x) significa que al elemento x se
le asigna la propiedad P.
Si se desea conocer cuales elementos de un conjunto A hace que P(x)
sea verdadero, depende de los cuantificadores, que transforman funciones proposicionales en usando expresiones como ALGUN(os), TODOS, y NINGUN
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El símbolo
expresa un Cuantificador Existencial, es decir existe al
menos un elemento
El Símbolo
elemento.
expresa un Cuantificador Universal, es decir para todo
Un ejemplo es:
Dado el conjunto: T={1,3,6,10,15,21}
Dada las proposiciones: P(x)=x es multiplo de 3, Q(x)=x es un numero
triangular y S(x)=x es un numero positivo
Se tiene que:
Algunos elementos del Conjunto T son multiplos de 3.Es una proposicion verdadera,se escribe como ( x T | P(x)) y se lee:
Existe al menos un elemento de T tal que se cumple P(x)
Para Saber Más:
http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_01_01-Logica_Tablas/0_logica-tablas.html
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Capitulo
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4. ALGEBRA BOOLEANA
4.1. INTRODUCCIÓN
Las álgebras booleanas son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.
En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se
llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos
de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel,
estas funciones, son funciones de boole.
4.2. DEFINICIÓN DEL ALGEBRA BOOLEANA
Álgebra de Boole, es una estructura algebraica definida en un conjunto
con dos o más elementos que solo adoptan dos valores excluyentes,
dos operadores binarios (+. X) y un operador unitario (‘), similares a las
operaciones lógicas y (^), o (V) y negación (~)
¿Qué quiere decir ser un operador binario? Una operación binaria (*)
en un conjunto A es una operación tal que, si a y b son elementos del
conjunto A, también lo es a (*) b.
Que quiere decir ser un operador unitario? Una operación unitaria es
un conjunto A, es una operación tal que si a es un elemento del conjunto A, también lo es .
4.2.1. POSTULADOS
El álgebra booleana a menudo emplea los siguientes
postulados:
-| El sistema Booleano es cerrado con respecto al operador binario, es decir que para cada valor de un conjunto A, se produce un elemento que pertenece al mismo
conjunto A
-| El sistema Booleano es conmutativo con respecto al
operador binario (*), es decir para todo a y b son elementos del conjunto A entonces a(*)b=b(*)a
-| El sistema Booleano es asociativo con respecto al
operador binario (*), es decir que para todo a, b y c, elementos del conjunto A entonces (a * b) * c = a * (b * c)
-| El sistema Booleano es distributivo con respecto a
dos operadores binarios (*) y (@), es decir que si a,
b y c, son elementos del conjunto A entonces a * (b @
c)=(a*b)@(a*c)
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-| El sistema Booleano tiene un elemento de identidad I
con respecto al operador binario (*) tal que si a , es un
elemento del conjunto A entonces a (*)I = a
-| El sistema Booleano tiene un elemento inverso I con
respecto al un operador binario (*)tal que si a , es un
elemento del conjunto A entonces
-| a (*) I = , y
opuesto de a.
es diferente de a, es decir
4.2.2. OPERACIONES
4.2.2.1. SUMA: (a+b)
a
0
0
1
1
b a+b
0
0
1
1
0
1
1
1
4.2.2.2. PRODUCTO a(×)b
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
axb
0
0
0
1
4.2.2.3. NEGACIÓN
a
0
1
1
0
4.2.2.4. COMBINADA
a
0
0
1
1
1
1
0
0
=b
b
0
1
0
1
+b
+b
1
1
0
1
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4.2.3. TEOREMAS MAS IMPORTANTES DEL
ALGEBRA BOOLEANA
Los operadores binarios usados en el algebra booleana
son: suma (+) o función OR y multiplicación (×) o función AND.
El operador unitario usado en el algebra booleana es:
negación
o función NOT. Los valores que adoptaran
los elementos del conjunto A son 1 o verdaderos y 0 o
falsos.
Los teoremas más usados en el algebra booleano, basándose en sus postulados y describiendo sus operadores son:
-| Teorema 1:
-| Teorema 2:
-| Teorema 3:
-| Teorema 4:
-| Teorema 5:
-| Teorema 6:
-| Teorema 7:
-| Teorema 8:
-| Teorema 9:
-| Teorema 10:
-| Teorema 11:
-| Teorema 12:
-| Teorema 13:
-| Teorema 14:
-| Teorema 15:
-| Teorema 16:
Recuerda...
Capitulo anterior esto dos axiomas lógicos:
~(p^q) ≡ ~pV~q y (p q) ≡ (~pVq),
conocidos como leyes de Morgan para la lógica.
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Para el Algebra Booleana, estos dos teoremas representan estas mismas leyes de Morgan, Teorema 7 y Teorema 8
-| Teorema 7:
-| Teorema 8:
4.3. PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
-| IDEMPOTENCIA:
-| MAXIMALIDAD:
-| MINIMILIDAD:
-| INVOLUCION:
-| INMERSION:
-| LEY DE MORGAN:
4.4. FUNCIONES BOOLEANAS
Las funciones o ecuaciones Booleanas, consisten en un numero finito
de constantes (0, 1) y variables conectadas por los operados binarios
y unitarios, como (+),(×) y ( ) de forma que (+) y (
) no pueden
estar contiguos nunca.
Existen diversas formas de expresar funciones booleanas como: expresiones algebraicas, tabla de verdad, expresiones numéricas y gráfico
de karnaugh.
La representación de una función ƒ booleana es F=ƒ(a,b,c)
tal que
a, b, c son elementos de un conjunto A determinado, los cuales solo
pueden adoptar valores (, 0,1).
El número posible de combinaciones es 2n, donde n es el número de
variables que intervienen en la función.
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Fundación Universitarias del Área Andina
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Presidente Consejo Superior
Dr. Carlos Patricio Eastman
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Vicerrector Académico
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Vicerrector Administrativo
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» Centro de Gestión de Innovación y Desarrollo
Tecnológico
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Universidad Virtual Areandina UV-A
Técnico profesional en desarrollo
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Módulo DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
LÓGICO MATEMÁTICO©
Autor: Liza Leonor Pinzón Cadena
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Colaboración:
Amalia Molina
» Corrección de Estilo
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Grupo Creativo de Diseño
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Xiomara Medina, Carolina Ruiz, Andrés Alvarado,
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mediante acto administrativo registrado ante notario público a titulo
de la Fundación Universitaria del Área Andina
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