Download Ángulos - Educastur Blog

ANGULOS
Cuando dos rectas se cortan, forman 4
regiones llamadas ángulos. Cada ángulo está
limitado por dos lados y un vértice.
MEDIDAS de ANGULOS
La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes
iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º. El sistema de medición de los ángulos se llama
sexagesimal y está formado por las siguientes medidas menores al grado:
Volvemos a repasar algunas cosas que ya sabemos
Los ángulos se miden en grados y se miden en el sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Conforme la abertura entre las
líneas aumenta, también aumenta
el tamaño del ángulo. Fíjate en
estos ángulos:
Pero hay un límite: el momento en el que llegamos al punto de partida.
Entonces decimos que el ángulo mide 360º .
En general se dice que alrededor de un punto hay un ángulo de 360º..
Los polígonos regulares tienen otras particularidades
además de tener todos sus lados y sus ángulos iguales.
También todas sus diagonales y todas las líneas trazadas
desde el centro son iguales entre sí. En estos pentágonos,
tanto las líneas rojas como las diagonales azules son
iguales entre sí.
Los triángulos isósceles tienen dos ángulos que son iguales, justo los dos ángulos
que los lados iguales forman con el lado desigual.
La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180º.
Vamos al cálculo del ángulo interno de un polígono regular. Tomemos
como ejemplo un pentágono regular.
Comenzamos por trazar las cinco líneas desde el centro del pentágono
hasta cada uno de sus vértices. Con esto, hemos dividido al pentágono en
cinco triángulos iguales. Como el ángulo alrededor de un punto es 360º,
podemos decir que los ángulos en las puntas de todos los triángulos
alrededor de ese punto suman 360º. Y como son cinco ángulos, sabemos que cada uno mide
exactamente 72º, es decir,
Sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo, en
particular de cualquiera de éstos, es 180º. Fíjate en cualquier triángulo. Como
ya sabemos que el ángulo de la punta mide 72º, sabemos que la suma de los
dos de la base tiene que ser 108º para que los tres ángulos sumen 180º.
También sabemos que este triángulo, así como los otros, es isósceles porque
todas las líneas trazadas desde el centro de un polígono regular son iguales.
Entonces, podemos afirmar que los dos ángulos de la base son iguales, es decir,
que cada uno es de 54º. Como esto es cierto para todos los triángulos, los ángulos
quedarían así:
Pero en cada ángulo de los vértices del pentágono cabe un ángulo de la
base de dos triángulos y como cada uno es de 54º, sabemos que el ángulo
del pentágono es de 108º. Fíjate que 108º es lo mismo que obtuvimos
cuando restamos 180º - 72º, la suma de los ángulos internos de un
triángulo menos lo que mide el ángulo en la punta de un triángulo.
Para saber cuánto mide el ángulo externo, simplemente restamos 108º de
180º; es decir, el ángulo externo de un pentágono es de 72º. Es lo mismo
que miden los ángulos en la punta de los triángulos.
Hagamos el proceso general para obtener una fórmula. Primero pensemos es un polígono que tenga
un número de lados cualquiera. Digamos que la letra n representa ese número de lados.
En el caso del pentágono, el número de triángulos que se construyeron en el interior fue cinco,
número igual al número de lados del pentágono. Esto pasa para todos los polígonos: el número de
triángulos que se forman en su interior desde el centro hasta los vértices es igual al número de lados
del polígono. ¿Podrías decir por qué?
Entonces, en un triángulo de n lados podemos formar n triángulos a partir del centro.
Justo alrededor del centro del polígono tenemos n ángulos iguales. Entonces podemos decir que cada
uno de esos ángulos mide
. Para saber cuánto mide el ángulo interno del polígono,
simplemente hay que hacer la operación: 180º .
Recuerda que los valores del ángulo interno y del ángulo externo deben sumar 180°. ¿Te fijaste
cuánto suman el ángulo interno del pentágono y el de la punta de cualquiera de los triángulos? Esto
pasa porque el valor del ángulo externo de un polígono es igual a lo que mide el ángulo de la punta
del cualquiera de los triángulos:
.
Hagamos un par de ejemplos. Primero tomemos un dodecágono, polígono de 12 lados:
Ángulo interno = 180º Ángulo externo =
Y ahora un octágono:
= 180º =
Ángulo interno = 180º Ángulo externo =
= 180º - 30º = 150º
= 30º
= 180º =
= 180º - 45º = 135º
= 45º