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1
Observa el ortoedro de la figura e indica las posiciones de:
a)
b)
c)
d)
Los planos ABFH y CDGE.
Los planos ABFH y BCEF.
Las aristas BF y DG.
El plano ABFH y la arista BC.
Solución:
a)
b)
c)
d)
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Paralelos
Perpendiculares
Paralelas
Perpendiculares
¿Cuántas caras de un cubo son paralelas a una arista dada del mismo, por ejemplo la arista BC?
Solución:
Hay cuatro caras paralelas a la arista BC: las caras ABCD, ADHG, BCEF, EFGH.
3
En el ortoedro de la figura observa las posiciones de la recta y la cara ABFH e indica cómo es la recta
respecto al plano de la cara:
a)
b)
c)
Solución:
a) La recta y el plano son paralelos
b) Recta y plano secantes
c) La recta está contenida en el plano
4
Halla todos los planos que contienen a dos aristas, del paralelepípedo de la figura, que no estén en una
misma cara.
Solución:
Hay seis planos que se pueden formar con seis pares de aristas.
5
¿En cuál de las siguientes figuras se ha trazado la mediatriz de un segmento?
a)
b)
c)
d)
Solución:
Las rectas de los apartados a y d son mediatrices del segmento porque son perpendiculares a él y pasan por el
punto medio.
La recta del apartado b no es la mediatriz porque aunque es perpendicular al segmento, no pasa por el punto
medio.
La recta de apartado c no es la mediatriz del segmento AB porque aunque pasa por el punto medio, no es
perpendicular al segmento.
6
Dos rectas paralelas cortadas por una tercera:
a) ¿Cuántos ángulos determinan?
b) Si nˆ = 38º , ¿cuánto miden los restantes?
Solución:
a) Determinan 8 ángulos
ˆ = qˆ = q'
ˆ = 38º
b) Si nˆ = 38º , nˆ = n'
ˆ es suplementario de n,
ˆ entonces m
ˆ = 180º -38º = 142º = m'
ˆ = pˆ = p'
ˆ
Como m
7
Observa la tienda de campaña de la figura. Las vertientes del techo forman con el suelo un ángulo de 48º.
Halla el ángulo diedro que forman las dos vertientes del techo.
Solución:
El triángulo que forma el techo con el suelo es isósceles. Los ángulos adyacentes al suelo son iguales.
El valor del ángulo que forman las dos vertientes del techo es:
180º - (48º + 48º) = 180º - 96º = 84º
8
Dos planos se cortan en una recta. Uno de los ángulos diedros mide 118º. ¿Cuánto miden los otros tres?
Solución:
Los dos planos forman cuatro ángulos diedros iguales o suplementarios.
El ángulo suplementario de 118º es: 180º - 118º = 62º.
Los cuatro ángulos miden 118º, 118º, 62º y 62º.
9
Una puerta giratoria tiene 6 hojas. Suponiendo que los ángulos diedros que forman son iguales, calcula la
medida de cada uno de ellos.
Solución:
La medida de cada ángulo diedro es:
360 º
 60 º
6
10 ¿Cómo conseguirías igualar la superficie de la masa de una tarta, que llena un molde rectangular, para que
fuese plana? ¿En que propiedad geométrica te basas?
Solución:
Bastaría tomar un objeto recto (regla, palo, rodillo...) y deslizarlo desde las aristas de una esquina sin perder
contacto con ellas.
La propiedad en que se basa: "Dos rectas secantes determinan un plano".
11 Dibuja un cuadrilátero que:
a) No tenga los cuatro ángulos iguales.
b) No tenga los cuatro lados iguales
Solución:
a) Un rombo
b) Un rectángulo no cuadrado
12 Construye un rombo y un romboide, de forma que tengan un lado que mida 5 cm.
Solución:
13 ¿Cuánto mide el ángulo A de la figura?
Solución:
180º = 40º + 55º + A
A = 180º - 40º - 55º
A = 85º
14 En un círculo se dibujan sectores iguales, de modo que llenen todo el círculo. Halla la medida del ángulo
central de cada sector si se dibujan:
a) 5 sectores.
b) 10 sectores.
c) 20 sectores.
Solución:
a) 360º : 5 = 72º
b) 360º : 10 = 36º
c) 360 º: 20 = 18º
15 Un polígono regular tiene un lado más que otro también regular. ¿En cuánto difiere la suma de sus
ángulos?
Solución:
Si se aumenta un lado, al trazar todos los triángulos posibles desde un vértice se aumenta también un triángulo,
por tanto difieren en 180º.
16 ¿Cuánto mide el quinto ángulo de un pentágono en el que cuatro ángulos son iguales, midiendo cada uno
103º 30´?
Solución:
La suma de los ángulos del pentágono es: (5 - 2) · 180º = 540º
El quinto ángulo mide: 540º - 4 · (103º 30´) = 540º - 414º = 126º
17 ¿Qué polígono tiene el mismo número de lados que de diagonales?
Solución:
El pentágono tiene 5 lados y 5 diagonales.
18 Se quiere colocar una farola en cada una de las esquinas de una plaza que tiene forma de polígono. Si la
suma de los ángulos de la plaza es 1260º, ¿cuántas farolas se necesitan?
Solución:
Si n es el número de lados de la plaza, entonces:
1620º
180º n  360º = 1260º  n 
9
180º
180º · (n - 2) = 1260º
La plaza tiene 9 lados y por tanto necesita 9 farolas.
19 Un polígono regular tiene un lado más que otro polígono, también regular, cuyo ángulo interior mide 108º.
¿Qué polígonos son?
Solución:
Sea n el número de lados del segundo polígono, se cumple:
108º · n = (n - 2) · 180º ; 108º · n = 180º · n - 360º ;72º · n = 360º ;n = 5
Se trata de un cuadrado y pentágono.
20 ¿Qué polígono regular tiene por ángulo interior 144º?
Solución:
Llamando n al número de lados: (n - 2)·180º = 144º · n
180º n -360º = 144º n 180º · n - 144º· n = 360º ;36º· n = 360º
Luego,
n=
360 º
= 10
36 º
Se trata de un decágono.
21 Comprueba si el triángulo ABC es rectángulo.
Solución:
Si el triángulo es rectángulo se tiene que verificar la relación pitagórica, tomando como catetos 12,6 cm y 7 cm,
y de hipotenusa 14,4 cm:
12,62 + 72 = 158,76 + 49 = 207,76
14,42 = 207,36
207,76  207,36 no coinciden luego no es rectángulo
22 Indica si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falsa (F), justificando tu respuesta:
a) El punto en el que se cortan las bisectrices de un triángulo se llama baricentro.
b) Dos de las medianas de un triángulo isósceles miden lo mismo.
c) El punto donde se cortan las bisectrices de un triángulo está a la misma distancia
de todos los vértices de éste.
d) El punto dónde se cortan las bisectrices está a la misma distancia de todos sus
lados.
Solución:
a)
b)
c)
d)
Falso, se llama incentro.
Verdad, las de los lados iguales, ya que éste es simétrico respecto a la altura del lado desigual.
Falso, el que cumple esta propiedad es el circuncentro, que es el punto en que se cortan las mediatrices.
Verdad, es el incentro.
23 Construye los siguientes triángulos:
a) a = 5 cm,
b = 8 cm,
ˆ = 20º
b) a = 6 cm, B
,
c = 4 cm
ˆ = 60º
C
Solución:
a)
b)
24
Para conocer la distancia a la que se encuentra una casa (C) situada a la otra orilla del río,
una persona mide 30 metros desde los puntos A y B; mide también
ˆ = 30º , CAB
ˆ = 130º . ¿Puede con estos datos calcular la distancia
los ángulos ABC
a la que se encuentra la casa de A y de B? ¿Por qué?
En caso afirmativo calcúlala ayudándote de regla y transportador.
Solución:
Si se puede, ya que conocidos un lado y los ángulos contiguos, queda determinado un triángulo.
Dibujándolo a escala se obtiene que estas distancias son aproximadamente: 44 metros y 67 metros.
25 Un joyero está diseñando un reloj de forma triangular como el que aparece en el dibujo. Encuentra el centro
de giro de las manecillas de tal forma que la de los minutos sea lo más larga posible.
Solución:
Se trata de encontrar el centro de la circunferencia inscrita y éste es el punto donde se cortan las bisectrices o
incentro.
26 ¿Se puede construir un cuadrado, de lado 5 cm, cuya diagonal mida 6 cm? ¿Qué cuadrado se puede
construir de diagonal 6 cm?
Solución:
La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos isósceles cuyos catetos miden 5 cm y la hipotenusa
será la diagonal del cuadrado = d.
Al ser triángulos rectángulos se verifica el teorema de Pitágoras:
d2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50
62 = 36
Por tanto no puede construirse un cuadrado de lado 5 cm con una diagonal de 6 cm
Para que el cuadrado tenga de diagonal 6 cm:
Lado del cuadrado = x
x2 + x2 = 62  2x2 = 36  x2 = 36 : 2 = 18 ; x = 4,24 cm
27 Observa la figura y, teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, halla el área del cuadrado más pequeño.
Solución:
Por ser la hipotenusa común a ambos triángulos se verifica: que la suma de las áreas de los cuadrados sobre
los catetos, de uno de los triángulos rectángulos, es igual que la suma de las áreas de los cuadrados sobre los
catetos del otro triángulo rectángulo:
Llamando "a" al área del cuadrado pequeño:
2 + 1 = 2,5 + a  a = 0,5 cm2
28 Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 20 cm y 48 cm.
Solución:
El triángulo AOB del rombo es un triángulo rectángulo:
Cateto OA = la mitad de la diagonal grande
Cateto OB = la mitad de la diagonal pequeña
Hipotenusa AB = lado del rombo
Teorema de Pitágoras:
AB2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676  AB = 26 cm
29 ¿Es posible construir un triángulo isósceles en el que el lado desigual sea el triple que cada uno de los
otros dos? ¿Y un triángulo isósceles en el que el ángulo desigual sea el triple de cada uno de los otros?
Justifica las respuestas anteriores y en caso de ser afirmativa alguna de ellas pon algún ejemplo de un
triángulo con esas características.
Solución:
La primera respuesta es negativa ya que la suma de los lados iguales sería menor que el lado desigual.
La segunda respuesta es afirmativa; llamando x a la amplitud de los ángulos iguales, se ha de cumplir que 2x + 3x
= 180;
x=
180
= 36
5
Los ángulos deben medir entonces 36º, 36º y 108º.
30 Dos hermanos quieren repartirse un terreno de forma triangular trazando una línea que divida a éste en dos
triángulos del mismo área. ¿Cómo pueden hacerlo? ¿Cuántas formas diferentes hay de conseguir su
objetivo?
Solución:
Trazando la mediana por uno de sus lados. La altura sobre la base que queda dividida en dos partes iguales será
la misma en el triángulo original que en cada uno de los nuevos triángulos, por tanto, éstos tienen el mismo área.
Puesto que se pueden trazar 3 medianas, habrá 3 formas diferentes de conseguir su objetivo.