Download modulo nº 3

Nº1
UNIVERSIDAD PEDRO DE VALDIVIA
MODULO Nº 3
ASIGNATURA: ESTADÍSTICA
MATERIA PROBABILIDADES
PROFESOR: Carlos Flores Carvajal
.
PROBABILIDADES
La teoría de probabilidad es el factor indispensable para dominar el tema sobre el estudio de
los fenómenos que suceden bajo incertidumbre. A medida que se ha profundizado en su
estudio se ha avanzado en la importancia de los problemas enfocados con esta teoría. Así por
ejemplo se han hecho estudios con fenómenos tales como pesos atómicos, duración de la
radioactividad en los átomos, teorías hereditarias, modelos macroeconómicos, decisiones
administrativas, teorías de astronomía, etc.
Sin embargo en el lenguaje común y corriente se escuchan expresiones tales como “no creo
que llueva esta tarde”; “con las calificaciones que llevo alcanzo de pasar de curso” , “con la
trayectoria política del candidato A, es probable que le gane B”. Cada una estas afirmaciones
implica inseguridad por parte de quien las expresa, puesto que se refiere a la ocurrencia de
fenómenos aleatorios.
EXPERIMENTO,
El término experimento se usa en Estadística en un sentido mucho más amplio que en
Biología, Química y Física. Lanzar un dado, por ejemplo, se considera un experimento
estadístico. Otros ejemplos son: el lanzamiento de una moneda, seleccionar una ampolleta de
flash de una máquina fotográfica de una cierta partida y observar si es defectuosa o no, y
enviar una nave no tripulada a Saturno.
Si bien los experimentos arriba mencionados parecen bastantes dispares, todos tienen dos
propiedades en común. Una de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles
que pueden especificarse de antemano.
EXPERIMENTO
1.- Lanzamiento de un
dado.
2.-. Lanzamiento de una
moneda
3.- Selección de una
ampolleta
4.- Envío de nave a
Martes.
RESULTADOS
POSIBLES
1, 2, 3, 4, 5, 6
Cara, Sello
Defectuosa,
defectuosa
Éxito o fracaso
no
La segunda propiedad es que estamos inciertos acerca del resultado de cada experimento. Al
lanzar un dado, por ejemplo, no sabemos si el resultado será 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.
ESPACIO MUESTRAL
El conjunto que consiste en todos los resultados posibles de un experimento se denomina
espacio muestral; lo designaremos por Ω . A cada elemento de él lo llamamos punto muestral.
Si lanzamos un dado y observamos el número que aparece en la cara superior , por ejemplo,
nuestro espacio muestral. Es Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } cada uno de sus elementos es un punto
muestral.
Nº 2
EJEMPLO Nº 1
Se lanzan simultáneamente dos dados. Determine el espacio muestral.
Solución.
Ω = { ( 1, 1 ) – ( 1, 2 ) – ( 1, 3 ) – ( 1, 4 ) – ( 1, 5 ) - ( 1, 6 )
( 2, 1 ) – ( 2, 2 ) – ( 2, 3 ) - ( 2, 4 ) – ( 2, 5 ) – ( 2, 6 )
( 3, 1 ) – ( 3, 2 ) – ( 3, 3 ) – ( 3, 4 ) – ( 3, 5 ) - ( 3, 6 )
( 4, 1 ) – ( 4, 2 ) – ( 4, 3 ) – ( 4, 4 ) – ( 4, 5 ) – ( 4, 6 )
( 5, 1 ) – ( 5, 2 ) – ( 5, 3 ) – ( 5, 4 ) – ( 5, 5 ) – ( 5, 6 )
( 6, 1 ) – ( 6, 2 ) – ( 6, 3 ) – ( 6, 4 ) – ( 6, 5 ) – ( 6, 6 ) }
Un subconjunto de un espacio muestral se llama Suceso
EJEMPLO Nº 2
Se lanza un par de dados. Enumérense los elementos contenidos en el suceso que la suma sea
4 ó 5.
Solución.
A = { ( 1, 3 ) – ( 1, 4 ) – ( 2, 2 ) – ( 2, 3 ) – ( 3, 1 ) – ( 3, 2 ) – ( 4, 1 ) }
EJEMPLO Nº 3
Un experimento consiste en lanzar dos monedas simultáneamente.
a) Enumérense los elementos del espacio muestral.
Ω = { cara cara, cara sello, sello cara, sello sello }
b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que salga exactamente una cara.
A = { cara sello, sello cara }
C) Enumérense los elementos contenidos en el suceso de que salga al menos una cara.
B = { cara cara, cara sello, sello cara }
CONCEPTO DE PROBABILIDAD.
Se puede considerar la probabilidad como la teoría que tienen que ver con los posibles
resultados de los experimentos. Estos deben ser potencialmente repetitivos, es decir, debemos
ser capaces de reproducirlos bajo condiciones similares. Debe ser posible enumerar cada
resultado que pueda ocurrir, y debemos ser capaces de establecer las frecuencias relativas de
estos resultados.
DEFINICIÓN CLÁSICA O LAPLACE.
PROBABILIDAD = NUMERO DE CASOS FAVORABLES
NUMERO DE CASOS POSIBLES.
Es necesario hacer notar que la probabilidad se designa P. El punto más importante de la
definición clásica de probabilidad es la suposición de una situación ideal en la que la
Nº 3
estructura de la población de una situación ideal en la que la estructura de la población es
conocida; es decir, se conoce el número total ( N ) de resultados.
EJEMPLO Nº 4
Se lanzan simultáneamente dos monedas al aire. Calcular la probabilidad que el resultado sea
2 caras.
Solución
P = Probabilidad
favorables..
# Ω = Número de casos posibles.
Ω = { CC, CS, SC, SS }
# CF
P = -------# Ω
# CF = Número de casos
CF = { CC }
1
= -------4
EJEMPLO Nº 5
Sobre una mesa se tira un dado. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) El número obtenido sea 6.
b) El número obtenido sea menor que 4.
c) El número obtenido sea primo.
d) El número obtenido sea par.
Solución.
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
a) CF = { 6 }
# CF
1
P = --------- = ----#Ω
6
b) CF = { 1, 2, 3 }
# CF
3
1
P = -------- = ----- = -----#Ω
6
2
c) CF = { 2, 3, 5 }
# CF
P = ----------- =
#Ω
d) CF = { 2, 4, 6 }
# CF
P = ----------- =
#Ω
3
1
---------- = -----6
2
3
1
---------- = -------6
2
PROBABILIDAD DE UN SUCESO.
A cada punto muestral ( resultado de un experimento ) se le asignara una ponderación que
mide la posibilidad de su ocurrencia. Esta ponderación se denomina probabilidad del punto
muestral.
Para asignar probabilidades a los diversos puntos maestrales , los estadísticos han convenido
en dos reglas:
Nº 4
1.- La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 y 1.
2.- La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales debe ser igual a 1.
La probabilidad de un suceso A, designada por P ( A ) , es la suma de las probabilidades de
todos los puntos muestrales de A.
NOTA: Los casos favorables equivalen al suceso de interés en estudio.
EJEMPLO Nº 6
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar 3 monedas?
Solución
Ω = { CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS }
y la probabilidad de cada punto muestral es 1 / 8. Como el suceso “obtener exactamente dos
caras” es el subconjunto A = { CCS, CSC, SCC } la probabilidad de A es:
P ( A ) = 1 / 8 + 1/ 8 + 1/ 8
= 3/8
Con base en las dos reglas de que la probabilidad de un punto muestral varía, y de que la suma
de las probabilidades asignadas a todos los puntos maestrales en un espacio muestral de ser 1,
entonces, obtenemos las siguientes conclusiones.
1.- P ( A ) = 1; ya que el espacio muestral es el suceso que contienen a todos los puntos
maestrales.
2.- P ( Ǿ ) = 0 , ya que el conjunto vació es el suceso que no contiene ningún punto
muestral.
3.- P ( À ) = 1 – P ( A ).
EJEMPLO Nº 7
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga en la suma de las pintas un
número par?. ¿Cuál es la probabilidad que no se obtenga en la suma de las pintas un número
par?
Solución
# Ω = 36
A = { ( 1,1 ) – (1, 3 ) - (1, 5 ) - (2, 2 ) - ( 2, 4 ) - ( 2, 6 ) - ( 3, 1 ) - ( 3, 3 )
( 3, 5 ) – (4, 2 ) - ( 4, 4 ) - ( 4, 6 ) - ( 5, 1 ) - ( 5, 3 ) - ( 5, 5 ) - ( 6, 2 )
( 6, 4 ) - ( 6, 6 ) }
#A
18
1
P ( A ) = ---------- = --------- = -------#Ω
36
2
y la probabilidad de que no salga un número par en la suma de las pintas.
P(A) = 1 - P( À ) = 1- ½ = ½
Nº 5
REGLAS DE PROBABILIDAD.
La solución de muchos problemas sobre probabilidad requiere una cabal comprensión de
algunas reglas fundamentales que rigen el manejo de ellos. En general, estas reglas nos
permiten determinar la probabilidad de un suceso si se conocen las probabilidades de otros
sucesos relacionados con el. Las más importantes de estas reglas son: Regla de la Adición y
Multiplicación.
REGLA DE LA ADICIÓN.
Expresa que la probabilidad de que ocurra A o B o ambos es igual a la probabilidad de A más
la probabilidad B menos la probabilidad de que ocurran ambos.
FORMULA.
P(A U B ) = P(A) + P( B) - P( A ∩ B)
EJEMPLO Nº 8
En una tómbola se colocan 15 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 15. Calcular la
probabilidad de que al sacar una de ellas se obtenga un número menor que 7 o un número
impar.
Solución.
Sean los sucesos A: resultado menor que 7.
B: resultado número impar.
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } # Ω = 15
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
P ( A ) = 6/15
B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } P ( B ) = 8/15
A ∩ B = { 1, 3, 5 } P( A ∩ B ) = 3/15
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ) = 6/15 + 8/15 - 3/15 = 11/15
REGLA DE LA ADICIÓN PARA SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Hemos dicho que A y B son mutuamente excluyentes si A ∩ B = Ǿ; en consecuencia.
P(A∩B)= P(Ǿ)=0
Luego, si A y B son sucesos mutuamente excluyentes ( en el
sentido que no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo ), entonces la regla de la adición es:
FORMULA.
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ).
EJEMPLO Nº 9
Determinar la probabilidad de obtener 2 ó 6 al lanzar un dado.
Solución
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Sea A = { 2 }
B = { 6 }
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) = 1/6 + 1/6 = 1/3
Nº 6
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definición: Si los sucesos A y B pertenecen al mismo espacio muestral Ω y si P ( B ) ≠ 0 ,
entonces, la probabilidad condicional de A respecto de B, designada por P( A / B ), se define
como:
P( A ∩ B )
P ( A / B ) = ------------------P ( B ) ≠ 0
P( B )
Probabilidad del suceso A condicionada por el suceso B ( Probabilidad de A sabiendo que ha
ocurrido B.
P( A ∩ B )
P ( B / A ) = ------------------P( A )
P ( A ) ≠ 0
Probabilidad del suceso B condicionada por el suceso A ( probabilidad de B sabiendo que ha
ocurrido A )
EJEMPLO Nº 10
Se lanza un dado, cuyo resultado es número impar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea se
mayor que 2?
Solución
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A : El resultado sea impar.
A = { 1, 3, 5 }
B : El resultado sea mayor que 2.
B = { 3, 4, 5, 6 }
A ∩ B = { 3, 5 } Conjunto de resultados impares mayores de 2.
P( A ∩ B )
P ( B / A ) = ------------------P( A )
=
2/6
-------------3/6
= 2/6 * 6/3= 2/3
Este resultado queda comprobado por el hecho que de los tres resultados impares { 1, 3, 5 },
sólo dos son mayores que 2.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.
En ocasiones, nos encontramos en la necesidad de determinar la probabilidad de ocurrencia
simultánea de dos o más sucesos. Por ejemplo, queremos determinar la probabilidad de
seleccionar en la ciudad una persona que posea título universitario, y que sea propietario de un
automóvil. Se entiende que este problema se diferencia aquél en que la regla de la adición es
aplicable. En vez de estar interesados en determinar la probabilidad de obtener al menos uno
de los resultados posibles, queremos conocer la probabilidad de obtener los dos resultados
simultáneamente. Para obtener este resultado, debemos aplicar la regla de la multiplicación.
P ( A ∩ B ) = P ( B / A ) * P ( A ).
En palabras, la regla de la multiplicación expresa: Dados dos sucesos A y B, la probabilidad
de obtener ambos A y B conjuntamente, es el producto de multiplicar la probabilidad de
obtener uno de los sucesos por la probabilidad condicional de obtener un suceso, dado que el
otro suceso ha ocurrido.
Nº 7
Ejemplo Nº 11
Se sacan dos cartas sin reposición de un naipe inglés de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de
que ambas sean reyes?
Solución
P(A  B)=
4 3
12
 
5 5 2652
P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) * P ( B ).
P ( A  B ) Se llama la probabilidad conjunta de A y B.
P(B) Se llama la probabilidad marginal de B y
P(A/B) es la probabilidad condicional de A dado B.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA SUCESOS INDEPENDIENTES.
Es un caso especial en el que la ocurrencia de A no está en absoluto relacionada con la
ocurrencia de B y viceversa, se dice que los sucesos son independientes.
Cuando los sucesos son independientes, la regla de multiplicación se simplifica a:
P ( A  B)  P( A)  P(B)
Supongamos que se lanza una moneda al aire y tiramos un dado y queremos conocer la
probabilidad de obtener “sello” en la moneda, y un número par en el dado. Como la
1
probabilidad de obtener un sello es , y la de obtener un número par en el dado es de
2
1
1 1 1
entonces: P ( A  B ) =  
2
2 2 4
Ejercicios Propuestos
1.- Se lanzan simultáneamente dos monedas al aire. Calcular la probabilidad que el resultado
1
sea dos caras.
Respuesta
4
2.- Se lanza un dado: Usted gana si el resultado es menor que 4 o divisible por 2. ¿Cuál es la
5
probabilidad de ganar?
Respuesta
6
3.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 5 o un número menor que 2 al
1
lanzar un dado? Respuesta
3
4.- En cierta comunidad, la probabilidad de que una familia tenga un computador es de 0,40
Y un teléfono es de 0’70 y que tengan ambos es de 0,35. ¿Cuál es la probabilidad de una
familia tenga un computador o un teléfono o ambas cosas? Respuesta 0,75
5.- En el centro invernal de Portillo, la probabilidad de nevar el día primero de agosto es 0,55
y la probabilidad de nevar los dos primeros días de agosto es de 0,43. dado que nevó el día
primero, ¿cuál es la probabilidad de nevar al día siguiente? Respuesta 0,78182
Nº 8
6.- Se lanza un dado, cuyo resultado es un número impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea
2
mayor que 2?
Respuesta
3
7.- Una rifa organizada por un curso de un liceo está compuesta por 15 lista (de la A hasta M)
y cada lista por 20 números. Si en una tómbola están las fichas correspondientes a las listas y
en otra tómbola están las fichas correspondientes a los números. ¿Cuál es la probabilidad de
que un alumno que tiene el número 17 de la lista D salga premiado? Respuesta 0,0033
8.- Se lanza al aire una moneda y un dado. Calcular la probabilidad de que la moneda muestre
1
sello y el dado 5. Respuesta
12
9.- Se lanza repetidamente una moneda al aire. Calcular la probabilidad de que a la séptima y
1
a la novena tirada salga cara. Respuesta
4
10 .- Una tómbola contiene 7 bolitas rojas y 3 azules. Se extraen dos bolitas sucesivamente y
sin restitución.
a.- ¿cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean rojas? Respuesta
42
90
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul y la segunda roja? Respuesta
c.- ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda azul? Respuesta
d.- ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean azules? Respuesta
21
90
21
90
6
90
11.- En una encuesta a hogares se elige por sorteo a una familia y se le pregunta si tiene
automóvil. Determinar el espacio muestral.
12.- Se lanzan al mismo tiempo dos dados. Calcular la probabilidad de que la suma de sus
pintas sea mayor o igual a 15.