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Matemá
ática
Panorama de la Matem
Miguel de Guzmán
Índice
Introducción
2
Matemática Fundamental
4
Lógica matemática
4
Teoría de números
5
Análisis combinatorio
6
Álgebra
7
Análisis
9
Geometría
13
La Matemática de las Aplicaciones
16
El Papel de la Matemática en Nuestra Cultura
21
Bibliografía
22
El año 1984 publicó la Editorial Labor una Enciclopedia bajo el título Avances del
Saber. En su tomo 5, dedicado a la Ciencia, Técnica y Cultura, apareció este Panorama de la
Matemática que, aunque ya obsoleto en unos cuantos respectos, tal vez sea útil en la parte que
se refiere a los aspectos generales de la matemática.
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Introducción
¿Qué es la matemática? Ante la dificultad de dar una respuesta
adecuada a esta pregunta, algunos han propuesto: «La matemática es lo que
los matemáticos hacen». No aclara mucho la cuestión, pero no deja de ser por
ello un buen punto de partida. La mejor explicación de lo que la matemática es
en la actualidad se obtiene, efectivamente, penetrando en el taller del
matemático y observando atentamente lo que hace. Por eso, en esta
exposición trataremos, en primer lugar, de recorrer panorámicamente algunas
de las diferentes áreas de actividad de los que actualmente denominamos
matemáticos. Más adelante procederemos a analizar un poco más
profundamente el sentido general de esta actividad.
Se intenta a veces encasillar a los matemáticos en dos grandes grupos,
el de los matemáticos «puros» y el de los «aplicados». Los «puros» serían
quienes sólo se preocupan por el estudio y desarrollo de las estructuras
matemáticas por sí mismas; los «aplicados», aquellos que se enfrentan con las
realidades de la naturaleza que admiten algún modo de tratamiento
matemático, con la intención de entender, explorar y aprovechar tales
realidades mediante el conocimiento que se pueda desprender de dicho
tratamiento matemático al que más o menos se ajusta esa realidad. Así, se
suele hablar de matemática pura y matemática aplicada. El concebir tal división
como dos compartimientos estancos es totalmente inadecuado desde un punto
de vista histórico y altamente perjudicial para el desarrollo de estos dos tipos de
matemática. Los matemáticos más eminentes, Arquímedes, Newton, Gauss,
Poincaré, Hilbert, von Neumann, Weyl.... han desarrollado ambos aspectos de
la matemática, y es claro que un sano desarrollo dé ésta no puede obtenerse
sino mediante una interacción de estos dos tipos de actividad dentro de ella.
El mismo nombre de matemática pura parece implicar una actitud
introvertida y enfermiza, y por ello es preferible describir la actividad alrededor
de las mismas estructuras matemáticas con el nombre de matemática
fundamental, y la de aquellos que consideran especialmente las aplicaciones,
con el de matemática de las aplicaciones. El proceso de interacción entre una y
otra se puede describir del siguiente modo: La naturaleza presenta una realidad
física, química, biológica, social.... que parece deseable explorar y controlar. De
la observación de tal realidad se extrae un modelo matemático al que parece
ajustarse en su funcionamiento. Este modelo se desarrolla con las
herramientas y técnicas matemáticas adecuadas existentes, o bien se crean
estructuras matemáticas nuevas que permitan su conocimiento más profundo.
En este estudio el matemático, empujado por el deseo de conocer en
profundidad la estructura mental que subyace al modelo, va en muchas
ocasiones mucho más lejos de lo que el mero dominio de la realidad inicial
exigiría. Una vez conocido el modelo y las leyes que lo rigen, se trata de
ensayar este dominio conceptual en la realidad de partida. El conocimiento
alcanzado del modelo, en parte tal vez superfluo por el momento, queda
almacenado y quizá algún día será usado.
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En la descripción que sigue de los diferentes campos de la matemática
actual trataremos de indicar específicamente algunos de los puntos en los que
esta interacción se presenta.
Al describir los diversos entornos de la matemática fundamental y de la
matemática de las aplicaciones es necesario tener en cuenta asimismo que la
matemática hoy día constituye una unidad orgánica en la que la
interdependencia entre sus diversos campos es tal vez una de las notas más
llamativas de la matemática contemporánea. No se puede, por ejemplo, hablar
de lógica matemática sin tener en cuenta las modernas ciencias de la
computación, ni de geometría ignorando el análisis.
Al final de nuestro recorrido examinaremos brevemente el sentido
profundo de la actividad matemática y su papel en la cultura humana.
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Matemática Fundamental
La breve descripción que sigue de las diferentes ramas de la matemática
fundamental pretende dar una idea, sin tecnicismos, del espíritu e intenciones
que animan la actividad de quienes trabajan en ellas. Para obtener una idea
más exacta remitimos a la bibliografía al final de este trabajo, donde se pueden
encontrar exposiciones más detalladas escritas por especialistas.
Lógica matemática
La lógica aparece ya desarrollada, incluso en forma simbólica, en la
filosofía de Aristóteles. Sin embargo, corresponde realmente a la segunda
mitad del siglo XIX el reconocimiento de que las operaciones lógicas ordinarias
pueden ser expresadas mediante operaciones algebraicas. Entonces se
comenzó asimismo a sospechar que los números naturales, así como los
demás objetos matemáticos, podrían ser definidos en términos puramente
lógicos.
La motivación principal para muchos matemáticos de los siglos xix y xx
en su dedicación al desarrollo de la lógica fue el deseo de deshacerse de las
paradojas que surgieron en la teoría de conjuntos creada por Cantor. Un
ejemplo: al considerar conjuntos diversos, parece claro que hay conjuntos que
son elementos de sí mismos. Por ejemplo, el conjunto A de todas las cosas que
no son verdes es una cosa no verde y por lo tanto un elemento de A.
Llamemos a estos conjuntos autopertenecientes. Todos los otros conjuntos
serán llamados noautopertenecientes. Asimismo, parece claro que puede uno
considerar
el
conjunto
C
formado
por
todos
los
conjuntos
noautopertenecientes. A continuación nos podemos preguntar si C es un
conjunto autoperteneciente o noautoperteneciente. Pero si C es
autoperteneciente, entonces es elemento de C y, como tal, es
noautoperteneciente. Y si C es noautoperteneciente, entonces C debe ser un
elemento de C, v por tanto C es autoperteneciente. ¿Cómo salir del atolladero?
Es claro que el razonamiento lógico necesita cierto control, si no
queremos ser conducidos a situaciones semejantes. Para saber a qué atenerse
en este respecto se ideó el procedimiento de formalización de los
razonamientos matemáticos: partimos de ciertas proposiciones claramente
establecidas, los axiomas, las manipulamos de acuerdo con reglas de
inferencia bien determinadas e incluso exigiremos que axiomas y reglas sean
representables mediante símbolos cuyo manejo se convierta así en
manipulaciones puramente automáticas. De esta forma, puestos los axiomas y
las reglas de inferencia, se podría comprobar (incluso por medio de una
máquina) si un razonamiento que a partir de los axiomas da lugar a una
proposición se ajusta a las reglas, es decir, si esta proposición es un teorema
demostrable del sistema deductivo.
Durante muchos años se pensó que se podría construir un sistema en el
que todo razonamiento matemático podría ser formalizado y su verdad
controlada de esta forma, al menos en principio. Tal esperanza se derrumbó
con la demostración de Gödel (1931) de que cualquier sistema que incluya la
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aritmética de los números naturales es incompleto, es decir, existen en él
proposiciones que son verdaderas que no pueden ser demostradas dentro del
sistema. El resultado de Gódel constituye uno de los puntos culminantes de la
actividad del siglo XX en lógica matemática, y sus repercusiones en el
pensamiento filosófico y en la teoría del conocimiento actual son
verdaderamente profundas.
Otro de los resultados más importantes del siglo en lógica matemática
consiste en la demostración por Cohen (1963) de la independencia de la
llamada hipótesis del continuo, según la cual no existiría ningún tipo de infinitud
intermedio entre el modo de ser infinito de los números naturales y el de los
números reales, es decir, que el infinito de los números reales es el infinito
inmediatamente superior al de los números naturales. Cohen demostró que
aquí se da una situación parecida a la de las geometrías no euclídeas. Es
posible construir una matemática cantoriana, en la que la hipótesis del continuo
es un axioma, y es posible también construir una matemática no cantoriana, en
la que es un axioma la negación de la hipótesis del continuo.
La lógica matemática tiene, además de esta vertiente abstracta y
filosófica, otra eminentemente aplicada y concreta. Al tratar de reducir el
razonamiento deductivo de una manipulación con símbolos, la lógica prepara el
camino para la introducción del computador en la ciencia. Una teoría
formalizada es una teoría, al menos en principio, enteramente manipulable por
un computador. El trabajo de los lógicos y de los analistas de la computación
tiene, por tanto, mucho en común. Los lógicos se preguntan si ciertos
problemas pueden ser, en principio, reducibles a un algoritmo, o sea, a una
serie de operaciones bien definidas con símbolos, y cómo. El analista de la
computación se pregunta si ciertos problemas pueden ser resueltos mediante
algoritmos en un espacio de tiempo razonable mediante las máquinas
existentes actualmente y cuál es el modo óptimo de hacerlo. Los progresos en
el aspecto abstracto de la lógica pueden conducir a soluciones de los
problemas de la ciencia de la computación, y viceversa.
Teoría de números
La teoría de números, la reina de las matemáticas, como Gauss la llamó,
es tal vez la disciplina matemática más antigua y la que ha ejercido sobre los
hombres de todas las épocas una fascinación más profunda. Está llena de
problemas sin resolver, cuyos términos son perfectamente inteligibles para
todos y que, sin embargo, han desafiado la sagacidad de los matemáticos más
potentes durante siglos. He aquí unos cuantos ejemplos: ¿Es cierto que todo
número par positivo es suma de dos números primos? Ésta es la conjetura de
Goldbach, formulada a comienzos del siglo XVIII. ¿Es cierto que si n es mayor
o igual que 3 no existen tres números enteros positivos x, y, z, tales que
x n + y n =z n? Éste es el llamado teorema de Fermat, del que aún no se ha
llegado a demostrar su verdad ni su falsedad. ¿Existen infinitas parejas de
números primos gemelos, es decir, infinitas parejas de números impares
consecutivos que son primos, como el 17 y el 19, el 71 y el 73... ?
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Un fenómeno característico de la moderna teoría de números es la
versatilidad de sus métodos. De multitud de teoremas en cuyas hipótesis y
conclusiones no entran sino los conceptos de número y sus operaciones
aritméticas no se conocen más que demostraciones basadas en teoremas muy
profundos de la teoría analítica de variable compleja, o de la teoría de la
probabilidad, e incluso de la lógica matemática. Las primeras demostraciones
del teorema de distribución de números primos que afirma que el número de
números primos entre 2 y N cuando N es grande es aproximadamente
N / (1 + 1/2+ 1/3 +1/4+ ... + 1/N)
estuvieron basadas en la teoría de funciones de variable compleja y en la teoría
de la probabilidad.
La actual teoría de números se ha visto enriquecida con la aparición de
las nuevas técnicas de computación automática. Los computadores pueden ser
utilizados en ella experimentalmente, por ejemplo para comprobar que una
conjetura es falsa, y también como una ayuda en los métodos de demostración
allí donde los razonamientos se ramifican más allá de las posibilidades de la
mente humana sin una ayuda.
Análisis combinatorio
La cuestión fundamental del análisis combinatoria es la siguiente: ¿De
cuántas maneras diferentes se puede realizar una determinada tarea? Por
ejemplo: una secretaria tiene escritas diez cartas diferentes para diez personas
diferentes. Ha escrito también en diez sobres las señas de estas personas.
¿De cuántas formas diferentes puede equivocarse al meter las cartas en los
sobres? Tales problemas son a menudo fáciles de enunciar y difíciles de
resolver, requiriéndose, en general, ni más ni menos que lo que Gauss llamó
un contar inteligentemente. Un mapa plegable de Madrid que tiene tres
dobleces verticalmente y cuatro horizontalmente, ¿de cuántas maneras
diferentes se puede plegar? El problema general, que pide una fórmula que dé
el número de maneras diferentes de doblar un mapa conocido el número de
pliegues está aún por resolver.
Uno de los problemas abiertos durante más de siglo y cuarto es el de los
cuatro colores. Está a medio camino entre la combinatoria y la topología. Se
trata de colorear un mapa con el menor número posible de colores de tal modo
que dos países adyacentes no tengan el mismo color. Es muy fácil ver que tres
colores no bastan en general y se puede demostrar que cinco son suficientes
para colorear adecuadamente cualquier mapa. ¿Se puede hacer con cuatro? El
problema, resuelto afirmativamente en 1976 por Appel y Haken, con la ayuda
esencial del computador, ha abierto, como veremos más adelante, profundos
interrogantes sobre la naturaleza misma de la demostración matemática.
Es sorprendente el número de campos de la ciencia v de la tecnología
en los que se plantean problemas combinatorios y se aplican sus resultados.
La genética, la bioquímica, la mecánica estadística, el diseño de circuitos, la
teoría de lenguajes de programación... se aprovechan de los resultados
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obtenidos en esta área de la matemática. El del viajante es uno de esos
problemas en que la aplicabilidad de la teoría es bien patente. Se trata de
establecer el itinerario más económico que un viajante comercial puede seguir
en su visita por un número de ciudades, teniendo en cuenta el gasto que el
desplazamiento de una a otra le supone.
Álgebra
Las tres secciones clásicas de las matemáticas son el álgebra, el
análisis y la geometría.
El álgebra clásica tiene que ver con la solución de las ecuaciones
familiares de primero, segundo, tercer grado, etc… y en este sentido el álgebra
tiene ya más de cuatro mil años de antigüedad. El florecimiento del álgebra
moderna es cosa de los últimos cincuenta años. El álgebra moderna estudia las
estructuras algebraicas que vienen a ser sistemas de elementos con
operaciones semejantes a las que se pueden realizar con los números enteros,
racionales, reales, complejos. El estudio abstracto de tales estructuras
representa una enorme economía de pensamiento, ya que aparecen repetidas
muchas veces en muy diversas áreas de una forma natural. Los teoremas
demostrados sobre la estructura abstracta son así inmediatamente aplicables.
Por otra parte, tal estudio pone de manifiesto la unidad profunda de los
diversos campos de la matemática.
Un sistema de elementos entre los que se pueden realizar dos
operaciones que siguen las mismas leyes formales de la multiplicación y
adición entre números racionales se denomina un cuerpo. Hacia 1830, Galois
descubrió la existencia de cuerpos con un número finito de elementos. Si p es
un número primo, consideramos los elementos 1, 2, 3.... p-1. El «producto» de
dos de estos elementos a, b es definido como el producto ordinario cuando
éste es menor que p. Si es p o mayor, entonces dividimos por p y tomamos el
resto de esta división como «producto» de a y b. Análogamente se define la
«suma». «Producto» y «suma» así definidos siguen las leyes formales de la
adición y producto ordinarios entre números racionales. El opuesto de 2 es p-2,
ya que 2 «más» p-2 es 0 y el inverso de 2 es el elemento h de nuestro conjunto
tal que 2 por h da como resto 1 al dividirlo por p. Son muchos los conjuntos en
matemáticas que aparecen de modo natural y que poseen la estructura de
cuerpo. Los números reales, los números complejos, las funciones racionales,
es decir, las de la forma P(x)/Q(x), donde P y Q son polinomios de coeficientes
reales, Q distinto del polinomio 0, etcétera.
La teoría de cuerpos estudia, por ejemplo, la estructura del cuerpo K
formado al adjuntar a un cuerpo inicial F un nuevo elemento raíz de un
polinomio con coeficientes del cuerpo F.
Un anillo es un conjunto de elementos con dos operaciones que se
comportan como la adición y multiplicación ordinarias entre enteros. Es decir,
es como un cuerpo, salvo que no todo elemento tiene un inverso respecto de la
multiplicación, o sea, un elemento tal que multiplicado por él resulte la unidad.
También puede suceder que el anillo no sea conmutativo, esto es, que el
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producto de dos elementos dependa del orden en que se multipliquen. El
conjunto de las matrices n x n forman un anillo no conmutativo. Como se sabe,
una matriz no tiene inversa si su determinante se anula. Los anillos surgen de
modo natural en álgebra, análisis y en otros campos. La teoría de anillos es
una herramienta importante en la matemática actual.
El campo del álgebra moderna que más aplicaciones encuentra en otras
ramas de la ciencia, como la física, estadística, ingeniería, análisis numérico,
ciencias sociales..., es el álgebra lineal. La motivación de su desarrollo fue el
tratamiento de las ecuaciones lineales, y su creación principal es el espacio
vectorial. La mejor imagen del espacio vectorial es el manojo de todas las
flechas posibles con su base fija en un punto, definiendo como suma de dos
flechas la flecha diagonal del paralelogramo que determinan, y como producto
de una flecha por un número real positivo, la flecha en la misma dirección y
sentido que la dada con una longitud igual a la de la dada multiplicada por
dicho número. Si el número es negativo se cambia primero de sentido a la
flecha dada. Si fijamos tres flechas perpendiculares dos a dos, es claro que
cualquier flecha queda determinada si se conocen las tres proyecciones
ortogonales de la punta de esta flecha sobre las tres flechas fijadas. El conjunto
de flechas con esta estructura, operaciones de suma y de multiplicación por un
número real, es un espacio vectorial de dimensión 3. Se puede ampliar esta
concepción y obtener un espacio de dimensión 4, 5, 7, etc., y aun de dimensión
infinita. El álgebra lineal estudia principalmente los espacios vectoriales de
dimensión finita. Muchos de sus resultados son válidos para espacios de
dimensión infinita, cuyo estudio es objeto del análisis funcional.
La estructura algebraica más fundamental, y la más simple, es la de
grupo. Un grupo es un conjunto de elementos con una operación que relaciona
cada dos de ellos de la misma forma que la suma ordinaria relaciona los
enteros, excepto que en general no se requiere que esta operación sea
conmutativa. Tomemos como elementos A, B, C y definamos una operación
entre cada dos de ellos mediante la tabla
*
A
B
C
A
A
B
C
B
B
C
A
C
C
A
B
Resulta así un grupo. Otro es el conjunto de los números enteros con la
operación ordinaria de suma. Ambos son conmutativos. El primero tiene orden
3, es decir, el número de sus elementos es 3, tiene orden finito. El conjunto de
las matrices de números reales 2 x 2 con determinante distinto de cero
constituye, con la operación de multiplicación ordinaria de matrices, un grupo
no conmutativo.
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Un problema, por largo tiempo abierto, en teoría de grupos ha consistido
en establecer cuál es la estructura básica de todos los grupos de orden finito,
reduciéndolos a sus piezas fundamentales, que son los llamados grupos
simples. El problema ha sido concluido, tras muchos años de trabajo y
mediante la colaboración de docenas de algebristas contemporáneos, el año
1980.
La importancia de la teoría de grupos en matemáticas y sus aplicaciones
es inmensa, y su aparición en todos los campos es probablemente debida a
que los grupos describen matemáticamente la simetría existente en las
estructuras matemáticas, científicas, tecnológicas e incluso artísticas. Galois, el
iniciador de la teoría, descubrió que las raíces de las ecuaciones de grado 2, 3,
4, poseen un tipo de simetría que no se presenta en general en las de las
ecuaciones de quinto grado. Ésta es la razón profunda por la que, mientras la
ecuación general de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 admite una expresión
sencilla mediante radicales para expresar sus soluciones,
b ± b2
2a
4ac
así como también las de tercero y cuarto grado, sin embargo esto no es posible
para la de quinto grado. La teoría de grupos ha sido utilizada, con enorme
éxito, en cristalografía, espectroscopia, teoría de iones inorgánicos complejos,
mecánica cuántica, y se espera que sus resultados puedan aclarar muchos
problemas oscuros en la frontera de la física actual.
Análisis
La más reciente de las tres grandes ramas clásicas, el análisis, es hija
directa del cálculo, la gran invención que encontró una forma manejable en el
siglo XVII, gracias sobre todo a los esfuerzos de Newton y Leibniz, y que
constituyó la herramienta indispensable para la física moderna.
La filosofía subyacente en el cálculo se puede entender del modo que
sigue. Deseamos estudiar cómo se desarrolla un proceso complicado que
aparece en la naturaleza, en una máquina, en la sociedad o tal vez en un
mundo matemático ideal. Analizamos primero lo que ocurre «localmente», es
decir, en una porción pequeña, para un cambio pequeño de tal o cual variable
del fenómeno. Al proceder así tal vez podamos aplicar algún principio
característico del proceso que nos permita una formulación matemática del
modo como se relacionan las diferentes variables del proceso. Tal formulación
aparece a menudo en forma de ecuaciones diferenciales, es decir, ecuaciones
en las que figura una función y sus derivadas y se desea saber cómo o cuál es
la función o funciones que la satisfacen. Al hacerlo sabremos cómo se
comporta el fenómeno, no ya "localmente", sino "globalmente".
Por ejemplo, tenemos un cultivo de bacterias y deseamos saber cómo
evoluciona la cantidad B de bacterias al transcurrir el tiempo t, o sea, cuál es la
función B(t) que indica la cantidad de bacterias en cada instante t. ¿Qué
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sabemos o qué podemos suponer sobre la evolución del proceso? En
circunstancias razonables podemos suponer que la cantidad de bacterias que
se producen en un intervalo de tiempo, desde el instante t al instante t+h, es
proporcional a la duración h del intervalo y a la cantidad de bacterias que hay
en el cultivo en un instante de ese intervalo. El problema consiste en que, a
menos que h sea pequeño, esta cantidad puede variar mucho de instante t
instante dentro del intervalo. Sin embargo, si h es pequeño podemos decir que
B(t+h) es aproximadamente B(t) +kh B(t), siendo k una constante de
proporcionalidad del crecimiento, un número característico del tipo de bacteria.
Así podemos decir que (B(t + h) - B(t))/h es aproximadamente k B(t), y cuando
se hace decrecer h, resulta, B’(t) = k B(t), que es la ecuación diferencial que
formula matemáticamente el desarrollo local del proceso. Es fácil ver que todas
las soluciones de esta ecuación diferencial son de la forma B(t)=C e (kt) siendo
C una constante arbitraria. Si en nuestro problema sabemos cuál es la cantidad
B(0) de bacterias en el instante en que comenzamos a contar el tiempo,
entonces B(0)=C, y así B(t) = B(0) e (kt) nos da la expresión matemática global
del fenómeno.
Los casos en los que de la ecuación diferencial, que expresa el
desarrollo local del fenómeno, se pueda pasar a escribir una fórmula, como
acabamos de hacer, que exprese el desarrollo global son escasos. En la mayor
parte de los casos esto no es posible y hay que contentarse con tratar de
demostrar que existe solución y de dar, mediante el estudio de la ecuación
diferencial misma, un procedimiento de cálculo que permita al computador en
tiempo razonable proporcionarnos una solución numérica del problema. Para
efectos prácticos, esto es suficiente. Así, por ejemplo, es posible escribir el
conjunto de ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de los astros del
sistema solar y calcular y predecir los eclipses y demás fenómenos que tendrán
lugar.
Sin embargo, hay cuestiones que necesitan otros métodos matemáticos.
Por ejemplo, ¿conservará el sistema solar su estructura general
indefinidamente, es decir, es un sistema estable, o bien puede ocurrir que, por
ejemplo, por un estallido de alguno de sus planetas, se provoque una
aglutinación de todo el sistema con el Sol? Este es un nuevo tipo de cuestiones
para el que se han ideado en el siglo XX nuevos métodos matemáticos que han
encontrado un sinfín de aplicaciones en diversos campos de la tecnología, tales
como el estudio de servomecanismos, control de sistemas mecánicos,
económicos, biológicos...
El campo de las ecuaciones diferenciales es amplísimo. Las ecuaciones
diferenciales en las que se busca una o varias funciones de una sola variable
se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias. Aquellas en las que se busca
una o varias funciones de varias variables, apareciendo las derivadas parciales
de ellas con respecto a sus diversas variables, son ecuaciones en derivadas
parciales. En ambos casos pueden ser ecuaciones lineales, que corresponden
a situaciones en las que la respuesta del sistema bajo estudio es proporcional
al estímulo introducido en él, o bien ecuaciones no lineales, en las que no
existe tal proporcionalidad. Con frecuencia las ecuaciones lineales constituyen
una aproximación suficiente a la realidad, pero en determinadas ocasiones la
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naturaleza se comporta de modo decisivamente no lineal. El flujo de fluidos
compresibles, el flujo viscoso, la magnetohidrodinámica y la física del plasma
son ejemplos de no linealidad. La teoría de ecuaciones no lineales constituye
uno de los campos más atractivos hoy día dentro del análisis.
Como casi todos los campos de la matemática actual, el de las
ecuaciones diferenciales se enriquece y fertiliza con elementos que provienen
de multitud de áreas diferentes, como la geometría, la topología y el álgebra.
La teoría de las funciones de variable compleja constituye otro de los
campos importantes del análisis actual. El número complejo se introdujo para
unificar y armonizar diversos resultados del álgebra y del cálculo. Así, por
ejemplo, las funciones trigonométricas y la función exponencial se unifican
cuando se introducen como funciones de variable compleja. La teoría de
funciones de variable compleja se centra en el estudio de las funciones
analíticas, es decir, de las funciones que son representables mediante una
serie de potencias. Constituyen así la generalización más cercana de un
polinomio y por ello su estructura es particularmente rica en propiedades y
armoniosa en su conjunto. La aplicabilidad de esta rama en campos tan
diversos como la teoría de números, dinámica de fluidos, ingeniería eléctrica y
física de alta energía constituye una incesante fuente de asombro. La teoría de
funciones de varias variables complejas es probablemente uno de los campos
de desarrollo más prometedores en la actualidad.
El análisis armónico comenzó con el estudio matemático de la cuerda
vibrante. D. Bernoulli, en el siglo XVIII, lo abordó tratando de representar su
movimiento como superposición de movimientos armónicos fundamentales, es
decir, de movimientos representables por funciones trigonométricas. Más
adelante Fourier, en el siglo XIX, estudió la ecuación diferencial que rige la
conducción del calor mediante el mismo método y así el análisis fundado en
este principio vino a llamarse también análisis de Fourier. Este modo de
representación de funciones, así como los métodos que su desarrollo ha
motivado constituyen una de las herramientas más poderosas, en la práctica y
en la teoría, para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Por otra parte, las
dificultades que, desde el punto de vista conceptual, han señalado
particularmente la teoría y sus refinamientos posteriores han conducido a la
clarificación y desarrollo de una gran porción del análisis moderno. El concepto
de función, el de integral de Riemann, el de integral de Lebesgue, la teoría de
conjuntos de Cantor y más modernamente la teoría actual de distribuciones o
funciones generalizadas, han sido motivadas en buena parte por el desarrollo
natural del análisis armónico.
El análisis funcional es una de las áreas más recientes del análisis
matemático. Su desarrollo corresponde al siglo actual, especialmente a partir
de los años treinta. El problema inicial, propuesto por Fredholm en 1903,
consistió en tratar de hallar una función u(t) definida en el intervalo [a, b] y con
valores reales tal que para todo valor de x se tenga
f ( x) = (k ( x, t )u (t ), t , a, b)
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donde f es una función dada y k otra función conocida de dos variables.
Fredholm redujo el problema a la resolución de un sistema de infinitas
ecuaciones lineales con infinitas incógnitas. Así como el espacio vectorial de
dimensión finita es el entorno adecuado para dar una visión geométrica del
significado de un sistema de un número finito de ecuaciones lineales, el
espacio vectorial de dimensión infinita es el ámbito adecuado para este otro
problema. Las funciones son ahora los puntos de este espacio (obsérvese que
los puntos (asub1, asub2, asub3) del espacio tridimensional son en realidad
funciones reales definidas en el conjunto que tiene por elementos 1, 2, 3). Se
puede introducir una distancia y se puede hablar de ángulos, obteniéndose así
una réplica muy ajustada del espacio de nuestra intuición geométrica. Tal es el
espacio de Hilbert en el que el análisis funcional se mueve. Los principales
objetos de estudio son los operadores, que constituyen la contrapartida de las
matrices cuadradas, o rectangulares, correspondientes al espacio de dimensión
finita como representación de un sistema de ecuaciones lineales. Los
problemas para los que el análisis funcional fue creado provienen de
ecuaciones tales como la de Fredholm, mencionada arriba, denominada
ecuación integral, ya que la incógnita figura bajo el signo integral, ecuaciones
diferenciales y en derivadas parciales, etc… Muy poco después de la creación
del espacio de Hilbert se observó que éste constituía el marco apropiado de la
llamada mecánica cuántica. Schrödinger y Heisenberg propusieron dos
descripciones al parecer matemáticamente distintas de ciertos hechos
observados experimentalmente. Poco después se observó que, interpretadas a
la luz del espacio de Hilbert, las dos teorías no eran sino representaciones
equivalentes de un mismo operador.
La teoría de la probabilidad debe concebirse actualmente como una
rama de la matemática clásica emparentado con el análisis más que con
ninguna otra. Nacida en el siglo XVII como una colección de frívolas
consideraciones sobre los juegos de azar, y durante mucho tiempo considerada
como una disciplina carente de rigor, se ha desarrollado un poco al margen de
las otras disciplinas matemáticas. Hoy día, sin embargo, la interacción de la
teoría de la probabilidad con los campos aparentemente más distantes, incluida
la geometría y la teoría de números, es sorprendente. Uno de los lazos de
conexión más importantes es la teoría de procesos estocásticos, de los que el
ejemplo más importante es el movimiento browniano. Éste es la réplica
matemática del movimiento de una partícula de un líquido en suspensión que
choca aleatoriamente con las otras partículas. Los métodos probabilísticos
parecen invadir actualmente casi todos los campos matemáticos, e incluso han
sido utilizados como método de demostración en lógica.
Las aplicaciones directas de la teoría de la probabilidad son
innumerables. Multitud de problemas tecnológicos han estimulado desarrollos
basados en ella, tales como la teoría de la información, de la decisión, teoría de
caminos aleatorios, ecuaciones diferenciales estocásticas, etc. Con el dominio
de la incertidumbre que la teoría de la probabilidad nos proporciona, es
ventajoso en ocasiones, cuando un problema determinístico es demasiado
complicado, prescindir de ciertas piezas de información, tratarlo como si fuese
un problema estocástico, aleatorio, y utilizar la solución así obtenida a través de
métodos probabilísticos. Todas las ciencias naturales y sociales, por otra parte,
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hacen uso cada vez mayor de la estadística, hija de la teoría matemática de la
probabilidad.
Geometría
La geometría ha sido a lo largo de la historia de la matemática la matriz
en la que se han gestado los más profundos desarrollos de esta ciencia. La
idea de sistema matemático aparece bien perfilada en la fundamentación
geométrico de los Elementos de Euclides. La idea profunda de Descartes de
enlazar los desarrollos algebraicos y geométricos posibilitó el desenvolvimiento
del cálculo infinitesimal. Las geometrías no euclídeas del siglo XIX condujeron
a una verdadera revolución en la fundamentación de las matemáticas. Se
puede afirmar que casi el total de las matemáticas de ayer y de hoy se
encuentran invadidas por el sentido geométrico. Así la topología, las
ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la teoría de variable compleja...
Y no podía ser de otro modo, dado el carácter, eminentemente visual y espacial
de una gran porción de nuestra intelección matemática y dada nuestra
tendencia manifiesta a aclarar nuestras ideas más abstractas de forma intuitiva
y gráfica. Este sentido geométrico se encuentra cultivado hoy día de modos
concretos muy diferentes. Describimos a continuación algunas de las ramas
específicas de la geometría actual.
La geometría algebraica se preocupa de la interpretación geométrica de
sistemas de ecuaciones algebraicas. Una ecuación algebraica x 2/9 + y 2/4 =1 se
puede considerar como representación de una elipse. Cuando se tiene un
sistema de ecuaciones algebraicas con varias variables, el estudio de todas
sus soluciones se complica extraordinariamente y es preciso ampliar el campo
del álgebra clásica y de la geometría analítica clásica, acudiendo a ecuaciones
en las que los coeficientes son elementos de cuerpos o anillos más generales y
a representaciones en espacios de mayor dimensión. La geometría algebraica
es uno de esos campos de la matemática donde se manifiesta claramente la
unidad profunda de esta ciencia. Muchos de los problemas en teoría de
números, por ejemplo el llamado ultimo teorema de Fermat, se puede expresar
y tratar de dilucidar como un problema en geometría algebraica: sea n entero
mayor que 2; se considera la superficie algebraica x n + y n = z n del espacio
tridimensional. ¿Existen sobre ésta superficie puntos (a, b, c) con coordenadas
enteras distintos de los puntos (0, 0, 0), (0, 1, l), (1, 0, 1)?
La geometría diferencial representa el maridaje del cálculo y la
geometría, así como la geometría algebraica constituía el de la geometría con
el álgebra. Cuando en el siglo XIX se percibió la utilidad de introducir espacios
de dimensión superior a 3, el sentido intuitivo se perdió y, sin embargo, era
clara la necesidad de manejar conceptos análogos a los de área, volumen...
Esto originó la urgencia de despojar tales nociones de su contenido intuitivo y
de abstraer de ellas el significado abstracto que permitiese trasladarlas a otros
espacios. La liberación así obtenida dio lugar a instrumentos poderosos, como
el cálculo tensorial, que en un principio se consideraron superfluos y estériles.
Pero cuando Einstein necesitó expresar sus ideas sobre la relatividad
generalizada, en el cálculo tensorial de Ricci encontró preparada la herramienta
adecuada a sus necesidades.
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El sabor geométrico es evidente en el estudio de la topología conjuntista,
originada en gran parte por la necesidad de sistematizar la aparición de
conjuntos extraños a fines del siglo XIX y comienzos del XX en ciertas zonas
fronterizas del análisis, geometría analítica y teoría de conjuntos. El fenómeno
es recurrente en la historia de la matemática. Los «monstruos» de un día
resultan ser los pobladores naturales de unos cuantos años después. Las
curvas carentes de tangente en todo punto, la curva de Peano cuya gráfica
pasa por todos los puntos de un cuadrado, y otros entes semejantes fueron
para Poincaré engendros antinaturales de los que habría que apartarse con
horror. Una vez sometidos a una ordenación racional, lo que antes fue caos se
convirtió en cosmos lleno de esplendente belleza y de gran utilidad. La
topología conjuntista lo logró gracias a una nueva liberación realizada en
nuestra intuición espacial, despojándola esta vez de toda consideración
cuantitativa, tratando de dominar racionalmente de modo intrínseco la noción
de cercanía y estableciendo para ello unos axiomas propios que lo
posibilitaran.
La topología algebraica actual es el descendiente directo de lo que se
llamó en principio analysis situs y más tarde topología combinatoria. Trata de
estudiar propiedades de figuras geométricas que no varían por deformaciones
continuas. El sabor de los problemas de los que se ocupa puede apreciarse
con claridad en el problema de los puentes de Königsberg que ocasionó el
nacimiento de la disciplina con un famoso artículo de Euler, y en el antiguo
problema de las tres granjas y los tres pozos. Uno de los resultados más
profundos de la teoría y con más aplicaciones en el análisis es el teorema del
punto fijo de Brouwer, que afirma que cada transformación continua de una
esfera sólida en sí misma deja invariante al menos un punto. La topología
algebraica trata de describir las características y propiedades de las figuras
mediante la distinción de las diferentes combinaciones en que se pueden
presentar los elementos fundamentales (símplices) a que tales figuras se
reducen. Los símplices son los triángulos para figuras de dimensión 2,
tetraedros para figuras de dimensión 3... Los problemas del antiguo analysis
situs han sido hoy día reducidos en gran parte a problemas algebraicos y por
ello el nombre de este campo ha pasado a ser topología algebraica.
La topología diferencial estudia las figuras geométricas describiéndolas
al modo como un atlas describe la superficie terrestre mediante la colección de
todos los mapas que aparecen en cada una de sus páginas. Cada mapa es, en
la topología diferencial, una representación local diferenciable, al modo de la
geometría analítica de una parte de la superficie. Los mapas correspondientes
a regiones continuas deben solaparse, y en el solapamiento deben coincidir o
darse una regla para saber cómo se pasa de la representación de un mapa a la
del otro. Recientemente se ha demostrado (Milnor, 1952) que existen figuras
relativamente sencillas (por ejemplo, la esfera de dimensión 7), cuya
descripción por los métodos de la topología algebraica es única, que admiten,
sin embargo, varias representaciones esencialmente diferentes desde el punto
de vista de la topología diferencial. Esto señala claramente la autonomía e
independencia de la topología diferencial con respecto a la algebraica. En la
topología diferencial se manifiesta de nuevo patentemente la unidad de la
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matemática, pues a ella aportan elementos importantes la geometría
diferencial, la teoría de ecuaciones diferenciales y la geometría algebraica.
Existen otras formas de geometría, tales como la geometría de cuerpos
convexos, la teoría de grafos, etcétera, que han recibido en los últimos tiempos
un impulso especial debido al gran número de aplicaciones que de ellas se
derivan.
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La Matemática de las Aplicaciones
En el fondo de la actividad matemática subyacen motivaciones muy
variadas que, lejos de ser antagónicas, se complementan profundamente. La
matemática nació con el intento de explorar las armonías y recurrencias del
universo físico en las culturas mesopotámicas y se hizo adulta en el mundo
griego constituyéndose en ciencia, en enseñanza (mazesis) por antonomasia,
en método de pensamiento. Ha sido cultivada como disciplina formativa del
pensamiento, como matriz de estructuras mentales bellas y armoniosas, como
modelo y dechado de conocimiento... Pero, especialmente desde los tiempos
de Galileo, su desarrollo ha estado íntimamente ligado con aquellos fenómenos
del mundo físico en los que el hombre ha estado interesado, guiando al mismo
tiempo este interés al proporcionarle herramientas que de algún modo
posibilitan el acceso del conocimiento humano a tales fenómenos. El progreso
del pensamiento colectivo del hombre manifiesta así una profunda unidad. La
que hemos llamado matemática fundamental está fuertemente condicionada en
su desarrollo, lo hemos podido observar, por los problemas internos propios de
cada campo, pero no deja de experimentar en los puntos de cambio de rumbo
de su trayectoria la robusta influencia que ha ejercido sobre ella la posibilidad,
siempre presente, de su utilización para la exploración de nuevos fenómenos.
¿Dónde se detecta especialmente en la matemática contemporánea esta
interacción profunda con la intención exploratoria del entorno del hombre? No
se puede pretender aquí realizar una enumeración exhaustiva de los
numerosísimos puntos de todas las ciencias actuales en que se proponen a la
matemática problemas propios y muy profundos que están estimulando la
elaboración de herramientas matemáticas originales para su tratamiento.
Citaré, a modo de ejemplo, tan sólo algunos campos en que esta interacción es
más fuerte y patente y en los que probablemente quedará determinado un
nuevo rumbo para la matemática del futuro.
La física matemática ha sido y sigue siendo el campo de las aplicaciones
en que esta interacción alcanza su mayor amplitud y profundidad. Tanto es así,
que durante mucho tiempo la matemática aplicada ha sido sinónimo de física
matemática. Tal vez una de las características más importantes de nuestros
días en este terreno consista en que los avances del análisis matemático actual
han comenzado a hacer posible una aproximación no lineal a fenómenos que
no son lineales y que en tiempos pasados, o no pudieron ser tratados en
absoluto, o fueron tratados en una primera aproximación burda como si fuesen
lineales, por carecerse de herramientas suficientemente poderosas para
enfrentarse con el fenómeno en toda su complejidad.
Uno de los impactos más llamativos, en las ciencias contemporáneas y
en nuestra cultura en general, de los desarrollos matemáticos de nuestros días
ha corrido a cargo de la estadística. El desarrollo de la teoría de la probabilidad
y su aplicación a los fenómenos aleatorios han conseguido crear una
matemática que en cierto modo logra dominar y manejar con acierto la
incertidumbre misma. Lo que originariamente aparece como caos regido por el
azar y opaco a la intelección, la estadística lo ordena y lo somete finalmente a
leyes aleatorias que arrojan sobre los fenómenos una luz tan intensa como la
que las leyes determinísticas de la física matemática irradian sobre los objetos
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a los que se aplican. Un enorme número de ciencias y técnicas se han
beneficiado de esta iluminación y dominio de la incertidumbre que la estadística
proporciona. Entre ellas la biología, la medicina, las técnicas y ciencias
económicas, la investigación sobre la producción industrial y sobre mercados,
la psicología, la sociología, la antropología, la lingüística...
En las complejas realidades que muchas de las ciencias y técnicas
modernas pretenden considerar desde el punto de vista matemático existen
unos cuantos elementos comunes que van agrupándose de modo natural para
formar un todo coherente que aún no ha encontrado una plena sistematización.
Se suele conocer con el nombre genérico de optimización, y engloba un
conjunto abigarrado de técnicas y problemas modernos, tales como la teoría de
sistemas, programación lineal, teoría de grafos, problemas de distribución,
programación dinámica, control óptimo... El desarrollo de todos estos temas,
como veremos, ha sido profundamente influenciado por el advenimiento del
computador y el desarrollo de las ciencias de la computación, como se
comprende fácilmente por la descripción que sigue.
Lo que los diferentes científicos entienden por teoría de sistemas suele
ser muy diverso. Una estructura complicada con múltiples elementos cuyo
papel y dinamismo dentro de ella ha sido bien definido y, si es posible,
cuantificado, constituye un sistema. Los problemas del sistema pueden ser,
naturalmente, enormemente variados, desde el conocimiento ulterior de su
estructura a partir de una tosca aproximación cuantitativa inicial que permita
analizar más a fondo su funcionamiento, como puede suceder con un sistema
lingüístico, hasta la determinación exacta del mejor funcionamiento posible del
sistema, como puede apetecer el científico que estudia un sistema biológico,
económico o mecánico. Existen algunas teorías matemáticas parciales bien
elaboradas que han tenido profunda influencia sobre el desarrollo de diversas
ciencias modernas, como la economía, ingeniería, etc. Una de ellas es la teoría
de juegos de Von Neumann y Morgenstern (1944), que ellos aplicaron con
cierto éxito a la conducta económica. En ella se comienza por analizar
matemáticamente juegos de estrategia, es decir, juegos en los que no sólo
interviene el azar, sino también decisiones controladas por los participantes. No
se trata, pues, del clásico análisis de un juego casi de mera suerte, como la
ruleta o los dados, sino de juegos semejantes en su estructura al mus o al
poker, en los que intervienen además decisiones mucho más personales
basadas en ciertas informaciones como la historia y psicología de los demás
contrincantes, etc. Fácilmente se comprende que tales juegos constituyen una
simplificación de situaciones reales de tipo económico, social, político,
estratégico, y de ahí el interés que este análisis puede tener.
Con la programación lineal se estudia el problema consistente en
encontrar el máximo de una función lineal de muchas variables sujetas a
ciertas restricciones especificadas mediante desigualdades asimismo lineales.
En 1947 Dantzig obtuvo un método mediante el cual problemas bien complejos
de este tipo se pueden programar y resolver con el computador moderno. Una
gran cantidad de aplicaciones industriales y comerciales pusieron de manifiesto
bien pronto el interés de la teoría y enseguida fue generalizada con la
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elaboración de herramientas adecuadas para tratar también problemas no
lineales.
La teoría de grafos es otra herramienta de valor universal en muchas de
las ciencias y técnicas actuales. Un grafo es sencillamente un conjunto de
puntos y unos cuantos arcos que los unen. Los problemas abstractos que la
teoría considera nacieron como juegos de niños. ¿Se puede trazar el grafo
recorriendo todos sus vértices una sola vez? ¿Se puede trazar el grafo sin
levantar el lápiz del papel y sin recorrer un mismo arco dos veces? ¿Cuál es el
camino más corto de un punto a otro a través de los arcos del grafo? Suenan
fáciles estas cuestiones, pero hay en ellas una simplicidad engañosa, pues
muchas de ellas están aún sin resolver. Por ejemplo, el «problema del viajante»
consiste en lo siguiente: un viajante de comercio de una firma de Barcelona
tiene por tarea ofrecer sus productos en 25 ciudades distintas de España. Los
desplazamientos de una ciudad a cada una de las otras le ocasionan ciertos
gastos que le son bien conocidos. Se trata de obtener el itinerario adecuado
que haga mínimo su gasto total en desplazamientos, saliendo de Barcelona y
volviendo allí mismo. Cuando las ciudades son pocas, se puede pensar en un
cómputo exhaustivo de todos los posibles itinerarios, y, aprovechando la
potencia actual de las calculadoras, se puede pensar en hacerlo para un
número respetable de ciudades. Pero cuando este número se eleva, por
ejemplo a 50, aun los ordenadores actuales más potentes son insuficientes.
Hasta ahora no se conoce ningún algoritmo para el cálculo efectivo del
itinerario óptimo del viajante que haga posible la resolución del problema con
las calculadoras actuales en tiempo razonable cuando el número de ciudades
es grande.
La programación dinámica se propone encontrar la mejor manera de
realizar una tarea compleja que depende de una sucesión temporal de
decisiones. El principio de optimalidad sobre el que se basan algunas de sus
consideraciones consiste en la sencilla observación de que un camino que ha
de llevarnos de A a D y del que sabemos que ha de pasar por B y C
sucesivamente será óptimo cuando lo sean, desde el mismo punto de vista, el
camino de A a B, el de B a C y el de C a D. Es decir, el camino óptimo lo ha de
ser también localmente. Esta sencilla observación proporciona ya criterios
cuantitativos extremadamente útiles. La elaboración y adecuada cuantificación
del calendario de la producción, renovación de equipo, almacenamiento, etc.,
de una fábrica es uno de esos ejemplos prácticos que pueden tratarse
mediante la programación dinámica.
La teoría de control óptimo tiene objetivos paralelos a los de la
programación dinámica, pero se encuentra en un estadio más evolucionado de
cuantificación. Un sistema físico, biológico, económico, suele presentar a
menudo una evolución regida por un conjunto de ecuaciones diferenciales en
las que intervienen ciertos parámetros que, hasta cierto punto, están a nuestra
disposición, los controles del proceso. Se desea llevar el sistema desde una
situación inicial a una situación terminal. Lo podemos hacer en general de
muchas formas diferentes manejando de modo diverso nuestros controles.
Unas de entre estas formas de funcionamiento nos ocasionan un «gasto»
mayor que otras. Se trata de averiguar cómo se deben manipular los controles
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para que el «gasto» producido sea mínimo. La teoría de control constituye en
cierto modo el descendiente directo del cálculo de variaciones que ideó (a
propósito de la curva de descenso más rápido, la braquistócrona) en el siglo
XVIII Jakob Bernoulli y que tuvo cierto auge a principios de este siglo. Los
métodos han sido enormemente enriquecidos gracias al gran desarrollo actual
de disciplinas tales como las ecuaciones diferenciales y el análisis funcional.
Por la naturaleza misma de muchos de los problemas que hemos
descrito, de gran interés para la matemática actual, es obvio que el impacto del
desarrollo del computador y de la moderna ciencia de la computación sobre la
matemática fundamental y sus aplicaciones tiene que ser muy profundo. Desde
que en 1950 comenzaron a comercializarse los primeros computadores de gran
velocidad los progresos han sido continuos en todos los aspectos deseables,
velocidad, memoria, versatilidad, manejabilidad, miniaturización... La revolución
que se está originando en nuestra forma de vida por el desarrollo de los
computadores apenas ha comenzado. Sólo en lo que se refiere a rapidez, los
modernos computadores han multiplicado por un factor mayor que 10 000 000
la velocidad de cálculo del hombre. Es claro que pasarán muchos años antes
de que aprendamos a sacar pleno partido incluso de las habilidades de
nuestros actuales computadores. Su influjo, sin embargo, comienza a sentirse
fuertemente en muchas áreas de nuestro entorno más inmediato, proceso de
datos en nuestros bancos, planificación de nuestras empresas, robotización de
nuestras fábricas, ordenación de la información contenida en nuestras
bibliotecas, educación programada... En el desarrollo científico el influjo de los
ordenadores es inmenso, y la mayor parte de las ciencias están aún muy lejos
de saber aprovechar lo que el ordenador actual puede hacer por ellas.
En las aplicaciones de la matemática el influjo del computador ha sido
inmenso, sobre todo a través de su capacidad de resolución numérica de
problemas extraordinariamente complicados cuya solución hubiera resultado
irrealizable. hace unos pocos años. Durante un viaje espacial, por ejemplo, es
necesario resolver de modo automático en tiempo real, con gran precisión,
sistemas de docenas de ecuaciones diferenciales no lineales. Pero
posiblemente, como el futuro demostrará, esta facilidad de cálculo es el
aspecto más superficial de la capacidad del computador. La versatilidad y
complejidad del computador puede constituirle en una pieza clave para la
realización analógica de experimentos (los Gedankenexperimente pasan así a
ser verdaderos experimentos de computador) en prácticamente todas las
ciencias, desde las matemáticas hasta las sociales, con un coste y esfuerzo
mínimos.
En la matemática fundamental el influjo del computador comienza a
hacerse manifiesto. En teoría de números se ha utilizado, desde hace tiempo,
para reforzar o desechar la plausibilidad de ciertas conjeturas, como la de
Riemann. Pero su impacto más notable en los últimos años ha tenido lugar en
la demostración del teorema de los cuatro colores. Una demostración que no
puede hacerse vivencia en el mecanismo raciocinante del hombre, por razón
de la lentitud de éste, ha sido construida mediante el concurso del computador.
Con ello se ha obtenido lo que muchos piensan que es una categoría diferente
de teorema. ¿Cuántos problemas matemáticos hoy aún abiertos, nos podemos
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preguntar, esperan tal vez una solución semejante, con la asistencia esencial
del computador?
Se presiente que el influjo de la computarización general de una porción
de nuestra cultura originará probablemente una inclinación de la matemática
futura hacia el desarrollo de lo que a veces se llama matemática finita, o
discreta, que pone el énfasis en el descubrimiento de algoritmos efectivos para
resolver problemas de todo tipo. La infiltración del computador en terrenos tales
como el análisis matemático y otros campos tradicionales más abstractos es
aún incipiente, pero se llegará a hacer sentir en un futuro más o menos
cercano.
La ciencia de la computación, como estudio de los computadores y sus
funciones, explora los tres problemas básicos siguientes: a) diseño y análisis
del soporte material (hardware) de los computadores, es decir, de sus
componentes mecánicas y electrónicas; b) diseño y análisis del soporte lógico
(software),o sea el posible entreveramiento de las funciones que el soporte
material es capaz de efectuar a fin de que el sistema resulte efectivo para los
objetivos que se persiguen. Se trata, por tanto, del estudio de los lenguajes,
programas de control interno... ; c) metodología de resolución de problemas
con los computadores, esto es, estudio de técnicas comunes para resolver
familias amplias de problemas.
La ciencia de la computación constituye como se ve, al menos
parcialmente, una ciencia matemática. Como tal subraya los aspectos
algorítmicos, constructivos, y sus problemas están en íntima conexión con los
de la lógica matemática y los del análisis numérico. Pero es claro que la ciencia
de la computación presenta aspectos que han de ser tratados en cooperación
estrecha con la ingeniería electrónica, la lingüística, el análisis del
conocimiento, etc.
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El Papel de la Matemática en Nuestra Cultura
La matemática ha cumplido, a lo largo de la historia del pensamiento,
una función muy peculiar. Desde los tiempos de Pitágoras la matemática ha
constituido el armazón, en su forma más pura, del pensamiento fundamental de
nuestra cultura occidental: la inteligibilidad del universo mediante la razón, y
precisamente mediante la razón cuantificadora. Para la cultura occidental el
universo no es caos, es cosmos, orden. La naturaleza es regular, es decir,
sigue unas reglas, unas pautas. Nuestro pensamiento puede captar estas
normas de actuación de la naturaleza. La matemática es la herramienta a su
disposición para hacerse con ellas.
Este espíritu es el que unifica las diversas formas de la matemática a lo
largo del tiempo y a lo ancho de su vasta amplitud y diversificación actual. El
matemático es probablemente el científico que se siente más cercano a sus
predecesores remotos apartados de él por siglos de distancia y a sus colegas
contemporáneos que trabajan en campos en los que incluso el lenguaje puede
resultarle ajeno. Les une a todos el afán por encontrar las leyes formales
objetivas que gobiernan la naturaleza en su sentido más amplio y el
convencimiento de que estas leyes pueden ser encontradas mediante la
cooperación entre la intuición creativa y la comprobación objetiva de las
consecuencias racionales que de ella se derivan.
Y es este espíritu, este sentimiento de fusión de creatividad, libertad,
espontaneidad y orden que subyace a la actividad matemática, la contribución
más importante que la matemática puede ofrecer a nuestra sociedad actual.
Contribución que va mucho más allá de la mera utilidad práctica de las
diferentes creaciones concretas de la matemática. Aquí estriba, por otra parte,
el valor educativo más profundo de la matemática, el que los filósofos más
profundos, Pitágoras, Platón, Descartes, Leibniz.... han sabido ver en ella. En
nuestra transmisión de la herencia matemática es éste el aspecto que
deberíamos tratar de hacer más explícito. He aquí cómo lo ha expresado uno
de los filósofos más clarividentes de nuestro propio siglo, Alfred North
Whitehead: «La noción de modelo (pattern) es tan antigua como la civilización.
Todo arte está fundamentado en el estudio del modelo. La cohesión de los
sistemas sociales depende del mantenimiento de modelos de conducta, y los
progresos de la civilización dependen de la modificación acertada de ellos. Por
eso la impregnación de modelos en el curso de la naturaleza y la estabilidad de
tales modelos, así como la modificación de ellos es la condición necesaria para
la realización del Bien. La matemática es la técnica más poderosa para la
comprensión del modelo y para el análisis de la relación entre modelos...
Considerando la inmensidad de su campo de acción, la matemática, incluso la
matemática moderna, es una ciencia en su infancia. Si la civilización continúa
avanzando, en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el
pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática».
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Bibliografía
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