Download Problema de crecimiento bacteriano.

Ecuaciones Diferenciales
ECUACIONES DIFERENCIALES
Problema de población.
En un principio, un cultivo al inicio tiene P0 cantidad de bacterias. En t = 1 hora se
determina que el número de bacterias 3 ⁄ 2 P0 Si la rapidez de crecimiento es
proporcional al número de bacterias Pt presentes en el tiempo t , determine el
tiempo necesario para que triplique el número de bacterias.
Solución:
Primero se resuelve la ecuación diferencial (1)
dx / dt = k x
x (t0) = x0
(1)
Donde el símbolo x se remplaza por P
Con t0 = 0 la condición inicial es P (0) = P0
Entonces se usa la observación empírica de que P (1) = 3/2 P0 para determinar la
k constante de proporcionalidad.
Observe que la ecuación diferencial
dP / dt = k p
es tanto separable como lineal. Cuando se pone en la forma de una ecuación
diferencial lineal de primer orden:
dP / dt - k p = 0
Se ve por inspección que el factor de integración es e – kt
Al multiplicar ambos lados de la ecuación por este término e integrar, se obtiene, a
su vez
d / dt [ e – kt ] = 0
y
e – kt P = c
Por tanto P(t) = cekt
En t = 0 se deduce que P0 = ce0 = c, y en consecuencia, P (t) = P0 ekt
En t = 1 se tiene 3/2 Po = P0 = e – k o bien ek = 3/2
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Ecuaciones Diferenciales
De la última ecuación se obtiene k =ln 3/2 = 0.4055. y entonces
P(t) = P0 e0.4055
Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, se
resuelve
3 P0 = P0 e0.4055 para t
Se deduce que 0.4055 t = ln 3 ó
t = ln 3 / 0.4055 2.71 h
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