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3º ESO.- Curso 13/14……….……………….TEMA 4.- SUCESIONES
1. DEFINICIÓN Y TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN
Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados.
Los números reales a1, a2, a3,…,an de una sucesión se llaman términos y se leen “a sub-uno, a sub-dos, a subtres,…, a sub-ene”.
El término an se llama término general o término enésimo.
Ejemplo: Sucesión de los múltiplos de 5
Valores de la sucesión: 5, 10, 15, …
Términos de la sucesión: a1 = 5 a2 = 10 a3 = 15 …
2. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, excepto el primero, se obtiene del anterior
sumando un mismo número. A este número se llama diferencia de la progresión. Se representa por la letra d.
Término general
El término general de una progresión aritmética es:
an = a1 + (n-1) d ; siendo n = 1, 2, 3,… y a1 el primer término de la sucesión
Si retomamos el ejemplo anterior:
Ejemplo: Calcula el término general de la sucesión de los múltiplos de 5
1º) Obtengo el valor de a1 , que es a1 = 5
2º) Calculo la diferencia:
a2 – a1 = 10-5 = 5; a3 – a2 = 15 – 10 = 5… En este caso, d = 5
3º) Sustituyo en la fórmula general los valores de a1 y d.
an = a1+(n-1)d = 5 + (n-1) 5 = 5 + 5n – 5= 5n;
an = 5 n
Con el cálculo del término general, puedo saber qué valor tiene cualquier término de la sucesión.
Por ejemplo, si quiero saber qué valor tiene el cuarto término a partir de an = 5 n
Sustituyo n=4 en la fórmula general: a 4 = 5 ⋅ 4 = 20
Comprobación: 5, 10, 15, 20… Efectivamente, el número 20 ocupa la posición cuarta.
Suma de términos
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
Sn =
(a1 + a n )n
; siendo n = 1, 2, 3,… y a1 el 1er término
2
Retomando el ejemplo anterior,
Ejemplo: Calcula la suma de los 20 primeros términos de la sucesión de los múltiplos de 5
1º) Obtengo el valor de a1 , que es a1 = 5
2º) Obtengo el término general, que es: an = 5 n
3º) Sustituyo en la fórmula de Sn :
Sn =
(a1 + a n )n (5 + 5n)n
=
2
2
4º) Como en este caso, me piden los 20 primeros términos, calculo S20, ya que n=20
S 20 =
(5 + 5 ⋅ 20)20 (5 + 100)20 105 ⋅ 20
=
=
= 1050
2
2
2
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3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término, excepto el primero, se obtiene del
anterior multiplicando un mismo número. A este número se llama razón de la progresión. Se representa por r.
Término general
El término general de una progresión aritmética es:
a n = a 1 ⋅ r n −1 ; siendo n = 1, 2, 3,… y a1 el primer término de la sucesión
Ejemplo: Calcula el término general de la siguiente sucesión: 2, 6, 18, 54, …
1º) Obtengo el valor de a1 , que es a1 = 2
2º) Calculo la razón:
r =
a
a2
6 18
= 3 = .... = =
= 3 En este caso, r = 3
a1
a2
2
6
3º) Sustituyo en la fórmula general los valores de a1 y r.
a n = 2 ⋅ 3 n −1
Con el cálculo del término general, puedo saber qué valor tiene cualquier término de la sucesión.
n −1
Por ejemplo, si quiero saber qué valor tiene el quinto término a partir de a n = 2 ⋅ 3
5 −1
= 2 ⋅ 3 4 = 2 ⋅ 81 = 162
Sustituyo n=5 en la fórmula general: a 5 = 2 ⋅ 3
Comprobación: 2, 6, 18, 54, 162, Efectivamente, el número 162 ocupa la posición quinta.
Suma de términos
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
Sn =
a1 − r ⋅ a n
; siendo n = 1, 2, 3,… a1 el 1er término y r, la razón de la progresión
1− r
Retomando el ejemplo anterior,
Ejemplo: Calcula la suma de los 8 primeros términos de la sucesión: 2, 6, 18, 54, …
1º) Obtengo el valor de a1 y de r , que es a1 = 2 ; r = 3
n −1
2º) Obtengo el término general, que es: a n = 2 ⋅ 3
3º) Sustituyo en la fórmula de Sn :
2 − 3 ⋅ a n 2 − 3 ⋅ (2 ⋅ 3 n −1 )
Sn =
=
1− 3
−2
4º) Como en este caso, me piden los 8 primeros términos, calculo S8, ya que n=8
S8 =
2 − 3 ⋅ 2 ⋅ 38−1 2 − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 7 2 − 3 ⋅ 2 ⋅ 2187 − 13120
=
=
=
= 6560
−2
−2
−2
−2