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Taller de Matemáticas I Taller de Matemáticas I 1 Universidad CNCI de México Semana 1 y 2
Taller de Matemáticas I Temario 1. Los números positivos 1. 1. Representación de números positivos 1.1.1. Fracciones 1.1.2. Decimales 1.1.3. Porcentajes 1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones 1. 2. Jerarquización de operaciones numéricas 1. 3. Planteamiento de una expresión algebraica 1.3.1. Procedimiento para el planteamiento de una ecuación 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden 2.2.1. Simétrico de un número real 2.2.2. Valor absoluto de un número real 2.2.3. Relaciones de orden 2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones 2.3.2. Tasas 2.3.3. Proporciones 2.3.4. Variaciones 3. Sucesiones y sumas numéricas 3.1 Sucesiones 3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas 3.2.2. Series aritméticas 3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética 3.3. Sucesiones y series geométricas 3.3.1. Sucesiones geométricas 3.3.2. Series geométricas 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica 4. Conceptos algebraicos importantes 4.1. Términos semejantes 4.2. Potencias 4.3. Leyes de los exponentes 5. Operaciones con monomios y polinomios 5.1. Suma de polinomios 5.2. Resta de polinomios 5.3. Multiplicación de polinomios 2 Universidad CNCI de México Semana 1 y 2
Taller de Matemáticas I 5.3.1. Monomio por monomio 5.3.2. Monomio por polinomio 5.3.3. Polinomio por polinomio 6. Productos Notables 6.1. Binomios conjugados 6.2. Binomios con un término común 6.3. Binomios al cuadrado 7. Factorización 7.1. Factorización por factor común 7.1.1. Un monomio como factor común 7.1.2. Un polinomio como factor común 7.1.3. Factor común por agrupación 7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados 7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c 8.2. Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c con a ≠ 0, 1 9. Factorización combinada 10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales 11. División de polinomios 3 Universidad CNCI de México Semana 1 y 2
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
1. La igualdad matemática 1.1. Identidades y ecuaciones 1.2. Propiedades de la igualdad 1.3. Propiedades de los números reales 2. Ecuación de primer grado con una incógnita 2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal 2.2. Solución de una ecuación lineal mediante el método de transposición de términos. 2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico 2.3.1. Ecuación de primer grado con dos incógnitas 2.3.2. Introducción a las funciones 2.3.3. Plano cartesiano 2.3.4. La función lineal y su relación con la ecuación lineal 2.3.5. Graficación mediante tabulación 2.3.6. Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen 2.3.7. Graficación por medio de las intersecciones con los ejes 3. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 3.1. Clasificación de los sistemas de ecuaciones 3.2. Métodos de solución de sistemas 2×2 3.2.1. Método de suma y resta 3.2.2. Método de sustitución 3.2.3. Método de igualación 3.2.4. Método gráfico 3.2.5 Método por determinantes 4. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas 4.1. Métodos de solución de sistemas 3×3 4.1.1. Método gráfico 4.1.2. Método por determinantes 4.1.3. Método de sustitución 5. Ecuaciones cuadráticas 5.1. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas 5.1.1. Método de solución por despeje de ecuaciones cuadráticas puras 5.1.2. Método de solución por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas 5.1.3. Método de solución completando el trinomio cuadrado perfecto 5.1.4. Método de solución por fórmula general 6. Funciones cuadráticas 4 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I 6.1. Características de una ecuación cuadrática 6.1.1. Elementos de la parábola 6.1.2. Sentido de la parábola 6.1.3. Tipos de soluciones a partir de sus coeficientes 6.2. Gráfica de una ecuación cuadrática 7. Forma estándar de una función cuadrática 7.1. Desplazamiento vertical 7.2. Desplazamiento horizontal 5 Universidad CNCI de México Semana 1 y 2
Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Seman
na 1 Sesión 1 Los ttemas a revvisar el día d
de hoy son:: 1. Los núme
1
eros positivvos 1. 1. Rep
presentación de númerros positivo
os 1.1..1. Fraccion
nes 1.1..2. Decimales 1.1..3. Porcenttajes 1.1..4. Converssiones entre
e distintas rrepresentacciones 1. 2. Jeraarquización de operaciiones numé
éricas 1. 3. Plan
nteamiento
o de una exp
presión algebraica 1.3.1. Procedim
miento paraa el planteamiento de una ecuación 1 Los núm
1.
meros positivvos 1.1. Representaación de nú
úmeros possitivos Los n
números su
urgieron de la necesidaad de representar canttidades, es decir, relaccionar un síímbolo con
n una magn
nitud. Los primeros números creaados tenían
n la intenció
ón de contaar, establecciendo un orden para indicar cuál era mayor y cuál meno
or. El 1 ees el menorr de todos, el 2 es el que le sigue, etc., pero también ell 4 es mayor que el 3, el 3 mayorr que el 2 y así sucesivvamente. Assí fue como
o surgió la rrecta numérica y aparecieron opeeraciones como c
la sum
ma y multiplicación, con c la restricción de que q el resulltado de ellaas debe serr un número
o de este mismo conjunto. Por eejemplo: ¿Cóm
mo represen
ntarías la au
usencia de cantidad? LLa respuesta es anexarr el número
o cero y colocarlo en laa recta como el primer número o el menor dee todos: A partir de ese momento sse puede co
ontar desde
e el cero hasta donde sse desee, no hay límite; es decir, el conjunto
o de número
os es infinito y se deno
ominan núm
meros positivos. A su vez el conjjunto de loss números positivos se
e puede clasificar como se muesttra en la sigguiente imagen: 6 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Los números positivos pueden representarse de tres maneras: 10 3 75
• Como fracciones, por ejemplo: 2 , 8 , 6
• Como decimales, por ejemplo: 9.81, 16.15, 0.00013 • Como porcentajes, por ejemplo: 2%, 46.8%, 77% 1.1.1. Fracciones Las fracciones constan de dos números: el superior llamado numerador y el inferior llamado denominador. a
numerador
=
, con b ≠ 0
b denominador
Una fracción describe una parte de un todo. Por ejemplo, si un pastel se divide en doce partes iguales y ocho de las rebanadas se reparten entre los asistentes de una fiesta, la fracción que representa lo anterior es: Número de rebanadas repartidas entre los asistentes 8 una parte
=
Número total de rebanadas del pastel 12 un todo
Al cociente o división de dos números enteros se le llama número racional o fraccionario y ese conjunto de números se representa por Q. Se debe tener cuidado de que el denominador no sea cero. 5
12
56
9
Algunos ejemplos son: 1
1
7
12
Se observa que las primeras dos fracciones en realidad son dos números enteros divididos entre la unidad; así, un número natural es al mismo tiempo entero y por tanto, racional. 1.1.2. Decimales Los números positivos pueden tener una representación decimal de tres tipos: • Decimal exacto: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Por ejemplo: 1
= 0.25
4
• Decimal periódico puro: la parte decimal completa se repite indefinidamente, la cual puede ser representada con una línea encima de los dígitos que representan al periodo. Ejemplo: 3.25252525L = 3.25
• Decimal periódico mixto: al principio de la parte decimal hay una parte que no se repite y otra que sí se repite. Por ejemplo: 3.12252525L = 3.1225
1.1.3. Porcentajes Es una manera de expresar un número positivo como una parte de 100 y se representa por el símbolo %. Se puede pensar como el numerador de una fracción que tiene un denominador de 100: numerador 56
=
= 56%
100
100
7 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones Conversión de fracción a: a) Decimal. 5
Se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo: = 0.625
8
b) Porcentaje. Se convierte a decimal y se multiplica por 100%. Por ejemplo: 1
= 0.25 ⎯
⎯→ 0.25 × 100% = 25%
4
Conversión de porcentaje a: a) Fracción. Se quita el símbolo de porcentaje y se coloca la cantidad en el numerador. Siempre se utiliza como denominador el número 100. Se debe simplificar la fracción en 78 39
caso de ser posible: 78% ⎯
⎯→
=
100 50
b) Decimal. Se quita el símbolo de porcentaje y se recorre el punto decimal dos cifras hacia la izquierda. Se agrega el cero como parte entera. La razón por la cual se recorre el punto dos cifras a la izquierda es porque esta operación es equivalente a dividir el número entre 100, y estas dos cifras representan los dos ceros que contiene el número 100. Por ejemplo: 15 . 62 %
⎯⎯ →
0 • 1
5
6
2
15 . 62
= 0 . 1562
100
Conversión de decimal a: a) Fracción. Caso
Descripción
Número con
parte entera
igual a cero y
parte decimal
periódica pura
El numerador será igual a la parte periódica
y el denominador será igual a tantos
nueves como dígitos contenga el periodo
Número con
parte entera
distinta a cero y
parte decimal
periódica pura
Será igual a la parte entera más un racional
que tendrá como numerador la parte
periódica y como denominador tantos
nueves como dígitos contenga el periodo
Número con
parte entera
distinto de cero y
parte decimal
periódica mixta
Será igual a la parte entera más un racional
que tendrá como numerador la parte no
periódica seguida de la parte periódica
menos la parte no periódica, y como
denominador tantos nueves como dígitos
contenga el periodo y tantos ceros como
dígitos contenga la parte no periódica
8 Universidad CNCI de México Ejemplo
0.3 =
3 1
=
9 3
38
=
99
198 38 236
+
=
99 99 99
2.38 = 2 +
3.1225 =
1225 − 12
=
9900
1213
3+
=
9900
29700 1213 30913
+
=
9900 9900 9900
3+
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
b) Porcentaje. Multiplicar por 100% o recorrer el punto decimal de la cantidad dos lugares hacia la derecha y agregar el símbolo %. Por ejemplo: 0.2641 ⎯
⎯→ 0.2641× 100% = 26.41%
0• 2 6 4 1 ⎯
⎯→ 26.41%
Un resumen de las distintas representaciones de los números positivos descritos en los cuatro ejemplos anteriores se muestra en la tabla siguiente: Natural (N) Decimal 4 4.0 No es natural 7.282828… 7.28
No es natural 0.135 0.1350
No es natural 0.125192 Decimal Periódico Fracción Porcentaje 4.0
4
1
400% 721
99
728.28%. 135
27
=
1000 200
13.5% No aplica 245925
1964375
12.5% Práctica de ejercicios Práctica 1 Complementa el siguiente cuadro con las diferentes maneras de representación de los números positivos: Natural Decimal 4.32
3.4444… 9 Universidad CNCI de México Decimal Periódico 1.3
10.28
Fracción Porcentaje 75% 8 7
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 2 Relaciona las columnas que a continuación se muestran, de manera que coloques la letra del inciso en el paréntesis que indica el número equivalente. Práctica 3 Resuelve el siguiente problema y contesta lo que se te pide. Un anciano millonario dejó una herencia para repartir entre su único hijo y el asilo donde pasó sus últimos días. La repartición fue la siguiente: 3/4 para su hijo y el resto para el asilo. 1. Si el hijo recibió 63 millones. ¿Cuánto dinero recibió el asilo? 2. Representa la cantidad anterior como: a) porcentaje. b) fracción. 3. ¿Cuánto dinero dejó de herencia el anciano? 1.2. Jerarquización de operaciones numéricas En matemáticas como ciencia formal, existe una jerarquía u orden en las operaciones para proceder a resolverlas, así como también existen leyes que rigen el despeje de las expresiones, y los elementos de un conjunto deben escribirse en una forma específica para tener sentido matemático. En las operaciones numéricas se sigue un orden cuando en una expresión aparecen varios operadores: 1º Se deben efectuar aquellas que indiquen potenciación, es decir, potencias ( ) y raíces ( ). x 2 , x3 , x n
9 , 25 , 144
10 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
2
2º Se realiza
an las multiiplicacioness ( (9), 7 * 25 y 3× 18, 555 ) y
45
laas divisione
es ( 21 ÷ 3, 600 ).
/ 20,
5
o se realizan las adicio
3
3º Por últim
ones o sumaas ( 25 + 8, 2 + 9 ) y las susstracciones o restas ( 25 − 14
, 9 − 2 ). En occasiones see deben exp
presar operaciones en la que el orden que se ha establecido se ro
ompe; por eejemplo, se desea realiizar primero
o una adició
ón para desspués multiplicar su reesultado po
or un númeero. Para expresar e
estte tipo de operacionees se utilizaan los símb
bolos de agrrupación: p
paréntesis ( ), corchetes [ ] y llavess { }. mplo: Ejem
4 + 32 × 5 − 81 ÷ {14 ÷ 7[8 − (30 − 23)] + 1}
Utilizzando la caalculadora se s puede llegar a la solución s
dee la expresión del eje
emplo anterior. Antees que nad
da debes faamiliarizarte con tu calculadora
c
. Identificaa las teclass que repreesentan a los l parénteesis, así com
mo las teclaas para las operacionees básicas como c
sumaa, resta, mu
ultiplicación
n y división, incluyendo
o la raíz y la potencia. Si utiilizas una caalculadora ccientífica Ca
asio, puede
es “escribir”” la ecuación de la sigu
uiente maneera: El ressultado en eel display o pantalla dee la calculad
dora debe ser 46. 11 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 4 Javier reconoce que su salud está en peligro debido a que tiene sobrepeso de 10 Kg con respecto a la recomendación de su médico, por lo que ha decidido utilizar su caminadora que registra los kilómetros que ejercita. 1
1
2
1
El lunes recorre Km; martes y miércoles Km; el jueves 4 Km, 3
5
4
3
viernes y sábado Km y el domingo de Km. 3
3
5
Determina la cantidad de kilómetros que recorrió Javier en la semana. 1.3. Planteamiento de una expresión algebraica Para resolver problemas o modelar situaciones por medio del lenguaje del álgebra, lo primero que debes hacer es traducir del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Las +, −, ×, ÷
operaciones básicas en matemáticas se caracterizan por símbolos como La siguiente tabla muestra algunas operaciones expresadas en lenguaje común y su representación en lenguaje algebraico. "a" y "b"
En la tabla anterior se utilizaron las letras minúsculas para representar dos números cualesquiera. Esas letras, así como cualquier otra letra minúscula que se utilice para representar algún número, se conocen como literales y en matemáticas se utilizan comúnmente para expresar variables, las cuales dependiendo de la situación que se desea modelar, pueden representar: 12 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
a) un valor específico (cuando se utilizan en ecuaciones) y se les denominan incógnitas. b) un rango específico de valores delimitado por una condición (cuando se ubican en una relación funcional o función) y se les denominan variables. c) cualquier valor y se les denominan números generales. Práctica 5: 9 Traduce el siguiente enunciado al lenguaje algebraico. “Encuentra un número que sumado a 10 es 25”. 9 Plantea la expresión algebraica del siguiente enunciado: “10 menos el doble del número es tres veces el doble del número menos 5”. 9 Representa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico. 13 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 2 Los temas a revisar el día de hoy son: 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden 2.2.1. Simétrico de un número real 2.2.2. Valor absoluto de un número real 2.2.3. Relaciones de orden 2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones 2.3.2. Tasas 2.3.3. Proporciones 2.3.4. Variaciones 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos En la sesión anterior conociste los números positivos, entre ellos los enteros, los naturales y los racionales. Una representación que se tiene acerca de esos números es la recta numérica teniendo como referencia al cero u origen. El cero representa la ausencia total de cantidad. Los enteros positivos (Z+) se ubican a la derecha del cero y representan cantidades “completas”, es decir, cantidades que son enteras que se utilizan para contar. Los enteros negativos (Z‐ ) se ubican a la izquierda del cero y con signo negativo. El conjunto de los números reales está formado por varios subconjuntos: 1. Los números naturales: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, } ∞
2. Los números enteros positivos: Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, } ∞
−∞
3. Los números enteros negativos: Z‐ ={ , …, ‐9, ‐8, ‐7, ‐6, ‐5, ‐4, ‐3, ‐2, ‐1} 4. El conjunto que contiene al cero: {0} Algunos símbolos importantes para utilizar conjuntos son: 1. El símbolo que significa “unión de conjuntos”. Se deben tomar en cuenta todos los elementos de los conjuntos a unir. 2. El símbolo ⊂
indica que un conjunto es un “subconjunto” de un conjunto ⊄
mayor. Su contraparte es el símbolo indica que no es subconjunto de otro. ∪
14 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I 3. El de pertenencia que indica si un elemento está dentro de un conjunto. El ∈
que niega que un elemento pertenezca a un conjunto es . ∉
De acuerdo a lo anterior, los números enteros se forman de los números enteros negativos y positivos y se representan por Z: Semana 1 y 2
Z + = {N ∪ {0 }}
Z = ⎪⎨Z − ∪ Z + ⎪⎬
⎧
⎫
⎪⎩
⎪⎭
Otro conjunto que pertenece a los reales son los números racionales, que son los que se pueden obtener a partir de una fracción y se representan por la letra Q. Así, en notación de conjuntos se tiene que: Z ⊂ Q
Existen más números que no se representan como naturales, enteros o racionales, 2, y
3
ejemplos son el número (pi), o . A estas cantidades se les denomina números irracionales y se representa por Ι . La parte decimal de un número racional carece de un periodo repetitivo. En notación de conjuntos se tiene que: R = Ι ∪ Q
Ejemplo: identifica a qué conjunto pertenecen los siguientes números. a) El ‐5 es un número: entero negativo y real. 3
b) El es un número: racional y por lo tanto real. 4
π
c) El es un número: irracional y real. 2
d) El 90 es un número: natural y por lo tanto real. 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden Existen algunas relaciones entre los números reales que son importantes: el simétrico de un real, el valor absoluto y las relaciones de orden. 2.2.1. Simétrico de un número real A los reales negativos que están a la misma distancia del cero que los positivos, se les llaman números simétricos o números opuestos. Ejemplo: El ‐3 es el simétrico de 3: 15 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
2.2.2. Valor absoluto de un número real El valor absoluto de un número representa la distancia de éste al origen. El símbolo que lo representa son dos barras verticales entre las cuales se “encierra” el número. Por ejemplo: Se lee “el valor absoluto de ‐15 es igual a 15”. En general, se puede decir que “el valor absoluto de un número es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es positivo o negativo”. En una recta numérica es la distancia entre el número y el cero. 2.2.3. Relaciones de orden Antecesor y Sucesor de un número entero El conjunto de los números enteros tiene una característica especial: cada uno de sus elementos tiene antecesor y sucesor. El antecesor de un número es el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él; el sucesor es el que está inmediatamente a su derecha. Por ejemplo: Relaciones Mayor que y Menor que Los números reales son un conjunto ordenado, es decir, hay números reales mayores o menores que otros. Un número real es menor que otro (<), si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor (>), cuando está a su derecha. Ejemplo 1. Observa la siguiente recta numérica: En este caso, el número ‐7 es el menor de todos porque está más a la izquierda, mientras que el 6 es el mayor de todos porque es el que está más a la derecha. Así − 7 < −1 < 3 < 6
pues: 16 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 6 Realiza lo que se te pide. 1. Identifica a qué conjunto pertenecen los siguientes números colocando la letra que le corresponda (N: naturales, Z+ : enteros positivos, Z– : enteros negativos, Q : racionales, I: irracionales, R: reales). Si un número pertenece a más de un conjunto, indícalos. 3
a) El es ________________ b) El ‐125 es __________________ −
5
2. Indica el valor absoluto de las siguientes cantidades: 1
a) − 28
b) −
9
3. Encuentra el opuesto o simétrico, el antecesor y el sucesor de los siguientes números: a) ‐36 b) 81 4. Establece la relación correcta entre los siguientes pares de números utilizando los símbolos > y <. a) 8 _______ ‐4 b) 0 _________ 7 ∈ ∉
5. Utiliza los símbolos y para indicar lo que se pide. a) ‐6 _______ Z+ b) 3.14 _______ Q Práctica 7 1. Ordena de menor a mayor los siguientes números: a) {5, − 8, 35, 18, − 41, 85, 22, − 58
} b) {− 58, − 25, 11, − 10, 0, 12, 1, − 5}
2. Escribe el opuesto, el valor absoluto, el antecesor y el sucesor de cada uno de los siguientes números: a) ‐4 b) 18 c) 0 d) ‐25 17 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones Es el cociente de dos números o dos cantidades que tienen las mismas unidades. Con ellas se pueden comparar cantidades numéricas. Existen tres formas de escribir una razón: 1) Como fracción, donde el numerador se llama antecedente y el denominador consecuente. 2) Como dos números separados por la letra “a”. 3) Como dos números separados por dos puntos. Ejemplo: representa las cantidades de las tres formas que existen para escribir una fracción. 2.2.1. Tasas Es un cociente de dos cantidades con distintas unidades. Se escribe como fracción. Ejemplo: en la etiqueta de una lata de pintura se lee “Cobertura: Un cuarto cubre 200 pies cuadrados”. Escribe lo anterior como una tasa. 1 cuarto
200 pies cuadrados
Cuando escribas una tasa siempre incluye las unidades de las mediciones. 2.2.2. Proporciones Es una afirmación de la igualdad de dos razones o tasas y se expresa matemáticamente como: donde “b” y “d” deben ser distintos de cero. A los términos “a” y “d” se les llama extremos y a los términos “b” y “c” se les nombra medios. Ejemplo: un sastre compró 5 metros de tela y pagó por ella $25. Si necesita 8 metros de la misma tela, ¿cuánto deberá pagar? Aplicando el concepto de proporciones: 5 m = 8 m
$25
x
A esta expresión generalmente se le llama regla de tres simple y para resolverla se emplea un procedimiento sencillo, ya que se multiplican los datos que se conocen como medios y se divide entre el dato extremo que se conoce: 25 × 8
x
=
= 40
5
18 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Realizando las operaciones, el sastre deberá pagar $40 por los 8 metros de tela que le faltan. Propiedad fundamental de las proporciones. En cualquier proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Con esta propiedad se puede comprobar si dos razones dadas son una proporción o no. A esto se le llama productos cruzados: Variación directa. Cuando dos variables x, y están relacionadas de tal manera que la y
razón no cambia; es decir, es igual a una constante, entonces se dice que y varía x
directamente con x. Lo anterior se expresa matemáticamente como: y
y varía directamente con x, significa que = constante = k x
donde k se llama constante de proporcionalidad y debe ser diferente de cero. Dicho lo anterior, si despejas y, entonces y = kx también representa una variación directa. “En una variación directa si una de las magnitudes aumenta, la otra también”. Ejemplo: José quiere repartir de forma directamente proporcional a la edad de sus hijos, la cantidad de $15,000. Sus hijos Carlos, Juana y Mario tienen 15, 12 y 10 años respectivamente. Primero, debes expresar las variaciones en forma de proporción: x
y
z
=
= ;
x + y + z = 15,000
10 12 15
x+ y+z
cantidad
Utilizando una regla de tres: =
10 + 12 + 15
edad
15000(10)
x+ y+z x
A Mario le corresponde: =
⎯
⎯→ x =
= 4054.05
37
10
37
15000(12)
x+ y+z y
A Juana le toca: =
⎯
⎯→ y =
= 4864.86
37
12
37
15000(15)
x+ y+z z
=
⎯
⎯→ z =
= 6081.08
37
15
37
A Carlos le corresponde: 19 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Variaación inverrsa. Tiene como c
caraccterística prrincipal quee si una de las magnittudes relaccionadas aumenta, la otra disminuye; y y si disminuye, la otra aum
menta. Mateemáticamen
nte se dice que las dos cantidade
es son inverrsamente p
proporcionaales o tieneen una variaación inverssa si: dond
de . proporcionaalmente con otra, ento
onces k = xy Si una maggnitud varíaa inversa y p
la primera es igu
ual al produ
ucto de una constante por el recíp
proco de la ssegunda. Variaación comp
puesta. Un problema ees de propo
orcionalidad
d compuestta si interviienen tres o más magnitudes.
m
Al intervvenir más de dos magnitudes
m
s las relacciones porcionales dos a dos d
de las magn
nitudes pue
eden ser disstintas, es d
decir, si tenemos prop
las magnitudes m
A, B, y C, la relación
n proporcio
onal entre A A y B pued
de ser directa o inverrsa y entre B y C pued
de ocurrir lo
o mismo, dicho de otrra manera, se presentaa una comb
binación dee proporcion
nes directass e inversas. Combinación de
e dos propo
orciones dirrectas Ejem
mplo: cuatro
o costurerass producen en 10 días 320 vestido
os. ¿Cuánto
os vestidos sserán producidos por 10 costurerras en 16 díías? Coloccando los d
datos en unaa tabla: o anterior como propo
orción: Reprresentado lo
x=
3220(10)
4
Desp
pejando x dee las magnitudes A y B: x = 800
La prroducción d
de 10 costurreras en 10 días es de 8
800 vestido
os. 10
8
Sustiituyendo x==800 en las magnitudess B y C: 800
=
x
16
800(16)
x=
x = 1280
Desp
pejando nueevamente xx: 100
La prroducción ees de 1,280 piezas en 16 días por 1
10 costureraas. 20 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 8: Resuelve matemáticamente y contesta lo que se te pide. 1) Un vehículo recorre 305 kilómetros con 30 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros recorre con un litro de gasolina? 2) Si en la construcción de una calle se emplearon 10 obreros y se terminó en 20 días, ¿en cuántos días hubieran realizado 40 obreros la misma construcción? 3) Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 130 pesos. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuál es el precio de cada artículo? Resuelve el siguiente problema algebraico. 4) La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 146 años. El padre es 4 años mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 21 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? 21 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 3 Los temas a revisar el día de hoy son: 3. Sucesiones y sumas numéricas 3.1 Sucesiones 3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas 3.2.2. Series aritméticas 3. Sumas y sucesiones numéricas 3.1. Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números reales escritos en un orden específico, de tal manera que sea claro saber cuál es el primer término, el segundo y todos los términos sucesivos mediante una fórmula que permite obtener cualquiera de ellos. La notación de una sucesión es {a1 , a2 , a3 , L , an ,L}
donde el subíndice indica el lugar del término de la sucesión: a1 es el primer término a2 es el segundo término a3 es el tercer término es el n‐ésimo término. El valor de n debe ser un número natural, es an decir: 1, 2, 3, 4, etc. El término n‐ésimo o término general de una sucesión, es el término que ocupa el lugar “n” y generalmente se expresa mediante una fórmula. Las sucesiones se clasifican de la siguiente manera: • Sucesiones convergentes: son las que tienen límite porque son finitas o contables. {a , a , a , L , a }
1
2
3
n
• Sucesiones divergentes: son las que no tienen límite finito, es decir, no se sabe donde terminan. {a1 , a2 , a3 , L , an ,L}
Ejemplo: clasifica las siguientes sucesiones como convergentes o divergentes. •
a) Los números pares. Sucesión divergente •
b) Los años en los que se han jugado los mundiales de fútbol hasta hoy. Sucesión convergente 22 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 9 Completa las siguientes sucesiones: 3, 6, 9, 12, 15, _____ , 21, 24, ______ , 30, 1, 3, ______ , 7, 9, 11,_____ , 15, 17,_____ , 21, 3, 5, 7,_____, 11, 13, _____ , 17, 19, Analiza las siguientes sucesiones Ejemplo: obtén la fórmula para calcular el n‐ésimo término de las siguientes sucesiones y utilízala para calcular el término a50 y a100. 1 1 1
a) b) 1, 4, 9 , 16, L c) 1 , 2 , 3 , 4 , L
1, , , , L
3, 5 7 9
2 3 4
Para encontrar la fórmula de cada sucesión primero es necesario saber que se está representando: a) Los números en los denominadores representan al conjunto de los números naturales. b) Cada número es el cuadrado del conjunto de los números naturales. c) Los numeradores representan el conjunto de los números naturales, los denominadores representan los números impares iniciando en 3. De acuerdo a lo anterior, trata de obtener la fórmula (recuerda que los valores que puede tomar “n” son los números naturales, es decir, n = 1, 2, 3, 4, …) 1
n
a) an =
b) an =
n 2 c) an =
n
2n + 1
23 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Los términos a50 y a100 para cada sucesión son: a) b) 1
a50 = 50 2 = 2500 =
a
50
50
a100 = 100 2 = 10,000
1
a100 = 100
50
50
c) a50 = 2(50) + 1 = 101
100
100
a100 =
=
2(100) + 1 201
Práctica 10 Obtén la fórmula para calcular el n‐ésimo término de las siguientes sucesiones y utilízala para calcular el término a23 y a68. 9 16 25 36
a) 1 2 3 4
b) 4, , , , , L
, , , ,L
2 3 4 5
2 3 4 5
3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas Una sucesión aritmética es una sucesión de números en la cual la diferencia entre dos términos sucesivos, a excepción del primero, es constante y se le nombra diferencia común (que puede ser positiva o negativa). A una sucesión aritmética también se le conoce como progresión aritmética. Cuando se desea encontrar el valor de un término cualquiera an de una sucesión aritmética, es necesario sumar (o restar) el valor constante. La fórmula del término general está dada por: an = a1 + d (n − 1)
donde: an = término n‐ésimo de la sucesión a1 = primer término de la sucesión d = diferencia común entre término y término n = número de términos que se pide encontrar A partir de la fórmula anterior se pueden encontrar los valores de a1, d y n. Para encontrar el primer término: a1 = an − d (n − 1)
an − a1
Para encontrar la diferencia común: d =
n −1
a −a
Para encontrar el número de términos que tiene la sucesión: n = n 1 + 1
d
24 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Ejem
mplo: encuentra el valo
or del términ
no 30 de la siguiente su
ucesión: Los d
datos abajo son una su
ucesión aritm
mética, y paara encontrrar el siguien
nte término
o sólo sabes que: 4, 6, 8, 10, 12, L
n = 3
30 a1 = 4 pero no tienes eel valor de ““d”. Para ello, necesitaas obtener la diferenciaa entre cadaa uno de lo
os términos (o algo más simple: al segundo té
érmino réstale el primeero) entoncces, d = 2. an = a1 + d (n − 1)
Ahorra sí, sustitu
uye en la fórrmula los daatos: El nú
úmero que sse encuentrra en el térm
mino 30 a = 4 + 2(30 − 1) = 62
2
30
de laa sucesión ees 62. 3.2.2
2. Series aritméticas Mateemáticamen
nte habland
do, una serie es la sum
ma de los téérminos de una sucesió
ón. Si nos rreferimos a una serie aaritmética, es la suma de todos lo
os términoss pertenecientes a unaa progresión aritméticaa. La su
uma de los ttérminos dee una serie aaritmética ffinita, es igu
ual a la semisuma de lo
os extreemos por el número dee términos; es decir: n(a1 + an )
Sn =
2
dond
de: Sn = ssuma de loss términos d
de una suceesión aritmé
ética n = número dee términos d
de la sucesió
ón a1 = primer térm
mino de la ssucesión an = n‐ésimo téérmino de laa sucesión mplo: encuentra la seriee de la siguiiente sucesión aritmética. Ejem
3 17 19 21 233
, , , ,
2 10 10 10 100
Lo prrimero que debes haceer es identiificar los tre
es valores q
que necesitaas sustituir en la fórm
mula: 233
a1 = 3
an =
n= 5
2 100
⎛ 15 23 ⎞
⎛ 38 ⎞
⎛ 19 ⎞
5⎜ + ⎟ 5⎜ ⎟ 5⎜ ⎟
n(a1 + an )
Sustiituyendo en
n la fórmulaa: Sn =
10 10 ⎠
10
5
S5 = ⎝
= ⎝ ⎠= ⎝ ⎠
2
2
2
2
⎛ 3 23 ⎞
19
5⎜ + ⎟
=
S
5
2 10 ⎠
2
S5 = ⎝
2
5 términos d
de esta proggresión aritmética es 1
19/2. La seerie de los 5
25 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 11 En las siguientes progresiones o sucesiones aritméticas encuentra lo que se te pide. a) El 8º término de: 2 , 19 , 28 , L
3 15 15
3
49
2
b) La cantidad de términos de la sucesión si se sabe que: a1 = , an = , d =
5
15
3
c) La diferencia común si a1 = 10, an = − 227, n = 80
d) El primer término si d = −7, an = − 27, n = 1
e) ¿Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena tantas veces como cada hora que marca? Práctica 12 Contesta lo que se te pide. El último graderío de un gimnasio tiene capacidad para 1,000 aficionados; el penúltimo, para 930; el antepenúltimo para 860, y así sucesivamente. Si el estadio tiene 15 graderíos, ¿cuál es su capacidad total? 26 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 4 Los temas a revisar el día de hoy son: 3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética 3.3. Sucesiones y series geométricas 3.3.1. Sucesiones geométricas 3.3.2. Series geométricas 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica 4. Conceptos algebraicos importantes 4.1. Términos semejantes 4.2. Potencias 4.3. Leyes de los exponentes 5. Operaciones con monomios y polinomios 5.1. Suma de polinomios 5.2. Resta de polinomios 5.3. Multiplicación de polinomios 5.3.1. Monomio por monomio 5.3.2. Monomio por polinomio 5.3.3. Polinomio por polinomio 3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética La característica principal de una progresión aritmética es que el valor de an depende directamente del que pueda tener la diferencia común “d”. Gráficamente, representa una recta cuya inclinación está en función del valor de “d”. La siguiente tabla muestra los primeros siete términos de tres progresiones aritméticas obtenidas a partir de tres valores diferentes de “d”, la diferencia común entre dos términos. 27 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Grafiica las tress series en un plano cartesiano
o, tomando en cuentaa que los pares ordenados serán (n,d), es d
decir, en el eje “x” va el número de término
os de la succesión (n), yy en el eje ““y” los términos de la sucesión (an), para los d
diferentes vvalores de “d”. Obseerva qué sucede con laa inclinación
n de las recctas para loss diferentess valores de
e “d”. Cuan
ndo la diferencia com
mún “d” es positiva, la progresió
ón aritmética es crecciente (com
mo en estee ejemplo), mientrass que si “d” “
es neggativa, la progresión será decreeciente. 3.3. Sucesioness y series ge
eométricas
3.3.1. Suce
esiones geo
ométricas Una sucesión geométrica g
n
do
onde el cocciente entre
e dos es una succesión de números térm
minos sucesivos es consstante y se le nombra rrazón comú
ún. A una sucesión ggeométricaa también see le conoce como proggresión geométrica. Cuan
ndo se desea encontrrar el valorr de un térrmino cualq
quiera an d
de una succesión geom
métrica, es necesario dividir (o multiplicar) el valor constante. La fórmulaa del térm
mino generaal está dada por: a = a r n −1
1
n
dond
de: an = ttérmino n‐éésimo de la sucesión. a1 = p
primer térm
mino de la sucesión. r = rrazón comú
ún entre térrmino y térm
mino. n = n
número de términos que se pide eencontrar.
28 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Ejemplo. Indica por qué la siguiente sucesión es una progresión geométrica. 3, 12, 48, 192, L
Observa que todos los términos (excepto el primero), se obtiene a partir del número 4; si divides el segundo término entre 4, obtienes el primer término; si divides el tercer término entre la misma razón, obtienes el segundo término, y así sucesivamente. Entonces, la sucesión es una progresión geométrica debido a que sus elementos se obtienen mediante una razón común que es r = 4. En general, para determinar la razón común de una sucesión geométrica, se divide un término entre el término antecedente. Lo anterior se representa algebraicamente como: a
r= n
an −1
Práctica 13 Realiza lo que se te pide. La tabla siguiente muestra el registro de un corredor que se prepara para una competencia. Complétala y traza su gráfica, considera que los datos tienen un comportamiento aritmético. Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Kilómetros 7.5 10 recorridos Considera los números 5 y 320. Encuentra dos medios geométricos. Importante: dos medios geométricos tienen como característica que se encuentran precisamente a cierta distancia, la cual es determinada por la multiplicación de una constante por los elementos antecedentes y sirve para encontrar los consecuentes, de manera que se tiene una progresión en la que se conocen el primero y el cuarto de los elementos. 5, ? , ? , 320 Práctica 14 Resuelve lo que se te pide. 1. Grafica los primeros 10 términos de la siguiente sucesión 2, 7, 12, 17, 22, L
Si el décimo término de una progresión geométrica es 118,098 y la razón común es 3, ¿cuál es el primer término de la progresión? 29 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
3.3.2. Series geométricas Una serie geométrica, es la suma de todos los términos pertenecientes a una progresión geométrica. La suma de los términos de una serie geométrica finita se obtiene por: a1 (1 − r n )
=
S
n
1− r
donde: Sn = suma de los términos de una sucesión aritmética. n = número de términos de la sucesión. a1 = primer término de la sucesión. r = razón común entre término y término. Ejemplo. Si los términos de una progresión son 3, 18, 108, 648, 3888, …, y el valor de la razón común es r = 6, la serie geométrica hasta el cuarto elemento es: a (1 − r 4 ) 3(1 − 6 4 ) 3(1 − 1296) 3(−1295) − 3885
=
=
=
=
S4 = 1
= 777
−
−
−
−
1
1
6
5
5
−
5
r
Práctica 15 La señora Luisa pidió un presupuesto para reparar ocho joyas. El encargado de la joyería le dice que le cobrará $6 por la primera joya, y por cada pieza sucesiva lo triple de la anterior. ¿Cuánto tendrá que pagar la señora Luisa al joyero? Al deducir la información para averiguar lo que le cobrarán a la señora Luisa, sólo sabes que: a1 = 6 (lo que cobra por reparar la primera pieza) n = 8 (número de piezas que se van a reparar) r = 3 (la razón común que cobrará por cada pieza subsiguiente) a8 = ? (lo que costará reparar la última pieza) 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica La característica principal de una progresión geométrica es que el valor de an depende directamente del valor que pueda tener la razón común “r”. Gráficamente, esto se representa mediante una curva exponencial cuyo crecimiento está en función del valor de “r”. Ejemplo. La siguiente tabla muestra los primeros cinco términos de tres progresiones geométricas obtenidas a partir de tres valores diferentes de “r”, la razón común entre dos términos. 30 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sucesiones Geométricas con diferentes tamaños de “r” 550
500
450
400
350
300
r=2
250
r=3
200
r=4
150
100
50
0
1
2
3
4
5
6
Observa que sucede con la curvatura de las sucesiones para los diferentes valores de “r”. Cuando la razón común “r” es positiva, la progresión geométrica es creciente (como en este ejemplo), mientras que si “r” es negativa, la progresión será decreciente. Práctica 16 Realiza lo que se te pide. Una empresa tiene un crecimiento geométrico a razón del triple por año. Si inició con un capital de 200 millones de pesos, ¿cuánto habrá crecido y cuál será su capital total en diez años? 31 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 17 Plantea y resuelve la ecuación del siguiente enunciado. Antonio tiene 7 años, su hermano Roberto 14 y su padre 40. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? 4. Conceptos algebraicos importantes 3
5, − 33, − , 20 , L
Coeficiente. Es cualquier cantidad numérica: 8
Literal. Es cualquier letra minúscula que represente una cantidad desconocida: a, b, x, y, z , L
Exponente. Es la potencia a la que se eleva el término. Término. Es la expresión algebraica que presenta cuatro elementos: signo, coeficiente, literal y exponente. Un ejemplo de un término es: donde el signo sólo puede ser positivo (+) o negativo (‐). Cuando no aparece el signo en un término algebraico, automáticamente se considera de signo positivo. Si no se especifica el coeficiente o el exponente de un término, se le asigna el valor de 1. Un monomio es un sólo término y en él no aparecen ni la adición ni la sustracción. Un binomio es una expresión algebraica compuesta de dos términos, un trinomio se compone de tres términos, y un polinomio es formado por dos o más términos. En resumen, un polinomio recibe su nombre a partir del número de términos que tiene: 32 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
4.1. Términos semejantes Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas literales, elevadas a los mismos exponentes. Aquí, los signos y los coeficientes pueden ser diferentes. Ejemplo. Indica si los términos son semejantes: Términos semejantes porque la literal y el y exponente son iguales. 3b
b
No son términos semejantes porque aunque las literales son iguales, éstas NO tienen el mismo 4ab y − 6a 2b
exponente. No son términos semejantes porque aunque las 3 2
2 3
y literales son iguales, éstas NO tienen el mismo 5x y
− 3x y
exponente. Términos semejantes porque las literales y los − 23 x 3 y 2 y 9 x 3 y 2
exponentes son iguales. Términos semejantes porque la literal y el x −5
x
−
5
y 7 k
exponente son iguales. k
No son términos semejantes porque aunque los 4cz
4cs
y exponentes son iguales, las literales no son las mismas. 4.2. Potencias 33 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
A la eexpresión aan se le cono
oce como potencia de un número
o o expresió
ón exponenccial, en do
onde “a” ess la base y ““n” es el exp
ponente. Laa potencia d
de un númeero es igual al prod
ducto de la b
base multip
plicada por ssí misma “n
n” cantidad de veces. Mateemáticamen
nte: Ejem
mplo: Resuelve las siguiientes expreesiones: a) 3
4 3 4 ⋅ 4 ⋅ 4 64
=
⎜ ⎟ = 3=
7 ⋅ 7 ⋅ 7 34
43
⎝7⎠ 7
b) ⎛ 4 ⎞
Al resultado de una multiplicación se lle llama pro
oducto, y a las cantidad
des que multiplicas se lees llama facttores. Prácctica 18 Realiiza las siguieentes poten
ncias: 7
−4) 5
a) (−
b) ⎛⎜ − 1 ⎞⎟
⎝ 2⎠
4.3. Leyes de lo
os exponentes m
ón de dos cantidades de d la misma base, es igual a tom
mar la 1era. Ley. La multiplicació
m
n
m
+
n
ma base y su
umar los exponentes: a ⋅ a = a
mism
2da. Ley. La divvisión de do
os cantidad
des de la misma m
base, es igual a tomar la misma m
m
base y restar lo
os exponenttes: a
= a m−n
n
a
3era. Ley. Si la m
multiplicación de dos o
o más cantidades cualeesquiera esttá elevada a una potencia, todos los factores toman el mismo expo
onente: m
m
a ⋅ b = a bm
4ta. Ley. Si la división d
de dos cantid
dades cuale
esquiera esttá elevada a una pote
encia, tanto
o el numeraador como eel denominador toman
n el mismo eexponente: (
34 Universsidad CNCI dde México )
m
am
⎛a⎞
⎜ ⎟ = m
b
⎝b⎠
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
5ta. Ley. Si una potencia se eleva a otra potencia, se toma la misma base y se multiplican los exponentes: n
a m = a m ⋅n
6ta. Ley. Toda expresión con exponente negativo, es igual a su recíproco: 1
−m
a
=
am
0
7ma. Ley. Toda cantidad elevada a la potencia cero, es igual a 1: a
=1
8va. Ley. Un número elevado a una potencia fraccionaria es igual a la raíz de ese número: nm
m n
a
=
a
Ejemplo. Aplica las leyes de los exponentes a los siguientes ejercicios: 8
6
2
6
2+ 6
8
=5 a) Ley 1: 5 ⋅ 5 = 5
b) Ley 2: = 68 − 3 = 6 5
3
6
3
5 ⎞ 53
4
⎛
4 4
c) Ley 3: 5 ⋅ 6 = 5 6
d) Ley 4: ⎜ ⎟ = 3
⎝7⎠ 7
1 1
4
−2
e)Ley 5: f) Ley 6: 3 = 2 =
32 = 32×4 = 38 3
9
43
4
3
g) Ley 7: 157 0 = 1
h) Ley 8: 45 = 45
( )
(
)
( )
Práctica 19 Simplifica las siguientes expresiones utilizando las reglas de los exponentes: a) b) a 3b + 2 c
x 4 g −5 f ⋅ x −5 g +5 f
a 2 b −5 c
35 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
5. Operacioness con monomios y polinomios 5.1
1. Suma de polinomioss Para realizar operaciones
o
s entre po
olinomios es e necesario que los términos sean semeejantes. Si deeseas realizar una adicción de polinomios, de
ebes sumarr los coeficientes, mie
entras que llas literales se mantien
nen con sus exponente
es. Ejem
mplo. Suma los polinom
mios 6 x 3 − 9 x + 5 x 2 − 10
1 y 8 x 3 − 7 x 2 − 5 + 5 x
Lo prrimero que debes haceer es identifficar los térm
minos semeejantes en ccada polinomio y acom
modarlos dee tal maneraa que se puedan sumar: minos semeejantes en ccada polinomio y Lo prrimero que debes haceer es identifficar los térm
acom
modarlos dee tal maneraa que se puedan sumar: Se suman los coeeficientes d
de acuerd
do con el siggno que tiene cada térm
mino. Prácctica 20 Sumaa los polino
omios − 5 y − 7 yy 5 y − 9
12
2
15
9
10
Recu
uerda que para sumaar o restarr fraccioness con diferente deno
ominador debes d
obtener un com
mún denominador y desspués tratar de simplifficar: a c ad ± bc
± =
b d
bd
5.2. Resta de polinomios Para resolver una resta en
ntre dos o más m polinomios es necesario mu
ultiplicar el signo negaativo (‐) por la totalidad
d de términos que se vayan a restar. − 8 + 6 z 2 + 4 z
3 z 2 + 6 de − 5z
Ejem
mplo. Resta Al nú
úmero que le vas a resstar se llamaa minuendo
o, mientras que el núm
mero que se
e va a restaar es el susttraendo, de manera qu
ue la resta se expresa d
de la siguien
nte forma: Al nú
úmero que le vas a resstar se llamaa minuendo
o, mientras que el núm
mero que se
e va a restaar es el susttraendo, de manera qu
ue la resta se expresa d
de la siguien
nte forma: 36 Universsidad CNCI dde México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Obseerva cómo eel sustraend
do se colocaa entre paré
éntesis paraa indicar la resta; este signo se multiplica po
or cada uno de los térm
minos para e
efectuar la rresta: Prácctica 21 3
5
1
A res
tar − x +
x −9
4
6
6
Realiiza las siguieentes operaaciones básicas. a) 8a 2 − 3a − 1 + − 5a 2 − 9a + 4
b) − 12b 4 − 10b 2 − 15b − 6b 4 + 15
1 b 2 + 13b
5.3. Multiplicacción de poliinomios En laa multiplicacción de expresiones alggebraicas puedes obseervar tres caasos: 1 Monomiio por mono
1.
omio 2 Monomiio por polinomio 2.
3 Polinomio por polin
3.
nomio 5.3.1. Mono
omio por mo
onomio Para mulltiplicar do
os monomios es nece
esario que utilices laas leyes de los m
expo
onentes parrticularmen
nte la 1era. Ley: a ⋅ a n = a m + n
Ejem
mplo 1. Resu
uelve los sigguientes pro
oductos. a) − 8 x 5 y 8 6 xy −6
En esste caso loss coeficienttes se multiplican y se suman los exponentees de las lite
erales que sson iguales: − 8 x 5 y 8 6 xy −6 = −48 x 5+1 y 8−6 = −48 x 6 y 2
(
) (
(
(
)
) (
)(
)
(
)(
37 Universsidad CNCI dde México )
)
Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
5.3.2
2. Monomio por polinomio En el producto de un monomio por u
un polinomiio se multip
plica el mon
nomio por ttodos de los exponentes en laas literales. los téérminos del polinomio y se aplican las leyes d
5 6
4 −6
3 5
−2 4
3
−4
Ejem
mplo. Realizza la siguien
nte multipliccación: 2x y 3 x y − 2 x y + 6 x y − 8 xy − y
Multtiplica el mo
onomio porr cada uno d
de los 5 términos del p
polinomio. EEs necesario
o que respeetes las leyees de los exxponentes een las sumass de las literrales iguales. (
)(
El ressultado del producto d
del monomio por el polinomio es:
6x 9 − 4 x 8 y11 + 12x 3 y10 − 16xx 6 y 9
− 2xx 5 y 2
Prácctica 22 Realiiza la siguiente multiplicación: a) (5a b c )(4a b)
−3
2 8
5
4
b) M
Multiplica por m5
m4
6
3
5.3.3
3. Polinomiio por polin
nomio Para multiplicarr un polinom
mio por otro
o polinomio
o es necesarrio que cadaa uno de loss térm
minos del priimer polino
omio se multiplique por los términ
nos del otro. Si existen térm
minos semejantes, habrrá que reducirlos. Ejem
mplo. Multip
plicar 6 x − 5 por 5x 2 − 7 x + 8
Aquí es necesaario que reealices tress pasos para obtenerr el produccto; primerro se requiere que m
multipliques 6x por cad
da uno de lo
os términoss del segun
ndo polinom
mio; a continuación haarás lo mism
mo con ‐5, yy por último
o reducirás los términoss semejante
es. 38 Universsidad CNCI dde México )
Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Otra forma de resolver la o
operación an
nterior es u
utilizando un
n arreglo co
omo el siguiiente, orma que accomodes los productoss obtenidoss con sus términos sem
mejantes parra de fo
podeer realizar laas sumas o restas algeb
braicas máss fácilmentee: Prácctica 23 Multtiplica 3 x 3 − 4 x 2 + 5 po
x + 4 or 2 x 3
+ 6x − 9
3
Multtiplica 3 x 5 + 5 x 4 − 2 x 2 − 4 x + 4 por 5 x − x + 2
mplifica los ssiguientes productos. Desaarrolla y sim
6 x5 y8 z 6 2 x3 z
a) 5
⎛2
⎞
− 12a 3b − 4 c − 2 ⎜ a −1c 4 − 5bc
b −4 + a −3b 4 ⎟
b) 9
⎝7
⎠
c) − 5 z 4 + 3z 2 − 9 − 2 z 3 − 4 z − 7
(
(
(
)(
)
)
)((
)
39 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Semana 2 Sesión 5 Los temas a revisar el día de hoy son: 6. Productos Notables 6.1. Binomios conjugados 6.2. Binomios con un término común 6.3. Binomios al cuadrado 7. Factorización 7.1. Factorización por factor común 7.1.1. Un monomio como factor común 7.1.2. Un polinomio como factor común 7.1.3. Factor común por agrupación 7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados 7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 6. Productos Notables Los productos notables son productos especiales cuyos resultados se obtienen sin llevar a cabo la multiplicación como lo viste anteriormente, sino que es posible obtener los resultados mediante el uso de algunas reglas simples. Estos productos se encuentran clasificados según su forma en: • Binomios conjugados • Binomios con un término común • Binomios al cuadrado 6.1. Binomios conjugados Es el producto de dos binomios cuyo primer término es idéntico al segundo, sólo que uno es positivo y el otro negativo; es decir, son dos binomios iguales con signos diferentes, los cuales tienen la forma algebraica siguiente: (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
“El primer término de cualquier paréntesis elevado al cuadrado, menos el segundo término de cualquier paréntesis elevado al cuadrado”. Ejemplo. Desarrolla el binomio 6 + a 6 − a
(
)(
)
(6 + a )(6 − a ) = 6 2 − a 2
= 36 − a 2
40 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 24 (
)(
a) Desarrolla el binomio 7 m − 4n 7 m + 4n
b) Resuelve el producto ⎛⎜ 12 x 4 y + 4 ⎞⎟⎛⎜ 12 x 4 y − 4 ⎞⎟
3 ⎠⎝ 5
3⎠
⎝5
3
2
3
2
)
6.2. Binomios con un término común El producto de binomios que contienen un término común tiene la siguiente forma algebraica: ( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b) x + ab
“El cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común, más el producto algebraico de los términos no comunes”. Ejemplo: desarrolla el binomio m + 9 m − 2
(
)(
)
(m + 9)(m − 2) = m 2 + (9 − 2)m + (9)(−2)
= m 2 + 7 m − 18
Práctica 25 a) Resuelve el producto (5w
8
)
⎛ 73
⎞⎛ 73 3 ⎞
⎜
b) Desarrolla el binomio ⎜ 4a + 6 ⎟⎟⎜⎜ 4a − ⎟⎟
5⎠
⎝
⎠⎝
41 Universidad CNCI de México )(
− 7 5 w8 − 3
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
6.3. Binomios al cuadrado Es una expresión algebraica que incluye un par de términos diferentes que están elevados al cuadrado. La fórmula que sirve para desarrollar este tipo de producto notable es: 2
a + b = a 2 + 2ab + b 2
“El cuadrado del primer término, más el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término”. 2
Ejemplo: desarrolla el binomio al cuadrado 3 y + 4
(
)
(
)
(3 y + 4)2 = (3 y )2 + 2(3 y )(4) + (4)2
= 9 y 2 + 24 y + 16
Práctica 26 (
)
5 2
a) Desarrolla el binomio 3m n − 5 p q
2
4 4 6 8⎞
⎛
b) Resuelve el binomio al cuadrado ⎜ a + b ⎟
5 ⎠
⎝ 9 7. Factorización Factorizar es el proceso inverso de multiplicar. Factorizar una expresión significa escribir una expresión equivalente expresada como la multiplicación de dos o más expresiones. Ejemplo. El procedimiento de factorizar se puede ilustrar mediante la siguiente tabla comparativa: 2
42 Universidad CNCI de México 3
3
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Existen muchas maneras de factorizar 12a2, cada una de ellas se llama factorización de 12a2. Los procedimientos principales de factorización son 3: • Factor común • Diferencia de cuadrados • Trinomio cuadrado perfecto 7.1. Factorización por factor común ¿Te acuerdas cómo se multiplica un monomio por un polinomio? El monomio multiplica a todos los términos del polinomio y se aplican las leyes de los exponentes en las literales, por ejemplo: 5m 3 2n 2 − 3m 2 n + 4 = 10m 3 n 2 − 15m 5 n + 20m 3
Factorizar es aplicar el producto inverso y se dice que estás sacando factor común. Su nombre lo dice, es el factor que está en todos los términos (en este caso el 5m3): (
)
(
)
10m n − 15m n + 20m = 5m 2n − 3m n + 4
Los polinomios que tienen factor común pueden tener alguna de las siguientes características, o ambas: sus términos son divisibles en un número común y/o cuentan con una letra presente en cada uno de los términos del polinomio. Existen tres casos de factorización por factor común: 1. Un monomio como factor común. 2. Un polinomio como factor común. 3. Factor común por agrupación. 3
2
5
3
3
2
2
7.1.1. Un monomio como factor común Un factor común de este tipo es un monomio que está presente en cada término del polinomio que se va a factorizar. Ejemplo: factoriza el polinomio 18 x 2
− 45 x + 27
Los coeficientes de este polinomio son 18, ‐45 y 27. Busca el número más grande que divida a los tres, en este caso el nueve, por lo que el primer paso para factorizar es 2
poner el nueve a la izquierda de un paréntesis: (
)
18 x − 45 x + 27 = 9
43 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
A continuación, dentro del paréntesis coloca números y literales que, al ser multiplicados por el factor común 9, den por resultado el polinomio que deseas factorizar: 18 x 2 − 45 x + 27 = 9 2 x 2 − 5 x + 3
(
)
Ejemplo: encuentra el factor común del polinomio 6 x y − 9 xy + 3 xy
2
2
Los coeficientes del polinomio son 6, ‐9 y 3, y su factor común es 3; es decir, es la cantidad más grande que puede dividir exactamente a los tres. En las literales, el factor común es “x” “y” debido a que son las letras que se repiten en cada término y que a la vez tienen el menor exponente. Por lo tanto: 6 x 2 y − 9 xy 2 + 3 xy = 3 xy (2 x − 3 y + 1)
Práctica 27 a) Factoriza 4 x y − 12 x y + 8 x y
4 6 2
5 5 6
b) Factoriza el polinomio 5a b c + 15a b c
2
10
4
6
8
5
− 20a 6b 4 + 35a 7 b 3c 8
7.1.2. Un polinomio como factor común Un factor común de este tipo es un polinomio que aparece en cada término de la expresión que se va a factorizar. Ejemplo: factoriza xn
(a + b ) + ym(a + b )
El factor común en los dos términos de esta expresión algebraica es (a+b): xn (a + b ) + ym (a + b ) = (a + b )(xn + ym ) Ejemplo: factoriza 2a (m − 2n ) − b (m − 2n ) El factor común es (m‐2n): 2 a (m − 2 n ) − b (m − 2 n ) = (m − 2 n )(2 a − b ) 7.1.3. Factor común por agrupación En este tipo de factorización se intenta extraer un doble factor común. Ejemplo: factoriza ax + ay + bx + by
En este polinomio, “a” es factor común de los dos primeros términos, y “b” es factor común de los últimos dos términos, por lo que puedes escribir: ax + ay + bx + by = a( x + y ) + b( x + y )
44 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
En esta última expresión matemática (x+y) es factor común de “a” y “b” por lo que la factorización final es: ax + ay + bx + by = x + y a + b
(
)(
)
7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados Recuerda que al multiplicar dos binomios conjugados obtienes una diferencia de cuadrados: a + b a − b = a 2 − b 2
Pero ahora conoces la diferencia de cuadrados y deseas factorizar, es decir, quieres obtener los binomios conjugados. Para que un binomio sea la diferencia de cuadrados, se deben cumplir tres condiciones: 1. Debe tener dos términos. 2. Debe haber un signo negativo entre los dos términos. 3. Que se pueda obtener la raíz cuadrada exacta de ambos términos. Los pasos que debes realizar para factorizar una diferencia de cuadrados son: 1. Escribe dos paréntesis: ( )( ). 2. En el centro de uno de los paréntesis pon el signo positivo, y en el centro del otro, pon el signo negativo, de manera que separen a los dos términos de cada binomio conjugado: ( + )( ‐ ). 3. Obtén la raíz cuadrada del primer término y anótalo dentro de los paréntesis: (a + )(a ‐ ). 4. Obtén la raíz cuadrada del segundo término y anótalo dentro de los paréntesis: (a + b)(a ‐ b). Ejemplo: factoriza la siguiente diferencia de cuadrados 9 x 2 − 4b 2
(
)(
)
(
(
+
9 x 2 = 3x
⎯
⎯→
4b 2 = 2b
⎯
⎯→
)(
)
)( − )
(3x + )(3x − )
(3x + 2b )(3x − 2b )
Práctica 28 a) Factoriza la diferencia de cuadrados 81m − 64n
b) Factoriza 16 p 2 − 25 p 4
8
45 Universidad CNCI de México 10
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Recuerda que un binomio al cuadrado te da el siguiente trinomio: 2
2
2
a
+
b
=
a
+
2
ab
+
b
Pero ahora conoces el trinomio y deseas factorizarlo; es decir, obtener un binomio al cuadrado. Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres condiciones: 1. Debe tener tres términos. 2. El primer término y el tercero deben tener raíz cuadrada exacta. 3. La doble multiplicación de la raíz del primer término por la raíz del tercer término, es el segundo término del trinomio original. Los pasos que debes realizar para factorizar un trinomio cuadrado perfecto son: 1. Escribe un paréntesis: ( ). 2. El signo que tendrá el binomio será el signo del segundo término del trinomio: ( ). ±
3. Obtén la raíz cuadrada del primer término y anótalo dentro de los paréntesis: (a ). ±
4. Obtén la raíz cuadrada del tercer término y anótalo dentro de los paréntesis: ±
(a b). 2
5. Eleva al cuadrado el binomio resultante: (a b)
. ±
2
Ejemplo 1: Factoriza el siguiente polinomio: p + 6 p + 9
+
p2 = p ⎯
⎯→ p +
9 =3 ⎯
⎯→ p + 3
2
p
+
3
(
)
(
)
(
(
(
)
Práctica 29 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. a) b) c) 6ac − 4ad − 9bc + 6bd + 15c 2 − 10cd
(a + 1)(a − 1) + (a − 1)(a 2 + 1)
(x + 1)2 − 16
64
46 Universidad CNCI de México )
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 6 Los temas a revisar el día de hoy son: 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c 8.2. Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c con a ≠ 0, 1 9. Factorización combinada 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c Un trinomio de segundo grado es el resultado de multiplicar dos binomios con un término común. Hay que resaltar que este trinomio no es cuadrado perfecto, debido a que no cumple con la segunda condición (tener raíz cuadrada exacta el primer y el tercer término). Considera el producto de los siguientes binomios: 1
x + m x + n = x 2 + (m + n) x + mn
Si se definen “b” y “c” como: b = m+n
c = mn
Sustituyendo lo anterior en (1): ( x + m )( x + n ) = x 2 + bx + c
A partir de esto, y de manera inversa, se puede decir que es posible factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, de la siguiente manera: x 2 + bx + c = x + m x + n
Los pasos que debes realizar en esta factorización son: 1. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el primer término. 2. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el tercer término. 3. Multiplica cruzado los factores de los pasos anteriores y súmalos algebraicamente para que den como resultado el segundo término. 4. Anota dentro de dos paréntesis los binomios resultantes. (
)(
()
)
(
47 Universidad CNCI de México )(
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 30 a) Factoriza y − y − 42
b) Factoriza n 2 − 3n − 10
2
48 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
8.2. FFactorizació
ón de un triinomio de lla forma axx2 + bx + c ccon a ≠ 0, 1 Un trrinomio de la forma axx2+bx+c, tiene como caaracterísticaa que el coeeficiente de
e x2 es diferrente de cerro y de uno, por lo tanto, su facto
orización es un poco más complejaa que la an
nterior, aunq
que se resuelve de la m
misma mane
era que el ttrinomio antterior. os que parra un Los pasos que debes reaalizar en essta factorizzación son los mismo
2
omio de segundo grado
o de la form
ma x + bx + c: trino
1 Busca do
1.
os factores que multipllicados den como resultado el prim
mer término. 2 Busca do
2.
os factores que multipllicados den como resultado el tercer término
o. 3 Multiplicca cruzado llos factoress de los paso
3.
os anteriorees y súmalo
os algebraiccamente paara que den
n como resu
ultado el seggundo térm
mino. Anotta dentro dee dos parén
ntesis los bin
nomios resu
ultantes. 9. Faactorización
n combinad
da Algunas expresiones algebrraicas que sson factorizables tienen, al mismo
o tiempo, do
os o más formas de ffactorizació
ón involucraadas. El pro
ocedimientto general p
para realizarr una factorrización com
mbinada es:: 1. Siempre em
S
pieza buscaando factor común. 2. Luego exam
L
ina el númeero de térm
minos: 3. Dos término
D
os: checa si es una diferencia de cu
uadrados. 4. Tres término
T
os: checa si es un trino
omio cuadraado perfecto
o, sino prue
eba c
con otro tipo
o de trinom
mios. Siem
mpre factorizza las vecess que sea neecesario hassta que ya n
no sea posib
ble factorizaar más. 49 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Ejemplo. Factoriza 6 x 2 − 24
Inicialmente la expresión algebraica tiene la forma de una diferencia de cuadrados, pero es obvio que ninguno de los dos términos tiene raíz exacta. El binomio tiene como factor común al número 6, por lo que: 6 x 2 − 24 = 6 x 2 − 4
En la expresión resultante es posible factorizar utilizando diferencias de cuadrados: 2
6
x
− 24 = 6 x + 2 x − 2
(
(
Práctica 31 a) Factoriza x 4 − 8 x 2 + 16
b) Factoriza 18m
n − 50m 3 n 5
5 3
50 Universidad CNCI de México )(
)
)
Semana 1 y 2
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 7 Los temas a revisar el día de hoy son: 10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales 11. División de polinomios 10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales Las expresiones algebraicas racionales están formadas por polinomios indicados como una división. Algunos ejemplos son: 1
x
3x 3 + 8 x 2 − 5 x − 6
, ,
4x2 + 6x −1
x2 − 6x + 8 4 x3 − 2 x 2 + 9 x − 1
Una expresión racional se denota con la expresión P( x) , Q(x) ≠ 0 Q ( x)
donde P(x) es el polinomio que está en el numerador y Q(x) es el polinomio que está en el denominador de la fracción. Para simplificar expresiones algebraicas racionales es necesario que utilices el principio fundamental de las fracciones que enuncia lo siguiente: Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una misma cantidad diferente de cero, el valor de la fracción no se altera. El principio te permite eliminar los factores comunes en el numerador y el denominador de una fracción dada: ak
a
= , siempre y cuando b, k ≠ 0 bk b
Una fracción está totalmente simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de 1 y ‐1. Al mismo tiempo, el principio te permite encontrar fracciones equivalentes multiplicando el mismo número al numerador y al denominador de una fracción; a ak
este proceso se le conoce como elevar una fracción, es decir: a
=
b bk
En el caso de que en una fracción el numerador y el denominador tengan algún factor común, puedes hacer uso de los diversos procedimientos para encontrar sus factores y simplificarla. 51 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Ejem
mplo. Simplifica la fraccción 3 x 3 − 6 x 2 + 3 x
3x 2 − 3x
Para simplificarr la fracción
n, es posiblle factorizar el numerrador y el d
denominado
or de mpartan un factor com
mún: maneera que com
3x 3 − 6 x 2 + 3x 3x x 2 − 2 x + 1 x 2 − 2 x + 1
=
=
3x 2 − 3x
3 x( x − 1)
x −1
En laa fracción reesultante, eel numerador es un trinomio cuaadrado perffecto, por lo
o que pued
des factorizzarlo como
o la difereencia de dos d
términos al cuad
drado y uttilizar nuevvamente el principio fu
undamental de las fraccciones: 2
(x − 1)(x − 1) = x − 1
x 2 − 2 x + 1 ( x − 1)
=
=
(x − 1)
x −1
x −1
de m
manera que la simplificaación es: 3x 3 − 6 x 2 + 3x
= x −1
3x 2 − 3x
(
)
Prácctica 32 30 x 2 − 19 x − 5
a Simplificca la fracción a)
6 x 2 − 11
1 x+5
20b + 5
b Simplificca la fracción b)
4b 2 − 7b − 2
c Simplificca a 2 − 4ab + 4b 2
c)
2
2
a
−
4
b
División de polinomioss 11. D
La simplificació
s
ón de fraccciones no siempre puede reaalizarse po
or medio de d la facto
orización vista anterio
ormente, en algunas ocasiones esa reduccción tendráá que llevarse a cabo p
por medio d
de la divisió
ón directa de polinomio
os. Una división in
ndependientemente sii es de can
ntidades nu
uméricas o de polinomios, consta de un divisor d
(el que divide), dividendo (lo que se va a divvidir), cocciente (resu
ultado de la división) y residuo (ess la parte qu
ue sobra si la división n
no es enteraa). La división de po
olinomios respeta la siguiente serrie de pasoss: 52 Universsidad CNCI dde México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
1 Ordena los término
1.
os de ambos polinom
mios según las potencias (de mayor a menor o
o viceversa) de alguna d
de las literales comunees a los dos polinomioss. 2 Divide el 2.
e primer téérmino del dividendo entre e
el priimero del d
divisor, con
n esto obtendráás el primerr término del cociente. 3 Multiplicca el términ
3.
no del cocieente del passo anterior por el divissor y se restta del dividend
do, obtenién
ndose un nu
uevo dividendo. 4 Con lo o
4.
obtenido en el paso anterior se re
epiten las op
peraciones de los paso
os 2 y 3 hasta que obtengas un resiiduo igual a a cero o un
na expresió
ón algebraicca de grado menor que el del dividen
ndo. d
dividendo
residuo
o
El ressultado se eexpresa de la siguientee manera: = cocientee +
divisor
divisorr
2
Ejem
mplo. Dividee − 7 x + 6 x entr
− 19 re − 5 + 2 x
Primero ordenaa los términ
nos de amb
bos polinom
mios según
n las potenccias de mayor a menor: Primero ordenaa los términ
nos de amb
bos polinom
mios según
n las potenccias de mayor a menor: Ahorra sí, divide:: 53 Universsidad CNCI dde México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
El co
ociente de laa división es ; 3 x + 4 la división nno es exacta, debido a que se tienne un resid
duo en la op
peración. videndo
r
residuo
La fo
orma como debes expresar lo anteerior es: div
= cociente
c
+
d
divisor
divisor
6x 2 − 7 x − 19
1
= 3x + 4 +
2x − 5
2x − 5
Prácctica 33 m
a Determina el cocien
a)
nte y el residuo de la división 3m
2
4
3
− 2 entre 2 + y − 3 y
b Divide y + 2 y − 3 y + y b)
2
54 Universsidad CNCI dde México 3
− 8m 2 + 8
m−2
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 8 Los temas a revisar el día de hoy son: 1. La igualdad matemática 1.1. Identidades y ecuaciones 1.2. Propiedades de la igualdad 1.3. Propiedades de los números reales 2. Ecuación de primer grado con una incógnita 2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal 2.2. Solución de una ecuación lineal mediante el método de transposición de términos. 2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico 2.3.1. Ecuación de primer grado con dos incógnitas 1. La igualdad matemática Una igualdad matemática se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Matemáticamente hablando, dos expresiones algebraicas serán iguales si tienen precisamente el mismo valor: expresión 1 = expresión 2 Ejemplo 1. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a sus componentes. 3+4+2=7+2
8−3 = 5
Como solo tienen números, se denominan
igualdades numéricas,
(x + y )2 = x 2 + 2xy + y 2
mientras que a estas dos se les conoce
como igualdades algebraicas debido a
2
a −1= 0
que contienen números y literales.
Ahora bien, puedes visualizar una igualdad como una balanza en equilibrio, donde el equilibrio no se debe perder nunca; es decir, si de un lado de ésta hay determinada cantidad y se coloca o quita una parte, la misma parte deberá ser retirada o añadida del otro lado. Añadiendo una
cantidad x
a ambos lados
de la balanza
55 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Matemáticamente puedes decir que:
, y parece bastante lógico, ¿no?
Siguiendo con la balanza, supón que le sumas (añades) una cantidad cualquiera, en este caso
representada por un vaso de agua, entonces:
Observa que no es tan difícil mantener el balance en una igualdad matemática.
Ahora, la pregunta es, ¿será equivalente la siguiente expresión?
1 kg = 0.5 kg + 0.5 kg
Analiza: 0.5 + 0.5 es igual a 1, por lo tanto, puedes decir que la expresión anterior sí es equivalente y
que por lo tanto, esa igualdad puede ser tratada como cualquier otra.
Otra forma de presentarte una igualdad es la siguiente:
1 = 0.5 + x
En esta expresión tienes una parte desconocida, la x, pero rápidamente sabes que el valor de x debe
ser 0.5 para que el “equilibrio” de la igualdad se conserve.
Ejemplo: Dos vendedores de agua fresca, Carlos y Claudia, tienen tres jarras con agua de frutas cada uno. Carlos ha colocado en la primera jarra medio litro de agua de jamaica, en la segunda tiene un tercio de litro de agua de horchata y en la tercer jarra tiene un litro de agua de limón. Claudia ha colocado tres cuartos de litro de agua de naranja en la primera jarra, un cuarto de litro de agua de melón en la segunda, y cinco sextos de litro de agua de mango en la tercera jarra. ¿Qué harías para saber cuál de los dos vendedores tiene más agua? Carlos que colocó en tres jarras medio litro de agua de jamaica, un tercio de litro de agua de horchata y un litro de agua de limón respectivamente; o Claudia que colocó en tres jarras tres cuartos de litro de agua de naranja, un cuarto de litro de agua de melón y cinco sextos de litro de agua de mango? Lo primero que debes hacer es plantear una igualdad para cada uno de los vendedores: Cantidad de agua
de Carlos
=
Cantidad de agua
en la jarra 1
+
Cantidad de agua
en la jarra 2
+
Cantidad de agua
en la jarra 3
Cantidad de agua
de Claudia
=
Cantidad de agua
en la jarra 1
+
Cantidad de agua
en la jarra 2
+
Cantidad de agua
en la jarra 3
56 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Después establece una incógnita para cada uno (x para Carlos , y para Claudia), y resuélvelas: 3 1 5
1 1
y = + +
x = + +1
4 4 6
2 3
x=
3+2+6
6
y = 1+
x=
11
6
y =
6+5
6
y =
11
6
5
6
Comparando resultados, los dos vendedores tienen la misma cantidad de agua en sus jarras. 1.1 Identidades y ecuaciones Como sabes, una igualdad algebraica se compone de números y literales. En la siguiente figura puedes ver su clasificación, tomando en cuenta si la igualdad se verifica para todos o solo algunos números reales. Se hablará de una identidad cuando la igualdad se cumpla para cualquier valor que se le dé a sus literales. Tendrás una ecuación cuando la igualdad se cumpla solo para algunos valores que se le den a sus literales o incógnitas. a m − n 2 = am − an 2
Ejemplo. Verifica por qué la expresión es una identidad. Para que una expresión algebraica sea una identidad, es necesario que la igualdad se mantenga, aún cuando sus literales tomen cualquier valor. Si arbitrariamente le das los siguientes valores a las literales: a=2, m=3 y n=‐1, entonces, Para que una expresión algebraica sea una identidad, es necesario que la igualdad se mantenga, aún cuando sus literales tomen cualquier valor. (
57 Universidad CNCI de México )
Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Si arrbitrariamente le das los siguien
ntes valore
es a las liteerales: a=2
2, m=3 y n=‐1, entonces, Si obseervas, para ccualquier valor daado a las litterales, la igualdaad siemp
pre se cumplirrá, por lo tanto, la expresiión si es una identid
dad. Los valores v
que hacen ciertta la igualdaad reciben el e nombre de d solucionees o raíces de la ecuacción. Prácctica 34 Veriffica por quéé la expresió
ón una ecuaciión. 2 y − 3 = es x+5
Propiedade
es de la iguaaldad 1.2 .P
Las iggualdades ttienen y cum
mplen con una serie d
de propiedades que se pueden de
educir de fo
orma inmed
diata, las cu
uales se mencionan a ccontinuación
n. n a, b, y c nú
úmeros reales, entoncees: Sean
Propiedad
Represen
ntación
algebrraica
R
Reflexiva
a= a
S
Simétrica
S a=b, enton
Si
nces b=a
E
Ejemplo
Todo número
o es igual a sí
mismo.
Si 3+
+x, entonces:
3+
+x = 3+x
s
Es posible intercambiar los
miembros de
e una igualdad
d
sin que ésta se
s altere.
S 2+3=5,
Si
enton
nces 5=2+3
Transitiva
S a=b y b=c
Si
c, entonces
a=c
Si dos expres
siones son
iguales a una
a tercera,
entonces ésttas son iguales
entre sí.
Si 1+3
3=4 y 4=2 2,
entonces:
1+3 = 2 2
Principio de
su
ustitución
Si a=b, enton
S
nces ambas
p
pueden
ser uttilizadas en
c
cualquier
prop
posición sin
q el valor de
que
e verdad de
é
ésta
cambie.
siones son
Si dos expres
iguales, ésta
as pueden ser
sustituidas en cualquier
proposición sin
s que el valo
or
de verdad ca
ambie.
1=4, entonces
s,
Si 3+1
es lo mismo
m
escribirr
4+1=5
que
3
3+1+1=5
58 Universsidad CNCI dde México Signifiicado en
lenguaje
e coloquial
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Existe otro grupo de propiedades que te permiten resolver igualdades, las cuales se mencionan a continuación. Sean a, b y c números reales, entonces: Propiedad
Representación
algebraica
Propiedad
de la suma
Puedes sumar el mismo número
Si a=b, entonces
a los dos miembros de una
a+c=b+c
igualdad y ésta no se altera.
Si 5+1=4+2, entonces:
5+1+3 = 4+2+3
9=9
Propiedad
de la resta
Si a=b, entonces
a-c=b-c
Puedes restar el mismo número
a los dos miembros de una
igualdad y ésta no se altera.
Si 5+1=4+2, entonces:
5+1-2 = 4+2-2
4=4
Propiedad de la
multiplicación
Si a=b, entonces
ac=bc
Puedes multiplicar el mismo
número a los dos miembros
de una igualdad y ésta no
se altera.
Si 5+1=4+2, entonces:
(5+1)3 = (4+2)3
(6)3=(6)3
18=18
Si a=b, entonces
Propiedad de
la división
Significado en
lenguaje coloquial
Puedes dividir los miembros de
una igualdad entre el mismo
número y ésta no se altera.
Ejemplo
Si 5+1=4+2, entonces:
1.3. Propiedades de los números reales Por último, algunas propiedades de los números reales que necesitas conocer para hacer más fácil el trabajo de resolver ecuaciones se describen a continuación. Propiedad conmutativa La palabra “conmutativa” viene del verbo conmutar que significa cambiar, en este caso, se refiere a cambiar de lugar. La propiedad conmutativa dice que puedes cambiar el orden de los números en una suma o multiplicación y a pesar de esto obtener el mismo resultado. Por ejemplo: 2+3 = 5 → 3 + 2 = 5
2x + 3x = 5x → 3x + 2x = 5x
Ambas operaciones dan como resultado 5 o 5x, no importa cuál término escribes primero o cuál colocas después. Tú puedes conmutar (cambiar) el orden de cualquier suma o multiplicación sin alterar el resultado, pero ¡¡¡OJO!!! Jamás uses esta propiedad con restas o divisiones porque no siempre obtendrás el mismo resultado. Por ejemplo, 3‐5 no es lo mismo que 5‐3, ni 3x‐5x equivale a 5x‐3x. Por otro lado, 10 entre 5 no es igual a 5 entre 10, o 10x entre 5x no equivale a 5x entre 10x. Para comprobarlo efectúa las operaciones y verás que el resultado es distinto. 59 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Propiedad asociativa La palabra “asociativa” viene del verbo asociar que significa juntar o agrupar, por eso también la llaman la propiedad de agrupamiento. Esta propiedad dice que si estás sumando tres o más números o multiplicando tres o más números, puedes agrupar o juntar los números en diferentes formas y a pesar de ello obtener el mismo resultado. Por ejemplo: (4 + 5) + 3 = 12 → 4 + (5 + 3) = 12
(4m + 5m ) + 3m = 12m → 4m + (5m + 3m ) = 12m
Si te fijas bien verás que no importa de qué manera se asocien los términos, el resultado siempre será el mismo. Lo mismo pasa con la multiplicación: (4 × 5)× 3 = 60 → 4 × (5 × 3) = 60
4m × 5m × 3m = 60m 3 → 4m × 5m × 3m = 60m 3
Observa que el resultado siempre es el mismo, no importa como agrupes los términos. Tú puedes asociar (agrupar) en cualquier forma la suma o multiplicación sin alterar el resultado, pero ¡¡¡OJO!!! Jamás uses esta propiedad con restas o divisiones porque no siempre obtendrás el mismo resultado. Observa que (3‐5)‐6 no es lo mismo que 3‐(5‐6); o bien, (3÷5)÷6 no es lo mismo que 3÷(5÷6). Propiedad distributiva La palabra “distributiva” viene del verbo distribuir que significa repartir. Esta propiedad dice que si estás multiplicando un término por la suma de dos o más términos, puedes multiplicar el primer término por cada uno de los otros y luego sumar para obtener el resultado; es decir, distribuyes el producto en la suma. Por ejemplo: 2 3 + 4 =2 3 +2 4
2m 3m + 4m = 2m 3m + 2m 4m
Propiedades de los neutros Existen dos números especiales entre los números reales: el cero y el uno. ¿Por qué son especiales? Pues porque son completamente neutrales o neutros ante algunas operaciones; es decir, no pueden hacer nada con ellas, no cambian el resultado. El cero es neutral frente a la suma y la resta, y el uno es neutral ante la multiplicación y la división. Al número 0 se le conoce como neutro aditivo y al número 1 como neutro multiplicativo. Por ejemplo: (
)
(
(
(
( ) ( )
( )
(
6 + 0 = 6;
8 − 0 = 8;
3m + 0 = 3m
6 ×1 = 6;
8 ×1 = 8;
3m×1 = 3m
60 Universidad CNCI de México )
)
)
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Propiedades de los inversos Si recuerdas, para todo número real positivo, existe del otro lado de la recta numérica, a la misma distancia del cero, un número de la misma magnitud pero de signo contrario. Dicho número es su simétrico. Dichos números tienen la característica de que si se suman siempre dan como resultado CERO. Debido a ello, a estos números se les denomina inversos aditivos. Por ejemplo: 1 1
− 10 + 10 = 0
−4+4 = 0
− + =0
2 2
Se dice que el inverso aditivo de 10 es ‐10 y viceversa. Otro número importante es aquel que multiplicando por otro nos da como resultado al número 1. Este número especial se conoce como inverso multiplicativo o recíproco. Por ejemplo: ⎛ 1⎞
8 ⎜ ⎟ =1
⎝ 8⎠
1 ⎛ 3⎞
⎜ ⎟ =1
3 ⎝1⎠
6 ⎛ 5⎞
− ⎜ − ⎟ =1
5 ⎝ 6⎠
Como ves, el inverso multiplicativo (o recíproco) de un número entero se representa mediante la unidad sobre el número en cuestión, y el inverso multiplicativo de una fracción, es también una fracción con las partes invertidas; es decir, el numerador de una, es el denominador de otra y viceversa, sin importar si es negativo o positivo. Práctica 35 Indica que propiedad de los números reales se está utilizando en cada una de las siguientes expresiones algebraicas. 1. 74m + 123n 12 = 12 74m + 123n
2. 3 × 1 + 5 = 8
3. − 6 + 5 − − 6 + 5 = 0
4. m × n × p = m n × p
5. 3 + 8 + 0 = 11
1
3
1
3
6. 2 x⎛⎜ y − z ⎞⎟ = 2 x⎛⎜ y ⎞⎟ + 2 x⎛⎜ − z ⎞⎟
4 ⎠
⎝ 4 ⎠
⎝2 ⎠
⎝2
7. ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ 2 =1
⎝2⎠
(
)
(
(
(
(
)
)
) (
)
)
(
)
()
61 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
2. Ecuación de primer grado con una incógnita A partir de ésta sesión, en cada uno de los temas que verás utilizarás los conceptos aprendidos en las sesione anteriores. Tanto el lenguaje algebraico, como las propiedades de la igualdad, las operaciones con números reales, los productos notables, entre otros, te servirán de base para lograr los próximos aprendizajes. Ecuaciones Lineales Las ecuaciones con una variable o una incógnita son aquellas en las que aparece solo una literal o letra (normalmente la x); y se dice que son de primer grado cuando dicha literal está elevada a la potencia 1. Por ello, las ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo a su grado como: Ecuación lineal o de primer grado. Ejemplo: 3 x − 4 = 8
Ecuación cuadrática o de segundo grado. Ejemplo: 2 x 2 − 5 x + 3 = 0
3
2
Ecuación cúbica o de tercer grado. Ejemplo: x − 2 x + 6 x + 1 = 0
y así sucesivamente. Una ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita es una expresión con a ≠ 0
de la forma ax + b = 0
Algunos ejemplos son: 8 x + 10 = 50, x − 5 = 7, − 2 x + 13 = 5
Cualquier otra ecuación en la que se deban realizar operaciones, pero que adopten esa forma serán llamadas ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita, como 5
por ejemplo: + 3 = −2,
7
x
+
8
=
2
x
−
7
,
2 a − 5 + 3 2a + 1 = 7 a − 3
y
Las tres ecuaciones anteriores aunque no tienen la forma ax+b, son ecuaciones de primer grado con una incógnita, pues solo tienen una variable y está elevada a la potencia 1. Solo se tienen que simplificar para llegar a la forma deseada. 2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal Existen problemas cotidianos que se resuelven por medio de ecuaciones lineales, como la distancia que recorre un objeto con un movimiento uniforme, los costos de producción, el interés simple o las mezclas en general. No puedes concebir una ecuación sin que esté relacionada con la resolución de un problema, ya sea en la sustitución de datos o en el despeje de alguna incógnita. Puedes resolver una ecuación de primer grado de tres formas; por el método formal que ocupa las propiedades de la igualdad, por el método de transposición o de despejes, y por el método gráfico. En ocasiones te conviene más utilizar una técnica por las características de la ecuación, el problema que deseas resolver o las intenciones que buscas. (
62 Universidad CNCI de México ) (
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Método formal Para resolver ecuaciones lineales mediante el método formal deberás indicar las propiedades de la igualdad y de los números reales que utilices. Ejemplo: problema de cantidad y valor. Juan tiene 15 pesos y desea repartirlos entre sus dos sobrinos. A Pepe le da 3 pesos, ¿cuánto le toca a Javier? Plantea la ecuación y resuélvela matemáticamente. Solución La ecuación de primer grado con una incógnita por resolver es . Tu trabajo consiste en averiguar cuánto vale x; mentalmente ya lo sabes, pero lo debes demostrar matemáticamente. Para aislar o averiguar el valor de x debes quitar el número 3; es decir, debes hacerlo cero, y eso lo logras sumándolo con su inverso aditivo que es ‐3. Recuerda que también debes restarlo al 15 para no alterar la igualdad. Generalmente en este paso, se te decía “el 3 pasa restando del otro lado”, pero ahora ya sabes por qué. Entonces: 3 + x = 15
− 3 + 3 + x = 15 − 3
Después de efectuar la operación ‐3+3=0, has obtenido el cero, 0 + x = 12
entonces te basas en los hechos que viste para el neutro aditivo, con lo que 0+x=x, y del otro lado 15‐3=12: x = 12
Conclusión A Javier le corresponden 12 pesos. De ahora en adelante cuando resuelvas cualquier tipo de ecuación, siempre deberá ser comprobada para verificar que la solución es correcta. Comprobación Para comprobar que un valor es solución de una ecuación, lo colocas en el lugar de la incógnita y realizas las operaciones para verificar que la igualdad se cumple. Para el ejemplo: 3 + x = 15
Por lo tanto, la ecuación se resolvió correctamente, 3 + 12 = 15
Javier recibirá 12 pesos y Pepe solamente $3. 15 = 15
Práctica 36 En una panadería se hizo un pedido de 20 donas de chocolate. El panadero puso 2 donas en un plato y las restantes las depositó en nueve canastitas adornadas. ¿Cuántas donas hay por canastita, si hay la misma cantidad en todas? 63 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
2.2 Solución de una ecuación lineal mediante el método de transposición de términos. La transposición de términos es una método que te permite resolver ecuaciones de primer grado de manera sencilla y ahorrando una cantidad significativa de pasos. También llamado solución por despejes. En esta técnica debes agrupar en un miembro todos los términos con la incógnita (por ejemplo x), y en otro, los términos independientes. El método de transposición o de despejes abrevia el método formal ya que puedes hacer que un término que aparece en un miembro, aparezca de forma inversa en el otro, sin necesidad de indicar la o las propiedades utilizadas; es decir, realizar despejes: • Si un término está sumando en un miembro, aparece restando en el otro, y si está restando, aparece sumando. Si un término está multiplicando en un miembro, aparece dividiendo en el otro, y si está dividiendo, aparece multiplicando Ejemplo 1. Observa la transposición de la ecuación : 4x − 8 = 6 + 2x
Solución: Ya no es necesario indicar cada propiedad que apliques para despejar la incógnita. Con la ayuda de este método solo tienes que hacer los siguientes pasos: • El número 8 que se estaba restando del lado izquierdo, pasa al lado derecho sumando. • El 2x que se estaba sumando del lado derecho, se pasa del lado izquierdo restando. • Por último, el 2 que multiplica a la incógnita, pasa del lado derecho dividiendo al 14, y así, el valor de x es 7. Comprobación: Sustituye el valor de x en la ecuación original: 4 x − 8 = 6 + 2 x
4 7 −8 = 6 + 2 7
28 − 8 = 6 + 14
20 = 20
()
()
Práctica 37 En una tienda de ropa para dama, una empleada coloca el precio de $900 a un conjunto de dos piezas, con la leyenda de que ya tiene incluido un descuento del 25% sobre el precio de venta. ¿Cuál era el precio del conjunto antes del descuento? 64 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Se mezcla x cantidad de café cuyo precio es de $69.60 por kilogramo, con 80 kilogramos de otro café cuyo precio es de $100.80 el kilogramo, para obtener una mezcla que puede venderse a $88.80 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de $69.60 deben emplearse en la mezcla? 2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico Si recuerdas, una ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación de la forma: ax + b = 0
con a ≠ 0
donde x es la incógnita y el coeficiente a puede ser una cantidad numérica diferente de cero. Una ecuación de primer grado o ecuación lineal tiene las mismas características que cualquier otra ecuación: a) Toda ecuación tiene dos miembros separados por el signo igual. El de la izquierda se llama primer miembro y el de la derecha se llama segundo miembro de la ecuación. b) Se les llama términos de la ecuación a cada una de las expresiones literales o numéricas separadas por los signos de suma o resta (+ o ‐), y también puede haber ecuaciones con un solo término. c) Resolver una ecuación es hallar un número que al sustituirlo en la igualdad la haga verdadera, este número se denomina solución o raíz de la ecuación. d) El grado de la ecuación está indicado por el mayor exponente de la variable, que en este caso, siempre será 1. Para introducirnos de lleno al método gráfico, que es la tercera técnica de solución de una ecuación lineal, primero necesitas conocer algunos conceptos matemáticos. 2.3.1 Ecuación de primer grado con dos incógnitas Una ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos incógnitas se expresa como: Ax + By + C = 0
A ≠ 0, y B ≠ 0
donde A, B y C ∈ R
Si recuerdas, en sesiones anteriores viste que el conjunto de los números reales se representa por la letra R (Figura 6), y que el símbolo ∈ significa pertenencia. Esto quiere decir que los coeficientes A, B y C pertenecen al conjunto de los reales, lo cual indica que pueden tomar cualquier valor: positivo, negativo, fraccionario, entero, racional o irracional, pero A y B deben ser diferentes de cero. La ecuación anterior involucra a dos variables o incógnitas, representadas por x y y, por lo que es evidente que la solución de ésta ecuación es una pareja de valores que satisfacen la igualdad. 65 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Ejemplo: determina los valore de x y y que satisfacen la siguiente ecuación lineal con dos incógnitas x + y = 2. La solución más obvia es: x=1 y y=1, ya que 1 + 1 = 2 Sin embargo, x=1.5 y y=0.5 también es una solución. Pero, también es una solución x=0.5 y y=1.5. Procediendo de esta manera puedes determinar un número infinito de soluciones. El procedimiento para encontrar todas las parejas de valores de x y y que constituyen el conjunto solución de una ecuación lineal con dos incógnitas consiste en: 1. Despeja cualquiera de las dos variables (comúnmente, se acostumbra despejar la incógnita y para que quede en función de x). 2. Asígnale valores a la otra variable. 3. Determina el valor que le corresponde a la variable que despejaste. Práctica 38 a) Dada la ecuación 5x + 2y – 3 = 0, encuentra al menos tres soluciones. b) En el parque de tu colonia se estableció una cancha de tenis pero sin tomar en cuenta las medidas reglamentarias. Lo único que sabes es que su perímetro es de 120 metros. ¿Cómo puedes saber cuánto miden sus lados? Hasta lo que has visto ahora, ¿ya entendiste la diferencia entre una ecuación de primer grado con
una incógnita y otra con dos incógnitas?, ¿no?
Analiza los siguientes ejemplos:
Ecuación con una incógnita
Ecuación con dos incógnitas
Si se tiene la ecuación 9 x + 2 = 20
despejando la incógnita se obtiene:
Si se tiene la ecuación 4 x + 2 y − 7 = 0
Lo primero que debe hacerse es
expresarla como función, despejando y:
9 x + 2 = 20
9 x = 20 − 2
18
x =
9
x =2
4 x + 2y − 7 = 0
4
7
y =− x+
2
2
Dando diferentes valores a x se obtendrán
diferentes valores para y. Algunos de ellos
pueden ser:
x
y
-2
7.5
-1
5.5
0
3.5
1
1.5
2
-0.5
Si observas, en la ecuación lineal con una incógnita se obtiene un solo valor que hace válida la
igualdad, mientras que en la ecuación lineal con dos incógnitas, una de ellas se convierte en la
variable dependiente (y), y toma infinitos valores dependiendo de los valores que se le asignen a la
variable independiente (x).
66 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 39 Instrucciones: plantea la ecuación lineal del problema y resuélvela mediante el método de despejes. Problema de mezclas. ¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1000 cada uno, deben mezclarse con 6 kilogramos de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo? Problema de mezclas. Una florista vende un arreglo con dos docenas de flores en $750. El ramo está formado por rosas cuyo precio es de $500 la docena, y de claveles a $300 la docena. ¿Cuántas flores de cada especie debe poner para formar el ramo? Sugerencia: llama x al número de rosas, y 24‐x al número de claveles. 67 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Semana 3 Sesión 9 Los temas a revisar el día de hoy son: 2.3.2. Introducción a las funciones 2.3.3. Plano cartesiano 2.3.4. La función lineal y su relación con la ecuación lineal 2.3.5. Graficación mediante tabulación 2.3.6. Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen 2.3.7. Graficación por medio de las intersecciones con los ejes 3. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 3.1. Clasificación de los sistemas de ecuaciones 3.2. Métodos de solución de sistemas 2×2 3.2.1. Método de suma y resta 3.2.2. Método de sustitución 3.2.3. Método de igualación 3.2.4. Método gráfico 2.3.2 Introducción a las funciones El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos, que por lo general son números, y cuya correspondencia se establece mediante una regla de asociación. Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones: • Cuando viajas en autobús o automóvil, en un tiempo determinado recorres distancias que dependen de la velocidad con que se desplaza el vehículo. La distancia recorrida está en función de la velocidad, y como sabes, la regla de asociación es: distancia=velocidad por tiempo. • La temperatura o el grado de humedad ambiente a lo largo de un día depende de la hora; es decir, con cada hora está asociada una determinada temperatura o cierto grado de humedad, de manera que la temperatura o humedad están en función de la hora del día. • Al depositar dinero en un banco a cierta tasa de interés, obtienes una ganancia. Dicha ganancia está en función de la tasa de interés. • Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos de objetos. Ejemplo • A cada persona se le asocia: 68 Universidad CNCI de México una edad, una estatura, un peso, etc. Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
• A cada aautomóvil see le asocia: un modelo, un número de moto
or, un número de placas, etc. • En un alm
macén a cada artículo se le asociaa: un precio
o, un número de inven
ntario, men, etc. un volum
• A cada p
país se le aso
ocia: un régimen socioeco
onómico, un nombre, una supeerficie, una alturra sobre el n
nivel del maar, un clima,, etc. Este tipo de relaaciones tam
mbién se esttablecen entre las variaables que in
ntervienen e
en el dio de un determinado
o fenómeno
o de la naturaleza, social, etc., ya ssea para callcular estud
un vaalor preciso
o, o bien, paara hacer un
na estimulación de los valores enttre los cuale
es se espera un resulttado. Una relación es una regla d
de correspo
ondencia qu
ue se establlece entre los elementtos de un primer conju
unto que see llama dom
minio con lo
os elemento
os de un seegundo conjunto que se llama co
ontradomin
nio, rango o o recorrido
o, de tal maanera que aa cada elem
mento del d
dominio le ccorrespondee uno o máss elementos en el ranggo. Una función es una relación en la qu
ue a cada elemento e
d dominio
del o le corresp
ponde na relación,, pero uno yy sólo un elemento del rango. En consecuenccia, toda función es un
algun
nas relacion
nes no son ffunciones.
Para distinguir eentre unas yy otras revissa los siguie
entes ejemp
plos: Ejem
mplo: En esta relacción la re
egla de correspondenccia se esttablece enttre cada paaís y su respectiva cap
pital. Como a cada ele
emento del dominio lee corresponde uno y só
ólo uno del rango ento
onces la relaación es unaa función. mplo : Ejem
Dominio
Contra
adominio
Ma
arca de Autom
móvil
País
Fiat
Renault
Citröen
Toyota
Ita
alia
Fra
ancia
Ja
apón
En esta e
relació
ón la reglaa de correspondenciaa se establece entre una marcca de automóvil y el país al cuall pertenecee. Observa que q dos eleementos deel dominio están relaccionados co
on un missmo elemeento del co
ontradomin
nio; sin em
mbargo, a cada 69 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, por lo tanto, esta relación es una función. Definición de función Si cada elemento de un conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y a través de una regla de asociación o correspondencia, esto define una función f de X en Y. Conjunto
X
f(x)
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
M
M
xn
Dominio
Conjunto
Y
f(xn )
Rango
De la definición anterior conviene destacar lo siguiente: • Al conjunto X se le conoce como el dominio de la función f. • Al elemento y que corresponde a determinado elemento x del dominio se le conoce como imagen de x bajo f y se denota como f(x). • El conjunto de imágenes f(x) constituyen el conjunto Y, al que se le conoce como rango, contradominio o recorrido de la función f. • Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango, en otras palabras, un elemento del dominio se asocia con uno y solo un elemento del rango. • Las imágenes y o f(x), que corresponden a los elementos x del dominio, se determinan mediante la regla de asociación o correspondencia. • En una función, dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo elemento del rango, cumpliéndose lo mencionado en la definición acerca de que a un elemento del dominio sólo lo corresponde un único elemento del rango. Sin embargo, el mismo elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos diferentes del rango. Los siguientes casos ejemplifican funciones: 70 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
X
Y
1 •
A
• 9
2 •
• 11
3 •
• 13
4 •
• 20
5 •
B
1 •
5 •
7 •
9 •
11 •
8 •
15 •
21 •
Z
W
• 4
• 8
• 12
• 16
• 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• 3
CASO 1
CASO 2
CASO 3
Dos
elementos
del
dominio se asocian con el
mismo del rango. Observa
que al elemento 2 de X le
corresponde un único
elemento de Y, el 11. Aún
cuando al elemento 11 de
Y, se cumple con la
definición de función.
En tres ocasiones, parejas
de elementos del conjunto
A se asocian con el mismo
elemento del conjunto B.
Aún así, se cumple con la
definición de función.
Todos los elementos del
conjunto W se asocian con
el mismo elemento del
rango; aún así, se cumple
que cada elemento del
dominio se asocia con un
solo elemento del rango,
por lo tanto es una función.
Notación de funciones Los símbolos más usados para denotar funciones son: que se leen: f : X → Y
f : x → f ( x)
f :x→ y
la función f de X en Y f aplica x en la obtención de f(x) f aplica x en la obtención de y (esta notación es la que más usarás en este curso) Para denotar los elementos del dominio de una función se puede usar cualquier letra del alfabeto (excepto y para evitar confusiones): x, s, t, u, v, w, l, y para denotar el rango se usan los símbolos: f x , f s , f t , f u , f v , f w , f l
Ejemplo: Uso de la simbología para identificar el dominio, rango y la expresión de la función. ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ()
Dominio
Rango
Expresión
x
f(x)
f : x → f (x)
t
f(t)
f : t → f (t )
u
f(u)
f : u → f (u )
2.3.3 Plano cartesiano La definición de función implica, como ya se explicó, la asociación entre los elementos de dos conjuntos dados, formándose parejas de elementos que pueden representarse 71 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
como pares ordenados de valores, donde el primer elemento del par pertenece al dominio y el segundo al rango. Pares ordenados de valores Al asociar los elementos de los dos conjuntos se determinan pares ordenados de valores; se dice que son ordenados porque el primer elemento siempre proviene del primer conjunto y el segundo elemento del segundo conjunto. Un par ordenado de valores se representa colocando los elementos que lo constituyen dentro de un paréntesis separando los elementos con una coma. Por lo general, se identifica al par mediante una letra mayúscula, como se ilustra a continuación. A(5, 2 )
B(3, 1)
C (− 3, 8)
D(0, − 6 )
Práctica 40 Representa en el plano cartesiano los siguientes pares ordenados: A(− 5, 3)
B
(6, 5)
(4.5, − 3.5)
C
(0, 0)
D
De acuerdo a la definición de función puedes identificar cuándo un conjunto de pares ordenados es una función o no. Recuerda: Una función f de X en Y, es un conjunto de pares ordenados de valores (x , y) tal que para cada x del dominio le corresponde una única y del rango. Si en ninguno de los pares ordenados del conjunto un mismo elemento del dominio se encuentra asociado con dos elementos diferentes del rango, este conjunto representa una función. Si no se da lo anterior, concluimos que no se trata de una función. Práctica 41 Verifica si los siguientes pares ordenados representan una función. (‐3,2) (4,3) (1,0) y (7,2) (4,‐2) (5,7) (‐8,‐3) (10,3) (‐3,5) (7,4) y (‐3,6) 2.3.4 La función lineal y su relación con la ecuación lineal Cuando la asociación entre los elementos de dos conjuntos de números reales se establece mediante una ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos incógnitas, que viene a ser la regla de asociación o correspondencia, se define una función lineal. 72 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
La función f definida por la ecuación de primer grado o lineal con dos incógnitas recibe el nombre de función lineal, donde m y b son constantes. y = mx + b
La ecuación anterior se interpreta como la asociación entre los elementos de dos conjuntos de números reales, donde f “aplica” x en la obtención de y. (1 )
La manera más usual de expresar la ecuación es: f ( x ) = y = mx + b LLLL
Anteriormente ya viste que la ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos incógnitas se expresa de la siguiente forma: Ax + By + C = 0
la cual puede transformarse en la ecuación y=mx+b, de la siguiente manera: By = − Ax − C
y =
− Ax − C
B
y =−
m =−
A
C
x−
B
B
A
B
C
b=−
B
m representa la pendiente de la recta, es
decir, la inclinación que la recta forma con el
eje x. En este caso es el coeficiente de x.
b es la ordenada al origen, es decir, es
el valor donde la recta corta, cruza o
intersecta a la ordenada o eje y, además
es el valor independiente de la ecuación
(no se multiplica por alguna incógnita).
y = mx + b
LLLL
(2)
2.3.5 Graficación mediante tabulación Ya que hiciste un repaso de cómo graficar, además de que conociste un poco de funciones y de ecuaciones lineales, ahora sí, vayámonos de lleno con la tercera y última técnica de solución de ecuaciones de primer grado: el método gráfico. Dada una ecuación que define a una función lineal, puedes determinar infinitos pares ordenados de valores que pertenezcan a ella; graficados éstos en un plano cartesiano y unidos los puntos subsecuentes mediante una línea continua, obtienes la gráfica de la función. Ejemplo. Representa la gráfica de la función lineal definida por la ecuación: Solución Recuerda que estas determinando la asociación entre los elementos de dos conjuntos mediante una regla de correspondencia definida por la ecuación dada. 73 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Del conjunto X, llamado dominio de la función, elige arbitrariamente cualquier elemento, por eso se le conoce como variable independiente; por ejemplo, elegido x=‐3, veamos con cuál elemento del conjunto Y se asocia. Cómo pudiste ver en la figura, el elemento con el que se asocia del conjunto Y es ‐7, asegurando que con ningún otro; a estos elementos se les conoce como variable dependiente porque su valor depende del asignado a x. Para trazar la gráfica de la ecuación lineal necesitas realizar una tabulación; es decir, debes asignar valores a la incógnita x para calcular el valor de y correspondiente a cada uno de ellos y formar los pares ordenados que se localizarán en el plano cartesiano. Tabulación de los pares ordenados
x
f(x)
Pares
ordenados
-3
-7
A(-3, -7)
0
2
B(0, 2)
3
11
C(3, 11)
5
17
D(5, 17)
La gráfica se obtiene uniendo
los puntos A, B, C, D
mediante una línea continua,
como lo puedes observar en
la figura 13.
Práctica 42 Está próximo tu cumpleaños y harás una fiesta mexicana con 10 deliciosos platillos para una taquiza. Si el kilo de tortillas cuesta 15 pesos, completa la siguiente tabla colocando el precio a pagar por x kilos de tortillas. Si llenas la tabla y graficas su contenido, ¿qué forma tendrá la gráfica? Kilos de tortillas Precio a pagar 1 15 74 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
2 3 4 5 6 7 8 2.3.6 Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen En una función lineal hay dos valores que tienen mucha importancia, el primero es b, la ordenada al origen, que es el número en el que la función intersecta al eje de las ordenadas o eje y. Por ejemplo, las funciones
f ( x ) = 2 x − 1, g ( x ) = − x − 5, h ( x ) = x + 2
son funciones lineales, ya que tienen la
f ( x ) = mx + b
forma:
y sus ordenadas al origen son los números
-1, -5 y 2.
Al observar sus gráficas es posible ver que
intersectan al eje de las ordenadas en
esos números precisamente, por eso el
nombre de ordenada al origen.
El punto de intersección es (0,-1)
La ordenada al origen es b=- 1
75 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
El ottro valor im
mportante en e una funcción lineal es m, la pe
endiente, la cual se define d
como
o el increm
mento en y, que se representaa por Δy (se ( lee: deelta y), enttre el increemento en xx, representado por Δx (delta x). Esta relació
ón determin
na el número de unidaades que caambia y porr cada unidaad de cambio en x: El siggno de la peendiente inffluye directaamente en la inclinació
ón de la reccta: Si m > 0, es
s decir, si es positiva:
p
La
a recta está inclinada hacia
a la derecha
Si m < 0,
0 es decir, si es negativa:
La recta está inclinada hacia
h
la izquie
erda
Pendiente
positiva
m =1
Pendiente
negatiiva
m = −1
Gráfica de la función h(x)=
=x+2
Prácctica 43 76 Universsidad CNCI dde México Gráfic
ca de la función g(x)= -x-5
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Ejemplo 1. Traza la gráfica de una función lineal que pasa por el par ordenado (‐1,1) y 3
que tiene pendiente . −
2
2.3.7 Gráfica por medio de las intersecciones con los ejes Existen ciertos pares ordenados característicos que facilitan la construcción de la gráfica de una función lineal La función lineal representada gráficamente es una línea recta, y por lo mismo, es posible trazarla conociendo solo dos puntos de la misma, lo que significa que para construir esa gráfica debes conocer dos pares ordenados de valores únicamente. Los pares ordenados más sencillos de determinar son aquéllos donde la gráfica de la función intersecta o cruza a los ejes coordenados. En la Figura 24 se representan las
gráficas de dos funciones lineales
identificadas por (1) y (2).
La intersección de (1) con el eje x se
identifica con A, la característica de
este punto es que su ordenada y o
f(x) es igual a cero.
La intersección de (1) con el eje y se
identifica con B, la característica de
este punto es que la abscisa x es
igual a cero.
Gráfica de dos funciones lineales intersectando los ejes
Práctica 44 Construye la gráfica de la función lineal definida por la ecuación y = 3 x + 6
determinando únicamente sus intersecciones con los ejes coordenados. 3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales se busca una solución común. Una solución común de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es un par ordenado de valores que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. A un sistema de ecuaciones también se le conoce con el nombre de ecuaciones simultáneas debido a que la solución de un sistema satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, es decir, simultáneamente. Definición Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas o sistema de ecuaciones 2×2 o sistema de ecuaciones simultáneas, suele representarse empleando la letra a con los correspondientes subíndices para los coeficientes; la x, con sus subíndices para las incógnitas y la b para los términos independientes, por lo que su representación es: 77 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
⎧⎪a1,1 x 1 + a1,2 x 2 = b1
⎨
⎪⎩a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 = b 2
donde
a1,1 = Coeficiente de la ecuación 1 y de la variable x 1.
a1,2 = Coeficiente de la ecuación 1 y de la variable x 2.
a2,1 = Coeficiente de la ecuación 2 y de la variable x 1.
a2,2 = Coeficiente de la ecuación 2 y de la variable x 2.
x1 = Incógnita 1 o literal 1.
x2 = Incógnita 2.
b1 = Término independiente 1.
b2 = Término independiente 2.
Intersección de dos planos
Por sencillez y por costumbre, a la incógnita 1 se le suele llamar x, y a la incógnita 2 se le llama y.
Además, se procura evitar el empleo de subíndices debido a que pueden resultar confusos, por lo
que, un sistema de ecuaciones 2 2 se suele representar por:
⎧ ax + by = c
⎨
⎩ dx + ey = f
Si recuerdas, una ecuación lineal con dos
incógnitas representa una recta, de modo
que un sistema de dos ecuaciones permite
una representación gráfica como dos rectas
en el plano cartesiano, siendo la solución
del sistema el punto de intersección de
estas dos rectas.
Por ejemplo, las rectas que genera el sistema
de ecuaciones lineales 2 2:
⎧ x+ y =5
⎨
⎩− x + 2 y = 4
se cortan o intersectan en el punto:
es decir, la solución del sistema de
ecuaciones 2 2 es x=2 y y=3.
Observa la solución en la Figura 1.
Figura 1. Gráfica de un sistema de ecuaciones 2 2.
Su solución es x=2 y y=3.
Pero, ¿cómo se obtuvo la solución? Más adelante verás 5 formas de resolver un sistema de ecuaciones 2×2, pero primero conoce la forma como se clasifican. 3.1. Clasificación de los sistemas de ecuaciones Al momento de resolver un sistema de ecuaciones se pueden presentar los siguientes casos: 78 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
• Sistema co
ompatible. Este tipo de sistema d
de ecuaciones si tiene ssoluciones. •
Sistema co
ompatible de
eterminado. Tiene solo
una solució
ón.
La representtación gráfica
a son dos rec
ctas que se
cortan en un
n punto; los valores
v
de x y y de ese
punto son la solución al sistema.
o, la única so
olución del sistema de
Por ejemplo
ecuaciones:
⎧3 x − 4 y = − 6
⎨
⎩ 2 x + 4 y = 16
e la Figura 2.
2
se muestra en
Figurra 2. Gráfica de un
u sistema de ecuae
cione
es 2 2. Su soluc
ción es x=2 y y=3.
• Sistema compatible
e indetermiinado. Tiene un número infinito d
de solucion
nes. Este tipo de sistema adm
mite un núm
mero infinito de solu
uciones; su
u representación gráfica son dos rectas coin
ncidentes. Las dos ecuaaciones son equivalenttes y una de
e ellas se pu
uede consid
derar como
o redundante, debido a que cualquier punto de la reccta es solucción del sisttema. Por eejemplo, el número inffinito de soluciones de
el sistema de ecuacionees: ⎧ x + y =1
⎨
⎩2xx + 2 y = 2
Gráfficamente se
s
obtienen
n dos rec
ctas
coin
ncidentes, es decir, una recta
r
encima
a de
otra
a. Por lo tanto, todos los
s puntos que
e se
loca
alicen en es
sa recta, so
on solución del
siste
ema 2 2.
Figura3. Gráfica de un sistema de ecuaciones 2 2.
F
L soluciones son
Las
s todos los puntos de la rectta.
• Sistema in
ncompatible. Este tipo
o de sistemaa no tiene so
olución. En este caso, su
u representtación gráfiica son doss rectas parralelas, es decir, no tiienen ningú
ún punto en
n común po
orque no se cruzan o co
ortan. El cumplimiento
o de una de las ecuacio
ones significca el incump
plimiento de la otra y p
por lo tanto
o no tienen ninguna so
olución en común. ⎧ x+ y =3
Por eejemplo, lass dos rectass paralelas d
del sistema de ecuacion
nes: ⎨
⎩2x + 2 y = 2
79 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Gráficamente se obtienen dos rectas
paralelas que nunca se cruzarán. Por lo
tanto, este sistema de ecuaciones 2 2 no
tiene solución.
Figura4. Gráfica de un sistema de ecuaciones 2 2.
No tiene solución, las rectas paralelas no se cruzan.
La siguiente tabla muestra las 4 características que describen a cada tipo de sistemas de ecuaciones SISTEMA
COMPATIBLE
DETERMINADO
COMPATIBLE
INDETERMINADO
INCOMPATIBLE
• La solución es única.
• Tiene infinitas soluciones.
• No tiene solución.
• Analíticamente se obtiene
• Analíticamente se llega a la
• Analíticamente se llega a la
un valor para x y un valor
para y.
• Gráficamente las rectas se
intersectan en un punto.
• Las rectas tienen distinta
pendiente.
expresión: 0x=0 o bien a
0y=0.
• Gráficamente las rectas
son coincidentes.
• Las rectas tienen igual
pendiente e igual ordenada
al origen.
expresión: 0x=a o bien
0y=a, siendo a≠0.
• Gráficamente las rectas
son paralelas.
• Las rectas tienen igual
pendiente y distinta
ordenada al origen.
3.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones 2×2 Ya sabes lo que son los sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y como se clasifican de acuerdo a la cantidad de soluciones que tiene. Ahora, partiendo de que tendrás un sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas como el siguiente: ⎧ax + by = c
⎨
⎩dx + ey = f
entonces, resolver el sistema consistirá en encontrar los valores de x y de y que satisfagan las dos ecuaciones simultáneamente. Los 5 métodos de resolución de sistemas de ecuaciones que puedes utilizar son: 80 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
1. Suma y resta. 2. Sustitución. 3. Igualación. 4. Método gráfico. 5. Determinantes. 3.2.1 Método de suma y resta También recibe el nombre de método de reducción o método de eliminación y es el más fácil de aplicar. Consiste en eliminar una variable sumando las ecuaciones originales o sus equivalentes; para ello es necesario que la misma variable tenga en ambas ecuaciones coeficientes inversos. Ejemplo. La competencia canina de agility consiste en que el perro, dirigido por su guía, supere un circuito de obstáculos en el menor tiempo posible. El guía no puede tocar a su perro ni a los obstáculos y el perro compite sin collar ni correa. Sin embargo, las señales verbales y visuales son permitidas. Cada falta al superar un obstáculo se penaliza quitándole puntos al equipo humano‐perro. Asimismo, existe un tiempo estándar para cada circuito y se penaliza al equipo que tarde más que ese tiempo. Supón que en una competencia de agility entre los perros y sus guías suman 18 cabezas y 52 extremidades inferiores (pies y patas). ¿Podrías indicar cuantos perros y cuantos guías hay en la competencia? Solución Para resolver cualquier problema de este tipo, tienes que formar el sistema de ecuaciones, es decir, debes determinar dos cosas: 1. Cuáles son las incógnitas y 2. Qué relación hay entre ellas. 3. En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de perros y el número de guías. 4. Entonces, definamos: 5. x = Número de perros 6. y = Número de guías Sabes que cada perro y cada guía tienen una sola cabeza, por lo tanto, el número de perros por una cabeza, más el número de guías por una cabeza también, tienen que sumar 18: 1x + 1 y = 18
Por otro lado, los perros tienen cuatro patas y los guías 2 pies, por lo tanto, el número de perros por 4 patas cada uno, más el número de guías por dos pies cada uno, tienen que sumar 52: 4 x + 2 y = 52
Las dos ecuaciones anteriores forman un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas o también llamado sistema de ecuaciones simultáneas 2×2: La cuestión es encontrar los valores de x y y que cumplan las dos ecuaciones al mismo ⎧ x + y = 18
tiempo. ⎨
⎩4 x + 2 y = 52
81 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Si a la primera ecuación laa numeram
mos como (1) y a la seegunda ecu
uación como (2), entonces: 1 LLLL ( 1 )
⎧ x + y = 18
⎨
5 LLLL ( 2 )
⎩4 x + 2 y = 52
Ahorra sí, resolvaamos el sisttema de ecu
uaciones po
or el método
o de reduccción. Paso
os para reso
olver un sisstema de ecuaciones e
2×2 mediaante el méttodo de su
uma y restaa La parte imporrtante de este e
método
o es que busques b
en el sistemaa de ecuacciones métricos en la misma literal, l
por ejemplo, sii se tiene eel término 9x 9 en coefiicientes sim
una eecuación, see espera qu
ue se obtengga de algun
na manera ‐9x en la otrra ecuación. En caaso de quee la ecuació
ón tenga to
odos los co
oeficientes distintos, d
ees necesario
o que multipliques loss miembross de una dee las ecuaciones, de manera m
quee se genere
en los números simétrricos. Si el sistema yaa cumple co
on la condicción mencio
onada, ento
onces realizza los siguientes paso
os: 1 Suma los miembros de las dos ecuacioness, de manera que elim
1.
mines una de d las incógnitaas y se form
me una nuevva ecuación
n. 2 Despeja laa nueva ecu
2.
uación que ttienes de m
manera que o
obtengas el valor de una de las literaales. 3 Sustituye el valor de 3.
d la incógnita del paso anterrior en cualquiera de las ecuacion
nes originales y despejaa la literal q
que hace fallta encontraar. El sisstema que ttratas de ressolver no prresenta núm
meros simétricos en las literales: ⎧ x + y = 18 LLLL ( 1 )
⎨
⎩4 x + 2 y = 52 LLLL ( 2 )
Lo qu
ue debes haacer es multtiplicar algu
una de ellas por un núm
mero, de maanera que cump
pla con dich
ha condición
n. Es importtante que b
busques núm
meros que rresulte senccillo multiplicar y que aproveches las caraccterísticas del sistema.
1 )(− 2 )
⎧ ( x + y = 18
⎨
5
⎩ 4 x + 2 y = 52
⎧ − 2 x − 2 y = −36
⎨
⎩ 4 x + 2 y = 52
Multtiplica la ecu
uación ( 1 ) por ‐2 paraa eliminar la variable yy (podrías m
multiplicar p
por ‐4 para eliminar la variable x, tu decide ccual de la do
os variabless deseas elim
minar). Paso
o 1. Suma las dos ecuacciones para formar unaa nueva ecu
uación: 82 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Por lo tanto, la nueva ecuación es: 2 x = 16
Paso 2. Despejar la incógnita de la nueva ecuación y obtener el primer valor del par 16
ordenado: x=
→
2 x = 16 →
x=8
2
Paso 3. Sustituye el valor anterior en cualquiera de las ecuaciones originales y despeja la incógnita que falta. En nuestro caso, sustitúyelo en la ecuación ( 1 ): y = 10
8 + y = 18 →
y = 18 − 8 →
con lo que ya tenemos la solución del problema: En la competencia hay 8 perros y 10 guías. Comprobación Puedes comprobar estos resultados sustituyéndolos en el sistema de ecuaciones: 4 x + 2 y = 52
x + y = 18
8 + 10 = 18
4(8) + 2(10 ) = 52
18 = 18
32 + 20 = 52
52 = 52
En resumen, a partir de un problema en forma de texto, has identificado las incógnitas y has establecido las relaciones que hay entre ellas, dando lugar a un sistema que tiene tantas ecuaciones independientes como incógnitas. Resuelto el sistema, tienes la solución, que puedes comprobar que es correcta en el texto original. Práctica 45 Una señora tiene billetes de $200 y de 500 pesos en su cartera. Si en total tiene 20 billetes, y el total de dinero en su cartera es de $7300, ¿cuántos billetes tiene de cada denominación? 3.2.2 Método de sustitución Como su nombre lo indica, en este método se despeja una variable de una de las dos ecuaciones y se sustituye en la otra para que sólo quede una variable. Tiene una aplicación fundamental en física y química cuando es necesario resolver algún problema en el que se desconocen dos o más cantidades. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 mediante el método de sustitución 1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, de preferencia la que sea más fácil de despejar. 83 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
2. Sustituye en la otra ecuación el valor de la literal despejada en el paso anterior, para así obtener una nueva ecuación con una incógnita. 3. Despeja la incógnita de la nueva ecuación. 4. Sustituye el valor de la incógnita despejada en la expresión que obtuviste en el primer paso para determinar el valor de la otra variable. Ejemplo. Un hotel de 5 estrellas tiene habitaciones dobles (2 camas), y habitaciones sencillas (1 cama). En total el hotel tiene 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? Lo primero que debes hacer es plantear el sistema de ecuaciones 2×2: Si x = Número de habitaciones sencillas y = Número de habitaciones dobles entonces el sistema de ecuaciones es: ⎧ x + y = 50
⎨
⎩1x + 2 y = 87
Paso 1. Despeja una de las literales o variables de cualquiera de las dos ecuaciones. Como puede ser cualquiera de las dos ecuaciones y cualquiera de las dos variables, entonces, se despejará x de la primera ecuación: x + y = 50
x = 50 − y
Paso 2. Sustituye lo anterior en la otra ecuación del sistema y obtén una nueva ecuación con una incógnita. 1x + 2 y = 87
1(50 − y ) + 2 y = 87
50 − y + 2 y = 87
50 + y = 87
Paso 3. Despeja la incógnita de la nueva ecuación. 50 + y = 87
y = 87 − 50
y = 37
Paso 4. Sustituye el resultado anterior en la ecuación del paso 1. x = 50 − y
x = 50 − 37
x = 13
Por lo tanto, el hotel de 5 estrellas tiene 13 habitaciones sencillas y 37 habitaciones dobles. Comprobación Puedes comprobar los resultados sustituyéndolos en el sistema de ecuaciones: x + y = 50
1x + 2 y = 87
13 + 37 = 50
1(13) + 2(37 ) = 87
50 = 50
13 + 74 = 87
Práctica 46 84 Universidad CNCI de México 87 = 87
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Un fanático de las series televisivas compró 5 DVD’s de la serie Smallville y 4 DVD’s de la serie Lost en 390 pesos. Posteriormente, volvió a comprar 4 DVD’s de Smallville y 2 DVD’s de Lost en $240. ¿Cuál es el precio de los DVD’s de cada serie? 3.2.4 Método de igualación Este método es un poco más largo ya que se basa, como su nombre lo menciona, en la igualación de las dos ecuaciones apoyándose en que ambas tienen el mismo valor en el punto de intersección. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 mediante el método de sustitución 1. Toma una de las ecuaciones y despeja una de las incógnitas de la ecuación. 2. Despeja la misma literal en la otra ecuación del sistema. 3. Por la propiedad transitiva de la igualdad, puedes igualar las dos literales despejadas en cada ecuación para obtener una nueva ecuación. 4. La ecuación que obtuviste en el paso anterior es de primer grado con una variable, despeja la incógnita que tiene. 5. Sustituye el valor de la literal que obtuviste en alguna de las ecuaciones despejadas del paso 1 o del paso 2. Recuerda que… La propiedad transitiva de la igualdad indica que si a=b y b=c, entonces a=c, es decir, si dos expresiones son iguales a una tercera, entonces éstas son iguales entre sí. Por ejemplo: Si 1+3=4 y 4=2×2, entonces: 1+3 = 2×2 Ejemplo. Una pizzería vende dos tipos de pizzas tamaño individual: mexicana a 40 pesos y hawaiana a 60 pesos. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 3660 pesos. ¿Cuántas pizzas se vendieron de cada tipo? Solución Lo primero que debes hacer es plantear el sistema de ecuaciones 2×2: Si defines x = Cantidad de pizzas mexicanas vendidas. y = Cantidad de pizzas hawaianas vendidas. entonces el sistema de ecuaciones es: ⎧ x + y = 74
⎨
⎩40 x + 60 y = 3660
Ahora sí, resuelve por el método de igualación. Paso 1. Toma una de las ecuaciones y despeja una de las incógnitas Como puedes seleccionar cualquier ecuación, se recomienda que sea la más fácil de despejar incógnitas. En este caso, selecciona la ecuación 1 y despeja cualquier variable, digamos, la x: x + y = 74
x = 74 − y
Paso 2. Despeja la misma literal en la otra ecuación del sistema. 40 x + 60 y = 3660
40 x = 3660 − 60 y
3660 − 60 y
x=
85 Universidad CNCI de México 40
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Paso 3. Por la propiedad transitiva de la igualdad, puedes igualar las dos incógnitas despejadas en cada ecuación para obtener una nueva ecuación. x=x
3660 − 60 y
74 − y =
40
Paso 4. La ecuación que obtuviste en el paso anterior es de primer grado con una variable. Despeja la incógnita que tiene. 74 − y = 3660 − 60 y
40
40(74 − y ) = 3660 − 60 y
2960 − 40 y = 3660 − 60 y
2960
− 3660 = −60 y + 40 y
− 700 = −20 y
− 700
=y
− 20
y = 35
Paso 5. Sustituye el valor de la incógnita que obtuviste en alguna de las ecuaciones despejadas del paso 1 o del paso 2. En este caso, en la más sencilla de las dos, en el despeje de la ecuación 1: x = 74 − y
x = 74 − 35
x = 39
Por lo tanto, esa noche se vendieron 39 pizzas mexicanas y 35 hawaianas. Práctica 47 Una cuerda de 120 metros se tiene que cortar en dos partes, de tal manera que una parte sea 12 metros mayor que la otra, ¿Cuál es la medida de cada parte? 3.2.5. Método gráfico En este método se trazan dos rectas en el mismo plano cartesiano para determinar la intersección (punto donde se cruzan) y entonces definir a ese punto como la solución del sistema. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 mediante el método gráfico 1. Representa cada una de las ecuaciones que componen el sistema como un par de funciones, es decir, despeja la incógnita y de cada ecuación. 2. Traza la gráfica de cada función utilizando alguno de los métodos vistos la semana pasada (por tabulación, conocidos la pendiente y ordenada, y por intersección con los ejes). 3. Localizar donde las rectas que determinan las funciones lineales se cortan. 4. Asocia los valores de x y y de la coordenada a la solución que satisface. 86 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Ejem
mplo 1. Carrmen gasta 55 pesos en la compra de 17 gom
mitas y chiccles. Las gomitas le costaron $2.6
60 y los chiccles $3.50 caada uno. ¿C
Cuántos dulcces de cadaa tipo compró? Solucción Si x = Cantidad de gomitas ccompradas. y = Cantidad de chicles co
omprados. x+
y = 17
entonces, el sisttema de ecu
uaciones qu
ue represen
nta al probleema es: ⎧
⎨
⎩2.60 x + 3.500 y = 55
Pas
so 1. Despejar de cada ecu
uación la incógnita y y repre
eséntalas com
mo funciones
s:
x + y = 17
2 . 60
0 x + 3 . 50 y = 55
2 . 60 x − 55
5 = − 3 . 50 y
y = 17 − x
2 . 60 x − 55
= y
− 3 . 50
2 . 60 x − 55
f (x) =
− 3 . 50
0
f ( x ) = − x + 17
En este cas
Paso 2. Trazar la gráfica de
e cada funció
ón mediante el método seleccionado.
s
so se
decidió utilizar la tabulación:
Tabla de la funció
ón f(x)= 2.60x-5
55
-3.50
Tabla de la fun
nción f(x)=-x+17
x
f(x)
x
f(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15.0
14.2
13.5
12.7
12.0
11.3
10.5
9.8
9.0
8.3
Pun
nto de intersecc
ción
Paso
o 3. Identificca el punto donde las rrectas se cortan. Obseerva que exxiste un pu
unto en el cual las recctas se corrtan. Este p
punto en co
omún pued
de interprettarse como
o la solución del sistem
ma. Es deccir, que a p
partir de aq
quí es 87 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
posible que determines los valores de las incógnitas que satisfacen el sistema de ecuaciones. El punto de intersección se encuentra en (5,12). Paso 4. Relaciona las coordenadas del punto con las incógnitas del sistema de ecuaciones. Recuerda que se llaman pares ordenados porque siempre estará primero x= 5
el valor de x y después el de y: (5, 12) → (x, f ( x) ) → (x, y ) → ⎧⎨
⎩ y = 12
Por lo tanto, Carmen pagó $55 en la compra de 5 gomitas y 12 chicles. Práctica 48 Dos hermanos, Juan y Pedro, se ponen de acuerdo para ir de campamento. Salen del auto al mismo tiempo y caminan describiendo como trayectorias las siguientes ecuaciones: Trayectoria de Juan: 3x + 2 y − 8 = 0
Trayectoria de Pedro: − 3x + 2 y − 8 = 0
De acuerdo a lo anterior, ¿en qué punto se encontrarán los dos hermanos? 88 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 10 Los temas a revisar el día de hoy son: 3.2.5 Método por determinantes 4 Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas 4.1 Métodos de solución de sistemas 3×3 4.1.1 Método gráfico 4.1.2 Método por determinantes 4.1.3 Método de sustitución 3.2.5. Método por determinantes El método de solución de un sistema de ecuaciones lineales 2×2 mediante determinantes se llama Regla de Cramer en honor de Gabriel Cramer que fue quien escribió la regla. Un determinante es un arreglo matemático que consta de cierto número de renglones y de columnas. Para resolver un determinante se debe realizar una resta de multiplicaciones, es decir, es una operación que da como resultado un número real. Existen diferentes órdenes de determinantes, por ejemplo, de segundo orden: 3
2
-5
4
Renglones
Columnas
Las líneas | |, representan un
determinante.
Es de segundo orden porque
tiene 2 renglones y 2 columnas.
Todos los determinantes deben ser cuadrados, es decir, deben tener el mismo número de renglones y de columnas: 2×2, 3×3, 4×4, … El determinante 3
2
-5
4
está formado por cuatro números que son sus elementos: 3, ‐5, 2, 4. Si los acomodas en un orden especial: 3, ‐5 y 2, 4 son renglones o si 3, 2 y ‐5, 4 son columnas. Si debes resolver un determinante de la forma: a
c
b
d
entonces, su resultado se obtiene por: 89 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Diagonal
secu
undaria
a
c
Multiplicca
b por c
b
d
= (a)(d) - (b)(c)
Multtiplica
a por d
Diag
gonal
prin cipal
Para utilizar deeterminantees en la so
olución de sistemas de d ecuacio
ones lineale
es, es pongas aten
nción a los coeficientes del sistem
ma. Si recueerdas un sisstema neceesario que p
a + by = c
de eccuaciones liineales 2×2 se representa por: ⎧ax
⎨
d + ey = f
⎩dx
Los coeficientes
c
s (a, b, d y e), y los téérminos ind
dependientes (c y f), sson importantes debid
do a que see utilizan para calcular ttres determ
minantes qu
ue te ayudarrán a calcular los valorres de las in
ncógnitas x yy y. Esos deeterminantes se descriiben a contiinuación: ∆
∆=Delta. Leetra mayússcula griegga que rep
presenta la letra a b
la
atina D. Δ=
= a e − b d
d e
Ess el determ
minante gen
neral, no tiiene subínd
dice y utiliza los 4 coeficcientes deel sistemaa de ecuaciones.
( )( ) ( )( )
Paso
os para reso
olver un sisttema de ecu
uaciones 2×
×2 mediantte el método gráfico 1 Establece los coeficieentes en los tres determ
1.
minantes a resolver. Para cada uno d
de los tres d
determinanttes: 2 Coloca una flecha que pase por la diagonal principal y multiplica las cantidad
2.
des. 3 Coloca una flecha que pase por la diagonal seecundaria yy multiplica las 3.
des. cantidad
4 Resta al reesultado dee la diagonal principal, e
4.
el resultado
o de la diago
onal secund
daria. Ejem
mplo. Resuelve el siguieente problema utilizand
do determinantes. 90 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Los boletos para una excursión son de dos precios: $50 para los niños y $100 para los adultos. Si se pagaron $7250 en total y asistieron 90 personas, ¿cuántos niños y cuántos adultos fueron a la excursión? Solución Lo primero que debes hacer es establecer el sistema de ecuaciones 2×2. Si x = Cantidad de niños en la excursión. y = Cantidad de adultos en la excursión. entonces, el sistema es:
y = 90
⎧ x+
⎨
⎩50 x + 100 y = 7250
Representando lo anterior sin las literales:
1
50
1
100
Coeficientes
90
7250
a
d
→
b
e
c
f
Términos
independientes
Paso 1. Establece los determinantes a resolver:
Δ=
a b
1
1
=
d e 50 100
Δx =
c
f
b
90
1
=
e 7250 100
Δy =
a
d
c
1
90
=
f 50 7250
Para cada uno de los tres determinantes:
Paso 2. Coloca una flecha que pase por la diagonal principal y multiplica las cantidades.
Δ=
1
1
50
100
(1)(100)=100
Δx =
90
7250
1
100
(90)(100)=9000
Δy =
1
50
90
7250
(1)(7250)=7250
Paso 3. Coloca una flecha que pase por la diagonal secundaria y multiplica las cantidades.
Δ =
1
50
(1)(50)=50
91 Universidad CNCI de México 1
100
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Δx =
90
7250
1
100
Δy =
1
90
50
7250
(90)(50)=4500
(1)(7250)=7250
Paso 4. Resta al resultado de la diagonal principal, el resultado de la diagonal secundaria.
Δ = 100 – 50 = 50
Δx = 9000 – 7250 = 1750
Δy = 7250 – 4500 = 2750
La solución del sistema de ecuaciones se obtiene con:
x =
Δx
1750
=
= 35
Δ
50
y =
Δy
Δ
=
2750
= 55
50
Por lo tanto, en la excursión se encuentran 35 niños y 55 adultos.
Práctica 49 Susana le dice a Karina: tu peso y el doble del mío suman 130 Kg. Karina le dice a Susana: tu peso y el doble del mío suman 140 Kg. ¿Cuánto pesa cada una de las chicas? 4. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas Recuerda que un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones cuyas variables deben satisfacer las condiciones planteadas simultáneamente. Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas siempre se puede escribir de la forma: ⎧a1,1 x 1 + a1,2 x 2 + a1,3 x 3 = b1
⎪
⎨a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + a 2,3 x 3 = b 2
⎪a x + a x + a x = b
3,2 2
3 ,3 3
3
⎩ 3 ,1 1
donde
a1,1 … a3,3 = Coeficientes de las incógnitas.
x1 …x3
= Incógnitas del sistema.
b1 …b3
= Términos independientes.
O como comúnmente se representan por:
⎧a1 x + b1 y + c1 z = d1
⎪
⎨a2 x + b2 y + c2 z = d 2
⎪a x + b y + c z = d
3
3
3
⎩ 3
92 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
4.1. Métodos de solución de sistemas 3×3 Para resolver sistemas de ecuaciones 3×3 puedes utilizar los métodos que usaste para resolver sistemas 2×2 como el de suma y resta, el de igualación, el de sustitución o los determinantes. En esta ocasión, solo estudiarás los siguientes métodos: 1. Método por determinantes. 2. Método por sustitución. Si recuerdas, los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 se expresan gráficamente como rectas que pueden estar en tres casos: con solución, sin solución y con múltiples soluciones. De igual manera las ecuaciones lineales de tres incógnitas se expresan en un sistema tridimensional como un plano infinito. Por supuesto que no podemos dibujar un plano infinito, por lo que sólo se dibuja una parte de los planos. Una ecuación lineal de tres incógnitas representa un plano que puede ser ubicado en un sistema de tres dimensiones con ejes que están mutuamente a 90º: 93 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
94 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Si observaste, las gráficas son muy complicadas de hacer, pues ya son tres puntos los que debes localizar en el plano cartesiano, es por ello, que solo verás métodos analíticos como el que sigue. 4.1.1 Método por determinantes Aquí también se aplica la regla de Cramer, si recuerdas, consiste en trabajar sobre los coeficientes de las ecuaciones que forman el sistema. De esta manera, dado un sistema de ecuaciones 3×3: ⎧a x + b y + c z = d
1
1
1
1
⎪
⎨a2 x + b2 y + c2 z = d 2
⎪a x + b y + c z = d
3
3
3
⎩ 3
Representando el sistema anterior como un arreglo matricial, donde solo se colocan los coeficientes son las literales, y los términos independientes, se tiene que: a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d 2
a3 b3 c3 d 3
El determinante general se obtiene con:
a1
Δ = a2
b1
b2
c1
c2
a3
b3
c3
Los determinantes de x, y y z se obtienen de la misma manera que para un sistema 2 2, es decir, en
cada uno se va reemplazando la columna de la variable correspondiente por los términos
independientes, según corresponda:
d1
Δ x = d2
b1
b2
c1
c2
d3
b3
c3
Δy
a1
= a2
d1
d2
c1
c2
a1
Δ z = a2
b1
b2
d1
d2
a3
d3
c3
a3
b3
d3
De esta manera, la solución del sistema está dada por:
x =
Δx
Δ
y =
Δy
Δ
z=
Δz
Δ
Una manera que puede ayudarte a calcular el determinante de un arreglo matricial de 3×3, se obtiene agregando las dos primeras filas en la parte inferior del arreglo. Las soluciones de los 4 determinantes son: 95 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
a1
b1
c1
Δ = a2
a3
b2
b3
c2
c3
a1
b1
c1
a2
a3
b2
b3
c2
c3
d1
= d2
b1
b2
c1
c2
d3
b3
c3
d1
b1
c1
d2
d3
b2
b3
c2
c3
a1
= a2
d1
d2
c1
c2
a3
d3
c 3 = a d c + a d c + a d c − (c d a + c d a + c d a )
1 2 3
2 3 1
3 1 2
1 2 3
2 3 1
3 1 2
Δx
Δy
a1
Δ z = a2
b1
b2
d1
d2
a3
b3
d3
a1
b1
d1
a2
b2
d2
a3
b3
d3
= a1b 2 c 3 + a 2 b3 c 1 + a 3 b1c 2 − (c 1b 2 a 3 + c 2 b 3 a1 + c 3 b1a 2 )
= d 1b 2 c 3 + d 2 b3 c 1 + d 3 b1c 2 − (c 1b 2 d 3 + c 2 b3 d 1 + c 3 b1d 2 )
= a1b 2 d 3 + a 2 b 3 d 1 + a 3 b1d 2 − (d 1b 2 a 3 + d 2 b 3 a1 + d 3 b1a 2 )
Ejempl. Entre Armando, Beatriz y Carlos tienen 140 pesos. Armando cuenta con el doble de pesos que Carlos. También Armando tiene $10 más que Beatriz. ¿Cuánto posee cada uno? Solución Primero define las incógnitas: x = Dinero que posee Armando (pesos). y = Dinero que posee Beatriz ($). z = Dinero que tiene Carlos ($). 96 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Ahorra plantea laas ecuacion
nes que se ggeneran del problema:
Entre los ttres tienen 140 pesos: x + y + z = 140
Armando tiene el dob
ble de Carlo
os: x = 2 z
⎧ x + y + z = 1440
Armando tiene $10 m
mas que Beaatriz: x = y + 10
⎪
Por lo tanto, el ssistema de ecuacioness lineales 3×
×3 a resolver es: ⎨ x − 2 z = 0
⎪x − y
= 10
⎩
Como sabes, es necesario q
que calcules los 4 dete
erminantes para así po
oder enconttrar el valorr de las incó
ógnitas, porr lo tanto, ell arreglo maatricial del ssistema anterior es: Los d
determinanttes son: 1
1
1
Δ = 1 0 −2
1 −1 0
1
1
= (1)( 0 )( 0 ) + (1)( − 1)(1) + (1)(1)( − 2 ) − [(1)( 0 )(1) + ( − 2 )( − 1)(1) + ( 0 )((1)(1) ]
1
1 0 −2
a 3 b3 c 3
Δ = 0 − 1 − 2 − (0 + 2 + 0 ) = 0 − 1 − 2 − 0 − 2 − 0
Δ = −5
140
1
1
0
0
−2
10
−1
0
140
1
1
Δx =
= (140 )(( 0 )( 0 ) + ( 0 )( − 1)(1) + (10 )(1)(
) − 2 ) − [(1)( 0 )(
) 10 ) + ( − 2 )( − 1)(140 ) + ( 0 )(1)( 0 )]
0
1 −2
d 3 b3 c 3
Δ x = 0 + 0 − 20 − (0 + 280 + 0 ) = 0 + 0 − 20
2 − 0 − 280 − 0
Δ x = − 300
1 140
1
Δy = 1
0
−2
1
10
0
1
140
1
Δy
= (1)( 0 )( 0 ) + (1)(10 )(1) + (1)(140 )( − 2 ) − [(1)( 0 )((1) + ( − 2 )(10 )(
) 1) + ( 0 )(140 )(1) ]
1
0
−2
a3 d 3
c3
= 0 + 10 − 280
0 − (0 − 20 + 0 ) = 0 + 10 − 280 − 0 + 20
2 −0
Δ y = − 250
97 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
1
1
140
Δz = 1
0
0
1 −1
10
1
1
140
1
0
0
= (1)( 0 )(10 ) + (1)( − 1)(140 ) + (1)(1)( 0 ) − [(140 )( 0 )(1) + ( 0 )( − 1)(1) + (10 )(1)(1)]
a3 − 1 d 3
Δ z = 0 − 140 + 0 − (0 − 0 + 10 ) = 0 − 140 + 0 − 0 + 0 − 10
Δ z = − 150
Como ya conoces los determinantes, ahora obtén los valores de las incógnitas:
x =
x =
Δx
Δ
y =
− 300
−5
x = 60
Δy
z=
Δz
Δ
− 250
y =
−5
z=
− 150
−5
y = 50
z = 30
Δ
Por lo tanto, Armando tiene 60 pesos, Beatriz $50 y Carlos posee 30 pesos.
Práctica 50 Un ganadero desea hacer negocios de compra ‐ venta de animales con un vecino, pero tiene un problema ya que el vecino no le dice cual es el precio de cada animal, solo le dice lo siguiente: • Si vendes dos vacas y cinco cabras para comprar 13 cerdos te sobran 1000 pesos. • Si vendes seis cabras y ocho cerdos para comprar cinco vacas, tendrás una pérdida de $600. • Si vendes tres vacas y tres cerdos te alcanza exactamente para comprar nueve cabras ¿Cuáles son los precios de una vaca, de una cabra y de un cerdo? 4.1.2. Método por sustitución Si recuerdas, en este método se despejaba una variable de una de las dos ecuaciones y se sustituía en la otra para que sólo quedará una variable. En este caso, se hará lo mismo, de las 3 ecuaciones, se despejará una variable de dos de ellas, después se hará lo mismo con la tercera. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 3×3 mediante el método de sustitución 1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, de preferencia la que sea más fácil de despejar. 2. Sustituye en las otras 2 ecuaciones el valor de la literal despejada en el paso anterior, para así obtener dos nuevas ecuaciones con 2 incógnitas. 3. Con esas 2 nuevas ecuaciones forma un sistema de ecuaciones 2×2 y resuélvelo por este mismo método de sustitución. 4. Sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones del paso 2. 5. Por último, sustituye los dos valores encontrados en la ecuación despejada del paso 1. 98 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Ejemplo. En un local de comida rápida, un pedido de 5 hamburguesas, 2 órdenes de papas fritas y 3 refrescos cuesta 56 pesos. Un pedido de 4 hamburguesas, 3 órdenes de papas fritas y 2 refrescos cuesta 46 pesos. Un pedido de 6 hamburguesas, 4 órdenes de papas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco? Solución Las incógnitas son: x = Precio de una hamburguesa (pesos). y = Precio de una orden de papas fritas ($). z = Precio de un refresco ($). El sistema de ecuaciones lineales 3×3 a resolver es: ⎧5 x + 2 y + 3 z = 56 L L L L L (1)
⎪
⎨4 x + 3 y + 2 z = 46 L L L L L (2 )
⎪6 x + 4 y + 3 z = 68 L L L L L (3 )
⎩
Empleando el método de sustitución: Paso 1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, de preferencia la que sea más fácil de despejar. Toma la ecuación (1) y despeja a x: 5 x + 2 y + 3 z = 56
5 x = 56 − 2 y − 3 z
56 − 2 y − 3 z
x=
5
Paso 2. Sustituye en las otras 2 ecuaciones (2) y (3), el valor de la literal despejada en el paso anterior, para así obtener dos nuevas ecuaciones con 2 incógnitas. Ecuación 2
6 x + 4 y + 3 z = 68
⎛ 56 − 2y − 3z ⎞
4⎜
⎟ + 3 y + 2z = 46
5
⎝
⎠
⎛ 56 − 2 y − 3 z ⎞
6⎜
⎟ + 4 y + 3 z = 68
5
⎝
⎠
224 − 8 y − 12 z
+ 3 y + 2z = 46
5
336 − 12 y − 18 z
+ 4 y + 3 z = 68
5
224 8
12
− y−
z + 3y + 2z = 46
5
5
5
336 12 y 18 z
−
−
+ 4 y + 3 z = 68
5
5
5
−
−
8
12
224
y + 3y −
z + 2z = 46 −
5
5
5
8
15
12
10
230 224
y+
y−
z+
z=
−
5
5
5
5
5
5
7
2
6
L L L L L (4 )
y− z=
5
5
5
99 Universidad CNCI de México Ecuación 3
4 x + 3 y + 2 z = 46
−
−
12
18
336
y + 4y −
z + 3 z = 68 −
5
5
5
12
20
18
15
340 336
y+
y−
z+
z=
−
5
5
5
5
5
5
8
3
4
y− z=
L L L L L (5 )
5
5
5
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Paso 3. Con esas 2 nuevas ecuaciones forma un sistema de ecuaciones 2×2 y resuélvelo por este
mismo método de sustitución.
2
6
⎧7
⎪⎪ 5 y − 5 z = 5
⎨
⎪8 y − 3 z = 4
5
5
⎩⎪ 5
Despejando y de la ecuación (4):
6 2
5
y= +5z
7 7
5 5
7
2
6
y− z=
5
5
5
7
6 2
y= + z
5
5 5
y=
6 2
+ z
5
5
y=
7
5
30 10
+
z
35 35
Y sustituyéndola en (5):
8
3
4
y− z=
5
5
5
→
8 ⎛ 30 10 ⎞ 3
4
+
z⎟ − z =
⎜
5 ⎝ 35 35 ⎠ 5
5
240 80
3
4
+
z− z =
175 175
5
5
240 80
3
4
+
z− z =
175 175
5
5
80
105
140 240
z−
z=
−
175
175
175 175
−
25
100
z=−
175
175
100
−
z = 175
25
−
175
17500
z=
4375
z=4
Paso 4. Sustituye el valor obtenido en cualquiera de
las ecuaciones (4) o (5) del paso 2.
En este caso en la ecuación (5):
8
3
4
y− z=
5
5
5
4
8
3
y − (4 ) =
5
5
5
8
12
4
y−
=
5
5
5
8
4 12
y = +
5
5
5
8
16
y =
5
5
16
y = 5
8
5
80
y =
40
y =2
100 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Paso 5. Por último, sustituye los dos valores encontrados en la ecuación despejada del paso 1. 56 − 2 y − 3 z
x=
5
56 − 2(2) − 3(4)
x=
5
56 − 4 − 12
x=
5
40
x=
5
Así pues, una hamburguesa cuesta 8 pesos, una orden de papas fritas $2 y un refresco 4 pesos. Contestando la pregunta, ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco? 1 Hamburguesa + 1 refresco = 8 + 4 = 12 Se deberán pagar 12 pesos por una hamburguesa y un refresco. x=8
Práctica 51 El salario mensual de Guillermo, Roberto y Juan es de $8200. El salario mensual de Roberto y Guillermo es de $8000, y el salario mensual de Guillermo y Juan es de $8100. Determina el salario mensual de cada uno. 101 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 11 Los temas a revisar el día de hoy son: 5. Ecuaciones cuadráticas 5.1. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas 5.1.1 Método de solución por despeje de ecuaciones cuadráticas puras 5.1.2 Método de solución por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas 5. Ecuaciones cuadráticas Hasta ahora sabes que una ecuación es una igualdad entre un par de expresiones, que contiene una incógnita representada por una literal. Es importante recordar que el grado de una ecuación depende de la máxima potencia que tenga la incógnita. En bloques anteriores resolviste ecuaciones de primer grado, en este bloque resolverás ecuaciones de segundo grado; es decir, el mayor grado que presenta la incógnita es dos. La forma general o forma estándar de una ecuación de segundo grado con una incógnita o también llamada ecuación cuadrática es a ≠ 0,
a, b, c ∈ R
ax 2 + bx + c = 0
donde: ax2 = El término cuadrático. bx = El término lineal. c = El término independiente. Las ecuaciones cuadráticas se clasifican de dos formas: en completas e incompletas. Completas. Son aquellas que tienen los tres términos: el término cuadrático, el lineal y el independiente, siendo de la forma: ax 2 + bx + c = 0
Incompletas. Son aquellas en las que les hace falta alguno de los dos últimos términos, debido a que b=0 o bien c=0, sin embargo, el término cuadrático siempre debe estar presente, siendo de la forma: Incompleta Mixta Incompleta Pura ax 2 + bx = 0
ax 2 + c = 0
5.1. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas Debido a que el grado de una ecuación cuadrática es dos, una ecuación de este tipo tiene dos soluciones. Por ello, en comparación de las ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales, la resolución de las ecuaciones cuadráticas es más compleja por lo que existen varios métodos para resolverlas. Algunos de ellos son: 1. Por despeje de ecuaciones cuadráticas puras 2. Por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas 3. Completando el trinomio cuadrado perfecto 102 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
4. Por fórmula general 5.1.1 Método de solución por despeje de ecuaciones cuadráticas puras La solución de una ecuación cuadrática de la forma ax2+c=0 consiste en despejar la incógnita como aprendiste en el tema de ecuaciones lineales, para luego obtener las dos soluciones por medio de una raíz cuadrada. En este método la solución siempre será: Si
ax 2 + c = 0
→
x=±
−c
a
3 x − 12 = 0
Ejemplo. Resuelve la ecuación cuadrática incompleta Observa que es una ecuación cuadrática pura debido a que no tiene en término lineal. Despeja la incógnita como lo hiciste con las ecuaciones lineales: Recuerda que…
2
3 x − 12 = 0
2
La raíz cuadrada de
2
3 x = 12
12
x2 =
3
2
x =4
un número x se
puede representar
de dos formas: 1
x = x2
Ahora aplica a ambos miembros de la ecuación una raíz cuadrada, con el fin de eliminar el cuadrado de la incógnita: x2 = 4
x2 = 4
x 1 = +2
x= 4
x 2 = −2
Así pues, tienes dos valores: el positivo y el negativo, siendo ambos solución de la ecuación: Comprobación Si →
x 1 = +2
3 x 2 − 12 = 0
2
3(2) − 12 = 0
3(4 ) − 12 = 0
3 x 2 − 12 = 0
12 − 12 = 0
0=0
Si x 2 = −2
103 Universidad CNCI de México → 3(− 2) − 12 = 0
3(4 ) − 12 = 0
12 − 12 = 0
0=0
2
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 52 Obtén las dos soluciones de la ecuación − 5 x
2
+ 15 = 0
Ejemplo. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática Solución x2 + 9 = 0
x2 + 9 = 0
x 2 = −9
x2 = − 9
x = −9
Te enfrentas a la raíz cuadrada de una cantidad negativa, y tu sabes que no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea ‐9. Al tipo de números que obtienen raíces negativas se les conoce como números imaginarios ya que en el siglo XVII René Descartes (1596 ‐ 1650) los llamó así porque pensó que sólo eran producto de su imaginación. Las siguientes definiciones te ayudarán a obtener las raíces cuadradas de números negativos: Definición 1 i = −1
Se define un número imaginario como Definición 2 La raíz cuadrada de una multiplicación se distribuye sobre los factores: ab = a b
Regresando a nuestro ejercicio, obtengamos la raíz cuadrada del ‐9: x = −9
x = − 1× 9
La cantidad negativa –a se puede representar por ‐1×a. x = − 1 × 9
Por la definición 2. x = i × ± 3 Por la definición 1 y por la raíz de 9. x = ± 3i
Por la propiedad conmutativa de la multiplicación. x +9 =0
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son: 2
x 1 = +3i
x 2 = −3i
5.1.2 Método de solución por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas La condición necesaria para utilizar este método es que a la ecuación cuadrática le falte el término independiente, es decir, que sea una ecuación cuadrática mixta: ax 2 + bx = 0
104 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
La solución de este tipo de ecuaciones es por medio de la factorización por factor común, ya que ambos términos contienen a la incógnita x. El método consiste en factorizar la ecuación e igualar a cero cada factor, procediendo a resolver las ecuaciones obtenidas. Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y además una de sus soluciones es x=0. Sabías que…
La propiedad cero de la multiplicación o también llamada propiedad de producto
cero dice que existe un número único, el cero, tal que el producto de cualquier número
real x por cero es cero:
x ⋅0 = 0
Pasos para resolver una ecuación mixta 1. Factoriza la expresión del primer miembro de la igualdad por el factor común. 2. Utiliza la propiedad de los números reales que indica que uno de los dos factores es cero. 3. Despeja cada factor para encontrar el valor de la incógnita. Ejemplo. Resuelve la ecuación 4x 2 − 8x = 0
Solución Lo primero que debes observar es que la ecuación presenta la forma general o estándar, por lo que es posible utilizar los pasos descritos anteriormente. Paso 1. Factoriza la expresión del primer miembro de la igualdad por el factor común. El factor común del primer término es 4x, por lo que: 4 x x − 2 = 0
Paso 2. Utiliza la propiedad de los números reales que indica que uno de los dos factores es cero. (
)
Recuerda, si el producto de dos factores es cero, uno de los dos o los dos, son cero: Si
ab = 0
→
a=0
o
b=0
4 x (x − 2 ) = 0
Por lo tanto: 4x = 0
x−2=0
o bien,
Paso 3. Despeja cada factor para encontrar el valor de la incógnita. 0
4
x1 = 0
x=
x−2=0
x2 = 2
Por lo tanto, la ecuación cuadrática tiene dos resultados, 0 o 2. Práctica 52 Determina el valor de la incógnita en la ecuación 2 x 2 − 8 = −5 x − 8
105 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 14 Los temas a revisar el día de hoy son: 5.1.3 Método de solución completando el trinomio cuadrado perfecto 5.1.4 Método de solución por fórmula general 5.1.3 Método de solución completando el trinomio cuadrado perfecto Este método se aplica a ecuaciones completas: y a ecuaciones incompletas mixtas: . ax 2 + bx = 0
ax 2 + bx + c = 0
Pasos para completar un trinomio cuadrado perfecto 1. Despeja el término independiente. 2. Divide cada término de la ecuación entre el coeficiente de x2. 3. Suma en ambos miembros de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. 4. Factoriza el primer miembro y simplifica el segundo miembro. 5. Despeja la variable en cuestión y toma dos raíces, una positiva y una negativa. Ejemplo. Encuentra las soluciones de la ecuación 3 x 2 − 6 x − 24 = 0
Solución Paso 1. Despeja al término independiente. 3 x 2 − 6 x − 24 = 0
3 x 2 − 6 x = 24
Paso 2. Divide entre el coeficiente de x2. 3 x 2 − 6 x = 24
3 x 2 − 6 x = 24
3
x 2 − 2x = 8
Paso 3. Suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a ambos miembros de la ecuación. 2
x −2 x =8
La mitad
−1
El cuadrado
(− 1)2
106 Universidad CNCI de México =1
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Por lo tanto, x 2 − 2x = 8
x 2 − 2x + 1 = 8 + 1
→
Paso 4. Factoriza el primer miembro y simplifica el segundo. x 2 − 2x + 1 = 8 + 1
(x − 1)2
=9
Paso 5. Despeja la incógnita y obtén dos valores. (x − 1)2
(x − 1)2
=9
= 9
x − 1 = ±3
x = ±3 + 1
x 1 = +3 + 1
x1 = 4
x 2 = −3 + 1
x 2 = −2
Por lo que las soluciones de la ecuación cuadrática son 4 o ‐2. Práctica 53 Encuentra las raíces de 2 x
2
− 6x = 0
5.1.4 Método de solución por fórmula general La fórmula general o también llamada fórmula cuadrática obtiene las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado con una incógnita. La fórmula es: − b ± b 2 − 4ac
x=
2a
donde a = Coeficiente del término cuadrático. b = Coeficiente del término lineal. c = Coeficiente del término independiente. Ejemplo. El producto de dos números naturales es 48 y su diferencia es 8. ¿Cuáles son esos números? 107 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Solución Si representas ambos números como: x = El número natural mayor y = El número natural menor entonces la diferencia entre ellos se representa por: x−y =8
debido a lo anterior, es posible representar al número mayor como: x =8+y
El producto de los números naturales es: x ⋅ y = 48
Ahora, sustituye el valor de x en la multiplicación: x ⋅ y = 48
8 + y y = 48
8 y + y 2 = 48
Representando la ecuación anterior de la forma general o estándar (igualada a cero): 8 y + y 2 = 48
y 2 + 8 y − 48 = 0
Ya tienes una ecuación cuadrática que está completa, ahora utiliza la fórmula general para obtener el valor de la incógnita (en este caso y): − b ± b 2 − 4ac
y=
2a
Para este problema: a =1
b=8
c = −48
Sustituyendo valores: − b ± b 2 − 4ac
y=
2a
2
− 8 ± 8 − 4 1 − 48
y =
21
− 8 ± 64 + 192
y =
2
(
)
()
108 Universidad CNCI de México ()
( )(
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
− 8 ± 256
y =
2
−8 ± 16
y
=
2
−8 + 16
−8 − 16
y1 =
y2 =
2
2
−24
8
y2 =
y1 =
2
2
y1 = 4
y 2 = −12
Las soluciones de la ecuación cuadrática son 4 y ‐12. Recuerda que originalmente se hablaba de dos números naturales y el ‐12 no es un número natural, por ello no es solución del problema. Para encontrar el segundo número, sustituye el 4 en la ecuación: x =8+y
x =8+4
x = 12
Así pues, los dos números naturales que multiplicados dan 48 y restados dan 8, son el 4 y el 12. Práctica 54 El área de un rectángulo es de 96 cm2. Si su largo es 4 cm mayor que su ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? x
A = 96 cm2
X+4
109 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 12 Los temas a revisar el día de hoy son: 6. Funciones cuadráticas 6.1. Características de una ecuación cuadrática 6.1.1. Elementos de la parábola 6.1.2. Sentido de la parábola 6.1.3. Tipos de soluciones a partir de sus coeficientes 6.2. Gráfica de una ecuación cuadrática 7. Forma estándar de una función cuadrática 7.1. Desplazamiento vertical 7.2. Desplazamiento horizontal 6. Funciones cuadráticas En bloques anteriores aprendiste que una ecuación lineal, la cual representa una línea recta, puede convertirse en una ecuación de dos variables, o mejor dicho, en una función. De forma similar, una ecuación cuadrática que se iguala a y, es decir, y=ax2+bx+c, se convierte en una función y genera una gráfica llamada parábola (curva abierta). Definición. A toda función de la forma y = f ( x ) = ax 2 + bx + c
con a, b, c ∈ R y a ≠ 0
se le llama función cuadrática. 6.1. Características de una ecuación cuadrática 6.1.1. Elementos de la parábola El dominio de la función es R, es decir, la variable x puede ser cualquier número real, y su gráfica o parábola tiene los siguientes elementos: 110 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Figura 1. Parábola de una función cuadrática
•
•
•
Cada uno de los lugares en los que la gráfica corta al eje x se conoce como raíz. El vértice es el punto en el cual la gráfica alcanza su valor mínimo (o máximo). El eje de simetría es una recta que permite observar claramente que las parábolas son curvas simétricas. 6.1.2. Sentido de la parábola El sentido de la gráfica de una función cuadrática dependerá del signo que tenga el coeficiente a del término cuadrático: Si el valor de a es positivo, la parábola estará abierta hacia arriba. Si el valor de a es negativo, la parábola estará abierta hacia abajo. Si a > 0 la parábola abre hacia arriba 111 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Si a < 0 la parábola abre hacia abajo Recuerda que se llama raíz de una función al valor en el que ésta corta al eje x. Estos valores son las soluciones de la ecuación cuando está igualada a cero, y por lo tanto, y=0. Depende directamente del grado de la función, pues como puedes observar en las gráficas anteriores, la parábola corta en dos valores al eje x. 6.1.3. Tipos de soluciones a partir de sus coeficientes Definición Dada la fórmula general − b ± b 2 − 4ac
x=
2a
el discriminante se define como: Δ = b 2 − 4ac
y se representa por la letra griega mayúscula delta: Δ. Según el signo del determinante puedes saber el número y tipo de soluciones que tiene una ecuación cuadrática: Si Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales distintas. Por ejemplo la ecuación y=‐x2+4x+5 tiene soluciones: x1 =‐1 x2 = 5 Si Δ = 0, la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales iguales. 112 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Porr ejemplo laa ecuación yy=‐x2+4x+4 tienee solucioness: x1 = x2 = 2 Si Δ < 0, la ecuación no tiene solluciones o rraíces realess, es decir, sus solucio
ones son nú
úmeros complejjos conjugados. Po
or ejemplo la ecuación y=x2‐4x‐6 tienee solucioness: x 1 = 2 + 2i
x 2 = 2 − 2i
Son raíces conjjugadas porrque una ess positiva yy la otra neggativa. ecuerda que…
Re
n número complejo esttá formado por dos partes y tienen la forma
Un
a + bi
b
onde a y b son número
os reales, además
a
a es
s la parte re
eal y bi es la
a parte ima
aginaria.
Do
mplo. La lon
ngitud de un u terreno donde se desea d
poneer una tienda de abarrrotes Ejem
excede su anch
ho en 7 metros y el área del te
erreno es de d 120 meetros cuadrrados. ¿Cuááles son las dimensionees que tendrá la tiendaa de abarrottes? Solucción Si deefines x = Longiitud del terreno (m). y = Ancho del terren
no (m). gráficamente la informació
ón dada es:
A=1
120 m2
y 113 Universsidad CNCI dde México x
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
entonces, la ecuación que representa al área es: A = xy
120 = xy
y la ecuación que representa el ancho del terreno es: y = x −7
Sustituye lo anterior en la ecuación del área: 120 = xy
120 = x x − 7
120 = x 2 − 7 x
Representa la ecuación obtenida como la forma general de una ecuación cuadrática: x 2 − 7 x − 120 = 0
Ahora, antes de resolver por fórmula general indica las características de esta ecuación cuadrática: Sentido de la parábola: Como el signo del coeficiente del término cuadrático es positivo, entonces la parábola estará abierta hacia arriba. Tipos de soluciones: Para saber cuántas y de qué tipo serán sus soluciones, obtén el valor del discriminante: x 2 − 7 x − 120 = 0
Como , entonces: a=1, b=‐7 y c=‐120. Sustituyendo en la fórmula del discriminante: Δ = b 2 − 4ac
2
Δ = − 7 − 4 1 − 120
Δ = 49 + 480
Δ = 529
Como Δ > 0 entonces, la ecuación cuadrática tendrá dos raíces reales distintas. Comprobemos lo anterior resolviendo por fórmula general: − b ± b 2 − 4ac
x=
2a
− − 7 ± 529
(
( )
114 Universidad CNCI de México x=
)
( )(
( )
2(1)
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
7 ± 23
x=
2
7 + 23
7 − 23
x1 =
x2 =
2
2
x
=
−
8
x1 = 15
2
Por lo tanto, se tienen dos raíces reales distintas, de la cuales, el valor de ‐15 se descarta debido a que no existen distancias negativas. Sustituye x1 en la fórmula del ancho para conocer su valor: y = x −7
y = 15 − 7
y =8
Por lo tanto, las dimensiones de la tienda de abarrotes serán: 8 m 15 m
Ahora realiza la gráfica de la parábola para que observes los elementos que contiene. La función cuadrática a graficar es: y = f ( x ) = x 2 − 7 x − 120
Tabula algunos valores de x, de preferencia, tomando 1 o 2 valores anteriores a la menor de las soluciones (x2 =‐8), y 1 o 2 valores posteriores a la mayor de las soluciones (x1 = 15). En este caso, la tabla tomará valores de ‐9 a 16: x ‐9 ‐8 ‐7 ‐6 ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 y 24 0 ‐22 ‐42 ‐60 ‐76 ‐90 ‐102 ‐112 ‐120 ‐126 ‐130 ‐132 x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y ‐132 ‐130 ‐126 ‐120 ‐112 ‐102 ‐90 ‐76 ‐60 ‐42 ‐22 0 24 La parábola correspondiente es: 115 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Figura 2. Parábola de la función cuadrática y=x2-7x-120 Si observas la gráfica puede ver que las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática cortan o cruzan al eje x. También puedes observar que el término independiente de la ecuación es el punto que cruza al eje y. Práctica 55 El almacén de una juguetería tiene las siguientes dimensiones: mide 5 m de altura y su ancho es de cinco metros más que de largo. Además, el volumen del almacén es de 1500 m3. Calcula la longitud y la anchura del almacén de la juguetería. 6.2. Gráfica de una ecuación cuadrática Si te diste cuenta en estos dos ejemplos, para obtener la gráfica de una función cuadrática tuviste que establecer la ecuación cuadrática, resolverla por fórmula general y al final graficarla mediante tabulación, un trabajo muy tedioso ¿no? Existe una forma más fácil de graficar una función cuadrática, y es mediante el uso de su vértice. Definición El vértice de una parábola es el punto donde la grafica cambia de sentido. La fórmula para calcular las coordenadas del vértice es: V xv , y v
⎛ − b 4ac − b 2 ⎞
⎟
V ⎜⎜
,
⎟
4a
⎝ 2a
⎠
donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. (
116 Universidad CNCI de México )
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Figura 4. Vértice y Eje de simetría de una parábola El valor de la coordenada xv del vértice se llama eje de simetría, ya que genera una recta paralela al eje y, y la cual siempre está colocada exactamente en medio de las dos raíces dividiendo a la gráfica exactamente a la mitad. Se determina por la ecuación: −b
x=
2a
Cuando la parábola abre hacia arriba, el vértice es el valor mínimo de la parábola. Cuando abre hacia abajo, el vértice representa el valor máximo. En ambos casos, la coordenada que representa esto es: 4ac − b 2
4a
Pasos para realizar una gráfica de una función cuadrática Existe un procedimiento que agiliza la graficación de una ecuación cuadrática: 1. Obtén las raíces de la ecuación cuadrática utilizando el método que mejor te convenga y localizalos en un eje cartesiano. 2. Calcula el vértice de la parábola y localizalo en el plano cartesiano. 3. Localiza otros dos puntos en la recta para graficar. 4. Une los puntos de la gráfica para obtener una parábola. Ejemplo. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas de laboratorio, que fueron alimentadas con una dieta que contenía 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Al variar el porcentaje p de levadura en la mezcla de proteína se estimó que el peso promedio ganado en gramos de una rata en un cierto periodo fue de f(p), donde: 1 2
f ( p) = −
p + 2 p + 20
0 ≤ p ≤ 100
50
a) Realiza la gráfica de la función cuadrática. b) ¿Cuánto porcentaje de levadura debe haber en la proteína para que las ratas tengan el máximo peso en gramos? 117 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
c) Encuentra el o los valores de p en que el peso ganado por la ratas sea de 45.5 gramos. Solución Si p = Cantidad de levadura en la proteína (%). f(p) = Peso ganado por las ratas (gr.) entonces, lo que debes hacer para graficar la función se muestra a continuación. a) Gráfica de la función cuadrática Paso 1. Obtener y graficar las raíces de la función. Para resolver la ecuación de la función, primero debes igualarla a cero y después utiliza la fórmula general para obtener las raíces: 1 2
1 2
f ( p) = −
p + 2 p + 20
→
−
p + 2 p + 20 = 0
50
50
1
a=−
= −0.02
2
50
−
b
±
b
−
4
ac
p=
→
b=2
2a
2
c =20
20
− 2 ± 2 − 4 − 0.02
p=
2 − 0.02
− 2 ± 4 + 1.6
p=
− 0.04
− 2 ± 5.6
p=
− 0.04
−2 ± 2.37
p=
− 0.04
−2 + 2.37
−2 − 2.37
p1 =
p2 =
− 0.04
− 0.04
p1 = −9.25
p 2 = 109.25
Los puntos que deberás ubicar en el plano cartesiano son: ( ‐9.25, 0) y ( 109.25, 0) Como el signo del coeficiente del término cuadrático es negativo (‐1/50), entonces la parábola abrirá hacia abajo: ()
118 Universidad CNCI de México (
(
)
)( )
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Figura 5. Localización de las raíces de la función Paso 2. Obtener el vértice de la parábola. Sustituye los valores de a, b y c en la fórmula del vértice: a = −0.02
b=2
c = 20
⎛ − b 4ac − b 2
V ⎜⎜
,
2
a
4a
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎛ −2
4(− 0.02)(20 ) − (2)
⎜
V
,
⎜ 2(− 0.02)
4(− 0.02)
⎝
⎛ − 2 − 1.6 − 4 ⎞
V⎜
,
⎟
−
0
.
04
−
0
.
08
⎝
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
V (50,70 )
Por lo tanto, el valor máximo de la parábola se encuentra en el punto (50,70) y el eje de simetría es paralelo a y en el valor 50. Gráficamente: Figura 6. Localización del vértice de la función Paso 3. Encuentra otros dos puntos en el plano cartesiano. Como solo se tienen tres puntos localizados en el plano, se debe obtener otras dos parejas ordenadas para indicar que tanto se abre la parábola. En este caso, como las raíces de la función fueron ‐9.25 y 109.25, dale los valores de ‐
50 y 150 a p y sustitúyelos en la función para encontrar otros dos puntos: 1 2
f ( p) = −
p + 2 p + 20
50
119 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
f ( −50) = −
1
(− 50 )2 + 2(− 50) + 20 = −130
50
f (150 ) = −
1
(150 )2 + 2(150 ) + 20 = −130
50
Por lo tanto, los otros dos puntos en el plano serán: (‐50, ‐130) y (150, ‐130) Figura 7. Localización del los 5 pares ordenados obtenidos Paso 4. Une los puntos para obtener la parábola. Figura 8. Parábola del peso ganado por las ratas en función de la cantidad de levadura
en la proteína de la dieta consumida.
b) ¿Cuánto porcentaje de levadura debe haber en la proteína para que las ratas tengan el máximo peso en gramos? 120 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Si observas la gráfica, el valor máximo se encuentra en el vértice que calculaste anteriormente: V (50, 70). Así pues, se necesita el 50% de levadura en la proteína de la dieta para obtener el máximo peso de 70 gramos. c) Encuentra el o los valores de p en que el peso ganado por la ratas sea de 45.5 gramos. Lo que debes hacer es igualar la función al valor que deseas y resolverla por alguno de los métodos vistos anteriormente: 1 2
f ( p) = −
p + 2 p + 20
50
1 2
p + 2 p + 20
45.5 = −
50
1 2
−
p + 2 p + 20 − 45.5 = 0
50
1 2
−
p + 2 p − 25.5 = 0
50
Resolviendo por fórmula general: a= ‐0.02, b=2 y c=‐25.5 − b ± b 2 − 4ac
p=
2a
2
− 2 ± 2 − 4 − 0.02 − 25.5
p=
2 − 0.02
− 2 ± 4 − 2.04
p=
− 0.04
− 2 ± 1.96
p=
− 0.04
−2 ± 1.4
p=
− 0.04
−2 − 1.4
−2 + 1.4
p=
p=
− 0.04
− 0.04
p = 15
p = 85
()
121 Universidad CNCI de México (
(
)
)(
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Por lo tanto, las ratas pesarán 45.5 gramos cuando en su dieta se haya incluido 15% de levadura o también cuando se agregue el 85% de levadura en la proteína. Si observas la gráfica, lo anterior lo puedes localiza en la parábola: Figura 9. Las ratas pesarán 45.5 gramos cuando consuman 15% o 85% de
levadura en la proteína. 7. Forma estándar de una función cuadrática Si se grafican dos funciones cuadráticas: y 1 = a1 x 2 + b1 x + c 1
y 2 = a 2 x 2 + b2 x + c 2
y si a1 y a2 tienen el mismo signo y además el vértice de ambas parábolas coincide, entonces, resulta uno de los siguientes dos casos: Caso 2 Caso 1 a1 > a 2 > 0
Observa las parábolas de estas dos funciones. a1 y a2 tienen signo 122 Universidad CNCI de México a1 < 0,
a2 < 0
a1 > a 2
Observa las parábolas de estas dos funciones. a1 y a2 tienen signo Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
positivo y el mismo vértice. Mientras mayor sea el valor de a, mas cerrada será la parábola. negativo y el mismo vértice. Mientras mayor sea el valor absoluto de a, mas cerrada será la parábola. Así, el valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas: i) Cuanto menor es |a|, la parábola es más abierta. ii) Cuanto mayor es |a|, la parábola es más cerrada. 7.1. Desplazamiento vertical Para continuar con la forma de una ecuación cuadrática, ahora centra tu atención en lo x2
siguiente. La gráfica de la función y =
es simétrica de acuerdo al eje y: Si desplazas su gráfica en forma vertical u horizontal, obtendrás las gráficas de otras funciones cuadráticas. Por ejemplo: 2
Si trasladas la gráfica y = x dos unidades hacia arriba, obtendrás la gráfica de la función y = x
2
+2
123 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
y = x 2 tres unidades hacia abajo, obtendrás la gráfica de la Si trasladas la gráfica función y = x
2
−3
En resumen, los desplazamientos no modifican al eje de simetría, pero sí a la ordenada del vértice, por lo que, en caso de contar con una parábola cuya ecuación es de la forma: y = x2 + k
las coordenadas del vértice serán: V ( 0, k )
7.2. Desplazamiento horizontal 2
Continuando con el análisis de la gráfica de la función y = x
ve ahora que sucede si desplazas su gráfica en forma horizontal. Si trasladas la gráfica dos unidades hacia la derecha, obtendrás la gráfica de la función 2
y
=
x
−
2
(
124 Universidad CNCI de México )
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
y = x2
Si trasladas la gráfica dos unidades hacia la izquierda, obtendrás la gráfica de 2
la función y = x+2
(
)
En resumen, los desplazamientos si modifican al eje de simetría y a la abscisa del vértice, por lo que, en caso de contar con una parábola cuya ecuación es de la forma: 2
y
=
x
−
h
las coordenadas del vértice serán: V ( h, 0 )
Combinando lo visto hasta ahora, puedes observar que: 2
Si trasladas la gráfica y = x una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia (
(
)
)2 + 2
y = x −1
arriba, obtendrás la gráfica de la función 125 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Si trasladas la gráfica y = x tres unidades hacia la izquierda y una unidad hacia 2
abajo, obtendrás la gráfica de la función y = x + 3 − 1
2
(
)
En resumen, al desplazar la gráfica de y = x2
h unidades en sentido horizontal y k unidades en sentido vertical, obtendrás la gráfica 2
de la función: y = x−h +k
Las coordenadas de su vértice serán: V ( h, k )
Así pues, la función cuadrática y = ax 2 + bx + c
a≠0
se puede expresar en la forma 2
y = a x−h +k
donde −b
h=
2a
k = f (h )
(
(
)
)
Práctica 56 Un bateador le pega a un pelota la cual describe una trayectoria parabólica definida por la ecuación y = −3t 2 + 6t + 9
a) ¿Cuáles son las características de la ecuación cuadrática? b) Obtén la gráfica de la función cuadrática. c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en cuanto tiempo lo hace? d) Representa la función cuadrática en su forma estándar. 126 Universidad CNCI de México