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PRÁCTICA NÚMERO 4. ESTUDIO DE UN CIRCUITO
RLC AMORTIGUADO.
4.1. Análisis Teórico del Circuito RLC.
Antes de proceder al montaje experimental y estudio del circuito realizaremos aquí
un estudio teórico del mismo. El circuito que se desea resolver es el de la figura 4.1.
Figura 4.1. Circuito RLC
Inicialmente se supone que el interruptor está abierto y por tanto que no circula
ninguna corriente por el circuito en el instante inicial. Además se supone que el
condensador se encuentra descargado. Teniendo en cuenta la ley de Kirchhoff para las
mallas y atendiendo a las expresiones que ya habíamos presentado en anteriores
prácticas para las caídas de tensión en los elementos pasivos del circuito, la ecuación
que rige a este circuito es:
L
d 2q
dq 1
+R
+ q = V0
2
dt
dt C
(4.1)
que es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de segundo orden con término
independiente constante, cuyas condiciones iniciales son que la carga (q) y su primera
derivada (intensidad de corriente) en el instante inicial son nulas.
Para esta práctica, se supone que el circuito está alimentado por el generador se
señales que proporciona una señal cuadrada de 1 voltio pico a pico y una frecuencia de
10
KHz.
Los
valores
nominales
de
los
componentes
del
circuito
son:
R = 2 KΩ ; L = 2 mH ; C = 3nF . Con estos valores el polinomio característico de la
ecuación (4.1) nos da las siguientes raíces: p1 ≈ −0.8 × 106
p2 ≈ −0.2 × 106 , con lo que
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las constantes de tiempo son: τ1 = − 1 p1 = 1.25 µs
τ2 = − 1 p2 = 5.0 µs , y la carga en el
condensador vendrá dada por:
q(t ) = V0C + K1e −t / τ1 + K 2 e −t / τ 2
(4.2)
Como las raíces del polinomio característico son reales, lo que obtenemos es un
circuito amortiguado. La tensión en los bornes del condensador vendrá dada por:
VC (t ) =
q (t ) 1
= (V0C + K1e −t / τ1 + K 2 e −t / τ 2 )
C
C
(4.3)
Como se desprende de la ecuación anterior, en el régimen estacionario la tensión en el
condensador iguala a la fuerza electromotriz de la batería, con lo que la intensidad de
corriente del circuito será nula. Sustituyendo los valores numéricos en (4.3) obtenemos:
VC (t ) = 1 + 0.3 exp(−t / 1.2 x10 − 6) − 1.3 exp(−t / 5 x10 −6 ) (V )
(4.4)
En la figura 4.2 se puede observar la curva que describe la tensión medida en el
condensador en función del tiempo.
Figura 4.2. Comportamiento de la tensión en el condensador en función del tiempo.
Podemos analizar también la variación de la intensidad en función del tiempo. Esta
vendrá dada como la derivada de la carga, ecuación 4.2, con respecto al tiempo:
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i (t ) = −
K1
τ1
e −t / τ 1 −
K2
τ2
e −t / τ 2
(4.5)
siendo la tensión en la resistencia:
VR (t ) = R.i (t ) = −1.5 exp(−t / 1.2 x10 −6 ) + 1.5 exp(−t / 5 x10 −6 ) (V )
(4.6)
En la figura 4.3 se muestra la variación de la tensión en la resistencia en función del
tiempo. Podemos observar cómo en el régimen estacionario la tensión es cero, ya que
como se comentó antes, en dicho régimen la corriente por el circuito es nula.
Figura 4.3. Comportamiento de la tensión en la resistencia en función del tiempo.
4.2. Desarrollo Experimental.
Montaje de un circuito RLC serie alimentado por el generador de señal. Se utilizará
como alimentación del circuito una onda cuadrada de 1 V de tensión (pico a pico) y una
frecuencia de 10 kHz
Se le proporciona una resistencia, una bobina y un condensador cuyos valores
nominales son: R=2kΩ, L=2 mH, C= 3nF.
Esta práctica tiene dos objetivos básicos: analizar la tensión en los bornes del
condensador y el segundo analizar la tensión en los bornes de la resistencia.
El procedimiento a seguir será el siguiente:
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1.
Medir los valores de la resistencia, la inducción y la capacidad con el polímetro
con la mayor precisión posible.
2.
Generar la señal de entrada al circuito deseada con el generador de señales y
comprobación con el osciloscopio de la misma con la mayor precisión posible.
Con estas medidas rellenamos la siguiente tabla:
Tabla 4.1 Resultados Experimentales
Magnitud
Escala Empleada
Valor
Incertidumbre
Resistencia
Inducción
Capacidad
Tensión de la Señal
Frecuencia Señal
4.
A continuación montamos el circuito de la figura 4.4 y medimos la tensión en
los bornes del condensador con ayuda del osciloscopio tal y como se refleja en la
misma. Lo que se observe en la pantalla del osciloscopio debe ser similar a lo
representado en la figura 4.2.
Figura 4.4. Montaje para medir la tensión el condensador
5.
Realizamos a continuación el montaje de la figura 4.5 con el fin de poder medir
la tensión en los extremos de la resistencia y constatar que la intensidad de corriente que
circula en el régimen estacionario es cero. Lo que se debe observar en la pantalla del
osciloscopio debe ser similar a lo representado en la figura 4.3.
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Figura 4.5. Montaje para medir la tensión en la resistencia
6.
Finalmente, como los valores reales de los componentes no coinciden con los
teóricos evaluaremos las raíces del polinomio característico de la ecuación diferencial
4.1 con los valores experimentales obteniendo los nuevos valores de las dos constantes
de tiempo. Con ellas obtendremos las tensiones en el condensador y en la resistencia en
función del tiempo. Este cálculo se hará numéricamente con ayuda del MATLAB.
Aplicación Numérica con MATLAB
Código
% simulacion del circuito RLC amortiguado (raices reales)
V0=1.;R=2e3;L=2e-3;C=3e-9;
Tf=50e-6; t=(0:Tf/1000:Tf);
p=roots([L R 1/C]);disp('raices');p'
K=inv( [1 1 ;p(1) p(2)] )*[-V0*C; 0];
VC= V0 + K(1)*exp(t*p(1))/C + K(2)*exp(t*p(2))/C;
VR= R*K(1)*p(1)*exp(t*p(1)) + R*K(2)*p(2)*exp(t*p(2));
plot(t,VC,t,VR); axis([0 Tf -.1 1.1]); grid
Nota sobre la determinación de las constantes K1 y K2
La carga y la corriente vienen dados por las expresiones:
q(t ) = V0 C + K 1 exp( p1t ) + K 2 exp( p 2 t )
i (t ) = K 1 p1 exp( p1t ) + K 2 p 2 exp( p 2 t )
Las condiciones iniciales de carga e intensidad son nulas, es decir:
K 1 + K 2 = −V0 C
p1 K 1 + p 2 K 2 = 0
En forma matricial tenemos:
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1

 p1
1   K 1   − V0 C 
  = 

p 2   K 2   0 
Es decir,
 K1   1
  = 
 K 2   p1
1

p 2 
−1
 − V0 C 


 0 
Tabla 4.2. Resultados numéricos
(1) Raíces del polinomio y constantes de tiempo
(2) Tensión en los bornes del condensador
(3) Tensión en la resistencia
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